Formulirajte definiciju krnjeg stošca njegovih elemenata. Frustum
Stožasta površina je površina koju tvore sve ravne linije koje prolaze kroz svaku točku dane krivulje i točku izvan krivulje (slika 32).
Ova krivulja se zove vodič , ravno – formiranje , točka - vrh stožasta površina.
Ravna kružna stožasta ploha je ploha koju čine sve ravne linije koje prolaze kroz svaku točku dane kružnice i točku na pravoj liniji koja je okomita na ravninu kružnice i prolazi kroz njezino središte. U nastavku ćemo tu površinu ukratko zvati stožasta površina (Slika 33).
Konus (ravni kružni stožac ) je geometrijsko tijelo omeđeno stožastom plohom i ravninom koja je paralelna s ravninom kružnice vodilice (slika 34).
 |
|||
Riža. 32 sl. 33 sl. 34
Stožac se može smatrati tijelom dobivenim rotacijom pravokutnog trokuta oko osi koja sadrži jednu od krakova trokuta.
Kružnica koja zatvara stožac naziva se osnova . Vrh stožaste plohe naziva se vrh konus Segment koji povezuje vrh stošca sa središtem njegove baze naziva se visina konus Segmenti koji tvore stožastu plohu nazivaju se formiranje konus Os stošca je ravna linija koja prolazi vrhom stošca i središtem njegove baze. Aksijalni presjek naziva se presjek koji prolazi kroz os stošca. Razvoj bočne površine Stožac se naziva sektor, čiji je polumjer jednak duljini generatrixa stošca, a duljina luka sektora jednaka je opsegu baze stošca.
Ispravne formule za stožac su:
Gdje R– radijus baze;
H- visina;
l– duljina generatrise;
S baza– osnovna površina;
S strana
S puna
V– volumen stošca.
Krnji stožac zove se dio stošca zatvoren između baze i sječne ravnine paralelne s osnovicom stošca (slika 35).
 |
Krnji stožac možemo smatrati tijelom dobivenim rotacijom pravokutnog trapeza oko osi koja sadrži stranicu trapeza okomitu na osnovice.
Dvije kružnice koje zatvaraju stožac nazivaju se njegovim razloga . Visina krnjeg stošca je udaljenost njegovih baza. Segmenti koji tvore konusnu plohu krnjeg stošca nazivaju se formiranje . Pravac koji prolazi središtima baza naziva se os krnji stožac. Aksijalni presjek naziva se presjek koji prolazi kroz os krnjeg stošca.
Za krnji stožac ispravne formule su:
(8)
Gdje R– radijus donje baze;
r– radijus gornje baze;
H– visina, l – duljina generatrise;
S strana– površina bočne površine;
S puna– ukupna površina;
V– volumen krnjeg stošca.
Primjer 1. Presjek stošca paralelan s osnovicom dijeli visinu u omjeru 1:3, računajući od vrha. Nađite bočnu površinu krnjeg stošca ako su polumjer baze i visina stošca 9 cm i 12 cm.
Riješenje. Napravimo crtež (slika 36).
Za izračun površine bočne površine krnjeg stošca koristimo formulu (8). Nađimo polumjere baza Oko 1 A I Oko 1 V i formiranje AB.
Promotrimo slične trokute SO2B I SO 1 A, koeficijent sličnosti, dakle 
Odavde 
Od tad 
Bočna površina krnjeg stošca jednaka je:
Odgovor: .
Primjer 2.Četvrtina kruga radijusa presavijena je u stožastu plohu. Odredi polumjer baze i visinu stošca.
Riješenje. Kvadrant kruga je razvoj bočne površine stošca. Označimo r– radijus njegove baze, H – visina. Izračunajmo bočnu površinu pomoću formule: . Jednaka je površini četvrtine kruga: . Dobivamo jednadžbu s dvije nepoznanice r I l(tvoreći stožac). U ovom slučaju, generatrix je jednak polumjeru četvrtine kruga R, što znači da dobivamo sljedeću jednadžbu: , odakle Poznavajući radijus baze i generatora, nalazimo visinu stošca:
Odgovor: 2 cm, .
Primjer 3. Pravokutni trapez s šiljastim kutom 45 O, manjom osnovicom 3 cm i nagnutom stranicom jednakom , rotira oko stranice okomite na osnovice. Nađite obujam dobivenog rotacijskog tijela.
