Główne naprężenia zginające. Pełna weryfikacja wytrzymałości belek na zginanie

W przypadku płaskiego zginania poprzecznego, gdy moment zginający działa również w przekrojach belki M i siła ścinająca Q, nie tylko normalne
, ale także naprężenia ścinające .

Normalne naprężenia w zginaniu poprzecznym są obliczane przy użyciu tych samych wzorów, co w przypadku czystego zginania:

;
.(6.24)

P

Ryc.6.11. płaski zakręt

Wyprowadzając wzór, przyjmiemy pewne założenia:

Naprężenia ścinające działające w tej samej odległości Na od osi obojętnej, stała wzdłuż szerokości wiązki;

Naprężenia styczne są wszędzie równoległe do siły Q.

Rozważmy belkę wspornikową w warunkach zginania poprzecznego pod działaniem siły R. Zbudujmy diagramy sił wewnętrznych O y, I M z .

Na odległość X z wolnego końca belki wybieramy elementarny przekrój belki o długości DX i szerokość równa szerokości belki B. Pokażmy siły wewnętrzne działające na ściany elementu: na ściany płyta CD działa siła poprzeczna Q y i moment zginający M z, ale na granicy Ab- także siła poprzeczna Q y i moment zginający M z +dM z(ponieważ Q y pozostaje stała wzdłuż długości belki i momentu M z zmiany, fot. 6.12). Na odległość Na odciąć część elementu od osi neutralnej AbCD, pokażemy naprężenia działające na powierzchnie wynikowego elementu mbcn i rozważ jego równowagę. Na ścianach, które są częścią zewnętrznej powierzchni belki, nie występują naprężenia. Na powierzchniach bocznych elementu od działania momentu zginającego M z powstają normalne naprężenia:

; (6.25)

. (6.26)

Ponadto na tych ścianach od działania siły poprzecznej Q y powstają naprężenia ścinające , te same naprężenia powstają zgodnie z prawem parowania naprężeń stycznych na górnej powierzchni elementu.

Ułóżmy równanie bilansowe pierwiastka mbcn, rzutując rozważane naprężenia wypadkowe na oś X:

. (6.29)

Wyrażenie pod znakiem całki jest momentem statycznym powierzchni bocznej elementu mbcn o osi X, więc możemy pisać

. (6.30)

Biorąc pod uwagę, że zgodnie z zależnościami różnicowymi D. I. Zhuravsky'ego podczas zginania,

, (6.31)

wyrażenie dla styczne naprężenia podczas zginania poprzecznego można przepisać w następujący sposób ( Formuła Żurawskiego)

. (6.32)

Przeanalizujmy wzór Żurawskiego.

Q y jest siłą poprzeczną w rozważanym przekroju;

J z - osiowy moment bezwładności przekroju względem osi z;

B- szerokość przekroju w miejscu wyznaczania naprężeń stycznych;

jest momentem statycznym wokół osi z części przekroju znajdującej się powyżej (lub poniżej) włókna, w którym określa się naprężenie ścinające:

, (6.33)

Gdzie I F" - odpowiednio współrzędna środka ciężkości i powierzchnia rozpatrywanej części przekroju.

6.6 Kompletny test wytrzymałościowy. Niebezpieczne odcinki i niebezpieczne punkty

Aby sprawdzić wytrzymałość na zginanie, zgodnie z obciążeniami zewnętrznymi działającymi na belkę, budowane są wykresy zmian sił wewnętrznych wzdłuż jej długości i określane są niebezpieczne odcinki belki, z których dla każdego konieczne jest przeprowadzenie próby wytrzymałościowej .

Przy pełnym teście wytrzymałości będą co najmniej trzy takie sekcje (czasami pokrywają się):

Przekrój, w którym moment zginający M z osiąga swoją maksymalną wartość modulo;

Przekrój, w którym działa siła poprzeczna Q y, osiąga swoją maksymalną wartość modulo;

Przekrój, w którym i moment zginający M z i siła ścinająca Q y osiągnąć wystarczająco duże wartości modułu.

W każdym z niebezpiecznych odcinków konieczne jest, po zbudowaniu wykresów naprężeń normalnych i ścinających, znalezienie niebezpiecznych punktów przekroju (kontrola wytrzymałości jest przeprowadzana dla każdego z nich), które również będą co najmniej trzy:

Punkt, w którym normalne naprężenia osiągają swoją maksymalną wartość, czyli punkt na zewnętrznej powierzchni belki jest najbardziej oddalony od neutralnej osi przekroju;

Punkt, w którym występują naprężenia ścinające osiągnąć swoją maksymalną wartość, - punkt leżący na neutralnej osi przekroju;

Punkt, w którym zarówno naprężenia normalne, jak i naprężenia ścinające osiągają wystarczająco duże wartości (sprawdzenie to ma sens w przypadku przekrojów takich jak teownik lub dwuteownik, gdzie szerokość przekroju nie jest stała na wysokości).

W zginaniu poprzecznym wraz z momentem zginającym w przekroju działa siła poprzeczna będąca wypadkową naprężeń ścinających.

