กำหนดเส้นบนระนาบที่กำหนดโดยสมการ สมการเส้นตรง ประเภทของสมการเส้นตรงบนระนาบ

พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร (สมการ)

ฟังก์ชันนี้ และด้วยเหตุนี้ สมการ (11) จึงสอดคล้องบนระนาบกับเส้นที่กำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันนี้ (ดูรูปที่ 20) จากคำจำกัดความของกราฟฟังก์ชันเส้นนี้ประกอบด้วยจุดเหล่านั้นและเฉพาะจุดของระนาบที่พิกัดเป็นไปตามสมการ (11)

ปล่อยเดี๋ยวนี้

เส้น ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันนี้ ประกอบด้วยจุดเหล่านั้นและเฉพาะจุดของระนาบที่พิกัดเป็นไปตามสมการ (12) ซึ่งหมายความว่าหากจุดอยู่บนเส้นที่ระบุ พิกัดของจุดนั้นจะเป็นไปตามสมการ (12) หากจุดไม่อยู่บนเส้นนี้ แสดงว่าพิกัดไม่เป็นไปตามสมการ (12)

สมการ (12) ได้รับการแก้ไขแล้วเทียบกับ y พิจารณาสมการที่ประกอบด้วย x และ y ที่ไม่ได้รับการแก้ไขเทียบกับ y เช่น สมการ

ให้เราแสดงว่าเส้นตรงกับสมการนี้ในระนาบ กล่าวคือ วงกลมมีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของพิกัดและมีรัศมีเท่ากับ 2 ให้เราเขียนสมการใหม่ในรูป

ด้านซ้ายของมันคือกำลังสองของระยะห่างของจุดจากจุดกำเนิด (ดู § 2 ข้อ 2 สูตร 3) จากความเท่าเทียมกัน (14) ตามด้วยกำลังสองของระยะนี้คือ 4

ซึ่งหมายความว่าจุดใดๆ ที่พิกัดเป็นไปตามสมการ (14) และด้วยเหตุนี้ สมการ (13) จะอยู่ที่ระยะห่าง 2 จากจุดกำเนิด

ตำแหน่งของจุดดังกล่าวเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและรัศมี 2 วงกลมนี้จะเป็นเส้นตรงที่สอดคล้องกับสมการ (13) พิกัดของจุดใดจุดหนึ่งเป็นไปตามสมการ (13) อย่างชัดเจน หากจุดนั้นไม่ได้อยู่บนวงกลมที่เราพบ ระยะกำลังสองของระยะห่างจากจุดกำเนิดจะมากกว่าหรือน้อยกว่า 4 ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดดังกล่าวไม่เป็นไปตามสมการ (13)

ให้ในกรณีทั่วไปให้สมการ

ทางด้านซ้ายซึ่งเป็นนิพจน์ที่มี x และ y

คำนิยาม. เส้นที่กำหนดโดยสมการ (15) คือตำแหน่งของจุดในระนาบซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการนี้

ซึ่งหมายความว่าหากเส้น L ถูกกำหนดโดยสมการ พิกัดของจุดใดๆ ของ L จะเป็นไปตามสมการนี้ และพิกัดของจุดใดๆ ของระนาบที่อยู่นอก L จะไม่เป็นไปตามสมการ (15)

สมการ (15) เรียกว่าสมการเส้น

ความคิดเห็น ไม่ควรคิดว่าสมการใดกำหนดเส้นใด ๆ ตัวอย่างเช่น สมการไม่ได้กำหนดเส้นตรงใดๆ อันที่จริง สำหรับค่าจริงใดๆ ของ และ y ด้านซ้ายของสมการนี้เป็นค่าบวก และด้านขวาเท่ากับศูนย์ ดังนั้น สมการนี้จึงไม่เป็นไปตามพิกัดของจุดใดๆ ในระนาบ

เส้นสามารถกำหนดได้บนระนาบไม่เพียงโดยสมการที่มีพิกัดคาร์ทีเซียนเท่านั้น แต่ยังกำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้วด้วย เส้นที่กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้วคือตำแหน่งของจุดในระนาบซึ่งพิกัดเชิงขั้วเป็นไปตามสมการนี้

