Düzlemde hangi doğrunun denklem tarafından verildiğini belirleyin. Düz bir çizginin denklemi, bir düzlemde düz bir çizginin denklem türleri
Formül (denklem) tarafından verilen işlevi düşünün
Bu fonksiyon ve dolayısıyla denklem (11) düzlemde bu fonksiyonun grafiği olan iyi tanımlanmış bir çizgiye karşılık gelir (bkz. Şekil 20). Fonksiyon grafiğinin tanımından, bu çizginin, düzlemin sadece ve sadece koordinatları denklem (11)'i karşılayan noktalarından oluştuğunu takip eder.
şimdi izin ver
Bu fonksiyonun grafiği olan doğru, düzlemin koordinatları denklem (12)'yi karşılayan noktalardan oluşur. Bu, belirtilen çizgi üzerinde bir nokta varsa, koordinatlarının denklem (12)'yi sağladığı anlamına gelir. Nokta bu doğrunun üzerinde değilse, koordinatları (12) denklemini sağlamaz.
Denklem (12) y'ye göre çözülmüştür. x ve y'yi içeren, y'ye göre çözülmemiş bir denklem düşünün, örneğin:
Bu denkleme düzlemde bir doğrunun, yani koordinatların orijininde ve yarıçapı 2'ye eşit olan bir dairenin karşılık geldiğini gösterelim. Denklemi şu şekilde yeniden yazalım.
Sol tarafı, noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığının karesidir (bkz. § 2, madde 2, formül 3). Eşitlikten (14) bu uzaklığın karesinin 4 olduğu sonucu çıkar.
Bu, koordinatları denklem (14) ve dolayısıyla denklem (13) sağlayan herhangi bir noktanın orijinden 2 uzaklıkta bulunduğu anlamına gelir.
Bu tür noktaların geometrik yeri orijini ve yarıçapı 2 olan bir dairedir. Bu daire denklem (13)'e karşılık gelen doğru olacaktır. Noktalarından herhangi birinin koordinatları açıkça (13) denklemini sağlar. Nokta, bulduğumuz dairenin üzerinde değilse, orijine olan uzaklığının karesi 4'ten büyük veya küçük olacaktır, bu da böyle bir noktanın koordinatlarının denklem (13)'ü sağlamadığı anlamına gelir.
Şimdi, genel durumda, verilen denklem
sol tarafında x ve y içeren bir ifade var.
Tanım. Denklem (15) ile tanımlanan doğru, düzlemdeki koordinatları bu denklemi sağlayan noktaların geometrik yeridir.
Bunun anlamı, eğer L çizgisi denklem tarafından belirlenirse, o zaman L'nin herhangi bir noktasının koordinatları bu denklemi sağlar ve düzlemin L dışında kalan herhangi bir noktasının koordinatları denklem (15)'i sağlamaz.
Denklem (15) çizgi denklemi olarak adlandırılır
Yorum. Herhangi bir denklemin herhangi bir çizgiyi tanımladığı düşünülmemelidir. Örneğin, denklem herhangi bir çizgi tanımlamaz. Gerçekten de, ve y'nin herhangi bir gerçek değeri için, bu denklemin sol tarafı pozitiftir ve sağ tarafı sıfıra eşittir ve bu nedenle, bu denklem düzlemdeki herhangi bir noktanın koordinatlarını tatmin edemez.
Bir düzlemde bir doğru, yalnızca Kartezyen koordinatları içeren bir denklemle değil, aynı zamanda kutupsal koordinatlardaki bir denklemle de tanımlanabilir. Kutupsal koordinatlarda denklem tarafından tanımlanan doğru, kutupsal koordinatları bu denklemi sağlayan düzlemdeki noktaların geometrik yeridir.
Örnek 1. Arşimet spiralini 'de oluşturun.
Çözüm. Kutup açısının bazı değerleri ve kutup yarıçapının karşılık gelen değerleri için bir tablo yapalım.
Kutup koordinat sisteminde, açıkça kutupla çakışan bir nokta oluşturuyoruz; daha sonra, ekseni kutup eksenine bir açıyla çizerek, bu eksen üzerinde pozitif koordinatlı bir nokta oluştururuz; bundan sonra, benzer şekilde kutup açısının ve kutup yarıçapının pozitif değerlerine sahip noktalar oluştururuz (bu noktaların eksenleri) Şekil 30'da gösterilmemiştir).