Riješenje. Napravimo crtež (slika 37).
Kao rezultat rotacije dobivamo krnji konus; izračunavamo polumjer veće baze i visinu. U trapezu O 1 O 2 AB dirigirat ćemo AC^O 1 B. B imamo: to znači da je ovaj trokut jednakokračan A.C.=prije Krista=3 cm.
Odgovor:
Primjer 4. Trokut sa stranicama 13 cm, 37 cm i 40 cm rotira oko vanjske osi koja je paralelna s većom stranicom i udaljena je od nje 3 cm (os se nalazi u ravnini trokuta). Pronađite površinu rezultirajućeg tijela revolucije.
Riješenje
.
Napravimo crtež (slika 38).
Ploha dobivenog rotacijskog tijela sastoji se od bočnih ploha dvaju krnjih stožaca i bočne plohe valjka. Da bi se izračunale ove površine, potrebno je znati polumjere baza stožaca i valjka ( BITI I O.C.), formiranje stožaca ( prije Krista I A.C.) i visinu cilindra ( AB). Jedina nepoznanica je CO. 
ovo je udaljenost od stranice trokuta do osi rotacije. Naći ćemo DC. Površina trokuta ABC na jednoj stranici jednaka je umnošku polovice stranice AB i na nju povučene visine DC, s druge strane, znajući sve stranice trokuta, izračunavamo njegovu površinu pomoću Heronove formule.
Uvod
Riža. 1. Predmeti iz života koji imaju oblik usječenog ko-nu-sa
Što mislite odakle dolaze nove figure u geometriji? Sve je vrlo jednostavno: osoba u životu ima slične predmete i dolazi, kao da ih zove. Pogledajmo ormarić na kojem sjede lavovi u cirkusu, komadić mrkve koji se bere kad smo upravo - dio toga, aktivni vulkan i, primjerice, svjetlo iz fo-na-ri-a. ka (vidi sliku 1).
Krnji stožac, njegovi elementi i osni presjek
Riža. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry
Vidimo da su sve ove figure sličnog oblika - i odozdo i odozgo su omeđene kružićima, ali se sužavaju prema vrhu (vidi sl. 2).
Riža. 3. Iz gornjeg dijela ko-nu-sa
Izgleda kao stožac. Samo nedovoljno tajne. Mentalno zamislimo da uzmemo stožac i jednim zamahom oštrog mača skinemo s njega gornji dio (vidi sl. 3).
Riža. 4. Krnji stožac
To je upravo naš lik; naziva se krnji stožac (vidi sliku 4).
Riža. 5. Se-che-nie, paralelno-os-no-va-niyu ko-nu-sa
Neka je dan stožac. Napravimo ravninu, paralelnu ravninu osi ovog ko-nu-sa i poprečni stožac (vidi sl. 5).
Ona će razdvojiti stožac na dva tijela: jedno od njih je stožac manje veličine, a drugo se naziva krnji stožac (vidi sliku 6).
Riža. 6. Dobivena tijela u paralelnom presjeku
Dakle, krnji stožac je dio stošca, povezan između njegovog glavnog tijela i paralelnog glavnog tijela, ali ravan. Kao i u slučaju stošca, krnji stožac može imati krug kao bazu - u ovom slučaju se zove krug. Ako je izvorni stožac bio ravan, tada se krnji stožac naziva ravnim. Kao i u slučaju ko-nu-sa-mi, pogledat ćemo tipke, ali ravne kružne skraćene ko-nu-s sy, ako nije posebno naznačeno da govorimo o neizravnom skraćenom ko-nu-se ili u njegovoj osnovi nema krugova.
Riža. 7. Rotacija pravokutne zamke
Naša globalna tema su rotacijska tijela. Krnji stožac nije iznimka! Podsjetimo se, da bismo dobili ko-nu-sa, smo-mat-ri-va-li pravokutni trokut i vrtili ga oko ka-te-ta? Ako se dobiveni stožac presječe ravninom paralelnom s osi, tada od trokuta -mo-ugljena zamka neće ostati ravna crta. Njegova rotacija oko manje stranice dat će nam krnji stožac. Napomenimo ponovno da je očito riječ samo o izravnom kružnom ko-nu-su (vidi sl. 7).
