Principais tensões de flexão. Verificação completa da resistência à flexão das vigas

No caso de flexão transversal plana, quando o momento fletor também atua nas seções da viga M e força cortante P, não apenas normal
, mas também tensões de cisalhamento .

As tensões normais na flexão transversal são calculadas usando as mesmas fórmulas da flexão pura:

;
.(6.24)

P

Figura 6.11. curvatura plana

Ao derivar a fórmula, faremos algumas suposições:

Tensões de cisalhamento agindo à mesma distância no a partir da linha neutra, constante ao longo da largura da viga;

As tensões tangenciais são em todos os lugares paralelas à força P.

Consideremos uma viga cantilever sob condições de flexão transversal sob a ação de uma força R. Vamos construir diagramas de forças internas SOBRE sim, E M z .

À distância x da extremidade livre da viga, selecionamos uma seção elementar da viga com comprimento dx e uma largura igual à largura da viga b. Vamos mostrar as forças internas que atuam nas faces do elemento: nas faces cd existe uma força transversal P sim e momento fletor M z, mas no limite ab- também força transversal P sim e momento fletor M z +dM z(porque P sim permanece constante ao longo do comprimento da viga, e o momento M z mudanças, Fig. 6.12). À distância no cortar parte do elemento do eixo neutro abcd, mostraremos as tensões atuantes nas faces do elemento obtido mbcn, e considere seu equilíbrio. Não há tensões nas faces que fazem parte da superfície externa da viga. Nas faces laterais do elemento pela ação do momento fletor M z, surgem tensões normais:

; (6.25)

. (6.26)

Além disso, nessas faces, pela ação de uma força transversal P sim, surgem tensões de cisalhamento , as mesmas tensões surgem de acordo com a lei do emparelhamento das tensões tangenciais na face superior do elemento.

Vamos compor a equação de equilíbrio do elemento mbcn, projetando as tensões resultantes em consideração no eixo x:

. (6.29)

A expressão sob o sinal integral é o momento estático da face lateral do elemento mbcn sobre o eixo x, então podemos escrever

. (6.30)

Dado que, de acordo com as dependências diferenciais de D. I. Zhuravsky, ao dobrar,

, (6.31)

expressão para tangentes tensões durante a flexão transversal podem ser reescritas da seguinte forma ( Fórmula de Zhuravsky)

. (6.32)

Vamos analisar a fórmula de Zhuravsky.

P simé a força transversal na seção considerada;

J. z - momento axial de inércia da seção em torno do eixo z;

b- largura da seção no local onde são determinadas as tensões de cisalhamento;

é o momento estático em relação ao eixo z da parte da seção localizada acima (ou abaixo) da fibra onde a tensão de cisalhamento é determinada:

, (6.33)

Onde E F" - a coordenada do centro de gravidade e a área da parte considerada do trecho, respectivamente.

6.6 Teste de força completo. Seções perigosas e pontos perigosos

Para verificar a resistência à flexão, de acordo com as cargas externas atuantes na viga, são construídos gráficos de variações das forças internas ao longo de seu comprimento e determinadas as seções perigosas da viga, para cada uma das quais é necessário realizar um teste de resistência .

Com um teste de resistência total, haverá pelo menos três dessas seções (às vezes elas coincidem):

A seção em que o momento fletor M z atinge seu valor máximo de módulo;

A seção na qual a força transversal P sim, atinge seu valor máximo de módulo;

A seção em que e o momento fletor M z e força cortante P sim atingir valores suficientemente grandes em módulo.

Em cada um dos troços perigosos, é necessário, tendo construído diagramas de tensões normais e de corte, encontrar os pontos perigosos do troço (é efectuada a verificação de resistência para cada um deles), que também serão pelo menos três:

O ponto em que as tensões normais , atingem seu valor máximo, - ou seja, o ponto da superfície externa da viga está mais distante do eixo neutro da seção;

O ponto em que as tensões de cisalhamento atingir o seu valor máximo, - um ponto situado no eixo neutro da seção;

O ponto em que as tensões normais e de cisalhamento atingem valores suficientemente grandes (esta verificação faz sentido para seções como um T ou uma viga I, onde a largura da seção não é constante em altura).

Na flexão transversal, junto com o momento fletor na seção, atua uma força transversal, que é a resultante das tensões de cisalhamento.

Uma consequência da ação das tensões de cisalhamento é uma distorção da forma da seção transversal, o que contradiz a hipótese de seções planas. Primeiro, a seção pode experimentar deplayatsho, aqueles. não fica plano. Em segundo lugar, a secção após a deformação não permanece perpendicular ao eixo curvo da viga.

