تعیین کنید که کدام خط در صفحه با معادله داده می شود. معادله یک خط، انواع معادله یک خط در یک صفحه
تابع داده شده با فرمول (معادله) را در نظر بگیرید
این تابع و در نتیجه معادله (11) با یک خط کاملاً مشخص در صفحه مطابقت دارد که نمودار این تابع است (شکل 20 را ببینید). از تعریف نمودار یک تابع چنین برمی‌آید که این خط شامل آن نقاطی از صفحه است که مختصات آنها معادله (11) را برآورده می‌کند.
بگذار حالا
خطی که نمودار این تابع است، فقط از نقاطی از صفحه تشکیل شده است که مختصات آنها معادله (12) را برآورده می کند. به این معنی که اگر نقطه ای روی خط مشخص شده باشد، مختصات آن معادله (12) را برآورده می کند. اگر نقطه روی این خط نباشد، مختصات آن معادله (12) را برآورده نمی کند.
معادله (12) با توجه به y حل می شود. معادله ای را در نظر بگیرید که حاوی x و y باشد و برای y حل نشده باشد، مانند معادله
اجازه دهید نشان دهیم که این معادله در صفحه نیز با یک خط مطابقت دارد، یعنی دایره ای با مرکز در مبدا و شعاع آن برابر با 2. اجازه دهید معادله را به شکل بازنویسی کنیم.
سمت چپ آن مربع فاصله نقطه از مبدأ است (نگاه کنید به § 2، بند 2، فرمول 3). از تساوی (14) نتیجه می شود که مجذور این فاصله برابر با 4 است.
این بدان معنی است که هر نقطه ای که مختصات آن معادله (14) و در نتیجه معادله (13) را برآورده کند، در فاصله 2 از مبدا قرار دارد.
مکان هندسی چنین نقاطی دایره ای با مرکز در مبدا و شعاع 2 است. این دایره خط مربوط به معادله (13) خواهد بود. مختصات هر یک از نقاط آن به وضوح معادله (13) را برآورده می کند. اگر نقطه روی دایره ای که ما پیدا کردیم قرار نگیرد، مجذور فاصله آن از مبدأ یا بزرگتر یا کمتر از 4 خواهد بود، به این معنی که مختصات چنین نقطه ای معادله (13) را برآورده نمی کند.
اجازه دهید اکنون، در حالت کلی، معادله داده شود
که در سمت چپ آن عبارتی حاوی x و y وجود دارد.
تعریف. خطی که با رابطه (15) تعریف می شود، مکان هندسی نقاط در صفحه ای است که مختصات آن این معادله را برآورده می کند.
این بدان معنی است که اگر خط L توسط یک معادله تعیین شود، مختصات هر نقطه L این معادله را برآورده می کند، اما مختصات هر نقطه در صفحه ای که خارج از L قرار دارد، معادله (15) را برآورده نمی کند.
معادله (15) را معادله خط می نامند
اظهار نظر. نباید فکر کرد که هر معادله ای هر خطی را تعیین می کند. به عنوان مثال، معادله هیچ خطی را تعریف نمی کند. در واقع برای هر مقدار واقعی و y، سمت چپ این معادله مثبت و سمت راست برابر با صفر است و بنابراین، این معادله با مختصات هیچ نقطه ای از صفحه نمی تواند برآورده شود.
یک خط را می توان در یک صفحه نه تنها با یک معادله حاوی مختصات دکارتی، بلکه با یک معادله در مختصات قطبی تعریف کرد. خطی که با یک معادله در مختصات قطبی تعریف می شود، مکان هندسی نقاط در صفحه ای است که مختصات قطبی آن این معادله را برآورده می کند.
مثال 1. یک مارپیچ ارشمیدس در .
راه حل. بیایید یک جدول برای برخی از مقادیر زاویه قطبی و مقادیر مربوط به شعاع قطبی ایجاد کنیم.
