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Cómo resolver ecuaciones racionales fraccionarias. Resolver ecuaciones enteras y fraccionariamente racionales

Cómo resolver ecuaciones racionales fraccionarias. Resolver ecuaciones enteras y fraccionariamente racionales

Hoy descubriremos cómo resolver ecuaciones racionales fraccionarias.

Veamos: a partir de las ecuaciones

(1) 2x + 5 = 3(8 - x),

(3)

(4)

Las ecuaciones racionales fraccionarias son solo (2) y (4), mientras que (1) y (3) son ecuaciones enteras.

Propongo resolver la ecuación (4), y luego formular la regla.

Como la ecuación es fraccionaria, necesitamos encontrar un denominador común. En esta ecuación, esta expresión es 6 (x - 12) (x - 6). Luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por un denominador común:

Después de la reducción, obtenemos la ecuación completa:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).

Una vez resuelta esta ecuación, es necesario verificar si las raíces obtenidas vuelven a cero los denominadores de las fracciones en la ecuación original.

Ampliando los paréntesis:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, simplificamos la ecuación: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

Encontrar las raíces de la ecuación
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 y x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

En x \u003d 8.4 y 24, el denominador común es 6 (x - 12) (x - 6) ≠ 0, lo que significa que estos números son las raíces de la ecuación (4).

Respuesta: 8,4; 24.

Resolviendo la ecuación propuesta, llegamos a la siguiente provisiones:

1) Encontramos un denominador común.

2) Multiplica ambos lados de la ecuación por un denominador común.

3) Resolvemos la ecuación entera resultante.

4) Comprobamos cuál de las raíces convierte el común denominador en cero y las excluimos de la solución.

Veamos ahora un ejemplo de cómo funcionan las posiciones resultantes.

Resuelve la ecuación:

1) Común denominador: x 2 - 1

2) Multiplicamos ambas partes de la ecuación por un denominador común, obtenemos la ecuación completa: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) Resolvemos la ecuación: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 y x 2 = 2

4) Cuando x \u003d -1, el denominador común x 2 - 1 \u003d 0. El número -1 no es una raíz.

Para x \u003d 2, el denominador común es x 2 - 1 ≠ 0. El número 2 es la raíz de la ecuación.

Respuesta: 2.

Como puede ver, nuestras provisiones funcionan. ¡No tengas miedo, tendrás éxito! El más importante encontrar el denominador común correctamente Y hacer las transformaciones con cuidado. Esperamos que al resolver ecuaciones racionales fraccionarias, siempre obtenga las respuestas correctas. Si tiene alguna pregunta o desea practicar la resolución de tales ecuaciones, regístrese para recibir lecciones con la autora de este artículo, la tutora Valentina Galinevskaya.

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Solución de ecuaciones racionales fraccionarias

Guía de ayuda

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que tanto el lado izquierdo como el derecho son expresiones racionales.

(Recuerde: las expresiones racionales son expresiones enteras y fraccionarias sin radicales, incluidas las operaciones de suma, resta, multiplicación o división, por ejemplo: 6x; (m - n) 2; x / 3y, etc.)

Las ecuaciones fraccionarias-racionales, por regla general, se reducen a la forma:

Dónde PAG(X) Y q(X) son polinomios.

Para resolver tales ecuaciones, multiplique ambos lados de la ecuación por Q(x), lo que puede provocar la aparición de raíces extrañas. Por lo tanto, al resolver ecuaciones racionales fraccionarias, es necesario verificar las raíces encontradas.

Una ecuación racional se llama un número entero, o algebraico, si no tiene una división por una expresión que contenga una variable.

Ejemplos de una ecuación racional completa:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Si en una ecuación racional hay una división por una expresión que contiene la variable (x), entonces la ecuación se llama racional fraccionario.

Un ejemplo de una ecuación racional fraccionaria:

15
x + - = 5x - 17
X

Las ecuaciones racionales fraccionarias generalmente se resuelven de la siguiente manera:

1) encuentre un denominador común de fracciones y multiplique ambas partes de la ecuación por él;

2) resolver la ecuación completa resultante;

3) excluir de sus raíces las que conviertan en cero el común denominador de las fracciones.

Ejemplos de resolución de ecuaciones racionales enteras y fraccionarias.

