Ձևակերպե՛ք նրա տարրերի կտրված կոնի սահմանումը: Ֆրուստում

Կոնաձև մակերեստվյալ կորի յուրաքանչյուր կետով և կորից դուրս գտնվող կետով անցնող բոլոր ուղիղ գծերով ձևավորված մակերեսն է (նկ. 32):

Այս կորը կոչվում է ուղեցույց , ուղիղ – ձևավորելով , կետ - գագաթ կոնաձև մակերես:

Ուղիղ շրջանաձև կոնաձև մակերեսայն մակերեսն է, որը ձևավորվում է բոլոր ուղիղ գծերով, որոնք անցնում են տվյալ շրջանագծի յուրաքանչյուր կետով և ուղիղ գծի մի կետով, որն ուղղահայաց է շրջանագծի հարթությանը և անցնում է նրա կենտրոնով։ Հետևյալում մենք համառոտ կկոչենք այս մակերեսը կոնաձև մակերես (նկ. 33):

Կոն (ուղիղ շրջանաձև կոն ) երկրաչափական մարմին է, որը սահմանափակված է կոնաձև մակերևույթով և ուղղորդող շրջանագծի հարթությանը զուգահեռ հարթությամբ (նկ. 34):

Բրինձ. 32 Նկ. 33 Նկ. 34

Կոնը կարելի է համարել որպես մարմին, որը ստացվում է եռանկյան ոտքերից մեկը պարունակող առանցքի շուրջ ուղղանկյուն եռանկյունը պտտելով։

Կոն ընդգրկող շրջանակը կոչվում է հիմք . Կոնաձեւ մակերեսի գագաթը կոչվում է գագաթ կոն Կոնու գագաթը նրա հիմքի կենտրոնի հետ կապող հատվածը կոչվում է բարձրությունը կոն Կոնաձեւ մակերես կազմող հատվածները կոչվում են ձևավորելով կոն Առանցք կոնը ուղիղ գիծ է, որն անցնում է կոնի վերին մասով և դրա հիմքի կենտրոնով: Առանցքային հատված կոչվում է կոնի առանցքով անցնող հատված։ Կողային մակերեսի զարգացում Կոն կոչվում է հատված, որի շառավիղը հավասար է կոնի գեներատրիցայի երկարությանը, իսկ հատվածի աղեղի երկարությունը հավասար է կոնի հիմքի շրջագծին։

Կոնու ճիշտ բանաձևերն են.

Որտեղ Ռ- հիմքի շառավիղը;

Հ- բարձրություն;

լ- գեներատորի երկարությունը;

S բազա- բազային տարածք;

S կողմը

Ս լիքը

Վ- կոնի ծավալը.

Կտրված կոնկոչվում է կոնի հատվածը, որը պարփակված է հիմքի և կտրող հարթության միջև, որը զուգահեռ է կոնի հիմքին (նկ. 35):

Կտրված կոնը կարելի է համարել որպես մարմին, որը ստացվում է ուղղանկյուն տրապիզոիդը պտտելով առանցքի շուրջը, որը պարունակում է տրապեզիի կողմը հիմքերին ուղղահայաց։

Կոն ընդգրկող երկու շրջանակները կոչվում են իր պատճառները . Բարձրություն Կտրված կոնը նրա հիմքերի միջև եղած հեռավորությունն է: Կտրված կոնի կոնաձև մակերեսը կազմող հատվածները կոչվում են ձևավորելով . Հիմքերի կենտրոններով անցնող ուղիղ գիծը կոչվում է առանցք կտրված կոն. Առանցքային հատված կոչվում է կտրված կոնի առանցքով անցնող հատված։

Կտրված կոնի համար ճիշտ բանաձևերն են.

(8)

Որտեղ Ռ- ստորին բազայի շառավիղը;

r- վերին հիմքի շառավիղը;

Հ– բարձրություն, l – գեներատորի երկարություն;

S կողմը- կողային մակերեսը;

Ս լիքը- ընդհանուր մակերեսը;

Վ- կտրված կոնի ծավալը.

Օրինակ 1.Հիմքին զուգահեռ կոնի խաչմերուկը բարձրությունը բաժանում է 1։3 հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով վերևից։ Գտեք կտրված կոնի կողային մակերեսը, եթե հիմքի շառավիղը և կոնի բարձրությունը 9 սմ և 12 սմ են:

Լուծում.Կատարենք գծանկար (նկ. 36):

Կտրված կոնի կողային մակերեսի մակերեսը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (8): Գտնենք հիմքերի շառավիղները Մոտ 1 ԱԵվ Մոտ 1 Վև ձևավորելը ԱԲ.

Դիտարկենք նմանատիպ եռանկյուններ SO2BԵվ SO 1 Ա, նմանության գործակիցը, ապա

Այստեղից

Այդ ժամանակվանից

Կտրված կոնի կողային մակերեսը հավասար է.

Պատասխան. .

