Cómo resolver ecuaciones 7. Ecuaciones
Ecuaciones
¿Cómo resolver ecuaciones?
En esta sección recordaremos (o estudiaremos, según a quién elijas) las ecuaciones más elementales. Entonces ¿cuál es la ecuación? En el lenguaje humano, se trata de una especie de expresión matemática en la que hay un signo igual y una incógnita. Que generalmente se indica con la letra. "X". Resuelve la ecuación- se trata de encontrar valores de x que, cuando se sustituyen en original La expresión nos dará la identidad correcta. Permítanme recordarles que la identidad es una expresión que está fuera de toda duda incluso para una persona que no tiene en absoluto la carga de conocimientos matemáticos. Como 2=2, 0=0, ab=ab, etc. Entonces, ¿cómo resolver ecuaciones? Vamos a resolverlo.
Hay todo tipo de ecuaciones (me sorprende, ¿no?). Pero toda su infinita variedad se puede dividir en sólo cuatro tipos.
4. Otro.)
Todo lo demás, por supuesto, sobre todo, sí...) Esto incluye cúbico, exponencial, logarítmico, trigonométrico y todo tipo de otros. Trabajaremos estrechamente con ellos en las secciones correspondientes.
Diré de inmediato que a veces las ecuaciones de los tres primeros tipos están tan jodidas que ni siquiera las reconoces... Nada. Aprenderemos a desenrollarlos.
¿Y por qué necesitamos estos cuatro tipos? Y entonces que ecuaciones lineales resuelto de una manera cuadrado otros, racionales fraccionarios - tercero, A descansar¡No se atreven en absoluto! Bueno, no es que no puedan decidir nada, es que me equivoqué con las matemáticas). Es solo que tienen sus propias técnicas y métodos especiales.
Pero para cualquiera (repito - para ¡cualquier!) las ecuaciones proporcionan una base confiable y a prueba de fallas para su resolución. Funciona en todas partes y siempre. Esta base... Suena aterradora, pero es muy simple. Y muy (¡Muy!) importante.
En realidad, la solución de la ecuación consiste en estas mismas transformaciones. 99% Respuesta a la pregunta: " ¿Cómo resolver ecuaciones?" reside precisamente en estas transformaciones. ¿Está clara la pista?)
Transformaciones idénticas de ecuaciones.
EN cualquier ecuaciones Para encontrar la incógnita, debes transformar y simplificar el ejemplo original. Y para que cuando cambie la apariencia la esencia de la ecuación no ha cambiado. Estas transformaciones se llaman idéntico o equivalente.
Tenga en cuenta que estas transformaciones se aplican específicamente a las ecuaciones. También hay transformaciones de identidad en matemáticas. expresiones. Este es otro tema.
Ahora repetiremos todo, todo, todo básico. transformaciones idénticas de ecuaciones.
Básico porque se pueden aplicar a cualquier ecuaciones: lineales, cuadráticas, fraccionarias, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. etcétera.
Primera transformación de identidad: Puedes sumar (restar) a ambos lados de cualquier ecuación. cualquier(¡pero uno y el mismo!) número o expresión (¡incluida una expresión con una incógnita!). Esto no cambia la esencia de la ecuación.
Por cierto, usaste constantemente esta transformación, solo pensaste que estabas transfiriendo algunos términos de una parte de la ecuación a otra con un cambio de signo. Tipo:
El caso es familiar, movemos los dos hacia la derecha y obtenemos:
En realidad tu quitado de ambos lados de la ecuación es dos. El resultado es el mismo:
x+2 - 2 = 3 - 2
Mover términos de izquierda a derecha con un cambio de signo es simplemente una versión abreviada de la primera transformación de identidad. ¿Y por qué necesitamos un conocimiento tan profundo? - usted pregunta. Nada en las ecuaciones. Por el amor de Dios, aguanta. No olvides cambiar el letrero. Pero en las desigualdades, el hábito de la transferencia puede llevar a un callejón sin salida...
Segunda transformación de identidad: ambos lados de la ecuación se pueden multiplicar (dividir) por lo mismo distinto de cero número o expresión. Aquí ya aparece una limitación comprensible: multiplicar por cero es una estupidez y dividir es completamente imposible. Esta es la transformación que usas cuando resuelves algo interesante como
Está vacío X= 2. ¿Cómo lo encontraste? ¿Por selección? ¿O simplemente se te ocurrió? Para no seleccionar y no esperar a recibir información, debe comprender que simplemente está dividió ambos lados de la ecuación por 5. Al dividir el lado izquierdo (5x), se redujo el cinco, quedando X puro. Que es exactamente lo que necesitábamos. Y al dividir el lado derecho de (10) entre cinco, el resultado es, por supuesto, dos.
Eso es todo.
Es curioso, pero estas dos (¡sólo dos!) transformaciones idénticas son la base de la solución. todas las ecuaciones de las matemáticas.¡Guau! Tiene sentido mirar ejemplos de qué y cómo, ¿verdad?)
Ejemplos de transformaciones idénticas de ecuaciones. Problemas principales.
Empecemos con primero transformación de la identidad. Transferir de izquierda a derecha.
Un ejemplo para los más jóvenes.)
Digamos que necesitamos resolver la siguiente ecuación:
3-2x=5-3x
Recordemos el hechizo: "con X - a la izquierda, sin X - ¡a la derecha!" Este hechizo son instrucciones para usar la primera transformación de identidad). ¿Qué expresión con una X está a la derecha? 3x? ¡La respuesta es incorrecta! a nuestra derecha - 3x! Menos tresx! Por lo tanto, al moverse hacia la izquierda, el signo cambiará a más. Resultará:
3-2x+3x=5
Entonces, las X se reunieron en una pila. Entremos en los números. Hay un tres a la izquierda. ¿Con qué signo? ¡La respuesta “sin ninguno” no se acepta!) Delante de los tres, en efecto, no se dibuja nada. Y esto significa que antes de los tres hay más. Entonces los matemáticos estuvieron de acuerdo. No hay nada escrito, lo que significa más. Por tanto, el triple será trasladado al lateral derecho con un menos. Obtenemos:
-2x+3x=5-3
Quedan meras bagatelas. A la izquierda, traiga otros similares, a la derecha, cuente. La respuesta llega de inmediato:
En este ejemplo, una transformación de identidad fue suficiente. El segundo no fue necesario. Bueno esta bien.)
Un ejemplo para niños mayores.)
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Las letras se utilizan para indicar un número desconocido. Es el significado de estas letras lo que hay que buscar utilizando soluciones a la ecuación.
Cuando trabajamos en la resolución de una ecuación, en las primeras etapas intentamos llevarla a una forma más simple, lo que nos permite obtener el resultado mediante manipulaciones matemáticas simples. Para hacer esto, transferimos términos del lado izquierdo al derecho, cambiamos los signos, multiplicamos/dividimos partes de la oración por algún número y abrimos los corchetes. Pero realizamos todas estas acciones con un solo objetivo: obtener una ecuación simple.
Ecuaciones \ - es una ecuación con una forma lineal desconocida, en la que r y c son la notación para valores numéricos. Para resolver una ecuación de este tipo es necesario trasladar sus términos:
Por ejemplo, necesitamos resolver la siguiente ecuación:
Comenzamos a resolver esta ecuación moviendo sus términos: de \[x\] - hacia la izquierda, el resto - hacia la derecha. Al transferir, recuerde que \[+\] cambia a \[-.\] Obtenemos:
\[-2х+3х=5-3\]
Realizando operaciones aritméticas simples, obtenemos el siguiente resultado:
¿Dónde puedo resolver la ecuación con x en línea?
Puedes resolver la ecuación con X online en nuestro sitio web https://site. El solucionador en línea gratuito le permitirá resolver ecuaciones en línea de cualquier complejidad en cuestión de segundos. Todo lo que necesitas hacer es simplemente ingresar tus datos en el solucionador. También puedes ver instrucciones en vídeo y aprender a resolver la ecuación en nuestro sitio web. Y si aún tienes preguntas, puedes hacerlas en nuestro grupo VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Únete a nuestro grupo, siempre estaremos encantados de ayudarte.
Resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Qué ha pasado ecuación exponencial? Esta es una ecuación en la que las incógnitas (x) y las expresiones con ellas están en indicadores algunos grados. ¡Y sólo allí! Es importante.
Ahí tienes ejemplos de ecuaciones exponenciales:
3x2x = 8x+3
¡Nota! En las bases de grados (abajo) - sólo números. EN indicadores grados (arriba): una amplia variedad de expresiones con una X. Si, de repente, aparece una X en la ecuación en algún lugar que no sea un indicador, por ejemplo:
esta ya será una ecuación de tipo mixto. Estas ecuaciones no tienen reglas claras para resolverlas. No los consideraremos por ahora. Aquí nos ocuparemos de resolver ecuaciones exponenciales en su forma más pura.
De hecho, incluso las ecuaciones exponenciales puras no siempre se resuelven con claridad. Pero hay ciertos tipos de ecuaciones exponenciales que pueden y deben resolverse. Estos son los tipos que consideraremos.
Resolver ecuaciones exponenciales simples.
Primero, resolvamos algo muy básico. Por ejemplo:
Incluso sin ninguna teoría, por simple selección queda claro que x = 2. Nada más, ¿verdad? Ningún otro valor de X funciona. Ahora veamos la solución a esta complicada ecuación exponencial:
¿Qué hemos hecho? De hecho, simplemente tiramos las mismas bases (triples). Completamente descartado. ¡Y la buena noticia es que hemos dado en el clavo!