Riža. 8. Os-no-va-niya krnji-no-go ko-nu-sa
Napravit ću nekoliko priprema. Osnova polu-ko-nu-sa i kruga, pola-cha-yu-shay u dijelu ko-nu-sa stana, na- zovu os-no-va-ni-ya-mi skraćeno ko-nu-sa (donja i gornja) (vidi sl. 8).
Riža. 9. Ob-ra-zu-yu-schi skraćeni ko-nu-sa
Iz reznica ra-zu-yu-shih polovice co-nu-sa, povezanih između os-but-va-ni-mi skraćenog-but- go ko-nu-sa, nazivaju about-ra- zu-yu-schi-mi krnji-no-go ko-nu-sa. Budući da su svi obrazovni ishodi jednaki i da su svi obrazovni ishodi iz istog jednaki, onda su ob-ra-zu-yu krnji ko-nu-sa jednaki (nemojte brkati krnje i krnje!). Odavde slijedi jednakost tra-pe-cije osi presjeka (vidi sl. 9).
Od osi rotacije, zatvorene unutar krnje ko-nu-sa, zovu je os krnje osi ko-nu-sa. Ovo ponovno rezanje, ra-zu-me-et-sya, ujedinjuje središta svojih temelja (vidi sliku 10).
Riža. 10. Os krnjeg ko-nu-sa
You-so-ta skraćeni ko-nu-sa je per-pen-di-ku-lyar, pro-ve-den od točke jedne od os-no-va-niya do druge baze. Najčešće ste u kvaliteti vas skratili njegovu os.
Riža. 11. Ose-voe se-che-nie skraćeno-no-go-ko-nu-sa
Aksijalni presjek krnjeg ko-nu-sa je presjek koji prolazi kroz njegovu os. Ima oblik trapeza, malo kasnije ćemo pokazati njegovu jednakost (vidi sliku 11).
Površine bočne i ukupne plohe krnjeg stošca
Riža. 12. Stožac s uvedenim simbolima
Pronađimo područje bo-co-voya na vrhu skraćenog ko-nu-sa. Neka osnovice krnjeg ko-nu-sa imaju radijuse i , a ob-ra-zu-yu-shaya je jednak (vidi sliku 12).
Riža. 13. Oznaka ob-ra-zu-yu-shchi from-se-chen-no-th ko-nu-sa
Pronađimo područje bo-ko-voya na vrhu skraćenog co-nu-sa kao razliku u području bo-ko-voya na vrhu-ali- ste-khod-no-go ko-nu-sa i from-se-chen-no-go. Da bismo to učinili, označavamo kroz formiranje ko-nu-sa (vidi sl. 13).
Onda je-ko-svibanj.
Riža. 14. Slični trokuti
Sve što je preostalo je da to shvatite.
Napomenimo da od po-do-biy tri-corn-ni-kov, from-to-da (vidi sl. 14).
To bi se dalo izraziti dijeljenjem na razliku polumjera, ali to nam nije potrebno, jer je u ovom slučaju upravo fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de- nie. Zamjenom umjesto njega, konačno imamo: .
Sada nije teško dobiti oblik za cijelu površinu. Da biste to učinili, dodajte točno područje dvaju krugova baza: .
Zadatak
Riža. 15. Ilu-stracija za-da-che
Neka se krnji stožac okreće pravokutnom zamkom oko svoje visine. Srednja linija trapeza jednaka je , a veća stranica jednaka je (vidi sliku 15). Pronađite područje bo-co-voya na vrhu-no-sti skraćenog ko-nu-sa.
Riješenje
Iz formule to znamo 
.
Formiranje ko-nu-sa bit će velika sto-ro-on-going tra-pe-tion, odnosno Ra-di-u-sy ko-well-sa - to je osnova tra- pe-cija. Ne možemo ih pronaći. Ali ne treba nam: potreban nam je samo njihov zbroj, a zbroj osnovica trapeza dvostruko je veći od njegove središnje crte, odnosno jednak je . Zatim .
Sličnosti između krnjih stožaca i piramida
Obratite pažnju na činjenicu da kada govorimo o co-nu-se, govorimo o tome između njega i pi -ra-mi-doya - formule su bile analogne. Ovdje je isto, jer je krnji stožac vrlo sličan krnjem pi-ra-mi-du, tako da su formule za područje velike i potpune krnje ko-nu-sa i pi-ra-mi na vrhu, a ne na vrhu. -dy (a uskoro će biti i formule za volumen) analog-lo-gic- us.