Օրինակ 2.Շառավիղի քառորդ շրջանը ծալված է կոնաձև մակերեսի մեջ: Գտե՛ք հիմքի շառավիղը և կոնի բարձրությունը:

Լուծում.Շրջանակի քառորդը կոնի կողային մակերեսի զարգացումն է։ Նշենք r- իր հիմքի շառավիղը, Հ –բարձրությունը։ Եկեք հաշվարկենք կողային մակերեսի մակերեսը բանաձևով. Այն հավասար է քառորդ շրջանի մակերեսին. Ստանում ենք երկու անհայտով հավասարում rԵվ լ(ձևավորելով կոն): Այս դեպքում գեներատորը հավասար է քառորդ շրջանի շառավղին Ռ, ինչը նշանակում է, որ ստանում ենք հետևյալ հավասարումը, որտեղից իմանալով հիմքի և գեներատորի շառավիղը՝ գտնում ենք կոնի բարձրությունը.

Պատասխան. 2 սմ,.

Օրինակ 3. 45 O սուր անկյունով, 3 սմ ավելի փոքր հիմքով և հավասար կողմով թեքված ուղղանկյուն տրապիզը պտտվում է հիմքերին ուղղահայաց կողմի շուրջը։ Գտե՛ք առաջացած հեղափոխության մարմնի ծավալը:

Լուծում.Կատարենք գծանկար (նկ. 37):

Պտտման արդյունքում մենք ստանում ենք կտրված կոն՝ դրա ծավալը գտնելու համար, մենք հաշվարկում ենք ավելի մեծ հիմքի շառավիղը և բարձրությունը։ Տրապիզում O 1 O 2 ABմենք կանցկացնենք AC^O 1 B. B ունենք. սա նշանակում է, որ այս եռանկյունը հավասարաչափ է A.C.=Ք.ա.=3 սմ.

Պատասխան.

Օրինակ 4. 13 սմ, 37 սմ և 40 սմ կողմերով եռանկյունը պտտվում է արտաքին առանցքի շուրջ, որը զուգահեռ է ավելի մեծ կողմին և գտնվում է նրանից 3 սմ հեռավորության վրա (առանցքը գտնվում է եռանկյան հարթության մեջ): Գտեք առաջացած հեղափոխության մարմնի մակերեսը:

Լուծում . Կատարենք գծանկար (նկ. 38):

Ստացված հեղափոխության մարմնի մակերեսը բաղկացած է երկու կտրված կոնների կողային մակերեսներից և գլանների կողային մակերեսից։ Այս տարածքները հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ կոնների և գլանների հիմքերի շառավիղները ( ԼԻՆԵԼԵվ O.C.), կոնների ձևավորում ( Ք.ա.Եվ A.C.) և գլանների բարձրությունը ( ԱԲ) Միակ անհայտն է CO. սա հեռավորությունն է եռանկյան կողքից մինչև պտտման առանցքը: Մենք կգտնենք DC. ABC եռանկյան մակերեսը մի կողմում հավասար է AB կողմի կեսի արտադրյալին և դեպի այն ձգվող բարձրությանը DCՄյուս կողմից, իմանալով եռանկյան բոլոր կողմերը, մենք հաշվարկում ենք նրա տարածքը Հերոնի բանաձևով։

Ներածություն

Բրինձ. 1. Կյանքի առարկաներ, որոնք ունեն կտրված կո-նու-սա-ի տեսք

Ի՞նչ եք կարծում, որտեղի՞ց են գալիս նոր թվերը երկրաչափության մեջ: Ամեն ինչ շատ պարզ է. մարդը կյանքում դարձել է նմանատիպ առարկաներով և գալիս է, կարծես կանչում է նրանց: Եկեք նայենք պահարանին, որի վրա նստած են կրկեսի առյուծները, գազարի մի կտոր, որը հավաքվում է, երբ մենք պարզապես մոտ ենք, դրա մի մասը, ակտիվ հրաբուխը և, օրինակ, լույսը fo-na-ri-ից: ka (տես նկ. 1):

Կտրված կոն, դրա տարրերը և առանցքային հատվածը

Բրինձ. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry

Մենք տեսնում ենք, որ այս բոլոր պատկերները նման են ձևի. և՛ ներքևից, և՛ վերևից դրանք սահմանափակված են շրջանակներով, բայց դրանք նեղանում են դեպի վերևը (տես նկ. 2):

Բրինձ. 3. Կո-նու-սա-ի վերին մասից

Այն կարծես կոն լինի: Պարզապես բավական չէ վերին լռությունը: Մտովի պատկերացնում ենք, որ վերցնում ենք կոն և սուր սրի մեկ ճոճանակով նրանից կտրում վերին մասը (տե՛ս նկ. 3):

Բրինձ. 4. Կտրված կոն

Սա հենց մեր գործիչն է, որը կոչվում է կտրված կոն (տե՛ս նկ. 4):

Բրինձ. 5. Se-che-nie, զուգահեռ-os-no-va-niyu ko-nu-sa

Թող կոն տրվի։ Եկեք ստեղծենք հարթություն, այս co-nu-sa առանցքի զուգահեռ հարթություն և խաչաձև կոն (տես. Նկ. 5):

Այն կբաժանի կոնը երկու մարմնի. դրանցից մեկը ավելի փոքր չափի կոն է, իսկ երկրորդը կոչվում է կտրված կոն (տես նկ. 6):

