Побудову лекальних кривих здійснюють наступним чином:

Спочатку визначають точки, що належать кривій, а потім з'єднують їх за допомогою лекала. До лекальних кривих відносять так звані конічні перерізи парабола, гіпербола, еліпс, одержувані в результаті перерізу кругового конуса площиною, евольвента, синусоїда та інші

1. Побудова еліпса.

2. Фокус еліпса

3. Побудова параболи

6.Вичерчування лекальних кривих.

Еліпс це конічний перетин, який відноситься до так званих лекальних кривих. Еліпс, гіпербола та парабола виходять в результаті перерізу кругового конуса площиною, синусоїда, евольвента та інші криві.

Малюнок 41. Перетин конуса площиною по еліпс-(а) та еліпс-(б).

Для того щоб побудувати лекальні криві (парабола, еліпс, гіпербола), визначають точки, які належать кривій, а потім всі точки з'єднуються за допомогою лекала. У разі коли розсікають поверхню кругового конуса площиною похилої -Р, таким чином, щоб похила площина перетнула всі утворюючі кругового конуса, то в самій площині перерізу утворюється еліпс. (Дивися малюнок 41, а).

Еліпс це плоска замкнута крива, у якої сума відстаней кожної з її точок-М до двох заданих точок F1 і F2 є постійною величиною. Ця постійна величина дорівнює великій осі еліпса MF1 + MF2 = AB. Мала вісь еліпса CD і велика вісь AB є взаємно перпендикулярні і одна вісь ділить іншу по підлогах.

Малюнок 42. Побудова еліпса по осях


Таким чином осі ділять криву еліпса на чотири попарно симетричні рівні частини. Якщо з кінців малої осі CD, як із центрів описати дугу кола радіусом, дорівнює половині великої осі еліпса R = OA = OB, то вона перетне її в точках F1 і F2, які називаються фокусами.

На малюнку 42 наводиться приклад побудови еліпса по його осях. На заданих осях AB і CD, як на діаметрах будуємо два концентричні кола з центром в точці О. Ділимо на довільне число частин велике коло і з'єднуємо отримані точки прямими з центром О.

З точок перетину 1; 2; 3; 4; з допоміжними кілами проводимо відрізки горизонтальних і вертикальних прямих до їх взаємного перетину в точках E, F, K, M, які належать еліпсу. Далі за допомогою лекала з'єднуються побудовані точки плавної кривої та одержують в результаті еліпс.

Побудова лекальних кривих, парабола

Малюнок 43. Перетин конуса площиною по параболі. Побудова параболи по фокусу та директрисі.

Якщо розсікти похилою площиною Р круговий конус, паралельною до однієї з його утворюючих, то в площині перерізу утворюється парабола. (див. рисунок 43 а). Кожна точка параболи розташована від даної прямої -MN і від фокусу -F на однаковій відстані.

Пряма MN є напрямною і розташована перпендикулярно осі параболи. Між напрямною -MN і фокусом -F, прямо посередині розташована вершина параболи А. Для того щоб побудувати параболу за фокусом і заданою напрямною, через точку фокусу-F , проведемо вісь параболи -Х, перпен напрямної -MN.

Від вершини параболи на довільній відстані проведемо прямі перпендикулярно осі параболи. З точки -F радіусом який дорівнює відстані-L від відповідної прямої до направляючої, наприклад СВ, робимо на це прямий засічки. У разі точки З і У.

Таким чином, побудувавши кілька пар симетричних точок, проведемо за допомогою лекала через них плавну криву. На малюнку(43 в) наводиться приклад побудови параболи дотичної до двох прямих ОА та ОВ у точках А і В. Відрізки ОА та ОВ ділять на однакову кількість рівних частин(наприклад ділять на вісім). Після цього нумеруються отримані точки поділу та з'єднуються прямими 1-1; 2-2; 3-3 (див. рисунок 43, в) і так далі. Ці прямі до параболічної кривої є дотичні. У утворений прямими контур далі вписують плавну дотичну криву-параболу.

Якщо розсікти прямий і зворотний конуси площиною, паралельною двом його утворюючим або окремо паралельно осі, то в площині перерізу вийде гіпербола, що складається з двох симетричних гілок (див. рисунок 45, а).