ตัวอย่างที่ 1 สร้างเกลียวอาร์คิมิดีสที่

วิธีการแก้. มาทำตารางสำหรับค่าบางค่าของมุมขั้วและค่าที่สอดคล้องกันของรัศมีเชิงขั้วกัน

เราสร้างจุดในระบบพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งเห็นได้ชัดว่าตรงกับขั้ว จากนั้นเมื่อวาดแกนในมุมหนึ่งไปยังแกนขั้วโลกเราจะสร้างจุดที่มีพิกัดบวกบนแกนนี้ หลังจากนั้น ในทำนองเดียวกันเราจะสร้างจุดที่มีค่าบวกของมุมขั้วและรัศมีขั้ว (แกนสำหรับจุดเหล่านี้ ไม่ได้ระบุไว้ในรูปที่ 30)

ดังที่ทราบกันดีว่าจุดใดๆ บนเครื่องบินถูกกำหนดโดยพิกัดสองพิกัดในระบบพิกัดบางระบบ ระบบพิกัดอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นฐานและที่มา

คำนิยาม: สมการของเส้นตรงคือความสัมพันธ์ y = f(x) ระหว่างพิกัดของจุดที่ประกอบเป็นเส้นนี้

โปรดทราบว่าสมการเส้นสามารถแสดงในรูปแบบพาราเมตริก กล่าวคือ แต่ละพิกัดของแต่ละจุดแสดงผ่านพารามิเตอร์อิสระบางตัว t. ตัวอย่างทั่วไปคือวิถีของจุดเคลื่อนที่ ในกรณีนี้ เวลามีบทบาทเป็นพารามิเตอร์

สมการเส้นตรงแบบต่างๆ

สมการทั่วไปของเส้นตรง

เส้นใดๆ ในระนาบสามารถกำหนดได้โดยสมการลำดับที่หนึ่ง

อา + วู + C = 0,

นอกจากนี้ ค่าคงที่ A, B จะไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน กล่าวคือ A 2 + B 2 ¹ 0 สมการอันดับหนึ่งนี้เรียกว่าสมการทั่วไปของเส้นตรง .

ขึ้นอยู่กับค่า ค่าคงที่ A, Bและ C กรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:

C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - เส้นผ่านจุดเริ่มต้น

A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( โดย + C \u003d 0) - เส้นขนานกับแกน Ox

B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - เส้นขนานกับแกน Oy

B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - เส้นตรงตรงกับแกน Oy

A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - เส้นตรงตรงกับแกน Ox

สมการของเส้นตรงสามารถแสดงเป็น หลากหลายรูปแบบขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด

ให้สองจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ในช่องว่าง จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดเหล่านี้:

หากตัวส่วนใดมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่ตรงกันควรตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ บนระนาบ สมการของเส้นตรงที่เขียนด้านบนนั้นถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ¹ x 2 และ x \u003d x 1 ถ้า x 1 \u003d x 2

เศษส่วน = k เรียกว่า ความชันของเส้นตรง

สมการของเส้นตรงโดยจุดและความชัน

หากสมการทั่วไปของเส้นตรง Axe + Vy + C = 0 นำไปสู่รูปแบบ:

และแสดงว่า สมการที่ได้จึงเรียกว่าสมการเส้นตรงที่มีความชัน k

สมการของเส้นตรงในส่วน

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0 จากนั้นหารด้วย –С เราจะได้: หรือ

ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์คือสัมประสิทธิ์ เอคือพิกัดของจุดตัดของเส้นกับแกน x และ ข- พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกน Oy

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองส่วนของสมการ Ax + Vy + C = 0 หารด้วยจำนวน ซึ่งเรียกว่า Normalizing factor เราก็จะได้

xcosj + ysinj - p = 0 –

สมการปกติของเส้นตรง

ต้องเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ m × С< 0.

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ปล่อยจากจุดกำเนิดไปยังเส้นตรง และ j คือมุมที่เกิดขึ้นจากแนวตั้งฉากนี้กับทิศทางบวกของแกน Ox

มุมระหว่างเส้นบนระนาบ

หากให้สองบรรทัด y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 มุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

เส้นสองเส้นขนานกันถ้า k 1 = k 2 .

สองเส้นตั้งฉากถ้า k 1 = -1/k 2 .

