گرافیک تابع قدرت از تمام قدرت های مختلف. تابع قدرت، خواص آن و نمودار مواد نمایشی درس-سخنرانی مفهوم تابع

آیا با ویژگی ها آشنا هستید y=x، y=x 2، y=x 3، y=1/xو غیره همه این توابع موارد خاصی از تابع توان هستند، یعنی تابع y=xp، که در آن p یک عدد واقعی داده شده است.
خواص و نمودار یک تابع توان اساساً به ویژگی های یک توان با توان واقعی و به ویژه به مقادیری بستگی دارد که ایکسو پمعنا پیدا می کند ایکس پ. اجازه دهید بسته به موارد مختلف، به بررسی مشابهی در مورد موارد مختلف ادامه دهیم
توان پ.

1. فهرست مطالب p=2nیک عدد طبیعی زوج است

y=x2n، جایی که nیک عدد طبیعی است، دارای موارد زیر است

خواص:

• دامنه تعریف همه اعداد حقیقی است، یعنی مجموعه R.
• مجموعه مقادیر - اعداد غیر منفی، یعنی y بزرگتر یا مساوی 0 است.
• عملکرد y=x2nحتی، زیرا x 2n=(- x) 2n
• تابع در بازه زمانی کاهش می یابدایکس<0 و در بازه افزایش می یابد x>0.

نمودار تابع y=x2nشکلی مشابه با نمودار یک تابع دارد y=x4.

2. نشانگر p=2n-1- عدد طبیعی فرد
در این مورد، تابع قدرت y=x 2n-1، جایی که یک عدد طبیعی است، دارای ویژگی های زیر است:

• دامنه تعریف - مجموعه R;
• مجموعه مقادیر - مجموعه R؛
• عملکرد y=x 2n-1عجیب است زیرا (- x) 2n-1=x 2n-1 ;
• تابع در کل محور واقعی در حال افزایش است.

نمودار تابع y=x 2n-1 مانند نمودار تابع است y=x 3 .

3. اندیکاتور p=-2n، جایی که n-عدد طبیعی.

در این مورد، تابع قدرت y=x -2n=1/x2nدارای خواص زیر است:

• دامنه تعریف - مجموعه R، به جز x=0;
• مجموعه مقادیر - اعداد مثبت y>0؛
• تابع y =1/x2nحتی، زیرا 1/(-x) 2n=1/x2n;
• تابع در بازه x در حال افزایش است<0 и убывающей на промежутке x>0.

نمودار تابع y =1/x2nشکلی مشابه با نمودار تابع y دارد =1/x2.

درس و ارائه با موضوع: "توابع قدرت. ویژگی ها. نمودارها"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس های 9-11 "مثلثات"
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس های 10-11 "لگاریتم"

توابع قدرت، حوزه تعریف.

بچه ها، در درس آخر یاد گرفتیم که چگونه با اعداد با توان گویا کار کنیم. در این درس، توابع توان را در نظر می گیریم و خود را به حالتی محدود می کنیم که توان گویا باشد.
ما توابعی از فرم را در نظر خواهیم گرفت: $y=x^(\frac(m)(n))$.
اجازه دهید ابتدا توابعی را در نظر بگیریم که توان آنها $\frac(m)(n)>1$ است.
اجازه دهید یک تابع خاص $y=x^2*5$ به ما داده شود.
طبق تعریفی که در درس آخر دادیم: اگر $x≥0$ باشد، دامنه تابع ما پرتو $(x)$ است. بیایید نمودار تابع خود را به صورت شماتیک به تصویر بکشیم.

ویژگی های تابع $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. نه زوج است و نه فرد.
3. $$ افزایش می یابد،
ب) (2،10) دلار،
ج) روی پرتو $$.
راه حل.
بچه ها، یادتان هست چگونه بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را در یک بخش در کلاس 10 پیدا کردیم؟
درست است، ما از مشتق استفاده کردیم. بیایید مثال خود را حل کنیم و الگوریتم را برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقدار تکرار کنیم.
1. مشتق تابع داده شده را بیابید:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. مشتق در کل دامنه تابع اصلی وجود دارد، پس هیچ نقطه بحرانی وجود ندارد. بیایید نقاط ثابت را پیدا کنیم:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ و $x_2=\sqrt(64)=4$.
فقط یک راه حل $x_2=4$ متعلق به بخش داده شده است.
بیایید یک جدول از مقادیر تابع خود را در انتهای بخش و در نقطه انتهایی بسازیم:
پاسخ: $y_(name)=-862.65$ با $x=9$; $y_(max)=38.4$ برای $x=4$.

