http://:www.svkspb.nm.ru

Caractéristiques géométriques des sections plates

Carré: , dF - plateforme élémentaire.

Moment statique d'un élément de surfacedF par rapport à l'axe 0x
- produit de l'élément de surface par la distance "y" de l'axe 0x : dS x = ydF

Après avoir additionné (intégré) ces produits sur toute la surface de la figure, on obtient moments statiques par rapport aux axes y et x :
;
[cm 3, m 3, etc.].

Coordonnées du centre de gravité:
. Moments statiques relatifs axes centraux(les axes passant par le centre de gravité de la section) sont égaux à zéro. Lors du calcul des moments statiques d'une figure complexe, celle-ci est divisée en parties simples, avec des aires connues F i et les coordonnées des centres de gravité x i, y i. Le moment statique de l'aire de la figure entière = la somme de les moments statiques de chacune de ses parties :
.

Coordonnées du centre de gravité d'une figure complexe :

M.
Moments d'inertie de section

Axial(équatorial) moment d'inertie de la section- la somme des produits des aires élémentaires dF par les carrés de leurs distances à l'axe.

;
[cm 4, m 4, etc.].

Le moment d'inertie polaire d'une section par rapport à un certain point (pôle) est la somme des produits des aires élémentaires par les carrés de leurs distances à ce point.
; [cm 4, m 4, etc.]. J y + J x = J p .

Moment d'inertie centrifuge de la section- la somme des produits des aires élémentaires et de leurs distances à deux axes perpendiculaires entre eux.
.

Le moment d'inertie centrifuge de la section par rapport aux axes dont l'un ou les deux coïncident avec les axes de symétrie est égal à zéro.

Les moments d'inertie axiaux et polaires sont toujours positifs ; les moments d'inertie centrifuges peuvent être positifs, négatifs ou nuls.

Le moment d'inertie d'une figure complexe est égal à la somme des moments d'inertie de ses éléments constitutifs.

Moments d'inertie des sections de forme simple

P.
section rectangulaire Cercle

À


anneau

T
Triangle

R.
isofémoral

Rectangulaire

T
Triangle

H quart de cercle

J y =J x =0,055R 4

Jxy =0,0165R 4

En figue. (-)

Demi-cercle

M.

Les moments d'inertie des profilés standards se retrouvent à partir des tableaux d'assortiment :

D
vutavr Canal Coin

M.

Moments d'inertie autour des axes parallèles:

J. x1 = J x + une 2 F ;

J y1 =J y + b 2 F;

le moment d'inertie autour de n'importe quel axe est égal au moment d'inertie autour de l'axe central parallèle à celui donné, plus le produit de l'aire de la figure et le carré de la distance entre les axes. J y1x1 = J yx + abF; (« a » et « b » sont substitués dans la formule en tenant compte de leur signe).

Dépendance entre moments d'inertie lors de la rotation des axes:

J. x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2 ; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2 ;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Angle >0, si la transition de l'ancien système de coordonnées au nouveau se produit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. J y1 + J x1 = J y + J x

Les valeurs extrêmes (maximales et minimales) des moments d'inertie sont appelées principaux moments d'inertie. Les axes autour desquels les moments d'inertie axiaux ont des valeurs extrêmes sont appelés principaux axes d'inertie. Les principaux axes d'inertie sont perpendiculaires entre eux. Moments d'inertie centrifuges autour des axes principaux = 0, c'est-à-dire axes principaux d'inertie - axes autour desquels le moment d'inertie centrifuge = 0. Si l'un des axes coïncide ou les deux coïncident avec l'axe de symétrie, alors ce sont les principaux. Angle définissant la position des axes principaux :
, si  0 >0  les axes tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'axe maximum fait toujours un angle plus petit avec celui des axes par rapport auxquels le moment d'inertie a une plus grande valeur. Les axes principaux passant par le centre de gravité sont appelés principaux axes centraux d'inertie. Moments d'inertie autour de ces axes :