ما یک نقطه در سیستم مختصات قطبی می سازیم که آشکارا با قطب منطبق است. سپس با ترسیم محور به صورت زاویه ای نسبت به محور قطبی، نقطه ای با مختصات مثبت روی این محور می سازیم، پس از آن به طور مشابه نقاطی با مقادیر مثبت زاویه قطبی و شعاع قطبی می سازیم (محورهای این نقاط عبارتند از در شکل 30 نشان داده نشده است).
همانطور که مشخص است، هر نقطه در هواپیما توسط دو مختصات در یک سیستم مختصات تعیین می شود. سیستم های مختصات بسته به انتخاب مبنا و مبدا می توانند متفاوت باشند.
تعریف: معادله یک خط، رابطه y = f(x) بین مختصات نقاط تشکیل دهنده این خط است.
توجه داشته باشید که معادله خط را می توان به صورت پارامتری بیان کرد، یعنی هر مختصات هر نقطه از طریق برخی پارامترهای مستقل بیان می شود. تی. یک مثال معمولی، مسیر حرکت یک نقطه متحرک است. در این حالت زمان نقش یک پارامتر را بازی می کند.
انواع مختلف معادله یک خط مستقیم
معادله کلی یک خط مستقیم
هر خطی در صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد
Ah + Wu + C = 0،
علاوه بر این، ثابت های A، B در همان زمان برابر با صفر نیستند، یعنی. A 2 + B 2 ¹ 0. این معادله مرتبه اول را معادله کلی خط مستقیم می نامند. .
بسته به مقادیر ثابت A، Bو C، موارد خاص زیر ممکن است:
C \u003d 0، A 1 0، B 1 0 - خط از مبدأ عبور می کند
A \u003d 0، B 1 0، C 1 0 (با + C \u003d 0) - خط موازی با محور Ox است
B \u003d 0، A 1 0، C 1 0 (Ax + C \u003d 0) - خط موازی با محور Oy است
B \u003d C \u003d 0، A ¹ 0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است
A \u003d C \u003d 0، B ¹ 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است
معادله یک خط مستقیم را می توان در آن نشان داد در اشکال مختلفبسته به شرایط اولیه
معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.
بگذارید دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) در فضا داده شود، سپس معادله خط مستقیمی که از این نقاط می گذرد:
اگر هر یک از مخرج ها برابر با صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. در یک صفحه، معادله یک خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:
اگر x 1 ¹ x 2 و x \u003d x 1، اگر x 1 \u003d x 2.
کسر = k را شیب خط مستقیم می نامند.
معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک شیب.
اگر معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به شکل زیر منجر شود:
و نشان دهید، سپس معادله حاصل را معادله یک خط مستقیم با شیب k می نامند.
معادله یک خط مستقیم در پاره ها.
اگر در معادله کلی خط مستقیم Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0، پس از تقسیم بر –С، به دست می آید: یا
معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تقاطع خط با محور x است و ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.
معادله عادی یک خط مستقیم.
اگر هر دو قسمت معادله Ax + Vy + C = 0 بر عددی تقسیم شوند که به آن ضریب نرمال کننده می گویند، آنگاه به دست می آوریم.
xcosj + ysinj - p = 0 -
معادله عادی یک خط مستقیم
علامت ± ضریب نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که m × С< 0.
p طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم و j زاویه ای است که توسط این عمود با جهت مثبت محور Ox تشکیل می شود.
زاویه بین خطوط در یک صفحه.
اگر دو خط y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شود، آنگاه زاویه تند بین این خطوط به صورت تعریف می شود.
اگر k 1 = k 2 دو خط موازی باشند.
دو خط عمود هستند اگر k 1 = -1 / k 2 .
قضیه. خطوط مستقیم Ax + Vy + C \u003d 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 زمانی که ضرایب A 1 \u003d lA ، B 1 \u003d lB متناسب باشند موازی هستند. اگر C 1 = lC نیز باشد، خطوط بر هم منطبق هستند.
