ساخت منحنی های الگو به شرح زیر انجام می شود:

ابتدا نقاط مربوط به منحنی مشخص شده و سپس با استفاده از یک الگو به هم متصل می شوند. منحنی‌های الگو شامل بخش‌های مخروطی سهمی، هذلولی، بیضی است که از بریدن یک مخروط دایره‌ای با صفحه، در پیچ، سینوسی و غیره به دست می‌آید.

1. ساخت بیضی.

2. فوکوس بیضی

3. ساخت سهمی

6. رسم منحنی های الگو.

بیضی یک مقطع مخروطی است که به منحنی های الگو تعلق دارد. بیضی، هذلولی و سهمی از بریدن یک مخروط دایره ای با منحنی های صفحه، سینوسی، در پیچ و غیره به دست می آیند.

شکل 41. تقاطع یک مخروط توسط یک صفحه در امتداد یک بیضی (a) و یک بیضی (b).

برای ساختن منحنی های الگو (پارابولا، بیضی، هذلولی) نقاطی که به منحنی تعلق دارند مشخص شده و سپس تمام نقاط با استفاده از یک الگو به هم متصل می شوند. در موردی که سطح یک مخروط دایره‌ای با صفحه شیبدار -P بریده می‌شود، به طوری که صفحه مایل تمام ژنراتورهای مخروط دایره‌ای را قطع می‌کند، در خود صفحه مقطع یک بیضی تشکیل می‌شود (شکل 41، a ).

بیضی یک منحنی مسطح بسته است که در آن مجموع فواصل هر یک از نقاط آن - M تا دو نقطه داده شده F1 و F2 - یک مقدار ثابت است. این مقدار ثابت برابر با محور اصلی بیضی MF1 + MF2 = AB است.

شکل 42. ساخت بیضی در امتداد محورها


بنابراین، محورها منحنی بیضی را به چهار قسمت متقارن دو به دو تقسیم می کنند. اگر از انتهای CD محور فرعی، مانند مرکزها، کمانی دایره ای به شعاع نصف محور اصلی بیضی را توصیف کنیم R=OA=OB، آنگاه آن را در نقاط F1 و F2 قطع خواهد کرد. که به آنها کانون می گویند.

شکل 42 نمونه ای از ساختن یک بیضی در امتداد محورهای آن را نشان می دهد. روی محورهای داده شده AB و CD، مانند قطر، دو دایره متحدالمرکز با مرکز در نقطه O می سازیم. دایره بزرگ را به تعداد دلخواه قسمت تقسیم می کنیم و به هم وصل می کنیم. نقاط حاصل با خطوط مستقیم به مرکز O.

از نقاط تقاطع 1؛ 2 3; 4; با دایره های کمکی، بخش هایی از خطوط افقی و عمودی را می کشیم تا جایی که در نقاط E، F، K، M که متعلق به بیضی هستند، یکدیگر را قطع می کنند. در مرحله بعد، با استفاده از یک الگو، نقاط ساخته شده از یک منحنی صاف به هم متصل شده و نتیجه یک بیضی است.

ساخت منحنی های الگو، سهمی

شکل 43. تقاطع یک مخروط توسط یک صفحه در امتداد سهمی. ساخت سهمی با استفاده از فوکوس و جهت.

اگر یک مخروط دایره‌ای موازی با یکی از ژنراتیکس‌های آن با صفحه شیبدار P برش دهید، یک سهمی در صفحه مقطع تشکیل می‌شود (شکل 43 a را ببینید. سهمی یک خط منحنی مسطح است). هر نقطه سهمی از خط مستقیم داده شده -MN و از کانون -F در همان فاصله قرار دارد.

خط مستقیم MN یک راهنما است و به صورت عمود بر محور سهمی قرار دارد تمرکز و یک راهنمای داده شده، از طریق نقطه تمرکز -F، محور سهمی -X، راهنمای عمود بر -MN را رسم کنید.

