Побудова графіків лінійної функції, що містять модуль. Як розв'язувати рівняння з модулем: основні правила
, Конкурс «Презентація до уроку»
Презентація до уроку
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Мета уроку:
- повторити побудову графіків функцій, що містять знак модуля;
- познайомитись з новим методом побудови графіка лінійно-шматкової функції;
- закріпити новий методпід час вирішення завдань.
Обладнання:
- мультимедіа проектор,
- плакати.
Хід уроку
Актуалізація знань
На екрані слайд 1 із презентації.
Що є графіком функції y = | x | ? (Слайд 2).
(Сукупність бісектрис 1 і 2 координатних кутів)
Знайдіть відповідність між функціями та графіками, поясніть ваш вибір (слайд 3).
Малюнок 1
Розкажіть алгоритм побудови графіків функцій виду y = | f (x) | з прикладу функції y=|x 2 -2x-3| (слайд 4)
Учень: щоб побудувати графік цієї функції потрібно
Побудувати параболу y=x 2 -2x-3
Малюнок 2
Малюнок 3
Розкажіть алгоритм побудови графіків функцій виду y=f(|x|) з прикладу функції y=x 2 -2|x|-3 (слайд 6).
Побудувати параболу.
Частина графіка при х 0 зберігається та відображається симетрії щодо осі ОУ (слайд 7)
Малюнок 4
Розкажіть алгоритм побудови графіків функцій виду y=|f(|x|)| з прикладу функції y=|x 2 -2|x|-3| (Слайд 8).
Учень: Щоб побудувати графік цієї функції потрібно:
Потрібно побудувати параболу у = x 2 -2x-3
Будуємо у = x 2 -2|x|-3, частину графіка зберігаємо та симетрично відображаємо щодо ОУ
Частину над ОХ зберігаємо, а нижню частину симетрично відображаємо щодо ОХ (слайд 9)
Малюнок 5
Наступне завдання виконуємо письмово у зошитах.
1. Побудувати графік лінійно-шматкової функції у=|х+2|+|х-1|-|х-3|
Учень на дошці з коментарем:
Знаходимо нулі підмодульних виразів х 1 =-2, х 2 = 1, х 3 = 3
Розбиваємо вісь на проміжки
Для кожного проміжку запишемо функцію
при х< -2, у=-х-4
при -2 х<1, у=х
при 1 х<3, у = 3х-2
при х 3, у = х+4
Будуємо графік лінійно-шматкової функції.
Ми з вами побудували графік функції, використовуючи визначення модуля (слайд 10).
Малюнок 6
Пропоную вашій увазі "метод вершин", який дозволяє будувати графік лінійно-кускової функції (слайд 11). Алгоритм побудови діти записують у зошит.
Метод вершин
Алгоритм:
- Знайдемо нулі кожного підмодульного виразу
- Складемо таблицю, в якій крім нулів запишемо за одним значенням аргументу зліва та справа
- Нанесемо крапки на координатну площину і з'єднаємо послідовно
2. Розберемо цей метод на тій самій функції у=|х+2|+|х-1|-|х-3|
Вчитель на дошці, діти у зошитах.
Метод вершин:
Знайдемо нулі кожного підмодульного виразу;
Складемо таблицю, в якій крім нулів запишемо за одним значенням аргументу зліва та справа
Нанесемо крапки на координатну площину і з'єднаємо послідовно.
Графіком лінійно-шматкової функції є ламана з нескінченними крайніми ланками (слайд 12).
Малюнок 7
Яким же методом графік виходить швидше та легше?
3. Щоб закріпити цей метод, пропоную виконати наступне завдання:
При яких значеннях функція у=|х-2|-|х+1| набуває найбільшого значення.
Слідуємо алгоритму; учень на дошці.
у=|х-2|-|х+1|
х 1 =2, х 2 =-1
у (3) = 1-4 = 3, з'єднуємо послідовно точки.
4. Додаткове завдання
При яких значеннях рівняння ||4+x|-|x-2||=a має два корені.