مختصات نقطه تقاطع دو خط به عنوان راه حل برای یک سیستم دو معادله پیدا می شود.
فاصله از یک نقطه تا یک خط.
قضیه. اگر یک نقطه M(x 0، y 0) داده شود، فاصله تا خط Ax + Vy + C \u003d 0 به صورت تعریف می شود.
سخنرانی 5
مقدمه ای بر تحلیل. حساب دیفرانسیل یک تابع از یک متغیر.
محدودیت عملکرد
حد یک تابع در یک نقطه
0 a - D a a + D x
شکل 1. حد یک تابع در یک نقطه.
اجازه دهید تابع f(x) در همسایگی نقطه x = a تعریف شود (یعنی در خود نقطه x = a، تابع ممکن است تعریف نشده باشد)
تعریف. عدد A حد تابع f(x) برای x®a نامیده می شود اگر برای هر e>0 عدد D>0 وجود داشته باشد به طوری که برای همه x به طوری که
0 < ïx - aï < D
نابرابری ïf(x) - Aï< e.
همین تعریف را می توان به شکل دیگری نوشت:
اگر a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
نوشتن حد یک تابع در یک نقطه:
تعریف.
اگر f(x) ® A 1 برای x ® a فقط برای x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a، سپس حد تابع f(x) در نقطه x = a سمت راست نامیده می شود.
تعریف فوق به حالتی اشاره دارد که تابع f(x) در خود نقطه x = a تعریف نشده است، اما در یک محله کوچک دلخواه این نقطه تعریف شده است.
محدودیت های A 1 و A 2 نیز نامیده می شوند یک جانبه خارج از تابع f(x) در نقطه x = a. همچنین گفته می شود که A محدودیت عملکرد f(x).
معادله یک خط در یک هواپیما.
همانطور که مشخص است، هر نقطه در هواپیما توسط دو مختصات در یک سیستم مختصات تعیین می شود. سیستم های مختصات بسته به انتخاب مبنا و مبدا می توانند متفاوت باشند.
تعریف.معادله خطنسبت نامیده می شود y = f(x ) بین مختصات نقاط تشکیل دهنده این خط.
توجه داشته باشید که معادله خط را می توان به صورت پارامتری بیان کرد، یعنی هر مختصات هر نقطه از طریق برخی پارامترهای مستقل بیان می شود.تی.
یک مثال معمولی، مسیر حرکت یک نقطه متحرک است. در این حالت زمان نقش یک پارامتر را بازی می کند.
معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.
تعریف. هر خطی در صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد
Ah + Wu + C = 0،
علاوه بر این، ثابت های A، B در همان زمان برابر با صفر نیستند، یعنی. A 2 + B 2¹ 0. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی یک خط مستقیم
بسته به مقادیر ثابت های A، B و C، موارد خاص زیر ممکن است:
C = 0، A 1 0، B 1 0 - خط مستقیم از مبدا می گذرد
A = 0، B 1 0، C 1 0 (با + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Ox
B = 0، A 1 0، C 1 0 (Ax + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Oy
B = C = 0، A 1 0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است
A = C = 0، B 1 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است
معادله یک خط مستقیم بسته به شرایط اولیه می تواند به اشکال مختلف ارائه شود.
فاصله از یک نقطه تا یک خط.
قضیه. اگر یک نقطه M(x 0، y 0) داده شود، فاصله تا خط Ax + Vy + C \u003d 0 به صورت تعریف می شود.
.
اثبات بگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M به یک خط مستقیم داده شده کاهش یافته است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:
(1)
مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:
معادله دوم سیستم معادله خطی است که از نقطه معینی M 0 عمود بر یک خط معین می گذرد.
اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،
سپس، حل، می گیریم:
با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:
.
قضیه ثابت شده است.
مثال.زاویه بین خطوط مستقیم را تعیین کنید: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
K 1 = -3; k 2 = 2 tg j = ; j = p /4.