Малюнок 45. Перетин конуса площиною по гіперболі (а) та побудова гіперболи (б).

Гіперболою (рисунок 45,б) називають плоску криву у якої різниця відстаней від кожної її точки до двох даних точок F1 і F2, званих фокусами, є постійна величина і дорівнює відстані між її вершинами a і b, наприклад SF1-SF2=ab. У гіперболи дві осі симетрії -дійсна АВ та уявна CD.

Дві прямі KL та K1 L1, що проходять через центр Про гіперболи та стосуються її гілок у нескінченності, називаються асимптотами. Гіперболу можна побудувати за заданими вершинами a та b і фокусами F1 та F2. Вершини гіперболи визначаємо, вписуючи прямокутник у коло побудованому на фокусній відстані (відрізку F1 та F2), як на діаметрі.

На дійсній осі АВ праворуч від фокусу F2 намічаємо довільні 1, 2, 3, 4, … З фокусів F1 і F2 проводимо дуги кіл спочатку радіусом а-1, потім b-1 до взаємного перетину по обидва боки від дійсної осі гіперболи. Далі виконаємо взаємне перетин наступної пари дуг радіусами а-2 і b-2(точка S) і так далі.

Отримані точки перетину дуг належать до правої гілки гіперболи. Крапки лівої гілки будуть симетричні побудованим точкам щодо уявної осі CD.

Синусоїдою називається проекція траєкторії точки, що рухається циліндричною гвинтовою лінією, на площину, паралельну осі циліндра. Рух точки складається з рівномірно-обертального руху (навколо осі циліндра) і рівномірно-поступального (паралельно від циліндра).

Малюнок 46. Побудова синусоїди

Синусоїда є плоскою кривою, яка показує зміну тригонометричної функції синуса в залежності від зміни величини кута. для побудови синусоїди (рисунок 46) через центр Про коло діаметра D проведемо пряму ОХ і на ній відкладемо відрізок О1 А, рівний довжині кола π D. Цей відрізок і коло ділимо на однакову кількість рівних частин. З отриманих та занумерованих точок проведемо взаємно перпендикулярні прямі. Отримані точки перетину цих прямих з'єднаємо за допомогою лекала плавною кривою.

Викреслення лекальних кривих

Лекальні криві будують за точками. З'єднують ці крапки за допомогою лекал, попередньо від руки промальовуючи криву по точках. принцип з'єднання окремих точок кривої полягає в наступному:

Вибираємо ту частину дуги лекала, яка найкраще збігається з найбільшою кількістю точок кривої, що окреслюється. Далі проведемо не всю дугу кривої, що збігається з лекалом, а лише її середню частину. Після цього підберемо іншу частину лекала, але так, щоб ця частина стосувалася приблизно однієї третини проведеної кривої і не менше двох наступних точок кривої, і так далі. Таким чином, забезпечується плавний перехід між окремими дугами кривої.

РЕКОМЕНДУЄМО виконати перепис статті в соцмережах!

Побудова еліпса

Еліпс - замкнута плоска опукла крива, сума відстаней кожної точки якої до двох даних точок, званих фокусами, що лежать на великій постійна осі, і дорівнює довжині великої осі. Побудова овалу по двох осях (рисунок 23) виконується так:

• - проводять осьові лінії, на яких симетрично від точки перетину O відкладають відрізки AB і CD, рівні великої та малої осям еліпса;
• - будують два кола радіусами рівними половині осей еліпса з центром у точці перетину осей;
• - ділять коло на дванадцять рівних частин. Розподіл кола виконують як показано в п.2.3;
• -.через отримані точки проводять промені-діаметри;
• - з точок перетину променів з відповідними колами проводять прямі лінії паралельно осям еліпса до їх взаємного перетину в точках, що лежать на еліпсі;
• - Отримані точки з'єднують плавною кривою лінією за допомогою лекал. При побудові кривої лінії необхідно вибирати і розташовувати лекало так, щоб з'єднувалося як мінімум чотири-п'ять точок.

Існують інші способи побудови еліпса.

Побудова параболи

Парабола - плоска крива лінія, кожна точка якої рівновіддалена від директриси DD 1 - прямої, перпендикулярної до осі симетрії параболи, і від фокусу F точки розташованої на осі симетрії. Відстань KF між директрисою та фокусом називається параметром параболи p.