Konsekwencją działania naprężeń stycznych jest zniekształcenie kształtu przekroju, co przeczy hipotezie o płaskich przekrojach. Po pierwsze, sekcja może doświadczyć deplayatsho, te. nie pozostaje płaski. Po drugie, przekrój po odkształceniu nie pozostaje prostopadły do ​​zakrzywionej osi belki.

Efekty te są uwzględniane w bardziej złożonych teoriach zginania prętów. Jednocześnie dla dużej liczby problemów inżynierskich wzory otrzymane dla czystego zginania można uogólnić na przypadek zginania poprzecznego. Ocena granic stosowalności tych wzorów i odpowiedzialność za uzyskany wynik leżą w kompetencjach kalkulatora.

Aby określić wartości naprężeń normalnych podczas zginania poprzecznego, szeroko stosuje się wzór (5.10). Następnie pokażemy, że w przypadku stałej siły ścinającej ten wzór daje dokładny wynik, a w przypadku zmiennej siły ścinającej te otrzymane w celu wyznaczenia normalnej

podkreśla, we wzorach szczeka błąd w kolejności - Gdzie H- wysokość sekcji; / - długość belki.

Aby określić wielkość naprężeń ścinających, rozważ element belki o długości dx(Rys. 5.8).

Ryż. 5.8.

W prawej i lewej części elementu naprężenia normalne różnią się od siebie o c/o, co wynika z różnicy wartości momentu zginającego o dM pan. Termin związany ze zmianą t wzdłuż długości dx, można zaniedbać jako wielkość najwyższego rzędu małości.

Przyjmijmy założenie: naprężenia styczne w przekroju są skierowane równolegle do działającej w tym przekroju siły ścinającej Q.

Wyznaczmy wartości naprężeń stycznych w punktach odległych o odległość Na od osi neutralnej. Aby to zrobić, odetnij samolot płyta CD z elementu prętowego o długości dx Część łóżko.

W przekroju na wysokości Na działają naprężenia styczne.Jednocześnie na odcinku do niego prostopadłym tj. w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny xz, zgodnie z prawem parowania naprężeń ścinających będą działać naprężenia ścinające o tej samej wielkości.

Ułóżmy równanie równowagi elementu, rzutując w tym celu wszystkie siły działające na ten element na kierunek osi X. Całki zawarte w równaniu równowagi obliczamy w górnej części przekroju A*:

W wyniku przekształceń otrzymujemy następujący wzór do obliczania naprężeń stycznych:

Zgodnie ze wzorem (5.10) i biorąc pod uwagę zależność (5.3), znajdujemy pochodną naprężenia normalnego:

i weź tę wartość pod uwagę w wyrażeniu na naprężenie ścinające:

W rezultacie otrzymujemy następujący wzór do obliczania naprężeń ścinających:

Gdzie Q - siła poprzeczna w przekroju; S* - moment statyczny odciętej części przekroju o powierzchni L* względem osi środkowej; / izg - moment bezwładności przekroju względem osi środkowej; H- szerokość przekroju w miejscu wyznaczania naprężeń ścinających.

Nazywa się formuła (5.21). formułyŻurawski DO

Rozważ belkę o prostokątnym przekroju (ryc. 5.9, A). Wyznaczmy naprężenia normalne i styczne w niebezpiecznym odcinku. Niebezpieczny jest odcinek L, w którym działa maksymalny moment zginający M ng \u003d -I. Jeśli chodzi o siłę poprzeczną, jej wartość w dowolnym przekroju belki jest stała i równa -F.

Ryż. 5.9.

Zgodnie ze wzorami (5.15) i (5.20) określamy wartość maksymalnego naprężenia normalnego:

„Żurawski Dmitrij Iwanowicz (1828-1891) – rosyjski naukowiec i inżynier mechanik, specjalista w dziedzinie budowy mostów i mechaniki budowli, jako pierwszy rozwiązał problem wyznaczania naprężeń ścinających podczas poprzecznego zginania belki.

Obliczmy wielkości zawarte we wzorze (5.21):

W punkcie przekroju w pewnej odległości Na od osi neutralnej wartość naprężenia ścinającego wynosi

Maksymalne napięcie występuje przy y= 0 we włóknach należących do osi centralnej 0t.

To napięcie formalnie ma wartość ujemną, ale jego znak można zignorować, ponieważ nie jest to ważne dla obliczeń.

Oszacujmy stosunek maksymalnych wartości naprężeń normalnych i stycznych powstających w przekroju belki:

Zgodnie ze schematem obliczeniowym belki przyjmuje się, że - 1. Z tego wynika, że ​​naprężenia ścinające mają wyższy rząd wielkości w porównaniu z naprężeniami normalnymi.

Uogólnijmy oszacowanie (5.24) dla belki o długości / i charakterystycznym przekroju A. Z siłą poprzeczną równą F, moment zginający szacuje się jako М izg ~ FI Dla charakterystycznych wartości osiowego momentu bezwładności przekroju, momentu statycznego części przekroju oraz momentu oporu na zginanie otrzymujemy następujące oszacowania:

Dlatego dla maksymalnych naprężeń normalnych i ścinających oszacowania są ważne

Na koniec otrzymujemy następujące oszacowanie stosunku maksymalnych naprężeń stycznych i normalnych:

Oszacowania otrzymane dla określonego przekroju prostokątnego można rozszerzyć na przypadek dowolnego przekroju, z zastrzeżeniem, że przekrój ten jest uważany za masywny. W przypadku profili cienkościennych powyższy wniosek o możliwości pominięcia naprężeń ścinających w porównaniu z naprężeniami normalnymi nie zawsze jest prawdziwy.