ทฤษฎีบท. เส้นตรง Ax + Vy + C \u003d 0 และ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์ A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB เป็นสัดส่วน ถ้า C 1 = lC ก็เหมือนกัน เส้นจะตรงกัน

พิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้นพบเป็นคำตอบของระบบสมการสองสมการ

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

ทฤษฎีบท. หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ระยะทางไปยังเส้น Axe + Vy + C \u003d 0 ถูกกำหนดเป็น

บรรยาย 5

บทนำสู่การวิเคราะห์ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว

ฟังก์ชั่นจำกัด

ลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

0 a - D a a + D x

รูปที่ 1 ขีด จำกัด ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดในบริเวณใกล้เคียงของจุด x = a (นั่นคือ ที่จุด x = a ตัวมันเอง ฟังก์ชันอาจไม่ถูกกำหนด)

คำนิยาม. จำนวน A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f(x) สำหรับ x®a หาก e>0 มีจำนวน D>0 อยู่ ดังนั้นสำหรับ x ทั้งหมดนั้น

0 < ïx - aï < D

ความไม่เท่าเทียมกัน ïf(x) - Aï< e.

คำจำกัดความเดียวกันสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่แตกต่างกัน:

ถ้า a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

การเขียนลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง:

คำนิยาม.

ถ้า f(x) ® A 1 สำหรับ x ® a เฉพาะสำหรับ x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a แล้วเรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = a ทางด้านขวา

คำจำกัดความข้างต้นหมายถึงกรณีที่ฟังก์ชัน f(x) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุด x = a เอง แต่ถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงเล็กๆ บางแห่งตามอำเภอใจของจุดนี้

ลิมิต A 1 และ A 2 เรียกอีกอย่างว่า ฝ่ายเดียว นอกฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = a ยังกล่าวอีกว่าอา ฟังก์ชั่นจำกัด ฉ(x).

สมการของเส้นตรงบนระนาบ

ดังที่ทราบกันดีว่าจุดใดๆ บนเครื่องบินถูกกำหนดโดยพิกัดสองพิกัดในระบบพิกัดบางระบบ ระบบพิกัดอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นฐานและที่มา

คำนิยาม.สมการเส้นเรียกว่าอัตราส่วน y=f(x ) ระหว่างพิกัดของจุดที่ประกอบเป็นเส้นนี้

โปรดทราบว่าสมการเส้นสามารถแสดงในรูปแบบพาราเมตริก กล่าวคือ แต่ละพิกัดของแต่ละจุดแสดงผ่านพารามิเตอร์อิสระบางตัวt.

ตัวอย่างทั่วไปคือวิถีของจุดเคลื่อนที่ ในกรณีนี้ เวลามีบทบาทเป็นพารามิเตอร์

สมการของเส้นตรงบนระนาบ

คำนิยาม. เส้นใดๆ ในระนาบสามารถกำหนดได้โดยสมการลำดับที่หนึ่ง

อา + วู + C = 0,

นอกจากนี้ ค่าคงที่ A, B จะไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน กล่าวคือ A 2 + B 2¹ 0. สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า สมการทั่วไปของเส้นตรง

ขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ A, B และ C กรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - เส้นผ่านจุดเริ่มต้น

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( โดย + C \u003d 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( ขวาน + C = 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Oy

B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - เส้นตรงกับแกน Oy

A = C = 0, B ¹ 0 - เส้นตรงกับแกนวัว

สมการของเส้นตรงสามารถนำเสนอในรูปแบบต่างๆ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

ทฤษฎีบท. หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ระยะทางไปยังเส้น Axe + Vy + C \u003d 0 ถูกกำหนดเป็น

.

การพิสูจน์. ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่หลุดจากจุด M ไปยังเส้นที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

(1)

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถพบได้เป็นคำตอบของระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

ถ้าเราแปลงสมการแรกของระบบเป็นรูปแบบ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

แล้วแก้ได้:

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างเส้น: y=-3x+7; y = 2 x + 1

K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; เจ = พี /4

ตัวอย่าง.แสดงว่าเส้น 3x - 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y - 3 = 0 ตั้งฉากกัน

ค้นหา: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1 ดังนั้นเส้นจึงตั้งฉาก

ตัวอย่าง.จากจุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B(6;5),C (12; -1). หาสมการความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