Esses efeitos são levados em consideração em teorias mais complexas de flexão de barras. Ao mesmo tempo, para um grande número de problemas de engenharia, as fórmulas obtidas para flexão pura podem ser generalizadas para o caso de flexão transversal. A avaliação dos limites de aplicabilidade destas fórmulas e a responsabilidade pelo resultado obtido são da competência do calculador.

Para determinar os valores das tensões normais na flexão transversal, a fórmula (5.10) é amplamente utilizada. A seguir mostraremos que no caso de uma força cortante constante, esta fórmula dá um resultado exato, e no caso de uma força cortante variável, aqueles obtidos para determinar a normal

enfatiza, as fórmulas latem um erro da ordem - Onde h- altura da seção; / - comprimento do feixe.

Para determinar a magnitude das tensões de cisalhamento, considere um elemento de viga com comprimento dx(Fig. 5.8).

Arroz. 5.8.

Nas seções direita e esquerda do elemento, as tensões normais diferem entre si por c/o, o que se deve à diferença nos valores do momento fletor por dM Sr. O termo associado à mudança em t ao longo do comprimento dx, pode ser desprezada como uma quantidade da mais alta ordem de pequenez.

Vamos supor: as tensões de cisalhamento na seção são direcionadas paralelamente à força de cisalhamento que atua nesta seção Q.

Vamos determinar os valores das tensões de cisalhamento em pontos separados por uma distância no do eixo neutro. Para fazer isso, corte o avião cd de um elemento de barra com comprimento dx Papel adormecido.

Em seção em altura no atuam tensões tangenciais... Ao mesmo tempo, em uma seção perpendicular a ele, ou seja, em um plano paralelo ao plano xz, de acordo com a lei do emparelhamento das tensões de cisalhamento, tensões de cisalhamento da mesma magnitude atuarão.

Vamos compor a equação de equilíbrio do elemento, projetando para isso todas as forças que atuam sobre este elemento na direção do eixo X. Calculamos as integrais incluídas na equação de equilíbrio na parte superior da seção A*:

Como resultado das transformações, obtemos a seguinte fórmula para cálculo das tensões de cisalhamento:

Segundo a fórmula (5.10) e levando em consideração a relação (5.3), encontramos a derivada da tensão normal:

e leve este valor em consideração na expressão para tensão de cisalhamento:

Como resultado, obtemos a seguinte fórmula para calcular as tensões de cisalhamento:

Onde P - força transversal na seção; S* - momento estático da parte cortada da seção com área L* em relação ao eixo central; /izg - momento de inércia da seção em relação ao eixo central; h- largura da seção no local onde as tensões de cisalhamento são determinadas.

A fórmula (5.21) é chamada fórmulasJuravsky PARA

Considere uma viga com seção transversal retangular (Fig. 5.9, A). Vamos determinar as tensões normais e de cisalhamento na seção perigosa. Perigosa é a seção L, na qual atua o momento fletor máximo M nzg \u003d -I. Quanto à força transversal, seu valor em qualquer seção da viga é constante e igual a -F.

Arroz. 5.9.

Usando as fórmulas (5.15) e (5.20), determinamos o valor da tensão normal máxima:

‘Zhuravsky Dmitry Ivanovich (1828-1891) - um cientista mecânico e engenheiro russo, especialista na área de construção de pontes e mecânica estrutural, foi o primeiro a resolver o problema de determinação de tensões de cisalhamento durante a flexão transversal de uma viga.

Calculemos as quantidades incluídas na fórmula (5.21):

Em um ponto de seção à distância no do eixo neutro, o valor da tensão de cisalhamento é

A tensão máxima ocorre em e = 0 em fibras pertencentes ao eixo central 0t.

Esta tensão possui formalmente valor negativo, mas seu sinal pode ser ignorado, pois não é importante para o cálculo.

Vamos estimar a razão entre os valores máximos das tensões normais e de cisalhamento que surgem na seção da viga:

De acordo com o esquema de cálculo da viga, assume-se que - 1. Segue-se daí que as tensões de cisalhamento têm uma ordem de pequenez superior em comparação com as tensões normais.

Generalizemos a estimativa (5.24) para uma viga de comprimento / e tamanho de seção característico A. Com uma força transversal igual a F, o momento fletor é estimado como М izg ~ F.I. Para os valores característicos do momento de inércia axial da seção, do momento estático de uma parte da seção e do momento de resistência à flexão, obtemos as seguintes estimativas:

Portanto, para as tensões normais e de cisalhamento máximas, as estimativas são válidas

Finalmente, obtemos a seguinte estimativa para a relação entre as tensões máximas tangencial e normal:

As estimativas obtidas para uma seção transversal retangular específica podem ser estendidas ao caso de uma seção arbitrária, desde que a seção transversal seja considerada maciça. Para perfis de paredes finas, a conclusão acima sobre a possibilidade de desprezar as tensões de cisalhamento em comparação com as tensões normais nem sempre é verdadeira.