Należy zauważyć, że wyprowadzając wzór (5.21) nie byliśmy do końca konsekwentni i wykonując przekształcenia popełniliśmy następujący błąd. Mianowicie wzór na naprężenia normalne, którego użyliśmy, został uzyskany przy założeniu, że hipoteza płaskich przekrojów jest słuszna, tj. przy braku deformacji przekroju. Przykładając naprężenia styczne do elementu dopuściliśmy możliwość zniekształcenia kątów prostych, co naruszyło powyższą hipotezę. Dlatego otrzymane wzory obliczeniowe są przybliżone. Wykres naprężenia ścinającego pokazany na ryc. 5,9, B, wyjaśnia naturę krzywizny przekrojów poprzecznych belki podczas zginania poprzecznego. W skrajnych punktach naprężenia ścinające są równe zeru, dlatego odpowiadające im włókna będą prostopadłe do górnej i dolnej powierzchni belki. Na linii neutralnej, gdzie działają maksymalne naprężenia ścinające, wystąpią maksymalne odkształcenia ścinające.

Jednocześnie zauważamy, że przy stałej wartości siły poprzecznej w przekroju krzywizna wszystkich przekrojów będzie taka sama, dlatego efekt krzywizny nie będzie odzwierciedlany w wielkości podłużnych odkształceń rozciągających i ściskających włókna spowodowane momentem zginającym.

Dla przekrojów o kształcie innym niż prostokątny do wzoru (5.21) wprowadzane są dodatkowe błędy wynikające z niespełnienia przyjętych założeń co do charakteru rozkładu naprężeń stycznych. Na przykład dla okrągłego przekroju naprężenia ścinające w punktach Na kontury przekroju muszą być skierowane stycznie do konturu, a nie równolegle do siły poprzecznej Q. Oznacza to, że naprężenia ścinające muszą mieć składowe działające zarówno wzdłuż osi z, jak i wzdłuż osi z.

Jednak pomimo istniejących sprzeczności, otrzymane wzory dają całkiem zadowalające wyniki w praktycznych obliczeniach. Porównanie wartości naprężeń ścinających określonych wzorem (5.21) z wynikami uzyskanymi metodami dokładnymi pokazuje, że błąd wielkości największego naprężenia ścinającego nie przekracza 5%, tj. ta formuła jest odpowiednia do praktycznych obliczeń.

Poczynimy kilka uwag dotyczących obliczeń wytrzymałości na bezpośrednie zginanie poprzeczne. W przeciwieństwie do czystego zginania w przekroju poprzecznym pręta, przy zginaniu poprzecznym powstają dwa czynniki siły: moment zginający Mmzg i siła poprzeczna Q. Biorąc jednak pod uwagę, że największe naprężenia normalne występują we włóknach najbardziej zewnętrznych, gdzie nie występują naprężenia ścinające (patrz ryc. 5.9, B) a największe naprężenia styczne występują w warstwie neutralnej, gdzie naprężenia normalne są równe zeru, warunki wytrzymałościowe w tych przypadkach formułuje się oddzielnie dla naprężeń normalnych i stycznych:

Wyprowadzając wzór do obliczania naprężeń normalnych, należy rozważyć taki przypadek zginania, gdy siły wewnętrzne w przekrojach belki zmniejszają się tylko do moment zginający, A siła poprzeczna wynosi zero. Ten przypadek zginania nazywa się czyste gięcie. Rozważ środkową część belki poddawanej czystemu zginaniu.

Po załadowaniu belka wygina się tak, że włókna dolne wydłużają się, a włókna górne skracają.

Ponieważ niektóre włókna belki są rozciągane, a niektóre ściskane, następuje przejście od rozciągania do ściskania płynnie, bez skoków, W środek część belki jest warstwa, której włókna tylko się wyginają, ale nie podlegają naprężeniom ani ściskaniu. Taka warstwa to tzw neutralny warstwa. Nazywa się linię, wzdłuż której warstwa neutralna przecina się z przekrojem belki linia neutralna Lub Oś neutralna Sekcje. Linie neutralne są nawleczone na oś belki. linia neutralna jest linią, w której normalne naprężenia są zerowe.

Linie narysowane na bocznej powierzchni belki prostopadłej do osi pozostają płaski podczas zginania. Te dane eksperymentalne umożliwiają wyprowadzenie wzorów hipoteza przekrojów płaskich (hipoteza). Zgodnie z tą hipotezą przekroje belki są płaskie i prostopadłe do jej osi przed zgięciem, pozostają płaskie i stają się prostopadłe do osi wygiętej belki, gdy jest ona zgięta.