De hecho, si en una ecuación exponencial hay izquierda y derecha lo mismo números en cualquier potencia, estos números se pueden eliminar y los exponentes se pueden igualar. Las matemáticas lo permiten. Queda por resolver una ecuación mucho más simple. Genial, ¿verdad?)
Sin embargo, recordemos firmemente: ¡Puedes eliminar bases solo cuando los números de base a la izquierda y a la derecha estén espléndidamente aislados! Sin vecinos ni coeficientes. Digamos en las ecuaciones:
2 x +2 x +1 = 2 3, o
¡Los dos no se pueden eliminar!
Bueno, hemos dominado lo más importante. Cómo pasar de malvadas expresiones exponenciales a ecuaciones más simples.
"¡Esos son los tiempos!" - tu dices. “¿¡Quién daría una lección tan primitiva sobre pruebas y exámenes!?”
Tengo que estar de acuerdo. Nadie lo hará. Pero ahora sabes hacia dónde apuntar al resolver ejemplos complicados. Debe llevarse al formulario donde esté el mismo número base a la izquierda y a la derecha. Entonces todo será más fácil. En realidad, este es un clásico de las matemáticas. Tomamos el ejemplo original y lo transformamos al deseado. a nosotros mente. Por supuesto, según las reglas de las matemáticas.
Veamos ejemplos que requieren un esfuerzo adicional para reducirlos a lo más simple. llamémoslos simple ecuaciones exponenciales.
Resolver ecuaciones exponenciales simples. Ejemplos.
Al resolver ecuaciones exponenciales, las reglas principales son acciones con grados. Sin conocimiento de estas acciones nada funcionará.
A las acciones con grados hay que añadir la observación personal y el ingenio. ¿Necesitamos los mismos números base? Por eso los buscamos en el ejemplo de forma explícita o cifrada.
Veamos cómo se hace esto en la práctica.
Pongamos un ejemplo:
2 2x - 8x+1 = 0
La primera mirada atenta es hacia jardines. Ellos... ¡Son diferentes! Dos y ocho. Pero es demasiado pronto para desanimarse. Es hora de recordar eso
Dos y ocho son parientes de grado.) Es muy posible escribir:
8x+1 = (2 3)x+1
Si recordamos la fórmula de operaciones con grados:
(un norte) m = un norte m,
esto funciona genial:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
El ejemplo original empezó a verse así:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
transferimos 2 3 (x+1) a la derecha (¡nadie ha cancelado las operaciones elementales de matemáticas!), obtenemos:
2 2x = 2 3(x+1)
Eso es prácticamente todo. Quitando las bases:
Resolvemos este monstruo y obtenemos
Esta es la respuesta correcta.
En este ejemplo, conocer las potencias de dos nos ayudó. Nosotros identificado en ocho hay un dos cifrado. ¡Esta técnica (codificar bases comunes bajo diferentes números) es una técnica muy popular en ecuaciones exponenciales! Sí, y también en logaritmos. Debes poder reconocer potencias de otros números en los números. Esto es extremadamente importante para resolver ecuaciones exponenciales.
El hecho es que elevar cualquier número a cualquier potencia no es un problema. Multiplica, incluso en papel, y listo. Por ejemplo, cualquiera puede elevar 3 a la quinta potencia. 243 funcionará si conoces la tabla de multiplicar.) Pero en ecuaciones exponenciales, mucho más a menudo no es necesario elevar a una potencia, sino viceversa... Descúbrelo qué número en qué grado está escondido detrás del número 243, o, digamos, 343... Ninguna calculadora te ayudará aquí.
Necesitas conocer las potencias de algunos números de vista, ¿no? ¿Vamos a practicar?
Determina qué potencias y qué números son los números:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Respuestas (¡en un lío, por supuesto!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Si miras de cerca, puedes ver un hecho extraño. ¡Hay muchas más respuestas que tareas! Bueno, sucede... Por ejemplo, 2 6, 4 3, 8 2, eso es todo 64.
Supongamos que ha tomado nota de la información sobre la familiaridad con los números). Permítame recordarle también que para resolver ecuaciones exponenciales usamos todo acervo de conocimientos matemáticos. Incluidos los de clases junior y media. No fuiste directamente a la escuela secundaria, ¿verdad?)
Por ejemplo, al resolver ecuaciones exponenciales, suele ser útil poner el factor común entre paréntesis (¡hola al séptimo grado!). Veamos un ejemplo:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Y de nuevo, ¡el primer vistazo está en los cimientos! Las bases de los grados son diferentes... Tres y nueve. Pero queremos que sean iguales. Pues en este caso el deseo se cumple por completo!) Porque:
9x = (3 2)x = 3 2x
Utilizando las mismas reglas para tratar los títulos:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
Eso es genial, puedes escribirlo:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Dimos un ejemplo por las mismas razones. Entonces, ¿qué sigue? No se pueden tirar tres... ¿Callejón sin salida?
De nada. Recuerde la regla de decisión más universal y poderosa todos tareas de matemáticas:
Si no sabes lo que necesitas, ¡haz lo que puedas!
Mira, todo saldrá bien).
¿Qué hay en esta ecuación exponencial? Poder¿hacer? Sí, en el lado izquierdo ¡solo pide que lo saquen de paréntesis! El multiplicador general de 3 2x así lo indica claramente. Probemos y luego veremos:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
¡El ejemplo es cada vez mejor!
Recordemos que para eliminar motivos necesitamos un grado puro, sin ningún coeficiente. El número 70 nos molesta. Entonces dividimos ambos lados de la ecuación entre 70 y obtenemos:
¡Ups! ¡Todo mejoró!
Esta es la respuesta final.
Sucede, sin embargo, que se consigue rodar sobre las mismas bases, pero su eliminación no es posible. Esto sucede en otros tipos de ecuaciones exponenciales. Dominemos este tipo.
Reemplazo de una variable al resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.
Resolvamos la ecuación:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Primero, como siempre. Pasemos a una base. A un dos.
4 x = (2 2) x = 2 2 x
Obtenemos la ecuación:
2 2x - 3 2x +2 = 0
Y aquí es donde pasamos el rato. Las técnicas anteriores no funcionarán, se mire como se mire. Tendremos que sacar de nuestro arsenal otro método poderoso y universal. Se llama reemplazo de variables.
La esencia del método es sorprendentemente sencilla. En lugar de un icono complejo (en nuestro caso, 2 x), escribimos otro más simple (por ejemplo, t). ¡Un reemplazo aparentemente sin sentido conduce a resultados sorprendentes!) ¡Todo se vuelve claro y comprensible!
Entonces deja
Entonces 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
En nuestra ecuación reemplazamos todas las potencias con x por t:
Bueno, ¿te das cuenta?) ¿Ya olvidaste las ecuaciones cuadráticas? Resolviendo por el discriminante obtenemos:
Lo principal aquí es no parar, como sucede... Esta aún no es la respuesta, necesitamos x, no t. Volvamos a las X, es decir. hacemos un reemplazo inverso. Primero para t 1:
Eso es,
Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:
Hm... 2 x a la izquierda, 1 a la derecha... ¿Problema? ¡De nada! Basta recordar (de operaciones con poderes, sí...) que una unidad es cualquier número elevado a la potencia cero. Cualquier. Lo que sea necesario, lo instalaremos. Necesitamos un dos. Medio:
Eso es todo ahora. Tenemos 2 raíces:
Esta es la respuesta.
En resolver ecuaciones exponenciales Al final a veces terminas con algún tipo de expresión incómoda. Tipo:
Siete no se puede convertir en dos mediante una simple potencia. No son parientes... ¿Cómo podemos serlo nosotros? Alguien puede estar confundido... Pero la persona que leyó en este sitio el tema “¿Qué es un logaritmo?” , simplemente sonríe moderadamente y escribe con mano firme la respuesta absolutamente correcta:
No puede haber tal respuesta en las tareas "B" del Examen Estatal Unificado. Allí se requiere un número específico. Pero en las tareas "C" es fácil.
Esta lección proporciona ejemplos de cómo resolver las ecuaciones exponenciales más comunes. Destaquemos los puntos principales.
1. En primer lugar, analizamos jardines grados. Nos preguntamos si es posible hacerlos. idéntico. Intentemos hacer esto usando activamente acciones con grados.¡No olvides que los números sin x también se pueden convertir a potencias!
2. Intentamos llevar la ecuación exponencial a la forma cuando a la izquierda y a la derecha hay lo mismo números en cualquier potencia. Usamos acciones con grados Y factorización. Lo que se puede contar en números, lo contamos.
3. Si el segundo consejo no funciona, intente utilizar el reemplazo de variables. El resultado puede ser una ecuación que se pueda resolver fácilmente. Más a menudo - cuadrado. O fraccionario, que también se reduce al cuadrado.
4. Para resolver con éxito ecuaciones exponenciales, necesitas conocer de vista las potencias de algunos números.
Como de costumbre, al final de la lección se te invita a decidir un poco). Por tu cuenta. De lo simple a lo complejo.
Resolver ecuaciones exponenciales:
Más difícil:
2x+3 - 2x+2 - 2x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2x - 2 0.5x+1 - 8 = 0
Encuentra el producto de raíces:
2 3 + 2 x = 9
¿Sucedió?
Bien entonces el ejemplo más complicado(decidido, sin embargo, en la mente...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
¿Qué es más interesante? Entonces aquí tienes un mal ejemplo. Bastante tentador para mayor dificultad. Déjame insinuar que en este ejemplo, lo que te salva es el ingenio y la regla más universal para resolver todos los problemas matemáticos).