مثال.نشان دهید که خطوط 3x – 5y + 7 = 0 و 10x + 6y – 3 = 0 عمود هستند.
ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 k 2 = -1، بنابراین، خطوط عمود هستند.
مثال.با توجه به رئوس مثلث A(0; 1)،ب (6؛ 5)، ج (12؛ -1). معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.
در مطالب قبلی به بررسی نکات اصلی در رابطه با موضوع خط مستقیم در صفحه پرداختیم. حالا بیایید به بررسی معادله یک خط مستقیم بپردازیم: بیایید در نظر بگیریم که معادله یک خط مستقیم را می توان معادله خط مستقیم نامید و همچنین معادله یک خط مستقیم را در یک صفحه چه شکلی دارد.
Yandex.RTB R-A-339285-1
تعیین معادله یک خط مستقیم در یک صفحه
فرض کنید یک خط مستقیم وجود دارد که در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی O x y مشخص شده است.
تعریف 1
خط مستقیم- این شکل هندسی، که از نقطه تشکیل شده است. هر نقطه مختصات خود را در امتداد محورهای ابسیسا و مختصات دارد. معادله ای که وابستگی مختصات هر نقطه را به یک خط در سیستم دکارتی O x y توصیف می کند، معادله یک خط در یک صفحه نامیده می شود.
در واقع معادله یک خط در یک صفحه معادله ای است با دو متغیر که به صورت x و y مشخص می شوند. معادله زمانی به هویت تبدیل می شود که مقادیر هر یک از نقاط خط مستقیم جایگزین آن شود.
بیایید ببینیم معادله یک خط مستقیم در یک هواپیما چگونه خواهد بود. کل بخش بعدی مقاله ما به این موضوع اختصاص خواهد یافت. توجه داشته باشید که چندین گزینه برای نوشتن معادله خط مستقیم وجود دارد. این با وجود چندین روش برای تعریف یک خط مستقیم در یک هواپیما و همچنین با ویژگی های مختلف وظایف توضیح داده می شود.
بیایید با قضیه ای آشنا شویم که شکل معادله یک خط مستقیم را در یک صفحه در سیستم مختصات دکارتی O x y مشخص می کند.
قضیه 1
معادله ای به شکل A x + B y + C = 0، که در آن x و y متغیر هستند، و A، B و C برخی از اعداد واقعی هستند که A و B برابر با صفر نیستند، یک خط مستقیم را در سیستم مختصات دکارتی O x y. به نوبه خود، هر خط مستقیم روی صفحه را می توان با معادله ای به شکل Ax + B y + C = 0 مشخص کرد.
بنابراین، معادله کلی یک خط مستقیم در یک صفحه به شکل A x + B y + C = 0 است.
اجازه دهید برخی از جنبه های مهم موضوع را توضیح دهیم.
مثال 1
به تصویر نگاه کن.
خط در نقاشی با معادله ای به شکل 2 x + 3 y - 2 = 0 تعیین می شود، زیرا مختصات هر نقطه ای که این خط را تشکیل می دهد معادله داده شده را برآورده می کند. در همان زمان، تعداد معینی از نقاط روی صفحه، که با معادله 2 x + 3 y - 2 = 0 تعریف شده است، خط مستقیمی را که در شکل می بینیم به ما می دهد.
معادله کلی یک خط می تواند کامل یا ناقص باشد. در معادله کامل، تمام اعداد A، B و C غیر صفر هستند. در تمام موارد دیگر، معادله ناقص در نظر گرفته می شود. معادله ای به شکل A x + B y = 0 یک خط مستقیم را تعریف می کند که از مبدا می گذرد. اگر A برابر با صفر باشد، معادله A x + B y + C = 0 یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا Ox را مشخص می کند. اگر B برابر با صفر باشد، خط موازی با محور ارتین O y است.
