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Características geométricas de secciones planas.

Cuadrado: , dF - plataforma elemental.

Momento estático de un elemento de área.dF relativo al eje 0x
- producto del elemento área por la distancia "y" del eje 0x: dS x = ydF

Habiendo sumado (integrado) dichos productos en toda el área de la figura, obtenemos momentos estáticos relativo a los ejes y y x:
;
[cm 3, m 3, etc.].

Coordenadas del centro de gravedad:
. Momentos estáticos relativos ejes centrales(ejes que pasan por el centro de gravedad de la sección) son iguales a cero. Al calcular los momentos estáticos de una figura compleja, se divide en partes simples, con áreas conocidas F i y coordenadas de los centros de gravedad x i, y i. El momento estático del área de toda la figura = la suma de los momentos estáticos de cada una de sus partes:
.

Coordenadas del centro de gravedad de una figura compleja:

METRO
Momentos de inercia de la sección

Axial(ecuatorial) momento de inercia de la sección- la suma de los productos de áreas elementales dF por los cuadrados de sus distancias al eje.

;
[cm 4, m 4, etc.].

El momento polar de inercia de una sección con respecto a un determinado punto (polo) es la suma de los productos de áreas elementales por los cuadrados de sus distancias desde este punto.
; [cm 4, m 4, etc.]. J y + J x = J p .

Momento de inercia centrífugo de la sección.- la suma de los productos de áreas elementales y sus distancias a dos ejes mutuamente perpendiculares.
.

El momento de inercia centrífugo de la sección con respecto a los ejes, uno o ambos coinciden con los ejes de simetría, es igual a cero.

Los momentos de inercia axiales y polares son siempre positivos; los momentos de inercia centrífugos pueden ser positivos, negativos o nulos.

El momento de inercia de una figura compleja es igual a la suma de los momentos de inercia de sus partes constituyentes.

Momentos de inercia de secciones de forma simple.

PAG
círculo de sección rectangular

A


anillo

t
triángulo

R
isofemoral

Rectangular

t
triángulo

h cuarto de circulo

J y =J x =0.055R 4

J xy =0,0165R 4

en la Fig. (-)

Semicírculo

METRO

Los momentos de inercia de los perfiles estándar se obtienen de las tablas de surtido:

D
vutavr Canal Esquina

METRO

Momentos de inercia respecto de ejes paralelos.:

j x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

el momento de inercia respecto de cualquier eje es igual al momento de inercia respecto del eje central paralelo al dado, más el producto del área de la figura por el cuadrado de la distancia entre los ejes. J y1x1 =J yx + abF; (“a” y “b” se sustituyen en la fórmula teniendo en cuenta su signo).

Dependencia entre momentos de inercia al girar los ejes:

j x1 =J x cos 2  + J y sen 2  - J xy sen2; J y1 =J y cos 2  + J x sen 2  + J xy sen2;

J x1y1 =(J x - J y)sen2 + J xy cos2 ;

Ángulo >0, si la transición del antiguo sistema de coordenadas al nuevo se produce en sentido antihorario. J y1 + J x1 = J y + J x

Los valores extremos (máximo y mínimo) de los momentos de inercia se denominan principales momentos de inercia. Los ejes alrededor de los cuales los momentos axiales de inercia tienen valores extremos se denominan principales ejes de inercia. Los principales ejes de inercia son mutuamente perpendiculares. Momentos de inercia centrífuga respecto de los ejes principales = 0, es decir ejes principales de inercia: ejes alrededor de los cuales el momento centrífugo de inercia = 0. Si uno de los ejes coincide o ambos coinciden con el eje de simetría, entonces son los principales. Ángulo que define la posición de los ejes principales:
, si  0 >0  los ejes giran en sentido antihorario. El eje máximo siempre forma un ángulo menor con el de los ejes respecto de los cuales el momento de inercia tiene mayor valor. Los ejes principales que pasan por el centro de gravedad se llaman principales ejes centrales de inercia. Momentos de inercia respecto de estos ejes:

J máx + J mín = J x + J y . El momento de inercia centrífugo con respecto a los principales ejes centrales de inercia es igual a 0. Si se conocen los principales momentos de inercia, entonces las fórmulas para la transición a los ejes girados son:

J x1 =J máx cos 2  + J mín sen 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sen 2 ; J x1y1 =(J máx - J mín)sen2;

