Lo que se llama el valor de una fracción algebraica. Conceptos básicos
Cuando un estudiante pasa a la escuela secundaria, las matemáticas se dividen en 2 materias: álgebra y geometría. Cada vez hay más conceptos, las tareas son cada vez más difíciles. Algunas personas tienen dificultad para entender fracciones. Me perdí la primera lección sobre este tema, y listo. fracciones? Una pregunta que le atormentará durante toda la vida escolar.
El concepto de fracción algebraica
Comencemos con una definición. Por debajo fracción algebraica Se entienden las expresiones P/Q, donde P es el numerador y Q es el denominador. Un número, una expresión numérica, una expresión numérico-alfabética se puede ocultar bajo una entrada alfabética.
Antes de preguntarse cómo resolver fracciones algebraicas, primero debe comprender que dicha expresión es parte de un todo.
Como regla, el todo es 1. El número en el denominador muestra en cuántas partes se dividió la unidad. El numerador es necesario para saber cuántos elementos se toman. La barra fraccionaria corresponde al signo de división. Se permite registrar una expresión fraccionaria como una operación matemática "División". En este caso, el numerador es el dividendo, el denominador es el divisor.
La regla básica para las fracciones comunes
Cuando los estudiantes tratan este tema en la escuela, se les dan ejemplos para reforzar. Para resolverlos correctamente y encontrar diferentes formas de salir de situaciones difíciles, debe aplicar la propiedad básica de las fracciones.
Suena así: si multiplicas tanto el numerador como el denominador por el mismo número o expresión (que no sea cero), entonces el valor de una fracción ordinaria no cambiará. Un caso especial de esta regla es la división de ambas partes de la expresión en el mismo número o polinomio. Tales transformaciones se llaman igualdades idénticas.
A continuación consideraremos cómo resolver sumas y restas de fracciones algebraicas, para realizar multiplicaciones, divisiones y reducciones de fracciones.
Operaciones matemáticas con fracciones
Considere cómo resolver la propiedad principal de una fracción algebraica, cómo aplicarla en la práctica. Si necesitas multiplicar dos fracciones, sumarlas, dividir una por la otra o restar, siempre debes seguir las reglas.
Entonces, para la operación de suma y resta, se debe encontrar un factor adicional para llevar las expresiones a un denominador común. Si inicialmente las fracciones se dan con las mismas expresiones Q, entonces debe omitir este elemento. Cuando se encuentra un denominador común, ¿cómo resolver fracciones algebraicas? Sumar o restar numeradores. ¡Pero! Debe recordarse que si hay un signo "-" delante de la fracción, todos los signos en el numerador están invertidos. A veces no debe realizar sustituciones ni operaciones matemáticas. Basta con cambiar el signo delante de la fracción.
El término se usa a menudo como reducción de fracciones. Esto significa lo siguiente: si el numerador y el denominador se dividen por una expresión diferente a la unidad (la misma para ambas partes), entonces se obtiene una nueva fracción. El dividendo y el divisor son más pequeños que antes, pero debido a la regla básica de las fracciones, se mantienen iguales al ejemplo original.
El propósito de esta operación es obtener una nueva expresión irreducible. Este problema se puede resolver reduciendo el numerador y el denominador por el máximo común divisor. El algoritmo de operación consta de dos puntos:
- Encontrar el MCD para ambas partes de una fracción.
- Dividiendo el numerador y el denominador por la expresión encontrada y obteniendo una fracción irreducible igual a la anterior.
La siguiente tabla muestra las fórmulas. Para mayor comodidad, puede imprimirlo y llevarlo con usted en un cuaderno. Sin embargo, para que en el futuro, al resolver una prueba o examen, no haya dificultades en la cuestión de cómo resolver fracciones algebraicas, estas fórmulas deben aprenderse de memoria.
Algunos ejemplos con soluciones
Desde un punto de vista teórico, se considera la cuestión de cómo resolver fracciones algebraicas. Los ejemplos dados en el artículo lo ayudarán a comprender mejor el material.
1. Convierte fracciones y llévalas a un denominador común.
2. Convertir fracciones y llevarlas a un denominador común.
Después de estudiar la parte teórica y considerar las cuestiones prácticas, no deberían surgir más preguntas.