مثال. معادله را حل کنید: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
راه حل. نمودار تابع $y=x^(\frac(4)(3))$ در حال افزایش است، در حالی که نمودار تابع $y=24-x$ در حال کاهش است. بچه ها، من و شما می دانیم: اگر یک تابع افزایش و دیگری کاهش یابد، آنها فقط در یک نقطه قطع می کنند، یعنی ما فقط یک راه حل داریم.
توجه داشته باشید:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
یعنی برای $х=8$ برابری صحیح $16=16$ بدست آوردیم، این جواب معادله ما است.
پاسخ: $x=8$.

مثال.
تابع را رسم کنید: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
راه حل.
نمودار تابع ما از نمودار تابع $y=x^(\frac(3)(4))$ به دست می آید و آن را 3 واحد به راست و 2 واحد به بالا منتقل می کنیم.

مثال. معادله مماس به خط $y=x^(-\frac(4)(5))$ را در نقطه $x=1$ بنویسید.
راه حل. معادله مماس با فرمول شناخته شده برای ما تعیین می شود:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
در مورد ما $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
بیایید مشتق را پیدا کنیم:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
بیایید محاسبه کنیم:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
معادله مماس را پیدا کنید:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
پاسخ: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

وظایف برای راه حل مستقل

1. بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنید: $y=x^\frac(4)(3)$ در بخش:
الف) $$.
ب) (4.50) دلار.
ج) روی پرتو $$.
3. معادله را حل کنید: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. نمودار تابع: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. معادله مماس به خط $y=x^(-\frac(3)(7))$ را در نقطه $x=1$ بنویسید.

سخنرانی: تابع توان با توان طبیعی، نمودار آن

ما دائماً با توابعی سروکار داریم که در آنها آرگومان قدرتی دارد:
y \u003d x 1، y \u003d x 2، y \u003d x 3، y \u003d x -1 و غیره.

نمودار توابع قدرت

بنابراین، اکنون چندین مورد ممکن از یک تابع توان را در نظر خواهیم گرفت.

1) y = x 2 n .

این بدان معنی است که اکنون ما توابعی را در نظر خواهیم گرفت که در آنها توان یک عدد زوج است.

ویژگی ویژگی:

1. همه اعداد واقعی به عنوان محدوده پذیرفته می شوند.

2. تابع می تواند تمام مقادیر مثبت و عدد صفر را بگیرد.

3. تابع حتی به این دلیل است که به علامت آرگومان بستگی ندارد، بلکه فقط به مدول آن بستگی دارد.

4. برای یک آرگومان مثبت، تابع در حال افزایش و برای یک آرگومان منفی، در حال کاهش است.

نمودار این توابع شبیه یک سهمی است. به عنوان مثال، در زیر نموداری از تابع y \u003d x 4 است.

2) تابع یک توان فرد دارد: y \u003d x 2 n +1.

1. دامنه تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است.

2. محدوده تابع - می تواند به شکل هر عدد واقعی باشد.

3. این تابع فرد است.

4. به طور یکنواخت در کل فاصله زمانی در نظر گرفتن تابع افزایش می یابد.

5. نمودار همه توابع توان با توان فرد با تابع y \u003d x 3 یکسان است.

3) تابع یک توان طبیعی حتی منفی دارد: y \u003d x -2 n.

همه ما می دانیم که یک توان منفی به شما امکان می دهد نما را در مخرج رها کنید و علامت نما را تغییر دهید ، یعنی شکل y \u003d 1 / x 2 n را دریافت می کنید.

1. آرگومان این تابع می تواند هر مقداری به جز صفر بگیرد، زیرا متغیر در مخرج است.

2. از آنجایی که توان یک عدد زوج است، تابع نمی تواند مقادیر منفی بگیرد. و از آنجایی که آرگومان نمی تواند برابر با صفر باشد، بنابراین مقدار تابع برابر با صفر نیز باید حذف شود. این بدان معنی است که تابع فقط می تواند مقادیر مثبت بگیرد.

3. این تابع یکنواخت است.

4. اگر آرگومان منفی باشد تابع به صورت یکنواخت افزایش می یابد و اگر مثبت باشد کاهش می یابد.

نمای نمودار تابع y \u003d x -2:

4) تابعی با توان فرد منفی y \u003d x - (2 n + 1) .

1. این تابع برای همه مقادیر آرگومان به جز عدد صفر وجود دارد.