Deve-se notar que ao derivar a fórmula (5.21), não fomos totalmente consistentes e, ao realizarmos as transformações, cometemos o seguinte erro. Nomeadamente, a fórmula para tensões normais que utilizámos foi obtida sob o pressuposto de que a hipótese de secções planas é válida, ou seja, na ausência de deformação da seção transversal. Ao aplicar tensões tangenciais ao elemento, permitimos a possibilidade de distorção de ângulos retos, o que violou a hipótese acima. Portanto, as fórmulas de cálculo resultantes são aproximadas. O diagrama de tensão de cisalhamento mostrado na fig. 5,9, b, explica a natureza da curvatura das seções transversais da viga durante a flexão transversal. Nos pontos extremos, as tensões de cisalhamento são iguais a zero, portanto, as fibras a elas correspondentes serão normais às superfícies superior e inferior da viga. Na linha neutra, onde atuam as tensões de cisalhamento máximas, ocorrerão as deformações de cisalhamento máximas.

Ao mesmo tempo, notamos que com um valor constante da força transversal dentro da seção, a curvatura de todas as seções será a mesma, portanto, o efeito da curvatura não se refletirá na magnitude das deformações longitudinais de tração e compressão de as fibras causadas pelo momento fletor.

Para seções transversais de formato não retangular, erros adicionais são introduzidos na fórmula (5.21) devido ao não cumprimento das suposições aceitas sobre a natureza da distribuição das tensões de cisalhamento. Assim, por exemplo, para uma seção transversal circular, as tensões de cisalhamento nos pontos no os contornos da seção devem ser direcionados tangencialmente ao contorno e não paralelos à força transversal Q. Isto significa que as tensões de cisalhamento devem ter componentes que atuam tanto ao longo do eixo z quanto ao longo do eixo z.

Porém, apesar das contradições existentes, as fórmulas obtidas apresentam resultados bastante satisfatórios em cálculos práticos. A comparação dos valores da tensão de cisalhamento determinados pela fórmula (5.21) com os resultados obtidos por métodos exatos mostra que o erro na magnitude da maior tensão de cisalhamento não excede 5%, ou seja, esta fórmula é adequada para cálculos práticos.

Façamos algumas observações a respeito dos cálculos de resistência à flexão transversal direta. Em contraste com a flexão pura nas seções transversais da barra, dois fatores de força surgem na flexão transversal: o momento fletor Mmzg e a força transversal Q. No entanto, dado que as maiores tensões normais ocorrem nas fibras mais externas, onde não há tensões de cisalhamento (ver Fig. 5.9, b) e as maiores tensões de cisalhamento ocorrem na camada neutra, onde as tensões normais são iguais a zero, as condições de resistência nestes casos são formuladas separadamente para tensões normais e de cisalhamento:

Ao derivar uma fórmula para calcular tensões normais, considere tal caso de flexão, quando as forças internas nas seções da viga são reduzidas apenas para momento fletor, A força transversal é zero. Este caso de flexão é chamado flexão pura. Considere a seção intermediária de uma viga submetida à flexão pura.

Quando carregada, a viga se curva de modo que as fibras inferiores alongam-se e as fibras superiores encurtam.

Como algumas fibras da viga são esticadas e outras comprimidas, ocorre a transição da tensão para a compressão suavemente, sem saltos, V. meio parte do feixe é uma camada cujas fibras apenas dobram, mas não sofrem tensão ou compressão. Tal camada é chamada neutro camada. A linha ao longo da qual a camada neutra cruza com a seção transversal da viga é chamada linha neutra ou eixo neutro Seções. Linhas neutras são amarradas no eixo da viga. linha neutraé a linha em que tensões normais são zero.

As linhas desenhadas na superfície lateral da viga perpendicular ao eixo permanecem plano ao dobrar. Esses dados experimentais permitem basear as derivações das fórmulas hipótese de seções planas (hipótese). De acordo com esta hipótese, as seções da viga são planas e perpendiculares ao seu eixo antes da flexão, permanecem planas e tornam-se perpendiculares ao eixo dobrado da viga quando ela é dobrada.

