Definiranje likova na koordinatnoj ravnini pomoću jednadžbi i nejednadžbi. Definiranje likova na koordinatnoj ravnini pomoću jednadžbi i nejednakosti Kako prikazati skup na koordinatnoj ravnini

Često je potrebno na koordinatnoj ravnini prikazati skup rješenja nejednadžbe s dvije varijable. Rješenje nejednakosti u dvije varijable je par vrijednosti tih varijabli koji nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost.

2u+ Zx< 6.

Prvo, konstruirajmo ravnu liniju. Da bismo to učinili, nejednadžbu napišemo u obliku jednadžbe 2u+ Zx = 6 i izraziti g. Dakle, dobivamo: y=(6-3x)/2.

Ova linija dijeli skup svih točaka koordinatne ravnine na točke koje se nalaze iznad nje i točke koje se nalaze ispod nje.

Uzmite meme iz svakog područja kontrolna točka, na primjer A (1;1) i B (1;3)

Koordinate točke A zadovoljavaju ovu nejednakost 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Koordinate točke B Ne zadovoljavaju ovu nejednakost 2∙3 + 3∙1< 6.

Budući da ova nejednakost može promijeniti predznak na pravoj liniji 2y + 3x = 6, tada je nejednakost zadovoljena skupom točaka u području u kojem se nalazi točka A. Osjenčajmo ovo područje.

Dakle, prikazali smo skup rješenja nejednadžbe 2g + 3x< 6.

Primjer

Oslikajmo skup rješenja nejednadžbe x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 na koordinatnoj ravnini.

Najprije izgradimo graf jednadžbe x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 = 0. Odvojimo jednadžbu kruga u ovoj jednadžbi: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) = 4, ili (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 2 2 .

Ovo je jednadžba kružnice sa središtem u točki 0 (-1; 2) i polumjerom R = 2. Konstruirajmo ovu kružnicu.

Kako je ova nejednakost stroga i točke koje leže na samoj kružnici ne zadovoljavaju nejednakost, konstruiramo kružnicu točkastom linijom.

Lako je provjeriti da koordinate središta O kružnice ne zadovoljavaju ovu nejednakost. Izraz x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 mijenja predznak na konstruiranoj kružnici. Tada nejednakost zadovoljavaju točke koje se nalaze izvan kruga. Ove točke su osjenčane.

Primjer

Oslikajmo na koordinatnoj ravnini skup rješenja nejednadžbe

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Prvo, izgradimo graf jednadžbe (y - x 2)(y - x - 3) = 0. To je parabola y = x 2 i ravna linija y = x + 3. Izgradimo ove linije i primijetimo da promjena predznaka izraza (y - x 2)(y - x - 3) događa se samo na ovim linijama. Za točku A (0; 5) odredimo predznak ovog izraza: (5- 3) > 0 (tj. ova nejednakost ne vrijedi). Sada je lako označiti skup točaka za koje je ta nejednakost zadovoljena (ta su područja osjenčana).

Algoritam za rješavanje nejednadžbi s dvije varijable

1. Svedimo nejednadžbu na oblik f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Napiši jednakost f (x; y) = 0

3. Prepoznajte grafikone napisane s lijeve strane.

4. Gradimo ove grafove. Ako je nejednakost stroga (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), zatim - crticama, ako nejednakost nije stroga (f (x; y) ≤ 0 ili f (x; y) ≥ 0), zatim - punom linijom.

5. Odredite na koliko je dijelova grafike podijeljena koordinatna ravnina

6. Odaberite jedan od ovih dijelova kontrolna točka. Odredite predznak izraza f (x; y)

7. Postavljamo znakove u drugim dijelovima ravnine, uzimajući u obzir izmjenu (kao koristeći metodu intervala)

8. Odaberemo potrebne dijelove prema predznaku nejednadžbe koju rješavamo i osjenčamo

Neka se da jednadžba s dvije varijable F(x; y). Već ste se upoznali s načinima analitičkog rješavanja takvih jednadžbi. Mnoga rješenja takvih jednadžbi mogu se prikazati u obliku grafikona.

Graf jednadžbe F(x; y) je skup točaka na koordinatnoj ravnini xOy čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu.