El objetivo final del cálculo de las características geométricas de la sección es determinar los principales momentos centrales de inercia y la posición de los principales ejes centrales de inercia. R radio de inercia -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Si J x y J y son los principales momentos de inercia, entonces i x e i y - radios principales de inercia. Una elipse construida sobre los radios de inercia principales como sobre los semiejes se llama elipse de inercia. Usando la elipse de inercia, puedes encontrar gráficamente el radio de inercia i x1 para cualquier eje x1. Para hacer esto, debe dibujar una tangente a la elipse, paralela al eje x1, y medir la distancia desde este eje a la tangente. Conociendo el radio de inercia, puedes encontrar el momento de inercia de la sección con respecto al eje x 1:
. Para secciones con más de dos ejes de simetría (por ejemplo: círculo, cuadrado, anillo, etc.), los momentos axiales de inercia respecto de todos los ejes centrales son iguales entre sí, J xy = 0, la elipse de inercia se convierte en una círculo de inercia.

Momentos de resistencia.

Momento axial de resistencia- la relación entre el momento de inercia alrededor del eje y la distancia desde él hasta el punto más distante de la sección.
[cm 3, m 3]

Particularmente importantes son los momentos de resistencia con respecto a los principales ejes centrales:

rectángulo:
; círculo: W x =W y =
,

sección tubular (anillo): W x =W y =
, donde = re N / d B .

Momento polar de resistencia: la relación entre el momento polar de inercia y la distancia desde el polo hasta el punto más distante de la sección:
.

Para un círculo W р =
.

El momento de inercia axial (o ecuatorial) de una sección con respecto a un determinado eje es la suma de los productos de áreas elementales tomadas en toda su área F por los cuadrados de sus distancias a este eje, es decir,

El momento polar de inercia de una sección con respecto a un determinado punto (polo) es la suma de los productos de áreas elementales tomadas en toda su área F por los cuadrados de sus distancias desde este punto, es decir

El momento de inercia centrífugo de una sección con respecto a dos ejes mutuamente perpendiculares es la suma de los productos de áreas elementales tomadas en toda su área F y sus distancias a estos ejes, es decir

Los momentos de inercia se expresan en, etc.

Los momentos de inercia axiales y polares son siempre positivos, ya que sus expresiones bajo los signos integrales incluyen los valores de las áreas (siempre positivos) y los cuadrados de las distancias de estas áreas a un eje o polo determinado.

En la Fig. 9.5, a muestra una sección con área F y muestra los ejes y y z. Momentos de inercia axiales de esta sección con respecto a los ejes y:

La suma de estos momentos de inercia

y por lo tanto

Por tanto, la suma de los momentos de inercia axiales de una sección con respecto a dos ejes mutuamente perpendiculares es igual al momento de inercia polar de esta sección con respecto al punto de intersección de estos ejes.

Los momentos de inercia centrífugos pueden ser positivos, negativos o nulos. Por ejemplo, el momento de inercia centrífugo de la sección que se muestra en la Fig. 9.5, a, con respecto a los ejes y es positiva, ya que para la parte principal de esta sección, ubicada en el primer cuadrante, los valores de , y por tanto, son positivos.

Si cambia la dirección positiva del eje y o la dirección opuesta (Fig. 9.5, b) o gira ambos ejes 90° (Fig. 9.5, c), entonces el momento de inercia centrífugo se volverá negativo (su El valor absoluto no cambiará), ya que la parte principal de la sección se ubicará en un cuadrante para el cual las coordenadas y son positivas y las coordenadas z son negativas. Si cambia las direcciones positivas de ambos ejes al contrario, esto no cambiará ni el signo ni la magnitud del momento de inercia centrífugo.

Consideremos una figura que es simétrica con respecto a uno o más ejes (figura 10.5). Dibujemos los ejes de manera que al menos uno de ellos (en este caso, el eje y) coincida con el eje de simetría de la figura. En este caso, cada plataforma situada a la derecha del eje corresponde a la misma plataforma situada simétricamente a la primera, pero a la izquierda del eje y. El momento de inercia centrífugo de cada par de plataformas ubicadas simétricamente es igual a:

Por eso,

Así, el momento de inercia centrífugo de la sección con respecto a los ejes, uno o ambos coinciden con sus ejes de simetría, es igual a cero.