Założenia do wyprowadzenia wzorów naprężeń normalnych: 1) Hipoteza płaskich przekrojów jest spełniona. 2) Włókna podłużne nie naciskają na siebie (hipoteza bezciśnieniowa), a zatem każde z włókien jest w stanie jednoosiowego rozciągania lub ściskania. 3) Odkształcenia włókien nie zależą od ich położenia na szerokości przekroju. W konsekwencji naprężenia normalne, zmieniające się wzdłuż wysokości przekroju, pozostają takie same na całej szerokości. 4) Belka ma co najmniej jedną płaszczyznę symetrii i wszystkie siły zewnętrzne leżą w tej płaszczyźnie. 5) Materiał belki jest zgodny z prawem Hooke'a, a moduł sprężystości przy rozciąganiu i ściskaniu jest taki sam. 6) Stosunki między wymiarami belki są takie, że pracuje ona w warunkach zginania płaskiego bez wypaczania czy skręcania.

Rozważ belkę o dowolnym przekroju, ale mającą oś symetrii. Moment zginający reprezentuje wypadkowy moment wewnętrznych sił normalnych powstające na nieskończenie małych obszarach i mogą być wyrażone w kategoriach całka formularz: (1), gdzie y jest ramieniem siły elementarnej względem osi x

Formuła (1) wyraża statyczny stronie problemu zginania pręta prostego, ale wzdłuż niego zgodnie ze znanym momentem zginającym niemożliwe jest określenie naprężeń normalnych, dopóki nie zostanie ustalone prawo ich rozkładu.

Wybierz belki w środkowej sekcji i rozważ odcinek o długości dz, podlega zginaniu. Przybliżmy to.

Przekroje ograniczające przekrój dz, równolegle do siebie przed odkształceniem i po przyłożeniu obciążenia obracają swoje neutralne linie pod kątem . Długość odcinka włókien warstwy neutralnej nie ulegnie zmianie. i będzie równy: , gdzie to jest promień krzywizny zakrzywiona oś belki. Ale każde inne leżące włókno poniżej lub powyżej warstwa neutralna, zmieni swoją długość. Obliczać względne wydłużenie włókien znajdujących się w odległości y od warstwy neutralnej. Wydłużenie względne to stosunek odkształcenia bezwzględnego do pierwotnej długości, wtedy:

Zmniejszamy przez i redukujemy wyrazy podobne, a następnie otrzymujemy: (2) Ta formuła wyraża geometryczny strona czystego problemu zginania: odkształcenia włókien są wprost proporcjonalne do ich odległości od warstwy neutralnej.

Przejdźmy teraz do podkreśla, tj. rozważymy fizyczny stronie zadania. zgodnie z założenie bezciśnieniowe włókna są używane w osiowym rozciąganiu-ściskaniu: następnie, biorąc pod uwagę wzór (2) mamy (3), te. normalne naprężenia podczas zginania wzdłuż wysokości przekroju rozkładają się zgodnie z prawem liniowym. Na skrajnych włóknach naprężenia normalne osiągają maksymalne wartości, aw środku ciężkości przekroje są równe zeru. Zastąpić (3) do równania (1) i wyjąć ułamek ze znaku całki jako stałą wartość, to mamy . Ale wyrażenie jest osiowy moment bezwładności przekroju względem osi x - ja x. Jego wymiar cm 4, m 4

Następnie ,Gdzie (4) , gdzie jest krzywizna wygiętej osi belki, a jest sztywnością przekroju belki podczas zginania.

Zastąp wynikowe wyrażenie krzywizna (4) w wyrażenie (3) i dostać wzór do obliczania naprężeń normalnych w dowolnym punkcie przekroju: (5)

To. maksymalny pojawiają się naprężenia w punktach najbardziej oddalonych od linii neutralnej. Postawa (6) zwany moduł przekroju osiowego. Jego wymiar cm 3, m 3. Moment oporu charakteryzuje wpływ kształtu i wymiarów przekroju poprzecznego na wielkość naprężeń.

Następnie maksymalne napięcia: (7)

Warunek wytrzymałości na zginanie: (8)

Podczas zginania poprzecznego nie tylko normalne, ale także naprężenia ścinające, ponieważ dostępny siła ścinająca. Naprężenia ścinające skomplikować obraz deformacji, prowadzą do krzywizna przekroje poprzeczne belki, w wyniku czego hipoteza płaskich przekrojów jest naruszona. Jednak badania pokazują, że zniekształcenia wprowadzone przez naprężenia ścinające nieznacznie wpływają na naprężenia normalne obliczone według wzoru (5) . Tak więc przy określaniu naprężeń normalnych w przypadku zginania poprzecznego teoria czystego zginania ma całkiem zastosowanie.

Linia neutralna. Pytanie o położenie linii neutralnej.

Podczas zginania nie ma siły wzdłużnej, więc możemy pisać Podstaw tutaj wzór na naprężenia normalne (3) i dostać Ponieważ moduł sprężystości materiału belki nie jest równy zeru, a zagięta oś belki ma skończony promień krzywizny, pozostaje przyjąć, że ta całka jest statyczny moment powierzchni przekrój poprzeczny belki względem osi neutralnej x i od tego czasu jest równa zeru, to linia neutralna przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Rozważmy belkę, która jest w płaskim, bezpośrednim zginaniu pod działaniem dowolnych obciążeń poprzecznych w płaszczyźnie głównej Ohu(ryc. 7.31, A). Przecinamy belkę w odległości x od jej lewego końca i rozważamy równowagę lewej strony. Wpływ prawej strony w tym przypadku należy zastąpić działaniem momentu zginającego A / i siły poprzecznej Pyt w narysowanym przekroju (ryc. 7.31, B). Moment zginający L7 w ogólnym przypadku nie jest wielkością stałą, jak w przypadku czystego zginania, ale zmienia się wzdłuż długości belki. Od momentu zginania M

zgodnie z (7.14) wiąże się z naprężeniami normalnymi o = a x, to naprężenia normalne we włóknach podłużnych również będą się zmieniać wzdłuż długości belki. Dlatego w przypadku zginania poprzecznego naprężenia normalne są funkcjami zmiennych x i y: za x = za x (x, y).