Ejemplo 1. Resuelve toda la ecuación

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Solución:

Encontrar el mínimo común denominador. Esto es 6. Divide 6 por el denominador y multiplica el resultado por el numerador de cada fracción. Obtenemos una ecuación equivalente a esta:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Como el denominador es el mismo en los lados izquierdo y derecho, se puede omitir. Entonces tenemos una ecuación más simple:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Lo resolvemos abriendo paréntesis y reduciendo términos semejantes:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Ejemplo resuelto.

Ejemplo 2. Resolver una ecuación racional fraccionaria

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Encontramos un denominador común. Esto es x(x - 5). Entonces:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Ahora volvemos a deshacernos del denominador, ya que es el mismo para todas las expresiones. Reducimos términos semejantes, igualamos la ecuación a cero y obtenemos una ecuación cuadrática:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Habiendo resuelto la ecuación cuadrática, encontramos sus raíces: -2 y 5.

Verifiquemos si estos números son las raíces de la ecuación original.

Para x = –2, el común denominador x(x – 5) no desaparece. Entonces -2 es la raíz de la ecuación original.

En x = 5, el denominador común desaparece y dos de las tres expresiones pierden su significado. Entonces el número 5 no es la raíz de la ecuación original.

Respuesta: x = -2

Más ejemplos

Ejemplo 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

Respuesta: -2.2; 6.

Ejemplo 2

Presentación y lección sobre el tema: "Ecuaciones racionales. Algoritmo y ejemplos para resolver ecuaciones racionales".

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Introducción a las ecuaciones irracionales

Chicos, aprendimos a resolver ecuaciones cuadráticas. Pero las matemáticas no se limitan a ellos. Hoy aprenderemos a resolver ecuaciones racionales. El concepto de ecuaciones racionales es en muchos aspectos similar al concepto de números racionales. Solo que además de los números, ahora hemos introducido alguna variable $x$. Y así obtenemos una expresión en la que hay operaciones de suma, resta, multiplicación, división y elevación a una potencia entera.

Sea $r(x)$ expresión racional. Tal expresión puede ser un polinomio simple en la variable $x$ o una razón de polinomios (se introduce la operación de división, como para los números racionales).
La ecuación $r(x)=0$ se llama ecuación racional.
Cualquier ecuación de la forma $p(x)=q(x)$, donde $p(x)$ y $q(x)$ son expresiones racionales, también será ecuación racional.

Considere ejemplos de resolución de ecuaciones racionales.

Ejemplo 1
Resuelve la ecuación: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Solución.
Muevamos todas las expresiones al lado izquierdo: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Si los números ordinarios estuvieran representados en el lado izquierdo de la ecuación, llevaríamos dos fracciones a un denominador común.
Hagamos esto: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Obtuvimos la ecuación: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Una fracción es cero si y solo si el numerador de la fracción es cero y el denominador es distinto de cero. Luego iguale por separado el numerador a cero y encuentre las raíces del numerador.
$3(x^2+2x-3)=0$ o $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Ahora comprobemos el denominador de la fracción: $(x-3)*x≠0$.
El producto de dos números es igual a cero cuando al menos uno de estos números es igual a cero. Entonces: $x≠0$ o $x-3≠0$.
$x≠0$ o $x≠3$.
Las raíces obtenidas en el numerador y el denominador no coinciden. Entonces, en respuesta, escribimos ambas raíces del numerador.
Respuesta: $x=1$ o $x=-3$.

Si de repente, una de las raíces del numerador coincidiera con la raíz del denominador, entonces debería excluirse. ¡Tales raíces se llaman extrañas!

Algoritmo para resolver ecuaciones racionales:

1. Mueva todas las expresiones contenidas en la ecuación a la izquierda del signo igual.
2. Convierte esta parte de la ecuación a fracción algebraica: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Igualar el numerador resultante a cero, es decir, resolver la ecuación $p(x)=0$.
4. Iguale el denominador a cero y resuelva la ecuación resultante. Si las raíces del denominador coincidieron con las raíces del numerador, entonces deben excluirse de la respuesta.

Ejemplo 2
Resuelve la ecuación: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Solución.
Resolveremos según los puntos del algoritmo.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ fracción(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Igualar el numerador a cero: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Igualar el denominador a cero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ y $x=-1$.
Una de las raíces $x=1$ coincidió con la raíz del numerador, entonces no lo escribimos en respuesta.
Respuesta: $x=-1$.

Es conveniente resolver ecuaciones racionales utilizando el método de cambio de variables. Vamos a demostrarlo.