El momento de inercia axial de una sección compleja con respecto a un determinado eje es igual a la suma de los momentos de inercia axial de sus partes constituyentes con respecto al mismo eje.

De manera similar, el momento de inercia centrífugo de una sección compleja con respecto a dos ejes mutuamente perpendiculares es igual a la suma de los momentos de inercia centrífugos de sus partes constituyentes con respecto a los mismos ejes. Además, el momento polar de inercia de una sección compleja con respecto a un determinado punto es igual a la suma de los momentos polares de inercia de sus partes constituyentes con respecto al mismo punto.

Hay que tener en cuenta que los momentos de inercia calculados respecto de diferentes ejes y puntos no se pueden sumar.

Al comprobar la resistencia de partes de estructuras, nos encontramos con secciones de formas bastante complejas, para las cuales es imposible calcular el momento de inercia de una forma tan sencilla como la que utilizamos para un rectángulo y un círculo.

Una sección de este tipo podría ser, por ejemplo, una barra en T (Fig. 5 A) sección anular de una tubería sujeta a flexión (estructuras de aeronaves) (Fig.5, b), sección anular del muñón del eje o incluso secciones más complejas. Todas estas secciones se pueden dividir en otras simples, como rectángulos, triángulos, círculos, etc. Se puede demostrar que el momento de inercia de una figura tan compleja es la suma de los momentos de inercia de las partes en las que la dividimos.

Fig.5. Secciones tipo T - a) y anillo b)

Se sabe que el momento de inercia de cualquier figura con respecto al eje. en— en igual a:

Dónde z— distancia de las almohadillas elementales al eje en—en.

Dividamos el área tomada en cuatro partes: , y . Ahora, al calcular el momento de inercia, puedes agrupar los términos en la función integrando para realizar la suma por separado para cada una de las cuatro áreas seleccionadas y luego sumar estas sumas. Esto no cambiará el valor de la integral.

Nuestra integral se dividirá en cuatro integrales, cada una de las cuales cubrirá una de las áreas, y:

Cada una de estas integrales representa el momento de inercia de la parte correspondiente del área con respecto al eje. en— en; Es por eso

¿Dónde está el momento de inercia respecto del eje? en — enárea, - lo mismo para área, etc.

El resultado obtenido se puede formular de la siguiente manera: el momento de inercia de una figura compleja es igual a la suma de los momentos de inercia de sus partes constituyentes. Por tanto, debemos poder calcular el momento de inercia de cualquier figura con respecto a cualquier eje que se encuentre en su plano.

La solución a este problema es el contenido de esta y las dos próximas entrevistas.

Momentos de inercia respecto de ejes paralelos.

El problema de obtener las fórmulas más sencillas para calcular el momento de inercia de cualquier figura con respecto a cualquier eje se resolverá en varios pasos. Si tomamos una serie de ejes paralelos entre sí, resulta que podemos calcular fácilmente los momentos de inercia de una figura respecto de cualquiera de estos ejes, conociendo su momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad de la figura. paralelo a los ejes elegidos.

Figura 1. Modelo de cálculo para la determinación de momentos de inercia para ejes paralelos.

Llamaremos a los ejes que pasan por el centro de gravedad. ejes centrales. Tomemos (Fig. 1) una cifra arbitraria. Dibujemos el eje central. UNED, llamaremos momento de inercia con respecto a este eje. Dibujemos un eje en el plano de la figura. paralelo ejes en a cierta distancia de ella. Encontremos la relación entre y - el momento de inercia con respecto al eje. Para hacer esto, escribiremos expresiones para y . Dividamos el área de la figura en áreas; las distancias de cada una de estas plataformas a los ejes en y llamemos y . Entonces

De la Fig. 1 tenemos:

La primera de estas tres integrales es el momento de inercia con respecto al eje central. UNED. El segundo es el momento estático alrededor del mismo eje; es igual a cero, ya que el eje en pasa por el centro de gravedad de la figura. Finalmente, la tercera integral es igual al área de la figura. F. De este modo,

(1)

es decir, el momento de inercia respecto de cualquier eje es igual al momento de inercia respecto del eje central paralelo al dado, más el producto del área de la figura por el cuadrado de la distancia entre los ejes.