Przy zginaniu poprzecznym w przekroju belki działają nie tylko normalne, ale także naprężenia styczne t (ryc. 7.31, V), którego wypadkowa jest siłą poprzeczną Pytanie:

Obecność naprężeń ścinających wow towarzyszy pojawienie się deformacji kątowych y. Naprężenia ścinające, podobnie jak naprężenia normalne, rozkładają się nierównomiernie na przekroju poprzecznym. W konsekwencji odkształcenia kątowe związane z nimi przez prawo Hooke'a przy ścinaniu również będą rozłożone nierównomiernie. Oznacza to, że w przypadku zginania poprzecznego, w przeciwieństwie do czystego zginania, przekroje belki nie pozostają płaskie (naruszona zostaje hipoteza J. Bernoulliego).

Krzywiznę przekrojów poprzecznych można wyraźnie pokazać na przykładzie zginania wspornikowej prostokątnej belki gumowej pod wpływem siły skupionej przyłożonej na końcu (ryc. 7.32). Jeśli najpierw narysujesz linie proste prostopadłe do osi belki na powierzchniach bocznych, to po zgięciu te linie nie pozostaną proste. W tym przypadku są one wygięte tak, że największe przesunięcie następuje na poziomie warstwy neutralnej.

Dokładniejsze badania wykazały, że wpływ odkształcenia przekroju poprzecznego na wartość naprężeń normalnych jest nieznaczny. Zależy to od stosunku wysokości przekroju H do długości belki / i przy H/ / o x w zginaniu poprzecznym zwykle stosuje się wzór (7.14), wyprowadzony dla przypadku czystego zginania.

Drugą cechą zginania poprzecznego jest obecność normalnych naprężeń O y, działająca w przekrojach podłużnych belki i charakteryzująca wzajemny nacisk między warstwami podłużnymi. Naprężenia te występują w obszarach, w których występuje obciążenie rozłożone Q, i miejsca przyłożenia sił skupionych. Zwykle naprężenia te są bardzo małe w porównaniu z normalnymi naprężeniami. x. Szczególnym przypadkiem jest działanie siły skupionej, w obszarze działania której mogą powstać znaczne lokalne naprężenia. i Ty.

Zatem nieskończenie mały element na płaszczyźnie Ohu w przypadku zginania poprzecznego znajduje się w stanie naprężenia dwuosiowego (ryc. 7.33).

Naprężenia m i o, jak również naprężenie o Y są generalnie funkcjami współrzędnych* i y. Muszą spełniać równania równowagi różniczkowej, które dla dwuosiowego stanu naprężenia ( za z = T yz = = 0) pod nieobecność

siły objętościowe mają postać:

Równania te można wykorzystać do określenia naprężeń ścinających = t i naprężeń normalnych jednostka organizacyjna Najłatwiej to zrobić dla belki o przekroju prostokątnym. W tym przypadku przy określaniu m przyjmuje się założenie o ich równomiernym rozmieszczeniu na szerokości przekroju (ryc. 7.34). Założenie to zostało przyjęte przez słynnego rosyjskiego budowniczego mostów D.I. Żurawski. Z badań wynika, że ​​założenie to prawie dokładnie odpowiada rzeczywistemu charakterowi rozkładu naprężeń ścinających przy zginaniu dla dość wąskich i wysokich belek. (B « I).

Korzystając z pierwszego z równań różniczkowych (7.26) i wzoru (7.14) dla naprężeń normalnych x, dostajemy

Całkowanie tego równania względem zmiennej tak, znajdować

Gdzie f(x)- funkcja dowolna, do zdefiniowania której wykorzystujemy warunek braku naprężeń stycznych na dolnej powierzchni belki:

Biorąc pod uwagę ten warunek brzegowy, z (7.28) znajdujemy

Ostatecznie wyrażenie na naprężenia styczne działające w przekrojach poprzecznych belki przyjmuje następującą postać:

Na mocy prawa parowania naprężeń stycznych naprężenia styczne t, = t powstają również w przekrojach podłużnych

hu uh

wiązki równoległe do warstwy neutralnej.

Ze wzoru (7.29) wynika, że ​​naprężenia ścinające zmieniają się wzdłuż wysokości przekroju poprzecznego belki zgodnie z prawem paraboli kwadratowej. Naprężenia ścinające mają największą wartość w punktach na poziomie osi obojętnej przy y= 0, aw skrajnych włóknach wiązki przy y = ±h/2 są równe zeru. Korzystając ze wzoru (7.23) na moment bezwładności przekroju prostokątnego, otrzymujemy

Gdzie F=bh- pole przekroju poprzecznego belki.

