Formule a definição de um cone truncado de seus elementos. Tronco
Superfície cônicaé a superfície formada por todas as retas que passam por cada ponto de uma determinada curva e por um ponto fora da curva (Fig. 32).
Esta curva é chamada guia , direto - formando , ponto - principal superfície cônica.
Superfície cônica circular retaé a superfície formada por todas as retas que passam por cada ponto de um determinado círculo e um ponto de uma reta que é perpendicular ao plano do círculo e passa pelo seu centro. A seguir chamaremos brevemente esta superfície superfície cônica (Fig. 33).
Cone (cone circular reto ) é um corpo geométrico delimitado por uma superfície cônica e um plano paralelo ao plano do círculo guia (Fig. 34).
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Arroz. 32 Fig. 33 Fig. 34
Um cone pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos catetos do triângulo.
O círculo que envolve um cone é chamado de base . O vértice de uma superfície cônica é chamado principal cone O segmento que liga o vértice de um cone ao centro de sua base é denominado altura cone Os segmentos que formam uma superfície cônica são chamados formando cone Eixo de um cone é uma linha reta que passa pelo topo do cone e pelo centro de sua base. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo do cone. Desenvolvimento da superfície lateral Um cone é chamado de setor, cujo raio é igual ao comprimento da geratriz do cone, e o comprimento do arco do setor é igual à circunferência da base do cone.
As fórmulas corretas para um cone são:
Onde R– raio da base;
H- altura;
eu– comprimento da geratriz;
base S– área base;
Lado S
Está cheio
V– volume do cone.
Cone truncado chamada de parte do cone delimitada entre a base e o plano de corte paralelo à base do cone (Fig. 35).
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Um cone truncado pode ser considerado um corpo obtido pela rotação de um trapézio retangular em torno de um eixo que contém o lado do trapézio perpendicular às bases.
Os dois círculos que circundam um cone são chamados de razões . Altura de um cone truncado é a distância entre suas bases. Os segmentos que formam a superfície cônica de um cone truncado são chamados formando . Uma linha reta que passa pelos centros das bases é chamada eixo cone truncado. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo de um cone truncado.
Para um cone truncado as fórmulas corretas são:
(8)
Onde R– raio da base inferior;
R– raio da base superior;
H– altura, l – comprimento da geratriz;
Lado S– superfície lateral;
Está cheio– área superficial total;
V– volume de um cone truncado.
Exemplo 1. A seção transversal do cone paralela à base divide a altura na proporção de 1:3, contando a partir do topo. Encontre a área da superfície lateral de um cone truncado se o raio da base e a altura do cone forem 9 cm e 12 cm.
Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 36).
Para calcular a área da superfície lateral de um cone truncado, utilizamos a fórmula (8). Vamos encontrar os raios das bases Cerca de 1 A E Cerca de 1V e formando AB.
Considere triângulos semelhantes SO2B E ASSIM 1A, coeficiente de similaridade, então 
Daqui 
Desde então 
A área da superfície lateral de um cone truncado é igual a:
Responder: .
Exemplo 2. Um quarto de círculo de raio é dobrado em uma superfície cônica. Encontre o raio da base e a altura do cone.
Solução. O quadrante do círculo é o desenvolvimento da superfície lateral do cone. Vamos denotar R– raio da sua base, H- altura. Vamos calcular a área da superfície lateral usando a fórmula: . É igual à área de um quarto de círculo: . Obtemos uma equação com duas incógnitas R E eu(formando um cone). Neste caso, a geratriz é igual ao raio do quarto de círculo R, o que significa que obtemos a seguinte equação: , de onde Conhecendo o raio da base e do gerador, encontramos a altura do cone:
Responder: 2 cm, .
Exemplo 3. Um trapézio retangular com ângulo agudo de 45 O, base menor de 3 cm e lado inclinado igual a , gira em torno do lado perpendicular às bases. Encontre o volume do corpo de revolução resultante.
Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 37).
Como resultado da rotação obtemos um cone truncado, para encontrar seu volume calculamos o raio da base maior e a altura; No trapézio O 1 O 2 AB nós conduziremos AC ^ O 1 B. B temos: isso significa que este triângulo é isósceles A.C.=a.C.=3 cm.