Suposições para a derivação de fórmulas de tensão normal: 1) A hipótese de seções planas é cumprida. 2) As fibras longitudinais não pressionam umas sobre as outras (hipótese de não pressão) e, portanto, cada uma das fibras está em estado de tensão ou compressão uniaxial. 3) As deformações das fibras não dependem da sua posição ao longo da largura da seção. Consequentemente, as tensões normais, variando ao longo da altura da secção, permanecem as mesmas ao longo da largura. 4) A viga possui pelo menos um plano de simetria e todas as forças externas estão neste plano. 5) O material da viga obedece à lei de Hooke, e o módulo de elasticidade em tração e compressão é o mesmo. 6) As relações entre as dimensões da viga são tais que ela funciona em condições de flexão plana, sem empenamento ou torção.

Considere uma viga de seção arbitrária, mas com eixo de simetria. Momento fletor representa momento resultante das forças normais internas surgindo em áreas infinitamente pequenas e pode ser expresso em termos de integrante forma: (1), onde y é o braço da força elementar em relação ao eixo x

Fórmula (1) expressa estático lado do problema de flexão de uma barra reta, mas ao longo dela de acordo com um momento fletor conhecido é impossível determinar as tensões normais até que a lei de sua distribuição seja estabelecida.

Selecione as vigas na seção intermediária e considere seção de comprimento dz, sujeito a flexão. Vamos ampliar isso.

Seções que limitam a seção dz, paralelos entre si antes da deformação, e depois de aplicar a carga vire suas linhas neutras em um ângulo . O comprimento do segmento de fibras da camada neutra não mudará. e será igual a: , Cadê raio de curvatura eixo curvo da viga. Mas qualquer outra fibra que esteja abaixo ou acima camada neutra, mudará seu comprimento. Calcular alongamento relativo das fibras localizadas a uma distância y da camada neutra. O alongamento relativo é a razão entre a deformação absoluta e o comprimento original, então:

Reduzimos em e reduzimos termos semelhantes, então obtemos: (2) Esta fórmula expressa geométrico lado do problema de flexão pura: as deformações das fibras são diretamente proporcionais às suas distâncias da camada neutra.

Agora vamos passar para estressa, ou seja vamos considerar físico lado da tarefa. conforme suposição sem pressão fibras são utilizadas na tensão-compressão axial: então, levando em consideração a fórmula (2) Nós temos (3), aqueles. tensões normais ao dobrar ao longo da altura da seção são distribuídos de acordo com uma lei linear. Nas fibras extremas, as tensões normais atingem seu valor máximo e, no centro de gravidade, as seções transversais são iguais a zero. Substituto (3) na equação (1) e retirar a fração do sinal integral como um valor constante, então temos . Mas a expressão é momento axial de inércia da seção em relação ao eixo x - eu x. Sua dimensão cm 4, m 4

Então ,onde (4) , onde está curvatura do eixo dobrado da viga, a é a rigidez da seção da viga durante a flexão.

Substitua a expressão resultante curvatura (4) em uma expressão (3) e pegue fórmula para calcular tensões normais em qualquer ponto da seção transversal: (5)

Que. máximo surgem tensões nos pontos mais distantes da linha neutra. Atitude (6) chamado módulo de seção axial. Sua dimensão cm 3, m 3. O momento de resistência caracteriza a influência da forma e das dimensões da seção transversal na magnitude das tensões.

Então tensões máximas: (7)

Condição de resistência à flexão: (8)

Durante a flexão transversal não apenas tensões normais, mas também de cisalhamento, porque disponível força de cisalhamento. Tensões de cisalhamento complicar o quadro de deformação, eles levam a curvatura seções transversais da viga, como resultado a hipótese de seções planas é violada. No entanto, estudos mostram que as distorções introduzidas pelas tensões de cisalhamento um pouco afetam as tensões normais calculadas pela fórmula (5) . Assim, ao determinar tensões normais no caso de flexão transversal a teoria da flexão pura é bastante aplicável.

Linha neutra. Pergunta sobre a posição da linha neutra.

Ao dobrar, não há força longitudinal, então podemos escrever Substitua aqui a fórmula para tensões normais (3) e pegue Como o módulo de elasticidade do material da viga não é igual a zero e o eixo dobrado da viga tem um raio de curvatura finito, resta assumir que esta integral é momento estático da área seção transversal da viga em relação ao eixo da linha neutra x , e desde é igual a zero, então a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção.

