Bükme sırasındaki ana gerilmeler. Kirişlerin bükülme mukavemetinin tam testi

Düz enine bükülme durumunda, kirişin bölümlerinde bir bükülme momenti de etkili olduğunda M ve kesme kuvveti Q sadece normal değil
, fakat aynı zamanda kayma gerilmeleri .

Enine bükülme sırasındaki normal gerilimler, saf bükülmeyle aynı formüller kullanılarak hesaplanır:

;
.(6.24)

P

Şekil 6.11. Düz viraj

Formülü türetirken bazı varsayımlarda bulunacağız:

Aynı mesafede etkili olan kayma gerilmeleri en tarafsız eksenden itibaren, kirişin genişliği boyunca sabit;

Teğetsel gerilmeler her yerde kuvvete paraleldir Q.

Bir kuvvetin etkisi altında enine bükülmeye maruz kalan bir konsol kirişini ele alalım. R. İç kuvvetlerin diyagramlarını oluşturalım HAKKINDA sen, Ve M z .

Mesafede X kirişin serbest ucundan kirişin temel bölümünü seçiyoruz DX ve kirişin genişliğine eşit bir genişlik B. Elemanın kenarları boyunca etki eden iç kuvvetleri gösterelim: kenarda CD kesme kuvveti oluşur Q sen ve bükülme momenti M z ve eşiğinde ab– ayrıca kesme kuvveti Q sen ve bükülme momenti M z +dM z(Çünkü Q sen kirişin uzunluğu boyunca sabit kalır ve moment M z değişiklikler, şek. 6.12). Mesafede en Elemanın bir kısmını tarafsız eksenden kesin abCD ortaya çıkan elemanın kenarları boyunca etki eden gerilmeleri gösteririz MBCN ve dengesini düşünün. Kirişin dış yüzeyinin bir parçası olan yüzlerde herhangi bir gerilim yoktur. Elemanın yan yüzlerinde bükülme momentinin etkisiyle M z normal gerilimler ortaya çıkar:

; (6.25)

. (6.26)

Ayrıca bu yüzeylerde kesme kuvvetinin etkisiyle Q sen kayma gerilmeleri ortaya çıkar elemanın üst yüzündeki teğetsel gerilimlerin eşleştirilmesi yasasına göre aynı gerilimler ortaya çıkar.

Element için bir denge denklemi oluşturalım MBCN, dikkate alınan bileşke gerilimlerin eksen üzerine yansıtılması X:

. (6.29)

İntegral işaretinin altındaki ifade, elemanın yan yüzünün statik momentini temsil eder. MBCN eksene göre X, böylece yazabiliriz

. (6.30)

Zhuravsky D.I.'nin bükülme sırasındaki diferansiyel bağımlılıklarına göre,

, (6.31)

için ifade teğetler Enine eğilme sırasındaki gerilmeler aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir ( Zhuravsky'nin formülü)

. (6.32)

Zhuravsky'nin formülünü inceleyelim.

Q sen– söz konusu bölümdeki kesme kuvveti;

J z – kesitin eksene göre eksenel atalet momenti z;

B- kesme gerilmelerinin belirlendiği yerdeki kesitin genişliği;

– kesme geriliminin belirlendiği fiberin üstünde (veya altında) bulunan bölümün z eksenine göre statik moment:

, (6.33)

Nerede Ve F" sırasıyla ağırlık merkezinin koordinatı ve bölümün dikkate alınan kısmının alanıdır.

6.6 Tam güç kontrolü. Tehlikeli bölümler ve tehlikeli noktalar

Kirişe etki eden dış yüklerin bükülme mukavemetini kontrol etmek için, uzunluğu boyunca iç kuvvetlerdeki değişikliklerin diyagramları oluşturulur ve her biri için bir mukavemet testi yapılması gereken kirişin tehlikeli bölümleri belirlenir.

Bu tür bölümlerin gücünü tam olarak kontrol ederken en az üç tane olacaktır (bazen çakışırlar):

Eğilme momentinin olduğu bölüm M z maksimum mutlak değerine ulaşır;

Kesme kuvvetinin olduğu bölüm Q sen, maksimum mutlak değerine ulaşır;

Eğilme momentinin olduğu bölüm M z ve kesme kuvveti Q sen mutlak değerde oldukça büyük değerlere ulaşır.

Tehlikeli bölümlerin her birinde, normal ve kayma gerilmelerinin diyagramlarını oluşturarak bölümün tehlikeli noktalarını bulmak gerekir (her biri için bir dayanım testi yapılır), bunlardan en az üçü de bulunacaktır. :

Normal streslerin olduğu nokta maksimum değerlerine, yani kirişin dış yüzeyinde kesitin tarafsız ekseninden en uzak noktaya ulaşırlar;

Kayma geriliminin oluştuğu nokta maksimum değerlerine ulaşmak - bölümün tarafsız ekseninde bulunan bir nokta;

Hem normal gerilmelerin hem de kayma gerilmelerinin yeterince büyük değerlere ulaştığı nokta (bu test, kesitin yüksekliği boyunca genişliğinin sabit olmadığı T-kirişler veya I-kirişler gibi bölümler için anlamlıdır).

Enine bükülme sırasında, bükülme momentiyle birlikte kesitte teğetsel gerilmelerin sonucu olan bir enine kuvvet etki eder.

Teğetsel gerilmelerin etkisinin sonucu, düzlem bölümlerin hipoteziyle çelişen enine kesit şeklinin bozulmasıdır. İlk olarak, bölüm yaşayabilir deplaiatsho, onlar. düz kalmıyor. İkincisi, deformasyondan sonraki kesit kirişin eğri eksenine dik kalmaz.