نتیجه گیری: برای مجموعه خاصی از مقادیر اعداد A، B و C، با استفاده از معادله کلی یک خط مستقیم، می توانید هر خط مستقیمی را در یک صفحه در سیستم مختصات مستطیلی Ox y بنویسید.
خطی که با معادله ای به شکل A x + B y + C = 0 تعریف می شود دارای یک بردار خط معمولی با مختصات A، B است.
تمام معادلات خطوط داده شده را که در زیر در نظر خواهیم گرفت را می توان از معادله کلی یک خط به دست آورد. فرآیند معکوس نیز ممکن است، زمانی که هر یک از معادلات مورد بررسی را بتوان به معادله کلی خط مستقیم کاهش داد.
شما می توانید تمام تفاوت های ظریف موضوع را در مقاله "معادله عمومی خط مستقیم" درک کنید. در مطالب ما یک اثبات قضیه را با تصاویر گرافیکی و تجزیه و تحلیل دقیق مثال ها ارائه می دهیم. توجه ویژه ای در مقاله به انتقال از معادله کلی یک خط به معادلات انواع دیگر و بالعکس شده است.
معادله یک خط مستقیم در پاره ها به شکل x a + y b = 1 است که a و b برخی از اعداد واقعی هستند که برابر با صفر نیستند. مقادیر مطلق اعداد a و b برابر است با طول قطعاتی که با یک خط مستقیم بر روی محورهای مختصات قطع شده اند. طول بخش ها از مبدا اندازه گیری می شود.
به لطف معادله، می توانید به راحتی یک خط مستقیم در نقاشی بکشید. برای این کار باید نقاط a، 0 و 0، b را در یک سیستم مختصات مستطیلی علامت گذاری کنید و سپس آنها را با یک خط مستقیم به هم وصل کنید.
مثال 2
بیایید یک خط مستقیم بسازیم که با فرمول x 3 + y - 5 2 = 1 به دست می آید. دو نقطه روی نمودار 3، 0، 0، - 5 2 علامت گذاری می کنیم و آنها را به هم وصل می کنیم.
این معادلات با شکل y = k · x + b باید از درس جبر برای ما به خوبی شناخته شوند. در اینجا x و y متغیر هستند، k و b برخی از اعداد واقعی هستند که k نشان دهنده شیب است. در این معادلات، متغیر y تابعی از آرگومان x است.
اجازه دهید ضریب زاویه ای را با تعیین زاویه شیب خط مستقیم به جهت مثبت محور Ox تعریف کنیم.
تعریف 2
برای نشان دادن زاویه تمایل خط مستقیم به جهت مثبت محور Ox در دستگاه مختصات دکارتی، مقدار زاویه α را معرفی می کنیم. زاویه از جهت مثبت محور x به خط مستقیم در خلاف جهت عقربه های ساعت اندازه گیری می شود. اگر خط موازی با محور Ox یا منطبق با آن باشد، زاویه α برابر با صفر در نظر گرفته می شود.
شیب یک خط مماس زاویه میل این خط است. این به صورت زیر نوشته می شود: k = t g α. برای یک خط مستقیم که موازی با محور O y یا منطبق با آن است، نمی توان معادله خط مستقیم را با یک ضریب زاویه ای نوشت، زیرا ضریب زاویه ای در این حالت به بی نهایت تبدیل می شود (وجود ندارد) .
خط مستقیم که با معادله y = k x + b به دست می آید، از نقطه 0، b روی مصداق می گذرد. این بدان معنی است که معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای y = k x + b خط مستقیمی را در صفحه مشخص می کند که از نقطه 0, b می گذرد و زاویه α را با جهت مثبت محور Ox تشکیل می دهد و k. = t g α.
مثال 3
بیایید یک خط مستقیم بکشیم که با معادله ای به شکل y = 3 · x - 1 تعیین می شود.