Esta lección discute el concepto de una fracción algebraica. Una persona encuentra fracciones en las situaciones más simples de la vida: cuando es necesario dividir un objeto en varias partes, por ejemplo, para cortar un pastel en partes iguales para diez personas. Obviamente, todos obtendrán un pedazo del pastel. En este caso, nos encontramos ante el concepto de fracción numérica, pero es posible una situación en la que un objeto se divide en un número desconocido de partes, por ejemplo, por x. En este caso surge el concepto de expresión fraccionaria. Ya se encontró con expresiones enteras (que no contienen división en expresiones con variables) y sus propiedades en el grado 7. A continuación, consideraremos el concepto de fracción racional, así como los valores permitidos de las variables.
Tema:Fracciones algebraicas. Operaciones aritméticas con fracciones algebraicas
Lección:Conceptos básicos
1. Definición y ejemplos de fracciones algebraicas
Las expresiones racionales se dividen en expresiones fraccionarias y enteras.
Definición. fracción racional es una expresión fraccionaria de la forma , donde son polinomios. - numerador denominador.
Ejemplos expresiones racionales:
- expresiones fraccionarias; son expresiones enteras. En la primera expresión, por ejemplo, el numerador es , y el denominador es .
Sentido fracción algebraica, como cualquiera expresión algebraica, depende del valor numérico de las variables que se incluyen en él. En particular, en el primer ejemplo el valor de la fracción depende de los valores de las variables y , y en el segundo solo del valor de la variable .
2. Cálculo del valor de una fracción algebraica y dos problemas básicos sobre fracciones
Considere la primera tarea típica: calcular el valor fracción racional a valores diferentes variables incluidas en él.
Ejemplo 1. Calcular el valor de una fracción para a), b), c)
Solución. Sustituye los valores de las variables en la fracción indicada: a), b), c) - no existe (porque no se puede dividir por cero).
Respuesta: 3; una; no existe.
Como vemos, hay dos tareas típicas para cualquier fracción: 1) calcular la fracción, 2) encontrar valores válidos e inválidos variables literales.
Definición. Valores de variables válidos son los valores de las variables para las que tiene sentido la expresión. El conjunto de todos los valores admisibles de las variables se llama ODZ o dominio.
3. Valores permisibles (ODZ) e inválidos de variables en fracciones con una variable
El valor de las variables literales puede no ser válido si el denominador de la fracción para estos valores es cero. En todos los demás casos, los valores de las variables son válidos, ya que la fracción se puede calcular.
Ejemplo 2. Determinar en qué valores de la variable la fracción no tiene sentido.
Solución. Para que esta expresión tenga sentido es necesario y suficiente que el denominador de la fracción no sea igual a cero. Así, sólo serán inválidos aquellos valores de la variable para los que el denominador sea igual a cero. El denominador de la fracción, por lo que resolvemos la ecuación lineal:
Por tanto, para el valor de la variable, la fracción no tiene sentido.
De la solución del ejemplo, sigue la regla para encontrar valores inválidos de variables: el denominador de la fracción es igual a cero y se encuentran las raíces de la ecuación correspondiente.
Veamos algunos ejemplos similares.
Ejemplo 3. Determinar en qué valores de la variable la fracción no tiene sentido.
Solución. .
Responder. .
Ejemplo 4. Determinar en qué valores de la variable la fracción no tiene sentido.
Solución..
Hay otras formulaciones de este problema: encontrar dominio o rango de valores de expresión válidos (ODZ). Esto significa: encuentre todos los valores válidos de las variables. En nuestro ejemplo, estos son todos los valores excepto . El dominio de definición se representa convenientemente en el eje numérico.
Para hacer esto, cortaremos un punto en él, como se muestra en la figura:
De este modo, dominio de fracción serán todos los números excepto el 3.
Responder..
Ejemplo 5. Determinar en qué valores de la variable la fracción no tiene sentido.
Solución..
Representemos la solución resultante en el eje numérico:
Responder..
4. Representación gráfica del área de valores permisibles (ODZ) y no válidos de variables en fracciones
Ejemplo 6. Determinar en qué valores de las variables la fracción no tiene sentido.
Solución.. Hemos obtenido la igualdad de dos variables, daremos ejemplos numéricos: o, etc.