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Un ejemplo más sencillo, para relajarse):
9 2 x - 4 3 x = 0
Y de postre. Encuentra la suma de las raíces de la ecuación:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
¡Sí Sí! ¡Esta es una ecuación de tipo mixto! Lo cual no consideramos en esta lección. ¡Por qué considerarlos, es necesario resolverlos!) Esta lección es suficiente para resolver la ecuación. Bueno, necesitas ingenio... Y que séptimo grado te ayude (¡esto es una pista!).
Respuestas (en desorden, separadas por punto y coma):
1; 2; 3; 4; no hay soluciones; 2; -2; -5; 4; 0.
¿Está todo bien? Excelente.
¿Hay un problema? ¡Ningún problema! La Sección Especial 555 resuelve todas estas ecuaciones exponenciales con explicaciones detalladas. Qué, por qué y por qué. Y, por supuesto, hay información adicional valiosa sobre cómo trabajar con todo tipo de ecuaciones exponenciales. No sólo estos.)
Una última pregunta divertida a considerar. En esta lección trabajamos con ecuaciones exponenciales. ¿Por qué no dije ni una palabra sobre ODZ aquí? En ecuaciones, esto es algo muy importante, por cierto...
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Ecuaciones lineales. Solución, ejemplos.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Ecuaciones lineales.
Las ecuaciones lineales no son el tema más difícil de las matemáticas escolares. Pero hay algunos trucos que pueden desconcertar incluso a un estudiante capacitado. ¿Vamos a resolverlo?)
Normalmente una ecuación lineal se define como una ecuación de la forma:
hacha + b = 0 Dónde a y B– cualquier número.
2x + 7 = 0. Aquí a = 2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Aquí a = 0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Aquí a = 12, b=1/2
Nada complicado, ¿verdad? Especialmente si no notas las palabras: "donde a y b son números cualesquiera"... ¿Y si te das cuenta y lo piensas descuidadamente?) Después de todo, si a = 0, b=0(¿algún número es posible?), entonces obtenemos una expresión divertida:
¡Pero eso no es todo! Si, digamos, a = 0, A b=5, Esto resulta ser algo completamente fuera de lo común:
Lo cual es molesto y socava la confianza en las matemáticas, sí...) Especialmente durante los exámenes. ¡Pero entre estas extrañas expresiones también necesitas encontrar X! Que no existe en absoluto. Y, sorprendentemente, esta X es muy fácil de encontrar. Aprenderemos a hacer esto. En esta lección.
¿Cómo reconocer una ecuación lineal por su apariencia? Depende de la apariencia.) El truco es que las ecuaciones lineales no son sólo ecuaciones de la forma hacha + b = 0 , pero también cualquier ecuación que pueda reducirse a esta forma mediante transformaciones y simplificaciones. ¿Y quién sabe si baja o no?)
En algunos casos se puede reconocer claramente una ecuación lineal. Digamos, si tenemos una ecuación en la que solo hay incógnitas de primer grado y números. Y en la ecuación no hay fracciones divididas por desconocido , ¡es importante! y división por número, o una fracción numérica, ¡bienvenido! Por ejemplo:
Esta es una ecuación lineal. Aquí hay fracciones, pero no hay x en el cuadrado, cubo, etc., ni x en los denominadores, es decir. No división por x. Y aquí está la ecuación.
No se puede llamar lineal. Aquí las X están todas en primer grado, pero hay división por expresión con x. Después de simplificaciones y transformaciones, puedes obtener una ecuación lineal, una ecuación cuadrática o cualquier cosa que quieras.
Resulta que es imposible reconocer la ecuación lineal en algún ejemplo complicado hasta que casi la resuelves. Esto es perturbador. Pero en las tareas, por regla general, no preguntan sobre la forma de la ecuación, ¿verdad? Las tareas piden ecuaciones. decidir. Esto me hace feliz.)
Resolver ecuaciones lineales. Ejemplos.
Toda la solución de ecuaciones lineales consta de transformaciones idénticas de las ecuaciones. Por cierto, estas transformaciones (¡dos de ellas!) son la base de las soluciones. todas las ecuaciones de las matemáticas. En otras palabras, la solución cualquier la ecuación comienza con estas mismas transformaciones. En el caso de ecuaciones lineales, (la solución) se basa en estas transformaciones y termina con una respuesta completa. Tiene sentido seguir el enlace, ¿verdad?) Además, allí también hay ejemplos de resolución de ecuaciones lineales.
Primero, veamos el ejemplo más simple. Sin trampas. Supongamos que necesitamos resolver esta ecuación.
x - 3 = 2 - 4x
Esta es una ecuación lineal. Las X están todas en la primera potencia, no hay división por X. Pero, de hecho, no nos importa qué tipo de ecuación sea. Necesitamos resolverlo. El esquema aquí es simple. Recoge todo lo que tenga X en el lado izquierdo de la ecuación, todo lo que no tenga X (números) en el derecho.
Para hacer esto necesitas transferir - 4x hacia el lado izquierdo, con cambio de signo, por supuesto, y - 3 - A la derecha. Por cierto, esto es la primera transformación idéntica de ecuaciones.¿Sorprendido? Esto significa que no seguiste el enlace, sino en vano...) Obtenemos:
x + 4x = 2 + 3
Aquí hay otros similares, consideramos:
¿Qué necesitamos para la felicidad completa? ¡Sí, para que quede una X pura a la izquierda! Cinco están en camino. Deshacerse de los cinco con la ayuda. la segunda transformación idéntica de ecuaciones. Es decir, dividimos ambos lados de la ecuación entre 5. Obtenemos una respuesta lista:
Un ejemplo elemental, por supuesto. Esto es para calentar.) ¿No está muy claro por qué recordé transformaciones idénticas aquí? DE ACUERDO. Tomemos el toro por los cuernos.) Decidamos algo más sólido.
Por ejemplo, aquí está la ecuación:
¿Donde empezamos? ¿Con X, a la izquierda, sin X, a la derecha? Podría ser así. Pequeños pasos en un largo camino. O puedes hacerlo de inmediato, de una manera universal y poderosa. A menos, por supuesto, que tengas transformaciones idénticas de ecuaciones en tu arsenal.
Te hago una pregunta clave: ¿Qué es lo que más te disgusta de esta ecuación?
95 de cada 100 personas responderán: fracciones ! La respuesta es correcta. Así que deshagámonos de ellos. Por lo tanto, comenzamos inmediatamente con segunda transformación de identidad. ¿Por qué necesitas multiplicar la fracción de la izquierda para que el denominador se reduzca por completo? Así es, a las 3. ¿Y a la derecha? Por 4. Pero las matemáticas nos permiten multiplicar ambos lados por el mismo numero. ¿Cómo podemos salir? ¡Multipliquemos ambos lados por 12! Aquellos. a un denominador común. Entonces tanto el tres como el cuatro serán reducidos. No olvides que necesitas multiplicar cada parte. enteramente. Así es como se ve el primer paso:
Ampliando los corchetes:
¡Nota! Numerador (x+2)¡Lo puse entre paréntesis! Esto se debe a que al multiplicar fracciones, ¡se multiplica todo el numerador! Ahora puedes reducir fracciones:
Expanda los corchetes restantes:
¡No es un ejemplo, sino puro placer!) Ahora recordemos un hechizo de la escuela primaria: con una X - a la izquierda, sin una X - ¡a la derecha! Y aplica esta transformación:
Aquí hay algunos similares:
Y divide ambas partes por 25, es decir aplicar la segunda transformación nuevamente:
Eso es todo. Respuesta: X=0,16
Tenga en cuenta: para darle una forma agradable a la confusa ecuación original, utilizamos dos (¡solo dos!) transformaciones de identidad– traducción de izquierda a derecha con cambio de signo y multiplicación-división de una ecuación por el mismo número. ¡Este es un método universal! Trabajaremos de esta manera con cualquier ecuaciones! Absolutamente cualquiera. Por eso repito tediosamente acerca de estas transformaciones idénticas todo el tiempo.)
Como puedes ver, el principio de resolución de ecuaciones lineales es simple. Tomamos la ecuación y la simplificamos usando transformaciones idénticas hasta obtener la respuesta. Los principales problemas aquí están en los cálculos, no en el principio de solución.
Pero... Hay tales sorpresas en el proceso de resolución de las ecuaciones lineales más elementales que pueden llevarte a un fuerte estupor...) Afortunadamente, sólo puede haber dos de esas sorpresas. Llamémoslos casos especiales.
Casos especiales en la resolución de ecuaciones lineales.
Primera sorpresa.
Supongamos que te encuentras con una ecuación muy básica, algo como:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Un poco aburrido, lo movemos con una X hacia la izquierda, sin una X - hacia la derecha... Con un cambio de signo, todo es perfecto... Obtenemos:
2x-5x+3x=5-2-3
Contamos, y... ¡¡¡ups!!! Obtenemos:
Esta igualdad en sí misma no es objetable. Cero realmente es cero. ¡Pero falta X! Y debemos escribir en la respuesta, ¿A qué es igual x? De lo contrario, la solución no cuenta, ¿verdad...) Punto muerto?
¡Calma! En casos tan dudosos, las reglas más generales te salvarán. ¿Cómo resolver ecuaciones? ¿Qué significa resolver una ecuación? Esto significa, encuentra todos los valores de x que, al sustituirlos en la ecuación original, nos darán la igualdad correcta.
Pero tenemos verdadera igualdad. ya¡sucedió! 0=0, ¿cuánto más preciso? Queda por descubrir en qué x sucede esto. ¿En qué valores de X se pueden sustituir? original ecuación si estas x ¿Seguirán siendo reducidos a cero?¿Vamos?)