Bu etkiler daha karmaşık çubuk bükülme teorilerinde dikkate alınır. Aynı zamanda çok sayıda mühendislik problemi için saf eğilme için elde edilen formüller enine eğilme durumuna genelleştirilebilir. Bu formüllerin uygulanabilirlik sınırlarının değerlendirilmesi ve elde edilen sonuçların sorumluluğu hesaplayıcının yetki alanına girmektedir.

Enine bükülme sırasında normal gerilmelerin değerlerini belirlemek için formül (5.10) yaygın olarak kullanılmaktadır. Daha sonra, sabit bir enine kuvvet durumunda bu formülün kesin bir sonuç verdiğini, değişken bir enine kuvvet durumunda ise normalin belirlenmesi için elde edilen sonuçları göstereceğiz.

formüller bir sıralama hatası gösteriyor - Nerede H- bölüm yüksekliği; / - ışın uzunluğu.

Teğetsel gerilmelerin büyüklüğünü belirlemek için uzunluğa sahip bir kiriş elemanını düşünün. dx(Şekil 5.8).

Pirinç. 5.8.

Elemanın sağ ve sol bölümlerinde normal gerilmeler birbirinden s/o ile farklılık gösterir, bu da eğilme momenti değerlerindeki farklılıktan kaynaklanmaktadır. dM bay. Uzunluk boyunca t'deki değişiklikle ilgili terim dx, daha yüksek düzeyde küçük bir miktar olarak ihmal edilebilir.

Şu varsayımı yapalım: kesitteki teğetsel gerilmeler bu kesite etkiyen kesme kuvvetine paralel yönlendirilmiştir Q.

Uzaklıkla ayrılmış noktalardaki teğetsel gerilmelerin değerlerini belirleyelim en tarafsız eksenden. Bunu yapmak için bir uçakla kesin CD kiriş elemanı uzunluğundan dx Parça yatak.

Yükseklikte kesitte en teğetsel gerilmeler etki eder, yani. Aynı zamanda, ona dik olan bölümde, yani. düzleme paralel bir düzlemde xz, teğetsel gerilimlerin eşleştirilmesi yasasına uygun olarak, aynı büyüklükte teğetsel gerilimler etkili olacaktır.

Bir elemana etki eden tüm kuvvetleri eksen yönüne yansıtarak bir eleman için denge denklemi oluşturalım. X. Bölümün üst kısmındaki denge denkleminin içerdiği integralleri hesaplayalım. A*:

Dönüşümler sonucunda teğetsel gerilmelerin hesaplanması için aşağıdaki formülü elde ederiz:

Formül (5.10)'a göre ve (5.3) ilişkisini dikkate alarak normal gerilmenin türevini buluruz:

ve kayma gerilimi ifadesinde bu değeri dikkate alın:

Sonuç olarak teğetsel gerilimleri hesaplamak için aşağıdaki formülü elde ederiz:

Nerede Q - kesitte kesme kuvveti; S* - L* alanına sahip kesitin kesilen kısmının merkezi eksene göre statik momenti; / izg - bölümün merkezi eksene göre atalet momenti; H- kesme gerilmelerinin belirlendiği yerdeki kesit genişliği.

Formül (5.21) denir formüllerZhuravsky İLE

Dikdörtgen kesitli bir kiriş düşünün (Şekil 5.9, A). Tehlikeli bir bölümde normal ve kayma gerilmelerini belirleyelim. L bölümü, maksimum bükülme momentinin M зг = -И etki ettiği tehlikelidir.Enine kuvvete gelince, kirişin herhangi bir bölümündeki değeri sabit ve eşittir -F.

Pirinç. 5.9.

(5.15) ve (5.20) formüllerine göre, maksimum normal gerilimin değerini belirleriz:

'Zhuravsky Dmitry Ivanovich (1828-1891) - Rus mekanik bilimcisi ve mühendis, köprü inşaatı ve yapı mekaniği alanında uzman, bir kirişin enine bükülmesi sırasında kesme gerilmelerini belirleme problemini çözen ilk kişiydi.

Formül (5.21)’de yer alan miktarları hesaplayalım:

Bir mesafeyle ayrılmış bir kesit noktasında en tarafsız eksenden itibaren kayma geriliminin değeri şu şekildedir:

Maksimum voltaj şu noktada oluşur: y = Merkezi eksene ait liflerde 0 0t.

Bu voltajın resmi olarak negatif bir değeri vardır, ancak hesaplama için önemli olmadığından işareti göz ardı edilebilir.

Kiriş bölümünde ortaya çıkan normal ve teğetsel gerilmelerin maksimum değerlerinin oranını tahmin edelim:

Kirişin tasarım şemasına göre, - 1. Bundan, teğetsel gerilimlerin normal gerilimlere kıyasla daha büyük olduğu sonucu çıkar.

Tahmini (5.24) kiriş uzunluğu / ve karakteristik kesit boyutu için genelleştirelim. A. Eşit bir kesme kuvveti ile F, bükülme momenti M bükülmesi olarak tahmin edilir ~ FI. Bölümün eksenel atalet momentinin karakteristik değerleri, bölümün bir kısmının statik momenti ve bükülmeye karşı direnç momenti için aşağıdaki tahminleri elde ederiz:

Sonuç olarak, maksimum normal ve teğetsel gerilmeler için aşağıdaki tahminler geçerlidir:

Sonunda maksimum teğetsel ve normal gerilimlerin oranına ilişkin aşağıdaki tahminleri elde ederiz:

Belirli bir dikdörtgen kesit için elde edilen tahminler, kesitin masif olarak kabul edilmesi koşuluyla, keyfi bir kesit durumuna genişletilebilir. İnce duvarlı profiller için, normal gerilimlerle karşılaştırıldığında teğetsel gerilimlerin ihmal edilme olasılığı hakkındaki yukarıdaki sonuç her zaman doğru değildir.