قسمت-EF را به دو نیم تقسیم کنید و راس سهمی A را از راس سهمی در فاصله دلخواه به دست آورید، خطوط مستقیم عمود بر محور سهمی بکشید. از نقطه -F با شعاع مساوی با فاصله -L، از خط مستقیم مربوطه به راهنما، به عنوان مثال CB، یک خط مستقیم به این می سازیم. در این صورت نقاط ج و ب.

پس از ساختن چندین جفت نقطه متقارن، با استفاده از یک الگو، یک منحنی صاف از میان آنها رسم می کنیم. شکل (43 ج) نمونه ای از ساخت سهمی مماس بر دو خط مستقیم OA و OB در نقاط A و B را نشان می دهد. قطعات OA و OB به همان تعداد قسمت مساوی تقسیم می شوند (مثلاً به هشت قسمت تقسیم می شوند). پس از این، نقاط تقسیم حاصل شماره گذاری شده و با خطوط مستقیم 1-1 به هم متصل می شوند. 2-2; 3-3 (نگاه کنید به شکل 43، ج) و غیره. این خطوط مماس بر منحنی سهمی هستند. سپس یک منحنی سهمی مماس صاف در کانتوری که توسط خطوط مستقیم تشکیل شده است ثبت می شود.

اگر مخروط های مستقیم و معکوس را با صفحه ای موازی با دو ژنراتیس آن یا در یک مورد خاص موازی با محور برش دهید، در صفحه مقطع، هذلولی متشکل از دو شاخه متقارن دریافت خواهید کرد (شکل 45، a را ببینید). .

شکل 45. تقاطع یک مخروط توسط یک صفحه در امتداد یک هذلولی (a) و ساخت یک هذلولی (b).

هذلولی (شکل 45،b) منحنی مسطحی است که در آن اختلاف فاصله هر یک از نقاط آن تا دو نقطه داده شده F1 و F2 که کانون نامیده می شوند، یک مقدار ثابت و برابر با فاصله بین رئوس a و b آن است. به عنوان مثال SF1-SF2=ab. هذلولی دارای دو محور تقارن است - AB واقعی و سی دی خیالی.

دو خط مستقیم KL و K1 L1 که از مرکز O هذلولی می گذرند و شاخه های آن را در بی نهایت لمس می کنند مجانبی نامیده می شوند. هذلولی را می توان از رئوس داده شده a و b و کانون های F1 و F2 ساخت. ما رئوس هذلولی را با نوشتن یک مستطیل در دایره ای که در فاصله کانونی (بخش F1 و F2) ساخته شده است، مانند قطر تعیین می کنیم.

روی محور واقعی AB در سمت راست فوکوس F2 به صورت دلخواه 1، 2، 3، 4، ... از فوکوس های F1 و F2 کمان هایی از دایره ها را ابتدا با شعاع a-1 و سپس b-1 رسم می کنیم تا تقاطع متقابل در دو طرف محور واقعی هذلولی. سپس تقاطع متقابل جفت کمان بعدی را با شعاع a-2 و b-2 (نقطه S) و غیره انجام می دهیم.

نقاط تقاطع حاصل از کمان ها متعلق به شاخه سمت راست هذلولی است. نقاط شاخه سمت چپ با نقاط ساخته شده نسبت به CD محور فرضی متقارن خواهند بود.

سینوسی عبارت است از پیش‌بینی مسیر نقطه‌ای که در امتداد یک مارپیچ استوانه‌ای روی صفحه‌ای موازی با محور استوانه حرکت می‌کند. حرکت یک نقطه از یک حرکت چرخشی یکنواخت (حول محور استوانه) و یک حرکت انتقالی یکنواخت (موازی با استوانه) تشکیل شده است.