¡¡¡Sí!!! Las X se pueden sustituir. ¡cualquier!¿Cuáles quieres? Al menos 5, al menos 0,05, al menos -220. Todavía se encogerán. Si no me cree, puede comprobarlo). Sustituya cualquier valor de X en original ecuación y calcular. Todo el tiempo obtendrás la pura verdad: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 y así sucesivamente.
Aquí está tu respuesta: x - cualquier número.
La respuesta se puede escribir con diferentes símbolos matemáticos, la esencia no cambia. Esta es una respuesta completamente correcta y completa.
Segunda sorpresa.
Tomemos la misma ecuación lineal elemental y cambiemos solo un número en ella. Esto es lo que decidiremos:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Después de las mismas transformaciones idénticas, obtenemos algo intrigante:
Como esto. Resolvimos una ecuación lineal y obtuvimos una extraña igualdad. En términos matemáticos, tenemos falsa igualdad. y hablando en lenguaje sencillo, esto no es verdad. Delirio. Sin embargo, esta tontería es una muy buena razón para la solución correcta de la ecuación).
Nuevamente pensamos en base a reglas generales. Lo que x, cuando se sustituye en la ecuación original, nos dará verdadero¿igualdad? ¡Sí, ninguno! No existen tales X. No importa lo que pongas, todo se reducirá, solo quedarán tonterías).
Aquí está tu respuesta: no hay soluciones.
Esta también es una respuesta completamente completa. En matemáticas, estas respuestas se encuentran a menudo.
Como esto. Ahora, espero que la desaparición de las X en el proceso de resolver cualquier ecuación (no sólo lineal) no te confunda en absoluto. Este ya es un asunto familiar.)
Ahora que hemos abordado todos los problemas de las ecuaciones lineales, tiene sentido resolverlos.
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Las ecuaciones son una de temas dificiles Son fáciles de aprender, pero al mismo tiempo son una herramienta lo suficientemente poderosa para resolver la mayoría de los problemas.
Utilizando ecuaciones, se describen varios procesos que ocurren en la naturaleza. Las ecuaciones se utilizan ampliamente en otras ciencias: economía, física, biología y química.
En esta lección intentaremos comprender la esencia de las ecuaciones más simples, aprender a expresar incógnitas y resolver varias ecuaciones. A medida que aprendas nuevos materiales, las ecuaciones se volverán más complejas, por lo que comprender los conceptos básicos es muy importante.
Habilidades preliminares Contenido de la lección¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad que contiene una variable cuyo valor desea encontrar. Este valor debe ser tal que cuando se sustituya en la ecuación original, se obtenga la igualdad numérica correcta.
Por ejemplo, la expresión 3 + 2 = 5 es una igualdad. Al calcular el lado izquierdo, se obtiene la igualdad numérica correcta 5 = 5.
Pero la igualdad es 3 + X= 5 es una ecuación porque contiene una variable X, cuyo valor se puede encontrar. El valor debe ser tal que al sustituir este valor en la ecuación original se obtenga la igualdad numérica correcta.
En otras palabras, debemos encontrar un valor en el que el signo igual justifique su ubicación: el lado izquierdo debe ser igual al lado derecho.
Ecuación 3 + X= 5 es elemental. Valor variable X es igual al número 2. Para cualquier otro valor no se observará igualdad
Dicen que el numero 2 es raíz o resolviendo la ecuación 3 + X = 5
Raíz o solución a la ecuación- este es el valor de la variable en el que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad numérica.
Puede haber varias raíces o ninguna. Resuelve la ecuación significa encontrar sus raíces o demostrar que no hay raíces.
La variable incluida en la ecuación también se llama desconocido. Tienes derecho a llamarlo como prefieras. Estos son sinónimos.
Nota. Colocación "resuelve la ecuación" habla por si mismo. Resolver una ecuación significa “igualar” la ecuación, es decir, equilibrarla de modo que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.
Expresar una cosa a través de la otra
El estudio de ecuaciones tradicionalmente comienza aprendiendo a expresar un número incluido en una igualdad a través de varios otros. No rompamos esta tradición y hagamos lo mismo.
Considere la siguiente expresión:
8 + 2
Esta expresión es la suma de los números 8 y 2. El valor de esta expresión es 10
8 + 2 = 10
Tenemos igualdad. Ahora puedes expresar cualquier número de esta igualdad a través de otros números incluidos en la misma igualdad. Por ejemplo, expresemos el número 2.
Para expresar el número 2, es necesario hacer la pregunta: "¿qué se debe hacer con los números 10 y 8 para obtener el número 2?". Está claro que para obtener el número 2 es necesario restar el número 8 al número 10.
Éso es lo que hacemos. Anotamos el número 2 y mediante el signo igual decimos que para obtener este número 2 restamos el número 8 al número 10:
2 = 10 − 8
Expresamos el número 2 a partir de la igualdad 8 + 2 = 10. Como puede verse en el ejemplo, esto no tiene nada de complicado.
Al resolver ecuaciones, en particular al expresar un número en función de otros, es conveniente sustituir el signo igual por la palabra “ Hay" . Esto debe hacerse mentalmente y no en la expresión misma.
Entonces, expresando el número 2 a partir de la igualdad 8 + 2 = 10, obtenemos la igualdad 2 = 10 − 8. Esta igualdad se puede leer de la siguiente manera:
2 Hay 10 − 8
eso es una señal = reemplazado por la palabra "es". Además, la igualdad 2 = 10 − 8 se puede traducir del lenguaje matemático al lenguaje humano completo. Entonces se puede leer de la siguiente manera:
Número 2 Hay diferencia entre el numero 10 y el numero 8
Número 2 Hay Diferencia entre el número 10 y el número 8.
Pero nos limitaremos a sustituir únicamente el signo igual por la palabra “es”, y no siempre haremos esto. Las expresiones elementales se pueden entender sin traducir el lenguaje matemático al lenguaje humano.
Devolvamos la igualdad resultante 2 = 10 − 8 a su estado original:
8 + 2 = 10
Esta vez expresemos el número 8. ¿Qué hay que hacer con los números restantes para obtener el número 8? Así es, debes restar 2 del número 10.
8 = 10 − 2
Devolvamos la igualdad resultante 8 = 10 − 2 a su estado original:
8 + 2 = 10
En esta ocasión expresaremos el número 10. Pero resulta que no es necesario expresar la decena, pues ya está expresada. Basta con intercambiar las partes izquierda y derecha, luego obtenemos lo que necesitamos:
10 = 8 + 2
Ejemplo 2. Considere la igualdad 8 − 2 = 6
A partir de esta igualdad expresemos el número 8. Para expresar el número 8 hay que sumar los dos números restantes:
8 = 6 + 2
Devolvamos la igualdad resultante 8 = 6 + 2 a su estado original:
8 − 2 = 6
Expresemos el número 2 a partir de esta igualdad. Para expresar el número 2, debes restar 6 de 8.
2 = 8 − 6
Ejemplo 3. Considere la igualdad 3 × 2 = 6
Expresemos el número 3. Para expresar el número 3, necesitas 6 dividido por 2.
Devolvamos la igualdad resultante a su estado original:
3 × 2 = 6
Expresemos el número 2 a partir de esta igualdad. Para expresar el número 2, necesitas 6 dividido por 3.
Ejemplo 4. Considere la igualdad
Expresemos el número 15 a partir de esta igualdad. Para expresar el número 15, debes multiplicar los números 3 y 5.
15 = 3 × 5
Devolvamos la igualdad resultante 15 = 3 × 5 a su estado original:
Expresemos el número 5 a partir de esta igualdad. Para expresar el número 5, necesitas 15 dividido por 3.
Reglas para encontrar incógnitas
Consideremos varias reglas para encontrar incógnitas. Puede que te resulten familiares, pero no está de más repetirlas otra vez. En el futuro, podemos olvidarlas, a medida que aprendamos a resolver ecuaciones sin aplicar estas reglas.
Volvamos al primer ejemplo, que vimos en el tema anterior, donde en la igualdad 8 + 2 = 10 necesitábamos expresar el número 2.
En la igualdad 8 + 2 = 10, los números 8 y 2 son los términos, y el número 10 es la suma.
Para expresar el número 2, hicimos lo siguiente:
2 = 10 − 8
Es decir, a la suma de 10 le restamos el término 8.
Ahora imagina que en la igualdad 8 + 2 = 10, en lugar del número 2, hay una variable X
8 + X = 10
En este caso, la igualdad 8 + 2 = 10 se convierte en la ecuación 8 + X= 10 y la variable X término desconocido
Nuestra tarea es encontrar este término desconocido, es decir, resolver la ecuación 8 + X= 10 . Para encontrar un término desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar el término desconocido, debes restar el término conocido de la suma.
Que es básicamente lo que hicimos cuando expresamos dos en la igualdad 8 + 2 = 10. Para expresar el término 2, restamos otro término 8 de la suma 10
2 = 10 − 8
Ahora, para encontrar el término desconocido. X, debemos restar el término conocido 8 de la suma 10:
X = 10 − 8
Si calculas el lado derecho de la igualdad resultante, puedes averiguar a qué es igual la variable X
X = 2
Hemos resuelto la ecuación. Valor variable X es igual a 2. Para comprobar el valor de una variable X enviado a la ecuación original 8 + X= 10 y sustituir X. Es recomendable hacer esto con cualquier ecuación resuelta, ya que no se puede estar absolutamente seguro de que la ecuación se haya resuelto correctamente:
Como resultado
Se aplicaría la misma regla si el término desconocido fuera el primer número 8.