На малюнку 24 показаний приклад креслення параболи по вершині O, осі OK та хорді CD. Побудову виконують так:

• - проводять горизонтальну пряму лінію, на якій відзначають вершину O і відкладають вісь OK.;
• - через точку K проводять перпендикуляр, на якому симетрично вгору і вниз відкладають довжину хорди параболи;
• - будують прямокутник ABCD, у якому одна сторона дорівнює осі, а інша - хорді параболи;
• - Сторону BC ділять на кілька рівних частин, а відрізок KC на стільки ж рівних частин;
• - з вершини параболи Про проводять промені через точки 1, 2, і т.д., а через точки 1 1 , 2 1 і т. д.;
• - проводять прямі паралельні осі та визначають точки перетину променів з відповідними паралельними прямими, наприклад, точку перетину променя О1 з прямою О1 1 , яка належить параболі;
• - Отримані точки з'єднують плавною кривою лінією під лекало. Друга гілка параболи будується аналогічно.

Існують інші способи побудови параболи.

Як побудувати параболу? Існує кілька способів побудови графіка квадратичної функції. Кожен із них має свої плюси та мінуси. Розглянемо два способи.

Почнемо з побудови графіка квадратичної функції виду y=x²+bx+c та y=-x²+bx+c.

приклад.

Побудувати графік функції y=x2+2x-3.

Рішення:

y=x²+2x-3 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

Від вершини (-1;-4) будуємо графік параболи y=x²(як від початку координат. Замість (0;0) — вершина (-1;-4). Від (-1;-4) йдемо вправо на 1 одиницю і вгору на 1 одиницю, потім ліворуч на 1 і вгору на 1; цих 7 точок недостатньо, далі - 4 вправо, 16 - вгору і т. д.).

Графік квадратичної функції y = -x² + bx + c парабола, гілки якої спрямовані вниз. Для побудови графіка шукаємо координати вершини та від неї будуємо параболу y = -x².

приклад.

Побудувати графік функції y=-x²+2x+8.

Рішення:

y=-x²+2x+8 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Від вершини будуємо параболу y = -x² (1 - вправо, 1 вниз; 1 - вліво, 1 - вниз; 2 - вправо, 4 - вниз; 2 - вліво, 4 - вниз і т. Д.):

Цей спосіб дозволяє побудувати параболу швидко і не викликає труднощів, якщо ви вмієте будувати графіки функцій y=x² та y=-x². Нестача: якщо координати вершини — дрібні числа, будувати графік не дуже зручно. Якщо потрібно знати точні значення точок перетину графіка з віссю Ох, доведеться додатково розв'язати рівняння x²+bx+c=0 (або -x²+bx+c=0), навіть якщо ці точки безпосередньо можна визначити за малюнком.

Інший спосіб побудови параболи - по точках, тобто можна знайти кілька точок графіка і через них провести параболу (з урахуванням того, що пряма x = хₒ є її віссю симетрії). Зазвичай беруть вершину параболи, точки перетину графіка з осями координат і 1-2 додаткові точки.

Побудувати графік функції y=x2+5x+4.

Рішення:

y=x²+5x+4 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

тобто вершина параболи - точка (-2,5; -2,25).

Шукаємо. У точці перетину із віссю Ох y=0: x²+5x+4=0. Коріння квадратного рівняння х1=-1, х2=-4, тобто отримали дві точки графіці (-1; 0) та (-4; 0).

У точці перетину графіка із віссю Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Отримали точку (0; 4).

Для уточнення графіка можна знайти додаткову точку. Візьмемо х=1, тоді y=1²+5∙1+4=10, тобто ще одна точка графіка – (1; 10). Зазначаємо ці точки на координатній площині. З урахуванням симетрії параболи щодо прямої, що проходить через її вершину, відзначимо ще дві точки: (-5; 6) і (-6; 10) і проведемо через них параболу:

Побудувати графік функції y=-x²-3x.

Рішення:

y=-x²-3x – квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Вершина (-1,5; 2,25) - перша точка параболи.