2. تابع همه مقادیر واقعی را می پذیرد، به جز عدد صفر.

3. این تابع فرد است.

4. در دو بازه در نظر گرفته شده کاهش می یابد.

با استفاده از مثال y \u003d x -3، مثالی از نمودار یک تابع با نماهای فرد منفی را در نظر بگیرید.

ویژگی های توابع توان و نمودارهای آنها

تابع توان با توان برابر صفر، p = 0

اگر توان تابع توان y = x p برابر با صفر باشد، p = 0، آنگاه تابع توان برای همه x ≠ 0 تعریف می شود و برابر با یک ثابت است:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1، x ≠ 0.

تابع توان با توان فرد طبیعی، p = n = 1، 3، 5، ...

یک تابع توانی y = x p = x n با توان فرد طبیعی n = 1, 3, 5, ... را در نظر بگیرید. چنین توانی را می توان به صورت زیر نیز نوشت: n = 2k + 1، که در آن k = 0، 1، 2، 3، ... یک عدد صحیح غیر منفی است. در زیر مشخصات و نمودارهای این توابع آورده شده است.

نمودار تابع توان y = x n با توان فرد طبیعی در ارزش های مختلفتوان n = 1، 3، 5، ....

ناحیه تعریف: –∞< x < ∞

مجموعه مقادیر: –∞< y < ∞

افراطی ها: خیر

محدب:

در –∞< x < 0 выпукла вверх

در 0< x < ∞ выпукла вниз

نقاط عطف: x = 0، y = 0

ارزش های خصوصی:

در x = –1، y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

برای x = 0، y(0) = 0 n = 0

برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

تابع توان با توان زوج طبیعی، p = n = 2، 4، 6، ...

یک تابع توانی y = x p = x n با توان طبیعی زوج n = 2، 4، 6، ... را در نظر بگیرید. چنین توانی را می توان به صورت زیر نیز نوشت: n = 2k، که در آن k = 1، 2، 3، .. طبیعی است. خصوصیات و نمودارهای چنین توابعی در زیر آورده شده است.

نمودار تابع توان y = x n با توان طبیعی زوج برای مقادیر مختلف توان n = 2، 4، 6، ....

ناحیه تعریف: –∞< x < ∞

مجموعه مقادیر: 0 ≤ y< ∞

یکنواخت:

در x< 0 монотонно убывает

برای x > 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد

افراط: حداقل، x = 0، y = 0

محدب: محدب به پایین

نقاط زانو: خیر

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
ارزش های خصوصی:

در x = –1، y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

برای x = 0، y(0) = 0 n = 0

برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

تابع توان با توان منفی عدد صحیح، p = n = -1، -2، -3، ...

یک تابع توانی y = x p = x n را با یک توان صحیح منفی n = -1، -2، -3، ... در نظر بگیرید. اگر n = –k قرار دهیم، جایی که k = 1، 2، 3، ... است. یک عدد طبیعی است، سپس می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان صحیح منفی برای مقادیر مختلف توان n = -1، -2، -3، ....

توان فرد، n = -1، -3، -5، ...

در زیر ویژگی های تابع y = x n با نماهای منفی فرد n = -1، -3، -5، ... آمده است.

دامنه تعریف: x ≠ 0

مجموعه مقادیر: y ≠ 0

برابری: فرد، y(–x) = – y(x)

افراطی ها: خیر

محدب:

در x< 0: выпукла вверх

برای x > 0: محدب به پایین

نقاط زانو: خیر

علامت: در x< 0, y < 0

برای x > 0، y > 0

ارزش های خصوصی:

برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

توان زوج، n = -2، -4، -6، ...

در زیر ویژگی های تابع y = x n با توان منفی زوج n = -2، -4، -6، ... آمده است.

دامنه تعریف: x ≠ 0

مجموعه مقادیر: y > 0

برابری: زوج، y(–x) = y(x)

یکنواخت:

در x< 0: монотонно возрастает

برای x > 0: یکنواخت کاهش می یابد

افراطی ها: خیر

محدب: محدب به پایین

نقاط زانو: خیر

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: ندارد

علامت: y > 0

ارزش های خصوصی:

در x = –1، y(–1) = (–1) n = 1

برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

تابع توان با توان گویا (کسری).

تابع توانی y = x p را با توان گویا (کسری) در نظر بگیرید، که در آن n یک عدد صحیح است، m > 1 یک عدد طبیعی است. علاوه بر این، n، m مقسوم علیه مشترک ندارند.