X + 2 = 10
En esta ecuación X es el término desconocido, 2 es el término conocido, 10 es la suma. Para encontrar un término desconocido X, necesitas restar el término conocido 2 de la suma 10
X = 10 − 2
X = 8
Volvamos al segundo ejemplo del tema anterior, donde en la igualdad 8 − 2 = 6 era necesario expresar el número 8.
En la igualdad 8 − 2 = 6, el número 8 es el minuendo, el número 2 es el sustraendo y el número 6 es la diferencia
Para expresar el número 8, hicimos lo siguiente:
8 = 6 + 2
Es decir, sumamos la diferencia de 6 y le restamos 2.
Ahora imagina que en la igualdad 8 − 2 = 6, en lugar del número 8, hay una variable X
X − 2 = 6
En este caso la variable X asume el papel del llamado minuendo desconocido
Para encontrar un minuendo desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia.
Esto es lo que hicimos cuando expresamos el número 8 en la igualdad 8 − 2 = 6. Para expresar el minuendo de 8, sumamos el sustraendo de 2 a la diferencia de 6.
Ahora, para encontrar el minuendo desconocido. X, debemos sumar el sustraendo 2 a la diferencia 6
X = 6 + 2
Si calculas el lado derecho, puedes averiguar a qué es igual la variable. X
X = 8
Ahora imagina que en la igualdad 8 − 2 = 6, en lugar del número 2, hay una variable X
8 − X = 6
En este caso la variable X asume el papel sustraendo desconocido
Para encontrar un sustraendo desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar el sustraendo desconocido, debes restar la diferencia del minuendo.
Esto es lo que hicimos cuando expresamos el número 2 en la igualdad 8 − 2 = 6. Para expresar el número 2, restamos la diferencia 6 del minuendo 8.
Ahora, para encontrar el sustraendo desconocido X, nuevamente necesitas restar la diferencia 6 del minuendo 8
X = 8 − 6
Calculamos el lado derecho y encontramos el valor. X
X = 2
Volvamos al tercer ejemplo del tema anterior, donde en la igualdad 3 × 2 = 6 intentamos expresar el número 3.
En la igualdad 3 × 2 = 6, el número 3 es el multiplicando, el número 2 es el multiplicador, el número 6 es el producto
Para expresar el número 3 hicimos lo siguiente:
Es decir, dividimos el producto de 6 por el factor de 2.
Ahora imagina que en la igualdad 3 × 2 = 6, en lugar del número 3 hay una variable X
X× 2 = 6
En este caso la variable X asume el papel multiplicando desconocido.
Para encontrar un multiplicando desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar un multiplicando desconocido, debes dividir el producto por el factor.
Esto es lo que hicimos cuando expresamos el número 3 a partir de la igualdad 3 × 2 = 6. Dividimos el producto 6 por el factor 2.
Ahora a encontrar el multiplicando desconocido. X, debes dividir el producto 6 por el factor 2.
Calcular el lado derecho nos permite encontrar el valor de una variable X
X = 3
La misma regla se aplica si la variable X se encuentra en lugar del multiplicador, no del multiplicando. Imaginemos que en la igualdad 3 × 2 = 6, en lugar del número 2 hay una variable X.
En este caso la variable X asume el papel multiplicador desconocido. Para encontrar un factor desconocido, se proporciona el mismo procedimiento que para encontrar un multiplicando desconocido, es decir, dividir el producto por un factor conocido:
Para encontrar un factor desconocido, debes dividir el producto por el multiplicando.
Esto es lo que hicimos cuando expresamos el número 2 a partir de la igualdad 3 × 2 = 6. Luego para obtener el número 2 dividimos el producto de 6 por su multiplicando 3.
Ahora a encontrar el factor desconocido. X Dividimos el producto de 6 por el multiplicando de 3.
Calcular el lado derecho de la igualdad te permite saber a qué es igual x
X = 2
El multiplicando y el multiplicador juntos se llaman factores. Dado que las reglas para encontrar un multiplicando y un multiplicando son las mismas, podemos formular regla general encontrar un factor desconocido:
Para encontrar un factor desconocido, debes dividir el producto por el factor conocido.
Por ejemplo, resolvamos la ecuación 9 × X= 18. Variable X es un factor desconocido. Para encontrar este factor desconocido, necesitas dividir el producto 18 por el factor conocido 9
Resolvamos la ecuación. X× 3 = 27. Variable X es un factor desconocido. Para encontrar este factor desconocido, debes dividir el producto 27 por el factor conocido 3
Volvamos al cuarto ejemplo del tema anterior, donde en una igualdad necesitábamos expresar el número 15. En esta igualdad, el número 15 es el dividendo, el número 5 es el divisor y el número 3 es el cociente.
Para expresar el número 15 hicimos lo siguiente:
15 = 3 × 5
Es decir, multiplicamos el cociente de 3 por el divisor de 5.
Ahora imagina que en la igualdad, en lugar del número 15, hay una variable X
En este caso la variable X asume el papel dividendo desconocido.
Para encontrar un dividendo desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar el dividendo desconocido, debes multiplicar el cociente por el divisor.
Esto es lo que hicimos cuando expresamos el número 15 de la igualdad. Para expresar el número 15 multiplicamos el cociente de 3 por el divisor de 5.
Ahora, para encontrar el dividendo desconocido. X, necesitas multiplicar el cociente 3 por el divisor 5
X= 3 × 5
X .
X = 15
Ahora imagina que en la igualdad, en lugar del número 5, hay una variable X .
En este caso la variable X asume el papel divisor desconocido.
Para encontrar un divisor desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Esto es lo que hicimos cuando expresamos el número 5 de la igualdad. Para expresar el número 5, dividimos el dividendo 15 por el cociente 3.
Ahora a encontrar el divisor desconocido. X, necesitas dividir el dividendo 15 por el cociente 3
Calculemos el lado derecho de la igualdad resultante. De esta manera sabemos a qué es igual la variable. X .
X = 5
Entonces, para encontrar incógnitas, estudiamos las siguientes reglas:
- Para encontrar el término desconocido, debes restar el término conocido de la suma;
- Para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia;
- Para encontrar el sustraendo desconocido, debes restar la diferencia del minuendo;
- Para encontrar un multiplicando desconocido, debes dividir el producto por el factor;
- Para encontrar un factor desconocido, debes dividir el producto por el multiplicando;
- Para encontrar un dividendo desconocido, debes multiplicar el cociente por el divisor;
- Para encontrar un divisor desconocido, debes dividir el dividendo por el cociente.
Componentes
Llamaremos componentes a los números y variables incluidos en la igualdad.
Entonces, los componentes de la suma son términos Y suma
Los componentes de la resta son minuendo, sustraendo Y diferencia
Los componentes de la multiplicación son multiplicando, factor Y trabajar
Los componentes de la división son el dividendo, el divisor y el cociente.
Dependiendo de los componentes con los que estemos tratando, se aplicarán las reglas correspondientes para encontrar incógnitas. Estudiamos estas reglas en el tema anterior. A la hora de resolver ecuaciones conviene saber de memoria estas reglas.
Ejemplo 1. Encuentra la raíz de la ecuación 45 + X = 60
45 - término, X- término desconocido, 60 - suma. Estamos tratando con los componentes de la suma. Recordamos que para encontrar un término desconocido es necesario restar el término conocido de la suma:
X = 60 − 45
Calculemos el lado derecho y obtengamos el valor. X igual a 15
X = 15
Entonces la raíz de la ecuación es 45 + X= 60 es igual a 15.
En la mayoría de los casos, un término desconocido debe reducirse a una forma en la que pueda expresarse.
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación
Aquí, a diferencia del ejemplo anterior, el término desconocido no se puede expresar inmediatamente, ya que contiene un coeficiente de 2. Nuestra tarea es llevar esta ecuación a una forma en la que pueda expresarse. X
En este ejemplo, estamos tratando con los componentes de la suma: los términos y la suma. 2 X es el primer término, 4 es el segundo término, 8 es la suma.
En este caso, término 2 X contiene una variable X. Después de encontrar el valor de la variable. X término 2 X tomará una mirada diferente. Por lo tanto, el término 2 X puede tomarse completamente como un término desconocido:
Ahora aplicamos la regla para encontrar el término desconocido. Resta el término conocido de la suma:
Calculemos el lado derecho de la ecuación resultante:
Tenemos una nueva ecuación. Ahora nos ocupamos de los componentes de la multiplicación: el multiplicando, el multiplicador y el producto. 2 - multiplicando, X- multiplicador, 4 - producto
En este caso, la variable X no es sólo un multiplicador, sino un multiplicador desconocido
Para encontrar este factor desconocido, debes dividir el producto por el multiplicando:
Calculemos el lado derecho y obtengamos el valor de la variable. X
Para verificar, envíe la raíz encontrada a la ecuación original y sustituya X
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación 3X+ 9X+ 16X= 56
Expresar inmediatamente lo desconocido. X está prohibido. Primero necesitas llevar esta ecuación a una forma en la que pueda expresarse.
Presentamos en el lado izquierdo de esta ecuación:
Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. 28 - multiplicando, X- multiplicador, 56 - producto. Donde X es un factor desconocido. Para encontrar un factor desconocido, debes dividir el producto por el multiplicando:
De aquí X es igual a 2
Ecuaciones equivalentes
En el ejemplo anterior, al resolver la ecuación 3X + 9X + 16X = 56 , hemos dado términos similares en el lado izquierdo de la ecuación. Como resultado, obtuvimos una nueva ecuación 28 X= 56 . Vieja ecuación 3X + 9X + 16X = 56 y la nueva ecuación resultante 28 X= 56 se llama ecuaciones equivalentes, ya que sus raíces coinciden.
