رسم یک تابع خطی حاوی یک ماژول. نحوه حل معادلات با مدول: قوانین اساسی

, مسابقه "ارائه برای درس"

ارائه برای درس

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است گستره کامل ارائه را نشان ندهد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

هدف از درس:

• ساختن نمودارهای توابع حاوی علامت مدول را تکرار کنید.
• با روش جدیدی برای ساخت نمودار یک تابع خطی-تکه ای آشنا شوید.
• برای تعمیر روش جدیدهنگام حل مشکلات

تجهیزات:

• پروژکتور چند رسانه ای،
• پوسترها

در طول کلاس ها

به روز رسانی دانش

در صفحه نمایش اسلاید 1 از ارائه.

نمودار تابع y=|x| چیست ? (اسلاید 2).

(مجموعه نیمسازهای زوایای مختصات 1 و 2)

مطابقت بین توابع و نمودارها را پیدا کنید، انتخاب خود را توضیح دهید (اسلاید 3).

تصویر 1

الگوریتم ساخت نمودار توابع به شکل y=|f(x)| را بگویید. در مثال تابع y=|x 2 -2x-3| (اسلاید 4)

دانشجو: برای ساختن نموداری از این تابع، شما نیاز دارید

سهمی y=x 2 -2x-3 بسازید

شکل 2

شکل 3

الگوریتم ساخت نمودارهای توابع به شکل y=f(|x|) را با استفاده از مثال تابع y=x 2 -2|x|-3 (اسلاید 6) بگویید.

سهمی بسازید.

بخشی از نمودار در x 0 ذخیره شده و به صورت تقارن با توجه به محور y نمایش داده می شود (اسلاید 7)

شکل 4

الگوریتم ساخت نمودار توابع به شکل y=|f(|x|)| را بگویید. در مثال تابع y=|x 2 -2|x|-3| (اسلاید 8).

دانشجو: برای ساختن نموداری از این تابع، شما نیاز دارید:

شما باید یک سهمی y \u003d x 2 -2x-3 بسازید

ما y \u003d x 2 -2 | x | -3 می سازیم، بخشی از نمودار را ذخیره می کنیم و آن را به صورت متقارن با توجه به سیستم عامل نمایش می دهیم.

قسمت بالای OX را ذخیره می کنیم و قسمت پایین را به صورت متقارن نسبت به OX نمایش می دهیم (اسلاید 9)

شکل 5

کار بعدی در دفترچه ها نوشته شده است.

1. نمودار یک تابع خطی تکه ای y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

نظر دانش آموز روی تخته سیاه:

ما صفر عبارات زیر ماژول را پیدا می کنیم x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

شکستن محور به فواصل

برای هر بازه، تابع را می نویسیم

در x< -2, у=-х-4

در -2 x<1, у=х

در 1 x<3, у = 3х-2

در x 3، y \u003d x + 4

ما یک نمودار از یک تابع خطی-تکه ای می سازیم.

ما یک نمودار تابع با استفاده از تعریف ماژول ساخته ایم (اسلاید 10).

شکل 6

من "روش راس" را مورد توجه شما قرار می دهم که به شما امکان می دهد یک تابع خطی تکه ای را رسم کنید (اسلاید 11). بچه ها الگوریتم ساخت را در یک دفتر یادداشت می کنند.

روش رأس

الگوریتم:

1. صفرهای هر عبارت زیرماژول را پیدا کنید
2. بیایید جدولی درست کنیم که در آن علاوه بر صفر، یک مقدار آرگومان را در سمت چپ و راست بنویسیم.
3. بیایید نقاط را در صفحه مختصات قرار داده و آنها را به صورت سری به هم وصل کنیم

2. بیایید این روش را بر روی همان تابع y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

معلم پشت تخته سیاه است، بچه ها در دفترهایشان هستند.

روش رأس:

صفرهای هر عبارت زیرماژول را بیابید.

بیایید جدولی درست کنیم که در آن علاوه بر صفر، یک مقدار آرگومان را در سمت چپ و راست بنویسیم.

بیایید نقاط را در صفحه مختصات قرار داده و آنها را به صورت سری به هم وصل کنیم.