Բրինձ. 6. Ձեռք բերված մարմինները զուգահեռ հատվածում

Այսպիսով, կտրված կոնը կոնի մի մասն է, որը կապված է նրա հիմնական մարմնի և զուգահեռ հիմնական մարմնի միջև: Ինչպես կոնի դեպքում, այնպես էլ կտրված կոնը կարող է հիմք ունենալ շրջան, այս դեպքում այն ​​կոչվում է շրջան: Եթե ​​սկզբնական կոնը ուղիղ էր, ապա կտրված կոնը կոչվում է ուղիղ։ Ինչպես ko-nu-sa-mi-ի դեպքում, մենք կանդրադառնանք ստեղներին, բայց ուղիղ շրջանաձև կրճատված ko-nu-s sy-ին, եթե հատուկ նշված չէ, որ խոսքը անուղղակի կտրված co-nu-se-ի մասին է: կամ դրա հիմքում չկան շրջանակներ։

Բրինձ. 7. Ուղղանկյուն թակարդի պտույտ

Մեր համաշխարհային թեման ռոտացիայի մարմիններն են: Կտրված կոնը բացառություն չէ: Հիշենք, որ co-nu-sa ստանալու համար մենք smo-mat-ri-va-li ուղղանկյուն եռանկյուն ենք և պտտում այն ​​ka-te-ta-ի շուրջը: Եթե ​​ստացված կոնը կտրված է առանցքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա եռանկյունից ուղիղ գիծ չի մնա -mo-coal թակարդը։ Նրա պտույտը փոքր կողմի շուրջը մեզ կտրված կոն կտա: Կրկին նշենք, որ մենք, ակնհայտորեն, խոսում ենք միայն ուղիղ շրջանաձև co-nu-se-ի մասին (տե՛ս նկ. 7):

Բրինձ. 8. Os-no-va-niya կրճատված-no-go ko-nu-sa

Ես մի քանի նախապատրաստություն կանեմ. Կես-կո-նու-սա-ի և շրջանագծի հիմքը, կիսա-չա-յու-շայը կո-նու-սա հարթակի հատվածում, on- նրանք անվանում են os-no-va-ni-ya-mi կտրված: ko-nu-sa (ստորին և վերին) (տես նկ. 8):

Բրինձ. 9. Ob-ra-zu-yu-schi կտրված ko-nu-sa

Կո-նու-սա-ի ռա-զու-յու-շիհի կեսի կտրվածքներից, որոնք կապված են os-but-va-ni-mi-ի կտրված-բուտ-գո կո-նու-սա-ի միջև, նրանք անվանում են շուրջ-րա-: zu-yu-schi-mi կտրված-no-go ko-nu-sa. Քանի որ բոլոր կրթական արդյունքները հավասար են, և բոլոր կրթական արդյունքները նույնից են՝ հավասար, ապա ob-ra-zu-yu կրճատված co-nu-sa-ն հավասար են (մի շփոթեք կտրվածն ու կտրվածը): Այստեղից հետևում է հատվածի առանցքի տրաֆիկի հավասարությունը (տե՛ս նկ. 9):

Կտրված co-nu-sa-ի ներսում պարփակված պտտման առանցքից այն անվանում են կո-նու-սա կտրված առանցքի առանցք: Այս նորից կտրվածքը՝ ra-zu-me-et-sya, միավորում է իր հիմունքների կենտրոնները (տե՛ս նկ. 10):

Բրինձ. 10. Կտրված կո-նու-սա-ի առանցք

You-so-ta կրճատված ko-nu-sa-ն պեր-գրիչ-դի-կու-լյար է, պրո-վե-դեն os-no-va-niya-ից մեկի կետից մինչև մեկ այլ հիմք: Ամենից հաճախ, քո որակով, դու կտրել ես նրա առանցքը։

Բրինձ. 11. Ose-voe se-che-nie կրճատված-no-go-ko-nu-sa.

Կտրված co-nu-sa-ի առանցքային հատվածը նրա առանցքով անցնող հատվածն է: Այն ունի տրապիզոնի տեսք, քիչ ուշ ցույց կտանք նրա հավասարությունը (տե՛ս նկ. 11)։

Կտրված կոնի կողային և ընդհանուր մակերեսների տարածքները

Բրինձ. 12. Ներածված նշաններով կոն

Եկեք գտնենք bo-co-voy տարածքը կտրված ko-nu-sa-ի գագաթին: Թող կտրված co-nu-sa-ի հիմքերը ունենան շառավիղներ և , իսկ ob-ra-zu-yu-ն հավասար լինի (տե՛ս նկ. 12):

Բրինձ. 13. Ob-ra-zu-yu-shchei from-se-chen-no-th ko-nu-sa-ի նշանակումը:

Եկեք գտնենք bo-ko-voy տարածքը կտրված co-nu-sa-ի վերևում որպես տարբերություն վերևի վրա bo-ko-voy-ների տարածքի վրա, բայց ste-khod-no-go: ko-nu-sa եւ from-se-chen-no-go. Դա անելու համար մենք նշում ենք ko-nu-sa-ի ձևավորման միջոցով (տես նկ. 13):

Այնուհետեւ is-ko-may.

Բրինձ. 14. Նմանատիպ եռանկյուններ

Մնում է, որ դուք հասկանաք դա:

Նկատենք, որ po-do-biy tri-corn-ni-kov-ից-ից-այո (տե՛ս նկ. 14):

Դա հնարավոր կլինի արտահայտել՝ բաժանելով այն շառավիղների տարբերության, բայց մեզ դա պետք չէ, քանի որ տվյալ դեպքում դա հենց fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de-ն է։ ոչ: Փոխարինելով դրա փոխարեն՝ մենք վերջապես ունենք. .