Tracemos esta solución en un gráfico en el sistema de coordenadas cartesianas:
Arroz. 3. Gráfica de una función.
Las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en este gráfico no están incluidas en el área de valores admisibles de la fracción.
Responder. .
5. Caso como "división por cero"
En los ejemplos considerados, nos enfrentamos a una situación en la que se produjo una división por cero. Ahora considere el caso cuando hay más situación interesante con tipo de división.
Ejemplo 7. Determinar en qué valores de las variables la fracción no tiene sentido.
Solución..
Resulta que la fracción no tiene sentido cuando . Pero se puede argumentar que este no es el caso, porque: 
.
Puede parecer que si la expresión final es igual a 8 para , entonces la expresión original también se puede calcular y, por lo tanto, tiene sentido para . Sin embargo, si lo sustituimos en la expresión original, obtenemos: no tiene sentido.
Responder..
Para comprender con más detalle este ejemplo, resolvemos el siguiente problema: ¿para qué valores la fracción indicada es igual a cero?
(una fracción es cero cuando su numerador es cero) 
. Pero es necesario resolver la ecuación original con una fracción, y no tiene sentido para , porque con este valor de la variable, el denominador es cero. Entonces esta ecuación tiene una sola raíz.
6. La regla para encontrar ODZ
Así, podemos formular la regla exacta para encontrar el rango de valores admisibles de una fracción: encontrar ODZfracciones es necesario y suficiente igualar su denominador a cero y encontrar las raíces de la ecuación resultante.
Hemos considerado dos tareas principales: calcular el valor de una fraccion para los valores especificados de las variables y hallar el area de valores admisibles de una fraccion.
Consideremos ahora algunos problemas más que pueden surgir al trabajar con fracciones.
7. Tareas misceláneas y conclusiones
Ejemplo 8. Demostrar que para cualquier valor de la variable, la fracción .
Prueba. El numerador es un número positivo. . Como resultado, tanto el numerador como el denominador son números positivos, por lo tanto, la fracción también es un número positivo.
Probado.
Ejemplo 9. Se sabe que , hallar .
Solución. Dividamos la fracción término a término. Tenemos derecho a reducir por, teniendo en cuenta lo que es un valor inválido de la variable para esta fracción.
Responder..
En esta lección, vimos los conceptos básicos relacionados con las fracciones. En la siguiente lección, veremos propiedad básica de una fracción.
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2. Escribe una fracción racional, cuyo dominio es: a) un conjunto, b) un conjunto, c) todo el eje numérico.
3. Demostrar que para todos los valores admisibles de la variable el valor de la fracción es no negativo.
4. Encuentra el alcance de la expresión. Sugerencia: considere dos casos por separado: cuando el denominador de la fracción inferior es igual a cero y cuando el denominador de la fracción original es igual a cero.
En el § 42 se dijo que si la división de polinomios no se puede realizar completamente, entonces el cociente se escribe como una expresión fraccionaria en la que el dividendo es el numerador y el divisor el denominador.
Ejemplos de expresiones fraccionarias:
El numerador y el denominador de una expresión fraccionaria pueden ser expresiones fraccionarias, por ejemplo:
De las expresiones algebraicas fraccionarias, a menudo hay que tratar con aquellas en las que el numerador y el denominador son polinomios (en particular, monomios). Cada una de estas expresiones se llama fracción algebraica.
Definición. Una expresión algebraica que es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios se llama fracción algebraica.
Como en aritmética, el numerador y el denominador de una fracción algebraica se denominan términos de la fracción.
En el futuro, habiendo estudiado acciones en fracciones algebraicas, podemos transformar cualquier expresión fraccionaria con la ayuda de transformaciones idénticas en una fracción algebraica.
Ejemplos de fracciones algebraicas:
Tenga en cuenta que una expresión entera, es decir, un polinomio, se puede escribir como una fracción, para esto basta con escribir esta expresión en el numerador y 1 en el denominador. Por ejemplo:
2. Valores de letras válidos.
Las letras incluidas únicamente en el numerador pueden tomar cualquier valor (si no se introducen restricciones adicionales por la condición del problema).
Para las letras incluidas en el denominador, solo son válidos aquellos valores que no conviertan el denominador en cero. Por tanto, en lo que sigue supondremos siempre que el denominador de una fracción algebraica no es igual a cero.