J max + J min = J x + J y . Le moment d'inertie centrifuge par rapport aux principaux axes centraux d'inertie est égal à 0. Si les principaux moments d'inertie sont connus, alors les formules de transition vers les axes de rotation sont :

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2  ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2  ; J x1y1 = (J max - J min) sin2 ;

Le but ultime du calcul des caractéristiques géométriques de la section est de déterminer les principaux moments centraux d'inertie et la position des principaux axes centraux d'inertie. R. rayon d'inertie -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Si J x et J y sont les principaux moments d'inertie, alors i x et i y - rayons d'inertie principaux. Une ellipse construite sur les rayons d'inertie principaux comme sur les demi-axes s'appelle ellipse d'inertie. En utilisant l'ellipse d'inertie, vous pouvez trouver graphiquement le rayon d'inertie i x1 pour n'importe quel axe x1. Pour ce faire, vous devez tracer une tangente à l'ellipse, parallèle à l'axe x1, et mesurer la distance de cet axe à la tangente. Connaissant le rayon d'inertie, vous pouvez trouver le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe x 1 :
. Pour les sections avec plus de deux axes de symétrie (par exemple : cercle, carré, anneau, etc.), les moments d'inertie axiaux autour de tous les axes centraux sont égaux entre eux, J xy = 0, l'ellipse d'inertie se transforme en un cercle d'inertie.

Moments de résistance.

Moment de résistance axial- le rapport du moment d'inertie autour de l'axe à la distance de celui-ci au point le plus éloigné de la section.
[cm 3, m 3]

Les moments de résistance par rapport aux principaux axes centraux sont particulièrement importants :

rectangle:
; cercle : W x =W y =
,

section tubulaire (anneau) : W x =W y =
, où = ré N / ré B .

Moment de résistance polaire - le rapport du moment d'inertie polaire à la distance du pôle au point le plus éloigné de la section :
.

Pour un cercle W р =
.

Le moment d'inertie axial (ou équatorial) d'une section par rapport à un certain axe est la somme des produits des aires élémentaires prises sur toute son aire F par les carrés de leurs distances à cet axe, c'est-à-dire

Le moment d'inertie polaire d'une section par rapport à un certain point (pôle) est la somme des produits des aires élémentaires prises sur toute son aire F par les carrés de leurs distances à ce point, c'est-à-dire

Le moment d'inertie centrifuge d'une section par rapport à deux axes perpendiculaires entre eux est la somme des produits des aires élémentaires prises sur toute son aire F et de leurs distances à ces axes, c'est-à-dire

Les moments d'inertie sont exprimés en, etc.

Les moments d'inertie axiaux et polaires sont toujours positifs, puisque leurs expressions sous les signes intégraux incluent les valeurs des aires (toujours positives) et les carrés des distances de ces aires à un axe ou pôle donné.

En figue. 9.5, a montre une coupe d'aire F et montre les axes y et z. Moments d'inertie axiaux de cette section par rapport aux axes y :

La somme de ces moments d'inertie

et donc

Ainsi, la somme des moments d'inertie axiaux d'une section par rapport à deux axes perpendiculaires entre eux est égale au moment d'inertie polaire de cette section par rapport au point d'intersection de ces axes.

Les moments d'inertie centrifuges peuvent être positifs, négatifs ou nuls. Par exemple, le moment d'inertie centrifuge de la section représentée sur la Fig. 9.5, a, par rapport aux axes y et est positif, puisque pour la partie principale de cette section, située dans le premier quadrant, les valeurs de , et donc, sont positives.

Si vous changez la direction positive de l'axe y ou la direction opposée (Fig. 9.5, b) ou si vous faites pivoter ces deux axes de 90° (Fig. 9.5, c), alors le moment d'inertie centrifuge deviendra négatif (son valeur absolue ne changera pas), puisque la partie principale de la section sera alors située dans un quadrant dont les coordonnées y sont positives et les coordonnées z sont négatives. Si vous changez les directions positives des deux axes en directions opposées, cela ne changera ni le signe ni l'amplitude du moment d'inertie centrifuge.