Responder:
Exemplo 4. Um triângulo com lados de 13 cm, 37 cm e 40 cm gira em torno de um eixo externo, que é paralelo ao lado maior e localizado a uma distância de 3 cm dele (o eixo está localizado no plano do triângulo). Encontre a área da superfície do corpo de revolução resultante.
Solução
.
Vamos fazer um desenho (Fig. 38).
A superfície do corpo de revolução resultante consiste nas superfícies laterais de dois cones truncados e na superfície lateral de um cilindro. Para calcular essas áreas é necessário conhecer os raios das bases dos cones e do cilindro ( SER E O.C.), formando cones ( a.C. E A.C.) e altura do cilindro ( AB). A única incógnita é CO. 
esta é a distância do lado do triângulo ao eixo de rotação. Nós vamos encontrar CC. A área do triângulo ABC de um lado é igual ao produto da metade do lado AB pela altitude desenhada para ele CC, por outro lado, conhecendo todos os lados do triângulo, calculamos sua área pela fórmula de Heron.
Introdução
Arroz. 1. Objetos da vida que têm a forma de um ko-nu-sa truncado
De onde você acha que vêm as novas figuras na geometria? É tudo muito simples: uma pessoa na vida fica com objetos semelhantes e vem, como se os chamasse. Vejamos o armário em que sentam os leões do circo, um pedaço de cenoura que é colhido quando estamos quase -uma parte dele, um vulcão ativo e, por exemplo, a luz do fo-na-ri- ka (ver Fig. 1).
Cone truncado, seus elementos e seção axial
Arroz. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry
Vemos que todas essas figuras têm uma forma semelhante - tanto por baixo quanto por cima são delimitadas por círculos, mas se estreitam em direção ao topo ( veja a Fig. 2).
Arroz. 3. Da parte superior do co-nu-sa
Parece um cone. Apenas não há segredo suficiente. Imaginamos mentalmente que pegamos um cone e removemos a parte superior dele com um golpe de uma espada afiada (ver Fig. 3).
Arroz. 4. Cone truncado
Esta é exatamente a nossa figura; é chamada de cone truncado (ver Fig. 4).
Arroz. 5. Se-che-nie, paralelo-os-no-va-niyu ko-nu-sa
Deixe um cone ser dado. Vamos criar um plano, um plano paralelo ao eixo deste co-nu-sa e um cone transversal (ver Fig. 5).
Isso dividirá o cone em dois corpos: um deles é um cone menor e o segundo é chamado de cone truncado ( veja a Fig. 6).
Arroz. 6. Corpos obtidos em seção paralela
Assim, um cone truncado é uma parte do cone conectada entre seu corpo principal e o corpo principal paralelo, mas plano. Como no caso de um cone, um cone truncado pode ter um círculo como base - neste caso é chamado de círculo. Se o cone original era reto, o cone truncado é chamado de reto. Como no caso de ko-nu-sa-mi, consideraremos as chaves, mas ko-nu-s sy truncado circular reto, se não for especificamente indicado que estamos falando de um co-nu-se truncado indireto ou em sua base não há círculos.
Arroz. 7. Rotação de uma armadilha retangular
Nosso tema global são corpos em rotação. Um cone truncado não é exceção! Lembremos que para obter um co-nu-sa, smo-mat-ri-va-li um triângulo retângulo e giramos em torno de ka-te-ta? Se o cone resultante for cortado com um plano paralelo ao eixo, não restará nenhuma linha reta do triângulo -mo-coal-trape-tion. A sua rotação em torno do lado menor nos dará um cone truncado. Notemos novamente que estamos, obviamente, falando apenas de um co-nu-se circular direto (ver Fig. 7).
Arroz. 8. Os-no-va-niya truncado-no-go ko-nu-sa
Farei alguns preparativos. A base do meio-ko-nu-sa e do círculo, meio-cha-yu-shay na seção do plano ko-nu-sa, em- eles chamam de os-no-va-ni-ya-mi truncado ko-nu-sa (inferior e superior) (ver Fig. 8).