شکل 46. ساخت یک سینوسی

موج سینوسی یک منحنی مسطح است که تغییر تابع سینوسی مثلثاتی را بسته به تغییر بزرگی زاویه نشان می دهد. برای ساختن یک سینوسی (شکل 46)، از مرکز O یک دایره به قطر D، یک خط مستقیم OX رسم کنید و روی آن یک قطعه O1 A برابر طول دایره رسم کنید. π دی. این قسمت و دایره را به همان تعداد قسمت مساوی تقسیم می کنیم. از نقاط به دست آمده و شماره گذاری شده خطوط مستقیم عمود بر یکدیگر ترسیم می کنیم. نقاط تقاطع حاصل از این خطوط را با استفاده از یک الگوی منحنی صاف به هم وصل می کنیم.

رسم منحنی های الگو

منحنی های الگو توسط نقاط ساخته می شوند. این نقاط با استفاده از الگوها به هم متصل می شوند، ابتدا یک منحنی با دست ترسیم می کنند. اصل اتصال نقاط منحنی به شرح زیر است:

آن قسمت از قوس الگو را انتخاب می کنیم که به بهترین وجه با بیشترین تعداد نقاط منحنی مشخص شده منطبق باشد. در مرحله بعد، کل قوس منحنی که با الگو منطبق است را نمی کشیم، بلکه فقط قسمت وسط آن را می کشیم. بعد از این قسمت دیگری از الگو را انتخاب می کنیم اما به طوری که این قسمت تقریباً یک سوم منحنی ترسیم شده و حداقل دو نقطه بعدی منحنی و ... را لمس کند. این یک انتقال صاف بین قوس های منحنی را تضمین می کند.

ما به شما توصیه می کنیم مقاله را دوباره در شبکه های اجتماعی منتشر کنید!

ساخت بیضی

بیضی یک منحنی محدب مسطح بسته است که مجموع فواصل هر نقطه آن تا دو نقطه معین که کانون نامیده می‌شود، ثابت و برابر با طول محور اصلی است. ساخت یک بیضی در امتداد دو محور (شکل 23) به شرح زیر انجام می شود:

• - خطوط محوری را ترسیم کنید که بر روی آنها بخش های AB و CD، برابر با محورهای اصلی و فرعی بیضی، از نقطه تقاطع O به طور متقارن قرار می گیرند.
• - دو دایره با شعاع مساوی نصف محورهای بیضی با مرکز در نقطه تقاطع محورها بسازید.
• - دایره را به دوازده قسمت مساوی تقسیم کنید. تقسیم دایره همانطور که در بند 2.3 نشان داده شده است انجام می شود.
• پرتوهای قطری از طریق نقاط به دست آمده کشیده می شوند.
• - خطوط مستقیم از نقاط تقاطع پرتوها با دایره های مربوطه به موازات محورهای بیضی کشیده می شوند تا زمانی که در نقاطی که روی بیضی قرار دارند یکدیگر را قطع کنند.
• - نقاط به دست آمده توسط یک خط منحنی صاف با استفاده از الگوها به هم متصل می شوند. هنگام ساخت یک خط منحنی الگو، لازم است الگو را طوری انتخاب و قرار دهید که حداقل چهار تا پنج نقطه به هم متصل شوند.

راه های دیگری برای ساختن بیضی وجود دارد.

ساخت سهمی

سهمی یک خط منحنی مسطح است که هر نقطه آن از جهت DD 1 - یک خط مستقیم عمود بر محور تقارن سهمی، و از کانون F، نقطه ای در محور تقارن فاصله دارد. فاصله KF بین جهت و کانون را پارامتر سهمی می نامند پ.