Zadatak
Riža. 1. Ilu-strat-cija za-da-che
Ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa jednaki su i , a ob-ra-zu-yu-shchaya jednaki su . Pronađite skraćeni co-nu-sa i područje njegove osi (vidi sliku 1).
Koje izlaze iz jedne točke (vrha stošca) i koje prolaze kroz ravnu površinu.
Događa se da je stožac dio tijela koji ima ograničeni volumen i dobiva se kombiniranjem svakog segmenta koji povezuje vrh i točke ravne površine. Ovo posljednje, u ovom slučaju, jest baza stošca, a za stožac se kaže da počiva na ovoj bazi.
Kad je osnovica stošca mnogokut, to već jest piramida .
|
Kružni stožac- ovo je tijelo koje se sastoji od kružnice (baze stošca), točke koja ne leži u ravnini ove kružnice (vrha stošca i svih segmenata koji spajaju vrh stošca s točkama stošca). baza). Segmenti koji spajaju vrh stošca i točke osnovne kružnice nazivaju se tvoreći stožac. Ploha stošca sastoji se od baze i bočne plohe. |
Bočna površina je ispravna n-karbonska piramida upisana u stožac:
S n =½P n l n,
Gdje Pn- opseg baze piramide, i l n- apotema.
Po istom principu: za bočnu površinu krnjeg stošca s polumjerima baze R 1, R 2 i formiranje l dobivamo sljedeću formulu:
S=(R1 +R2)l.
Ravni i kosi kružni stošci jednake baze i visine. Ova tijela imaju isti volumen:
Svojstva stošca.
- Kada površina baze ima granicu, to znači da volumen stošca također ima granicu i jednak je trećini umnoška visine i površine baze.
Gdje S- osnovna površina, H- visina.
Dakle, svaki stožac koji počiva na ovoj osnovici i ima vrh koji se nalazi na ravnini paralelnoj s osnovicom ima jednak volumen jer su im visine iste.
- Težište svakog stošca s volumenom koji ima granicu nalazi se na četvrtini visine od baze.
- Prostorni kut pri vrhu pravog kružnog stošca može se izraziti sljedećom formulom:
Gdje α - kut otvaranja konusa.
- Bočna površina takvog konusa, formula:
i ukupne površine (to jest, zbroj površina bočne površine i baze), formula:
S=πR(l+R),
Gdje R— radijus baze, l— duljina generatrise.
- Volumen kružnog stošca, formula:
- Za krnji stožac (ne samo ravni ili kružni), volumen, formula:
Gdje S 1 I S 2- područje gornje i donje baze,
h I H- udaljenosti od ravnine gornje i donje baze do vrha.
- Sjecište ravnine s pravilnim kružnim stošcem jedan je od konika.
Geometrija je grana matematike koja proučava strukture u prostoru i odnose među njima. Zauzvrat, također se sastoji od odjeljaka, a jedan od njih je stereometrija. Uključuje proučavanje svojstava trodimenzionalnih figura smještenih u prostoru: kocka, piramida, lopta, stožac, cilindar itd.
Stožac je tijelo u euklidskom prostoru koje je omeđeno stožastom plohom i ravninom na kojoj leže krajevi njegovih generatora. Njegov nastanak događa se rotacijom pravokutnog trokuta oko bilo koje njegove katete, pa spada u rotacijska tijela.
Sastavni dijelovi stošca
Postoje sljedeće vrste čunjeva: kosi (ili nagnuti) i ravni. Kosi je onaj čija se os ne siječe sa središtem njegove baze pod pravim kutom. Zbog toga se visina u takvom stošcu ne poklapa s osi, jer je to segment koji je spušten od vrha tijela do ravnine njegove baze pod kutom od 90 °.
Stožac čija je os okomita na svoju osnovicu zove se ravnica. Os i visina u takvom geometrijskom tijelu podudaraju se zbog činjenice da se vrh u njemu nalazi iznad središta promjera baze.
Konus se sastoji od sljedećih elemenata:
- Krug koji je njegova baza.
- Bočna površina.
- Točka koja ne leži u ravnini baze naziva se vrhom stošca.
- Segmenti koji spajaju točke kružnice baze geometrijskog tijela i njegovog vrha.