Arroz. 9. Ob-ra-zu-yu-schi ko-nu-sa truncado
Dos cortes da metade ra-zu-yu-shih do co-nu-sa, conectado entre o os-but-va-ni-mi truncado-mas-go ko-nu-sa, eles chamam about-ra- zu-yu-schi-mi truncado-no-go ko-nu-sa. Uma vez que todos os resultados educacionais são iguais e todos os resultados educacionais são iguais, então os co-nu-sa truncados ob-ra-zu-yu são iguais (não confunda o truncado e o truncado!). A partir daqui segue a igualdade da tra-pe-ção do eixo da seção (ver Fig. 9).
Do eixo de rotação encerrado dentro do co-nu-sa truncado, eles o chamam de eixo do eixo truncado ko-nu-sa. Este recorte, ra-zu-me-et-sya, une os centros de seus fundamentos (ver Fig. 10).
Arroz. 10. Eixo de ko-nu-sa truncado
You-so-ta truncado ko-nu-sa é um per-pen-di-ku-lyar, pro-ve-den do ponto de um dos os-no-van-niya para outra base. Na maioria das vezes, na sua qualidade, você truncou seu eixo.
Arroz. 11. Ose-voe se-che-nie truncado-no-go-ko-nu-sa
A seção axial de um co-nu-sa truncado é a seção que passa por seu eixo. Tem a forma de um trapézio, um pouco mais tarde mostraremos sua igualdade (ver Fig. 11).
Áreas das superfícies lateral e total de um cone truncado
Arroz. 12. Cone com símbolos introduzidos
Vamos encontrar a área do bo-co-voy no topo do ko-nu-sa truncado. Deixe as bases do co-nu-sa truncado terem raios e , e deixe o ob-ra-zu-yu ser igual (ver Fig. 12).
Arroz. 13. Designação do ob-ra-zu-yu-shchei de-se-chen-no-th ko-nu-sa
Vamos encontrar a área do bo-ko-voy no topo do co-nu-sa truncado como a diferença na área dos bo-ko-voys no topo-mas-ste-khod-no-go ko-nu-sa e from-se-chen-no-go. Para fazer isso, denotamos através da formação do ko-nu-sa (ver Fig. 13).
Então é-ko-may.
Arroz. 14. Triângulos semelhantes
Tudo o que resta é você descobrir.
Observemos que de po-do-biy tri-corn-ni-kov, from-to-da (ver Fig. 14).
Seria possível expressar isso dividindo-o pela diferença entre os raios, mas não precisamos disso, porque no presente caso é precisamente o fig-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de- não. Substituindo em vez disso, finalmente temos: .
Agora não é difícil obter uma forma para uma área de superfície completa. Para fazer isso, some exatamente a área dos dois círculos das bases: .
Tarefa
Arroz. 15. Ilustração para for-da-che
Deixe o cone truncado ser girado por uma armadilha retangular em torno de sua altura. A linha média do trapézio é igual a , e o lado maior é igual a (ver Fig. 15). Encontre a área do bo-co-voy no topo-no-sti do ko-nu-sa truncado.
Solução
Pela fórmula sabemos que 
.
A formação do ko-nu-sa será uma grande tra-pe-ção de cem ro-on-go, ou seja, Ra-di-u-sy ko-well-sa - esta é a base da tra- pe-ção. Não podemos encontrá-los. Mas não precisamos disso: precisamos apenas da soma deles, e a soma das bases de um trapézio é duas vezes maior que sua linha média, ou seja, é igual a . Então .
Semelhanças entre cones truncados e pirâmides
Preste atenção ao fato de que quando falamos de co-nu-se, falamos sobre isso entre ele e pi -ra-mi-doy - as fórmulas eram análogas. É o mesmo aqui, porque um cone truncado é muito semelhante a um pi-ra-mi-du truncado, então as fórmulas para a área são grandes e completas, ko-nu-sa truncado e pi-ra-mi -dy (e em breve haverá fórmulas para volume) analógico-lógico-nós.
Tarefa
Arroz. 1. Ilustração para za-da-che
Os ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa são iguais a e, e o ob-ra-zu-yu-shchaya é igual a. Encontre o co-nu-sa truncado e a área de seu eixo (ver Fig. 1).