Այժմ ամբողջ մակերեսի ձևավորումը դժվար չէ: Դա անելու համար ճիշտ ավելացրեք հիմքերի երկու շրջանակների տարածքը. .

Առաջադրանք

Բրինձ. 15. Illu-stration to for-da-che

Թող կտրված կոնը պտտվի իր բարձրության շուրջ ուղղանկյուն թակարդով: Trapezoid-ի միջին գիծը հավասար է , իսկ ավելի մեծ կողմը հավասար է (տե՛ս նկ. 15): Գտեք bo-co-voy-ի տարածքը կտրված ko-nu-sa-ի վերին-no-sti-ի վրա:

Լուծում

Բանաձևից մենք գիտենք, որ .

Ko-nu-sa-ի ձևավորումը կլինի մեծ հարյուր-ro-on-going tra-pe-tion, այսինքն, Ra-di-u-sy ko- well-sa - սա տրա-ի հիմքն է: pe-tion. Մենք չենք կարողանում գտնել դրանք: Բայց մեզ դա պետք չէ. մեզ միայն անհրաժեշտ է դրանց գումարը, իսկ տրապիզոնի հիմքերի գումարը երկու անգամ մեծ է նրա միջնագծից, այսինքն՝ հավասար է . Հետո .

Կտրված կոնների և բուրգերի նմանությունները

Ուշադրություն դարձրեք այն փաստին, որ երբ մենք խոսում ենք co-nu-se-ի մասին, մենք խոսում ենք դրա մասին նրա և pi -ra-mi-doy-ի միջև - բանաձևերը նման էին: Այստեղ նույնն է, քանի որ կտրված կոնը շատ նման է կտրված պի-րա-մի-դուին, ուստի տարածքի բանաձևերը մեծ են և ամբողջական՝ վերևից ոչ թե կոճղված կո-նու-սա և պի-րա-մի: -dy (իսկ շուտով կլինեն ծավալի բանաձեւեր) analog-lo-gic- us.

Առաջադրանք

Բրինձ. 1. Illu-strat-tion to za-da-che

Ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa-ն հավասար է և-ին, իսկ ob-ra-zu-yu-shchaya-ն հավասար է . Գտեք կտրված co-nu-sa-ն և դրա առանցքի մակերեսը (տես Նկար 1):

Որոնք բխում են մի կետից (կոնի գագաթից) և որոնք անցնում են հարթ մակերեսով։

Պատահում է, որ կոնը մարմնի մի մասն է, որն ունի սահմանափակ ծավալ և ստացվում է հարթ մակերևույթի գագաթն ու կետերը միացնող յուրաքանչյուր հատվածը համադրելով։ Վերջինս, այս դեպքում, է կոնի հիմքը, և ասվում է, որ կոնը հենվում է այս հիմքի վրա:

Երբ կոնի հիմքը բազմանկյուն է, այն արդեն կա բուրգ .

Շրջանաձև կոն- սա շրջանից բաղկացած մարմին է (կոնի հիմքը), մի կետ, որը չի գտնվում այս շրջանագծի հարթությունում (կոնի գագաթը և բոլոր հատվածները, որոնք կապում են կոնի գագաթը կետերի հետ. հիմք): Կոնու գագաթը և հիմքի շրջանագծի կետերը միացնող հատվածները կոչվում են կոն կազմելով. Կոնու մակերեսը բաղկացած է հիմքից և կողային մակերեսից։

Կողային մակերեսի մակերեսը ճիշտ է n- ածխածնային բուրգ, որը գրված է կոնի մեջ.

S n =½P n l n,

Որտեղ Պ ն- բուրգի հիմքի պարագիծը և l n-ապաթեմ.

Նույն սկզբունքով. բազային շառավղով կտրված կոնի կողային մակերեսի համար Ռ 1, Ռ 2և ձևավորելը լմենք ստանում ենք հետևյալ բանաձևը.

S=(R 1 +R 2)l.

Ուղիղ և թեք շրջանաձև կոններ՝ հավասար հիմքով և բարձրությամբ: Այս մարմիններն ունեն նույն ծավալը.

Կոնի հատկությունները.

• Երբ հիմքի տարածքը սահման ունի, նշանակում է, որ կոնի ծավալը նույնպես սահման ունի և հավասար է բարձրության արտադրանքի երրորդ մասի և հիմքի մակերեսին։

Որտեղ Ս- բազայի տարածքը, Հ- բարձրություն.

Այսպիսով, յուրաքանչյուր կոն, որը հենվում է այս հիմքի վրա և ունի գագաթ, որը գտնվում է հիմքին զուգահեռ հարթության վրա, ունի հավասար ծավալ, քանի որ դրանց բարձրությունները նույնն են:

• Սահմանափակ ծավալ ունեցող յուրաքանչյուր կոնի ծանրության կենտրոնը գտնվում է հիմքից բարձրության քառորդ մասում:
• Ուղղաձիգ շրջանաձև կոնի գագաթի պինդ անկյունը կարող է արտահայտվել հետևյալ բանաձևով.

Որտեղ α - կոնի բացման անկյուն:

• Նման կոնի կողային մակերեսը, բանաձևը.

և ընդհանուր մակերեսի մակերեսը (այսինքն՝ կողային մակերեսի և հիմքի տարածքների գումարը), բանաձևը.

S=πR(l+R),

Որտեղ Ռ- հիմքի շառավիղը, լ- գեներատորի երկարությունը.