Svi ti segmenti su generatori stošca. One su nagnute prema osnovici geometrijskog tijela, a kod pravog stošca njihove su projekcije jednake, jer je vrh jednako udaljen od točaka kružnice baze. Dakle, možemo zaključiti da su u pravilnom (ravnom) stošcu generatori jednaki, odnosno iste su duljine i tvore iste kutove s osi (ili visinom) i osnovkom.
Budući da je u kosom (ili nagnutom) tijelu rotacije vrh pomaknut u odnosu na središte ravnine baze, generatori u takvom tijelu imaju različite duljine i projekcije, budući da je svaki od njih na različitoj udaljenosti od bilo koje dvije točke krug baze. Osim toga, kutovi između njih i visine konusa također će biti različiti.
Duljina generatrisa u ravnom stošcu
Kao što je ranije napisano, visina u pravilnom geometrijskom tijelu rotacije je okomita na ravninu baze. Dakle, generatrisa, visina i polumjer baze stvaraju pravokutni trokut u stošcu.
Odnosno, znajući polumjer i visinu baze, koristeći formulu iz Pitagorine teoreme, možete izračunati duljinu generatrixa, koja će biti jednaka zbroju kvadrata polumjera i visine baze:
l 2 = r 2 + h 2 ili l = √r 2 + h 2
gdje je l generator;
r - radijus;
h - visina.
Generator u kosom konusu
Na temelju činjenice da u kosom ili nagnutom konusu generatori nemaju istu duljinu, neće ih biti moguće izračunati bez dodatnih konstrukcija i proračuna.
Prije svega, morate znati visinu, duljinu osi i polumjer baze.
r 1 = √k 2 - h 2
gdje je r 1 dio polumjera između osi i visine;
k - duljina osi;
h - visina.
Kao rezultat zbrajanja polumjera (r) i njegovog dijela koji leži između osi i visine (r 1), možete saznati potpunu generiranu generatrisu stošca, njegovu visinu i dio promjera:
gdje je R krak trokuta kojeg čine visina, generator i dio promjera baze;
r - radijus baze;
r 1 - dio polumjera između osi i visine.
Koristeći istu formulu iz Pitagorine teoreme, možete pronaći duljinu generatrixa stošca:
l = √h 2 + R 2
ili, bez zasebnog izračunavanja R, kombinirajte dvije formule u jednu:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Bez obzira na to je li stožac ravan ili kos te koji su ulazni podaci, sve metode za pronalaženje duljine generatrise uvijek se svode na jedan rezultat - korištenje Pitagorinog poučka.
Konusni presjek
Aksijalna je ravnina koja prolazi duž njegove osi ili visine. U ravnom stošcu takav presjek je jednakokračni trokut, u kojem je visina trokuta visina tijela, stranice su mu generatori, a baza je promjer baze. Kod jednakostraničnog geometrijskog tijela, osni presjek je jednakostranični trokut, jer su u ovom stošcu promjer baze i generatori jednaki.
Ravnina osnog presjeka pravog stošca je ravnina njegove simetrije. Razlog tome je što se njegov vrh nalazi iznad središta baze, odnosno ravnina aksijalnog presjeka dijeli stožac na dva identična dijela.
Budući da se visina i os ne podudaraju u nagnutom volumetrijskom tijelu, ravnina aksijalne presjeke možda neće uključivati visinu. Ako se u takvom stošcu može konstruirati mnogo osnih presjeka, budući da za to mora biti ispunjen samo jedan uvjet - mora prolaziti samo kroz os, tada se osni presjek ravnine kojoj će pripadati visina tog stošca može nacrtati samo jedan, jer se broj uvjeta povećava, a, kao što je poznato, dvije ravne (zajedno) mogu pripadati samo jednoj ravnini.
Poprečni presjek područja
Prethodno spomenuti osni presjek stošca je trokut. Na temelju toga, njegova se površina može izračunati pomoću formule za površinu trokuta:
S = 1/2 * d * h ili S = 1/2 * 2r * h
gdje je S površina poprečnog presjeka;
d - promjer baze;
r - radijus;
h - visina.
U kosom ili kosom stošcu presjek po osi također je trokut, pa se površina presjeka u njemu izračunava na sličan način.
Volumen
Budući da je stožac trodimenzionalni lik u trodimenzionalnom prostoru, njegov volumen se može izračunati. Volumen stošca je broj koji karakterizira ovo tijelo u jedinici volumena, odnosno u m3. Izračun ne ovisi o tome je li ravno ili koso (koso), budući da se formule za ove dvije vrste tijela ne razlikuju.