Da biste grafički prikazali jednadžbe u dvije varijable, prvo izrazite varijablu y u jednadžbi u smislu varijable x.

Sigurno već znate graditi razne grafove jednadžbi s dvije varijable: ax + b = c – pravac, yx = k – hiperbola, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – kružnica čiji je polumjer jednak je R, a središte je u točki O(a; b).

Primjer 1.

Grafički nacrtajte jednadžbu x 2 – 9y 2 = 0.

Riješenje.

Faktorizirajmo lijevu stranu jednadžbe.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, odnosno y = x/3 ili y = -x/3.

Odgovor: Slika 1.

Posebno mjesto zauzima definiranje likova na ravnini s jednadžbama koje sadrže predznak apsolutne vrijednosti, na čemu ćemo se detaljnije zadržati. Razmotrimo faze konstruiranja grafova jednadžbi oblika |y| = f(x) i |y| = |f(x)|.

Prva jednadžba je ekvivalentna sustavu

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ili y = -f(x).

Odnosno, njegov se graf sastoji od grafova dviju funkcija: y = f(x) i y = -f(x), gdje je f(x) ≥ 0.

Da biste nacrtali drugu jednadžbu, nacrtajte dvije funkcije: y = f(x) i y = -f(x).

Primjer 2.

Grafički nacrtajte jednadžbu |y| = 2 + x.

Riješenje.

Zadana jednadžba je ekvivalentna sustavu

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 ili y = -x – 2.

Gradimo mnogo točaka.

Odgovor: Slika 2.

Primjer 3.

Nacrtajte jednadžbu |y – x| = 1.

Riješenje.

Ako je y ≥ x, tada je y = x + 1, ako je y ≤ x, tada je y = x – 1.

Odgovor: Slika 3.

Prilikom konstruiranja grafova jednadžbi koje sadrže varijablu pod znakom modula, prikladno je i racionalno koristiti metoda područja, koji se temelji na dijeljenju koordinatne ravnine na dijelove u kojima svaki submodularni izraz zadržava svoj predznak.

Primjer 4.

Grafički nacrtajte jednadžbu x + |x| + y + |y| = 2.

Riješenje.

U ovom primjeru, predznak svakog submodularnog izraza ovisi o koordinatnom kvadrantu.

1) U prvoj koordinatnoj četvrtini x ≥ 0 i y ≥ 0. Nakon proširenja modula zadana jednadžba će izgledati ovako:

2x + 2y = 2, a nakon pojednostavljenja x + y = 1.

2) U drugoj četvrtini, gdje je x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) U trećoj četvrtini x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) U četvrtoj četvrtini, kada je x ≥ 0, i y< 0 получим, что x = 1.

Nacrtat ćemo ovu jednadžbu po četvrtinama.

Odgovor: Slika 4.

Primjer 5.

Nacrtaj skup točaka čije koordinate zadovoljavaju jednakost |x – 1| + |y – 1| = 1.

Riješenje.

Nule submodularnih izraza x = 1 i y = 1 dijele koordinatnu ravninu na četiri područja. Razdvojimo module po regijama. Posložimo to u obliku tablice.

Regija
Submodularni izrazni znak
Rezultirajuća jednadžba nakon proširenja modula
ja x ≥ 1 i y ≥ 1 x + y = 3
II x< 1 и y ≥ 1 -x + y = 1
III x< 1 и y < 1 x + y = 1
IV x ≥ 1 i y< 1 x – y = 1

Odgovor: Slika 5.

Na koordinatnoj ravnini mogu se odrediti likovi i nejednakosti.

Grafikon nejednakosti s dvije varijable je skup svih točaka koordinatne ravnine čije su koordinate rješenja ove nejednadžbe.

Razmotrimo algoritam za konstruiranje modela za rješavanje nejednadžbi s dvije varijable:

  1. Napiši jednadžbu koja odgovara nejednadžbi.
  2. Grafički nacrtajte jednadžbu iz koraka 1.
  3. Odaberite proizvoljnu točku u jednoj od poluravnina. Provjerite zadovoljavaju li koordinate odabrane točke tu nejednakost.
  4. Nacrtaj grafički skup svih rješenja nejednadžbe.