ในบทความที่แล้ว เราได้พิจารณาประเด็นหลักเกี่ยวกับหัวข้อของเส้นตรงบนระนาบ ตอนนี้ มาต่อกันที่การศึกษาสมการของเส้นตรง: พิจารณาว่าสมการใดที่เรียกว่าสมการของเส้นตรงได้ และสมการของเส้นตรงที่มีรูปแบบใดในระนาบ

Yandex.RTB R-A-339285-1

นิยามสมการเส้นตรงในระนาบ

สมมุติว่ามีเส้นตรงที่กำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า O x y

คำจำกัดความ 1

เส้นตรง- นี่คือ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยจุด แต่ละจุดมีพิกัดของตัวเองตาม abscissa และแกนพิกัด สมการที่อธิบายการพึ่งพาพิกัดของแต่ละจุดของเส้นตรงในระบบคาร์ทีเซียน O x y เรียกว่าสมการเส้นตรงบนระนาบ

อันที่จริง สมการของเส้นตรงในระนาบคือสมการที่มีตัวแปรสองตัว ซึ่งแสดงเป็น x และ y สมการจะกลายเป็นเอกลักษณ์เมื่อแทนที่ค่าของจุดใด ๆ ของเส้นตรง

มาดูกันว่าสมการของเส้นตรงในระนาบจะมีรูปแบบใด นี่จะเป็นจุดสนใจของส่วนถัดไปของบทความของเรา โปรดทราบว่ามีหลายตัวเลือกสำหรับการเขียนสมการของเส้นตรง สิ่งนี้อธิบายได้จากการมีอยู่หลายวิธีในการกำหนดเส้นตรงบนระนาบ และจากลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันของงาน

มาทำความรู้จักกับทฤษฎีบทที่กำหนดรูปแบบของสมการเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x y กัน

ทฤษฎีบท 1

สมการของรูปแบบ A x + B y + C = 0 โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร และ A, B และ C เป็นจำนวนจริงบางจำนวน ซึ่ง A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ กำหนดเส้นตรงใน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x y . ในทางกลับกัน เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถกำหนดได้โดยสมการของรูปแบบ A x + B y + C = 0 .

ดังนั้น สมการทั่วไปของเส้นตรงในระนาบจึงมีรูปแบบ A x + B y + C = 0 .

ให้เราอธิบายประเด็นสำคัญบางประการของหัวข้อนี้

ตัวอย่าง 1

ดูภาพวาด

เส้นในรูปวาดถูกกำหนดโดยสมการของรูปแบบ 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 เนื่องจากพิกัดของจุดใดๆ ที่ประกอบเป็นเส้นนี้เป็นไปตามสมการข้างต้น ในเวลาเดียวกัน จำนวนจุดหนึ่งในระนาบที่กำหนดโดยสมการ 2 x + 3 y - 2 = 0 ให้เส้นตรงที่เราเห็นในรูป

สมการทั่วไปของเส้นตรงจะสมบูรณ์หรือไม่สมบูรณ์ก็ได้ ในสมการที่สมบูรณ์ ตัวเลข A, B และ C ทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ ในกรณีอื่นๆ สมการถือว่าไม่สมบูรณ์ สมการของรูปแบบ A x + B y = 0 กำหนดเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด ถ้า A เป็นศูนย์ สมการ A x + B y + C = 0 จะกำหนดเส้นตรงขนานกับแกน x O x ถ้า B เท่ากับศูนย์ เส้นนั้นจะขนานกับแกนพิกัด O y

สรุป: สำหรับชุดค่าของตัวเลข A, B และ C จำนวนหนึ่ง โดยใช้สมการทั่วไปของเส้นตรง คุณสามารถเขียนเส้นตรงใดๆ บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y

เส้นที่กำหนดโดยสมการของรูปแบบ A x + B y + C = 0 มีเวกเตอร์เส้นตั้งฉากที่มีพิกัด A , B

สมการเส้นที่กำหนดทั้งหมด ซึ่งเราจะพิจารณาด้านล่าง สามารถหาได้จากสมการทั่วไปของเส้น กระบวนการย้อนกลับยังเป็นไปได้ เมื่อสมการใดๆ ที่พิจารณาแล้วสามารถลดลงเป็นสมการทั่วไปของเส้นตรงได้