Esto significa que nuestra tarea ahora se ha reducido a calcular sólo los momentos centrales de inercia; si los conocemos, podemos calcular el momento de inercia respecto de cualquier otro eje. De la fórmula (1) se deduce que central momento de inercia es el mas pequeño entre los momentos de inercia respecto de ejes paralelos y para ello obtenemos:

Encontremos también el momento de inercia centrífugo respecto de los ejes paralelos a los centrales, si se conoce (Fig. 1). Ya que por definición

donde: , entonces sigue

Dado que las dos últimas integrales representan momentos estáticos de área con respecto a los ejes centrales UNED Y Onz luego desaparecen y, por tanto:

(2)

El momento de inercia centrífugo relativo a un sistema de ejes mutuamente perpendiculares paralelos a los centrales es igual al momento de inercia centrífugo relativo a estos ejes centrales más el producto del área de la figura por las coordenadas de su centro de gravedad. respecto a los nuevos ejes.

La relación entre los momentos de inercia al girar los ejes.

Puedes dibujar tantos ejes centrales como quieras. Surge la pregunta de si es posible expresar el momento de inercia con respecto a cualquier eje central en función del momento de inercia con respecto a uno o dos. cierto ejes. Para hacer esto, veamos cómo cambiarán los momentos de inercia alrededor de dos ejes mutuamente perpendiculares cuando se giran en un ángulo.

Tomemos una figura y dibújela a través de su centro de gravedad. ACERCA DE dos ejes mutuamente perpendiculares UNED Y Onz(Figura 2).

Figura 2. Modelo de cálculo para la determinación de momentos de inercia de ejes girados.

Conozcamos los momentos de inercia axiales respecto de estos ejes, así como el momento de inercia centrífugo. Dibujemos un segundo sistema de ejes de coordenadas e inclinados respecto al primero en ángulo; Consideraremos la dirección positiva de este ángulo al girar los ejes alrededor del punto. ACERCA DE en sentido anti-horario. Origen ACERCA DE ahorrar. Expresemos los momentos relativos al segundo sistema de ejes de coordenadas y , a través de los momentos de inercia conocidos y .

Escribamos expresiones para los momentos de inercia respecto de estos ejes:

Asimismo:

Para resolver problemas, es posible que necesite fórmulas para la transición de un eje a otro para el momento de inercia centrífugo. Al girar los ejes (Fig. 2) tenemos:

donde y se calculan mediante fórmulas (14.10); Entonces

Después de las transformaciones obtenemos:

(7)

Por lo tanto, para calcular el momento de inercia con respecto a cualquier eje central, es necesario conocer los momentos de inercia con respecto al sistema de dos ejes centrales mutuamente perpendiculares. UNED Y Onz, momento de inercia centrífugo con respecto a los mismos ejes y el ángulo de inclinación del eje con respecto al eje. en.

Para calcular los valores >, hay que elegir los ejes así en Y z y dividir el área de la figura en tales partes componentes como para poder realizar este cálculo, utilizando únicamente fórmulas para la transición de los ejes centrales de cada una de las partes componentes a los ejes paralelos a ellas. A continuación se mostrará cómo hacer esto en la práctica utilizando un ejemplo. Tenga en cuenta que en este cálculo, las figuras complejas deben dividirse en partes elementales para las cuales, si es posible, se conocen los valores de los momentos de inercia centrales con respecto al sistema de ejes mutuamente perpendiculares.

Tenga en cuenta que el progreso de la derivación y los resultados obtenidos no habrían cambiado si el origen de las coordenadas no se hubiera tomado en el centro de gravedad de la sección, sino en cualquier otro punto. ACERCA DE. Así, las fórmulas (6) y (7) son fórmulas para la transición de un sistema de ejes mutuamente perpendiculares a otro, girados en un determinado ángulo, independientemente de que sean ejes centrales o no.

De las fórmulas (6) se puede obtener otra relación entre los momentos de inercia al girar los ejes. Sumando las expresiones para y obtenemos

es decir, la suma de momentos de inercia alrededor de cualquier eje mutuamente perpendicular en Y z no cambia cuando se giran. Sustituyendo la última expresión en lugar de y sus valores, obtenemos:

¿Dónde está la distancia de los sitios? dF desde el punto ACERCA DE. La cantidad es, como ya se sabe, el momento polar de inercia de la sección con respecto al punto ACERCA DE.

Por tanto, el momento polar de inercia de una sección con respecto a cualquier punto es igual a la suma de los momentos de inercia axiales con respecto a ejes mutuamente perpendiculares que pasan por este punto. Por tanto, esta suma permanece constante cuando se giran los ejes. Esta dependencia (14.16) se puede utilizar para simplificar el cálculo de momentos de inercia.