Działka t jest pokazana na ryc. 7.34.

W przypadku belek o przekroju innym niż prostokątny (Rys. 7.35) trudno jest wyznaczyć naprężenia styczne m z równania równowagi (7.27), ponieważ warunek brzegowy dla m nie jest znany we wszystkich punktach przekroju kontur przekroju. Wynika to z faktu, że w tym przypadku naprężenia ścinające m działają w przekroju poprzecznym, które nie są równoległe do siły poprzecznej Pyt. Rzeczywiście można wykazać, że w punktach w pobliżu konturu przekroju całkowite naprężenie ścinające m jest skierowane stycznie do konturu. Rozważmy w pobliżu dowolnego punktu konturu (patrz ryc. 7.35) nieskończenie mały obszar dF w płaszczyźnie przekroju poprzecznego i platformy prostopadłej do niej dF" po stronie belki. Jeżeli całkowite naprężenie m w punkcie konturu nie jest skierowane stycznie, to można je rozłożyć na dwie składowe: xvx w kierunku normalnej v do konturu i X w kierunku stycznej T do konturu. Dlatego zgodnie z prawem parowania naprężeń ścinających na miejscu dF" powinien-

ale działaj naprężenie ścinające x równe x vv . Jeżeli powierzchnia boczna jest wolna od obciążeń stycznych, to składowa x vv = zvx = 0, czyli całkowite naprężenie ścinające x musi być skierowane stycznie do konturu przekroju, jak pokazano np. w punktach L i W kontur.

W konsekwencji naprężenie ścinające x zarówno w punktach konturu, jak iw dowolnym punkcie przekroju poprzecznego można rozłożyć na ich składowe x.

Aby określić składowe x naprężenia ścinającego w belkach o przekroju innym niż prostokątny (ryc. 7.36, B) załóżmy, że przekrój ma pionową oś symetrii i że składowa x całkowitego naprężenia ścinającego x, podobnie jak w przypadku przekroju prostokątnego, jest równomiernie rozłożona na jego szerokości.

Używając przekroju podłużnego równoległego do płaszczyzny Oxz i mijania na odległość Na z niego oraz dwa przekroje poprzeczne xx + dx mentalnie wyciąć z dołu belki nieskończenie mały element długości dx(ryc. 7.36, V).

Zakładamy, że moment zginający M zmienia się w długości dx rozważany element belki i siła poprzeczna Q stały. Następnie w przekrojach x i x + dx belki będą działać z tymi samymi naprężeniami ścinającymi x i normalnymi naprężeniami wynikającymi z momentów zginających MzMMz+ dM, będą odpowiednio równe A I A + da. Wzdłuż poziomej powierzchni wybranego elementu (na ryc. 7.36, V pokazano to w aksonometrii) zgodnie z prawem parowania naprężeń ścinających, będą działać naprężenia x v „ \u003d x.

hu uh

wynikowy R I R+dR normalne naprężenia o i o + d stosowane na końcach elementu, biorąc pod uwagę wzór (7.14) są równe

Gdzie

odcięty moment statyczny F(na ryc. 7.36, B zacieniony) względem osi neutralnej Oz y, - zmienna pomocnicza, zmieniająca się w obrębie Na

Zastosowano wynikowe naprężenie ścinające t

hu

do poziomej krawędzi elementu, uwzględniając wprowadzone założenie o równomiernym rozkładzie tych naprężeń na szerokości przez) można znaleźć według wzoru

Warunek równowagi dla elementu X=0 daje

Zastępując wartości sił wypadkowych, otrzymujemy

Stąd, biorąc pod uwagę (7.6), otrzymujemy wzór na określenie naprężeń ścinających:

Ta formuła w literaturze krajowej nazywa się formuła DI Żurawski.

Zgodnie ze wzorem (7.32) rozkład naprężeń stycznych m wzdłuż wysokości przekroju zależy od zmiany szerokości przekroju B(y) oraz moment statyczny odciętej części odcinka S OTC (y).

Za pomocą wzoru (7.32) najprościej określa się naprężenia ścinające dla belki prostokątnej rozważanej powyżej (ryc. 7.37).

Moment statyczny pola przekroju poprzecznego odcięcia F qtc jest równy

Podstawiając 5° TC do (7.32), otrzymujemy wcześniej wyprowadzony wzór (7.29).

Wzór (7.32) można wykorzystać do wyznaczenia naprężeń stycznych w belkach o skokowo stałej szerokości przekroju. W każdym przekroju o stałej szerokości naprężenia ścinające zmieniają się wzdłuż wysokości przekroju zgodnie z prawem paraboli kwadratowej. W miejscach gwałtownej zmiany szerokości przekroju naprężenia ścinające mają również skoki lub nieciągłości. Charakter diagramu m dla takiego przekroju pokazano na ryc. 7.38.

Ryż. 7.37

Ryż. 7.38

Rozważ rozkład naprężeń stycznych w przekroju dwuteowym (ryc. 7.39, A) podczas zginania w płaszczyźnie Ohu. Dwuteownik można przedstawić jako koniugację trzech wąskich prostokątów: dwóch poziomych półek i pionowej ściany.