คุณสามารถเข้าใจความแตกต่างทั้งหมดของหัวข้อในบทความ "สมการทั่วไปของเส้นตรง" ในเนื้อหา เราได้จัดเตรียมการพิสูจน์ทฤษฎีบทพร้อมภาพประกอบกราฟิกและการวิเคราะห์ตัวอย่างโดยละเอียด ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของเส้นตรงไปเป็นสมการประเภทอื่นๆ และในทางกลับกัน

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ มีรูปแบบ x a + y b = 1 โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข a และ b เท่ากับความยาวของส่วนที่ตัดด้วยเส้นตรงบนแกนพิกัด ความยาวของเซกเมนต์วัดจากจุดกำเนิดของพิกัด

ด้วยสมการนี้ คุณจึงสามารถวาดเส้นตรงบนภาพวาดได้อย่างง่ายดาย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องทำเครื่องหมายจุด a, 0 และ 0, b ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แล้วเชื่อมต่อด้วยเส้นตรง

ตัวอย่าง 2

มาสร้างเส้นตรงซึ่งกำหนดโดยสูตร x 3 + y - 5 2 = 1 เราทำเครื่องหมายสองจุดบนกราฟ 3 , 0 , 0 , - 5 2 เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน

สมการเหล่านี้ซึ่งมีรูปแบบ y = k · x + b น่าจะเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับเราจากหลักสูตรพีชคณิต ในที่นี้ x และ y เป็นตัวแปร k และ b เป็นจำนวนจริง โดยที่ k คือความชัน ในสมการเหล่านี้ ตัวแปร y เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ x

ให้คำจำกัดความของความชันผ่านคำจำกัดความของมุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน O x .

คำจำกัดความ 2

เพื่อแสดงมุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน O x ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เราแนะนำค่าของมุม α มุมวัดจากทิศทางบวกของแกน x ถึงเส้นตรงทวนเข็มนาฬิกา มุม α จะถือเป็นศูนย์หากเส้นขนานกับแกน O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

ความชันของเส้นตรงคือค่าแทนเจนต์ของความชันของเส้นตรงนั้น มันถูกเขียนดังนี้ k = t ก. α . สำหรับเส้นตรงที่ขนานกับแกน O y หรือเส้นตรง มันเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนสมการของเส้นตรงที่มีความชัน เนื่องจากความชันในกรณีนี้จะกลายเป็นอนันต์ (ไม่มีอยู่จริง)

เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ y = k x + b ผ่านจุด 0, b บนแกน y ซึ่งหมายความว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y \u003d k x + b กำหนดเส้นตรงบนระนาบที่ผ่านจุด 0, b และสร้างมุม α ที่มีทิศทางบวกของแกน O x และ k \u003d t ก. α.

ตัวอย่างที่ 3

ลองวาดเส้นตรงซึ่งกำหนดโดยสมการของรูปแบบ y = 3 · x - 1 .

เส้นนี้ต้องผ่านจุด (0 , - 1) มุมเอียง α = a r c t g 3 = π 3 เท่ากับ 60 องศากับทิศทางบวกของแกน O x ความชันคือ3

โปรดทราบว่าการใช้สมการของเส้นตรงที่มีความชันจะสะดวกมากในการหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

เนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้สามารถพบได้ในบทความ "สมการของเส้นที่มีความชัน" นอกจากทฤษฎีแล้ว ยังมีตัวอย่างกราฟิกจำนวนมากและการวิเคราะห์งานโดยละเอียดอีกด้วย

สมการประเภทนี้มีรูปแบบ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y โดยที่ x 1, y 1, a x, a y เป็นจำนวนจริงบางจำนวน ซึ่ง a x และ a y ไม่เท่ากับศูนย์

เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการมาตรฐานของเส้นตรงผ่านจุด M 1 (x 1 , y 1) ตัวเลข a x และ y ในตัวส่วนของเศษส่วนคือพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ซึ่งหมายความว่าสมการบัญญัติของเส้นตรง x - x 1 a x = y - y 1 a y ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x y สอดคล้องกับเส้นที่ผ่านจุด M 1 (x 1 , y 1) และมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) .