Entonces, para un círculo:

Dado que por simetría para un círculo entonces

que se obtuvo anteriormente por integración.

De manera similar, para una sección anular de paredes delgadas se puede obtener:

Principales ejes de inercia y principales momentos de inercia.

Como ya se sabe, conociendo los momentos de inercia centrales, y para una figura determinada, se puede calcular el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje.

En este caso, es posible tomar como sistema principal de ejes un sistema en el que las fórmulas se simplifican significativamente. Es decir, es posible encontrar un sistema de ejes de coordenadas para el cual el momento de inercia centrífugo sea igual a cero. De hecho, los momentos de inercia son siempre positivos, como la suma de términos positivos, pero el momento centrífugo

puede ser tanto positivo como negativo, ya que los términos zydF puede ser de diferente signo dependiendo de los signos z Y en para un sitio u otro. Esto significa que puede ser igual a cero.

Los ejes alrededor de los cuales desaparece el momento de inercia centrífugo se llaman ejes principales inercia. Si el comienzo de dicho sistema se coloca en el centro de gravedad de la figura, entonces estos serán ejes centrales principales. Denotaremos estos ejes y ; para ellos

Encontremos en qué ángulo están inclinados los ejes principales con respecto a los ejes centrales y y z (Fig. 198).

Figura 1. Modelo de cálculo para determinar la posición de los principales ejes de inercia.

En la conocida expresión para moverse desde ejes yz a los ejes, para el momento de inercia centrífugo le damos el valor al ángulo; entonces los ejes y coincidirán con los principales, y el momento de inercia centrífugo será igual a cero:

(1)

Esta ecuación se satisface con dos valores de , que difieren en 180°, o dos valores de , que difieren en 90°. Entonces esta ecuación nos da la posición dos ejes, formando un ángulo recto entre sí. Estos serán los principales ejes centrales y, para los cuales.

Con esta fórmula, puede utilizar las conocidas para obtener fórmulas para los principales momentos de inercia y . Para hacer esto, usamos nuevamente las expresiones para los momentos de inercia axiales de posición general. Ellos determinan los valores y si sustituimos

(2)

Las relaciones resultantes se pueden utilizar para resolver problemas. Uno de los principales momentos de inercia es otro.

Las fórmulas (2) se pueden transformar a una forma libre del valor. Expresando y sustituyendo sus valores en la primera fórmula (2), obtenemos, al mismo tiempo que realizamos la sustitución de la fórmula (1):

Reemplazando aquí la fracción de la fórmula (1) con

obtenemos

(3)

Se puede llegar a la misma expresión haciendo una transformación similar de la segunda fórmula (3).

Para el sistema principal de ejes centrales, desde el cual se puede pasar a cualquier otro, se puede tomar UNED Y Onz, y los ejes principales y ; entonces el momento de inercia centrífugo () no aparecerá en las fórmulas. Denotemos el ángulo que forma el eje , (Fig. 2) con el eje principal , por . Para calcular , y , moviéndose desde los ejes y , es necesario reemplazar el ángulo que pasa por , a , y en las expresiones encontradas anteriormente para , y , y , y . Como resultado obtenemos:

En apariencia, estas fórmulas son completamente similares a las fórmulas para tensiones normales y cortantes a lo largo de dos áreas mutuamente perpendiculares en un elemento sometido a tensión en dos direcciones. Sólo indicaremos una fórmula que nos permita seleccionar entre dos valores de ángulo el que corresponde a la desviación del primer eje principal (dando max j) desde la posición inicial del eje en:

Ahora finalmente podemos formular lo que hay que hacer para poder calcular de la forma más sencilla el momento de inercia de una figura con respecto a cualquier eje. Es necesario dibujar ejes que pasen por el centro de gravedad de la figura. UNED Y Onz de modo que, dividiendo la figura en sus partes más simples, podemos calcular fácilmente los momentos que pasan a una distancia (Fig.2) del centro de gravedad:

En muchos casos, es posible dibujar inmediatamente los ejes principales de la figura; si una figura tiene un eje de simetría, entonces este será uno de los ejes principales. De hecho, al derivar la fórmula, ya nos ocupamos de la integral, que es el momento de inercia centrífuga de la sección con respecto a los ejes. en Y z; se ha comprobado que si el eje Onz es el eje de simetría, esta integral desaparece.