• Շրջանաձև կոնի ծավալը, բանաձևը.

• Կտրված կոնի համար (ոչ միայն ուղիղ կամ շրջանաձև), ծավալ, բանաձև.

Որտեղ Ս 1Եվ Ս 2- վերին և ստորին հիմքերի տարածքը,

հԵվ Հ- հեռավորությունները վերին և ստորին բազայի հարթությունից մինչև վերև:

• Հարթության հատումը աջ շրջանաձև կոնով կոնի հատվածներից է։

Երկրաչափությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է տարածության կառուցվածքները և նրանց միջև փոխհարաբերությունները։ Իր հերթին այն նույնպես բաղկացած է հատվածներից, որոնցից մեկն էլ ստերեոմետրիան է։ Այն ներառում է տիեզերքում տեղակայված եռաչափ ֆիգուրների՝ խորանարդ, բուրգ, գնդիկ, կոն, գլան և այլն հատկությունների ուսումնասիրություն։

Կոն էվկլիդեսյան տարածության մարմին է, որը սահմանափակված է կոնաձև մակերեսով և այն հարթությամբ, որի վրա ընկած են դրա գեներատորների ծայրերը։ Նրա ձևավորումը տեղի է ունենում նրա ցանկացած ոտքի շուրջ ուղղանկյուն եռանկյունու պտտման ժամանակ, ուստի այն պատկանում է պտտման մարմիններին:

Կոնի բաղադրիչները

Կան կոնների հետևյալ տեսակները՝ թեք (կամ թեք) և ուղիղ։ Թեք է այն, որի առանցքը չի հատվում իր հիմքի կենտրոնի հետ ուղիղ անկյան տակ: Այդ իսկ պատճառով նման կոնում բարձրությունը չի համընկնում առանցքի հետ, քանի որ այն մարմնի վերևից 90° անկյան տակ իջեցված հատված է։

Կոնը, որի առանցքը ուղղահայաց է իր հիմքին, կոչվում է ուղիղ: Նման երկրաչափական մարմնում առանցքը և բարձրությունը համընկնում են այն պատճառով, որ դրանում գագաթը գտնվում է հիմքի տրամագծի կենտրոնից վեր։

Կոնը բաղկացած է հետևյալ տարրերից.

1. Շրջանակը, որը նրա հիմքն է:
2. Կողային մակերես:
3. Մի կետ, որը գտնվում է հիմքի հարթության վրա, որը կոչվում է կոնի գագաթ:
4. Հատվածներ, որոնք միացնում են երկրաչափական մարմնի հիմքի շրջանագծի կետերը և նրա գագաթը:

Այս բոլոր հատվածները կոնի գեներատորներ են: Նրանք թեքված են դեպի երկրաչափական մարմնի հիմքը, իսկ աջ կոնի դեպքում դրանց ելքերը հավասար են, քանի որ գագաթը հավասար է հիմքի շրջանագծի կետերից։ Այսպիսով, կարելի է եզրակացնել, որ կանոնավոր (ուղիղ) կոնում գեներատորները հավասար են, այսինքն՝ ունեն նույն երկարությունը և առանցքի (կամ բարձրության) և հիմքի հետ կազմում են նույն անկյունները։

Քանի որ պտտման թեք (կամ թեք) մարմնում գագաթը տեղաշարժվում է բազային հարթության կենտրոնի համեմատ, այդպիսի մարմնի գեներատորներն ունեն տարբեր երկարություններ և ելուստներ, քանի որ նրանցից յուրաքանչյուրը գտնվում է տարբեր հեռավորության վրա ցանկացած երկու կետից: հիմքի շրջանակը. Բացի այդ, նրանց միջև եղած անկյունները և կոնի բարձրությունը նույնպես տարբեր կլինեն:

Գեներատորների երկարությունը ուղիղ կոնում

Ինչպես գրվել է ավելի վաղ, պտույտի երկրաչափական մարմնի բարձրությունը ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը: Այսպիսով, հիմքի գեներատրիցը, բարձրությունը և շառավիղը կոնի մեջ ստեղծում են ուղղանկյուն եռանկյուն:

Այսինքն, իմանալով բազայի շառավիղը և բարձրությունը, օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմի բանաձևը, կարող եք հաշվարկել գեներատորի երկարությունը, որը հավասար կլինի բազային շառավղի և բարձրության քառակուսիների գումարին.

l 2 = r 2 + h 2 կամ l = √r 2 + h 2

որտեղ l-ն գեներատորն է;

r - շառավիղ;

h - բարձրություն:

Գեներատորը թեքված կոնում

Ելնելով այն հանգամանքից, որ թեք կամ թեք կոնում գեներատորները չունեն նույն երկարությունը, դրանք հնարավոր չի լինի հաշվարկել առանց լրացուցիչ կոնստրուկցիաների և հաշվարկների։

Առաջին հերթին, դուք պետք է իմանաք բարձրությունը, առանցքի երկարությունը և բազայի շառավիղը:

r 1 = √k 2 - h 2

որտեղ r 1-ը առանցքի և բարձրության միջև ընկած շառավիղի մասն է.

k - առանցքի երկարությունը;

h - բարձրություն:

Շառավիղը (r) և դրա առանցքի և բարձրության միջև ընկած հատվածը (r 1) ավելացնելու արդյունքում կարող եք պարզել կոնի առաջացած ամբողջական գեներատորը, դրա բարձրությունը և տրամագծի մի մասը.