Formül (5.21)'i türetirken tamamen tutarlı olmadığımızı ve dönüşümleri gerçekleştirirken aşağıdaki hatayı yaptığımızı belirtmek gerekir. Yani normal gerilmeler için kullandığımız formül, düzlem kesitler hipotezinin geçerli olduğu varsayımı altında elde edilmiştir; kesitsel açıklamanın yokluğunda. Elemana teğetsel gerilimler uygulayarak dik açıların bozulması olasılığını hesaba kattık ve böylece yukarıda belirtilen hipotezi ihlal ettik. Bu nedenle, elde edilen hesaplama formülleri yaklaşık değerlerdir. Şekil 2'de gösterilen kayma gerilimi diyagramı. 5.9, B, enine bükülme sırasında kirişin kesitlerinin eğriliğinin doğasını açıklar. Uç noktalarda teğetsel gerilmeler sıfırdır, bu nedenle karşılık gelen lifler kirişin üst ve alt yüzeylerine normal olacaktır. Maksimum kayma gerilmelerinin olduğu nötr hatta maksimum kayma gerilmeleri meydana gelecektir.

Aynı zamanda, enine kuvvetin değeri kesit içinde sabitse, tüm kesitlerin eğriliğinin aynı olacağını, dolayısıyla eğriliğin etkisinin boyuna çekme ve basınç büyüklüğüne yansımayacağını not ediyoruz. Eğilme momentinin neden olduğu liflerin deformasyonları.

Dikdörtgen olmayan kesitler için, kayma gerilmesi dağılımının doğası hakkında kabul edilen varsayımların karşılanamaması nedeniyle formül (5.21)'e ek hatalar eklenir. Yani, örneğin dairesel bir kesit için noktalardaki kayma gerilmeleri en kesit konturları, kesme kuvvetine paralel değil, kontura teğet olarak yönlendirilmelidir Q. Bu, kayma gerilmelerinin hem z/ekseni hem de z ekseni boyunca etki eden bileşenlere sahip olması gerektiği anlamına gelir.

Ancak mevcut çelişkilere rağmen ortaya çıkan formüller pratik hesaplamalar yapıldığında oldukça tatmin edici sonuçlar vermektedir. Formül (5.21) ile belirlenen teğetsel gerilim değerlerinin kesin yöntemlerle elde edilen sonuçlarla karşılaştırılması, en büyük teğetsel gerilim değerindeki hatanın %5'i geçmediğini, yani; bu formül pratik hesaplamalar için uygundur.

Direkt enine eğilme için mukavemet hesaplamalarına ilişkin birkaç yorum yapalım. Saf bükülmenin aksine, enine bükülme sırasında çubuğun kesitlerinde iki kuvvet faktörü ortaya çıkar: bükülme momenti M mzg ve enine kuvvet. Q. Bununla birlikte, en yüksek normal gerilimlerin, kayma geriliminin olmadığı en dıştaki liflerde meydana geldiği göz önüne alındığında (bkz. Şekil 5.9, B), ve en yüksek teğetsel gerilimler, normal gerilimlerin sıfıra eşit olduğu nötr katmanda meydana gelir; bu durumlarda dayanım koşulları, normal ve teğetsel gerilimler için ayrı ayrı formüle edilir:

Normal gerilmeleri hesaplamak için formül türetirken, kirişin bölümlerindeki iç kuvvetlerin yalnızca azaltıldığı bükülme durumunu dikkate alırız. bükülme momenti, A kesme kuvveti sıfır çıkıyor. Bu bükülme durumuna denir saf bükme. Saf bükülmeye maruz kalan kirişin orta bölümünü düşünün.

Yüklendiğinde kiriş bükülür, böylece Alt lifler uzar, üst lifler kısalır.

Kirişin liflerinin bir kısmı gerildiğinden ve bir kısmı sıkıştırıldığından ve gerilimden sıkıştırmaya geçiş meydana geldiğinden sorunsuz, atlamalar olmadan, V ortalamaışının bir kısmı bulunur lifleri yalnızca bükülen ancak gerilim veya sıkıştırmaya maruz kalmayan bir katman. Bu katmana denir doğal katman. Nötr tabakanın kirişin kesitiyle kesiştiği çizgiye denir nötr çizgi veya Nötr eksen bölümler. Kirişin eksenine nötr çizgiler dizilir. Nötr hat hangi satırda normal gerilimler sıfırdır.

Kirişin yan yüzeyine eksene dik olarak çizilen çizgiler kalır düz büküldüğünde. Bu deneysel veriler formüllerin sonuçlarına dayanmayı mümkün kılar Düzlem bölümleri hipotezi (varsayım). Bu hipoteze göre kirişin kesitleri bükülmeden önce düz ve eksenine dik iken, büküldüğünde düz kalır ve kirişin eğri eksenine dik olur.