Las ecuaciones se llaman equivalentes si sus raíces coinciden.
Vamos a ver. Para la ecuación 3X+ 9X+ 16X= 56 encontramos la raíz igual a 2. Primero sustituyamos esta raíz en la ecuación. 3X+ 9X+ 16X= 56 , y luego en la ecuación 28 X= 56, que se obtuvo trayendo términos similares en el lado izquierdo de la ecuación anterior. Debemos obtener las igualdades numéricas correctas.
Según el orden de las operaciones, primero se realiza la multiplicación:
Sustituyamos la raíz 2 en la segunda ecuación 28. X= 56
Vemos que ambas ecuaciones tienen las mismas raíces. Entonces las ecuaciones 3X+ 9X+ 16X= 56 y 28 X= 56 son de hecho equivalentes.
Para resolver la ecuación 3X+ 9X+ 16X= 56 Usamos uno de ellos: la reducción de términos similares. La transformación de identidad correcta de la ecuación nos permitió obtener la ecuación equivalente 28 X= 56, que es más fácil de resolver.
De las transformaciones idénticas, por el momento solo sabemos cómo reducir fracciones, traer términos similares, sacar el factor común de paréntesis y también abrir paréntesis. Hay otras conversiones que debes tener en cuenta. Pero para tener una idea general de transformaciones idénticas de ecuaciones, los temas que hemos estudiado son suficientes.
Consideremos algunas transformaciones que nos permitan obtener la ecuación equivalente.
Si sumas el mismo número a ambos lados de la ecuación, obtienes una ecuación equivalente a la dada.
y de manera similar:
Si restas el mismo número de ambos lados de una ecuación, obtienes una ecuación equivalente a la dada.
En otras palabras, la raíz de la ecuación no cambiará si al mismo número se le suma (o se le resta de ambos lados) el mismo número.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 
Resta 10 de ambos lados de la ecuación
Tenemos la ecuación 5 X= 10 . Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Para encontrar un factor desconocido X, debes dividir el producto 10 por el factor conocido 5.
y sustituir X valor encontrado 2
Obtuvimos la igualdad numérica correcta. Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente.
Resolviendo la ecuación Restamos el número 10 de ambos lados de la ecuación. Como resultado, obtuvimos una ecuación equivalente. La raíz de esta ecuación, como la ecuación también es igual a 2
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 4( X+ 3) = 16
Resta el número 12 de ambos lados de la ecuación.
Quedarán 4 en el lado izquierdo. X, y en el lado derecho el número 4
Tenemos la ecuación 4 X= 4 . Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Para encontrar un factor desconocido X, necesitas dividir el producto 4 por el factor conocido 4
Volvamos a la ecuación original 4( X+ 3) = 16 y sustituir X valor encontrado 1
Obtuvimos la igualdad numérica correcta. Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente.
Resolver la ecuación 4( X+ 3) = 16 restamos el número 12 de ambos lados de la ecuación. Como resultado, obtuvimos la ecuación equivalente 4 X= 4 . La raíz de esta ecuación, como la ecuación 4( X+ 3) = 16 también es igual a 1
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación 
Ampliemos los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación:
Suma el número 8 a ambos lados de la ecuación.
Presentemos términos similares en ambos lados de la ecuación:
Quedarán 2 en el lado izquierdo. X, y en el lado derecho el número 9
En la ecuación resultante 2 X= 9 expresamos el término desconocido X
Volvamos a la ecuación original. y sustituir X valor encontrado 4.5
Obtuvimos la igualdad numérica correcta. Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente.
Resolviendo la ecuación Sumamos el número 8 a ambos lados de la ecuación y como resultado obtuvimos una ecuación equivalente. La raíz de esta ecuación, como la ecuación también igual a 4,5
La siguiente regla que nos permite obtener una ecuación equivalente es la siguiente
Si mueves un término de una ecuación de una parte a otra, cambiando su signo, obtendrás una ecuación equivalente a la dada.
Es decir, la raíz de la ecuación no cambiará si trasladamos un término de una parte de la ecuación a otra, cambiando su signo. Esta propiedad es una de las más importantes y una de las más utilizadas al resolver ecuaciones.
Considere la siguiente ecuación:
La raíz de esta ecuación es igual a 2. Sustituyamos X esta raíz y comprobar si la igualdad numérica es correcta
El resultado es una igualdad correcta. Esto significa que el número 2 es efectivamente la raíz de la ecuación.
Ahora intentemos experimentar con los términos de esta ecuación, moviéndolos de una parte a otra, cambiando los signos.
Por ejemplo, término 3 X se encuentra en el lado izquierdo de la ecuación. Movámoslo hacia el lado derecho, cambiando el signo al contrario:
El resultado es una ecuación 12 = 9X − 3X . en el lado derecho de esta ecuación:
X es un factor desconocido. Encontremos este conocido factor:
De aquí X= 2 . Como puedes ver, la raíz de la ecuación no ha cambiado. entonces las ecuaciones son 12 + 3 X = 9X Y 12 = 9X − 3X son equivalentes.
De hecho, esta transformación es un método simplificado de la transformación anterior, donde se sumaba (o restaba) el mismo número a ambos lados de la ecuación.
Dijimos que en la ecuación 12 + 3 X = 9X término 3 X se movió hacia el lado derecho, cambiando de signo. En realidad sucedió lo siguiente: se restó el término 3 de ambos lados de la ecuación X
Luego se dieron términos similares en el lado izquierdo y se obtuvo la ecuación 12 = 9X − 3X. Luego se dieron nuevamente términos similares, pero en el lado derecho, y se obtuvo la ecuación 12 = 6 X.
Pero la llamada "transferencia" es más conveniente para este tipo de ecuaciones, razón por la cual se ha generalizado tanto. Al resolver ecuaciones, frecuentemente usaremos esta transformación particular.
Las ecuaciones 12 + 3 también son equivalentes. X= 9X Y 3x- 9X= −12 . Esta vez la ecuación es 12 + 3 X= 9X el término 12 se movió al lado derecho y el término 9 X A la izquierda. No debemos olvidar que los signos de estos términos fueron cambiados durante la transferencia.
La siguiente regla que nos permite obtener una ecuación equivalente es la siguiente:
Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número, distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
En otras palabras, las raíces de una ecuación no cambiarán si ambos lados se multiplican o dividen por el mismo número. Esta acción se utiliza a menudo cuando necesitas resolver una ecuación que contiene expresiones fraccionarias.
Primero, veamos ejemplos en los que ambos lados de la ecuación se multiplicarán por el mismo número.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación
Al resolver ecuaciones que contienen expresiones fraccionarias, se acostumbra simplificar primero la ecuación.
En este caso, estamos ante una ecuación de este tipo. Para simplificar esta ecuación, ambos lados se pueden multiplicar por 8:
Recordamos que para , necesitamos multiplicar el numerador de una fracción dada por este número. Tenemos dos fracciones y cada una de ellas se multiplica por el número 8. Nuestra tarea es multiplicar los numeradores de las fracciones por este número 8.
Ahora sucede la parte interesante. Los numeradores y denominadores de ambas fracciones contienen un factor de 8, que se puede reducir en 8. Esto nos permitirá deshacernos de la expresión fraccionaria:
Como resultado, la ecuación más simple sigue siendo
Bueno, no es difícil adivinar que la raíz de esta ecuación es 4
X valor encontrado 4
El resultado es una igualdad numérica correcta. Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente.
Al resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por 8. Como resultado, obtuvimos la ecuación. La raíz de esta ecuación, al igual que la ecuación, es 4. Esto significa que estas ecuaciones son equivalentes.
El factor por el cual se multiplican ambos lados de la ecuación generalmente se escribe antes de la parte de la ecuación y no después. Entonces, resolviendo la ecuación, multiplicamos ambos lados por un factor de 8 y obtuvimos la siguiente entrada:
Esto no cambió la raíz de la ecuación, pero si lo hubiéramos hecho estando en la escuela, nos habrían reprendido, ya que en álgebra se acostumbra escribir un factor antes de la expresión con la que se multiplica. Por tanto, es recomendable reescribir la multiplicación de ambos lados de la ecuación por un factor de 8 de la siguiente manera:
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 
En el lado izquierdo, los factores de 15 se pueden reducir en 15, y en el lado derecho, los factores de 15 y 5 se pueden reducir en 5.
Abramos los corchetes en el lado derecho de la ecuación:
muevamos el termino X desde el lado izquierdo de la ecuación hacia el lado derecho, cambiando el signo. Y movemos el término 15 del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, cambiando nuevamente el signo:
Presentamos términos similares en ambos lados, obtenemos
Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Variable X
Volvamos a la ecuación original. y sustituir X valor encontrado 5
El resultado es una igualdad numérica correcta. Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente. Al resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por 15. Realizando además transformaciones idénticas, obtuvimos la ecuación 10 = 2 X. La raíz de esta ecuación, como la ecuación es igual a 5. Esto significa que estas ecuaciones son equivalentes.
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación
En el lado izquierdo puedes restar dos tres, y en el lado derecho será igual a 18
Queda la ecuación más simple. Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Variable X es un factor desconocido. Encontremos este conocido factor:
Volvamos a la ecuación original y sustituyamos X valor encontrado 9
El resultado es una igualdad numérica correcta. Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente.
Ejemplo 4. Resuelve la ecuación 
Multiplica ambos lados de la ecuación por 6.