نمودار یک تابع خطی-تکه ای یک خط شکسته با پیوندهای انتهایی بی نهایت است (اسلاید 12).

شکل 7

چه روشی نمودار را سریعتر و آسان تر می کند؟

3. برای رفع این روش، پیشنهاد می کنم کار زیر را انجام دهید:

برای چه مقادیری از x تابع y=|x-2|-|x+1| بیشترین ارزش را به خود اختصاص می دهد.

ما الگوریتم را دنبال می کنیم. دانش آموز در تخته سیاه

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2، x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3، نقاط را به صورت سری به هم وصل کنید.

4. کار اضافی

برای چه مقادیری معادله ||4+x|-|x-2||=a دو ریشه دارد.

5. تکالیف

الف) برای چه مقادیری از X تابع y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| کمترین مقدار را می گیرد.

ب) تابع y=||x-1|-2|-3| را رسم کنید .

, مسابقه "ارائه برای درس"

ارائه برای درس

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است گستره کامل ارائه را نشان ندهد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

هدف از درس:

• ساختن نمودارهای توابع حاوی علامت مدول را تکرار کنید.
• با روش جدیدی برای ساخت نمودار یک تابع خطی-تکه ای آشنا شوید.
• تثبیت روش جدید در حل مسائل.

تجهیزات:

• پروژکتور چند رسانه ای،
• پوسترها

در طول کلاس ها

به روز رسانی دانش

در صفحه نمایش اسلاید 1 از ارائه.

نمودار تابع y=|x| چیست ? (اسلاید 2).

(مجموعه نیمسازهای زوایای مختصات 1 و 2)

مطابقت بین توابع و نمودارها را پیدا کنید، انتخاب خود را توضیح دهید (اسلاید 3).

تصویر 1

الگوریتم ساخت نمودار توابع به شکل y=|f(x)| را بگویید. در مثال تابع y=|x 2 -2x-3| (اسلاید 4)

دانشجو: برای ساختن نموداری از این تابع، شما نیاز دارید

سهمی y=x 2 -2x-3 بسازید

شکل 2

شکل 3

الگوریتم ساخت نمودارهای توابع به شکل y=f(|x|) را با استفاده از مثال تابع y=x 2 -2|x|-3 (اسلاید 6) بگویید.

سهمی بسازید.

بخشی از نمودار در x 0 ذخیره شده و به صورت تقارن با توجه به محور y نمایش داده می شود (اسلاید 7)

شکل 4

الگوریتم ساخت نمودار توابع به شکل y=|f(|x|)| را بگویید. در مثال تابع y=|x 2 -2|x|-3| (اسلاید 8).

دانشجو: برای ساختن نموداری از این تابع، شما نیاز دارید:

شما باید یک سهمی y \u003d x 2 -2x-3 بسازید

ما y \u003d x 2 -2 | x | -3 می سازیم، بخشی از نمودار را ذخیره می کنیم و آن را به صورت متقارن با توجه به سیستم عامل نمایش می دهیم.

قسمت بالای OX را ذخیره می کنیم و قسمت پایین را به صورت متقارن نسبت به OX نمایش می دهیم (اسلاید 9)

شکل 5

کار بعدی در دفترچه ها نوشته شده است.

1. نمودار یک تابع خطی تکه ای y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

نظر دانش آموز روی تخته سیاه:

ما صفر عبارات زیر ماژول را پیدا می کنیم x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

شکستن محور به فواصل

برای هر بازه، تابع را می نویسیم

در x< -2, у=-х-4

در -2 x<1, у=х

در 1 x<3, у = 3х-2

در x 3، y \u003d x + 4

ما یک نمودار از یک تابع خطی-تکه ای می سازیم.

ما یک نمودار تابع با استفاده از تعریف ماژول ساخته ایم (اسلاید 10).

شکل 6

من "روش راس" را مورد توجه شما قرار می دهم که به شما امکان می دهد یک تابع خطی تکه ای را رسم کنید (اسلاید 11). بچه ها الگوریتم ساخت را در یک دفتر یادداشت می کنند.