ตัวอย่างที่ 4

ลากเส้นตรงในระบบพิกัด O x y ซึ่งได้จากสมการ x - 2 3 = y - 3 1 . จุด M 1 (2 , 3) ​​​​เป็นของเส้นตรง เวกเตอร์ a → (3 , 1) เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้

สมการเส้นตรงตามรูปแบบบัญญัติของรูปแบบ x - x 1 a x = y - y 1 a y สามารถใช้ในกรณีที่ x หรือ a y เป็นศูนย์ การมีอยู่ของศูนย์ในตัวส่วนทำให้สัญกรณ์ x - x 1 a x = y - y 1 a y มีเงื่อนไข สมการสามารถเขียนได้ดังนี้ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .

ในกรณีที่ a x \u003d 0 สมการบัญญัติของเส้นตรงอยู่ในรูปแบบ x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y และกำหนดเส้นตรงที่ขนานกับแกนกำหนดหรือตรงกับแกนนี้

สมการบัญญัติของเส้นตรง โดยมีเงื่อนไขว่า a y \u003d 0 อยู่ในรูปแบบ x - x 1 a x \u003d y - y 1 0 สมการดังกล่าวกำหนดเส้นตรงขนานกับแกน x หรือประจวบกับมัน

เนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อของสมการมาตรฐานของเส้นตรง ดูที่นี่ ในบทความ เรามีวิธีแก้ไขปัญหามากมาย รวมถึงตัวอย่างมากมายที่ช่วยให้คุณเชี่ยวชาญในหัวข้อได้ดียิ่งขึ้น

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบ

สมการเหล่านี้มีรูปแบบ x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ โดยที่ x 1, y 1, a x, a y เป็นจำนวนจริงบางจำนวน ซึ่ง x และ a y ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ในเวลาเดียวกัน เวลา. มีการแนะนำพารามิเตอร์เพิ่มเติม λ ในสูตร ซึ่งสามารถรับค่าจริงใดๆ ก็ได้

จุดประสงค์ของสมการพาราเมทริกคือเพื่อสร้างความสัมพันธ์โดยปริยายระหว่างพิกัดของจุดที่เป็นเส้นตรง สำหรับสิ่งนี้ พารามิเตอร์ λ ถูกนำมาใช้

ตัวเลข x , y คือพิกัดของบางจุดบนเส้น คำนวณโดยสมการพาราเมตริกของเส้นตรงสำหรับค่าจริงของพารามิเตอร์ λ

ตัวอย่างที่ 5

สมมติว่า λ = 0 .

จากนั้น x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1 นั่นคือจุดที่มีพิกัด (x 1, y 1) เป็นของเส้น

เราดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ a x และ a y ด้วยพารามิเตอร์ λ ในสมการประเภทนี้คือพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 6

พิจารณาสมการเส้นตรงแบบพาราเมตริกของรูปแบบ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนผ่านจุด (x 1 , y 1) และมีเวกเตอร์กำกับ a → = (3 , 1) .

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูบทความ "สมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบ"

สมการปกติของเส้นตรงมีรูปแบบคือ A x + B y + C = 0 โดยที่ตัวเลข A, B และ C มีค่าเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ n → = (A , B) เท่ากับหนึ่ง และ C ≤ 0

เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง ที่กำหนดโดยสมการปกติของเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y คือเวกเตอร์ n → = (A ,   B) เส้นนี้ผ่านที่ระยะทาง C จากจุดกำเนิดในทิศทางของเวกเตอร์ n → = (A , B)

อีกวิธีในการเขียนสมการตั้งฉากของเส้นตรงคือ cos α x + cos β y - p = 0 โดยที่ cos α และ cos β เป็นจำนวนจริงสองจำนวนที่เป็นทิศทางโคไซน์ของเวกเตอร์ปกติของความยาวหน่วยของเส้นตรง ซึ่งหมายความว่า n → = (cos α , cos β) ความเท่าเทียมกัน n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 เป็นจริง ค่า p ≥ 0 และเท่ากับระยะทางจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง

ตัวอย่าง 7

พิจารณาสมการทั่วไปของเส้นตรง - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . สมการทั่วไปของเส้นตรงนี้เป็นสมการปกติของเส้นตรง เนื่องจาก n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 และ C = - 3 ≤ 0 .

สมการกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 0xy ซึ่งเป็นเวกเตอร์ปกติที่มีพิกัด - 1 2 , 3 2 . เส้นจะถูกลบออกจากจุดเริ่มต้นโดย 3 หน่วยในทิศทางของเวกเตอร์ปกติ n → = - 1 2 , 3 2 .

เราดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าสมการปกติของเส้นตรงบนระนาบช่วยให้คุณหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงบนระนาบได้

หากในสมการทั่วไปของเส้น A x + B y + C \u003d 0 ตัวเลข A, B และ C เป็นสมการ A x + B y + C \u003d 0 ไม่ใช่สมการปกติของเส้น สามารถลดขนาดให้อยู่ในรูปปกติได้ อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความ "สมการปกติของเส้น"

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

พิจารณาความสัมพันธ์ของรูป F(x, y)=0การเชื่อมโยงตัวแปร xและ ที่. ความเท่าเทียมกัน (1) จะถูกเรียกว่า สมการที่มีสองตัวแปร x, y,หากความเท่าเทียมกันนี้ไม่เป็นจริงสำหรับจำนวนคู่ทั้งหมด Xและ ที่. ตัวอย่างสมการ: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,

บาป x + บาป y - 1 = 0

ถ้า (1) เป็นจริงสำหรับทุกคู่ของตัวเลข x และ y จะเรียกว่า ตัวตน. ตัวอย่างข้อมูลประจำตัว: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0

สมการ (1) จะเรียกว่า สมการของเซตของคะแนน (x; y)ถ้าสมการนี้เป็นไปตามพิกัด Xและ ที่จุดใดๆ ของเซตและไม่เป็นไปตามพิกัดของจุดที่ไม่ได้เป็นของเซตนี้

แนวคิดที่สำคัญในเรขาคณิตวิเคราะห์คือแนวคิดของสมการของเส้นตรง ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและเส้นบางเส้น α.

คำนิยาม.สมการ (1) เรียกว่าสมการเส้นตรง α (ในระบบพิกัดที่สร้างขึ้น) ถ้าสมการนี้เป็นไปตามพิกัด Xและ ที่จุดใดก็ได้บนเส้น α และไม่เป็นไปตามพิกัดของจุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนี้

ถ้า (1) เป็นสมการเส้นตรง α, แล้วเราจะบอกว่าสมการนั้น (1) กำหนด (ชุด)ไลน์ α.

เส้น α สามารถกำหนดได้ไม่เพียงแค่สมการของรูปแบบ (1) เท่านั้น แต่ยังกำหนดโดยสมการของรูปแบบด้วย

F(P, φ) = 0ซึ่งประกอบด้วยพิกัดเชิงขั้ว

• สมการของเส้นตรงที่มีความชัน

ให้เส้นตรงบางเส้นไม่ตั้งฉากกับแกน โอ้. โทรมาเลย มุมเอียงเส้นที่กำหนดให้กับแกน โอ้มุม α โดยการหมุนแกน โอ้เพื่อให้ทิศทางบวกตรงกับทิศทางหนึ่งของเส้นตรง แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน โอ้เรียกว่า ปัจจัยความชันเส้นตรงนี้และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ถึง.

	K=tg α
		(1)

เราจะได้สมการของเส้นตรงนี้, ถ้าเรารู้ค่าของมัน ถึงและค่าในส่วน OVซึ่งเธอตัดออกบนแกน OU.

(2)

y=kx+b

แสดงโดย เอ็ม"จุดขึ้นเครื่องบิน (x; y).ถ้าวาดตรง BNและ NM, ขนานกับแกน แล้ว ร BNM -สี่เหลี่ยม ต. เอ็มซี ซี บีเอ็ม <=>เมื่อค่า NMและ BNตรงตามเงื่อนไข: . แต่ NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> เมื่อให้ (1) เราก็ได้จุดนั้น M (x; y) Cทางสายนี้<=>เมื่อพิกัดเป็นไปตามสมการ: =>

สมการ (2) เรียกว่า สมการเส้นตรงที่มีความชันถ้า K=0แล้วเส้นจะขนานกับแกน โอ้และสมการของมันคือ y = ข

• สมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด

(4)