Considere uma viga que está em flexão direta plana sob a ação de cargas transversais arbitrárias no plano principal Ah(Fig. 7.31, A). Cortamos a viga a uma distância x de sua extremidade esquerda e consideramos o equilíbrio do lado esquerdo. A influência do lado direito neste caso deve ser substituída pela ação do momento fletor A/ e da força transversal Q e na seção desenhada (Fig. 7.31, b). O momento fletor L7 no caso geral não é constante em magnitude, como era o caso da flexão pura, mas varia ao longo do comprimento da viga. Desde o momento fletor M

de acordo com (7.14) está associado às tensões normais o = a x, então as tensões normais nas fibras longitudinais também mudarão ao longo do comprimento da viga. Portanto, no caso de flexão transversal, as tensões normais são funções das variáveis ​​x e y: a x = a x (x, y).

Com flexão transversal na seção da viga, não apenas tensões normais, mas também tangenciais t atuam (Fig. 7.31, V), cuja resultante é a força transversal Qy:

Presença de tensões de cisalhamento x uau acompanhado pelo aparecimento de deformações angulares y. As tensões de cisalhamento, assim como as tensões normais, são distribuídas de forma desigual pela seção transversal. Consequentemente, as deformações angulares associadas a eles pela lei de Hooke no cisalhamento também serão distribuídas de forma desigual. Isso significa que no caso de flexão transversal, ao contrário da flexão pura, as seções da viga não permanecem planas (a hipótese de J. Bernoulli é violada).

A curvatura das seções transversais pode ser claramente demonstrada pelo exemplo da flexão de uma viga retangular de borracha em balanço causada por uma força concentrada aplicada na extremidade (Fig. 7.32). Se você primeiro desenhar linhas retas perpendiculares ao eixo do feixe nas faces laterais, depois de dobrar essas linhas não permanecerão retas. Neste caso, eles são dobrados para que o maior deslocamento ocorra ao nível da camada neutra.

Estudos mais precisos estabeleceram que o efeito da distorção transversal no valor das tensões normais é insignificante. Depende da proporção da altura da seção h ao comprimento da viga / e em h/ / o x na flexão transversal costuma-se usar a fórmula (7.14), derivada para o caso de flexão pura.

A segunda característica da flexão transversal é a presença de tensões normais Ó y, atuando nas seções longitudinais da viga e caracterizando a pressão mútua entre as camadas longitudinais. Essas tensões ocorrem em áreas onde há uma carga distribuída q, e locais de aplicação de forças concentradas. Geralmente essas tensões são muito pequenas em comparação com as tensões normais. um x. Um caso especial é a ação de uma força concentrada, na área de aplicação da qual podem surgir tensões locais significativas. e você.

Assim, um elemento infinitesimal no plano Ah no caso de flexão transversal, está em estado de tensão biaxial (Fig. 7.33).

As tensões m e o, bem como a tensão o Y , são geralmente funções das coordenadas* e y. Eles devem satisfazer equações de equilíbrio diferencial, que para um estado de tensão biaxial ( uma z = T yz = = 0) na ausência

as forças de volume têm a seguinte forma:

Essas equações podem ser usadas para determinar tensões de cisalhamento = t e tensões normais OU. A maneira mais fácil de fazer isso é com uma viga de seção transversal retangular. Neste caso, na determinação de m, presume-se que sua distribuição uniforme ao longo da largura da seção (Fig. 7.34). Esta suposição foi feita pelo famoso construtor de pontes russo D.I. Zhuravsky. Estudos mostram que esta suposição corresponde quase exatamente à natureza real da distribuição das tensões de cisalhamento na flexão para vigas bastante estreitas e altas. (b « E).

Usando a primeira das equações diferenciais (7.26) e a fórmula (7.14) para tensões normais um x, Nós temos

Integrando esta equação em relação à variável sim, encontrar

Onde f(x)- uma função arbitrária, para cuja definição utilizamos a condição de ausência de tensões de cisalhamento na face inferior da viga:

Levando em conta esta condição de contorno, de (7.28) encontramos

Finalmente, a expressão para as tensões de cisalhamento que atuam nas seções transversais da viga assume a seguinte forma:

Em virtude da lei do emparelhamento das tensões tangenciais, as tensões tangenciais t, = t também surgem nas seções longitudinais

eh, eh

feixes paralelos à camada neutra.

A partir da fórmula (7.29) pode-se observar que as tensões de cisalhamento mudam ao longo da altura da seção transversal da viga de acordo com a lei de uma parábola quadrada. As tensões de cisalhamento têm o maior valor em pontos ao nível do eixo neutro em e = 0, e nas fibras extremas do feixe em y = ±h/2 eles são iguais a zero. Usando a fórmula (7.23) para o momento de inércia de uma seção retangular, obtemos

Onde F = bh-área da seção transversal da viga.