Abramos los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación. En el lado derecho, el factor 6 se puede elevar al numerador:
Reduzcamos lo que se puede reducir en ambos lados de las ecuaciones:
Reescribamos lo que nos queda:
Utilicemos la transferencia de términos. Términos que contienen lo desconocido X, agrupamos en el lado izquierdo de la ecuación y los términos libres de incógnitas, en el derecho:
Presentemos términos similares en ambas partes:
Ahora encontremos el valor de la variable. X. Para hacer esto, divida el producto 28 por el factor conocido 7
De aquí X= 4.
Volvamos a la ecuación original. y sustituir X valor encontrado 4
El resultado es una ecuación numérica correcta. Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente.
Ejemplo 5. Resuelve la ecuación 
Abramos los paréntesis en ambos lados de la ecuación cuando sea posible:
Multiplica ambos lados de la ecuación por 15.
Abramos los corchetes en ambos lados de la ecuación:
Reduzcamos lo que se puede reducir en ambos lados de la ecuación:
Reescribamos lo que nos queda:
Ampliemos los corchetes donde sea posible:
Utilicemos la transferencia de términos. Agrupamos los términos que contienen la incógnita en el lado izquierdo de la ecuación y los términos libres de incógnitas en el lado derecho. No olvides que durante la transferencia los términos cambian de signo al contrario:
Presentemos términos similares en ambos lados de la ecuación:
Encontremos el valor X
La respuesta resultante se puede dividir en una parte entera:
Volvamos a la ecuación original y sustituyamos X valor encontrado
Resulta ser una expresión bastante engorrosa. Usemos variables. Pongamos el lado izquierdo de la igualdad en una variable. A, y el lado derecho de la igualdad en una variable B
Nuestra tarea es asegurarnos de que el lado izquierdo sea igual al derecho. En otras palabras, demostrar la igualdad A = B
Encontremos el valor de la expresión en la variable A.
Valor variable A es igual a . Ahora encontremos el valor de la variable. B. Es decir, el valor del lado derecho de nuestra igualdad. Si también es igual, entonces la ecuación se resolverá correctamente.
Vemos que el valor de la variable B, como el valor de la variable A es igual a . Esto significa que el lado izquierdo es igual al lado derecho. De esto concluimos que la ecuación se resuelve correctamente.
Ahora intentemos no multiplicar ambos lados de la ecuación por el mismo número, sino dividir.
Considere la ecuación 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . Resolvámoslo usando el método habitual: agrupamos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo de la ecuación y los términos libres de incógnitas, en el lado derecho. A continuación, realizando las transformaciones de identidad conocidas, encontramos el valor X
Sustituyamos el valor encontrado 2 en su lugar. X en la ecuación original:
Ahora intentemos separar todos los términos de la ecuación. 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 por algún número. Observamos que todos los términos de esta ecuación tienen un factor común de 2. Dividimos cada término por él:
Realicemos una reducción en cada término:
Reescribamos lo que nos queda:
Resolvamos esta ecuación usando las conocidas transformaciones de identidad:
Obtuvimos la raíz 2. Entonces las ecuaciones 15X+ 7X+ 7 = 35x- 20X+ 21 Y 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 son equivalentes.
Dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número le permite eliminar la incógnita del coeficiente. En el ejemplo anterior cuando obtuvimos la ecuación 7 X= 14, necesitábamos dividir el producto 14 por el factor conocido 7. Pero si hubiéramos liberado la incógnita del factor 7 en el lado izquierdo, la raíz se habría encontrado inmediatamente. Para ello bastaba con dividir ambos lados entre 7
También usaremos este método con frecuencia.
Multiplicación por menos uno
Si ambos lados de la ecuación se multiplican por menos uno, obtienes una ecuación equivalente a esta.
Esta regla se deriva del hecho de que multiplicar (o dividir) ambos lados de una ecuación por el mismo número no cambia la raíz de la ecuación dada. Esto significa que la raíz no cambiará si ambas partes se multiplican por −1.
Esta regla le permite cambiar los signos de todos los componentes incluidos en la ecuación. ¿Para qué sirve? Nuevamente, para obtener una ecuación equivalente que sea más fácil de resolver.
Considere la ecuación. ¿Cuál es la raíz de esta ecuación?
Suma el número 5 a ambos lados de la ecuación.
Veamos términos similares:
Ahora recordemos. ¿Cuál es el lado izquierdo de la ecuación? Este es el producto de menos uno y una variable. X
Es decir, el signo menos delante de la variable. X, no se refiere a la variable en sí X, sino a uno, que no vemos, ya que el coeficiente 1 no suele estar escrito. Esto significa que la ecuación en realidad se ve así:
Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Encontrar X, debes dividir el producto −5 por el factor conocido −1.
o dividir ambos lados de la ecuación por −1, que es aún más simple
Entonces la raíz de la ecuación es 5. Para comprobarlo, sustituyámoslo en la ecuación original. No olvides que en la ecuación original el menos está delante de la variable. X se refiere a una unidad invisible
El resultado es una ecuación numérica correcta. Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente.
Ahora intentemos multiplicar ambos lados de la ecuación por menos uno:
Después de abrir los corchetes, la expresión se forma en el lado izquierdo y el lado derecho será igual a 10.
La raíz de esta ecuación, al igual que la ecuación, es 5
Esto significa que las ecuaciones son equivalentes.
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación
En esta ecuación, todos los componentes son negativos. Es más conveniente trabajar con componentes positivos que con negativos, así que cambiemos los signos de todos los componentes incluidos en la ecuación. Para hacer esto, multiplica ambos lados de esta ecuación por −1.
Está claro que al multiplicarlo por −1, cualquier número cambiará de signo al contrario. Por lo tanto, el procedimiento de multiplicar por −1 y abrir los corchetes no se describe en detalle, pero inmediatamente se anotan los componentes de la ecuación con signos opuestos.
Por tanto, multiplicar una ecuación por −1 se puede escribir en detalle de la siguiente manera:
o simplemente puedes cambiar los signos de todos los componentes:
El resultado será el mismo, pero la diferencia será que ahorraremos tiempo.
Entonces, multiplicando ambos lados de la ecuación por −1, obtenemos la ecuación. Resolvamos esta ecuación. Resta 4 de ambos lados y divide ambos lados por 3
Cuando se encuentra la raíz, se suele escribir la variable en el lado izquierdo y su valor en el derecho, que es lo que hicimos.
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación
Multipliquemos ambos lados de la ecuación por −1. Entonces todos los componentes cambiarán sus signos a opuestos:
Resta 2 de ambos lados de la ecuación resultante. X y dar términos similares:
Sumemos uno a ambos lados de la ecuación y demos términos similares: 
igualando a cero
Hace poco aprendimos que si trasladamos un término de una ecuación de una parte a otra, cambiando su signo, obtendremos una ecuación equivalente a la dada.
¿Qué pasa si pasas de una parte a otra no solo un término, sino todos los términos? Así es, en la parte donde se quitaron todos los términos quedará cero. En otras palabras, no quedará nada.
Como ejemplo, considere la ecuación. Resolvamos esta ecuación como de costumbre: agruparemos los términos que contienen incógnitas en una parte y dejaremos los términos numéricos libres de incógnitas en la otra. A continuación, realizando las transformaciones de identidad conocidas, encontramos el valor de la variable. X
Ahora intentemos resolver la misma ecuación igualando todos sus componentes a cero. Para ello, movemos todos los términos del lado derecho al izquierdo, cambiando los signos:
Presentemos términos similares en el lado izquierdo:
Suma 77 a ambos lados y divide ambos lados por 7
Una alternativa a las reglas para encontrar incógnitas.
Obviamente, al conocer transformaciones idénticas de ecuaciones, no es necesario memorizar las reglas para encontrar incógnitas.
Por ejemplo, para encontrar la incógnita en una ecuación, dividimos el producto 10 por el factor conocido 2
Pero si divides ambos lados de la ecuación por 2, la raíz se encontrará inmediatamente. En el lado izquierdo de la ecuación en el numerador el factor 2 y en el denominador el factor 2 se reducirá en 2. Y en el lado derecho será igual a 5
Resolvimos ecuaciones de la forma expresando el término desconocido:
Pero puedes usar las transformaciones idénticas que estudiamos hoy. En la ecuación, el término 4 se puede mover hacia el lado derecho cambiando el signo:
En el lado izquierdo de la ecuación, dos dos se cancelarán. El lado derecho será igual a 2. Por tanto.
O podrías restar 4 de ambos lados de la ecuación y obtendrías lo siguiente:
En el caso de ecuaciones de la forma, es más conveniente dividir el producto por un factor conocido. Comparemos ambas soluciones:
La primera solución es mucho más breve y clara. La segunda solución se puede acortar significativamente si haces la división mentalmente.
Sin embargo, es necesario conocer ambos métodos y solo entonces utilizar el que prefieras.
Cuando hay varias raíces
Una ecuación puede tener múltiples raíces. Por ejemplo la ecuación X(x+ 9) = 0 tiene dos raíces: 0 y −9.
En la ecuación. X(x+ 9) = 0 era necesario encontrar tal valor X en el cual el lado izquierdo sería igual a cero. El lado izquierdo de esta ecuación contiene las expresiones X Y (x+9), que son factores. Por las leyes de la multiplicación sabemos que un producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero (ya sea el primer factor o el segundo).
Es decir, en la ecuación X(x+ 9) = 0 la igualdad se logrará si X será igual a cero o (x+9) será igual a cero.