Razmotrimo prvo nejednadžbu ax + bx + c > 0. Jednadžba ax + bx + c = 0 definira ravnu liniju koja ravninu dijeli na dvije poluravnine. U svakoj od njih funkcija f(x) = ax + bx + c zadržava svoj predznak. Za određivanje tog predznaka dovoljno je uzeti bilo koju točku koja pripada poluravnini i izračunati vrijednost funkcije u toj točki. Ako se predznak funkcije podudara s predznakom nejednadžbe, tada će ova poluravnina biti rješenje nejednadžbe.

Pogledajmo primjere grafičkih rješenja najčešćih nejednadžbi s dvije varijable.

1) ax + bx + c ≥ 0. Slika 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Slika 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Slika 8.

4) y ≥ x 2 . Slika 9.

5) xy ≤ 1. Slika 10.

Ako imate pitanja ili želite vježbati crtanje na modelu ravnine skupova svih rješenja nejednadžbi u dvije varijable pomoću matematičkog modeliranja, možete provesti besplatna lekcija od 25 minuta s online učiteljem nakon što se registrirate. Za nastavak rada s učiteljem imat ćete priliku odabrati tarifni plan koji vam odgovara.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako nacrtati lik na koordinatnoj ravnini?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Nazovimo (x, y) naručeni par, i x I na– komponente ovog para. Pritom se vjeruje da (X 1 na 1 ) = (x 2 .g 2 ), ako je x 1 = x 2 i na 1 = na 2 .

__________________________________________________________________

Definicija 9. Kartezijev produkt skupova A i B je skup AB, čiji su svi elementi parovi (x, y) tako da je xAh, daB, tj. AB = ((x,y)/xAh, daU).

_____________________________________________________________________________________________

Nađimo, na primjer, Kartezijev proizvod skupova A = (1,3} I B = (2,4,6).

AU= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

Operacija kojom se pronalazi Kartezijev produkt naziva se Kartezijevo množenje skupova.

Kartezijevo množenje skupova nema ni svojstvo komutativnosti ni svojstvo asocijativnosti, već je povezano s operacijama unije i oduzimanja skupova distributivnim svojstvima:

za bilo koje setove A, B, C vrijede sljedeće jednakosti:

(AU)C = (AS)(US),

(A\B)S= (AC)\(BS).

Za vizualni prikaz kartezijevog umnoška numeričkih skupova često se koristi pravokutni koordinatni sustav.

Neka A I U - numerički skupovi. Tada će elementi kartezijevog umnoška ovih skupova biti poredani parovi brojeva. Prikazujući svaki par brojeva kao točku na koordinatnoj ravnini, dobivamo lik koji će vizualno predstavljati Kartezijev produkt skupova A I U.

Prikažimo Kartezijev produkt skupova na koordinatnoj ravnini A I U, Ako:

a) A = {2, 6}; B ={1,4}, b) A = (2,6}; U= , V) A = ;B =.

U slučaju a) zadani skupovi su konačni i elementi Kartezijevog produkta se mogu nabrojiti.

AB ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Konstruirajmo koordinatne osi i na osi OH označiti elemente skupa A, i na osi OU - elementi skupa U. Zatim prikazujemo svaki par brojeva u skupu AB točkama na koordinatnoj ravnini (slika 7). Dobiveni lik od četiri točke jasno će predstavljati Kartezijev umnožak ovih skupova A I U.

U slučaju b) nemoguće je navesti sve elemente Kartezijevog produkta skupova jer gomila U– beskonačno, ali možemo zamisliti proces nastanka ovog Kartezijevog umnoška: u svakom paru prva komponenta je ili 2 , ili 6 , a druga komponenta je realan broj iz intervala .

Svi parovi čija je prva komponenta broj 2 , a drugi pokreće vrijednost iz 1 prije 4 uključivo, predstavljeni su točkama segmenta SD, te parovi čija je prva komponenta broj 6 , a sekunda je bilo koji realni broj iz intervala , – točke segmenta RS (slika 8). Dakle, u slučaju b) Kartezijev produkt skupova A I U prikazan na koordinatnoj ravnini kao segment SD I RS.