Que emanam de um ponto (o topo do cone) e que passam por uma superfície plana.
Acontece que um cone é uma parte de um corpo que possui volume limitado e é obtido pela combinação de cada segmento que conecta o vértice e os pontos de uma superfície plana. Este último, neste caso, é base do cone, e diz-se que o cone está apoiado nesta base.
Quando a base de um cone é um polígono, já está pirâmide .
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Cone circular- este é um corpo constituído por um círculo (a base do cone), um ponto que não está no plano deste círculo (o topo do cone e todos os segmentos que conectam o topo do cone com os pontos do base). Os segmentos que conectam o vértice do cone e os pontos do círculo base são chamados formando um cone. A superfície do cone consiste em uma base e uma superfície lateral. |
A área da superfície lateral está correta n-uma pirâmide de carbono inscrita em um cone:
S n =½P n l n,
Onde Pn- o perímetro da base da pirâmide, e eu n- apótema.
Pelo mesmo princípio: para a área da superfície lateral de um cone truncado com raios de base R1, R2 e formando eu obtemos a seguinte fórmula:
S=(R 1 +R 2)eu.
Cones circulares retos e oblíquos com base e altura iguais. Esses corpos têm o mesmo volume:
Propriedades de um cone.
- Quando a área da base tem limite, significa que o volume do cone também tem limite e é igual à terça parte do produto da altura pela área da base.
Onde S- área de base, H- altura.
Assim, cada cone que repousa sobre esta base e possui um vértice que está localizado em um plano paralelo à base tem volume igual, pois suas alturas são iguais.
- O centro de gravidade de cada cone com volume limite está localizado a um quarto da altura da base.
- O ângulo sólido no vértice de um cone circular reto pode ser expresso pela seguinte fórmula:
Onde α - ângulo de abertura do cone.
- A área da superfície lateral de tal cone, fórmula:
e a área superficial total (ou seja, a soma das áreas da superfície lateral e da base), a fórmula:
S=πR(l+R),
Onde R— raio da base, eu— comprimento da geratriz.
- Volume de um cone circular, fórmula:
- Para um cone truncado (não apenas reto ou circular), volume, fórmula:
Onde S1 E S2- área das bases superior e inferior,
h E H- distâncias do plano da base superior e inferior ao topo.
- A intersecção de um plano com um cone circular reto é uma das seções cônicas.
A geometria é um ramo da matemática que estuda as estruturas no espaço e as relações entre elas. Por sua vez, também é composto por seções, sendo uma delas a estereometria. Envolve o estudo das propriedades de figuras tridimensionais localizadas no espaço: cubo, pirâmide, bola, cone, cilindro, etc.
Um cone é um corpo no espaço euclidiano que é limitado por uma superfície cônica e pelo plano no qual se encontram as extremidades de seus geradores. Sua formação ocorre durante a rotação de um triângulo retângulo em torno de qualquer um de seus catetos, portanto pertence a corpos de revolução.
Componentes de um cone
Existem os seguintes tipos de cones: oblíquos (ou inclinados) e retos. Oblíquo é aquele cujo eixo não cruza o centro de sua base em ângulo reto. Por isso, a altura desse cone não coincide com o eixo, pois se trata de um segmento que desce do topo do corpo até o plano de sua base em um ângulo de 90°.
O cone cujo eixo é perpendicular à sua base é denominado reto. O eixo e a altura em tal corpo geométrico coincidem devido ao fato de o vértice nele estar localizado acima do centro do diâmetro da base.
O cone consiste nos seguintes elementos:
- O círculo que é sua base.
- Superfície lateral.
- Um ponto que não está no plano da base é chamado de vértice do cone.
- Segmentos que conectam os pontos do círculo da base de um corpo geométrico e seu vértice.
Todos esses segmentos são geradores do cone. Eles estão inclinados em relação à base do corpo geométrico e, no caso de um cone reto, suas projeções são iguais, pois o vértice é equidistante dos pontos do círculo da base. Assim, podemos concluir que em um cone regular (reto) os geradores são iguais, ou seja, possuem o mesmo comprimento e formam os mesmos ângulos com o eixo (ou altura) e a base.