Considérons une figure symétrique par rapport à un ou plusieurs axes (Fig. 10.5). Traçons les axes de manière à ce qu'au moins l'un d'entre eux (dans ce cas, l'axe y) coïncide avec l'axe de symétrie de la figure. Dans ce cas, chaque plateforme située à droite de l'axe correspond à la même plateforme située symétriquement à la première, mais à gauche de l'axe y. Le moment d'inertie centrifuge de chaque paire de telles plates-formes situées symétriquement est égal à :

Ainsi,

Ainsi, le moment d'inertie centrifuge de la section par rapport aux axes dont l'un ou les deux coïncident avec ses axes de symétrie est égal à zéro.

Le moment d'inertie axial d'une section complexe par rapport à un certain axe est égal à la somme des moments d'inertie axiaux de ses éléments constitutifs par rapport au même axe.

De même, le moment d'inertie centrifuge d'une section complexe par rapport à deux axes quelconques perpendiculaires entre eux est égal à la somme des moments d'inertie centrifuges de ses éléments constitutifs par rapport aux mêmes axes. De plus, le moment d'inertie polaire d'une section complexe par rapport à un certain point est égal à la somme des moments d'inertie polaires de ses éléments constitutifs par rapport au même point.

Il convient de garder à l’esprit que les moments d’inertie calculés autour de différents axes et points ne peuvent être additionnés.

Lors du contrôle de la résistance de parties de structures, nous sommes confrontés à des sections de formes assez complexes, pour lesquelles il est impossible de calculer le moment d'inertie d'une manière aussi simple que celle que nous avons utilisée pour un rectangle et un cercle.

Une telle section pourrait être, par exemple, une barre en T (Fig. 5 UN) section annulaire d'une canalisation soumise à flexion (structures d'avion) ​​(Fig. 5, b), section annulaire du tourillon d'arbre ou encore sections plus complexes. Toutes ces sections peuvent être divisées en sections simples, telles que des rectangles, des triangles, des cercles, etc. On peut montrer que le moment d'inertie d'une figure aussi complexe est la somme des moments d'inertie des parties en lesquelles nous la divisons.

Figure 5. Sections de type T - a) et anneau b)

On sait que le moment d'inertie de toute figure par rapport à l'axe à— àégal à:

Où z— distance des plots élémentaires à l'axe à—à.

Divisons la zone prise en quatre parties : , , et . Désormais, lors du calcul du moment d'inertie, vous pouvez regrouper les termes dans la fonction intégrande afin d'effectuer séparément la sommation pour chacune des quatre zones sélectionnées, puis additionner ces sommes. Cela ne changera pas la valeur de l’intégrale.

Notre intégrale sera divisée en quatre intégrales, dont chacune couvrira l'un des domaines, et :

Chacune de ces intégrales représente le moment d'inertie de la partie correspondante de la zone par rapport à l'axe à— à; C'est pourquoi

où est le moment d'inertie autour de l'axe à — à zone, - idem pour la zone, etc.

Le résultat obtenu peut être formulé ainsi : le moment d'inertie d'une figure complexe est égal à la somme des moments d'inertie de ses éléments constitutifs. Ainsi, nous devons être capables de calculer le moment d'inertie de n'importe quelle figure par rapport à n'importe quel axe situé dans son plan.

La solution à ce problème réside dans le contenu de cet entretien et des deux entretiens suivants.

Moments d'inertie autour des axes parallèles.

La tâche consistant à obtenir les formules les plus simples pour calculer le moment d'inertie de n'importe quelle figure par rapport à n'importe quel axe sera résolue en plusieurs étapes. Si l'on prend une série d'axes parallèles entre eux, il s'avère que l'on peut facilement calculer les moments d'inertie d'une figure autour de n'importe lequel de ces axes, connaissant son moment d'inertie autour d'un axe passant par le centre de gravité de la figure. parallèlement aux axes choisis.