Riža. 7 sl. 8 sl. 9

Slučaj c) razlikuje se od slučaja b) po tome što je ovdje ne samo skup beskonačan U, ali i mnoge A, Zato, prva komponenta parova koji pripadaju skupu AU, je bilo koji broj iz intervala . Točke koje predstavljaju elemente Kartezijevog produkta skupova A I U, oblikuju kvadrat SDEL (slika 9). Kako bismo naglasili da su elementi Kartezijevog umnoška predstavljeni točkama kvadrata, on se može osjenčati.

Kontrolna pitanja

    Pokažite da rješavanje sljedećih problema vodi do formiranja Kartezijevog produkta skupova:

a) Zapiši sve razlomke čiji je brojnik broj iz skupa A ={3, 4} , a nazivnik je broj iz skupa B = (5,6, 7}.

b) Napiši razne dvoznamenkaste brojeve pomoću brojeva 1, 2, 3, 4.

    Dokažite to za bilo koje skupove A, B, C jednakost je istinita (AU)S = (AS)(US). Ilustrirajte njegovu izvedivost za skupove A= {2, 4, 6}, B=(1,3, 5), C = (0, 1).

    Koju figuru tvore točke na koordinatnoj ravnini ako su njihove koordinate elementi Kartezijevog produkta skupova A= (– 3, 3) i U= R

    Odredite kartezijev produkt kojih skupova A I U prikazano na slici 10.

Riža. 10

Vježbe

112. Zapiši sve dvoznamenkaste brojeve čije desetice pripadaju skupu A= {1, 3, 5} , a znamenke jedinica - na skup B = (2,4,6).

113. Napiši sve razlomke čiji su brojnici odabrani iz skupa A= (3,5, 7}, a nazivnik je iz skupa B={4, 6, 8}.

114. Napiši sve pravilni razlomci, čiji su brojnici odabrani iz skupa A =(3, 5,7), a nazivnik je iz skupa B= (4, 6,8}.

115. Zadani skupovi P ={1, 2, 3}, K= (a,b}. Pronađite sve kartezijeve produkte skupova RDO I KR.

116. Poznato je da AU= ((1, 2); (3, 2); (1, 4); (3, 4); (1, 6); (3, 6)). Odredite od kojih se elemenata skupovi sastoje A I U.

117. Zapiši skupove (AU)S I A(US) prijenos pare , Ako A=(A,b}, B = {3}, C={4, 6}

118. Napravite setove AB, BA, Ako:

a )A = (a,b,s),V=(d},

b) A = { a, b}, B = ,

V) A= (t, n,k), B = A,

G) A = { x, g, z}, B = { k, n}

119. Poznato je da AB = ((2.3), (2.5), (2.6), (3.3), (3.5), (3.6)). Odredite od kojih se elemenata skupovi sastoje A I U.

120. Nađite Kartezijev produkt skupova A = {5, 9, 4} I U= {7, 8, 6} i odaberite iz njega podskup parova u kojima:

a) prva komponenta je veća od druge; b) prva komponenta je jednaka 5; c) druga komponenta je jednaka 7.

121. Nabrojite elemente koji pripadaju Kartezijevom produktu skupova A, B I S, Ako:

A) A = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, S= {1, 0};

b) A = B= S= {2, 3};

V) A= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C =

122. Nacrtajte na koordinatnu ravninu elemente Kartezijevog produkta skupova A i B, Ako:

A) A = (x/x N,2 < x< 4}, U= (x/x N, x< 3};

b) A = (x/x R, 2 < х < 4}, В = {х/х N, x< 3};

V) A= ; U= .

123. Svi elementi Kartezijevog umnoška dva skupa A I B prikazuju se točkama u pravokutnom koordinatnom sustavu. Zapiši skupove A I U(slika 11).

Riža. 13

124. Nacrtajte na koordinatnu ravninu elemente Kartezijevog produkta skupova X i Y ako je:

A) H=(–1,0, 1,2),Y={2, 3,4};

b) H=(–1,0, 1,2),Y=;

V) X = [–1;2],Y = {2, 3, 4};

G) x= , Y = ;

d) x = [–3; 2], Y = ;

i) x = ]–3;2[, Y= R;

h) X=(2),Y= R;

I) X=R, Y = {–3}.