Como em um corpo de rotação oblíquo (ou inclinado) o vértice é deslocado em relação ao centro do plano base, os geradores em tal corpo têm comprimentos e projeções diferentes, uma vez que cada um deles está a uma distância diferente de quaisquer dois pontos de o círculo da base. Além disso, os ângulos entre eles e a altura do cone também serão diferentes.
Comprimento das geratrizes em um cone reto
Conforme escrito anteriormente, a altura em um corpo geométrico reto de rotação é perpendicular ao plano da base. Assim, a geratriz, a altura e o raio da base criam um triângulo retângulo no cone.
Ou seja, conhecendo o raio e a altura da base, utilizando a fórmula do teorema de Pitágoras, pode-se calcular o comprimento da geratriz, que será igual à soma dos quadrados do raio e da altura da base:
eu 2 = r 2 + h 2 ou eu = √r 2 + h 2
onde l é o gerador;
r - raio;
h - altura.
Gerador em cone inclinado
Pelo fato de que em um cone oblíquo ou inclinado os geradores não possuem o mesmo comprimento, não será possível calculá-los sem construções e cálculos adicionais.
Primeiro de tudo, você precisa saber a altura, o comprimento do eixo e o raio da base.
r 1 = √k 2 - h 2
onde r 1 é a parte do raio entre o eixo e a altura;
k - comprimento do eixo;
h - altura.
Ao somar o raio (r) e sua parte situada entre o eixo e a altura (r 1), é possível descobrir a geratriz completa gerada do cone, sua altura e parte do diâmetro:
onde R é o cateto de um triângulo formado pela altura, o gerador e parte do diâmetro da base;
r - raio da base;
r 1 - parte do raio entre o eixo e a altura.
Usando a mesma fórmula do teorema de Pitágoras, você pode encontrar o comprimento da geratriz do cone:
eu = √h 2 + R 2
ou, sem calcular R separadamente, combine as duas fórmulas em uma:
eu = √h 2 + (r + r 1) 2.
Independentemente de o cone ser reto ou oblíquo e de quais são os dados de entrada, todos os métodos para encontrar o comprimento da geratriz sempre se resumem a um resultado - o uso do teorema de Pitágoras.
Seção de cone
Axial é um plano que passa ao longo de seu eixo ou altura. Em um cone reto, tal seção é um triângulo isósceles, em que a altura do triângulo é a altura do corpo, seus lados são os geradores e a base é o diâmetro da base. Em um corpo geométrico equilátero, a seção axial é um triângulo equilátero, pois neste cone os diâmetros da base e dos geradores são iguais.
O plano da seção axial em um cone reto é o plano de sua simetria. A razão para isso é que seu topo está localizado acima do centro de sua base, ou seja, o plano da seção axial divide o cone em duas partes idênticas.
Como a altura e o eixo não coincidem num corpo volumétrico inclinado, o plano da seção axial pode não incluir a altura. Se muitas seções axiais em tal cone puderem ser construídas, já que para isso apenas uma condição deve ser atendida - ele deve passar apenas pelo eixo, então a seção axial do plano ao qual pertencerá a altura deste cone só pode ser desenhada um, porque o número de condições aumenta e, como se sabe, duas retas (juntas) podem pertencer a apenas um plano.
Área transversal
A seção axial do cone mencionada anteriormente é um triângulo. Com base nisso, sua área pode ser calculada usando a fórmula da área de um triângulo:
S = 1/2 * d * h ou S = 1/2 * 2r * h
onde S é a área da seção transversal;
d - diâmetro da base;
r - raio;
h - altura.
Em um cone oblíquo ou inclinado, a seção transversal ao longo do eixo também é um triângulo, portanto a área da seção transversal nele é calculada de maneira semelhante.
Volume
Como o cone é uma figura tridimensional no espaço tridimensional, seu volume pode ser calculado. O volume de um cone é um número que caracteriza esse corpo em uma unidade de volume, ou seja, em m3. O cálculo não depende se é reto ou oblíquo (oblíquo), pois as fórmulas para esses dois tipos de corpos não diferem.