X= 0 o X + 9 = 0
Al establecer ambas expresiones en cero, podemos encontrar las raíces de la ecuación X(x+ 9) = 0 . La primera raíz, como puede verse en el ejemplo, se encontró inmediatamente. Para encontrar la segunda raíz necesitas resolver la ecuación elemental. X+ 9 = 0 . Es fácil adivinar que la raíz de esta ecuación es −9. La verificación muestra que la raíz es correcta:
−9 + 9 = 0
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación
Esta ecuación tiene dos raíces: 1 y 2. El lado izquierdo de la ecuación es el producto de las expresiones ( X− 1) y ( X− 2). Y el producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero (o el factor ( X− 1) o factorizar ( X − 2) ).
Encontremos algo como esto X bajo el cual las expresiones ( X− 1) o ( X− 2) convertirse en cero:
Sustituimos los valores encontrados uno por uno en la ecuación original y nos aseguramos de que para estos valores el lado izquierdo sea igual a cero:
Cuando hay infinitas raíces
Una ecuación puede tener infinitas raíces. Es decir, al sustituir cualquier número en dicha ecuación, obtenemos la igualdad numérica correcta.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 
La raíz de esta ecuación es cualquier número. Si abres los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación y sumas términos similares, obtienes la igualdad 14 = 14. Esta igualdad se obtendrá para cualquier X
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación
La raíz de esta ecuación es cualquier número. Si abres los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación, obtienes la igualdad 10X + 12 = 10X + 12. Esta igualdad se obtendrá para cualquier X
Cuando no hay raíces
También sucede que la ecuación no tiene solución alguna, es decir, no tiene raíces. Por ejemplo, la ecuación no tiene raíces, ya que para cualquier valor X, el lado izquierdo de la ecuación no será igual al lado derecho. Por ejemplo, dejemos. Entonces la ecuación tomará la siguiente forma
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación
Ampliemos los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación:
Veamos términos similares:
Vemos que el lado izquierdo no es igual al lado derecho. Y este será el caso para cualquier valor. y. Por ejemplo, dejemos y = 3 .
Ecuaciones de letras
Una ecuación puede contener no sólo números con variables, sino también letras.
Por ejemplo, la fórmula para encontrar la velocidad es una ecuación literal:
Esta ecuación describe la velocidad de un cuerpo durante un movimiento uniformemente acelerado.
Una habilidad útil es la capacidad de expresar cualquier componente incluido en una ecuación de letras. Por ejemplo, para determinar la distancia a partir de una ecuación, es necesario expresar la variable s .
Multipliquemos ambos lados de la ecuación por t
Variables en el lado derecho t vamos a cortarlo por t
En la ecuación resultante, intercambiamos los lados izquierdo y derecho:
Tenemos una fórmula para encontrar la distancia, que estudiamos anteriormente.
Intentemos determinar el tiempo a partir de la ecuación. Para hacer esto necesitas expresar la variable. t .
Multipliquemos ambos lados de la ecuación por t
Variables en el lado derecho t vamos a cortarlo por t y reescribir lo que nos queda:
En la ecuación resultante v×t = s dividir ambas partes en v
Variables a la izquierda v vamos a cortarlo por v y reescribir lo que nos queda:
Tenemos la fórmula para determinar el tiempo, que estudiamos anteriormente.
Supongamos que la velocidad del tren es 50 km/h.
v= 50 kilómetros por hora
Y la distancia es de 100 km.
s= 100 kilómetros
Entonces la ecuación literal tomará la siguiente forma
El tiempo se puede encontrar a partir de esta ecuación. Para hacer esto necesitas poder expresar la variable. t. Puedes usar la regla para encontrar un divisor desconocido dividiendo el dividendo por el cociente y así determinar el valor de la variable. t
o puedes usar transformaciones idénticas. Primero multiplica ambos lados de la ecuación por t
Luego divide ambos lados por 50
Ejemplo 2 X
Resta de ambos lados de la ecuación a
Dividamos ambos lados de la ecuación por b
a + bx = c, entonces tendremos una solución lista para usar. Bastará con sustituirlo por los valores requeridos. Aquellos valores que serán sustituidos por letras a B C generalmente llamado parámetros. Y ecuaciones de la forma a + bx = c llamado ecuación con parámetros. Dependiendo de los parámetros, la raíz cambiará.
Resolvamos la ecuación 2 + 4. X= 10 . Parece una ecuación de letras. a + bx = c. En lugar de realizar transformaciones idénticas, podemos utilizar una solución ya preparada. Comparemos ambas soluciones:
Vemos que la segunda solución es mucho más sencilla y corta.
Para una solución preparada, es necesario hacer un pequeño comentario. Parámetro b no debe ser igual a cero (b ≠ 0), ya que se permite la división por cero por.
Ejemplo 3. Se da una ecuación literal. Expresar a partir de esta ecuación X
Abramos los corchetes en ambos lados de la ecuación.
Utilicemos la transferencia de términos. Parámetros que contienen una variable X, agrupamos en el lado izquierdo de la ecuación y los parámetros libres de esta variable, en el derecho.
En el lado izquierdo sacamos el factor entre paréntesis. X
Dividamos ambos lados por la expresión. un - segundo
En el lado izquierdo, el numerador y el denominador se pueden reducir por un - segundo. Así se expresa finalmente la variable X
Ahora bien, si nos encontramos con una ecuación de la forma a(x − c) = b(x + d), entonces tendremos una solución lista para usar. Bastará con sustituirlo por los valores requeridos.
Digamos que nos dan la ecuación 4(x- 3) = 2(X+ 4) . parece una ecuacion a(x − c) = b(x + d). Resolvámoslo de dos maneras: usando transformaciones idénticas y usando una solución ya preparada:
Por conveniencia, eliminémoslo de la ecuación. 4(x- 3) = 2(X+ 4) valores paramétricos a, b, C, d . Esto nos permitirá no equivocarnos a la hora de sustituir:
Como en el ejemplo anterior, el denominador aquí no debe ser igual a cero ( a − b ≠ 0). Si encontramos una ecuación de la forma a(x − c) = b(x + d) en el que los parámetros a Y b será la misma, podemos decir sin resolverla que esta ecuación no tiene raíces, ya que la diferencia entre números idénticos es cero.
Por ejemplo, la ecuación 2(x − 3) = 2(x + 4) es una ecuación de la forma a(x − c) = b(x + d). En la ecuación. 2(x − 3) = 2(x + 4) opciones a Y b lo mismo. Si nos ponemos a resolverlo llegaremos a la conclusión de que el lado izquierdo no será igual al lado derecho:
Ejemplo 4. Se da una ecuación literal. Expresar a partir de esta ecuación X
Llevemos el lado izquierdo de la ecuación a un denominador común:
Multipliquemos ambos lados por a
En el lado izquierdo X pongámoslo entre paréntesis
Divide ambos lados por la expresión (1 − a)
Ecuaciones lineales con una incógnita.
Las ecuaciones discutidas en esta lección se llaman ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.
Si la ecuación está dada en primer grado, no contiene división por una incógnita y tampoco contiene raíces de una incógnita, entonces se la puede llamar lineal. Aún no hemos estudiado potencias y raíces, por lo que para no complicarnos la vida entenderemos la palabra “lineal” como “simple”.
La mayoría de las ecuaciones resueltas en esta lección finalmente se redujeron a una ecuación simple en la que había que dividir el producto por un factor conocido. Por ejemplo, esta es la ecuación 2( X+ 3) = 16. Resolvámoslo.
Abramos los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos 2 X+ 6 = 16. Movamos el término 6 hacia el lado derecho, cambiando el signo. Entonces obtenemos 2 X= 16 − 6. Calcula el lado derecho, obtenemos 2 X= 10. Para encontrar X, divide el producto 10 por el factor conocido 2. Por tanto X = 5.
Ecuación 2( X+ 3) = 16 es lineal. Todo se reduce a la ecuación 2. X= 10, para encontrar la raíz de la cual fue necesario dividir el producto por un factor conocido. Esta ecuación más simple se llama ecuación lineal de primer grado con una incógnita en forma canónica. La palabra "canónico" es sinónimo de las palabras "simple" o "normal".
Una ecuación lineal de primer grado con una incógnita en forma canónica se llama ecuación de la forma hacha = b.
Nuestra ecuación resultante 2 X= 10 es una ecuación lineal de primer grado con una incógnita en forma canónica. Esta ecuación tiene primer grado, una incógnita, no contiene división por la incógnita ni raíces de la incógnita, y se presenta en forma canónica, es decir, en la forma más simple en la que el valor se puede determinar fácilmente. X. En lugar de parámetros a Y b nuestra ecuación contiene los números 2 y 10. Pero dicha ecuación también puede contener otros números: positivos, negativos o iguales a cero.
Si en una ecuación lineal a= 0 y b= 0, entonces la ecuación tiene infinitas raíces. De hecho, si a igual a cero y b es igual a cero, entonces la ecuación lineal hacha= b tomará la forma 0 X= 0 . Por cualquier valor X el lado izquierdo será igual al lado derecho.
Si en una ecuación lineal a= 0 y b≠ 0, entonces la ecuación no tiene raíces. De hecho, si a igual a cero y b es igual a algún número que no es igual a cero, digamos el número 5, entonces la ecuación hacha = b tomará la forma 0 X= 5 . El lado izquierdo será cero y el lado derecho será cinco. Y cero no es igual a cinco.
Si en una ecuación lineal a≠ 0, y b es igual a cualquier número, entonces la ecuación tiene una raíz. Se determina dividiendo el parámetro. b por parámetro a
De hecho, si a igual a algún número que no es cero, digamos el número 3, y b igual a algún número, digamos el número 6, entonces la ecuación tomará la forma.
De aquí.
Existe otra forma de escribir una ecuación lineal de primer grado con una incógnita. Se parece a esto: hacha-b= 0 . Esta es la misma ecuación que hacha = b
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