شکل 24 نمونه ای از رسم سهمی در امتداد راس O، محور OK و وتر CD را نشان می دهد. ساخت و ساز به شرح زیر انجام می شود:

• - یک خط مستقیم افقی بکشید که روی آن راس O مشخص شده و محور OK رسم شده است.
• - از طریق نقطه K، عمودی رسم کنید که طول وتر سهمی به طور متقارن بالا و پایین رسم می شود.
• - یک مستطیل ABCD بسازید که یک ضلع آن برابر با محور و طرف دیگر برابر وتر سهمی باشد.
• - سمت BC به چندین قسمت مساوی تقسیم می شود و KC را به همان تعداد قسمت مساوی تقسیم می کنیم.
• - از راس سهمی O ، پرتوها از طریق نقاط 1 ، 2 و غیره و از طریق نقاط 1 1 ، 2 1 و غیره کشیده می شوند.
• - خطوط مستقیم موازی با محورها رسم کنید و نقاط تقاطع پرتوها را با خطوط موازی مربوطه تعیین کنید، به عنوان مثال، نقطه تقاطع پرتو O1 با خط مستقیم O1 1 که متعلق به سهمی است.
• - نقاط به دست آمده توسط یک خط منحنی صاف در زیر الگو به هم متصل می شوند. شاخه دوم سهمی به روشی مشابه ساخته شده است.

راه های دیگری برای ساختن سهمی وجود دارد.

چگونه یک سهمی بسازیم؟ چندین روش برای رسم نمودار یک تابع درجه دوم وجود دارد. هر کدام از آنها جوانب مثبت و منفی خود را دارند. بیایید دو راه را در نظر بگیریم.

بیایید با رسم یک تابع درجه دوم به شکل y=x²+bx+c و y= -x²+bx+c شروع کنیم.

مثال.

تابع y=x²+2x-3 را رسم کنید.

راه حل:

y=x²+2x-3 یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی است با شاخه های بالا. مختصات راس سهمی

از راس (-1;-4) نموداری از سهمی y=x² می سازیم (از مبدأ مختصات. به جای (0;0) - راس (-1;-4). از (-1; -4) با 1 واحد به سمت راست می رویم و با 1 واحد به سمت چپ می رویم و سپس: 2 - سمت راست، 4 - بالا، 3 - 9 - بالا، 3 -. چپ، 9 - بالا اگر این 7 امتیاز کافی نیست، 4 به سمت راست، 16 به بالا و غیره).

نمودار تابع درجه دوم y= -x²+bx+c یک سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هدایت می شوند. برای ساختن یک نمودار، مختصات راس را جستجو می کنیم و از آن سهمی y= -x² می سازیم.

مثال.

تابع y= -x²+2x+8 را رسم کنید.

راه حل:

y= -x²+2x+8 یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی با شاخه های پایین است. مختصات راس سهمی

از بالا یک سهمی y= -x² می سازیم (1 - به راست، 1- پایین؛ 1 - چپ، 1 - پایین؛ 2 - راست، 4 - پایین؛ 2 - چپ، 4 - پایین، و غیره):

این روش به شما امکان می دهد تا به سرعت یک سهمی بسازید و اگر بدانید چگونه توابع y=x² و y= -x² را ترسیم کنید، مشکلی ایجاد نمی کند. عیب: اگر مختصات راس اعداد کسری باشند، ساختن نمودار چندان راحت نیست. اگر نیاز به دانستن مقادیر دقیق نقاط تقاطع نمودار با محور Ox دارید، باید معادله x²+bx+c=0 (یا -x²+bx+c=0) را نیز حل کنید. حتی اگر بتوان این نقاط را مستقیماً از روی نقشه مشخص کرد.

راه دیگر برای ساختن سهمی توسط نقاط است، یعنی می توان چندین نقطه را در نمودار پیدا کرد و یک سهمی از آنها رسم کرد (با در نظر گرفتن اینکه خط x=xₒ محور تقارن آن است). معمولاً برای این کار آنها راس سهمی، نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات و 1-2 نقطه اضافی را می گیرند.

نمودار تابع y=x²+5x+4 را رسم کنید.

راه حل:

y=x²+5x+4 یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی است با شاخه های بالا. مختصات راس سهمی

یعنی راس سهمی نقطه (-2.5; -2.25) است.

به دنبال. در نقطه تقاطع با محور Ox y=0: x²+5x+4=0. ریشه های معادله درجه دوم x1=-1، x2=-4، یعنی دو نقطه در نمودار (-1; 0) و (-4; 0) به دست آوردیم.