որտեղ R-ն եռանկյան ոտքն է, որը ձևավորվում է բարձրությունից, գեներատորից և հիմքի տրամագծի մի մասից.

r - բազայի շառավիղը;

r 1 - առանցքի և բարձրության միջև ընկած շառավիղի մի մասը:

Օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմի նույն բանաձևը, կարող եք գտնել կոնի գեներատորի երկարությունը.

l = √h 2 + R 2

կամ, առանց R-ն առանձին հաշվարկելու, երկու բանաձև միավորել մեկի մեջ.

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Անկախ նրանից, թե կոնը ուղիղ է, թե թեք, և որոնք են մուտքային տվյալները, գեներատորի երկարությունը գտնելու բոլոր մեթոդները միշտ հանգում են մեկ արդյունքի՝ Պյութագորասի թեորեմի կիրառմանը:

Կոն հատված

Axial-ը իր առանցքի կամ բարձրության երկայնքով անցնող հարթություն է: Ուղիղ կոնում նման հատվածը հավասարաչափ եռանկյուն է, որի մեջ եռանկյան բարձրությունը մարմնի բարձրությունն է, նրա կողմերը՝ գեներատորները, իսկ հիմքը՝ հիմքի տրամագիծը։ Հավասարակողմ երկրաչափական մարմնում առանցքային հատվածը հավասարակողմ եռանկյուն է, քանի որ այս կոնում հիմքի և գեներատորների տրամագիծը հավասար են։

Ուղիղ կոնի առանցքային հատվածի հարթությունը նրա համաչափության հարթությունն է։ Դրա պատճառն այն է, որ նրա գագաթը գտնվում է իր հիմքի կենտրոնից վեր, այսինքն՝ առանցքային հատվածի հարթությունը կոնը բաժանում է երկու նույնական մասերի։

Քանի որ բարձրությունը և առանցքը չեն համընկնում թեքված ծավալային մարմնում, առանցքային հատվածի հարթությունը կարող է չներառել բարձրությունը: Եթե ​​նման կոնում կարելի է կառուցել բազմաթիվ առանցքային հատվածներ, քանի որ դրա համար պետք է բավարարվի միայն մեկ պայման՝ այն պետք է անցնի միայն առանցքի միջով, ապա հարթության առանցքային հատվածը, որին կպատկանի այս կոնի բարձրությունը, կարող է գծվել միայն։ մեկը, քանի որ պայմանների թիվը մեծանում է, և, ինչպես հայտնի է, երկու ուղիղները (միասին) կարող են պատկանել միայն մեկ հարթության։

Խաչաձեւ հատվածի տարածքը

Կոնու նախկինում նշված առանցքային հատվածը եռանկյուն է: Դրա հիման վրա դրա տարածքը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով եռանկյունի տարածքի բանաձևը.

S = 1/2 * d * h կամ S = 1/2 * 2r * h

որտեղ S-ը խաչմերուկի տարածքն է.

d - բազայի տրամագիծը;

r - շառավիղ;

h - բարձրություն:

Թեք կամ թեք կոնում առանցքի երկայնքով խաչմերուկը նույնպես եռանկյունի է, ուստի դրանում խաչմերուկի մակերեսը հաշվարկվում է նույն կերպ։

Ծավալը

Քանի որ կոնը եռաչափ պատկեր է եռաչափ տարածության մեջ, դրա ծավալը կարելի է հաշվարկել։ Կոնի ծավալը թվ է, որը բնութագրում է այս մարմինը ծավալի միավորով, այսինքն՝ m3-ով։ Հաշվարկը կախված չէ ուղիղ կամ թեք (շեղ) լինելուց, քանի որ այս երկու տեսակի մարմինների բանաձևերը չեն տարբերվում։

Ինչպես արդեն նշվեց, աջ կոնի ձևավորումը տեղի է ունենում նրա ոտքերից մեկի երկայնքով ուղղանկյուն եռանկյունու պտույտի պատճառով: Թեք կամ թեք կոնը ձևավորվում է այլ կերպ, քանի որ դրա բարձրությունը տեղափոխվում է մարմնի հիմքի հարթության կենտրոնից: Այնուամենայնիվ, կառուցվածքի նման տարբերությունները չեն ազդում դրա ծավալը հաշվարկելու մեթոդի վրա:

Ծավալի հաշվարկ

Ցանկացած կոն ունի հետևյալ տեսքը.

V = 1/3 * π * h * r 2

որտեղ V-ը կոնի ծավալն է.

h - բարձրություն;

r - շառավիղ;

π-ը հաստատուն է, որը հավասար է 3,14-ի:

Մարմնի բարձրությունը հաշվարկելու համար հարկավոր է իմանալ հիմքի շառավիղը և նրա գեներատորի երկարությունը: Քանի որ շառավիղը, բարձրությունը և գեներատորը միավորված են ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ, բարձրությունը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմի բանաձևը (a 2 + b 2 = c 2 կամ մեր դեպքում h 2 + r 2 = l 2, որտեղ l գեներատորն է): Բարձրությունը կհաշվարկվի՝ վերցնելով հիպոթենուսի և մյուս ոտքի քառակուսիների տարբերության քառակուսի արմատը.