Kao što je ranije rečeno, formiranje pravog stošca nastaje zbog rotacije pravokutnog trokuta duž jedne od njegovih nogu. Nagnuti ili kosi stožac formira se drugačije, jer je njegova visina pomaknuta od središta ravnine baze tijela. Ipak, takve razlike u strukturi ne utječu na metodu izračuna njegovog volumena.
Izračun volumena
Svaki stožac izgleda ovako:
V = 1/3 * π * h * r 2
gdje je V volumen stošca;
h - visina;
r - radijus;
π je konstanta jednaka 3,14.
Da biste izračunali visinu tijela, morate znati polumjer baze i duljinu njezine generatrise. Budući da su polumjer, visina i generator spojeni u pravokutni trokut, visina se može izračunati pomoću formule iz Pitagorinog poučka (a 2 + b 2 = c 2 ili u našem slučaju h 2 + r 2 = l 2, gdje je l je generator). Visina će se izračunati uzimanjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka:
a = √c 2 - b 2
To jest, visina konusa bit će jednaka vrijednosti dobivenoj nakon uzimanja kvadratnog korijena razlike između kvadrata duljine generatrixa i kvadrata polumjera baze:
h = √l 2 - r 2
Izračunavanjem visine ovom metodom i znajući radijus njegove baze, možete izračunati volumen stošca. Generator u ovom slučaju igra važnu ulogu, jer služi kao pomoćni element u izračunima.
Slično, ako su poznata visina tijela i duljina njegove generatrise, može se saznati polumjer njegove baze uzimanjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata generatrise i kvadrata visine:
r = √l 2 - h 2
Zatim, koristeći istu formulu kao gore, izračunajte volumen stošca.
Volumen kosog stošca
Budući da je formula za volumen stošca ista za sve vrste rotacijskih tijela, razlika u njezinom izračunu je traženje visine.
Da bi se saznala visina kosog stošca, ulazni podaci moraju sadržavati duljinu generatrise, polumjer baze i udaljenost između središta baze i sjecišta visine tijela s ravninom. svoje baze. Znajući to, lako možete izračunati onaj dio promjera baze koji će biti osnovica pravokutnog trokuta (formiranog visinom, generatrisom i ravninom baze). Zatim, opet koristeći Pitagorin poučak, izračunajte visinu stošca, a potom i njegov volumen.
Riža. 1. Predmeti iz života koji imaju oblik krnjeg stošca
Što mislite odakle dolaze novi oblici u geometriji? Sve je vrlo jednostavno: osoba u životu nailazi na slične predmete i smišlja im ime. Razmotrimo stalak na kojemu sjede lavovi u cirkusu, komad mrkve koji se dobije kada ga odrežemo samo dio, aktivni vulkan i, na primjer, svjetlo svjetiljke (vidi sl. 1).
Riža. 2. Geometrijski oblici
Vidimo da su sve ove figure sličnog oblika - i odozdo i odozgo su ograničene krugovima, ali se sužavaju prema gore (vidi sl. 2).
Riža. 3. Odsijecanje vrha konusa
Izgleda kao stožac. Gornji dio samo nedostaje. Zamislimo mentalno da uzmemo stožac i jednim zamahom oštrog mača odsječemo mu gornji dio (vidi sl. 3).
Riža. 4. Krnji stožac
Rezultat je upravo naša figura, zove se krnji stožac (vidi sliku 4).
Riža. 5. Odsjek paralelan s bazom stošca
Neka je dan stožac. Nacrtajmo ravninu paralelnu s ravninom baze ovog stošca i siječe stožac (vidi sliku 5).
Ona će razdvojiti stožac na dva tijela: jedno od njih je manji stožac, a drugo se zove krnji stožac (vidi sliku 6).
Riža. 6. Dobivena tijela s paralelnim presjekom
Dakle, krnji stožac je dio stošca zatvoren između njegove baze i ravnine paralelne s osnovicom. Kao i kod stošca, krnji stožac može imati krug u svojoj osnovi, u kojem slučaju se naziva kružnim. Ako je izvorni stožac bio ravan, tada se krnji stožac naziva ravnim. Kao i kod stožaca, smatrat ćemo isključivo ravne kružne krnje stošce, osim ako nije posebno navedeno da je riječ o neizravnom krnjem stošcu ili da njegove baze nisu kružnice.