در نقطه تقاطع نمودار با محور Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. ما امتیاز را گرفتیم (0؛ 4).

برای روشن شدن نمودار، می توانید یک نکته اضافی بیابید. بیایید x=1 را در نظر بگیریم، سپس y=1²+5∙1+4=10، یعنی نقطه دیگری در نمودار (1؛ 10) است. این نقاط را در صفحه مختصات مشخص می کنیم. با در نظر گرفتن تقارن سهمی نسبت به خطی که از رأس آن می گذرد، دو نقطه دیگر را علامت گذاری می کنیم: (-5; 6) و (-6; 10) و یک سهمی از آنها ترسیم می کنیم:

تابع y= -x²-3x را رسم کنید.

راه حل:

y= -x²-3x یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی با شاخه های پایین است. مختصات راس سهمی

راس (1.5-؛ 2.25) اولین نقطه سهمی است.

در نقاط تقاطع نمودار با محور x y=0، یعنی معادله -x²-3x=0 را حل می کنیم. ریشه های آن x=0 و x=-3 است، یعنی (0;0) و (-3;0) - دو نقطه دیگر در نمودار. نقطه (o; 0) همچنین نقطه تلاقی سهمی با محور ارتجاعی است.

در x=1 y=-1²-3∙1=-4، یعنی (1; -4) یک نقطه اضافی برای رسم است.

ساختن سهمی از نقاط روشی پر زحمت تر از روش اول است. اگر سهمی محور Ox را قطع نکند، نقاط اضافی بیشتری مورد نیاز خواهد بود.

قبل از ادامه ساختن نمودارهای توابع درجه دوم به شکل y=ax²+bx+c، اجازه دهید ساخت نمودار توابع را با استفاده از تبدیل های هندسی در نظر بگیریم. همچنین ساختن نمودارهایی از توابع به شکل y=x²+c با استفاده از یکی از این تبدیل‌ها - ترجمه موازی - راحت‌تر است.

دسته بندی: |

ساخت سهمی یکی از معروف ترین عملیات ریاضی است. اغلب نه تنها برای اهداف علمی، بلکه برای اهداف کاملاً عملی نیز استفاده می شود. بیایید دریابیم که چگونه این روش را با استفاده از ابزارهای کاربردی اکسل انجام دهیم.

سهمی نمودار تابع درجه دوم از نوع زیر است f(x)=ax^2+bx+c. یکی از ویژگی های قابل توجه آن این واقعیت است که سهمی شکل یک شکل متقارن دارد که از مجموعه ای از نقاط در فاصله مساوی از جهات مستقیم تشکیل شده است. به طور کلی، ساخت سهمی در اکسل تفاوت چندانی با ساخت هر نمودار دیگری در این برنامه ندارد.

ایجاد جدول

اول از همه، قبل از شروع ساختن سهمی، باید جدولی بسازید که بر اساس آن ایجاد شود. برای مثال، بیایید ساخت نمودار یک تابع را در نظر بگیریم f(x)=2x^2+7.

ترسیم نمودار

همانطور که در بالا ذکر شد، اکنون باید خود نمودار را بسازیم.

ویرایش نمودار

اکنون می توانید نمودار حاصل را کمی ویرایش کنید.

علاوه بر این، می توانید هر نوع ویرایش دیگری از سهمی حاصل از جمله تغییر نام آن و نام محورها را انجام دهید. این تکنیک های ویرایش از محدوده کار در اکسل با انواع دیگر نمودارها فراتر نمی روند.

همانطور که می بینید، ساخت سهمی در اکسل تفاوت اساسی با ساخت نوع دیگری از نمودار یا نمودار در همان برنامه ندارد. تمام اقدامات بر اساس یک جدول از پیش تولید شده انجام می شود. علاوه بر این، باید در نظر داشته باشید که نمودار پراکندگی برای ساختن سهمی بسیار مناسب است.