Bilindiği gibi, bazı koordinat sistemlerinde düzlem üzerindeki herhangi bir nokta iki koordinat tarafından belirlenir. Koordinat sistemleri, temel ve orijin seçimine bağlı olarak farklı olabilir.
Tanım: Bir doğrunun denklemi, bu doğruyu oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisidir.
Doğru denkleminin parametrik bir şekilde ifade edilebileceğine dikkat edin, yani her noktanın her bir koordinatı bazı bağımsız parametrelerle ifade edilir. t. Tipik bir örnek, hareket eden bir noktanın yörüngesidir. Bu durumda, zaman bir parametrenin rolünü oynar.
Düz bir çizginin farklı denklem türleri
Bir doğrunun genel denklemi.
Düzlemdeki herhangi bir doğru, birinci dereceden bir denklemle verilebilir.
Ah + Wu + C = 0,
ayrıca, A, B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir, yani. A 2 + B 2 ¹ 0. Bu birinci dereceden denklem, doğrunun genel denklemi olarak adlandırılır. .
değerlere bağlı olarak sabit A, B ve C, aşağıdaki özel durumlar mümkündür:
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - çizgi orijinden geçer
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( + C \u003d 0) - çizgi Öküz eksenine paralel
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - çizgi Oy eksenine paralel
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - düz çizgi Oy ekseniyle çakışıyor
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - düz çizgi Öküz ekseni ile çakışıyor
Düz bir çizginin denklemi şu şekilde temsil edilebilir: çeşitli formlar verilen herhangi bir başlangıç koşuluna bağlı olarak.
İki noktadan geçen bir doğrunun denklemi.
Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilsin, sonra bu noktalardan geçen bir doğrunun denklemi:
Paydalardan herhangi biri sıfıra eşitse, karşılık gelen pay sıfıra eşit olmalıdır. Bir düzlemde, yukarıda yazılan düz bir çizginin denklemi basitleştirilmiştir:
x 1 ¹ x 2 ve x \u003d x 1 ise, x 1 \u003d x 2 ise.
Kesir = k, doğrunun eğimi olarak adlandırılır.
Bir doğrunun bir nokta ve bir eğimle denklemi.
Ax + Vy + C = 0 doğrusunun genel denklemi şu şekle yol açarsa:
ve ifade edin, o zaman elde edilen denklem, eğimi k olan düz bir çizginin denklemi olarak adlandırılır.
Doğrunun segmentler halinde denklemi.
Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0 düz çizgisinin genel denkleminde, o zaman –С'ye bölerek şunları elde ederiz: veya
Katsayıların geometrik anlamı, katsayıların a doğrunun x ekseniyle kesiştiği noktanın koordinatıdır ve b- düz çizginin Oy ekseni ile kesişme noktasının koordinatı.
Düz bir çizginin normal denklemi.
Ax + Vy + C = 0 denkleminin her iki kısmı da normalleştirme faktörü adı verilen sayıya bölünürse, o zaman şunu elde ederiz:
xcosj + ysinj - p = 0 –
düz bir çizginin normal denklemi.
Normalleştirme faktörünün ± işareti, m × С olacak şekilde seçilmelidir.< 0.
p, orijinden düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu ve j, bu dikin Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.
Bir düzlemde doğrular arasındaki açı.
İki doğru y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 olarak verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır.
k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir.
k 1 = -1/k 2 ise iki doğru diktir.
Teorem. Ax + Vy + C \u003d 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 düz çizgileri, A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB katsayıları orantılı olduğunda paraleldir. Ayrıca C 1 = lC ise, çizgiler çakışır.
İki doğrunun kesişme noktasının koordinatları, iki denklem sisteminin bir çözümü olarak bulunur.
Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
Teorem. Bir M(x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Vy + C \u003d 0 çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:
ders 5
Analize giriş. Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyel hesabı.
İŞLEV LİMİTİ
Bir fonksiyonun bir noktada limiti.
0 a - D a + D x
Şekil 1. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti.
f(x) fonksiyonu x = a noktasının bir komşuluğunda tanımlansın (yani, x = a noktasında fonksiyon tanımlanmayabilir)
Tanım. A sayısına x®a için f(x) fonksiyonunun limiti denir, eğer herhangi bir e>0 için D>0 sayısı varsa, öyle ki tüm x için öyle ki
0 < ïx - aï < D
ïf(x) - Aï eşitsizliği< e.