O gráfico t é mostrado na fig. 7.34.

No caso de vigas com seção transversal não retangular (Fig. 7.35), é difícil determinar as tensões de cisalhamento m a partir da equação de equilíbrio (7.27), uma vez que a condição de contorno para m não é conhecida em todos os pontos da cruz contorno da seção. Isso se deve ao fato de que, neste caso, as tensões de cisalhamento m atuam na seção transversal, que não são paralelas à força transversal Q e . Na verdade, pode ser mostrado que em pontos próximos ao contorno da seção transversal, a tensão de cisalhamento total m é direcionada tangencialmente ao contorno. Considere, nas proximidades de um ponto arbitrário do contorno (ver Fig. 7.35), uma área infinitamente pequena dF no plano da seção transversal e uma plataforma perpendicular a ele dF" na lateral da viga. Se a tensão total m no ponto do contorno não for direcionada tangencialmente, ela poderá ser decomposta em dois componentes: xvx na direção da normal v ao contorno e X na direção da tangente t ao contorno. Portanto, de acordo com a lei do emparelhamento de tensões de cisalhamento no local dF" deve-

mas a tensão de cisalhamento atua x igual a x vv . Se a superfície lateral estiver livre de cargas tangenciais, então a componente x vv = zvx = 0, ou seja, a tensão de cisalhamento total x deve ser direcionada tangencialmente ao contorno da seção transversal, como mostrado, por exemplo, nos pontos L e EM contorno.

Consequentemente, a tensão de cisalhamento x tanto nos pontos do contorno quanto em qualquer ponto da seção transversal pode ser decomposta em componentes x deles.

Para determinar as componentes x da tensão de cisalhamento em vigas de seção transversal não retangular (Fig. 7.36, b) suponha que a seção tenha um eixo vertical de simetria e que a componente x da tensão de cisalhamento total x, como no caso de uma seção transversal retangular, esteja uniformemente distribuída em sua largura.

Usando uma seção longitudinal paralela ao plano Oxz e passando à distância no dele, e duas seções transversais xx + dx recorte mentalmente da parte inferior da viga um elemento infinitesimal de comprimento dx(Fig. 7.36, V).

Suponhamos que o momento fletor M varia dentro do comprimento dx elemento considerado da viga, e a força transversal P constante. Então nas seções transversais x e x + dx as vigas atuarão com as mesmas tensões de cisalhamento x, e as tensões normais decorrentes dos momentos fletores MzeuMz+ DM, serão iguais respectivamente A E A + pai. Ao longo da face horizontal do elemento selecionado (na Fig. 7.36, Vé mostrado na axonometria) de acordo com a lei do emparelhamento das tensões de cisalhamento, as tensões x v „ \u003d x atuarão.

eh, eh

resultante R E R+dR tensões normais o e o + d aplicados nas extremidades do elemento, levando em consideração a fórmula (7.14), são iguais a

Onde

momento estático de corte F(na Figura 7.36, b sombreado) em relação ao eixo neutro onça y, - variável auxiliar, mudando dentro no

A tensão de cisalhamento resultante t aplicada

hein

à borda horizontal do elemento, levando em consideração a suposição introduzida sobre a distribuição uniforme dessas tensões ao longo da largura por) pode ser encontrado pela fórmula

A condição de equilíbrio para um elemento? X=0 dá

Substituindo os valores das forças resultantes, obtemos

A partir daqui, levando em consideração (7.6), obtemos uma fórmula para determinação das tensões de cisalhamento:

Esta fórmula na literatura nacional é chamada fórmula D.I. Zhuravsky.

De acordo com a fórmula (7.32), a distribuição das tensões de cisalhamento m ao longo da altura da seção depende da mudança na largura da seção b(y) e o momento estático da parte de corte da seção S OTC (y).

Usando a fórmula (7.32), as tensões de cisalhamento são determinadas de forma mais simples para a viga retangular considerada acima (Fig. 7.37).

O momento estático da área da seção transversal de corte F qtc é igual a

Substituindo 5° TC em (7.32), obtemos a fórmula derivada anteriormente (7.29).

A fórmula (7.32) pode ser usada para determinar tensões de cisalhamento em vigas com largura de seção constante escalonada. Dentro de cada seção com largura constante, as tensões de cisalhamento mudam ao longo da altura da seção de acordo com a lei de uma parábola quadrada. Em locais de mudança abrupta na largura da seção, as tensões de cisalhamento também apresentam saltos ou descontinuidades. A natureza do diagrama m para tal seção é mostrada na Fig. 7,38.