5. Домашня робота
а) За яких значень Х функція у =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| набуває найменшого значення.
б) Побудувати графік функції y=||x-1|-2|-3| .
, Конкурс «Презентація до уроку»
Презентація до уроку
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Мета уроку:
- повторити побудову графіків функцій, що містять знак модуля;
- познайомитись з новим методом побудови графіка лінійно-шматкової функції;
- закріпити новий метод під час вирішення завдань.
Обладнання:
- мультимедіа проектор,
- плакати.
Хід уроку
Актуалізація знань
На екрані слайд 1 із презентації.
Що є графіком функції y = | x | ? (Слайд 2).
(Сукупність бісектрис 1 і 2 координатних кутів)
Знайдіть відповідність між функціями та графіками, поясніть ваш вибір (слайд 3).
Малюнок 1
Розкажіть алгоритм побудови графіків функцій виду y = | f (x) | з прикладу функції y=|x 2 -2x-3| (слайд 4)
Учень: щоб побудувати графік цієї функції потрібно
Побудувати параболу y=x 2 -2x-3
Малюнок 2
Малюнок 3
Розкажіть алгоритм побудови графіків функцій виду y=f(|x|) з прикладу функції y=x 2 -2|x|-3 (слайд 6).
Побудувати параболу.
Частина графіка при х 0 зберігається та відображається симетрії щодо осі ОУ (слайд 7)
Малюнок 4
Розкажіть алгоритм побудови графіків функцій виду y=|f(|x|)| з прикладу функції y=|x 2 -2|x|-3| (Слайд 8).
Учень: Щоб побудувати графік цієї функції потрібно:
Потрібно побудувати параболу у = x 2 -2x-3
Будуємо у = x 2 -2|x|-3, частину графіка зберігаємо та симетрично відображаємо щодо ОУ
Частину над ОХ зберігаємо, а нижню частину симетрично відображаємо щодо ОХ (слайд 9)
Малюнок 5
Наступне завдання виконуємо письмово у зошитах.
1. Побудувати графік лінійно-шматкової функції у=|х+2|+|х-1|-|х-3|
Учень на дошці з коментарем:
Знаходимо нулі підмодульних виразів х 1 =-2, х 2 = 1, х 3 = 3
Розбиваємо вісь на проміжки
Для кожного проміжку запишемо функцію
при х< -2, у=-х-4
при -2 х<1, у=х
при 1 х<3, у = 3х-2
при х 3, у = х+4
Будуємо графік лінійно-шматкової функції.
Ми з вами побудували графік функції, використовуючи визначення модуля (слайд 10).
Малюнок 6
Пропоную вашій увазі "метод вершин", який дозволяє будувати графік лінійно-кускової функції (слайд 11). Алгоритм побудови діти записують у зошит.
Метод вершин
Алгоритм:
- Знайдемо нулі кожного підмодульного виразу
- Складемо таблицю, в якій крім нулів запишемо за одним значенням аргументу зліва та справа
- Нанесемо крапки на координатну площину і з'єднаємо послідовно
2. Розберемо цей метод на тій самій функції у=|х+2|+|х-1|-|х-3|
Вчитель на дошці, діти у зошитах.
Метод вершин:
Знайдемо нулі кожного підмодульного виразу;
Складемо таблицю, в якій крім нулів запишемо за одним значенням аргументу зліва та справа
Нанесемо крапки на координатну площину і з'єднаємо послідовно.
Графіком лінійно-шматкової функції є ламана з нескінченними крайніми ланками (слайд 12).
Малюнок 7
Яким же методом графік виходить швидше та легше?
3. Щоб закріпити цей метод, пропоную виконати наступне завдання:
При яких значеннях функція у=|х-2|-|х+1| набуває найбільшого значення.
Слідуємо алгоритму; учень на дошці.
у=|х-2|-|х+1|
х 1 =2, х 2 =-1
у (3) = 1-4 = 3, з'єднуємо послідовно точки.
4. Додаткове завдання
При яких значеннях рівняння ||4+x|-|x-2||=a має два корені.