مخرج شاخص کسری فرد است

مخرج ضریب کسری فرد باشد: m = 3, 5, 7, ... . در این حالت تابع توان x p برای مقادیر مثبت و منفی آرگومان تعریف می شود. اجازه دهید خواص چنین توابع توانی را زمانی در نظر بگیریم که توان p در محدوده خاصی باشد.

p منفی است، p< 0

اجازه دهید توان گویا (با مخرج فرد m = 3، 5، 7، ...) کمتر از صفر باشد: .

نمودار توابع قدرت با یک توان منفی گویا برای مقادیر مختلف توان، که در آن m = 3، 5، 7، ... فرد است.

عدد فرد، n = -1، -3، -5، ...

ما خواص یک تابع توانی y = x p را با یک توان منفی گویا ارائه می کنیم، که در آن n = -1، -3، -5، ... یک عدد صحیح منفی فرد است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد است. عدد طبیعی فرد

دامنه تعریف: x ≠ 0

مجموعه مقادیر: y ≠ 0

برابری: فرد، y(–x) = – y(x)

یکنواختی: یکنواخت در حال کاهش است

افراطی ها: خیر

محدب:

در x< 0: выпукла вверх

برای x > 0: محدب به پایین

نقاط زانو: خیر

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: ندارد

در x< 0, y < 0

برای x > 0، y > 0

ارزش های خصوصی:

در x = –1، y(–1) = (–1) n = –1

برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

صورت زوج، n = -2، -4، -6، ...

ویژگی های تابع توان y = x p با توان منفی گویا، که در آن n = -2، -4، -6، ... یک عدد صحیح منفی زوج است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد طبیعی فرد است.

دامنه تعریف: x ≠ 0

مجموعه مقادیر: y > 0

برابری: زوج، y(–x) = y(x)

یکنواخت:

در x< 0: монотонно возрастает

برای x > 0: یکنواخت کاهش می یابد

افراطی ها: خیر

محدب: محدب به پایین

نقاط زانو: خیر

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: ندارد

علامت: y > 0

مقدار p مثبت است، کمتر از یک، 0< p < 1

نمودار تابع قدرت با توان گویا (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

عدد فرد، n = 1، 3، 5، ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

ناحیه تعریف: –∞< x < +∞

مجموعه مقادیر: –∞< y < +∞

برابری: فرد، y(–x) = – y(x)

یکنواختی: یکنواخت افزایش می یابد

افراطی ها: خیر

محدب:

در x< 0: выпукла вниз

برای x > 0: محدب به بالا

نقاط عطف: x = 0، y = 0

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0

در x< 0, y < 0

برای x > 0، y > 0

ارزش های خصوصی:

در x = –1، y(–1) = –1

برای x = 0، y(0) = 0

برای x = 1، y (1) = 1

عدد زوج، n = 2، 4، 6، ...

ویژگی های تابع توان y = x p با توان گویا که در 0 قرار دارد، ارائه شده است.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

ناحیه تعریف: –∞< x < +∞

مجموعه مقادیر: 0 ≤ y< +∞

برابری: زوج، y(–x) = y(x)

یکنواخت:

در x< 0: монотонно убывает

برای x > 0: یکنواخت افزایش می یابد

افراط: حداقل در x = 0، y = 0

تحدب: محدب به سمت بالا در x ≠ 0

نقاط زانو: خیر

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0

علامت: برای x ≠ 0، y > 0

در دامنه تابع توان y = x p، فرمول های زیر برقرار است:
; ;
;
; ;
; ;
; .

ویژگی های توابع توان و نمودارهای آنها

تابع توان با توان برابر صفر، p = 0

اگر توان تابع توان y = x p برابر با صفر باشد، p = 0، آنگاه تابع توان برای تمام x ≠ 0 تعریف می شود و ثابت است، برابر با یک:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1، x ≠ 0.

تابع توان با توان فرد طبیعی، p = n = 1، 3، 5، ...

تابع توانی y = x p = x n با توان فرد طبیعی n = 1، 3، 5، ... را در نظر بگیرید. چنین شاخصی را می توان به صورت زیر نیز نوشت: n = 2k + 1، که در آن k = 0، 1، 2، 3، ... یک عدد صحیح غیر منفی است. در زیر مشخصات و نمودارهای این توابع آورده شده است.

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ... .