Arroz. 7,37

Arroz. 7,38

Considere a distribuição das tensões de cisalhamento em uma seção I (Fig. 7.39, A) ao dobrar em um plano Ah. Uma seção I pode ser representada como uma conjugação de três retângulos estreitos: duas prateleiras horizontais e uma parede vertical.

Ao calcular m na parede na fórmula (7.32), deve-se considerar b(s) - d. Como resultado, obtemos

Onde ° 1C calculado como a soma dos momentos estáticos em torno do eixo onçaárea de prateleira F n e partes da parede F, sombreado na Fig. 7,39, A:

As tensões de cisalhamento t têm o maior valor no nível do eixo neutro em e = 0:

onde é o momento estático da área da meia seção em relação ao eixo neutro:

Para vigas I e canais rolantes, o valor do momento estático de metade da seção é fornecido no sortimento.

Arroz. 7,39

No nível onde a parede une os banzos, as tensões de cisalhamento 1 ? igual

Onde S"- Momento estático da área seccional do flange em relação ao eixo neutro:

As tensões de cisalhamento verticais t nos banzos de uma viga I não podem ser encontradas pela fórmula (7.32), devido ao fato de que b :» t, a suposição de sua distribuição uniforme ao longo da largura da prateleira torna-se inaceitável. Nas faces superior e inferior da prateleira estas tensões devem ser iguais a zero. Portanto, t em

uau

as prateleiras são muito pequenas e não têm interesse prático. De muito maior interesse são as tensões de cisalhamento horizontais nas prateleiras m, para determinar as quais consideramos o equilíbrio de um elemento infinitesimal selecionado da prateleira inferior (Fig. 7.39). , b).

De acordo com a lei do emparelhamento das tensões de cisalhamento na face longitudinal deste elemento, paralela ao plano Ah a tensão está agindo xxxz, igual em magnitude à tensão t atuando na seção transversal. Devido à pequena espessura do banzo da viga I, estas tensões podem ser consideradas uniformemente distribuídas ao longo da espessura do banzo. Com isso em mente, a partir da equação de equilíbrio para o elemento 5^=0 teremos

A partir daqui encontramos

Substituindo nesta fórmula a expressão para um x de (7.14) e levando em conta que obtemos

Dado que

Onde S°TC - momento estático da área de corte da prateleira (na Fig. 7.39, A sombreado duas vezes) em relação ao eixo Oz, finalmente conseguimos

De acordo com a fig. 7,39 , A

Onde z- variável baseada em eixo OU.

Com isso em mente, a fórmula (7.34) pode ser representada como

Isso mostra que as tensões de cisalhamento horizontais mudam linearmente ao longo do eixo onça e pegue o maior valor em z = d/2:

Na fig. 7.40 mostra diagramas de tensões de cisalhamento t e t^, bem como as direções dessas tensões nas prateleiras e na parede da viga I sob a ação de uma força transversal positiva na seção da viga Q. As tensões de cisalhamento, falando figurativamente, formam um fluxo contínuo na seção da viga I, direcionado em cada ponto paralelo ao contorno da seção.

Vamos passar para a definição de tensões normais e em nas seções longitudinais da viga. Considere uma seção de viga com carga uniformemente distribuída ao longo da face superior (Fig. 7.41). A seção transversal da viga é considerada retangular.

Usamos para determinar a segunda das equações de equilíbrio diferencial (7.26). Substituindo nesta equação a fórmula (7.32) para tensões de cisalhamento eh, levando em consideração (7.6), obtemos

Integrando sobre a variável sim, encontrar

Aqui f(x) - uma função arbitrária que é definida usando uma condição de contorno. De acordo com as condições do problema, a viga está carregada com uma carga uniformemente distribuída q ao longo da face superior e a face inferior está livre de cargas. Então as condições de contorno correspondentes são escritas como

Usando a segunda dessas condições, obtemos

Com isso em mente, a fórmula para tensões e em assumirá o seguinte formato:

Pode-se ver nesta expressão que as tensões o mudam ao longo da altura da seção de acordo com a lei de uma parábola cúbica. Neste caso, ambas as condições de contorno (7.35) são satisfeitas. Tensão de maior valor assume a superfície superior da viga em y=-h/2:

A natureza da trama e em mostrado na fig. 7.41.

Para estimar a magnitude das maiores tensões o. a, e m e as relações entre eles, considere, por exemplo, a flexão de uma viga cantilever de seção transversal retangular com dimensões bxh, sob a ação de uma carga uniformemente distribuída aplicada na face superior da viga (Fig. 7.42). As maiores tensões absolutas ocorrem na terminação. De acordo com as fórmulas (7.22), (7.30) e (7.37), essas tensões são iguais a

Como de costume para vigas l/h» 1, então segue das expressões obtidas que as tensões com x em valor absoluto excedem as tensões m e, principalmente, e você. Assim, por exemplo, quando 1/eu == 10 obtemos a x / m xy \u003d 20 ', o x / c y \u003d 300.