Obliczając m w ścianie we wzorze (7.32), należy wziąć b(y) - re. W rezultacie otrzymujemy

Gdzie S° 1C obliczona jako suma momentów statycznych wokół osi Oz powierzchnia półki F przym i części ściany F, zacieniony na rys. 7.39, A:

Naprężenia ścinające t mają największą wartość na poziomie osi neutralnej w y= 0:

gdzie jest momentem statycznym obszaru połowy przekroju względem osi neutralnej:

Dla dwuteowników tocznych i ceowników w asortymencie podana jest wartość momentu statycznego połowy przekroju.

Ryż. 7.39

Na poziomie styku ściany z półkami występują naprężenia ścinające 1 ? równy

Gdzie S"- statyczny moment pola przekroju kołnierza względem osi neutralnej:

Pionowych naprężeń ścinających m w półkach belki dwuteowej nie można znaleźć za pomocą wzoru (7.32), ponieważ ze względu na fakt, że B :» T, niedopuszczalne staje się założenie ich równomiernego rozmieszczenia na szerokości półki. Na górnej i dolnej powierzchni półki naprężenia te muszą być równe zeru. Dlatego tw

Wow

półki są bardzo małe i nie mają praktycznego znaczenia. Znacznie bardziej interesujące są poziome naprężenia ścinające w półkach m, dla określenia których rozważamy równowagę nieskończenie małego elementu wybranego z dolnej półki (ryc. 7.39 , B).

Zgodnie z prawem parowania naprężeń stycznych na podłużnej powierzchni tego elementu, równolegle do płaszczyzny Ohu działa napięcie XXZ , równa wielkości naprężenia t działającego w przekroju poprzecznym. Ze względu na małą grubość półki belki dwuteowej można założyć, że naprężenia te są równomiernie rozłożone na grubości półki. Mając to na uwadze, z równania równowagi dla elementu 5^=0 będziemy mieli

Stąd znajdujemy

Podstawiając do tego wzoru wyrażenie for x z (7.14) i biorąc pod uwagę, że dostajemy

Jeśli się uwzględni

Gdzie S° TC - moment statyczny obszaru odcięcia półki (na ryc. 7.39, A dwukrotnie cieniowany) względem osi Oz, w końcu dostajemy

Zgodnie z rys. 7.39 , A

Gdzie z- zmienna oparta na osiach jednostka organizacyjna

Mając to na uwadze, wzór (7.34) można przedstawić jako

To pokazuje, że poziome naprężenia ścinające zmieniają się liniowo wzdłuż osi Oz i przyjąć największą wartość w z = d/2:

na ryc. 7.40 pokazuje wykresy naprężeń ścinających t i t^, a także kierunki tych naprężeń w półkach i ścianie belki dwuteowej pod działaniem dodatniej siły poprzecznej w przekroju belki Q. Naprężenia ścinające, mówiąc obrazowo, tworzą ciągły przepływ w przekroju belki dwuteowej, skierowany w każdym punkcie równoległym do konturu przekroju.

Przejdźmy do definicji naprężeń normalnych i o godz w podłużnych przekrojach belki. Rozważ przekrój belki z równomiernie rozłożonym obciążeniem wzdłuż górnej powierzchni (ryc. 7.41). Zakłada się, że przekrój poprzeczny belki jest prostokątny.

Używamy do ustalenia drugie z równań równowagi różniczkowej (7.26). Podstawiając w tym wzorze równania (7.32) naprężenia ścinające t uh, biorąc pod uwagę (7.6), otrzymujemy

Całkując po zmiennej tak, znajdować

Tutaj f(x) - dowolna funkcja zdefiniowana za pomocą warunku brzegowego. Zgodnie z warunkami zadania belka jest obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem Q wzdłuż górnej powierzchni, a dolna powierzchnia jest wolna od obciążeń. Następnie odpowiednie warunki brzegowe są zapisywane jako

Korzystając z drugiego z tych warunków, otrzymujemy

Mając to na uwadze, wzór na naprężenia i o godz przyjmie następującą postać:

Z tego wyrażenia widać, że naprężenia o zmieniają się wzdłuż wysokości przekroju zgodnie z prawem paraboli sześciennej. W tym przypadku oba warunki brzegowe (7.35) są spełnione. Najwyższa wartość napięcia zajmuje górną powierzchnię belki przy y=-h/2:

Charakter działki i o godz pokazany na ryc. 7.41.

Aby oszacować wielkość największych naprężeń o. a, i m oraz zależności między nimi, rozważ np. ugięcie belki wspornikowej o przekroju prostokątnym o wymiarach bxh, pod działaniem równomiernie rozłożonego obciążenia przyłożonego do górnej powierzchni belki (ryc. 7.42). Największe naprężenia bezwzględne występują na zakończeniu. Zgodnie ze wzorami (7.22), (7.30) i (7.37) naprężenia te są równe

Jak zwykle w przypadku belek l/godz» 1, to z otrzymanych wyrażeń wynika, że ​​akcenty z x w wartości bezwzględnej przekraczają naprężenia m, a zwłaszcza i Ty. Więc kiedy np 1/ja == 10 dostajemy a x / m xy \u003d 20 ', o x / c y \u003d 300.