Normal gerilim formüllerinin türetilmesi için varsayımlar: 1) Düzlem kesitler hipotezi yerine getirildi. 2) Boyuna lifler birbirine baskı yapmaz (basınçsızlık hipotezi) ve bu nedenle liflerin her biri tek eksenli bir gerilim veya sıkıştırma durumundadır. 3) Liflerin deformasyonları kesit genişliği boyunca konumlarına bağlı değildir. Sonuç olarak kesitin yüksekliği boyunca değişen normal gerilmeler genişlik boyunca aynı kalır. 4) Kirişin en az bir simetri düzlemi vardır ve tüm dış kuvvetler bu düzlemde bulunur. 5) Kirişin malzemesi Hooke kanununa uygundur ve çekme ve basmadaki esneklik modülü aynıdır. 6) Kirişin boyutları arasındaki ilişki, kirişin düzlemsel bükülme koşulları altında bükülme veya bükülme olmaksızın çalışacağı şekildedir.

İsteğe bağlı kesite sahip ancak simetri eksenine sahip bir ışın düşünelim. Bükülme anı temsil etmek iç normal kuvvetlerin bileşke momenti sonsuz küçük alanlarda ortaya çıkar ve şu şekilde ifade edilebilir: integral biçim: (1), burada y temel kuvvetin x eksenine göre koludur

Formül (1) ifade eder statik Düz bir kirişi bükme probleminin bir tarafı, ancak onun boyunca bilinen bir bükülme momentinde Dağılım kanunu oluşturulana kadar normal gerilmeleri belirlemek imkansızdır.

Orta bölümdeki kirişleri seçip düşünelim dz uzunluğundaki kesit, bükülmeye tabidir. Büyütülmüş ölçekte tasvir edelim.

dz alanını sınırlayan bölümler, deforme olana kadar birbirine paralel ve yükü uyguladıktan sonra nötr çizgileri etrafında bir açıyla döndürün . Nötr katman fiber bölümünün uzunluğu değişmeyecektir. ve şuna eşit olacaktır: , nerede Eğri yarıçapı kirişin kavisli ekseni. Ama başka herhangi bir lif yalan söylüyor daha düşük veya daha yüksek nötr katman, uzunluğunu değiştirecek. Haydi hesaplayalım nötr katmandan y mesafesinde bulunan liflerin göreceli uzaması. Bağıl uzama, mutlak deformasyonun orijinal uzunluğa oranıdır, bu durumda:

Benzer terimleri azaltıp getirelim, sonra şunu elde ederiz: (2) Bu formül ifade eder geometrik saf bükülme probleminin tarafı: Liflerin deformasyonları nötr tabakaya olan mesafeleriyle doğru orantılıdır.

Şimdi devam edelim stresler yani düşüneceğiz fiziksel görevin tarafı. uyarınca basınçsız varsayım eksenel çekme-basınç altında elyaf kullanıyoruz: daha sonra formülü dikkate alıyoruz (2) sahibiz (3), onlar. normal stres kesit yüksekliği boyunca büküldüğünde doğrusal olarak dağıtılmış. En dıştaki liflerde normal gerilimler maksimum değerlerine ulaşır ve bölümün ağırlık merkezinde sıfıra eşittir. Hadi değiştirelim (3) denklemin içine (1) ve kesri integral işaretinden sabit bir değer olarak çıkarırsak, o zaman elimizde . Ama ifade şu bölümün x eksenine göre eksenel atalet momenti - ben x. Onun boyutu cm4, m4

Daha sonra ,Neresi (4), nerede kirişin kavisli ekseninin eğriliği ve kiriş bölümünün bükülme sırasındaki sertliğidir.

Ortaya çıkan ifadeyi yerine koyalım eğrilik (4) ifadeye (3) ve alıyoruz kesitin herhangi bir noktasındaki normal gerilimleri hesaplamak için formül: (5)

O. maksimum gerginlikler ortaya çıkıyor tarafsız hattan en uzak noktalarda. Davranış (6) isminde kesit direncinin eksenel momenti. Onun boyutu cm3, m3. Direnç momenti, kesitin şeklinin ve boyutlarının gerilmelerin büyüklüğü üzerindeki etkisini karakterize eder.

Daha sonra maksimum voltajlar: (7)

Bükülme mukavemeti durumu: (8)

Enine bükülme meydana geldiğinde sadece normal değil aynı zamanda kayma gerilmeleri, Çünkü mevcut kesme kuvveti. Kayma gerilimi deformasyonun resmini karmaşıklaştırmak, onlar yol açar eğrilik kirişin kesitleri, sonuçta düzlem kesitler hipotezi ihlal edildi. Ancak araştırmalar, kayma gerilmelerinin neden olduğu çarpıklıkların biraz formülle hesaplanan normal gerilimleri etkiler (5) . Böylece, enine bükülme durumunda normal gerilimleri belirlerken Saf bükülme teorisi oldukça uygulanabilir.

Nötr hat. Tarafsız hattın konumuyla ilgili soru.

Bükme sırasında boyuna kuvvet yoktur, bu yüzden yazabiliriz Burada normal gerilmelerin formülünü kullanalım (3) ve alıyoruz Kiriş malzemesinin boyuna elastisite modülü sıfıra eşit olmadığından ve kirişin eğri ekseni sonlu bir eğrilik yarıçapına sahip olduğundan, bu integralin şu şekilde olduğu varsayılmaktadır: alanın statik momenti kirişin nötr çizgi eksenine göre kesiti x , dan beri sıfıra eşit olduğunda nötr çizgi bölümün ağırlık merkezinden geçer.