Fig. 1. Modèle de calcul pour déterminer les moments d'inertie pour les axes parallèles.

Nous appellerons les axes passant par le centre de gravité axes centraux. Prenons (Fig. 1) un chiffre arbitraire. Dessinons l'axe central UO, nous appellerons le moment d'inertie autour de cet axe . Traçons un axe dans le plan de la figure parallèle axes àà distance d'elle. Trouvons la relation entre et - le moment d'inertie autour de l'axe. Pour ce faire, nous allons écrire des expressions pour et . Divisons l'aire de la figure en zones ; les distances de chacune de ces plates-formes aux axes à et appelons et . Alors

De la figure 1, nous avons :

La première de ces trois intégrales est le moment d'inertie autour de l'axe central UO. Le second est le moment statique autour du même axe ; il est égal à zéro, puisque l'axe à passe par le centre de gravité de la figure. Enfin, la troisième intégrale est égale à l'aire de la figure F. Ainsi,

(1)

c'est-à-dire que le moment d'inertie autour de n'importe quel axe est égal au moment d'inertie autour de l'axe central parallèle à celui donné, plus le produit de l'aire de la figure et du carré de la distance entre les axes.

Cela signifie que notre tâche se réduit désormais à calculer uniquement les moments centraux d'inertie ; si nous les connaissons, nous pouvons calculer le moment d'inertie autour de n'importe quel autre axe. De la formule (1), il résulte que central le moment d'inertie est le plus petit parmi les moments d'inertie autour des axes parallèles et pour cela on obtient :

Trouvons également le moment d'inertie centrifuge autour des axes parallèles aux axes centraux, s'il est connu (Fig. 1). Puisque par définition

où : , alors il s'ensuit

Puisque les deux dernières intégrales représentent des moments statiques d’aire autour des axes centraux UO Et Oz puis ils disparaissent et donc :

(2)

Le moment d'inertie centrifuge par rapport à un système d'axes mutuellement perpendiculaires parallèles aux axes centraux est égal au moment d'inertie centrifuge par rapport à ces axes centraux plus le produit de l'aire de la figure et les coordonnées de son centre de gravité par rapport aux nouveaux axes.

La relation entre les moments d'inertie lors de la rotation des axes.

Vous pouvez dessiner autant d'axes centraux que vous le souhaitez. La question se pose de savoir s'il est possible d'exprimer le moment d'inertie autour d'un axe central en fonction du moment d'inertie d'environ un ou deux certain axes. Pour ce faire, voyons comment les moments d'inertie changeront autour de deux axes mutuellement perpendiculaires lorsqu'ils pivotent d'un angle.

Prenons une figure et dessinons-la par son centre de gravité À PROPOS deux axes mutuellement perpendiculaires UO Et Oz(Fig.2).

Fig.2. Modèle de calcul pour déterminer les moments d'inertie des axes en rotation.

Connaissons les moments d'inertie axiaux autour de ces axes, ainsi que le moment d'inertie centrifuge. Dessinons un deuxième système d'axes de coordonnées et incliné par rapport au premier selon un angle ; nous considérerons la direction positive de cet angle lors de la rotation des axes autour du point À PROPOS dans le sens antihoraire. Origine À PROPOS sauvegarder. Exprimons les moments relatifs au deuxième système d'axes de coordonnées et , à travers les moments d'inertie connus et .

Écrivons des expressions pour les moments d'inertie autour de ces axes :

De même:

Pour résoudre des problèmes, vous aurez peut-être besoin de formules de transition d'un axe à l'autre pour le moment d'inertie centrifuge. Lors de la rotation des axes (Fig. 2) nous avons :

où et sont calculés à l'aide des formules (14.10) ; Alors

Après transformations on obtient :

(7)

Ainsi, afin de calculer le moment d'inertie autour de n'importe quel axe central, vous devez connaître les moments d'inertie autour du système de deux axes centraux mutuellement perpendiculaires. UO Et Oz, moment d'inertie centrifuge par rapport aux mêmes axes et angle d'inclinaison de l'axe par rapport à l'axe à.