Aynı tanım farklı bir biçimde yazılabilir:
eğer bir - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Bir noktada bir fonksiyonun limitinin yazılması:
Tanım.
f(x) ® A 1 ise x ® a sadece x için< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, o zaman sağdaki x = a noktasında f(x) fonksiyonunun limiti denir.
Yukarıdaki tanım, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında tanımlanmadığı, ancak bu noktanın keyfi olarak küçük bir komşuluğunda tanımlandığı duruma atıfta bulunur.
A 1 ve A 2 limitleri de denir tek taraflı f(x) fonksiyonunun dışında x = a noktasında. A olduğu da söyleniyor fonksiyon limiti f(x).
Düzlemde bir doğrunun denklemi.
Bilindiği gibi, bazı koordinat sistemlerinde düzlem üzerindeki herhangi bir nokta iki koordinat tarafından belirlenir. Koordinat sistemleri, temel ve orijin seçimine bağlı olarak farklı olabilir.
Tanım.çizgi denklemi oran denir y=f(x ) bu çizgiyi oluşturan noktaların koordinatları arasında.
Doğru denkleminin parametrik bir şekilde ifade edilebileceğine dikkat edin, yani her noktanın her bir koordinatı bazı bağımsız parametrelerle ifade edilir.t.
Tipik bir örnek, hareket eden bir noktanın yörüngesidir. Bu durumda, zaman bir parametrenin rolünü oynar.
Düzlemde bir doğrunun denklemi.
Tanım. Düzlemdeki herhangi bir doğru, birinci dereceden bir denklemle verilebilir.
Ah + Wu + C = 0,
ayrıca, A, B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir, yani. A2 + B2¹ 0. Bu birinci dereceden denklem denir bir doğrunun genel denklemi.
A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - çizgi orijinden geçer
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( + C ile \u003d 0) - düz bir çizgi Öküz eksenine paraleldir
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) - Oy eksenine paralel düz bir çizgi
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - çizgi Oy ekseniyle çakışıyor
A = C = 0, B ¹ 0 - çizgi Öküz ekseni ile çakışıyor
Düz bir çizginin denklemi, verilen herhangi bir başlangıç koşuluna bağlı olarak çeşitli biçimlerde sunulabilir.
Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
Teorem. Bir M(x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Vy + C \u003d 0 çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:
.
Kanıt. M noktasından verilen doğruya bırakılan dikmenin tabanı M 1 (x 1, y 1) olsun. Sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:
(1)
koordinatlar x 1 ve y 1 denklem sisteminin bir çözümü olarak bulunabilir:
Sistemin ikinci denklemi, verilen bir doğruya dik olarak verilen bir M 0 noktasından geçen bir doğrunun denklemidir.
Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ile + C = 0,
sonra, çözerek, elde ederiz:
Bu ifadeleri denklem (1) ile değiştirerek şunu buluruz:
.
Teorem kanıtlanmıştır.
Örnek.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y=-3x+7; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p/4.
Örnek. 3x - 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y - 3 = 0 doğrularının dik olduğunu gösterin.
Bul: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.
Örnek. A(0; 1) üçgeninin köşeleri verildiğinde, B(6;5),C (12; -1). C noktasından çizilen yükseklik için denklemi bulun.
Son makalede, uçakta düz bir çizgi konusuyla ilgili ana noktaları ele aldık. Şimdi düz bir çizginin denklemini incelemeye geçelim: hangi denklemin düz bir çizginin denklemi olarak adlandırılabileceğini ve ayrıca düz bir çizginin denkleminin bir düzlemde ne biçimi olduğunu düşünün.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Düzlemde düz bir çizginin denkleminin tanımı
Diyelim ki, O x y dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde verilen bir düz çizgi var.
tanım 1
Düz- bu geometrik şekil, noktalardan oluşur. Her noktanın apsis ve ordinat eksenleri boyunca kendi koordinatları vardır. O x y Kartezyen sisteminde bir doğrunun her bir noktasının koordinatlarının bağımlılığını tanımlayan denkleme, bir düzlem üzerindeki bir doğrunun denklemi denir.
Aslında, bir düzlemdeki düz bir çizginin denklemi, x ve y olarak gösterilen iki değişkenli bir denklemdir. Düz çizginin noktalarından herhangi birinin değerleri yerine konduğunda denklem bir özdeşliğe dönüşür.