Ana düzlemdeki keyfi enine yüklerin etkisi altında düzlemde düz bükülmeye maruz kalan bir kirişi ele alalım. Ohoo(Şekil 7.31, A). Kirişi sol ucundan x kadar uzakta keselim ve sol tarafın dengesini düşünelim. Bu durumda sağ tarafın etkisi, bükülme momenti A/ ve enine kuvvetin etkisi ile değiştirilmelidir. Qyçizilmiş bölümde (Şekil 7.31, B). Genel durumda bükülme momenti L7, saf bükülmede olduğu gibi büyüklük olarak sabit değildir, ancak kirişin uzunluğu boyunca değişir. Bükülme anından beri M

(7.14)'e göre normal gerilmeler o = a x ile ilişkiliyse, bu durumda boyuna liflerdeki normal gerilmeler de kirişin uzunluğu boyunca değişecektir. Bu nedenle enine eğilme durumunda normal gerilmeler x ve değişkenlerinin fonksiyonlarıdır. y: a x = a x (x, y).

Kiriş kesitindeki enine eğilme sırasında sadece normal değil aynı zamanda teğetsel gerilmeler de etki eder (Şekil 7.31, V), bunun sonucu enine kuvvettir Soru:

Teğetsel gerilimlerin varlığı x ah açısal deformasyonların ortaya çıkması eşlik eder. Kesme gerilmeleri normal olanlar gibi kesit üzerinde eşit olmayan şekilde dağılmıştır. Sonuç olarak, Hooke yasasına göre kesme sırasında bunlarla ilişkilendirilen açısal deformasyonlar da eşit olmayan bir şekilde dağılacaktır. Bu, enine bükülme sırasında, saf bükülmenin aksine kirişin bölümlerinin düz kalmadığı anlamına gelir (J. Bernoulli'nin hipotezi ihlal edilmiştir).

Enine kesitlerin eğriliği, uçta uygulanan konsantre kuvvetin neden olduğu dikdörtgen kauçuk kesitli bir konsol kirişinin bükülmesi örneğiyle açıkça gösterilebilir (Şekil 7.32). Önce kirişin eksenine dik yan yüzlere düz çizgiler çizerseniz, büktükten sonra bu çizgiler düz kalmaz. Aynı zamanda en büyük kayma nötr katman seviyesinde meydana gelecek şekilde bükülürler.

Daha doğru çalışmalar, kesitlerin distorsiyonunun normal gerilmelerin büyüklüğü üzerindeki etkisinin önemsiz olduğunu ortaya koymuştur. Bölüm yüksekliğinin oranına bağlıdır H kirişin uzunluğuna kadar / ve H/ / o x enine bükülme için, saf bükülme durumu için türetilen formül (7.14) genellikle kullanılır.

Enine bükülmenin ikinci özelliği normal gerilmelerin varlığıdır. Ö y, kirişin uzunlamasına kesitlerinde etki eder ve uzunlamasına katmanlar arasındaki karşılıklı basıncı karakterize eder. Bu gerilimler dağıtılmış yükün olduğu alanlarda meydana gelir. Q, ve yoğun kuvvetlerin uygulandığı yerlerde. Tipik olarak bu gerilimler normal gerilimlerle karşılaştırıldığında çok küçüktür bir x.Özel bir durum, uygulama alanında önemli yerel gerilimlerin ortaya çıkabileceği konsantre bir kuvvetin etkisidir. ve sen.

Böylece düzlemdeki sonsuz küçük bir eleman Ohoo enine bükülme durumunda, iki eksenli bir gerilim durumundadır (Şekil 7.33).

Genel durumda t ve o gerilimleri ve o Y gerilimi koordinatların* ve y fonksiyonlarıdır. Çift eksenli bir gerilim durumu için diferansiyel denge denklemlerini karşılamaları gerekir ( a z = T yz = = 0) yokluğunda

hacimsel kuvvetler aşağıdaki forma sahiptir:

Bu denklemler kayma gerilmelerini = m ve normal gerilmeleri belirlemek için kullanılabilir. OU. Dikdörtgen kesitli bir kiriş için bunu yapmak en kolay yoldur. Bu durumda, m'yi belirlerken, kesitin genişliği boyunca eşit şekilde dağıldıkları varsayımı yapılır (Şekil 7.34). Bu varsayım, ünlü Rus köprü inşaatçısı D.I. Zhuravsky. Araştırmalar, bu varsayımın, yeterince dar ve yüksek kirişler için bükülme sırasındaki kayma gerilmelerinin dağılımının gerçek doğasına neredeyse tam olarak karşılık geldiğini göstermektedir. (B « VE).

Normal gerilmeler için diferansiyel denklemlerden (7.26) ve formül (7.14)'ün ilkinin kullanılması bir x, aldık

Bu denklemin değişkene entegrasyonu sen, bulduk

Nerede f(x)- kirişin alt kenarında teğetsel gerilmelerin olmaması durumunu hangisini kullanacağımızı belirlemek için isteğe bağlı bir fonksiyon:

Bu sınır koşulunu dikkate alarak (7.28)'den şunu buluruz:

Kirişin kesitlerine etki eden teğetsel gerilmelerin son ifadesi aşağıdaki formu alır:

Teğetsel gerilmelerin eşleştirilmesi yasasından dolayı, boyuna kesitlerde teğetsel gerilmeler de ortaya çıkar t, = t

hoo hoo

Nötr katmana paralel ışınlar.