Ejemplo 3
Resuelve la ecuación: $x^4+12x^2-64=0$.

Solución.
Introducimos un reemplazo: $t=x^2$.
Entonces nuestra ecuación tomará la forma:
$t^2+12t-64=0$ es una ecuación cuadrática ordinaria.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Introduzcamos un reemplazo inverso: $x^2=4$ o $x^2=-16$.
Las raíces de la primera ecuación son un par de números $x=±2$. El segundo no tiene raíces.
Respuesta: $x=±2$.

Ejemplo 4
Resuelve la ecuación: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Solución.
Introduzcamos una nueva variable: $t=x^2+x+1$.
Entonces la ecuación tomará la forma: $t=\frac(15)(t+2)$.
A continuación, actuaremos de acuerdo con el algoritmo.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - las raíces no coinciden.
Introducimos una sustitución inversa.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Resolvamos cada ecuación por separado:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - no raíces.
Y la segunda ecuación: $x^2+x-2=0$.
Las raíces de esta ecuación serán los números $x=-2$ y $x=1$.
Respuesta: $x=-2$ y $x=1$.

Ejemplo 5
Resuelve la ecuación: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Solución.
Introducimos un reemplazo: $t=x+\frac(1)(x)$.
Entonces:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ o $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Obtuvimos la ecuación: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Las raíces de esta ecuación son el par:
$t=-3$ y $t=2$.
Introduzcamos la sustitución inversa:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Lo decidiremos por separado.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Resolvamos la segunda ecuación:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
La raíz de esta ecuación es el número $x=1$.
Respuesta: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Tareas para solución independiente

Resolver ecuaciones:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Ecuaciones fraccionarias. ODZ.

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Queda la última vista ecuaciones fraccionarias. O también se les llama mucho más sólidos: ecuaciones racionales fraccionarias. Es lo mismo.

Ecuaciones fraccionarias.

Como su nombre lo indica, estas ecuaciones necesariamente contienen fracciones. Pero no solo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en el denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:

Déjame recordarte, si en los denominadores solamente números, estas son ecuaciones lineales.

como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de eso, la ecuación, con mayor frecuencia, se convierte en lineal o cuadrática. Y luego sabemos qué hacer... En algunos casos, puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. A continuación lo mencionaré.

Pero, ¿cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando todas las mismas transformaciones idénticas.

Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que todos los denominadores disminuyan! Todo será inmediatamente más fácil. Lo explico con un ejemplo. Digamos que necesitamos resolver la ecuación:

¿Cómo se enseñaban en la escuela primaria? Transferimos todo en una dirección, lo reducimos a un denominador común, etc. ¡Olvídate de lo mal que sueñas! Esto es lo que necesitas hacer cuando sumas o restas expresiones fraccionarias. O trabajar con desigualdades. Y en las ecuaciones, inmediatamente multiplicamos ambas partes por una expresión que nos dará la oportunidad de reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?

En el lado izquierdo, para reducir el denominador, necesitas multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere la multiplicación por 2. Entonces, la ecuación debe multiplicarse por 2(x+2). Multiplicamos:

Esta es la multiplicación habitual de fracciones, pero escribiré en detalle:

Tenga en cuenta que todavía no estoy abriendo el paréntesis. (x + 2)! Entonces, en su totalidad, lo escribo:

En el lado izquierdo, se reduce por completo (x+2), y en el derecho 2. ¡Según se requiera! Después de la reducción obtenemos lineal la ecuacion:

¡Cualquiera puede resolver esta ecuación! x = 2.

Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:

Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1 se puede escribir:

Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta, de las fracciones.

Vemos que para reducir el denominador con x, es necesario multiplicar la fracción por (x - 2). Y las unidades no son un obstáculo para nosotros. Bueno, vamos a multiplicar. Todo lado izquierdo y todo lado derecho:

Corchetes de nuevo (x - 2) No revelo. Trabajo con el soporte como un todo, ¡como si fuera un solo número! Esto siempre debe hacerse, de lo contrario no se reducirá nada.

Con un sentimiento de profunda satisfacción, cortamos (x - 2)¡y obtenemos la ecuación sin fracciones, en una regla!

Y ahora abrimos los paréntesis:

Damos similares, transferimos todo al lado izquierdo y obtenemos:

Pero antes de eso, aprenderemos a resolver otros problemas. Por interés Esos rastrillos, por cierto!