У точках перетину графіка з віссю абсцис y=0, тобто розв'язуємо рівняння -x²-3x=0. Його коріння - х = 0 і х = -3, тобто (0; 0) і (-3; 0) - ще дві точки графіка. Точка (о; 0) є також точкою перетину параболи з віссю ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, тобто (1; -4) — додаткова точка для побудови графіка.

Побудова параболи за точками — більш трудомісткий у порівнянні з першим спосіб. Якщо парабола не перетинає вісь Oх, додаткових точок потрібно більше.

Перш ніж продовжити побудову графіків квадратичних функцій виду y=ax²+bx+c, розглянемо побудову графіків функцій з допомогою геометричних перетворень. Графіки функцій виду y=x²+c також найзручніше будувати, використовуючи одне з таких перетворень — паралельне перенесення.

Рубрика: |

Побудова парабол є однією з відомих математичних операцій. Досить часто вона застосовується не лише в наукових цілях, а й у суто практичних. Давайте дізнаємося, як здійснити цю процедуру за допомогою інструментарію програми Excel.

Парабола є графіком квадратичної функції наступного типу f(x)=ax^2+bx+c. Однією з примітних його властивостей є те що, що парабола має вигляд симетричної постаті, що з набору точок рівновіддалених від директриси. За великим рахунком, побудова параболи в середовищі Ексель мало чим відрізняється від побудови будь-якого іншого графіка в цій програмі.

Створення таблиці

Насамперед, перед тим, як приступити до побудови параболи, слід побудувати таблицю, на підставі якої вона й створюватиметься. Наприклад візьмемо побудова графіка функції f(x)=2x^2+7.

Побудова графіка

Як уже було сказано вище, тепер ми маємо побудувати сам графік.

Редагування діаграми

Тепер можна відредагувати отриманий графік.

Крім того, можна здійснювати будь-які інші види редагування отриманої параболи, включаючи зміну її назви та найменувань осей. Дані прийоми редагування не виходять за межі дій по роботі в Екселі з діаграмами інших видів.

Як бачимо, побудова параболи в Екселі нічим принципово не відрізняється від побудови іншого виду графіка або діаграми у цій же програмі. Усі дії виробляються з урахуванням заздалегідь сформованої таблиці. Крім того, потрібно врахувати, що для побудови параболи найбільше підходить точковий вигляд діаграми.

Еліпс.Якщо розсікти поверхню кругового конуса похилою площиною Р так, щоб вона перетнула всі його утворюючі, то в площині перерізу вийде еліпс (рисунок 65).

Малюнок 65

Еліпс(рисунок 66) – плоска замкнута крива, яка має суму відстаней від будь-якої її точки (наприклад, від точки М ) до двох заданих точок F 1 і F 2 - фокусів еліпса - є постійна величина, рівна довжині його великої осі AB (наприклад, F 1 M + F 2 M = AB ). Відрізок AB називається великою віссю еліпса, а відрізок CD – його малою віссю. Осі еліпса перетинаються у точці O – центрі еліпса, а його розмір визначає довжини великої та малої осей. Крапки F 1 і F 2 розташовані на великій осі AB симетрично щодо точки O і віддалені від кінців малої осі (точок З і D ) на відстань, що дорівнює половині великої осі еліпса .

Малюнок 66

Існує кілька способів побудови еліпса. Найбільш просто побудувати еліпс по двох осях за допомогою допоміжних кіл (рисунок 67). У цьому випадку задають центр еліпса – точку O і через неї проводять дві взаємно перпендикулярні прямі (рисунок 67 а). З точки Про описують два кола радіусами, рівними половині великої та малої осей. Велике коло ділять на 12 рівних частин і точки поділу з'єднують з точкою Про . Проведені лінії розділять менше коло також на 12 рівних частин. Потім через точки поділу меншого кола проводять горизонтальні прямі (або прямі, паралельні великій осі еліпса), а через точки поділу більшого кола – вертикальні (або прямі, паралельні малій осі еліпса). Точки їх перетину (наприклад, точка М ) належать еліпсу. З'єднавши отримані точки плавною кривою, одержують еліпс (рисунок 67 б).

Малюнок 67

Парабола.Якщо круговий конус розсікти площиною Р , Паралельною однією з його утворюють, то в площині перерізу вийде парабола (рисунок 68).