Formül (7.29)'dan, teğetsel gerilmelerin, kare parabol yasasına göre kirişin kesitinin yüksekliği boyunca değiştiği açıktır. Teğetsel gerilmeler tarafsız eksen seviyesindeki noktalarda en büyük değere sahiptir. y = 0 ve kirişin en dıştaki liflerinde y = ±h/2 sıfıra eşittirler. Dikdörtgen bir kesitin eylemsizlik momenti için formül (7.23)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

Nerede F= bh - kirişin kesit alanı.

Diyagram t Şekil 2'de gösterilmektedir. 7.34.

Dikdörtgen olmayan kesitli kirişler durumunda (Şekil 7.35), m için sınır koşulu kesitin tüm noktalarında bilinmediğinden, denge denkleminden (7.27) kesme gerilmelerini m belirlemek zordur. kontur. Bunun nedeni, bu durumda teğetsel gerilmelerin enine kuvvete paralel değil, kesitte etki etmesidir. Qy. Aslında, kesitin konturuna yakın noktalarda toplam kayma gerilmesinin m kontura teğet olarak yönlendirildiği gösterilebilir. Kontur üzerindeki rastgele bir noktanın yakınında (bkz. Şekil 7.35) sonsuz küçük bir alanı ele alalım. dF kesit düzleminde ve ona dik bir platformda dF" kirişin yan yüzeyinde. Kontur üzerindeki bir noktadaki toplam t gerilimi teğetsel olarak yönlendirilmemişse iki bileşene ayrılabilir: x vx kontura normal v yönünde ve X teğet yönde T kontura. Bu nedenle, sahadaki teğetsel gerilmelerin eşleştirilmesi yasasına göre dF" meli

ancak x vv'ye eşit bir kesme gerilimine etki eder. Yan yüzeyde kesme yükleri bulunmuyorsa bileşen x vv = zvx = 0, yani toplam kayma gerilimi x, gösterildiği gibi, örneğin A ve noktalarında kesitin konturuna teğet olarak yönlendirilmelidir. İÇİNDE kontur.

Sonuç olarak, hem kontur noktalarındaki hem de kesitin herhangi bir noktasındaki x kayma gerilimi, x bileşenlerine ayrıştırılabilir.

Dikdörtgen olmayan kesitli kirişlerdeki teğetsel gerilimin x bileşenlerini belirlemek (Şekil 7.36, B) Kesitin dikey bir simetri eksenine sahip olduğunu ve dikdörtgen kesit durumunda olduğu gibi toplam kayma gerilimi x'in x bileşeninin genişliği boyunca düzgün bir şekilde dağıldığını varsayalım.

Düzleme paralel uzunlamasına bir kesit kullanma Öküz ve uzaktan geçiyorum en ondan ve iki kesitten heh + dx Kirişin alt kısmından sonsuz küçük bir uzunluk elemanını zihinsel olarak keselim dx(Şekil 7.36, V).

Eğilme momentinin olduğunu varsayalım. M uzunluk içinde değişir dx dikkate alınan kiriş elemanının ve kesme kuvvetinin Q sabittir. Daha sonra x ve kesitlerinde x + dx Kirişler eşit büyüklükte x teğetsel gerilmelere ve eğilme momentlerinden kaynaklanan normal gerilmelere maruz kalacaktır. M zMM z+ dM™, sırasıyla eşit olacak A Ve A + da. Seçilen elemanın yatay kenarı boyunca (Şekil 7.36'da, V Aksonometride gösterilmiştir) teğetsel gerilimlerin eşleştirilmesi yasasına göre, gerilimler x v „ = x etki edecektir.

hoo hoo

Sonuçlar R Ve R+dR normal gerilmeler o ve o + Formül (7.14)'ün eşit olduğu dikkate alınarak elemanın uçlarına uygulanan d

Nerede

kesme alanının statik momenti F(Şekil 7.36'da, B gölgeli) tarafsız eksene göre Oz y, içinde değişen bir yardımcı değişkendir en

Uygulanan teğetsel gerilmelerin sonucu

xy

Bu gerilmelerin genişlik boyunca eşit dağılımına ilişkin getirilen varsayım dikkate alınarak, elemanın yatay kenarına ile) formülü kullanılarak bulunabilir

?X=0 elemanı için denge koşulu şunu verir:

Ortaya çıkan kuvvetlerin değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz:

Buradan (7.6)'yı hesaba katarak teğetsel gerilmeleri belirlemek için bir formül elde ederiz:

Rus edebiyatında bu formüle denir formül D.I. Zhuravsky.

Formül (7.32)'ye göre kesit yüksekliği boyunca t teğetsel gerilmelerin dağılımı kesit genişliğindeki değişime bağlıdır. B(y) ve S OTC (y) bölümünün kesme kısmının statik momenti.

Formül (7.32) kullanılarak, yukarıda ele alınan dikdörtgen kiriş için kesme gerilmeleri en basit şekilde belirlenir (Şekil 7.37).

Kesilen kesit alanının statik momenti F qtc eşittir

(7.32)'de 5° tf'yi değiştirerek daha önce türetilmiş formülü (7.29) elde ederiz.

Adım adım sabit kesit genişliğine sahip kirişlerdeki kesme gerilmelerini belirlemek için formül (7.32) kullanılabilir. Sabit genişliğe sahip her kesitte teğetsel gerilmeler, kare parabol kanununa göre kesitin yüksekliği boyunca değişir. Kesit genişliğinin aniden değiştiği yerlerde teğetsel gerilmelerde de sıçramalar veya süreksizlikler olur. Böyle bir bölüm için t diyagramının doğası Şekil 2'de gösterilmektedir. 7.38.