Por lo tanto, en este caso los ejes UNED Y Onz son principal los ejes centrales de inercia de la sección. De este modo, eje de simetria- siempre el eje central principal; segundo hogar el eje central pasa por el centro de gravedad perpendicular al eje de simetría.

Ejemplo. Encuentre los momentos de inercia del rectángulo (Fig.3) con respecto a los ejes y sean iguales a:

Los momentos de inercia respecto de los ejes y son iguales a:

El momento de inercia centrífugo es igual a.

El método para calcular los momentos de inercia de secciones complejas se basa en que cualquier integral puede considerarse como una suma de integrales y, por tanto, el momento de inercia de cualquier sección se puede calcular como la suma de los momentos de inercia de sus partes individuales.

Por lo tanto, para calcular los momentos de inercia, una sección compleja se divide en varias partes simples (figuras) de tal manera que sus características geométricas se puedan calcular utilizando fórmulas conocidas o encontrarlas utilizando tablas de referencia especiales.

En algunos casos, al dividir en figuras simples para reducir el número o simplificar su forma, es recomendable complementar la sección compleja con algunas áreas. Así, por ejemplo, al determinar las características geométricas de la sección que se muestra en la Fig. 22.5, a, es aconsejable sumarlo a un rectángulo y luego restar las características de la parte sumada de las características geométricas de este rectángulo. Haga lo mismo si hay agujeros (Fig. 22.5, b).

Después de dividir una sección compleja en partes simples, se selecciona un sistema de coordenadas rectangular para cada una de ellas, respecto del cual se deben determinar los momentos de inercia de la parte correspondiente. Todos estos sistemas de coordenadas se consideran paralelos entre sí, de modo que luego, mediante la traslación paralela de los ejes, es posible calcular los momentos de inercia de todas las partes con respecto al sistema de coordenadas común a toda la sección compleja.

Como regla general, se supone que el sistema de coordenadas de cada figura simple es central, es decir, su origen coincide con el centro de gravedad de esta figura. En este caso, el cálculo posterior de los momentos de inercia al pasar a otros ejes paralelos se simplifica, ya que las fórmulas para pasar desde ejes centrales tienen una forma más sencilla que las de ejes no centrales.

El siguiente paso es calcular las áreas de cada figura simple, así como sus momentos de inercia axial y centrífugo con respecto a los ejes del sistema de coordenadas elegido para ello. Los momentos estáticos respecto de estos ejes suelen ser iguales a cero, ya que para cada parte de la sección estos ejes suelen ser centrales. En los casos en que se trate de ejes no centrales, es necesario calcular los momentos estáticos.

El momento polar de inercia se calcula solo para una sección circular (sólida o anular) utilizando fórmulas ya preparadas; para secciones de otras formas, esta característica geométrica no tiene ningún significado, ya que no se utiliza en los cálculos.

Los momentos de inercia axial y centrífugo de cada figura simple con respecto a los ejes de su sistema de coordenadas se calculan utilizando las fórmulas o tablas disponibles para dicha figura. Para algunas figuras, las fórmulas y tablas disponibles no nos permiten determinar los momentos de inercia axiales y centrífugos requeridos; en estos casos es necesario utilizar fórmulas de transición a nuevos ejes (normalmente para el caso de rotación de ejes).

Las tablas de surtido no indican los valores de los momentos de inercia centrífugos para los ángulos. El método para determinar tales momentos de inercia se analiza en el ejemplo 4.5.

En la gran mayoría de los casos, el objetivo final del cálculo de las características geométricas de una sección es determinar sus principales momentos centrales de inercia y la posición de los principales ejes centrales de inercia. Por lo tanto, la siguiente etapa del cálculo es determinar las coordenadas del centro de gravedad de una sección dada [usando las fórmulas (6.5) y (7.5)] en algún sistema de coordenadas arbitrario (aleatorio). A través de este centro de gravedad de la sección , los ejes centrales auxiliares (no principales) se dibujan paralelos a los ejes del sistema de coordenadas de figuras simples.