125. Slike prikazane na sl. 14 su rezultat slike na koordinatnoj ravnini Kartezijevog umnoška skupova X i Y. Označite te skupove za svaki lik.

Riža. 14

126. Odredite koji je Kartezijev produkt koja dva skupa prikazan na koordinatnoj ravnini kao poluravnina. Razmotrite sve slučajeve.

127. Odredite koji je Kartezijev produkt koja dva skupa prikazan na koordinatnoj ravnini u obliku pravog kuta koji nastaje sijekom koordinatnih osi.

128. Na koordinatnoj ravnini konstruiraj pravac paralelan s osi OH i prolazeći kroz točku R(–2, 3).

129. Na koordinatnoj ravnini konstruiraj pravac paralelan s osi OKOY i prolazeći kroz točku R(–2, 3). Odredite kartezijev produkt čija su dva skupa prikazana na koordinatnoj ravnini u obliku ove crte.

130. Na koordinatnoj ravnini konstruirajte traku omeđenu ravnim crtama koje prolaze kroz točke (–2, 0) I (2, 0) a paralelno s osi OKOY. Opišite skup točaka koje pripadaju ovoj traci.

131. Na koordinatnoj ravnini konstruiraj pravokutnik čiji su vrhovi točke A(–3, 5), U(–3, 8), S(7, 5), D (7, 8). Opišite skup točaka tog pravokutnika.

132. Na koordinatnoj ravnini konstruirajte skup točaka čije koordinate zadovoljavaju uvjet:

A) x R, g= 5;

b) x= –3, na R;

V) xR, |u| = 2;

G) | x| = 3, na R;

d) x R, g≥ 4;

e) x R, g 4;

i) xR, |u| 4;

h) | x| 4, |y| 3 ;

I) |x| ≥1, |y| ≥ 4;

Do) |x| ≥ 2, g R.

133. Na koordinatnoj ravnini nacrtajte elemente Kartezijevog produkta skupova x I Y, ako:

A) x = R, Y = {3}; b) x = R, Y = [–3; 3]; V) x = .

134. Konstruiraj lik F na koordinatnoj ravnini ako

A) F= ((x, y)| x = 2, y R}

b) F= ((x, y) |x R, u = –3);

V) F= ((x, y) | x2, g R};

G) F= ((x, y) | xDO,g≥ – 3};

d) F= ((x, y) | |x| = 2, y R};

e) F=((x,y) |x R, |u| = 3).

135. Konstruiraj pravokutnik s vrhovima u točkama (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Označite karakteristično svojstvo točaka koje pripadaju tom pravokutniku.

136. Na koordinatnoj ravnini konstruirajte pravce paralelne s osi OX koji prolaze kroz točke (2, 3) i (2, –1). Odredite Kartezijev produkt čija dva skupa je prikazan na koordinatnoj ravnini u obliku trake zatvorene između konstruiranih pravaca.

137. Na koordinatnoj ravnini konstruirajte pravce paralelne s osi OY i prolaze kroz točke (2, 3) i (–2, 3). Odredite Kartezijev produkt čija dva skupa je prikazan na koordinatnoj ravnini u obliku trake zatvorene između konstruiranih pravaca.

138. Nacrtaj skup u pravokutnom koordinatnom sustavu xY, Ako:

a) x = R; Y ={ gna R, |na| < 3},

b) x= {x/ x R, |x| > 2}; Y= (g/g R, |na| > 4}.

O temi ovog poglavlja, student bi trebao biti sposoban:

Specificirajte skupove na različite načine;

Uspostaviti odnose među skupovima i prikazati ih Euler-Vennovim dijagramima;

Dokazati jednakost dvaju skupova;

Izvodi skupovne operacije i geometrijski ih ilustrira koristeći Euler-Vennove dijagrame;

Podijeliti skup u klase pomoću jednog ili više svojstava; ocijeniti ispravnost izvršene klasifikacije.