Pirinç. 7.37

Pirinç. 7.38

Bir I kesitindeki teğetsel gerilimlerin dağılımını ele alalım (Şekil 7.39, A) bir düzlemde büküldüğünde Ah. Bir I kesiti üç dar dikdörtgenin birleşimi olarak temsil edilebilir: iki yatay raf ve bir dikey duvar.

(7.32) formülünde duvardaki m'yi hesaplarken, şunları almanız gerekir: b(y) - d. Sonuç olarak elde ederiz

Nerede S° 1C eksen etrafındaki statik momentlerin toplamı olarak hesaplanır Oz raf alanı Fn ve duvarın bazı kısımları F,Şekil 2'de gölgeli. 7.39, A:

Teğetsel gerilmeler t tarafsız eksen seviyesinde en büyük değere sahiptir. y = 0:

tarafsız eksene göre kesitin yarısının alanının statik momenti nerede:

Haddelenmiş I-kirişler ve kanallar için kesitin yarısının statik momentinin değeri ürün grubunda verilmiştir.

Pirinç. 7.39

Duvarın flanşlarla birleştiği seviyede kesme gerilmeleri 1 ? eşit

Nerede S" - flanş kesit alanının tarafsız eksene göre statik momenti:

I-kirişin flanşlarındaki düşey teğetsel gerilmeler m, formül (7.32) kullanılarak bulunamaz, çünkü B :» T, rafın genişliği boyunca bunların eşit dağılım gösterdiği varsayımı kabul edilemez hale gelir. Flanşın üst ve alt kenarlarında bu gerilimler sıfır olmalıdır. Bu nedenle

Vay

raflar çok küçüktür ve pratik bir önemi yoktur. Alt flanştan izole edilmiş sonsuz küçük bir elemanın dengesini dikkate aldığımızı belirlemek için m flanşlarındaki yatay teğetsel gerilimler çok daha ilgi çekicidir (Şekil 7.39). , B).

Bu elemanın uzunlamasına yüzünde düzleme paralel teğetsel gerilmelerin eşleştirilmesi yasasına göre Ah, voltaj uygulanır x xz kesitte etkiyen t gerilimine eşit büyüklüktedir. I-kiriş flanşının kalınlığının küçük olması nedeniyle, bu gerilimlerin flanş kalınlığı boyunca eşit şekilde dağıldığı varsayılabilir. Bunu hesaba katarsak, 5^=0 elementinin denge denkleminden şunu elde ederiz:

Buradan buluyoruz

Bu formüle aşağıdaki ifadeyi koyarsak: bir x(7.14)'ten ve elde ettiğimizi dikkate alarak

Hesaba katıldığında

Nerede S° TC - rafın kesme alanının statik momenti (Şekil 7.39'da, A eksene göre iki kez gölgeli) Oz, sonunda onu alacağız

Şek. 7.39 , A

Nerede z- eksen tabanlı değişken OU.

Bunu dikkate alarak formül (7.34) şu şekilde temsil edilebilir:

Bu, yatay kayma gerilmelerinin eksen boyunca doğrusal olarak değiştiğini göstermektedir. Oz ve en büyük değeri al z = d/ 2:

İncirde. Şekil 7.40'da m ve m^ teğetsel gerilmelerin diyagramları ve ayrıca kiriş kesitine pozitif bir kesme kuvveti uygulandığında I-kirişin flanşlarındaki ve duvarındaki bu gerilmelerin yönleri gösterilmektedir. Q. Mecazi anlamda teğetsel gerilmeler, I-kiriş bölümünde, bölümün konturuna paralel her noktaya yönlendirilen sürekli bir akış oluşturur.

Normal streslerin tanımına geçelim ve sen kirişin uzunlamasına kesitlerinde. Üst kenar boyunca yükü eşit olarak dağıtılmış bir kirişin bir bölümünü ele alalım (Şekil 7.41). Kirişin kesitini dikdörtgen kabul edelim.

Bunu belirlemek için kullanıyoruz diferansiyel denge denklemlerinden ikincisi (7.26). Bu denklemde teğetsel gerilmeler için formül (7.32)'nin değiştirilmesi sen,(7.6)’yı dikkate alarak elde ederiz

Değişken üzerinde entegrasyon yapıldıktan sonra sen, bulduk

Burada f(x) - sınır koşulu kullanılarak tanımlanan keyfi bir fonksiyon. Problemin koşullarına göre kiriş düzgün yayılı bir yük ile yüklenir. Qüst kenar boyunca ve alt kenar yüklerden arındırılmıştır. Daha sonra karşılık gelen sınır koşulları şu şekilde yazılır:

Bu koşullardan ikincisini kullanarak şunu elde ederiz:

Bunu dikkate alarak stres formülü ve sen aşağıdaki formu alacaktır:

Bu ifadeden, kübik parabol kanununa göre gerilmelerin kesitin yüksekliği boyunca değiştiği açıktır. Bu durumda her iki sınır koşulu da (7.35) sağlanır. En yüksek voltaj değeri kirişin üst yüzeyini alır y=-h/2:

Diyagramın doğası ve senŞekil 2'de gösterilmiştir. 7.41.