Riža. 7. Rotacija pravokutnog trapeza
Naša globalna tema su rotacijska tijela. Krnji stožac nije iznimka! Sjetimo se da smo za dobivanje stošca razmatrali pravokutni trokut i rotirali ga oko kraka? Ako se dobiveni konus presječe ravninom paralelnom s bazom, tada će trokut ostati pravokutni trapez. Njegova rotacija oko manje stranice dat će nam krnji stožac. Napomenimo opet da je, naravno, riječ samo o ravnom kružnom stošcu (vidi sl. 7).
Riža. 8. Osnovice krnjeg stošca
Napravimo nekoliko komentara. Osnovica punog stošca i kružnica nastala presjekom stošca ravninom nazivaju se osnovke krnjeg stošca (donja i gornja) (vidi sliku 8).
Riža. 9. Generatori krnjeg stošca
Segmenti generatora potpunog stošca, zatvoreni između baza krnjeg stošca, nazivaju se generatori krnjeg stošca. Kako su svi generatori izvornog stošca jednaki i svi generatori odsječenog stošca su jednaki, onda su i generatori krnjeg stošca jednaki (nemojte brkati odsječeni i odrezani!). To znači da je osni presjek trapeza jednakokračan (vidi sliku 9).
Segment osi rotacije zatvoren unutar krnjeg stošca naziva se os krnjeg stošca. Ovaj segment, naravno, povezuje središta svojih baza (vidi sl. 10).
Riža. 10. Os krnjeg stošca
Visina krnjeg stošca je okomica povučena iz točke jedne osnovke na drugu osnovku. Najčešće se visina krnjeg stošca smatra njegovom osi.
Riža. 11. Osni presjek krnjeg stošca
Osni presjek krnjeg stošca je presjek koji prolazi kroz njegovu os. Ima oblik trapeza; malo kasnije ćemo dokazati da je jednakokračan (vidi sliku 11).
Riža. 12. Stožac s uvedenim oznakama
Nađimo površinu bočne površine krnjeg stošca. Neka osnovice krnjeg stošca imaju radijuse i , a generatrisa je jednaka (vidi sliku 12).
Riža. 13. Oznaka generatrise odsječenog stošca
Nađimo površinu bočne površine krnjeg stošca kao razliku između površina bočnih površina izvornog stošca i odsječenog stošca. Da bismo to učinili, označimo s generatrisom odsječeni stožac (vidi sliku 13).
Onda ono što tražite.
Riža. 14. Slični trokuti
Ostaje samo izraziti.
Primijetite da iz sličnosti trokuta, odakle (vidi sl. 14).
Bilo bi moguće izraziti , dijeleći s razlikom polumjera, ali to nam nije potrebno jer se umnožak koji tražimo pojavljuje u željenom izrazu. Zamjenom , konačno imamo: .
Sada je lako dobiti formulu za ukupnu površinu. Da biste to učinili, samo dodajte površinu dva kruga baza: .
Riža. 15. Ilustracija za zadatak
Neka je krnji stožac dobiven rotacijom pravokutnog trapeza oko njegove visine. Srednja linija trapeza jednaka je , a velika bočna stranica jednaka je (vidi sliku 15). Pronađite bočnu površinu rezultirajućeg krnjeg stošca.
Riješenje
Iz formule to znamo 
.
Generatrisa stošca bit će veća stranica izvornog trapeza, odnosno polumjeri stošca su osnovice trapeza. Ne možemo ih pronaći. Ali ne treba nam: potreban nam je samo njihov zbroj, a zbroj osnovica trapeza dvostruko je veći od njegove središnje crte, odnosno jednak je . Zatim .
Imajte na umu da kada smo govorili o stošcu, povukli smo paralele između njega i piramide - formule su bile slične. I ovdje je tako, jer je krnji stožac vrlo sličan krnjoj piramidi, pa su formule za površine bočnih i ukupnih ploha krnjeg stošca i piramide (a uskoro će postojati i formule za volumen) slične.
Riža. 1. Ilustracija za problem
Polumjeri baza krnjeg stošca jednaki su i , a generatrisa je jednaka . Pronađite visinu krnjeg stošca i područje njegovog aksijalnog presjeka (vidi sliku 1).