Bir düzlemdeki düz bir çizginin denkleminin hangi forma sahip olacağını görelim. Bu, makalemizin bir sonraki bölümünün odak noktası olacaktır. Düz bir çizginin denklemini yazmak için birkaç seçenek olduğunu unutmayın. Bu, bir düzlemde düz bir çizgi oluşturmanın birkaç yolunun varlığı ve ayrıca görevlerin farklı özellikleri ile açıklanmaktadır.
Kartezyen koordinat sisteminde bir düzlemde düz bir çizgi denkleminin şeklini tanımlayan teoremi tanıyalım O x y .
Teorem 1
A x + B y + C = 0 biçimindeki bir denklem, burada x ve y değişkendir ve A, B ve C, A ve B'nin sıfıra eşit olmadığı bazı gerçek sayılardır. Kartezyen koordinat sistemi O x y . Sırayla, düzlemdeki herhangi bir düz çizgi, A x + B y + C = 0 biçimindeki bir denklemle verilebilir.
Böylece, düzlemdeki bir doğrunun genel denklemi A x + B y + C = 0 şeklindedir.
Konunun bazı önemli yönlerini açıklayalım.
örnek 1
Resme bak.
Çizimdeki çizgi, 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 biçimindeki bir denklem ile belirlenir, çünkü bu çizgiyi oluşturan herhangi bir noktanın koordinatları yukarıdaki denklemi sağlar. Aynı zamanda, 2 x + 3 y - 2 = 0 denklemiyle tanımlanan düzlemde belirli sayıda nokta bize şekilde gördüğümüz düz çizgiyi verir.
Düz bir çizginin genel denklemi tam veya eksik olabilir. Tam denklemde, tüm A, B ve C sayıları sıfır değildir. Diğer tüm durumlarda, denklem eksik olarak kabul edilir. A x + B y = 0 biçimindeki bir denklem, orijinden geçen düz bir çizgiyi tanımlar. A sıfır ise, o zaman A x + B y + C = 0 denklemi, O x eksenine paralel bir düz çizgi tanımlar. B sıfıra eşitse, çizgi O y ordinat eksenine paraleldir.
Sonuç: A, B ve C sayılarının belirli bir dizi değeri için, düz bir çizginin genel denklemini kullanarak, O x y dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlemde herhangi bir düz çizgi yazabilirsiniz.
A x + B y + C = 0 biçimindeki bir denklemle verilen doğru, A, B koordinatlarına sahip normal bir doğru vektörüne sahiptir.
Aşağıda ele alacağımız tüm verilen doğru denklemleri, bir doğrunun genel denkleminden elde edilebilir. Düşünülen denklemlerden herhangi biri düz bir çizginin genel denklemine indirgenebildiğinde, ters işlem de mümkündür.
Konunun tüm nüanslarını "Düz bir çizginin genel denklemi" makalesinde anlayabilirsiniz. Materyalde, teoremin bir kanıtını grafik çizimlerle ve örneklerin ayrıntılı bir analiziyle sunuyoruz. Düz bir çizginin genel denkleminden diğer türdeki denklemlere ve bunun tersi şekilde geçişlere özellikle dikkat edilir.
Parçalardaki düz bir çizginin denklemi, x a + y b = 1 biçimindedir; burada a ve b, sıfıra eşit olmayan bazı gerçek sayılardır. a ve b sayılarının mutlak değerleri, koordinat eksenlerinde düz bir çizgi ile kesilen bölümlerin uzunluklarına eşittir. Segmentlerin uzunluğu, koordinatların orijininden ölçülür.
Denklem sayesinde çizim üzerinde kolayca düz bir çizgi çizebilirsiniz. Bunu yapmak için, dikdörtgen bir koordinat sisteminde a, 0 ve 0, b noktalarını işaretlemek ve ardından bunları düz bir çizgiyle bağlamak gerekir.
Örnek 2
x 3 + y - 5 2 = 1 formülüyle verilen düz bir çizgi oluşturalım. 3 , 0 , 0 , - 5 2 grafiğinde iki noktayı işaretliyoruz ve bunları birbirine bağlıyoruz.
y = k · x + b formuna sahip olan bu denklemler, cebirin seyrinden bizim tarafımızdan iyi bilinmelidir. Burada x ve y değişkenlerdir, k ve b, k'nin eğim olduğu bazı gerçek sayılardır. Bu denklemlerde, y değişkeni x argümanının bir fonksiyonudur.