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Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Seguimos hablando de solución de ecuaciones. En este artículo, nos centraremos en ecuaciones racionales y principios para resolver ecuaciones racionales con una variable. Primero, averigüemos qué tipo de ecuaciones se llaman racionales, demos una definición de ecuaciones racionales enteras y racionales fraccionarias, y demos ejemplos. Además, obtendremos algoritmos para resolver ecuaciones racionales y, por supuesto, consideraremos las soluciones de ejemplos típicos con todas las explicaciones necesarias.

Navegación de página.

Con base en las definiciones sonadas, damos varios ejemplos de ecuaciones racionales. Por ejemplo, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , son todas ecuaciones racionales.

De los ejemplos mostrados, se puede ver que las ecuaciones racionales, así como las ecuaciones de otro tipo, pueden ser de una variable, o de dos, tres, etc. variables En los siguientes párrafos, hablaremos sobre la resolución de ecuaciones racionales en una variable. Resolver ecuaciones con dos variables y su gran número merece especial atención.

Además de dividir ecuaciones racionales por el número de variables desconocidas, también se dividen en números enteros y fraccionarios. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

La ecuación racional se llama entero, si tanto su parte izquierda como su parte derecha son expresiones racionales enteras.

Definición.

Si al menos una de las partes de una ecuación racional es una expresión fraccionaria, entonces dicha ecuación se llama fraccionalmente racional(o racional fraccionario).

Es claro que las ecuaciones enteras no contienen división por variable, por el contrario, las ecuaciones racionales fraccionarias necesariamente contienen división por variable (o una variable en el denominador). Entonces 3x+2=0 y (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5 son ecuaciones racionales enteras, ambas partes son expresiones enteras. A y x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 son ejemplos de ecuaciones racionales fraccionarias.

Concluyendo este párrafo, prestemos atención al hecho de que las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas conocidas hasta este momento son ecuaciones racionales enteras.

Resolviendo ecuaciones enteras

Uno de los principales enfoques para resolver ecuaciones enteras es su reducción a equivalentes ecuaciones algebraicas. Esto siempre se puede hacer realizando las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación:

primero, la expresión del lado derecho de la ecuación entera original se transfiere al lado izquierdo con el signo opuesto para obtener cero en el lado derecho;
después de eso, en el lado izquierdo de la ecuación, la forma estándar resultante.

El resultado es una ecuación algebraica que es equivalente a la ecuación completa original. Entonces, en los casos más simples, la solución de ecuaciones completas se reduce a la solución de ecuaciones lineales o cuadráticas, y en el caso general, a la solución de una ecuación algebraica de grado n. Para mayor claridad, analicemos la solución del ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de toda la ecuación. 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Solución.

Reduzcamos la solución de toda esta ecuación a la solución de una ecuación algebraica equivalente. Para ello, en primer lugar trasladamos la expresión del lado derecho al izquierdo, como resultado llegamos a la ecuación 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Y, en segundo lugar, transformamos la expresión formada en el lado izquierdo en un polinomio de la forma estándar haciendo lo necesario: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3x+3) (x−3)−2x2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Así, la solución de la ecuación entera original se reduce a la solución de la ecuación cuadrática x 2 −5·x−6=0 .

Calcular su discriminante D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, es positivo, lo que significa que la ecuación tiene dos raíces reales, las cuales encontramos por la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática:

Para estar completamente seguros, hagamos comprobando las raíces encontradas de la ecuación. Primero, verificamos la raíz 6, la sustituimos en lugar de la variable x en la ecuación entera original: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, que es lo mismo, 63=63 . Esta es una ecuación numérica válida, por lo que x=6 es de hecho la raíz de la ecuación. Ahora comprobamos la raíz −1 , tenemos 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, de donde, 0=0 . Para x=−1, la ecuación original también se convirtió en una verdadera igualdad numérica, por lo tanto, x=−1 también es la raíz de la ecuación.

Respuesta:

6 , −1 .

Aquí también debe tenerse en cuenta que el término "potencia de una ecuación completa" está asociado con la representación de una ecuación completa en forma de ecuación algebraica. Damos la definición correspondiente:

Definición.

El grado de toda la ecuación. llamar al grado de una ecuación algebraica equivalente a él.

De acuerdo con esta definición, toda la ecuación del ejemplo anterior tiene el segundo grado.