این خط باید از نقطه (0، - 1) عبور کند. زاویه شیب α = a r c t g 3 = π 3 برابر با 60 درجه جهت مثبت محور Ox است. شیب 3 است
لطفاً توجه داشته باشید که با استفاده از معادله یک خط مستقیم با ضریب شیب، جستجوی معادله مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه بسیار راحت است.
مطالب بیشتر در مورد این موضوع را می توان در مقاله "معادله یک خط با ضریب زاویه" یافت. علاوه بر تئوری، تعداد زیادی مثال گرافیکی و تجزیه و تحلیل دقیق مسائل وجود دارد.
این نوع معادله به شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y است که در آن x 1، y 1، a x، a y برخی از اعداد واقعی هستند که x و a y برابر با صفر نیستند.
یک خط مستقیم که با معادله متعارف یک خط تعریف می شود، از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد. اعداد a x و a y در مخرج کسرها نشان دهنده مختصات بردار جهت خط مستقیم هستند. این بدان معنی است که معادله متعارف یک خط مستقیم x - x 1 a x = y - y 1 a y در سیستم مختصات دکارتی O x y مربوط به خطی است که از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد و دارای بردار جهت است. a → = (a x, a y) .
مثال 4
اجازه دهید یک خط مستقیم در سیستم مختصات O x y رسم کنیم که با معادله x - 2 3 = y - 3 1 به دست می آید. نقطه M 1 (2، 3) متعلق به خط مستقیم است، بردار a → (3، 1) بردار جهت این خط مستقیم است.
معادله خط مستقیم متعارف به شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y را می توان در مواردی که a x یا a y برابر با صفر است استفاده کرد. وجود یک صفر در مخرج ورودی x - x 1 a x = y - y 1 a y را مشروط می کند. معادله را می توان به صورت زیر نوشت: a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
در حالتی که a x = 0، معادله متعارف یک خط به شکل x - x 1 0 = y - y 1 a y می شود و خط مستقیمی را مشخص می کند که موازی با محور رده یا منطبق با این محور است.
معادله متعارف یک خط مستقیم، مشروط بر اینکه a y = 0، به شکل x - x 1 a x = y - y 1 0 باشد. این معادله یک خط مستقیم را مشخص می کند که به موازات یا منطبق با محور x قرار دارد.
مطالب بیشتر در مورد معادله متعارف خط را اینجا ببینید. در مقاله ما تعدادی راه حل برای مشکلات و همچنین مثال های متعددی ارائه می دهیم که به شما امکان می دهد بهتر بر موضوع تسلط پیدا کنید.
معادلات پارامتریک یک خط در یک صفحه
این معادلات به شکل x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ هستند، که در آن x 1، y 1، a x، a y برخی از اعداد حقیقی هستند که x و a y نمی توانند همزمان با صفر برابر باشند. زمان. یک پارامتر اضافی λ به فرمول وارد می شود که می تواند هر مقدار واقعی را بگیرد.
هدف یک معادله پارامتری ایجاد روابط ضمنی بین مختصات نقاط روی یک خط مستقیم است. به همین دلیل پارامتر λ معرفی شده است.
اعداد x و y مختصات نقطه ای از خط را نشان می دهند. آنها با استفاده از معادلات پارامتری خط برای مقدار واقعی مشخصی از پارامتر λ محاسبه می شوند.
مثال 5
فرض کنید λ = 0.
سپس x = x 1 + a x 0 y = y 1 + a y 0 ⇔ x = x 1 y = y 1، یعنی نقطه با مختصات (x 1، y 1) متعلق به خط است.
توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که ضرایب a x و a y برای پارامتر λ در این نوع معادلات نشان دهنده مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم است.
مثال 6
بیایید معادلات پارامتریک یک خط مستقیم به شکل x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ را در نظر بگیریم. خط مستقیم تعریف شده توسط معادلات در سیستم مختصات دکارتی از نقطه (x 1, y 1) عبور می کند و دارای یک بردار جهت a → = (3، 1) است.
اطلاعات بیشتر را در مقاله “معادلات پارامتریک خط در یک صفحه” بیابید.