a = √c 2 - b 2

Այսինքն, կոնի բարձրությունը հավասար կլինի այն արժեքին, որը ստացվել է գեներատրիսի երկարության քառակուսու և հիմքի շառավղի քառակուսու տարբերության քառակուսի արմատը վերցնելուց հետո.

h = √l 2 - r 2

Այս մեթոդով բարձրությունը հաշվարկելով և դրա հիմքի շառավիղը իմանալով կարող եք հաշվարկել կոնի ծավալը։ Այս դեպքում գեներատորը կարևոր դեր է խաղում, քանի որ այն ծառայում է որպես օժանդակ տարր հաշվարկներում:

Նմանապես, եթե հայտնի են մարմնի բարձրությունը և նրա գեներատորի երկարությունը, կարելի է պարզել նրա հիմքի շառավիղը` վերցնելով գեներատորի և բարձրության քառակուսու տարբերության քառակուսի արմատը.

r = √l 2 - h 2

Այնուհետև, օգտագործելով վերը նշված նույն բանաձևը, հաշվարկեք կոնի ծավալը:

Թեք կոնի ծավալը

Քանի որ կոնի ծավալի բանաձևը նույնն է բոլոր տեսակի պտտվող մարմինների համար, դրա հաշվարկի տարբերությունը բարձրության որոնումն է։

Թեքված կոնի բարձրությունը պարզելու համար մուտքային տվյալները պետք է ներառեն գեներատորի երկարությունը, հիմքի շառավիղը և հիմքի կենտրոնի և մարմնի բարձրության հարթության խաչմերուկի միջև ընկած հեռավորությունը։ իր հիմքից։ Իմանալով դա՝ դուք հեշտությամբ կարող եք հաշվարկել հիմքի տրամագծի այն հատվածը, որը կլինի ուղղանկյուն եռանկյունու հիմքը (կազմված հիմքի բարձրությունից, գեներատրիցից և հարթությունից): Այնուհետև, կրկին օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, հաշվարկեք կոնի բարձրությունը և հետագայում դրա ծավալը:

Բրինձ. 1. Կյանքի առարկաներ, որոնք ունեն կտրված կոնի տեսք

Ի՞նչ եք կարծում, որտեղի՞ց են գալիս նոր ձևերը երկրաչափության մեջ: Ամեն ինչ շատ պարզ է՝ մարդը կյանքում հանդիպում է նմանատիպ առարկաների և անուն է հորինում դրանց համար։ Դիտարկենք մի տակդիր, որի վրա առյուծները նստում են կրկեսում, գազարի մի կտոր, որը ստացվում է, երբ կտրում ենք դրա միայն մի մասը, գործող հրաբուխը և, օրինակ, լապտերի լույսը (տե՛ս նկ. 1):

Բրինձ. 2. Երկրաչափական պատկերներ

Մենք տեսնում ենք, որ այս բոլոր պատկերները նման են ձևի. և՛ ներքևում, և՛ վերևում դրանք սահմանափակված են շրջանագծերով, բայց դրանք թեքվում են դեպի վեր (տես նկ. 2):

Բրինձ. 3. Կոնի վերին հատվածը կտրելը

Այն կարծես կոն լինի: Վերևը պարզապես բացակայում է: Մտովի պատկերացնենք, որ վերցնում ենք մի կոն և սուր սրի մեկ ճոճանակով նրանից կտրում վերին մասը (տե՛ս նկ. 3):

Բրինձ. 4. Կտրված կոն

Արդյունքը հենց մեր պատկերն է, այն կոչվում է կտրված կոն (տե՛ս նկ. 4):

Բրինձ. 5. Կոնի հիմքին զուգահեռ հատված

Թող կոն տրվի։ Եկեք գծենք այս կոնի հիմքի հարթությանը զուգահեռ և կոնը հատող հարթություն (տես նկ. 5):

Այն կբաժանի կոնը երկու մարմնի՝ դրանցից մեկը ավելի փոքր կոն է, իսկ երկրորդը կոչվում է կտրված կոն (տե՛ս նկ. 6):

Բրինձ. 6. Ստացված մարմինները զուգահեռ հատվածով

Այսպիսով, կտրված կոնը կոնի մի մասն է, որը փակված է իր հիմքի և հիմքին զուգահեռ հարթության միջև: Ինչպես կոնի դեպքում, այնպես էլ կտրված կոնը կարող է իր հիմքում ունենալ շրջան, որի դեպքում այն ​​կոչվում է շրջանաձև։ Եթե ​​սկզբնական կոնը ուղիղ էր, ապա կտրված կոնը կոչվում է ուղիղ։ Ինչպես կոնների դեպքում, մենք կդիտարկենք բացառապես ուղիղ շրջանաձև կտրված կոները, եթե հատուկ նշված չէ, որ խոսքը անուղղակի կտրված կոնի մասին է, կամ դրա հիմքերը շրջանակներ չեն:

Բրինձ. 7. Ուղղանկյուն trapezoid-ի պտույտ

Մեր համաշխարհային թեման ռոտացիայի մարմիններն են: Կտրված կոնը բացառություն չէ: Հիշենք, որ կոն ստանալու համար մենք համարեցինք ուղղանկյուն եռանկյունի և պտտեցինք այն ոտքի շուրջը։ Եթե ​​ստացված կոնը հատվում է հիմքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա եռանկյունը կմնա ուղղանկյուն trapezoid: Նրա պտույտը փոքր կողմի շուրջը մեզ կտրված կոն կտա: Կրկին նկատենք, որ, իհարկե, խոսքը միայն ուղիղ շրջանաձև կոնի մասին է (տե՛ս նկ. 7):