Малюнок 68

Парабола(рисунок 69) – плоска крива, кожна точка якої віддалена на однакову відстань від заданої прямої DD 1 званої директрисою, і крапки F – фокус параболи. Наприклад, для точки М відрізки MN (відстань до директорки) та MF (відстань до фокусу) рівні, тобто. MN = MF .

Парабола має форму розімкнутої кривої з однією віссю симетрії, яка проходить через фокус параболи – точку F і розташована перпендикулярно до директриси DD 1 .Точна A , що лежить на середині відрізка OF , називається вершиною параболи. Відстань від фокусу до директорки – відрізок OF = 2´OA – позначають буквою р і називають параметром параболи. Чим більший параметр р тим різкіше гілки параболи відходять від її осі. Відрізок, укладений між двома точками параболи, розташованими симетрично щодо осі параболи, називається хордий(наприклад, хорда MК ).

Малюнок 69

Побудова параболи за її директрисою DD 1 та фокусом F(Малюнок 70, а) . Через точку F перпендикулярно до директриси проводять вісь параболи до перетину її з директрисою в точці О. Відрізок OF = p ділять навпіл і одержують крапку A – вершину параболи. На осі параболи відточування A відкладають кілька відрізків, що поступово збільшуються. Через точки розподілу 1, 2, 3 іт. д. проводять прямі, паралельні директрисі. Прийнявши фокус параболи за центр, дуги описують радіусом. R 1 = L 1 1 ,радіусом R 2 = L 2 до перетину з прямою, проведеною через точку 2 , і т. д. Отримані точки належать параболі. Спочатку їх з'єднують тонкою плавною лінією від руки, потім обводять по лекалу.

Побудова параболи по її осі, вершині А та проміжній точці М(Малюнок 70, б).Через вершину A проводять пряму, перпендикулярну до осі параболи, а через точку М - пряму, паралельну до осі. Обидві прямі перетинаються у точці B . Відрізки AB і BM ділять на однакову кількість рівних частин, а точки розподілу нумерують у напрямках, вказаних стрілками. Через вершину A і крапки 1 , 2 , 3 , 4 проводять промені, а з точок I , II , III ,IV - Прямі, паралельні осі параболи. На перетині прямих, позначених однаковим номером, розташовані точки, що належать параболі. Обидві гілки параболи однакові, тому іншу гілку будують симетрично першою за допомогою хорд.

Малюнок 70

Побудова параболи, що стосується двох прямим OA і ОВ в даних на них точках A і В(Малюнок 71, б). Відрізки OA і ОВ ділять на однакову кількість рівних частин (наприклад, 8 частин). Отримані точки розподілу нумерують і однойменні точки з'єднують прямими 1–1 , 2 –2 , 3 –3 і т . д . Ці прямі стосуються параболічної кривої. Далі в утворений прямими контур вписують плавну дотичну криву - параболу .

Малюнок 71

Гіперболу.Якщо розсікти прямий і зворотний конуси площиною, паралельною двом його утворюючим або окремому випадку паралельної осі, то в площині перерізу вийде гіпербола, що складається з двох симетричних гілок (рисунок 72, а).

Гіперболою(Рисунок 72, б)називається незамкнута плоска крива, що представляє собою безліч точок, різниця відстаней яких від двох даних точок є постійна величина.

Малюнок 72

Постійні точки F 1 і F 2 називаються фокусами , а відстань між ними фокусною відстанню . Відрізки прямий ( F 1 M і F 2 M ), що з'єднують якусь точку ( M ) кривою з фокусами, називаються радіус-векторамигіперболи . Різниця відстаней точки від фокусів F 1 і F 2 є величина постійна і рівна відстані між вершинами а і b гіперболи; наприклад, для точки M будемо мати: F 1 M -F 2 M = ab. Гіпербола складається з двох незамкнених гілок, має дві взаємно перпендикулярні осі. дійсну АВ і уявляю CD. Прямі pq і rs, проходять через центр O називаються асимптотами .

Побудова гіперболи за даними асимптотам pq і rs, фокусам F 1 і F 2 наведено малюнку 72, б.

Справжня вісь АВ гіперболи є бісектрисою кута, утвореного асимптотами. Уявна вісь CD перпендикулярна АВ і проходить через точку О. Маючи фокуси F 1 і F 2 , визначають вершини а і b гіперболи, для чого на відрізку F 1 F 2 будують півколо, що перетинає асимптоти в точках m і п. З цих точок опускають перпендикуляри на вісь. AB і на перетині з нею одержують вершини а і b гіперболи.