5. Домашня робота
а) За яких значень Х функція у =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| набуває найменшого значення.
б) Побудувати графік функції y=||x-1|-2|-3| .
Функція виду y = | x |.
Графік функції проміжку – з графіком функції у=-х.
Розглянемо спочатку найпростіший випадок – функцію y=|x|. За визначенням модуля маємо:
Таким чином, для х≥0 функція y=|x| збігається з функцією у=х, а х Користуючись цим роз'ясненням, легко побудувати графік функції y=|x|(рис.1).
Легко помітити, що цей графік є об'єднанням тієї частини графіка функції у = х, яка лежить не нижче від осі OX і лінії, отриманої дзеркальним відображенням щодо осі OX, тієї його частини, яка лежить нижче від осі OX.
Цей спосіб придатний для побудови графіка функції y=|kx+b|.
Якщо графік функції y=kx+b зображено на рис.2, то графік функції y=|kx+b| є лінія, зображена на рис.3.
(!LANG:Приклад 1.Побудувати графік функції y=||1-x 2 |-3|.
Побудуємо графік функції y=1-x 2 і застосуємо щодо нього операцію «модуль» (частина графіка, розташована нижче осі OX симетрично відбивається щодо осі OX).
Виконаємо зсув графіка вниз на 3.
Застосуємо операцію «модуль» та отримаємо остаточний графік функції y=||1-x 2 |-3|
приклад 2.Побудувати графік функції y=||x2-2x|-3|.
В результаті перетворення одержуємо y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Побудуємо графік функції y = (x-1) 2 -1: будуємо параболу y = x 2 і виконуємо зсув праворуч на 1 і вниз на 1.
Застосуємо щодо нього операцію «модуль» (частина графіка, розташована нижче осі OX симетрично відбивається щодо осі OX).
Виконаємо зсув графіка вниз на 3 і застосуємо операцію "модуль", в результаті отримаємо остаточний графік.
приклад 3.Побудувати графік функції.
Щоб розкрити модуль, треба розглянути два випадки:
1)x>0, тоді модуль розкриється зі знаком "+" =
2) x =
Збудуємо графік для першого випадку.
Відкинемо частину графіка, де x
Побудуємо графік другого випадку і аналогічно відкинемо частину, де x>0, у результаті отримаємо.
З'єднаємо два графіки та отримаємо остаточний.
приклад 4.Побудувати графік функції.
Побудуємо спочатку графік функції. Для цього зручно виділити цілу частину, отримаємо. Будуючи за таблицею значень, отримуємо графік.
Застосуємо операцію модуль (частина графіка, розташована нижче за осі OX симетрично відбивається щодо осі OX). Отримуємо остаточний графік
Приклад 5.Побудувати графік функції y=|-x2+6x-8|. Спочатку спростимо функцію до y=1-(x-3) 2 та побудуємо її графік
Тепер застосуємо операцію «модуль» і відобразимо частину графіка нижче осі OX щодо осі OX
Приклад 6.Побудувати графік функції y=-x2+6|x|-8. Також спростимо функцію до y=1-(x-3) 2 та побудуємо її графік
Тепер застосуємо операцію «модуль» і відобразимо частину графіка правіше за осі оY, в ліву частину
Приклад 7.Побудувати графік функції 
. Побудуємо графік функції
Побудуємо графік функції
Виконаємо паралельне перенесення на 3 одиничні відрізки вправо і 2 вгору. Графік набуде вигляду:
Застосуємо операцію «модуль» і відобразимо частину графіка правіше прямої x = 3 в ліву напівплощину.
Знак модуля, мабуть, одне з найцікавіших явищ у математиці. У зв'язку з цим у багатьох школярів виникає питання, як будувати графіки функцій, які містять модуль. Давайте докладно розберемо це питання.
1. Побудова графіків функцій, що містять модуль
приклад 1.
Побудувати графік функції y = x 2 - 8 | x | + 12.
Рішення.