بیضی.اگر سطح یک مخروط دایره ای را با یک صفحه شیب دار برش دهید آر به طوری که تمام مولدهای خود را قطع می کند، سپس یک بیضی در صفحه مقطع به دست می آید (شکل 65).

شکل 65

بیضی(شکل 66) - یک منحنی مسطح بسته که در آن مجموع فواصل هر یک از نقاط آن (مثلاً از یک نقطه) م ) تا دو امتیاز داده شده F 1 و F 2 - کانون های بیضی - مقدار ثابتی برابر با طول محور اصلی آن وجود دارد AB (مثلا، F 1 M + F 2 M = AB ).قطعه خط AB محور اصلی بیضی و قطعه نامیده می شود سی دی – محور فرعی آن محورهای بیضی در نقطه تلاقی می کنند O- مرکز بیضی و اندازه آن طول محورهای اصلی و فرعی را تعیین می کند. نکته ها F 1 و F 2 واقع در محور اصلی AB متقارن در مورد نقطه O و از انتهای محور فرعی (نقاط با و دی ) به فاصله ای برابر با نیمی از محور اصلی بیضی .

شکل 66

روش های مختلفی برای ساختن بیضی وجود دارد. ساده ترین راه ساختن یک بیضی در امتداد دو محور آن با استفاده از دایره های کمکی است (شکل 67). در این مورد، مرکز بیضی مشخص شده است - نقطه O و دو خط مستقیم عمود بر یکدیگر از طریق آن کشیده شده است (شکل 67، الف). از نقطه در باره دو دایره با شعاع برابر با نیمی از محورهای اصلی و فرعی را توصیف کنید. دایره بزرگ به 12 قسمت مساوی تقسیم می شود و نقاط تقسیم به نقطه متصل می شوند در باره . خطوط کشیده شده نیز دایره کوچکتر را به 12 قسمت مساوی تقسیم می کند. سپس، خطوط افقی (یا خطوط مستقیم موازی با محور اصلی بیضی) از طریق نقاط تقسیم دایره کوچکتر، و خطوط عمودی (یا خطوط مستقیم موازی با محور اصلی بیضی) از طریق نقاط تقسیم ترسیم می شوند. از دایره بزرگتر نقاط تقاطع آنها (به عنوان مثال، نقطه م ) متعلق به بیضی است. با اتصال نقاط به دست آمده با یک منحنی صاف، یک بیضی به دست می آید (شکل 67، ب).

شکل 67

سهمی.اگر یک مخروط دایره ای توسط یک هواپیما بریده شود آر ، به موازات یکی از ژنراتیس های آن، یک سهمی در صفحه مقطع به دست می آید (شکل 68).

شکل 68

سهمی(شکل 69) - یک منحنی مسطح که هر نقطه آن از یک خط مستقیم مشخص فاصله دارد DD 1 ، تماس گرفت مدیر مدرسه، و امتیاز F – تمرکز سهمی. مثلا برای یک نکته م بخش ها MN (فاصله تا مدیر مدرسه) و م.ف. (فاصله تا تمرکز) برابر هستند، یعنی. MN = م.ف. .

یک سهمی شکل یک منحنی باز با یک محور تقارن دارد که از کانون سهمی - نقطه عبور می کند. اف و عمود بر کارگردان واقع شده است DD 1 .دقیق آ ، در وسط بخش خوابیده است از ، تماس گرفت راس سهمی. فاصله از فوکوس تا جهت - بخش از = 2'OA - با یک حرف مشخص می شود آر و تماس بگیرید پارامتر سهمی. هر چه پارامتر بزرگتر باشد آر ، شاخه های سهمی با شدت بیشتری از محور آن دور می شوند. قطعه محصور بین دو نقطه از سهمی که به طور متقارن نسبت به محور سهمی قرار دارند نامیده می شود. وتر(مثلا آکورد MK ).