دامنه: -∞ < x < ∞
مقادیر چندگانه: -∞ < y < ∞
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در -∞< x < 0 выпукла вверх
در 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط شکست: x=0، y=0
x=0، y=0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1،
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
برای x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
برای n = 1، تابع معکوس به خود است: x = y
برای n ≠ 1، تابع معکوس ریشه ای از درجه n است:

تابع توان با توان زوج طبیعی، p = n = 2، 4، 6، ...

تابع توانی y = x p = x n با توان زوج طبیعی n = 2، 4، 6، ... را در نظر بگیرید. چنین شاخصی را می توان به صورت زیر نیز نوشت: n = 2k، که در آن k = 1، 2، 3، ... یک عدد طبیعی است. خصوصیات و نمودارهای چنین توابعی در زیر آورده شده است.

نمودار یک تابع توان y = x n با توان طبیعی زوج برای مقادیر مختلف توان n = 2، 4، 6، ... .

دامنه: -∞ < x < ∞
مقادیر چندگانه: 0 ≤ y< ∞
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
برای x ≤ 0 به طور یکنواخت کاهش می یابد
برای x ≥ 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
افراط:حداقل، x=0، y=0
محدب:محدب به پایین
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x=0، y=0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
برای x = -1، y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
برای x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
برای n = 2، ریشه دوم:
برای n ≠ 2، ریشه درجه n:

تابع توان با توان منفی عدد صحیح، p = n = -1، -2، -3، ...

یک تابع توانی y = x p = x n را با توان عدد صحیح منفی n = -1، -2، -3، ... در نظر بگیرید. اگر n = -k را قرار دهیم، جایی که k = 1، 2، 3، ... یک عدد طبیعی است، آنگاه می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

نمودار یک تابع توان y = x n با نما عدد صحیح منفی برای مقادیر مختلف توان n = -1، -2، -3، ... .

توان فرد، n = -1، -3، -5، ...

در زیر ویژگی های تابع y = x n با نماهای منفی فرد n = -1، -3، -5، ... آمده است.

دامنه: x ≠ 0
مقادیر چندگانه: y ≠ 0
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در x< 0 : выпукла вверх
برای x > 0: محدب به پایین
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضاء کردن:
در x< 0, y < 0
برای x > 0، y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
برای n = -1،
برای n< -2 ,

توان زوج، n = -2، -4، -6، ...

در زیر ویژگی های تابع y = x n با توان منفی زوج n = -2، -4، -6، ... آمده است.

دامنه: x ≠ 0
مقادیر چندگانه: y > 0
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0 : монотонно возрастает
برای x > 0: یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:محدب به پایین
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضاء کردن: y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
برای n = -2،
برای n< -2 ,

تابع توان با توان گویا (کسری).

تابع توانی y = x p را با توان گویا (کسری) در نظر بگیرید، که در آن n یک عدد صحیح است، m > 1 یک عدد طبیعی است. علاوه بر این، n، m مقسوم علیه مشترک ندارند.

مخرج شاخص کسری فرد است

مخرج ضریب کسری فرد باشد: m = 3, 5, 7, ... . در این حالت تابع توان x p برای هر دو مقدار x مثبت و منفی تعریف می شود. خواص چنین توابع توانی را زمانی در نظر بگیرید که توان p در محدوده خاصی قرار دارد.

p منفی است، p< 0

توان گویا (با مخرج فرد m = 3, 5, 7, ... ) کمتر از صفر باشد: .

نمودارهای توابع نمایی با یک توان منفی گویا برای مقادیر مختلف توان، که در آن m = 3، 5، 7، ... فرد است.

عدد فرد، n = -1، -3، -5، ...

در اینجا ویژگی های تابع توان y = x p با توان منفی گویا آمده است، که در آن n = -1، -3، -5، ... یک عدد صحیح منفی فرد است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد است. عدد طبیعی فرد

دامنه: x ≠ 0
مقادیر چندگانه: y ≠ 0
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در x< 0 : выпукла вверх
برای x > 0: محدب به پایین
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضاء کردن:
در x< 0, y < 0
برای x > 0، y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
برای x = -1، y(-1) = (-1) n = -1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:

صورت زوج، n = -2، -4، -6، ...

ویژگی های یک تابع توانی y = x p با توان منفی گویا، که در آن n = -2، -4، -6، ... یک عدد صحیح زوج است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد طبیعی فرد است. .