روش رأس

الگوریتم:

1. صفرهای هر عبارت زیرماژول را پیدا کنید
2. بیایید جدولی درست کنیم که در آن علاوه بر صفر، یک مقدار آرگومان را در سمت چپ و راست بنویسیم.
3. بیایید نقاط را در صفحه مختصات قرار داده و آنها را به صورت سری به هم وصل کنیم

2. بیایید این روش را بر روی همان تابع y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

معلم پشت تخته سیاه است، بچه ها در دفترهایشان هستند.

روش رأس:

صفرهای هر عبارت زیرماژول را بیابید.

بیایید جدولی درست کنیم که در آن علاوه بر صفر، یک مقدار آرگومان را در سمت چپ و راست بنویسیم.

بیایید نقاط را در صفحه مختصات قرار داده و آنها را به صورت سری به هم وصل کنیم.

نمودار یک تابع خطی-تکه ای یک خط شکسته با پیوندهای انتهایی بی نهایت است (اسلاید 12).

شکل 7

چه روشی نمودار را سریعتر و آسان تر می کند؟

3. برای رفع این روش، پیشنهاد می کنم کار زیر را انجام دهید:

برای چه مقادیری از x تابع y=|x-2|-|x+1| بیشترین ارزش را به خود اختصاص می دهد.

ما الگوریتم را دنبال می کنیم. دانش آموز در تخته سیاه

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2، x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3، نقاط را به صورت سری به هم وصل کنید.

4. کار اضافی

برای چه مقادیری معادله ||4+x|-|x-2||=a دو ریشه دارد.

5. تکالیف

الف) برای چه مقادیری از X تابع y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| کمترین مقدار را می گیرد.

ب) تابع y=||x-1|-2|-3| را رسم کنید .

تابع فرم y=|x|.
نمودار تابع در بازه - با نمودار تابع y \u003d -x.

ابتدا ساده ترین حالت را در نظر بگیرید - تابع y=|x|. با تعریف ماژول، داریم:

بنابراین برای x≥0 تابع y=|x| با تابع y \u003d x منطبق است و برای x با استفاده از این توضیح، رسم تابع y \u003d | x | آسان است (شکل 1).

به راحتی می توان دید که این نمودار اتحاد آن بخش از نمودار تابع y \u003d x است که زیر محور OX قرار ندارد و خطی که با بازتاب آینه در مورد محور OX به دست می آید، آن قسمت از آن، که زیر محور OX قرار دارد.
این روش برای رسم نمودار تابع y=|kx+b| نیز مناسب است.
اگر نمودار تابع y=kx+b در شکل 2 نشان داده شده باشد، نمودار تابع y=|kx+b| خطی است که در شکل 3 نشان داده شده است.

(!LANG:مثال 1.تابع y=||1-x 2 |-3| را رسم کنید.
بیایید نموداری از تابع y=1-x 2 بسازیم و عملیات "ماژول" را روی آن اعمال کنیم (بخشی از نمودار که در زیر محور OX قرار دارد به طور متقارن نسبت به محور OX منعکس می شود).

بیایید نمودار را 3 به پایین تغییر دهیم.

بیایید عملیات "ماژول" را اعمال کنیم و نمودار نهایی تابع y=||1-x 2 |-3|

مثال 2تابع y=||x2 -2x|-3| را رسم کنید.
در نتیجه تبدیل، y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1| را بدست می آوریم. بیایید نموداری از تابع y=(x-1) 2 -1 بسازیم: سهمی y=x 2 بسازیم و 1 به راست و 1 به پایین تغییر دهیم.

بیایید عملیات "ماژول" را روی آن اعمال کنیم (بخشی از نمودار که در زیر محور OX قرار دارد به طور متقارن نسبت به محور OX منعکس می شود).

بیایید نمودار را 3 به پایین تغییر دهیم و عملیات "ماژول" را اعمال کنیم، در نتیجه نمودار نهایی را به دست خواهیم آورد.

مثال 3تابع را رسم کنید.
برای گسترش یک ماژول، باید دو مورد را در نظر بگیریم:
1)x>0، سپس ماژول با علامت "+" = باز می شود
2) x =

بیایید یک نمودار برای مورد اول بسازیم.