Для побудови правої гілки гіперболи на прямій АВ правіше фокусу F 1 намічають довільні точки 1 , 2 , 3 , ..., 5. Крапки V і V1 гіперболи виходять, якщо прийняти відрізок а5 за радіус і з точки F2 провести дугу кола, яке засікають з точки F 1 , радіусом, рівним b5. Інші точки гіперболи будуються за аналогією з описаним.

Іноді доводиться будувати гіперболу, яка має асимптоти. ОХ і OY взаємно перпендикулярні (рис. 73). У цьому випадку дійсна і уявна осі будуть біс з ектрисами прямих кутів. Для побудови задається одна з точок гіперболи, наприклад точка А.

Малюнок 73

Через точку A проводять прямі АK і AM , паралельні осям ох і oу . З точки O пер з чення про з їй проводять прямі, пере з прямі AM і АK у точках 1 , 2 , 3 , 4 і 1" , 2" , 3" , 4" . Далі з точок перетину з цими прямими проводять вертикальні та горизонтальні відрізки до їх взаємного перетину в точках I, II, III, IV і т. д. Отримані точки гіперболи з'єднують за допомогою лекала . Крапки 1, 2, 3, 4 , розташовані на вертикальній прямій, беруться довільно .

Евольвента колаабо розгортка кола. Евольвентного коланазивається плоска крива, яку описує кожна точка прямої лінії, якщо цю пряму котити без ковзання по нерухомому колу (траєкторія точок кола, утворена її розгортанням і випрямленням) (рис. 74).

Для побудови евольвенти достатньо задати діаметр кола D та початкове положення точки A (точку A 0 ). Через точку A 0 проводять дотичну до кола і на ньому відкладають довжину заданого кола D . Отриманий відрізок і коло ділять на однакове число частин і через точки розподілу кола проводять в одному напрямку, що стосуються неї. На кожній дотичній відкладають відрізки, взяті з горизонтальної прямої і відповідно рівні 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = В A 0 2 , 3A 3 = А 0 3 і т.д.; отримані точки з'єднують за лекалом.

Малюнок 74

Спіраль Архімеда- Плоска крива, яку описує точка A , що рівномірно обертається навколо нерухомої точки – полюса Про і одночасно рівномірно віддаляється від нього (рисунок 75). Відстань, пройдена точкою при повороті прямої на 360 °, називають кроком спіралі. Крапки, що належать спіралі Архімеда, будують виходячи з визначення кривої, задаючись кроком та напрямом обертання.

Побудова спіралі Архімеда за заданим кроком (відрізок ОА) та напрямом обертання за годинниковою стрілкою(рисунок 75).Через точку Про проводять пряму, відкладають на ній величину кроку спіралі OA і, взявши його за радіус, описують коло. Коло та відрізок OA ділять на 12 рівних частин. Через точки поділу кола проводять радіуси. O1 , O2 , O3 і т. д. і на них від точки Про відкладають за допомогою дуг відповідно 1/12, 2/12, 3/12 і т. д. радіуса кола. Отримані точки з'єднують лекалу плавною кривою.

Спіраль Архімеда є незамкненою кривою, і за потреби можна побудувати будь-яке число її витків. Для побудови другого витка описують коло радіусом. R = 2 OA і повторюють усі попередні побудови.

Малюнок 75

Синусоїда.Синусоїдоюназивається проекція траєкторії точки, що рушить з я по циліндричному з кой гвинтової лінії, на площину, паралельну осі циліндра . Рух точки складається з рівномірно-обертального руху (навколо осі циліндра) і рівномірно-поступального (паралельно осі циліндра) . Синусоїда - це плоска крива, яка показує зміну тригонометричної функції синуса в залежності від зміни величини кута. .

Для побудови синусоїди (малюнок 76) через центр Про кола діаметра D проводять пряму ОХ і на ній відкладають відрізок O 1 A , рівний довжині кола D. Цей відрізок та коло поділяють на однакову кількість рівних частин. З отриманих та занумерованих точок проводять взаємно перпендикулярні прямі. Отримані точки перетину цих прямих з'єднують за допомогою лекалу плавною кривою.