Sobre esto se podría terminar con la solución de ecuaciones racionales enteras, si no por una pero.... Como es sabido, la solución de ecuaciones algebraicas de grado superior al segundo está asociada con importantes dificultades, y para ecuaciones de grado superior al cuarto, no existen fórmulas generales para las raíces. Por lo tanto, para resolver ecuaciones enteras de la tercera, cuarta y más grados altos muchas veces hay que recurrir a otros métodos de solución.

En tales casos, a veces el enfoque para resolver ecuaciones racionales enteras basado en método de factorización. Al mismo tiempo, se sigue el siguiente algoritmo:

primero buscan tener el cero del lado derecho de la ecuación, para ello trasladan la expresión del lado derecho de toda la ecuación al lado izquierdo;
luego, la expresión resultante en el lado izquierdo se presenta como un producto de varios factores, lo que le permite pasar a un conjunto de varias ecuaciones más simples.

El algoritmo anterior para resolver la ecuación completa a través de la factorización requiere una explicación detallada usando un ejemplo.

Ejemplo.

Resuelve toda la ecuación (x2−1) (x2−10x+13)= 2 x (x 2 −10 x + 13) .

Solución.

Primero, como siempre, trasladamos la expresión del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, sin olvidar cambiar el signo, obtenemos (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x + 13) = 0 . Es bastante obvio aquí que no es recomendable transformar el lado izquierdo de la ecuación resultante en un polinomio de la forma estándar, ya que esto dará una ecuación algebraica de cuarto grado de la forma x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, cuya solución es difícil.

Por otro lado, es obvio que x 2 −10·x+13 se puede encontrar en el lado izquierdo de la ecuación resultante, representándola así como un producto. Tenemos (x2−10x+13) (x2−2x−1)=0. La ecuación resultante es equivalente a la ecuación completa original y, a su vez, se puede reemplazar por un conjunto de dos ecuaciones cuadráticas x 2 −10·x+13=0 y x 2 −2·x−1=0 . Encontrar sus raíces usando las fórmulas de raíces conocidas a través del discriminante no es difícil, las raíces son iguales. Son las raíces deseadas de la ecuación original.

Respuesta:

También es útil para resolver ecuaciones racionales enteras. método para introducir una nueva variable. En algunos casos, permite pasar a ecuaciones cuyo grado es menor que el grado de la ecuación entera original.

Ejemplo.

Encuentra las raíces reales de una ecuación racional (x2+3x+1)2+10=−2 (x2+3x−4).

Solución.

Reducir toda esta ecuación racional a una ecuación algebraica es, por decirlo suavemente, no muy buena idea, ya que en este caso llegaremos a la necesidad de resolver una ecuación de cuarto grado que no tiene raíces racionales. Por lo tanto, tendrás que buscar otra solución.

Es fácil ver aquí que puede introducir una nueva variable y y reemplazar la expresión x 2 +3 x con ella. Tal reemplazo nos lleva a la ecuación completa (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , que después de transferir la expresión −2 (y−4) al lado izquierdo y la subsiguiente transformación de la expresión allí formada , se reduce a la ecuación y 2 +4 y+3=0 . Las raíces de esta ecuación y=−1 e y=−3 son fáciles de encontrar, por ejemplo, se pueden encontrar con base en el teorema inverso del teorema de Vieta.

Ahora pasemos a la segunda parte del método de introducir una nueva variable, es decir, a hacer una sustitución inversa. Después de realizar la sustitución inversa, obtenemos dos ecuaciones x 2 +3 x=−1 y x 2 +3 x=−3 , que se pueden reescribir como x 2 +3 x+1=0 y x 2 +3 x+3 =0 . Según la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática, encontramos las raíces de la primera ecuación. Y la segunda ecuación cuadrática no tiene raíces reales, ya que su discriminante es negativo (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Respuesta:

En general, cuando se trata de ecuaciones enteras de alto grado, siempre debemos estar preparados para buscar un método no estándar o una técnica artificial para resolverlas.

Solución de ecuaciones fraccionariamente racionales

Primero, será útil entender cómo resolver ecuaciones fraccionariamente racionales de la forma , donde p(x) y q(x) son expresiones enteras racionales. Y luego mostraremos cómo reducir la solución de las ecuaciones fraccionariamente racionales restantes a la solución de ecuaciones de la forma indicada.