Визначимо парність функції. Значення для y(-x) збігається зі значенням для y(x), тому ця функція парна. Тоді її графік симетричний щодо осі Oy. Будуємо графік функції y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 та симетрично відображаємо графік щодо Oy для негативних x (рис. 1).
приклад 2.
Наступний графік виду y = | x 2 - 8x + 12 |.
– Яка область значень запропонованої функції? (y ≥ 0).
- Як розташований графік? (Над віссю абсцис або торкаючись її).
Це означає, що графік функції одержують наступним чином: будують графік функції y = x 2 – 8x + 12, залишають частину графіка, що лежить над віссю Ox, без змін, а частина графіка, що лежить під віссю абсцис, симетрично відображають щодо осі Ox (Рис. 2).
приклад 3.
Для побудови графіка функції y = | x 2 – 8 | x | + 12 | проводять комбінацію перетворень:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.
Відповідь: рисунок 3.
Розглянуті перетворення справедливі всім видів функцій. Складемо таблицю:
2. Побудова графіків функцій, які у формулі «вкладені модулі»
Ми вже познайомилися з прикладами квадратичної функції, що містить модуль, а також із загальними правилами побудови графіків функцій виду y = f (| x |), y = | f (x) | та y = |f(|x|)|. Ці перетворення допоможуть нам під час розгляду наступного прикладу.
приклад 4.
Розглянемо функцію виду y = | 2 - | 1 - | x | | |. Вираз, що задає функцію, містить вкладені модулі.
Рішення.
Скористаємося методом геометричних перетворень.
Запишемо ланцюжок послідовних перетворень і зробимо відповідне креслення (рис. 4):
y = x → y = | x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.
Розглянемо випадки, коли перетворення симетрії та паралельного перенесення не є основним прийомом при побудові графіків.
Приклад 5.
Побудувати графік функції виду y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .
Рішення.
Перш ніж будувати графік, перетворимо формулу, якою задана функція, та отримаємо інше аналітичне завдання функції (рис. 5). 
y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.
Розкриємо у знаменнику модуль:
За x > -2, y = x – 2, а за x< -2, y = -(x – 2).
Область визначення D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Область значень E(y) = (-4; +∞).
Точки, в яких графік перетинає з осі координат: (0; -2) та (2; 0).
Функція зменшується за всіх x з інтервалу (-∞; -2), зростає при x від -2 до +∞.
Тут нам довелося розкривати знак модуля та будувати графік функції для кожного випадку.
Приклад 6.
Розглянемо функцію y = | x + 1 | - | X - 2 |.
Рішення.
Розкриваючи знак модуля, необхідно розглянути різноманітну комбінацію символів підмодульних виразів.
Можливі чотири випадки:
(x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 та x ≥ 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, при x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 та x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, при x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Тоді вихідна функція матиме вигляд:
(3, при x ≥ 2;
y = (-3, при x< -1;
(2x – 1, при -1 ≤ x< 2.
Отримали шматково-задану функцію, графік якої зображено малюнку 6.
3. Алгоритм побудови графіків функцій виду
y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b.
У попередньому прикладі було легко розкрити знаки модуля. Якщо сум модулів більше, то розглянути всілякі комбінації знаків підмодульних виразів проблематично. Як у цьому випадку побудувати графік функції?
Зауважимо, що графіком є ламана, з вершинами в точках, що мають абсциси -1 і 2. При x = -1 і x = 2 підмодульні вирази дорівнюють нулю. Практичним шляхом ми наблизилися до правила побудови таких графіків:
Графіком функції виду y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b є ламана з нескінченними крайніми ланками. Щоб побудувати таку ламану, достатньо знати всі її вершини (абсциси вершин є нулі підмодульних виразів) і по одній контрольній точці на лівому та правому нескінченних ланках. 
Завдання.
Побудувати графік функції y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | та знайти її найменше значення.
Рішення:
Нулі підмодульних виразів: 0; -1; 1. Вершини ламаної (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольна точка праворуч (2; 6), зліва (-2; 6). Будуємо графік (рис. 7). min f(x) = 2.
Залишились питання? Чи не знаєте, як побудувати графік функції з модулем?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.