Բրինձ. 8. Կտրված կոնի հիմքերը

Եկեք մի քանի մեկնաբանություն անենք. Ամբողջական կոնի հիմքը և հարթության վրա կոնի հատվածից առաջացող շրջանագիծը կոչվում են կտրված կոնի հիմքեր (ներքևի և վերին) (տես նկ. 8):

Բրինձ. 9. Կտրված կոնի գեներատորներ

Ամբողջական կոնի գեներատորների հատվածները, որոնք պարփակված են կտրված կոնի հիմքերի միջև, կոչվում են կտրված կոնի գեներատորներ։ Քանի որ սկզբնական կոնի բոլոր գեներատորները հավասար են, իսկ կտրված կոնի բոլոր գեներատորները հավասար են, ուրեմն կտրված կոնի գեներատորները հավասար են (մի շփոթեք կտրվածը և կտրվածը): Սա ենթադրում է, որ trapezoid-ի առանցքային հատվածը հավասարաչափ է (տես նկ. 9):

Կտրված կոնի ներսում պարփակված պտտման առանցքի հատվածը կոչվում է կտրված կոնի առանցք: Այս հատվածը, իհարկե, միացնում է իր հիմքերի կենտրոնները (տես նկ. 10):

Բրինձ. 10. Կտրված կոնի առանցք

Կտրված կոնի բարձրությունը հիմքերից մեկի կետից մյուս հիմքն ուղղահայաց է: Ամենից հաճախ, կտրված կոնի բարձրությունը համարվում է նրա առանցքը:

Բրինձ. 11. Կտրված կոնի առանցքային հատված

Կտրված կոնի առանցքային հատվածը նրա առանցքով անցնող հատվածն է։ Այն ունի տրապեզի ձև, մի փոքր ավելի ուշ կապացուցենք, որ այն հավասարաչափ է (տե՛ս նկ. 11):

Բրինձ. 12. Կոն ներմուծված նշումներով

Եկեք գտնենք կտրված կոնի կողային մակերեսի տարածքը: Թող կտրված կոնի հիմքերը ունենան շառավիղներ և , իսկ գեներատրիքսը հավասար լինի (տես նկ. 12):

Բրինձ. 13. Կտրված կոնի գեներատորի նշանակում

Եկեք գտնենք կտրված կոնի կողային մակերևույթի տարածքը որպես սկզբնական կոնի կողային մակերևույթների և կտրվածի տարածքների տարբերությունը: Դա անելու համար նշենք կտրված կոնի գեներատրիցով (տե՛ս նկ. 13):

Հետո այն, ինչ փնտրում եք։

Բրինձ. 14. Նմանատիպ եռանկյուններ

Մնում է միայն արտահայտվել.

Նկատի ունեցեք, որ եռանկյունների նմանությունից, որտեղից (տե՛ս նկ. 14):

Կարելի է արտահայտել՝ բաժանելով շառավիղների տարբերությամբ, բայց դա մեզ պետք չէ, քանի որ մեր փնտրած արտադրանքը հայտնվում է մեր փնտրած արտահայտության մեջ։ Փոխարինելով, մենք վերջապես ունենք. .

Այժմ հեշտ է ստանալ ընդհանուր մակերեսի բանաձևը: Դա անելու համար պարզապես ավելացրեք հիմքերի երկու շրջանակների տարածքը. .

Բրինձ. 15. Խնդրի նկարազարդում

Թող կտրված կոն ստացվի՝ ուղղանկյուն տրապիզոն իր բարձրության շուրջ պտտելով։ Trapezoid-ի միջին գիծը հավասար է , իսկ մեծ կողային կողմը հավասար է (տե՛ս նկ. 15): Գտեք ստացված կտրված կոնի կողային մակերեսը:

Լուծում

Բանաձևից մենք գիտենք, որ .

Կոնի գեներատրիքսը կլինի սկզբնական տրապեզի ավելի մեծ կողմը, այսինքն՝ կոնի շառավիղները տրապեզի հիմքերն են։ Մենք չենք կարողանում գտնել դրանք: Բայց մեզ դա պետք չէ. մեզ միայն անհրաժեշտ է դրանց գումարը, իսկ տրապիզոնի հիմքերի գումարը երկու անգամ մեծ է նրա միջնագծից, այսինքն՝ հավասար է . Հետո .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երբ մենք խոսում էինք կոնի մասին, մենք զուգահեռներ անցկացրինք դրա և բուրգի միջև. բանաձևերը նման էին: Նույնն է այստեղ, քանի որ կտրված կոնը շատ նման է կտրված բուրգին, ուստի կտրված կոնի և բուրգի կողային և ընդհանուր մակերևույթների տարածքների բանաձևերը (և շուտով կլինեն ծավալի բանաձևեր) նման են:

Բրինձ. 1. Խնդրի նկարազարդում

Կտրված կոնի հիմքերի շառավիղները հավասար են և-ի, իսկ գեներատրիքսը՝ հավասար: Գտեք կտրված կոնի բարձրությունը և դրա առանցքային հատվածի տարածքը (տես Նկար 1):