Düz doğrunun Ox ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısının tanımı üzerinden eğimin tanımını verelim.
tanım 2
Kartezyen koordinat sisteminde O x ekseninin pozitif yönüne doğru doğrunun eğim açısını belirtmek için, α açısının değerini giriyoruz. Açı, x ekseninin pozitif yönünden saat yönünün tersine düz bir çizgiye ölçülür. Doğru, O x eksenine paralelse veya onunla çakışıyorsa, α açısı sıfıra eşit kabul edilir.
Bir doğrunun eğimi, o doğrunun eğiminin tanjantıdır. k = t g α şeklinde yazılır. O y eksenine paralel olan veya onunla çakışan düz bir çizgi için, bu durumda eğim sonsuzluğa dönüştüğünden (yoksa) düz bir çizginin denklemini eğimli yazmak mümkün değildir.
y = k x + b denklemiyle verilen doğru, y ekseninde 0, b noktasından geçmektedir. Bu, y \u003d k x + b eğimli düz bir çizginin denkleminin, 0, b noktasından geçen düzlemde düz bir çizgi oluşturduğu ve O x ekseninin pozitif yönü ve k ile bir α açısı oluşturduğu anlamına gelir. \u003d t g α.
Örnek 3
y = 3 · x - 1 biçiminde bir denklemle tanımlanan düz bir çizgi çizelim.
Bu doğru (0 , - 1) noktasından geçmelidir. Eğim açısı α = a r c t g 3 = π 3, O x ekseninin pozitif yönüne 60 dereceye eşittir. Eğim 3
Eğimli düz bir çizginin denklemini kullanmanın, bir noktadaki bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi aramanın çok uygun olduğunu lütfen unutmayın.
Konuyla ilgili daha fazla materyal "Eğimli Doğrunun Denklemi" makalesinde bulunabilir. Teoriye ek olarak, çok sayıda grafik örneği ve ayrıntılı bir görev analizi vardır.
Bu denklem türü, x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y biçimindedir, burada x 1, y 1, a x, a y, x ve a y'nin sıfıra eşit olmadığı bazı gerçek sayılardır.
Doğrunun kanonik denklemiyle verilen doğru, M 1 (x 1 , y 1) noktasından geçer. Kesirlerin paydalarındaki a x ve a y sayıları, doğrunun yön vektörünün koordinatlarıdır. Bu, O x y Kartezyen koordinat sisteminde x - x 1 a x = y - y 1 a y düz çizgisinin kanonik denkleminin M 1 (x 1 , y 1) noktasından geçen ve bir yön vektörü olan bir çizgiye karşılık geldiği anlamına gelir. a → = (a x , bir y) .
Örnek 4
x - 2 3 = y - 3 1 denklemiyle verilen O x y koordinat sisteminde düz bir çizgi çizin. M 1 (2 , 3) noktası düz çizgiye aittir, a → (3 , 1) vektörü bu düz çizginin yön vektörüdür.
x - x 1 a x = y - y 1 a y şeklindeki kanonik düz çizgi denklemi, a x veya a y'nin sıfır olduğu durumlarda kullanılabilir. Paydada sıfır bulunması, x - x 1 a x = y - y 1 a y gösterimini koşullu yapar. Denklem a y (x - x 1) = a x (y - y 1) şeklinde yazılabilir.
Bir x \u003d 0 olması durumunda, düz bir çizginin kanonik denklemi x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y şeklini alır ve ordinat eksenine paralel olan veya bu eksenle çakışan düz bir çizgi ayarlar.
Bir y \u003d 0 olması koşuluyla, düz bir çizginin kanonik denklemi, x - x 1 a x \u003d y - y 1 0 şeklini alır. Böyle bir denklem, x eksenine paralel veya onunla çakışan bir düz çizgi tanımlar.
Düz bir çizginin kanonik denklemi konusunda daha fazla materyal, buraya bakın. Makalede, sorunlara bir dizi çözüm ve konuya daha iyi hakim olmanızı sağlayan çok sayıda örnek sunuyoruz.
Düzlemdeki bir doğrunun parametrik denklemleri
Bu denklemler x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ biçimindedir, burada x 1, y 1, a x, a y, x ve a y'nin aynı anda sıfıra eşit olamayacağı bazı gerçek sayılardır. zaman. Formüle, herhangi bir gerçek değeri alabilen ek bir parametre λ eklenir.