Pour calculer les valeurs >, il faut choisir les axes comme ceci à Et z et divisez l'aire de la figure en éléments constitutifs de manière à pouvoir effectuer ce calcul, en utilisant uniquement des formules pour la transition des axes centraux de chacun des éléments constitutifs aux axes qui leur sont parallèles. Comment procéder dans la pratique sera montré ci-dessous à l'aide d'un exemple. A noter que dans ce calcul, les figures complexes doivent être divisées en parties élémentaires pour lesquelles, si possible, les valeurs des moments d'inertie centraux par rapport au système d'axes mutuellement perpendiculaires sont connues.

A noter que l'avancement de la dérivation et les résultats obtenus n'auraient pas changé si l'origine des coordonnées avait été prise non pas au centre de gravité de la section, mais en tout autre point À PROPOS. Ainsi, les formules (6) et (7) sont des formules pour le passage d'un système d'axes mutuellement perpendiculaires à un autre, tournés d'un certain angle, qu'il s'agisse d'axes centraux ou non.

A partir des formules (6), on peut obtenir une autre relation entre les moments d'inertie lors de la rotation des axes. En ajoutant les expressions pour et on obtient

c'est-à-dire la somme des moments d'inertie autour de tout axe mutuellement perpendiculaire à Et z ne change pas lors de leur rotation. En substituant la dernière expression à la place de et leurs valeurs, nous obtenons :

où est la distance des sites dF du point À PROPOS. La grandeur est, comme on le sait déjà, le moment d'inertie polaire de la section par rapport au point À PROPOS.

Ainsi, le moment d'inertie polaire d'une section par rapport à tout point est égal à la somme des moments d'inertie axiaux par rapport aux axes mutuellement perpendiculaires passant par ce point. Par conséquent, cette somme reste constante lorsque les axes tournent. Cette dépendance (14.16) peut être utilisée pour simplifier le calcul des moments d'inertie.

Donc pour un cercle :

Puisque par symétrie pour un cercle alors

qui a été obtenu ci-dessus par intégration.

De même, pour une section annulaire à paroi mince on peut obtenir :

Principaux axes d'inertie et principaux moments d'inertie.

Comme on le sait déjà, connaissant les moments d'inertie centraux, et pour un chiffre donné, on peut calculer le moment d'inertie par rapport à tout autre axe.

Dans ce cas, il est possible de prendre comme système d'axes principal un tel système dans lequel les formules sont considérablement simplifiées. A savoir, il est possible de trouver un système d'axes de coordonnées pour lequel le moment d'inertie centrifuge est égal à zéro. En fait, les moments d'inertie sont toujours positifs, comme la somme des termes positifs, mais le moment centrifuge

peut être à la fois positif et négatif, puisque les termes zydF peut être de signe différent selon les signes z Et à pour un site ou un autre. Cela signifie qu'il peut être égal à zéro.

Les axes autour desquels le moment d'inertie centrifuge disparaît sont appelés axes principaux inertie. Si le début d’un tel système est placé au centre de gravité de la figure, alors ceux-ci seront principaux axes centraux. Nous noterons ces axes et ; pour eux

Voyons de quel angle les axes principaux sont inclinés par rapport aux axes centraux y et z (Fig. 198).

Fig. 1. Modèle de calcul pour déterminer la position des principaux axes d'inertie.

Dans l'expression bien connue pour passer des axes ouais aux axes, pour le moment d'inertie centrifuge on donne la valeur à l'angle ; alors les axes et coïncideront avec les principaux, et le moment d'inertie centrifuge sera égal à zéro :

(1)

Cette équation est satisfaite par deux valeurs de , différant de 180°, ou deux valeurs de , différant de 90°. Cette équation nous donne donc la position deux axes, formant un angle droit entre eux. Ce seront les principaux axes centraux et pour lesquels .