Conforme afirmado anteriormente, a formação de um cone reto ocorre devido à rotação de um triângulo retângulo ao longo de um de seus catetos. Um cone inclinado ou oblíquo tem forma diferente, pois sua altura é deslocada do centro do plano da base do corpo. No entanto, tais diferenças na estrutura não afetam o método de cálculo do seu volume.
Cálculo de volume
Qualquer cone se parece com isto:
V = 1/3 * π * h * r 2
onde V é o volume do cone;
h - altura;
r - raio;
π é uma constante igual a 3,14.
Para calcular a altura de um corpo, é necessário conhecer o raio da base e o comprimento de sua geratriz. Como o raio, a altura e o gerador são combinados em um triângulo retângulo, a altura pode ser calculada usando a fórmula do teorema de Pitágoras (a 2 + b 2 = c 2 ou no nosso caso h 2 + r 2 = l 2, onde eu é o gerador). A altura será calculada extraindo a raiz quadrada da diferença entre os quadrados da hipotenusa e do outro cateto:
uma = √c 2 - b 2
Ou seja, a altura do cone será igual ao valor obtido após a raiz quadrada da diferença entre o quadrado do comprimento da geratriz e o quadrado do raio da base:
h = √eu 2 - r 2
Calculando a altura por este método e conhecendo o raio de sua base, você pode calcular o volume do cone. O gerador desempenha um papel importante neste caso, pois serve como elemento auxiliar nos cálculos.
Da mesma forma, se a altura de um corpo e o comprimento da sua geratriz forem conhecidos, pode-se descobrir o raio da sua base tirando a raiz quadrada da diferença entre o quadrado da geratriz e o quadrado da altura:
r = √eu 2 - h 2
Em seguida, usando a mesma fórmula acima, calcule o volume do cone.
Volume de um cone inclinado
Como a fórmula do volume de um cone é a mesma para todos os tipos de corpos de rotação, a diferença no seu cálculo é a busca pela altura.
Para descobrir a altura de um cone inclinado, os dados de entrada devem incluir o comprimento da geratriz, o raio da base e a distância entre o centro da base e a intersecção da altura do corpo com o plano da sua base. Sabendo disso, você pode calcular facilmente aquela parte do diâmetro da base que será a base de um triângulo retângulo (formado pela altura, pela geratriz e pelo plano da base). Então, novamente usando o teorema de Pitágoras, calcule a altura do cone e, posteriormente, seu volume.
Arroz. 1. Objetos da vida que têm o formato de um cone truncado
De onde você acha que vêm as novas formas na geometria? Tudo é muito simples: uma pessoa se depara com objetos semelhantes na vida e inventa um nome para eles. Consideremos uma arquibancada onde leões sentam em um circo, um pedaço de cenoura que se obtém cortando apenas parte dela, um vulcão ativo e, por exemplo, a luz de uma lanterna (ver Fig. 1).
Arroz. 2. Formas geométricas
Vemos que todas essas figuras têm uma forma semelhante - tanto abaixo quanto acima são limitadas por círculos, mas afunilam para cima (ver Fig. 2).
Arroz. 3. Cortando o topo do cone
Parece um cone. Só falta o topo. Vamos imaginar mentalmente que pegamos um cone e cortamos a parte superior dele com um golpe de uma espada afiada (ver Fig. 3).
Arroz. 4. Cone truncado
O resultado é exatamente a nossa figura, é chamado de cone truncado (ver Fig. 4).
Arroz. 5. Seção paralela à base do cone
Deixe um cone ser dado. Desenhemos um plano paralelo ao plano da base deste cone e que cruza o cone (ver Fig. 5).
Isso dividirá o cone em dois corpos: um deles é um cone menor e o segundo é chamado de cone truncado (ver Fig. 6).
Arroz. 6. Os corpos resultantes com seção paralela
Assim, um cone truncado é parte de um cone encerrado entre sua base e um plano paralelo à base. Tal como acontece com um cone, um cone truncado pode ter um círculo na sua base, caso em que é denominado circular. Se o cone original era reto, o cone truncado é chamado de reto. Tal como no caso dos cones, consideraremos exclusivamente cones truncados circulares rectos, a menos que seja especificamente afirmado que se trata de um cone truncado indirecto ou que as suas bases não são círculos.