Assim, o maior interesse prático no cálculo de vigas para flexão são as tensões um x, vigas atuando em seções transversais. Tensão com você, caracterizando a pressão mútua das camadas longitudinais da viga, são insignificantes em comparação com o v .

Os resultados obtidos neste exemplo mostram que as hipóteses introduzidas no § 7.5 são bem fundamentadas.

Curva plana (reta)- quando o momento fletor atua em um plano que passa por um dos principais eixos centrais de inércia da seção, ou seja, todas as forças estão no plano de simetria da viga. Principais hipóteses(suposições): hipótese de não pressão das fibras longitudinais: as fibras paralelas ao eixo da viga sofrem deformação por tração-compressão e não exercem pressão umas sobre as outras na direção transversal; hipótese de seções planas: a seção de uma viga, que é plana antes da deformação, permanece plana e normal ao eixo curvo da viga após a deformação. No caso de flexão plana, no caso geral, fatores de força interna: força longitudinal N, força transversal Q e momento fletor M. N>0 se a força longitudinal for de tração; em M>0, as fibras de cima da viga são comprimidas, de baixo são esticadas. .

A camada na qual não há alongamentos é chamada camada neutra(eixo, linha). Para N=0 e Q=0, temos o caso curva limpa. Tensões normais:
, é o raio de curvatura da camada neutra, y é a distância de alguma fibra à camada neutra.

43) Tensão e compressão excêntrica

Tensão e compressão

 - tensão normal[Pa], 1Pa (pascal) \u003d 1 N/m 2,

10 6 Pa = 1 MPa (megapascal) = 1 N/mm 2

N - força longitudinal (normal) [N] (newton); F - área da seção transversal [m 2]

 - deformação relativa [valor adimensional];

L - deformação longitudinal [m] (alongamento absoluto), L - comprimento da haste [m].

-Lei de Hooke -  = E

E - módulo de tração (módulo de elasticidade de 1º tipo ou módulo de Young) [MPa]. Para aço E = 210 5 MPa = 210 6 kg/cm 2 (no sistema "antigo" de unidades).

(quanto mais E, menos extensível é o material)

;
- Lei de Hooke

EF - rigidez da haste em tração (compressão).

Quando a haste é esticada, ela “afina”, sua largura - a diminui pela deformação transversal - a.

-deformação transversal relativa.

-Razão de Poisson [valor adimensional];

 varia de 0 (cortiça) a 0,5 (borracha); para aço  0,250,3.

Se a força longitudinal e a seção transversal não forem constantes, então o alongamento da haste:

Trabalho de tração:
, energia potencial:

47. Integral de Mohr

Um método universal para determinar deslocamentos (ângulos lineares e de rotação) é o método de Mohr. Uma única força generalizada é aplicada ao sistema no ponto para o qual o deslocamento generalizado é procurado. Se a deflexão for determinada, então a força unitária é uma força concentrada adimensional; se o ângulo de rotação for determinado, então é um momento unitário adimensional. No caso de um sistema espacial, existem seis componentes de forças internas. O deslocamento generalizado é definido

48. Determinação da tensão sob a ação combinada de flexão e torção

Dobrando com torção

A ação conjunta de flexão com torção é o caso mais comum de carregamento de eixos. Existem cinco componentes de forças internas: Q x , Q y , M x , M y , M z =M kr. Ao calcular, são construídos gráficos de momentos de flexão M x , M y e torque M cr e a seção perigosa é determinada. Momento fletor resultante
. Máx. tensões normais e de cisalhamento em pontos perigosos (A, B):
,

, (para círculo: W=
– momento axial de resistência , W p =
- momento polar de resistência da seção).

As principais tensões nos pontos mais perigosos (A e B):

O teste de resistência é realizado de acordo com uma das teorias de resistência:

IV-º: Teoria de Mohr:

onde m=[ p ]/[ c ] – admitir. por exemplo, tensão/compressão (para materiais frágeis - ferro fundido).

T
.k.W p =2W, obtemos:

O numerador é o momento reduzido de acordo com a teoria de resistência aceita. ;

II-nd: , com coeficiente de Poisson =0,3;

III-I:

ou uma fórmula:
, de onde vem o momento de resistência:
, diâmetro do eixo:
. As fórmulas também são adequadas para calcular a seção anular.