A l'aide de cette formule, vous pouvez utiliser les formules connues pour obtenir des formules pour les principaux moments d'inertie et . Pour ce faire, nous utilisons à nouveau les expressions pour les moments d'inertie axiaux de position générale. Ils déterminent les valeurs et si on substitue

(2)

Les relations qui en résultent peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes. L'un des principaux moments d'inertie en est un autre.

Les formules (2) peuvent être transformées en une forme libre de la valeur . En exprimant et en substituant leurs valeurs dans la première formule (2), on obtient, tout en effectuant simultanément la substitution à partir de la formule (1) :

Remplacer ici la fraction de la formule (1) par

on a

(3)

La même expression peut être obtenue en effectuant une transformation similaire de la deuxième formule (3).

Pour le système principal d'axes centraux, à partir duquel on peut passer à n'importe quel autre, on peut prendre UO Et Oz, et les axes principaux et ; alors le moment d'inertie centrifuge () n'apparaîtra pas dans les formules. Notons l'angle que fait l'axe , (Fig. 2) avec l'axe principal , par . Pour calculer , et , en vous déplaçant à partir des axes et , vous devez remplacer l'angle par , a , et dans les expressions trouvées précédemment pour , et , et , et . En conséquence nous obtenons :

En apparence, ces formules sont complètement similaires aux formules des contraintes normales et de cisaillement le long de deux zones mutuellement perpendiculaires dans un élément soumis à une tension dans deux directions. Nous indiquerons seulement une formule qui permet de sélectionner parmi deux valeurs d'angle celle qui correspond à l'écart du premier axe principal (donnant max J.) à partir de la position initiale de l'axe à:

Nous pouvons maintenant enfin formuler ce qu'il faut faire pour pouvoir calculer de la manière la plus simple le moment d'inertie d'une figure par rapport à n'importe quel axe. Il est nécessaire de tracer des axes passant par le centre de gravité de la figure UO Et Oz de sorte qu'en décomposant la figure dans ses parties les plus simples, on peut facilement calculer les moments passant à distance (Fig. 2) du centre de gravité :

Dans de nombreux cas, il est possible de tracer immédiatement les axes principaux de la figure ; si une figure a un axe de symétrie, alors celui-ci sera l'un des axes principaux. En fait, en dérivant la formule, nous avons déjà traité de l'intégrale, qui est le moment d'inertie centrifuge de la section par rapport aux axes à Et z; il a été prouvé que si l'axe Oz est l'axe de symétrie, cette intégrale disparaît.

Donc dans ce cas les axes UO Et Oz sont principal les axes centraux d'inertie de la section. Ainsi, axe de symétrie- toujours l'axe central principal ; deuxième maison l'axe central passe par le centre de gravité perpendiculaire à l'axe de symétrie.

Exemple. Trouver les moments d'inertie du rectangle (Fig. 3) par rapport aux axes et sont égaux à :

Les moments d'inertie autour des axes et sont égaux à :

Le moment d'inertie centrifuge est égal à.

La méthode de calcul des moments d'inertie de sections complexes est basée sur le fait que toute intégrale peut être considérée comme une somme d'intégrales et, par conséquent, le moment d'inertie de n'importe quelle section peut être calculé comme la somme des moments d'inertie de ses parties individuelles.

Par conséquent, pour calculer les moments d'inertie, une section complexe est divisée en un certain nombre de parties simples (figures) de telle sorte que leurs caractéristiques géométriques puissent être calculées à l'aide de formules connues ou trouvées à l'aide de tableaux de référence spéciaux.