بیایید بخشی از نمودار را که در آن x است، کنار بگذاریم

بیایید یک نمودار برای حالت دوم بسازیم و به طور مشابه قسمتی را که x>0 در آن وجود دارد را کنار بگذاریم، در نتیجه به دست می آوریم.

بیایید این دو نمودار را با هم ترکیب کنیم و نمودار نهایی را بدست آوریم.

مثال 4تابع را رسم کنید.
ابتدا، بیایید یک نمودار از تابع بسازیم، برای این کار، انتخاب قسمت صحیح راحت است. با تکیه بر جدول مقادیر، یک نمودار دریافت می کنیم.

بیایید عملیات مدول را اعمال کنیم (بخشی از نمودار واقع در زیر محور OX به طور متقارن نسبت به محور OX منعکس می شود). نمودار نهایی را دریافت می کنیم

مثال 5تابع y=|-x 2 +6x-8| را رسم کنید. ابتدا تابع را به y=1-(x-3) 2 ساده می کنیم و نمودار آن را می سازیم

اکنون عملیات "ماژول" را اعمال می کنیم و بخشی از نمودار زیر محور OX را نسبت به محور OX منعکس می کنیم.

مثال 6تابع y=-x 2 +6|x|-8 را رسم کنید. همچنین تابع را به y=1-(x-3) 2 ساده می کنیم و نمودار آن را می سازیم

اکنون عملیات "ماژول" را اعمال می کنیم و بخشی از نمودار را در سمت راست محور oY، به سمت چپ منعکس می کنیم.

مثال 7یک تابع را ترسیم کنید . بیایید تابع را رسم کنیم

بیایید تابع را رسم کنیم

بیایید یک انتقال موازی توسط 3 قطعه واحد به سمت راست و 2 قطعه به بالا انجام دهیم. نمودار به شکل زیر خواهد بود:

بیایید عملیات "ماژول" را اعمال کنیم و بخشی از نمودار را در سمت راست خط مستقیم x=3 در نیمه صفحه سمت چپ منعکس کنیم.

علامت مدول شاید یکی از جالب ترین پدیده ها در ریاضیات باشد. در این راستا، بسیاری از دانش آموزان این سوال را دارند که چگونه نمودارهایی از توابع حاوی یک ماژول بسازند. بیایید این موضوع را با جزئیات بررسی کنیم.

1. رسم توابع حاوی یک ماژول

مثال 1

تابع y = x 2 – 8|x| را رسم کنید + 12.

راه حل.

اجازه دهید برابری تابع را تعریف کنیم. مقدار y(-x) با مقدار y(x) یکسان است، بنابراین این تابع زوج است. سپس نمودار آن نسبت به محور Oy متقارن است. ما یک نمودار از تابع y \u003d x 2 - 8x + 12 برای x ≥ 0 می سازیم و نمودار را به صورت متقارن نسبت به Oy برای x منفی نمایش می دهیم (شکل 1).

مثال 2

نمودار بعدی y = |x 2 – 8x + 12| است.

- محدوده تابع پیشنهادی چقدر است؟ (y ≥ 0).

- نمودار چطوره؟ (بالا یا لمس محور x).

این بدان معنی است که نمودار تابع به صورت زیر به دست می آید: آنها تابع y \u003d x 2 - 8x + 12 را رسم می کنند، بخشی از نمودار را که بالای محور Ox قرار دارد بدون تغییر می گذارند و بخشی از نمودار را که در زیر قرار دارد. محور آبسیسا به طور متقارن نسبت به محور Ox نمایش داده می شود (شکل 2).

مثال 3

برای رسم تابع y = |x 2 – 8|x| + 12| ترکیبی از تحولات را انجام دهید:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

پاسخ: شکل 3.

تبدیل های در نظر گرفته شده برای همه انواع توابع معتبر هستند. بیایید یک جدول درست کنیم:

2. رسم توابع حاوی "ماژول های تودرتو" در فرمول

قبلاً با مثال هایی از تابع درجه دوم حاوی مدول و همچنین با قوانین کلی ساخت نمودارهای توابع به شکل y = f(|x|)، y = |f(x)| و y = |f(|x|)|. این تبدیل ها هنگام در نظر گرفتن مثال زیر به ما کمک خواهند کرد.