En yüksek gerilmelerin değerlerini tahmin etmek o. a, m ve aralarındaki ilişkiler için, örneğin dikdörtgen kesitli bir konsol kirişin boyutlarını dikkate alarak bükülmesini ele alalım. canım, kirişin üst kenarına uygulanan eşit dağıtılmış bir yükün etkisi altında (Şekil 7.42). Gerilmelerin en yüksek mutlak değeri contada meydana gelir. (7.22), (7.30) ve (7.37) formüllerine göre bu gerilmeler eşittir

Kirişler için her zamanki gibi l/saat» 1 ise elde edilen ifadelerden gerilimlerin cx mutlak değerde t gerilimini aşar ve özellikle ve sen. Yani örneğin ne zaman 1/ben == 10 elde ederiz a x /t xy = 20', o x /c y = 300.

Bu nedenle, kirişlerin bükülme için hesaplanmasında en büyük pratik ilgi, gerilimdir. bir x, kirişin kesitlerinde hareket eder. Gerilimler y ile Kirişin uzunlamasına katmanlarının karşılıklı basıncını karakterize eden o v ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir.

Bu örnekte elde edilen sonuçlar, § 7.5'te sunulan hipotezlerin tamamen doğrulandığını göstermektedir.

Düz (düz) viraj- bükülme momenti, bölümün ana merkezi atalet eksenlerinden birinden geçen bir düzlemde etki ettiğinde, yani; tüm kuvvetler kirişin simetri düzleminde bulunur. Ana hipotezler(varsayımlar): boyuna liflerin basınçsızlığına ilişkin hipotez: kirişin eksenine paralel lifler, çekme-basınç deformasyonuna maruz kalır ve enine yönde birbirlerine baskı uygulamaz; Düzlem kesit hipotezi: Deformasyondan önce düz olan bir kirişin kesiti, deformasyondan sonra düz ve kirişin kavisli eksenine dik kalır. Düz bükme durumunda genel olarak, iç güç faktörleri: boyuna kuvvet N, enine kuvvet Q ve eğilme momenti M. N>0, eğer boyuna kuvvet çekme ise; M>0'da kirişin üst kısmındaki lifler sıkıştırılır, alt kısmındaki lifler ise gerilir. .

Uzantısı olmayan katmana denir nötr katman(eksen, çizgi). N=0 ve Q=0 için şu durum söz konusudur saf viraj. Normal voltajlar:
, nötr katmanın eğrilik yarıçapıdır, y ise bazı fiberlerden nötr katmana olan mesafedir.

43) Eksantrik gerginlik ve sıkıştırma

Gerilim ve sıkıştırma

 - normal voltaj[Pa], 1 Pa (paskal) = 1 N/m2,

10 6 Pa = 1 MPa (megapaskal) = 1 N/mm2

N - boyuna (normal) kuvvet [N] (newton); F - kesit alanı [m2]

 - bağıl deformasyon [boyutsuz miktar];

L - boyuna deformasyon [m] (mutlak uzama), L - çubuk uzunluğu [m].

-Hooke yasası -  = E

E - gerilme elastikiyet modülü (1. tür elastikiyet modülü veya Young modülü) [MPa]. Çelik için E = 210 5 MPa = 210 6 kg/cm2 (“eski” birim sisteminde).

(E ne kadar büyük olursa malzemenin gerilmesi o kadar az olur)

;
- Hook kanunu

EF, çubuğun çekme (sıkıştırma) durumundaki sertliğidir.

Çubuk gerildiğinde "incelir", genişliği - a enine deformasyonla azalır - a.

-göreceli enine deformasyon.

-Poisson oranı [boyutsuz miktar];

 0 (mantar) ila 0,5 (kauçuk) arasında değişir; çelik için  0,250,3.

Boyuna kuvvet ve kesit sabit değilse çubuğun uzaması:

Çekme işi:
, potansiyel enerji:

47. Mohr İntegrali

Yer değiştirmeleri (doğrusal ve dönme açıları) belirlemek için evrensel bir yöntem Mohr yöntemidir. Genelleştirilmiş yer değiştirmenin arandığı noktada sisteme birim genelleştirilmiş kuvvet uygulanır. Sapma belirlenirse birim kuvvet boyutsuz tekil kuvvettir; dönme açısı belirlenirse boyutsuz birim moment olur. Uzaysal bir sistem durumunda, iç kuvvetlerin altı bileşeni vardır. Genelleştirilmiş yer değiştirme tanımlanır

48. Eğilme ve burulmanın birleşik etkisi altında gerilmenin belirlenmesi

Burulma ile bükülme

Bükme ve burulmanın birleşik hareketi, mil yüklemede en yaygın görülen durumdur. İç kuvvetlerin beş bileşeni ortaya çıkar: Q x, Q y, M x, M y, M z = M cr. Hesaplama sırasında eğilme momentleri M x , My y ve tork M cr diyagramları oluşturularak tehlikeli bölge belirlenir. Ortaya çıkan eğilme momenti
. Maks. Tehlikeli noktalardaki normal ve kayma gerilmeleri (A,B):
,

, (bir daire için: W=
– eksenel direnç momenti , W р =
– bölümün kutupsal temas anı).

En tehlikeli noktalardaki (A ve B) ana gerilimler:

Mukavemet testi, mukavemet teorilerinden birine göre gerçekleştirilir:

IV: Mohr'un teorisi:

burada m=[ p ]/[ c ] – izin verilebilir. örneğin çekme/sıkıştırma (kırılgan malzemeler için - dökme demir).

T
.k.W p =2W, şunu elde ederiz:

Pay, kabul edilen dayanım teorisine göre azaltılmış momenttir. ;

II: , Poisson oranı=0,3 ile;

III:

veya bir formülle:
, direniş anı buradan geliyor:
, şaft çapı:
. Formüller aynı zamanda halka kesitinin hesaplanması için de uygundur.