Dans certains cas, lors de la division en figures simples pour réduire le nombre ou simplifier leur forme, il est conseillé de compléter la section complexe par quelques zones. Ainsi, par exemple, lors de la détermination des caractéristiques géométriques de la section représentée sur la Fig. 22.5, a, il convient de l'ajouter à un rectangle, puis de soustraire les caractéristiques de la partie ajoutée des caractéristiques géométriques de ce rectangle. Faites de même s'il y a des trous (Fig. 22.5, b).

Après avoir divisé une section complexe en pièces simples, un système de coordonnées rectangulaires est sélectionné pour chacune d'elles, par rapport auquel les moments d'inertie de la pièce correspondante doivent être déterminés. Tous ces systèmes de coordonnées sont considérés comme parallèles les uns aux autres, de sorte qu'ensuite, par translation parallèle des axes, il soit possible de calculer les moments d'inertie de toutes les pièces par rapport au système de coordonnées commun à l'ensemble de la section complexe.

En règle générale, le système de coordonnées de chaque figure simple est supposé central, c'est-à-dire que son origine coïncide avec le centre de gravité de cette figure. Dans ce cas, le calcul ultérieur des moments d'inertie lors du passage à d'autres axes parallèles est simplifié, car les formules de transition à partir des axes centraux ont une forme plus simple qu'à partir d'axes non centraux.

L'étape suivante consiste à calculer les aires de chaque figure simple, ainsi que ses moments d'inertie axiaux et centrifuges par rapport aux axes du système de coordonnées choisi pour celle-ci. Les moments statiques autour de ces axes sont, en règle générale, égaux à zéro, puisque pour chaque partie de la section ces axes sont généralement centraux. Dans les cas où il s’agit d’axes non centraux, il est nécessaire de calculer les moments statiques.

Le moment d'inertie polaire est calculé uniquement pour une section circulaire (solide ou annulaire) à l'aide de formules toutes faites ; pour les sections d'autres formes, cette caractéristique géométrique n'a aucune signification, puisqu'elle n'est pas utilisée dans les calculs.

Les moments d'inertie axiaux et centrifuges de chaque figure simple par rapport aux axes de son système de coordonnées sont calculés à l'aide des formules ou tableaux disponibles pour une telle figure. Pour certaines figures, les formules et tableaux disponibles ne permettent pas de déterminer les moments d'inertie axiaux et centrifuges requis ; dans ces cas, il est nécessaire d'utiliser des formules pour la transition vers de nouveaux axes (généralement pour le cas de rotation des axes).

Les tableaux d'assortiment n'indiquent pas les valeurs des moments d'inertie centrifuges pour les angles. La méthode permettant de déterminer de tels moments d'inertie est discutée dans l'exemple 4.5.

Dans la grande majorité des cas, le but ultime du calcul des caractéristiques géométriques d'une section est de déterminer ses principaux moments d'inertie centraux et la position des principaux axes centraux d'inertie. Par conséquent, l'étape suivante du calcul consiste à déterminer les coordonnées du centre de gravité d'une section donnée [à l'aide des formules (6.5) et (7.5)] dans un système de coordonnées arbitraire (aléatoire). , les axes centraux auxiliaires (non principaux) sont tracés parallèlement aux axes du système de coordonnées des figures simples.

Ensuite, à l'aide de formules établissant les relations entre les moments d'inertie pour des axes parallèles (voir § 5.5), on détermine les moments d'inertie de chaque figure simple par rapport aux axes centraux auxiliaires. En sommant les moments d'inertie de chaque figure simple relatifs aux axes, les moments d'inertie de l'ensemble de la section complexe par rapport à ces axes sont déterminés ; dans ce cas, les moments d'inertie des trous ou des plots ajoutés sont soustraits.

Les moments d'inertie des sections sont appelés intégrales de la forme suivante :

à;

– moment d'inertie axial de la section par rapport à l'axe z;

– moment d'inertie centrifuge de la section ;

– moment d'inertie polaire de la section.

3.2.1. Propriétés des moments d'inertie de section

La dimension des moments d'inertie est [longueur 4 ], généralement [ m 4 ] ou [ cm 4 ].