معادله عادی یک خط به شکل A x + B y + C = 0 است که اعداد A، B و C به گونه ای هستند که طول بردار n → = (A, B) برابر با یک است. و C ≤ 0.
بردار نرمال یک خط که با معادله عادی یک خط در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y تعریف شده است بردار n → = (A, B) است. این خط در فاصله C از مبدأ در جهت بردار n → = (A, B) می گذرد.
روش دیگر برای نوشتن معادله عادی یک خط مستقیم، cos α x + cos β y - p = 0 است، که در آن cos α و cos β دو عدد واقعی هستند که نشان دهنده کسینوس های جهت یک بردار خط عادی با طول واحد هستند. این بدان معنی است که n → = (cos α، cos β)، برابری n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 درست است، مقدار p ≥ 0 و برابر است با فاصله مبدا تا خط مستقیم.
مثال 7
معادله کلی خط را در نظر بگیرید - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0. این معادله کلی یک خط یک معادله عادی یک خط است، زیرا n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 و C = - 3 ≤ 0.
این معادله یک خط مستقیم را در سیستم مختصات دکارتی 0xy تعریف می کند که بردار نرمال آن دارای مختصات - 1 2، 3 2 است. خط به اندازه 3 واحد در جهت بردار نرمال n → = - 1 2، 3 2 از مبدا حذف می شود.
توجه شما را به این واقعیت جلب می کنیم که معادله معمولی یک خط در یک هواپیما به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک خط در یک صفحه را پیدا کنید.
اگر در معادله کلی خط A x + B y + C = 0 اعداد A، B و C به گونه ای باشند که معادله A x + B y + C = 0 معادله عادی خط نباشد، می توان به شکل عادی کاهش یابد. در مقاله "معادله عادی یک خط" در این مورد بیشتر بخوانید.
اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید
اجازه دهید یک رابطه از فرم را در نظر بگیریم F(x, y)=0، متغیرها را به هم متصل می کند ایکسو در. ما برابری را می نامیم (1) معادله با دو متغیر x,y,اگر این برابری برای همه جفت اعداد صادق نباشد ایکسو در. نمونه هایی از معادلات: 2x + 3y = 0، x 2 + y 2 - 25 = 0،
sin x + sin y – 1 = 0.
اگر (1) برای همه جفت اعداد x و y صادق باشد، آن را فراخوانی می‌کنیم هویت. نمونه هایی از هویت ها: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0، (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 = 0.
معادله (1) را فراخوانی می کنیم. معادله مجموعه ای از نقاط (x; y)،اگر این معادله توسط مختصات ارضا شود ایکسو درهر نقطه از مجموعه و با مختصات هر نقطه ای که به این مجموعه تعلق ندارد ارضا نمی شوند.
یک مفهوم مهم در هندسه تحلیلی مفهوم معادله خط است. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی و یک خط مشخص در صفحه داده شود α.
تعریف.معادله (1) را معادله خط می نامند α
(در سیستم مختصات ایجاد شده)، اگر این معادله توسط مختصات ارضا شود ایکسو درهر نقطه ای که روی خط باشد α
، و مختصات هیچ نقطه ای را که در این خط قرار ندارد برآورده نکنید.
اگر (1) معادله خط باشد α, سپس می گوییم که معادله (1) تعریف می کند (مجموعه می کند)خط α.
خط α نه تنها با یک معادله شکل (1)، بلکه با یک معادله شکل نیز قابل تعیین است
F (P, φ) = 0حاوی مختصات قطبی
- معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای؛
اجازه دهید مقداری خط مستقیم، نه عمود بر محور، داده شود اوه. بیا تماس بگیریم زاویه شیبخط مستقیم به محور داده می شود اوهگوشه α ، که محور باید به آن بچرخد اوهبه طوری که جهت مثبت با یکی از جهات خط مستقیم منطبق است. مماس زاویه میل خط مستقیم به محور اوهتماس گرفت شیباین خط و با حرف مشخص می شود به.
|
|||
|
|||
اگر بدانیم معادله این خط را به دست می آوریم بهو مقدار در بخش OV، که بر روی محور قطع می کند OU.
|
|
معادله (2) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای.اگر K=0، سپس خط مستقیم با محور موازی است اوهو معادله آن است y = ب.