Parametrik denklemin amacı, düz bir çizginin noktalarının koordinatları arasında örtük bir ilişki kurmaktır. Bunun için λ parametresi tanıtılır.
x , y sayıları doğru üzerindeki bir noktanın koordinatlarıdır. λ parametresinin bazı gerçek değerleri için düz bir çizginin parametrik denklemleri ile hesaplanırlar.
Örnek 5
λ = 0 olduğunu varsayalım.
Sonra x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, yani koordinatlı nokta (x 1, y 1) çizgiye aittir.
Bu tür denklemlerde λ parametreli a x ve a y katsayılarının düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları olduğuna dikkatinizi çekeriz.
Örnek 6
x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ biçimindeki parametrik düz çizgi denklemlerini düşünün. Kartezyen koordinat sisteminde denklemlerle verilen doğru (x 1 , y 1) noktasından geçer ve a → = (3 , 1) yönlendirici vektörüne sahiptir.
Daha fazla bilgi için, "Bir düzlemde düz bir çizginin parametrik denklemleri" makalesine bakın.
Düz bir çizginin normal denklemi A x + B y + C = 0 şeklindedir, burada A, B ve C sayıları öyledir ki n → = (A , B) vektörünün uzunluğu bire eşittir ve C ≤ 0 .
O x y dikdörtgen koordinat sisteminde düz çizginin normal denklemi tarafından verilen çizginin normal vektörü, n → = (A , B) vektörüdür. Bu doğru, orijinden C mesafesinden n → = (A , B) vektörü yönünde geçer.
Düz bir çizginin normal denklemini yazmanın başka bir yolu, cos α x + cos β y - p = 0'dır; burada cos α ve cos β, düz bir çizginin birim uzunluk normal vektörünün yön kosinüsleri olan iki gerçek sayıdır. Bu, n → = (cos α , cos β) , n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 eşitliğinin doğru olduğu, p ≥ 0 değerinin doğru olduğu ve orijinden düz çizgiye olan mesafeye eşit olduğu anlamına gelir.
Örnek 7
Doğrunun genel denklemini düşünün - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . Doğrunun bu genel denklemi, doğrunun normal denklemidir, çünkü n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 ve C = - 3 ≤ 0 .
Denklem, normal vektörünün koordinatları - 1 2 , 3 2 olan Kartezyen koordinat sisteminde 0xy düz bir çizgi tanımlar. Doğru, orijinden normal vektör n → = - 1 2 , 3 2 yönünde 3 birim kaldırılır.
Bir düzlemdeki düz bir çizginin normal denkleminin, bir düzlemde bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulmanızı sağladığı gerçeğine dikkatinizi çekiyoruz.
A x + B y + C \u003d 0 satırının genel denkleminde A, B ve C sayıları, A x + B y + C \u003d 0 denkleminin çizginin normal bir denklemi olmayacağı şekilde ise, o zaman normal bir forma indirgenebilir. Bununla ilgili daha fazla bilgiyi "Bir Doğrunun Normal Denklemi" makalesinde okuyun.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
formun bir ilişkisini düşünün F(x, y)=0 değişkenleri bağlama x ve de. Eşitlik (1) çağrılacak iki değişkenli denklem x, y, bu eşitlik tüm sayı çiftleri için geçerli değilse X ve de. Denklem örnekleri: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
günah x + günah y - 1 = 0.
Eğer (1) tüm x ve y sayı çiftleri için doğruysa, buna denir. Kimlik. Kimlik örnekleri: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
Denklem (1) çağrılır nokta kümesinin denklemi (x; y), bu denklem koordinatlar tarafından karşılanırsa X ve de kümenin herhangi bir noktası ve bu kümeye ait olmayan herhangi bir noktanın koordinatlarını sağlamaz.
Analitik geometride önemli bir kavram, bir doğrunun denklemi kavramıdır. Dikdörtgen bir koordinat sistemi ve bir çizgi olsun α.
Tanım. Denklem (1), çizgi denklemi olarak adlandırılır α
(oluşturulan koordinat sisteminde), eğer bu denklem koordinatlar tarafından sağlanıyorsa X ve deçizgideki herhangi bir nokta α
, ve bu doğru üzerinde olmayan hiçbir noktanın koordinatlarını sağlamaz.
(1) doğru denklemi ise α, o zaman denklemi söyleyeceğiz (1) belirler (ayarlar) astar α.
Astar α sadece (1) formunun bir denklemi ile değil, aynı zamanda formun bir denklemi ile de belirlenebilir
F(P, φ) = 0, kutupsal koordinatları içeren.