Малюнок 76

Кардіоїда. Кардіоїдою(рисунок 77) називає з я замкнута траєкторія точки навколо з ті, що котиться без ковзання по нерухомому колу таким же радіусом .

Малюнок 77

Із центру Про проводять коло заданого радіусу і беруть на ньому довільну точку M. Через цю точку проводять ряд січучих. На кожній січній по обидва боки від точки перетину її з колом відкладають відрізки, рівні діаметру кола M1. Так, січна III3МIII 1 перетинає коло в точці 3 ;від цієї точки відкладають відрізки 3III і 3III 1 , рівні діаметру M1. Крапки III і III 1 , належать кардіоїді . За аналогією, з екуча IV4MIV 1 пер з екає коло в точці 4; від цієї точки відкладають відрізки IV4 і 4IV 1 , рівні діаметру M1, отримують точки IV і IV 1 і т.д.

Знайдені точки з'єднують кривою, як показано на малюнку 77.

Циклоїдні криві. Циклоїди – плоскі криві лінії, що описуються точкою, що належить колу, що котиться без ковзання по прямій лінії або колу . Якщо при цьому коло котиться по прямій лінії, то точка описує криву, звану циклоїдою.

Якщо коло котиться іншим колом, перебуваючи поза нею (по опуклій частині), то точка описує криву, звану епіциклоїдою .

Якщо ж коло котиться іншим колом, перебуваючи всередині його (по увігнутій частині), то точка описує криву, звану гіпоциклоїдою . Окружність, на якій розташована точка, називається виробляє . Лінія, якою котиться коло, називається спрямовуючою .

Для побудови циклоїди(рисунок 78) проводять коло заданого радіусу R ; на ній беруть початкову точку A і проводять напрямну пряму АВ, по якому котиться коло .

Малюнок 78

Ділять задане коло на 12 рівних частин (точки 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Якщо точка A переміщення з тит з я в становище A 12 , то відрізок AA 12 дорівнюватиме довжині заданої окружно з ти, тобто. Проводять лінію центрів Про - O 12 що виробляє окружно з ти, рівну , і поділяють її на 12 рівних частин. Отримують точки O 1 ,O 2 ,O 3 ,..., O 12 , що є центрами виробляє коло з ти . З цих точок проводять окружно з ти (або дуги окружно з тей) заданого радіусу R , які стосуються прямої АВ у точках 1,2, 3, ..., 12. Якщо від кожної точки дотику відкласти на відповідному колі довжину дуги, що дорівнює величині, на яку перемістилася точка A , то отримаємо точки, що належать циклоїду. Наприклад, для отримання точки A 5 циклоїди випливає з центру O 5 провести коло і від точки дотику 5 відкласти по колу дугу А5, рівну А5", або з точки 5" провести пряму, паралельну АВ, до перетину в точці A 5 з проведеним колом . Аналогічно будують і всі інші точки циклоїди .

Епіциклоїд будується так.На малюнку 79 зображено радіу, що виробляє коло. з а R з центром O 0 , початкова точка A на ній і дуга напрямної окружно з ти радіу з а R 1 , по якій котить з я коло. Побудова епіциклоїди аналогічна побудові циклоїди, а саме: ділять задане коло на 12 рівних частин (точки 1" , 2" , 3" , ...,12"), кожну частину цього кола відкладають від точки A по дузі АВ 12 разів (точки 1 , 2 , 3 , ..., 12) і одержують довжину дуги AA 12 . Цю довжину можна визначити за допомогою кута .

Далі з центру Про радіусом, рівним OO 0 , наносять лінію центрів виробляючого кола і, проводячи радіуси 01 , 02 , 03 , ...,012 , продовжені до перетину з лінією центрів, отримують центри О 1 , О 2 , ..., O 12 виробляє кола . З цих центрів радіусом, рівним R , проводять кола або дуги кіл, на яких будують і з комі точки кривої; Так, для отримання точки A 4 с лідирує прові з ти дугу окружно з ти радіусом O4" до перетину з колом, проведеним із центру O 4 . Аналогічно будуються інші точки, які потім з'єднуються плавною кривою .

Малюнок 79

Подібна інформація.