ให้สองแต้ม ม 1 (x 1; y 1)และ ม 2 (x 2; y 2)ได้รับใน (3) จุด ม (x; y)ต่อ ม 2 (x 2; y 2),เราได้รับ y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1)นิยาม kจากความเท่าเทียมกันสุดท้ายและแทนที่มันเป็นสมการ (3) เราได้รับสมการที่ต้องการของเส้นตรง: . นี่คือสมการ if y 1 ≠ y 2, สามารถเขียนได้ดังนี้:

ถ้า y 1 = y 2แล้วสมการของเส้นตรงที่ต้องการจะมีรูปแบบ y = y 1. ในกรณีนี้ เส้นขนานกับแกน โอ้. ถ้า x 1 = x 2แล้วเส้นที่ผ่านจุด M 1และ M2ขนานกับแกน OU, สมการของมันมีรูปแบบ x = x 1.

• สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดด้วยความชันที่กำหนด

(3)

ขวาน + โดย + C = 0

ทฤษฎีบท.ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม โอฮูเส้นตรงใด ๆ ถูกกำหนดโดยสมการของดีกรีแรก:

และในทางกลับกัน สมการ (5) สำหรับสัมประสิทธิ์โดยพลการ A, B, C (แต่และ บี ≠ 0พร้อมกัน) กำหนดเส้นบางเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อู๋.

การพิสูจน์.

ให้เราพิสูจน์การยืนยันครั้งแรกก่อน ถ้าเส้นไม่ตั้งฉาก โอ้,แล้วมันถูกกำหนดโดยสมการของดีกรีแรก: y = kx + b, เช่น. สมการของรูปแบบ (5) โดยที่

A=k, B=-1และ ค = ขถ้าเส้นตั้งฉาก โอ้,แล้วแต้มทั้งหมดของมันมี abscissa เท่ากันกับค่า α ส่วนที่ตัดด้วยเส้นตรงบนแกน โอ้.

สมการของเส้นนี้มีรูปแบบ x = α,เหล่านั้น. เป็นสมการดีกรีที่หนึ่งของรูปแบบ (5) โดยที่ A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α.นี่เป็นการพิสูจน์การยืนยันครั้งแรก

มาพิสูจน์กัน ข้อความสนทนา. ให้สมการ (5) ถูกกำหนดและอย่างน้อยหนึ่งสัมประสิทธิ์ แต่และ บี ≠ 0.

ถ้า บี ≠ 0จากนั้น (5) สามารถเขียนเป็น . ลาด , เราได้สมการ y = kx + b, เช่น. สมการของรูปแบบ (2) ที่กำหนดเส้นตรง

ถ้า B = 0, แล้ว เอ ≠ 0และ (5) ใช้แบบฟอร์ม . หมายถึงผ่าน α, เราได้รับ

x = α, เช่น. สมการของเส้นตรงตั้งฉาก Ox

เส้นที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยสมการของดีกรีแรกเรียกว่า บรรทัดคำสั่งแรก

พิมพ์สมการ อา + อู๋ + C = 0ไม่สมบูรณ์ กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับศูนย์

1) ค = 0; อา + อู๋ = 0และกำหนดเส้นผ่านจุดกำเนิด

2) B = 0 (A ≠ 0); สมการ ขวาน + C = 0 อ.

3) A = 0 (B ≠ 0); วู + C = 0และกำหนดเส้นขนาน โอ้.

สมการ (6) เรียกว่าสมการของเส้นตรง "ในส่วน" ตัวเลข เอและ ขคือค่าของส่วนที่เส้นตรงตัดบนแกนพิกัด สมการรูปแบบนี้สะดวกสำหรับการสร้างเส้นตรงทางเรขาคณิต

• สมการปกติของเส้นตรง

Аx + Вy + С = 0 คือสมการทั่วไปของเส้นตรงบางเส้น และ (5) x cos α + y บาป α – p = 0(7)

สมการปกติของมัน

เนื่องจากสมการ (5) และ (7) กำหนดเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้น ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0และ

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) สัมประสิทธิ์ของสมการเหล่านี้เป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าโดยการคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการ (5) ด้วยปัจจัย M เราจะได้สมการ MA x + MB y + MS = 0ประจวบกับสมการ (7) คือ

MA = cos α, MB = บาป α, MC = - P(8)

ในการหาตัวประกอบ M เรายกกำลังสองตัวแรกของความเท่าเทียมกันเหล่านี้แล้วบวก:

M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + บาป 2 α \u003d 1

(9)