دامنه: x ≠ 0
مقادیر چندگانه: y > 0
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0 : монотонно возрастает
برای x > 0: یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:محدب به پایین
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضاء کردن: y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
برای x = -1، y(-1) = (-1) n = 1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:

مقدار p مثبت است، کمتر از یک، 0< p < 1

نمودار تابع توان با توان گویا (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

عدد فرد، n = 1، 3، 5، ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

دامنه: -∞ < x < +∞
مقادیر چندگانه: -∞ < y < +∞
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در x< 0 : выпукла вниз
برای x > 0: محدب به بالا
نقاط شکست: x=0، y=0
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x=0، y=0
امضاء کردن:
در x< 0, y < 0
برای x > 0، y > 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
برای x = -1، y(-1) = -1
برای x = 0، y(0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:

عدد زوج، n = 2، 4، 6، ...

ویژگی های تابع توان y = x p با توان گویا که در 0 قرار دارد، ارائه شده است.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

دامنه: -∞ < x < +∞
مقادیر چندگانه: 0 ≤ y< +∞
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0 : монотонно убывает
برای x > 0: یکنواخت افزایش می یابد
افراط:حداقل در x = 0، y = 0
محدب:محدب رو به بالا در x ≠ 0
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x=0، y=0
امضاء کردن:برای x ≠ 0، y > 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
برای x = -1، y(-1) = 1
برای x = 0، y(0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:

توان p بزرگتر از یک است، p > 1

نمودار یک تابع توان با یک توان گویا (p> 1) برای مقادیر مختلف توان، که در آن m = 3، 5، 7، ... فرد است.

عدد فرد، n = 5، 7، 9، ...

ویژگی های تابع توانی y = x p با توان گویا بزرگتر از یک: . جایی که n = 5، 7، 9، ... یک عدد طبیعی فرد است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد طبیعی فرد است.

دامنه: -∞ < x < ∞
مقادیر چندگانه: -∞ < y < ∞
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در -∞< x < 0 выпукла вверх
در 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط شکست: x=0، y=0
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x=0، y=0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
برای x = -1، y(-1) = -1
برای x = 0، y(0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:

عدد زوج، n = 4، 6، 8، ...

ویژگی های تابع توانی y = x p با توان گویا بزرگتر از یک: . جایی که n = 4، 6، 8، ... یک عدد طبیعی زوج است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد طبیعی فرد است.

دامنه: -∞ < x < ∞
مقادیر چندگانه: 0 ≤ y< ∞
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0 монотонно убывает
برای x > 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
افراط:حداقل در x = 0، y = 0
محدب:محدب به پایین
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x=0، y=0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
برای x = -1، y(-1) = 1
برای x = 0، y(0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:

مخرج نشانگر کسری زوج است

مخرج ضریب کسری زوج باشد: m = 2, 4, 6, ... . در این حالت، تابع توان x p برای مقادیر منفی آرگومان تعریف نشده است. ویژگی های آن با ویژگی های یک تابع توان با توان غیر منطقی مطابقت دارد (به بخش بعدی مراجعه کنید).

تابع توان با توان غیر منطقی

تابع توانی y = x p را با توان غیر منطقی p در نظر بگیرید. ویژگی های چنین توابعی با مواردی که در بالا در نظر گرفته شد متفاوت است زیرا برای مقادیر منفی آرگومان x تعریف نشده اند. برای مقادیر مثبت آرگومان، ویژگی ها فقط به مقدار توان p بستگی دارد و به اینکه p عدد صحیح، منطقی یا غیرمنطقی باشد بستگی ندارد.

y = x p برای مقادیر مختلف توان p.

تابع توان با p منفی< 0

دامنه: x > 0
مقادیر چندگانه: y > 0
یکنواخت:یکنواخت کاهش می یابد
محدب:محدب به پایین
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
محدودیت ها: ;
ارزش خصوصی:برای x = 1، y(1) = 1 p = 1

تابع توان با توان مثبت p > 0

نشانگر کمتر از یک 0 است< p < 1

دامنه: x ≥ 0
مقادیر چندگانه: y ≥ 0
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
محدب:محدب
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x=0، y=0
محدودیت ها:
ارزش های خصوصی:برای x = 0، y(0) = 0 p = 0.
برای x = 1، y(1) = 1 p = 1

نشانگر بزرگتر از یک p > 1 است

دامنه: x ≥ 0
مقادیر چندگانه: y ≥ 0
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
محدب:محدب به پایین
نقاط شکست:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x=0، y=0
محدودیت ها:
ارزش های خصوصی:برای x = 0، y(0) = 0 p = 0.
برای x = 1، y(1) = 1 p = 1

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.