مثال 4

تابعی از فرم y = |2 – |1 – |x||| را در نظر بگیرید. عبارتی که تابع را تعریف می کند حاوی "ماژول های تودرتو" است.

راه حل.

ما از روش تبدیل های هندسی استفاده می کنیم.

بیایید زنجیره ای از تبدیل های متوالی را بنویسیم و نقاشی مربوطه را انجام دهیم (شکل 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

بیایید مواردی را در نظر بگیریم که تقارن و تبدیل‌های ترجمه موازی تکنیک اصلی برای رسم نیستند.

مثال 5

نموداری از تابعی به شکل y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 بسازید.

راه حل.

قبل از ساختن یک نمودار، فرمولی را که تابع را تعریف می کند، تبدیل می کنیم و تعریف تحلیلی دیگری از تابع به دست می آوریم (شکل 5).

y = (x 2 - 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

بیایید ماژول را در مخرج گسترش دهیم:

برای x > -2، y = x - 2، و برای x< -2, y = -(x – 2).

دامنه D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

محدوده E(y) = (-4؛ +∞).

نقاطی که نمودار با محور مختصات قطع می شود: (0; -2) و (2; 0).

تابع برای همه x از بازه (-∞؛ -2) کاهش می یابد، برای x از -2 به +∞ افزایش می یابد.

در اینجا باید علامت مدول را آشکار می‌کردیم و تابع را برای هر مورد ترسیم می‌کردیم.

مثال 6

تابع y = |x + 1| را در نظر بگیرید – |x – 2|.

راه حل.

با گسترش علامت ماژول، لازم است تمام ترکیبات ممکن علائم عبارات زیر ماژول را در نظر بگیریم.

چهار مورد ممکن وجود دارد:

(x + 1 - x + 2 = 3، با x ≥ -1 و x ≥ 2؛

(-x - 1 + x - 2 = -3، با x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1، برای x ≥ -1 و x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1، با x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

سپس تابع اصلی به صورت زیر خواهد بود:

(3، برای x ≥ 2;

y = (-3، در x< -1;

(2x - 1، با -1 ≤ x< 2.

ما یک تابع به صورت تکه ای دریافت کردیم که نمودار آن در شکل 6 نشان داده شده است.

3. الگوریتم ساخت نمودار توابع فرم

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + تبر + ب.

در مثال قبلی، گسترش علائم ماژول به اندازه کافی آسان بود. اگر مجموع ماژول‌های بیشتری وجود داشته باشد، در نظر گرفتن همه ترکیب‌های ممکن از نشانه‌های عبارات زیرماژول مشکل‌ساز است. چگونه می توانیم تابع را در این حالت نمودار کنیم؟

توجه داشته باشید که نمودار یک چندخط است، با رئوس در نقاط دارای ابسیساهای -1 و 2. برای x = -1 و x = 2، عبارات زیرماژول برابر با صفر هستند. به صورت عملی به قانون ساخت چنین نمودارهایی نزدیک شدیم:

نمودار تابعی به شکل y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b یک خط شکسته با پیوندهای انتهایی بی نهایت است. برای ساختن چنین چندخطی کافی است که تمام رئوس آن را بدانیم (آبسیساهای رأس صفر عبارت های زیر ماژول هستند) و هر کدام یک نقطه کنترل در پیوندهای بینهایت چپ و راست.

یک وظیفه.

تابع y = |x| را رسم کنید + |x – 1| + |x + 1| و کوچکترین مقدار آن را پیدا کنید.

راه حل:

صفر عبارات زیر ماژول: 0; -یک 1. رئوس چند خط (0; 2); (-13)؛ (13). نقطه کنترل در سمت راست (2؛ 6)، در سمت چپ (-2؛ 6). ما یک نمودار می سازیم (شکل 7). min f(x) = 2.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه یک تابع را با مدول رسم کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.