Uno de los enfoques para resolver la ecuación se basa en la siguiente afirmación: la fracción numérica u/v, donde v es un número distinto de cero (de lo contrario, encontraremos , que no está definido), es igual a cero si y solo si su numerador es igual a cero, entonces es, si y solo si u=0 . En virtud de este enunciado, la solución de la ecuación se reduce al cumplimiento de dos condiciones p(x)=0 y q(x)≠0 .

Esta conclusión es consistente con la siguiente algoritmo para resolver una ecuación fraccionariamente racional. Para resolver una ecuación racional fraccionaria de la forma

resolver toda la ecuación racional p(x)=0 ;
y verifique si la condición q(x)≠0 se cumple para cada raíz encontrada, mientras que

si es cierto, entonces esta raíz es la raíz de la ecuación original;
si no, entonces esta raíz es extraña, es decir, no es la raíz de la ecuación original.

Analicemos un ejemplo del uso del algoritmo expresado al resolver una ecuación racional fraccionaria.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Esta es una ecuación fraccionalmente racional de la forma , donde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

De acuerdo con el algoritmo para resolver ecuaciones fraccionariamente racionales de este tipo, primero debemos resolver la ecuación 3·x−2=0 . Este ecuación lineal, cuya raíz es x=2/3 .

Queda por comprobar esta raíz, es decir, comprobar si cumple la condición 5·x 2 −2≠0 . Sustituimos el número 2/3 en lugar de x en la expresión 5 x 2 −2, obtenemos . La condición se cumple, entonces x=2/3 es la raíz de la ecuación original.

Respuesta:

2/3 .

La solución de una ecuación racional fraccionaria se puede abordar desde una posición ligeramente diferente. Esta ecuación es equivalente a toda la ecuación p(x)=0 sobre la variable x de la ecuación original. Es decir, puedes seguir este algoritmo para resolver una ecuación fraccionariamente racional :

resolver la ecuación p(x)=0 ;
encontrar la variable ODZ x ;
tome las raíces que pertenecen a la región de valores admisibles: son las raíces deseadas de la ecuación racional fraccionaria original.

Por ejemplo, resolvamos una ecuación racional fraccionaria usando este algoritmo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Primero, resolvemos la ecuación cuadrática x 2 −2·x−11=0 . Sus raíces se pueden calcular usando la fórmula de la raíz para un segundo coeficiente par, tenemos re 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, Y .

En segundo lugar, encontramos la ODZ de la variable x para la ecuación original. Consiste en todos los números para los cuales x 2 +3 x≠0 , que es lo mismo x (x+3)≠0 , de donde x≠0 , x≠−3 .

Queda por comprobar si las raíces encontradas en el primer paso están incluidas en la ODZ. Obviamente, sí. Por lo tanto, la ecuación fraccionalmente racional original tiene dos raíces.

Respuesta:

Tenga en cuenta que este enfoque es más rentable que el primero si la ODZ se encuentra con facilidad, y es especialmente beneficioso si las raíces de la ecuación p(x)=0 son irracionales, por ejemplo, o racionales, pero con un tamaño bastante grande. numerador y/o denominador, por ejemplo, 127/1101 y -31/59. Esto se debe al hecho de que, en tales casos, verificar la condición q(x)≠0 requerirá un esfuerzo computacional significativo y es más fácil excluir raíces extrañas de la ODZ.

En otros casos, al resolver la ecuación, especialmente cuando las raíces de la ecuación p(x)=0 son números enteros, es más ventajoso utilizar el primero de los algoritmos anteriores. Es decir, es recomendable encontrar inmediatamente las raíces de toda la ecuación p(x)=0, y luego verificar si la condición q(x)≠0 se cumple para ellas, y no encontrar la ODZ, y luego resolver la ecuación p(x)=0 en esta ODZ. Esto se debe al hecho de que, en tales casos, suele ser más fácil realizar una comprobación que encontrar la ODZ.

Considere la solución de dos ejemplos para ilustrar los matices estipulados.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Primero encontramos las raíces de toda la ecuación. (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compilado usando el numerador de la fracción. El lado izquierdo de esta ecuación es un producto, y el lado derecho es cero, por lo tanto, de acuerdo con el método de resolución de ecuaciones por factorización, esta ecuación es equivalente al conjunto de cuatro ecuaciones 2 x−1=0 , x−6= 0 , X 2 −5 X+ 14=0 , X+1=0 . Tres de estas ecuaciones son lineales y una es cuadrática, podemos resolverlas. De la primera ecuación encontramos x=1/2, de la segunda - x=6, de la tercera - x=7, x=−2, de la cuarta - x=−1.