- eğimli düz bir çizginin denklemi;
Eksene dik olmayan bir düz çizgi verilsin AH. Hadi arayalım eğim açısı eksene verilen çizgi AH köşe α ekseni döndürmek için AH böylece pozitif yön, düz çizginin yönlerinden biriyle çakışır. Doğrunun eksene olan eğim açısının tanjantı AH aranan eğim faktörü bu düz çizgi ve harfle gösterilen İle.
|
|||
|
|||
Eğer biliyorsak, bu düz çizginin denklemini elde ederiz. İle ve segmentteki değer OG eksende kestiği kuruluş birimi.
|
|
Denklem (2) denir eğimli bir doğrunun denklemi. Eğer bir K=0, o zaman çizgi eksene paraleldir AH ve denklemi y = b.
- iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi;
|
|
. Bu denklem ise y 1 ≠ y 2, şu şekilde yazılabilir: Eğer bir y 1 = y 2, daha sonra istenen düz çizginin denklemi forma sahiptir y = y1. Bu durumda doğru eksene paraleldir. AH. Eğer bir x 1 = x 2, sonra noktalardan geçen çizgi 1 ve M2, eksene paralel kuruluş birimi, denklemi şu şekildedir x = x 1.
- belirli bir noktadan belirli bir eğimle geçen düz bir çizginin denklemi;
|
|
ve tersine, keyfi katsayılar için denklem (5) A, B, C (ANCAK ve B ≠ 0 aynı anda) bir dikdörtgen koordinat sistemindeki bazı çizgileri tanımlar Ah.
Kanıt.
Önce ilk iddiayı ispatlayalım. Çizgi dik değilse Ey, daha sonra birinci derece denklemi ile belirlenir: y = kx + b, yani (5) formunun denklemi, burada
A=k, B=-1 ve C = b.Çizgi dik ise Ey, o zaman tüm noktaları değere eşit aynı apsise sahiptir α eksen üzerinde düz bir çizgi ile kesilmiş parça Ey.
Bu çizginin denklemi şu şekildedir: x = α,şunlar. aynı zamanda (5) formunun birinci dereceden bir denklemidir, burada A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. Bu, ilk iddiayı kanıtlıyor.
kanıtlayalım konuşma ifadesi. Denklem (5) verilsin ve katsayılardan en az biri ANCAK ve B ≠ 0.
Eğer bir B ≠ 0, o zaman (5) olarak yazılabilir. eğimli 
, denklemi elde ederiz y = kx + b, yani düz bir çizgiyi tanımlayan (2) biçiminde bir denklem.
Eğer bir B = 0, sonra bir ≠ 0 ve (5) şeklini alır. aracılığıyla belirtmek α, alırız
x = α, yani düz bir çizginin denklemi dikey Ox.
Dikdörtgen bir koordinat sisteminde birinci dereceden bir denklemle tanımlanan çizgilere denir. İlk sipariş satırları.
Tip denklemi Ah + Wu + C = 0 eksik, yani katsayılardan biri sıfıra eşittir.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 ve orijinden geçen bir çizgiyi tanımlar.
2) B = 0 (A ≠ 0); denklem Balta + C = 0 kuruluş birimi
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 ve paralel bir çizgi tanımlar Ey.
Denklem (6), "parçalar halinde" düz bir çizginin denklemi olarak adlandırılır. Sayılar a ve b düz çizginin koordinat eksenlerinde kestiği segmentlerin değerleridir. Denklemin bu formu, düz bir çizginin geometrik yapısı için uygundur.
- düz bir çizginin normal denklemi;
Аx + Вy + С = 0, bazı düz çizgilerin genel denklemidir ve (5) xçünkü α + y günah α – p = 0(7)
onun normal denklemi.
(5) ve (7) denklemleri aynı düz çizgiyi tanımladığından, o zaman ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 ve
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) bu denklemlerin katsayıları orantılıdır. Bu, denklem (5)'in tüm terimlerini bir M faktörü ile çarparak denklemi elde ettiğimiz anlamına gelir. MA x + MB y + MS = 0, denklem (7) ile çakışan, yani
MA = cos α, MB = günah α, MC = - P(8)
M faktörünü bulmak için bu eşitliklerin ilk ikisinin karesini alırız ve şunu ekleriz:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d çünkü 2 α + günah 2 α \u003d 1
(9)