Arroz. 7. Rotação de um trapézio retangular
Nosso tema global são corpos de rotação. O cone truncado não é exceção! Lembremos que para obter um cone consideramos um triângulo retângulo e giramos em torno de uma perna? Se o cone resultante for interceptado por um plano paralelo à base, o triângulo permanecerá um trapézio retangular. A sua rotação em torno do lado menor nos dará um cone truncado. Observemos novamente que, é claro, estamos falando apenas de um cone circular reto (ver Fig. 7).
Arroz. 8. Bases de um cone truncado
Vamos fazer alguns comentários. A base de um cone completo e o círculo resultante de uma seção do cone por um plano são chamados de bases de um cone truncado (inferior e superior) (ver Fig. 8).
Arroz. 9. Geradores de cone truncado
Os segmentos dos geradores de um cone completo, encerrados entre as bases de um cone truncado, são chamados de geradores de cone truncado. Como todos os geradores do cone original são iguais e todos os geradores do cone cortado são iguais, então os geradores do cone truncado são iguais (não confunda o cortado com o truncado!). Isto implica que a seção axial do trapézio é isósceles (ver Fig. 9).
O segmento do eixo de rotação encerrado dentro de um cone truncado é denominado eixo do cone truncado. Este segmento, é claro, conecta os centros de suas bases (ver Fig. 10).
Arroz. 10. Eixo de um cone truncado
A altura de um cone truncado é uma perpendicular traçada de um ponto de uma das bases à outra base. Na maioria das vezes, a altura de um cone truncado é considerada seu eixo.
Arroz. 11. Seção axial de um cone truncado
A seção axial de um cone truncado é a seção que passa por seu eixo. Tem a forma de um trapézio; um pouco mais tarde provaremos que é isósceles (ver Fig. 11).
Arroz. 12. Cone com notações introduzidas
Vamos encontrar a área da superfície lateral do cone truncado. Deixe as bases do cone truncado terem raios e , e a geratriz ser igual (ver Fig. 12).
Arroz. 13. Designação da geratriz do cone cortado
Encontremos a área da superfície lateral do cone truncado como a diferença entre as áreas das superfícies laterais do cone original e do cone cortado. Para fazer isso, denotaremos pela geratriz do cone cortado (ver Fig. 13).
Então o que você está procurando.
Arroz. 14. Triângulos semelhantes
Resta apenas expressar.
Observe isso pela semelhança dos triângulos, daí (ver Fig. 14).
Seria possível expressar , dividindo pela diferença dos raios, mas não precisamos disso, pois o produto que procuramos aparece na expressão que procuramos. Substituindo, finalmente temos: .
Agora é fácil obter uma fórmula para a área superficial total. Para isso, basta somar a área dos dois círculos das bases: .
Arroz. 15. Ilustração para o problema
Seja um cone truncado girando um trapézio retangular em torno de sua altura. A linha média do trapézio é igual a , e o lado lateral grande é igual a (ver Fig. 15). Encontre a área da superfície lateral do cone truncado resultante.
Solução
Pela fórmula sabemos que 
.
A geratriz do cone será o lado maior do trapézio original, ou seja, os raios do cone são as bases do trapézio. Não podemos encontrá-los. Mas não precisamos disso: precisamos apenas da soma deles, e a soma das bases de um trapézio é duas vezes maior que sua linha média, ou seja, é igual a . Então .
Observe que quando falamos sobre o cone, traçamos paralelos entre ele e a pirâmide - as fórmulas eram semelhantes. É a mesma coisa aqui, porque um cone truncado é muito semelhante a uma pirâmide truncada, então as fórmulas para as áreas das superfícies laterais e totais de um cone truncado e de uma pirâmide (e em breve haverá fórmulas para volume) são semelhantes.
Arroz. 1. Ilustração do problema
Os raios das bases do cone truncado são iguais a e , e a geratriz é igual a . Encontre a altura do cone truncado e a área de sua seção axial (ver Fig. 1).