Con las raíces encontradas, es bastante fácil comprobarlas para ver si el denominador de la fracción situada en el lado izquierdo de la ecuación original no desaparece, y no es tan fácil determinar la ODZ, ya que esta tendrá que resolver una ecuación algebraica de quinto grado. Por lo tanto, nos negaremos a encontrar la ODZ a favor de verificar las raíces. Para ello, las sustituimos a su vez en lugar de la variable x en la expresión x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obtenidos después de la sustitución, y compárelos con cero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Por lo tanto, 1/2, 6 y −2 son las raíces deseadas de la ecuación fraccionalmente racional original, y 7 y −1 son raíces extrañas.

Respuesta:

1/2 , 6 , −2 .

Ejemplo.

Encuentra las raíces de una ecuación racional fraccionaria.

Solución.

Primero hallamos las raíces de la ecuación (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones: la cuadrada 5·x 2 −7·x−1=0 y la lineal x−2=0 . Según la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática, encontramos dos raíces, y de la segunda ecuación tenemos x=2.

Verificar si el denominador no desaparece en los valores encontrados de x es bastante desagradable. Y determinar el rango de valores aceptables de la variable x en la ecuación original es bastante simple. Por lo tanto, actuaremos a través de la ODZ.

En nuestro caso, la ODZ de la variable x de la ecuación racional fraccionaria original está formada por todos los números, excepto por aquellos en los que se cumple la condición x 2 +5·x−14=0. Las raíces de esta ecuación cuadrática son x=−7 y x=2, de lo cual concluimos sobre la ODZ: está formada por todas las x tales que .

Queda por comprobar si las raíces encontradas y x=2 pertenecen a la región de valores admisibles. Las raíces - pertenecen, por lo tanto, son las raíces de la ecuación original, y x=2 no pertenece, por lo tanto, es una raíz extraña.

Respuesta:

También será útil detenerse por separado en los casos en que una ecuación racional fraccionaria de la forma contiene un número en el numerador, es decir, cuando p (x) está representada por algún número. Donde

si este número es diferente de cero, entonces la ecuación no tiene raíces, ya que la fracción es cero si y sólo si su numerador es cero;
si este número es cero, entonces la raíz de la ecuación es cualquier número de la ODZ.

Ejemplo.

Solución.

Dado que hay un número distinto de cero en el numerador de la fracción en el lado izquierdo de la ecuación, para ninguna x el valor de esta fracción puede ser igual a cero. Por lo tanto, esta ecuación no tiene raíces.

Respuesta:

sin raíces

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

El numerador de la fracción en el lado izquierdo de esta ecuación racional fraccionaria es cero, por lo que el valor de esta fracción es cero para cualquier x que tenga sentido. En otras palabras, la solución a esta ecuación es cualquier valor de x del DPV de esta variable.

Queda por determinar este rango de valores aceptables. Incluye todos esos valores x para los cuales x 4 +5 x 3 ≠0. Las soluciones de la ecuación x 4 +5 x 3 \u003d 0 son 0 y −5, ya que esta ecuación es equivalente a la ecuación x 3 (x + 5) \u003d 0 y, a su vez, es equivalente a la combinación de dos ecuaciones x 3 \u003d 0 y x +5=0 , desde donde estas raíces son visibles. Por lo tanto, el rango deseado de valores aceptables son cualquier x, excepto x=0 y x=−5.

Por lo tanto, una ecuación fraccionalmente racional tiene infinitas soluciones, que son cualquier número excepto cero y menos cinco.

Respuesta:

Finalmente, es hora de hablar sobre la resolución de ecuaciones racionales fraccionarias arbitrarias. Se pueden escribir como r(x)=s(x), donde r(x) y s(x) son expresiones racionales, y al menos una de ellas es fraccionaria. De cara al futuro, decimos que su solución se reduce a resolver ecuaciones de la forma que ya nos es familiar.

Se sabe que la transferencia de un término de una parte de la ecuación a otra con signo contrario conduce a una ecuación equivalente, por lo que la ecuación r(x)=s(x) es equivalente a la ecuación r(x)−s (x)=0 .

También sabemos que cualquiera puede ser idénticamente igual a esta expresión. Por lo tanto, siempre podemos transformar la expresión racional del lado izquierdo de la ecuación r(x)−s(x)=0 en una fracción racional idénticamente igual de la forma .