Les moments d'inertie axiaux et polaires sont toujours positifs. Le moment d'inertie centrifuge peut être positif, négatif ou nul.

Les axes pour lesquels le moment d'inertie centrifuge est nul sont appelés principaux axes d'inertie sections.

Les axes de symétrie sont toujours les principaux. Si au moins un des deux axes perpendiculaires entre eux est un axe de symétrie, alors les deux axes sont principaux.

Le moment d'inertie d'une section composite est égal à la somme des moments d'inertie des éléments de cette section.

Le moment d'inertie polaire est égal à la somme des moments d'inertie axiaux.

Démontrons la dernière propriété. En coupe avec zone UN pour un site élémentaire dA rayon vecteur ρ et coordonnées à Et z(Fig. 6) sont connectés selon le théorème de Pythagore : ρ 2 = à 2 + z 2. Alors

Riz. 6. Relation entre coordonnées polaires et cartésiennes

site élémentaire

3.2.2. Moments d'inertie des figures les plus simples

DANS section rectangulaire(Fig. 7) sélectionner une plateforme élémentaire dA avec coordonnées oui Et z et la superficie dA = Dydz.

Riz. 7. Section rectangulaire

Moment d'inertie axial autour de l'axe à

.

De même, on obtient le moment d'inertie autour de l'axe z:

Parce que le à Et z– axe de symétrie, puis le moment centrifuge D zy = 0.

Pour cercle diamètre d les calculs sont simplifiés si l'on prend en compte la symétrie circulaire et utilise les coordonnées polaires. Prenons comme plate-forme élémentaire un anneau infiniment fin de rayon ρ et d'épaisseur dρ (Fig.8). Sa zone dA= 2πρ dρ. Alors le moment d’inertie polaire est :

.

Riz. 8. Section ronde

Comme indiqué ci-dessus, les moments d'inertie axiaux autour de tout axe central sont identiques et égaux.

.

Moment d'inertie anneaux on retrouve comme différence entre les moments d'inertie de deux cercles - celui extérieur (d'un diamètre D) et interne (d'un diamètre d):

Moment d'inertie je z Triangle nous le définirons par rapport à l'axe passant par le centre de gravité (Fig. 9). Bien évidemment, la largeur d'une bande élémentaire située à une distance à de l'axe z, est égal

Ainsi,

Riz. 9. Section triangulaire

3.3. Dépendances entre moments d'inertie par rapport aux axes parallèles

Avec des valeurs connues des moments d'inertie autour des axes z Et à déterminons les moments d'inertie par rapport aux autres axes z 1 et oui 1 parallèle à ceux donnés. En utilisant la formule générale des moments d'inertie axiaux, on trouve

Si les axes z Et oui centrale, alors
, Et

D'après les formules obtenues, il ressort clairement que les moments d'inertie autour des axes centraux (lorsque
) ont les valeurs les plus petites par rapport aux moments d'inertie autour de tout autre axe parallèle.

3.4. Axes principaux et principaux moments d'inertie

Lorsque les axes tournent d'un angle α, le moment d'inertie centrifuge devient égal à

.

Déterminons la position des principaux axes d'inertie toi, v concernant lequel

,

où α 0 est l'angle dont les axes doivent être tournés oui Et z pour qu'ils deviennent les principaux.

Puisque la formule donne deux valeurs d'angle Et
, alors il y a deux axes principaux mutuellement perpendiculaires. L'axe maximum fait toujours un angle plus petit ( ) avec celle des axes ( z ou oui), par rapport auquel le moment d'inertie axial est plus important. Rappelons que les angles positifs sont écartés de l'axe z dans le sens antihoraire.

Les moments d'inertie autour des axes principaux sont appelés principaux moments d'inertie. On peut montrer qu'ils

.

Le signe plus devant le deuxième terme fait référence au moment d'inertie maximum, le signe moins au minimum.