Zatem największym praktycznym zainteresowaniem w obliczaniu belek na zginanie są naprężenia x, belki działające w przekrojach. Napięcie z y, charakteryzujące wzajemne naciski podłużnych warstw belki, są pomijalne w porównaniu z o v .

Wyniki uzyskane w tym przykładzie pokazują, że hipotezy postawione w § 7.5 są dobrze uzasadnione.

Płaskie (proste) zagięcie- gdy moment zginający działa w płaszczyźnie przechodzącej przez jedną z głównych centralnych osi bezwładności przekroju, tj. wszystkie siły leżą w płaszczyźnie symetrii belki. Główne hipotezy(założenia): hipoteza braku nacisku włókien podłużnych: włókna równoległe do osi belki ulegają odkształceniu rozciągająco-ściskającemu i nie wywierają na siebie nacisku w kierunku poprzecznym; hipoteza płaskich przekrojów: przekrój belki, który jest płaski przed odkształceniem, pozostaje płaski i normalny do zakrzywionej osi belki po odkształceniu. W przypadku zginania płaskiego, w ogólnym przypadku, czynniki siły wewnętrznej: siła wzdłużna N, siła poprzeczna Q i moment zginający M. N>0 jeżeli siła wzdłużna jest rozciągająca; przy M>0 włókna od góry belki są ściskane, od dołu są rozciągane. .

Warstwę, w której nie ma wydłużeń nazywamy warstwa neutralna(oś, linia). Dla N=0 i Q=0 mamy przypadek czysty zakręt. Naprężenia normalne:
, to promień krzywizny warstwy neutralnej, y to odległość od pewnego włókna do warstwy neutralnej.

43) Ekscentryczne rozciąganie i ściskanie

Napięcie i kompresja

 - normalne napięcie[Pa], 1Pa (paskal) \u003d 1 N / m2,

10 6 Pa \u003d 1 MPa (megapaskal) \u003d 1 N / mm 2

N - siła wzdłużna (normalna) [N] (niuton); F - pole przekroju poprzecznego [m 2]

 - odkształcenie względne [wartość bezwymiarowa];

L - odkształcenie wzdłużne [m] (wydłużenie bezwzględne), L - długość pręta [m].

-Prawo Hooke'a -  = E

E - moduł sprężystości przy rozciąganiu (moduł sprężystości I rodzaju lub moduł Younga) [MPa]. Dla stali E = 210 5 MPa = 210 6 kg / cm 2 (w „starym” układzie jednostek).

(im więcej E, tym mniej rozciągliwy materiał)

;
- Prawo Hooke'a

EF - sztywność pręta przy rozciąganiu (ściskaniu).

Gdy pręt jest rozciągany, „cienieje”, jego szerokość - a zmniejsza się przez odkształcenie poprzeczne - a.

-względne odkształcenie poprzeczne.

-współczynnik Poissona [wartość bezwymiarowa];

 waha się od 0 (korek) do 0,5 (guma); dla stali  0,250,3.

Jeśli siła wzdłużna i przekrój poprzeczny nie są stałe, to wydłużenie pręta:

Praca rozciągająca:
, energia potencjalna:

47. Całka Mohra

Uniwersalną metodą wyznaczania przemieszczeń (kątów liniowych i obrotu) jest metoda Mohra. Pojedyncza uogólniona siła jest przykładana do układu w punkcie, dla którego poszukiwane jest uogólnione przemieszczenie. Jeśli określone jest ugięcie, to siła jednostkowa jest bezwymiarową siłą skupioną, jeśli określony jest kąt obrotu, to jest to bezwymiarowy moment jednostkowy. W przypadku układu przestrzennego występuje sześć składowych sił wewnętrznych. Uogólnione przemieszczenie jest zdefiniowane

48. Wyznaczanie naprężeń pod połączonym działaniem zginania i skręcania

Zginanie ze skrętem

Wspólne działanie zginania ze skręcaniem jest najczęstszym przypadkiem wałów obciążających. Istnieje pięć składowych sił wewnętrznych: Q x , Q y , M x , M y , M z = M kr. Podczas obliczeń budowane są wykresy momentów zginania M x , My y i momentu obrotowego M cr oraz określany jest niebezpieczny odcinek. Wypadkowy moment zginający
. Maks. naprężenia normalne i ścinające w punktach niebezpiecznych (A, B):
,

, (dla okręgu: W=
– osiowy moment oporu , W p =
- biegunowy moment oporu przekroju).

Główne naprężenia w najbardziej niebezpiecznych punktach (A i B):

Próbę wytrzymałościową przeprowadza się według jednej z teorii wytrzymałościowych:

IV-ty: Teoria Mohra:

gdzie m=[ p ]/[ c ] – dopuszczać. np. rozciąganie/ściskanie (dla materiałów kruchych – żeliwo).

T
.kW p =2W, otrzymujemy:

Licznik jest momentem zredukowanym zgodnie z przyjętą teorią wytrzymałości. ;

II-nd: , ze współczynnikiem Poissona =0,3;

III-I:

lub jedna formuła:
, skąd moment oporu:
, średnica wału:
. Wzory są również odpowiednie do obliczania przekroju pierścieniowego.