Así que pasamos de la ecuación racional fraccionaria original r(x)=s(x) a la ecuación , y su solución, como descubrimos anteriormente, se reduce a resolver la ecuación p(x)=0 .

Pero aquí es necesario tener en cuenta el hecho de que al reemplazar r(x)−s(x)=0 con , y luego con p(x)=0 , el rango de valores permitidos de la variable x puede expandirse .

Por lo tanto, la ecuación original r(x)=s(x) y la ecuación p(x)=0, a la que llegamos, pueden no ser equivalentes, y al resolver la ecuación p(x)=0, podemos obtener raíces que serán raíces extrañas de la ecuación original r(x)=s(x) . Es posible identificar y no incluir raíces extrañas en la respuesta, ya sea verificando o verificando su pertenencia a la ODZ de la ecuación original.

Resumimos esta información en algoritmo para resolver una ecuación racional fraccionaria r(x)=s(x). Para resolver la ecuación racional fraccionaria r(x)=s(x) , uno debe

Obtenga cero a la derecha moviendo la expresión desde el lado derecho con el signo opuesto.
Realice acciones con fracciones y polinomios en el lado izquierdo de la ecuación, convirtiéndola así en una fracción racional de la forma.
Resuelve la ecuación p(x)=0 .
Identifique y excluya las raíces extrañas, lo que se hace sustituyéndolas en la ecuación original o verificando su pertenencia a la ODZ de la ecuación original.

Para mayor claridad, mostraremos toda la cadena de resolución de ecuaciones racionales fraccionarias:
.

Repasemos las soluciones de varios ejemplos con una explicación detallada de la solución para aclarar el bloque de información dado.

Ejemplo.

Resolver una ecuación racional fraccionaria.

Solución.

Actuaremos de acuerdo con el algoritmo de solución recién obtenido. Y primero trasladamos los términos del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, como resultado pasamos a la ecuación .

En el segundo paso, necesitamos convertir la expresión racional fraccionaria en el lado izquierdo de la ecuación resultante a la forma de una fracción. Para ello, realizamos la reducción de fracciones racionales a común denominador y simplificamos la expresión resultante: . Entonces llegamos a la ecuación.

En el siguiente paso, necesitamos resolver la ecuación −2·x−1=0 . Encuentre x=−1/2 .

Queda por comprobar si el número encontrado −1/2 es una raíz extraña de la ecuación original. Para hacer esto, puedes verificar o encontrar la variable ODZ x de la ecuación original. Demostremos ambos enfoques.

Comencemos con un cheque. Sustituimos el número −1/2 en lugar de la variable x en la ecuación original, obtenemos , que es lo mismo, −1=−1. La sustitución da la igualdad numérica correcta, por lo tanto, x=−1/2 es la raíz de la ecuación original.

Ahora mostraremos cómo se realiza el último paso del algoritmo a través de la ODZ. El rango de valores admisibles de la ecuación original es el conjunto de todos los números excepto −1 y 0 (cuando x=−1 y x=0, los denominadores de las fracciones desaparecen). La raíz x=−1/2 encontrada en el paso anterior pertenece a la ODZ, por lo tanto, x=−1/2 es la raíz de la ecuación original.

Respuesta:

−1/2 .

Consideremos otro ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Necesitamos resolver una ecuación fraccionalmente racional, repasemos todos los pasos del algoritmo.

Primero, trasladamos el término del lado derecho al izquierdo, obtenemos .

En segundo lugar, transformamos la expresión formada en el lado izquierdo: . Como resultado, llegamos a la ecuación x=0.

Su raíz es obvia: es cero.

En el cuarto paso, queda por averiguar si la raíz encontrada no está fuera de la ecuación fraccionalmente racional original. Cuando se sustituye en la ecuación original, se obtiene la expresión. Obviamente, no tiene sentido, ya que contiene división por cero. De donde concluimos que 0 es una raíz extraña. Por lo tanto, la ecuación original no tiene raíces.

7, lo que conduce a la ecuación. De esto podemos concluir que la expresión en el denominador del lado izquierdo debe ser igual al del lado derecho, es decir, . Ahora restamos de ambas partes del triple: . Por analogía, de dónde y más allá.

La verificación muestra que ambas raíces encontradas son las raíces de la ecuación racional fraccionaria original.

Respuesta:

Bibliografía.

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