Luego, utilizando fórmulas que establecen las relaciones entre los momentos de inercia para ejes paralelos (ver § 5.5), se determinan los momentos de inercia de cada figura simple con respecto a los ejes centrales auxiliares. Sumando los momentos de inercia de cada figura simple con respecto a a los ejes se determinan los momentos de inercia de toda la sección compleja con respecto a estos ejes; en este caso se restan los momentos de inercia de los agujeros o pastillas añadidas.

Los momentos de inercia de las secciones se denominan integrales de la siguiente forma:

en;

– momento de inercia axial de la sección con respecto al eje z;

– momento de inercia centrífugo de la sección;

– momento polar de inercia de la sección.

3.2.1. Propiedades de los momentos de inercia de la sección.

La dimensión de los momentos de inercia es [longitud 4 ], normalmente [ metro 4 ] o [ cm 4 ].

Los momentos de inercia axial y polar son siempre positivos. El momento de inercia centrífugo puede ser positivo, negativo o cero.

Los ejes alrededor de los cuales el momento centrífugo de inercia es cero se llaman principales ejes de inercia secciones.

Los ejes de simetría son siempre los principales. Si al menos uno de dos ejes mutuamente perpendiculares es un eje de simetría, entonces ambos ejes son principales.

El momento de inercia de una sección compuesta es igual a la suma de los momentos de inercia de los elementos de esta sección.

El momento polar de inercia es igual a la suma de los momentos de inercia axiales.

Demostremos la última propiedad. En sección con área A para un sitio elemental da vector de radio ρ y coordenadas en Y z(Fig.6) están conectados según el teorema de Pitágoras: ρ 2 = en 2 + z 2. Entonces

Arroz. 6. Relación entre coordenadas polares y cartesianas

sitio elemental

3.2.2. Momentos de inercia de las figuras más simples.

EN sección rectangular(Fig. 7) seleccione una plataforma elemental da con coordenadas y Y z y área da = dydz.

Arroz. 7. Sección rectangular

Momento de inercia axial respecto del eje. en

.

De manera similar, obtenemos el momento de inercia con respecto al eje. z:

Porque el en Y z– eje de simetría, luego el momento centrífugo D zy = 0.

Para círculo diámetro d Los cálculos se simplifican si tenemos en cuenta la simetría circular y utilizamos coordenadas polares. Tomemos como plataforma elemental un anillo infinitamente delgado con radio ρ y espesor dρ (Figura 8). su area da= 2πρ dρ. Entonces el momento polar de inercia es:

.

Arroz. 8. Sección redonda

Como se muestra arriba, los momentos axiales de inercia alrededor de cualquier eje central son iguales e iguales.

.

Momento de inercia anillos encontramos como la diferencia entre los momentos de inercia de dos círculos: el exterior (con un diámetro D) e interno (con un diámetro d):

Momento de inercia I z triángulo lo definiremos con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad (Fig. 9). Obviamente, el ancho de una franja elemental ubicada a una distancia en desde el eje z, es igual

Por eso,

Arroz. 9. Sección triangular

3.3. Dependencias entre momentos de inercia con respecto a ejes paralelos

Con valores conocidos de los momentos de inercia respecto de los ejes. z Y en determinemos los momentos de inercia con respecto a otros ejes z 1 y y 1 paralelo a los dados. Usando la fórmula general para momentos axiales de inercia, encontramos

si los ejes z Y y central, entonces
, Y

De las fórmulas obtenidas queda claro que los momentos de inercia con respecto a los ejes centrales (cuando
) tienen los valores más pequeños en comparación con los momentos de inercia alrededor de cualquier otro eje paralelo.

3.4. Ejes principales y principales momentos de inercia.

Cuando los ejes se giran en un ángulo α, el momento de inercia centrífugo se vuelve igual a

.

Determinemos la posición de los principales ejes de inercia. tu, v respecto de cual

,

donde α 0 es el ángulo a través del cual se deben girar los ejes y Y z para que se conviertan en los principales.

Dado que la fórmula da dos valores de ángulo Y
, entonces hay dos ejes principales mutuamente perpendiculares. El eje máximo siempre forma un ángulo menor ( ) con la de los ejes ( z o y), respecto del cual el momento de inercia axial es de mayor importancia. Recuerde que los ángulos positivos se separan del eje. z en sentido anti-horario.

Los momentos de inercia respecto de los ejes principales se denominan Principales momentos de inercia. Se puede demostrar que ellos

.

El signo más delante del segundo término se refiere al momento de inercia máximo, el signo menos al mínimo.