- معادله خطی که از دو نقطه عبور می کند.
|
|
. این معادله اگر است y 1 ≠ y 2، را می توان به صورت زیر نوشت: اگر y 1 = y 2، سپس معادله خط مورد نظر شکل می گیرد y = y 1. در این حالت، خط مستقیم موازی با محور است اوه. اگر x 1 = x 2، سپس خط مستقیمی که از نقاط می گذرد M 1و M 2، موازی با محور OU، معادله آن شکل دارد x = x 1.
- معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین با شیب معین عبور می کند.
|
|
و برعکس، معادله (5) برای ضرایب دلخواه الف، ب، ج (آو B ≠ 0به طور همزمان) یک خط مستقیم مشخص را در یک سیستم مختصات مستطیلی تعریف می کند اوه
اثبات
ابتدا بیایید جمله اول را ثابت کنیم. اگر خط عمود نباشد اوه،سپس با معادله درجه اول مشخص می شود: y = kx + b، یعنی معادله شکل (5)، که در آن
A = k، B = -1و C = b.اگر خط عمود باشد اوه،سپس تمام نقاط آن دارای ابسیسا یکسان، برابر با مقدار هستند α قطعه بریده شده توسط یک خط مستقیم در محور اوه
معادله این خط شکل دارد x = α،آن ها همچنین معادله درجه اول شکل (5) است که در آن A = 1، B = 0، C = - α.این بیانیه اول را ثابت می کند.
بیایید ثابت کنیم بیانیه معکوس. اجازه دهید معادله (5) و حداقل یکی از ضرایب داده شود آو B ≠ 0.
اگر B ≠ 0، سپس (5) را می توان به شکل نوشت. تخت 
، معادله را بدست می آوریم y = kx + b، یعنی معادله ای از شکل (2) که یک خط مستقیم را تعریف می کند.
اگر B = 0، آن A ≠ 0و (5) به شکل . نشان دادن توسط α, ما گرفتیم
x = α، یعنی معادله یک خط عمود بر اوه.
خطوطی که در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادله درجه اول تعریف می شوند نامیده می شوند خطوط سفارش اول
معادله فرم تبر + وو + سی = 0ناقص است، یعنی برخی از ضرایب برابر با صفر است.
1) C = 0; Ah + Wu = 0و خط مستقیمی را که از مبدا می گذرد تعریف می کند.
2) B = 0 (A ≠ 0); معادله تبر + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0و یک خط مستقیم را موازی تعریف می کند اوه
معادله (6) معادله یک خط مستقیم "در پاره" نامیده می شود. شماره آو بمقادیر قطعاتی هستند که خط مستقیم بر روی محورهای مختصات قطع می کند. این شکل از معادله برای ساخت هندسی یک خط مستقیم مناسب است.
- معادله عادی یک خط؛
Ax + Вy + С = 0 معادله کلی یک خط معین است و (5) ایکس cos α + y sin α – p = 0(7)
معادله عادی آن
از آنجایی که معادلات (5) و (7) یک خط مستقیم را تعریف می کنند، پس ( A 1x + B 1y + C 1 = 0و
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) ضرایب این معادلات متناسب است. به این معنی که با ضرب تمام عبارات معادله (5) در یک عامل معین M، معادله را بدست می آوریم. MA x + MV y + MS = 0، مصادف با معادله (7) i.e.
MA = cos α، MB = گناه α، MC = - P(8)
برای یافتن عامل M، دو برابر اول را مربع می کنیم و اضافه می کنیم:
M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1
(9)