شکل 69

ساختن سهمی از جهت آن DD 1 و تمرکز F(شکل 70، الف) . از طریق نقطه اف محور سهمی را عمود بر جهات بکشید تا جایی که در نقطه با جهات قطع شود. در باره. بخش خط از = پ به نصف تقسیم کنید و یک امتیاز بگیرید آ - بالای سهمی در محور نقطه سهمی آ چندین بخش را به تدریج در حال افزایش قرار دهید. از طریق نقاط تقسیم 1, 2, 3 آی تی. د) خطوط مستقیم را به موازات جهاز رسم کنید. با در نظر گرفتن کانون سهمی به عنوان مرکز، آنها کمان هایی با شعاع را توصیف می کنند R 1 = L 1 1 ،شعاع R2 = L2 تا زمانی که خطی را از نقطه ای قطع کند 2 و غیره نقاط به دست آمده متعلق به سهمی هستند. ابتدا آنها را با یک خط صاف نازک با دست به هم وصل می کنند، سپس در امتداد الگو ترسیم می کنند.

ساخت سهمی در امتداد محور، راس A و نقطه میانی M(شکل 70، ب). از طریق بالا آ یک خط مستقیم عمود بر محور سهمی و از طریق نقطه رسم کنید M – خط مستقیم موازی با محور هر دو خط در یک نقطه قطع می شوند ب . بخش ها AB و B.M. به همان تعداد قسمت های مساوی تقسیم می شوند و نقاط تقسیم در جهت های نشان داده شده توسط فلش ​​ها شماره گذاری می شوند. از طریق بالا آ و نقطه ها 1 , 2 , 3 , 4 هدایت پرتوها و از نقاط من , II , III ,IV - خطوط مستقیم موازی با محور سهمی. در تقاطع خطوطی که با همان عدد مشخص شده اند، نقاطی متعلق به سهمی وجود دارد. هر دو شاخه سهمی یکسان هستند، بنابراین شاخه دیگر به طور متقارن با اولی با استفاده از آکورد ساخته می شود.

شکل 70

ساخت سهمی مماس بر دو خط مستقیم OA و OB در نقاط A و B داده شده روی آنها(شکل 71، ب). بخش ها O.A. و OB به همان تعداد قسمت مساوی تقسیم می شود (مثلاً به 8 قسمت). نقاط تقسیم حاصل شماره گذاری می شوند و نقاطی به همین نام با خطوط مستقیم به هم متصل می شوند. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 و غیره . د . این خطوط مماس بر منحنی سهمی هستند. سپس، یک منحنی مماس صاف - یک سهمی - در خطی که توسط خطوط مستقیم تشکیل شده است، حک می شود. .

شکل 71

هذلولی.اگر مخروط های مستقیم و معکوس را با صفحه ای موازی با دو ژنراتیس آن یا در یک مورد خاص، موازی با محور برش دهید، در صفحه مقطع یک هذلولی متشکل از دو شاخه متقارن دریافت خواهید کرد (شکل 72، a).

هایپربولی(شکل 72، ب) منحنی صفحه باز نامیده می شود که مجموعه ای از نقاط است، اختلاف فاصله از دو نقطه داده شده یک مقدار ثابت است.

شکل 72

نقاط ثابت F 1 و F 2 نامیده می شوند ترفندها , و فاصله بین آنها است فاصله کانونی . بخش های خط ( F 1 M و F 2 M ), اتصال هر نقطه ( م ) منحنی با کانون نامیده می شود بردارهای شعاعهایپربولی ها . تفاوت بین فاصله نقطه و فوکوس F 1 و F 2 یک مقدار ثابت و برابر با فاصله بین رئوس است آ و ب هذلولی به عنوان مثال، برای یک نقطه م خواهد داشت: F 1 M -F 2 M = ab. هذلولی از دو شاخه باز تشکیل شده است و دو محور متقابل عمود بر هم دارد - معتبر AB و خیالی سی دی. مستقیم pq و rs عبور از مرکز O ،نامیده می شوند مجانبی .

ساخت هذلولی با استفاده از این مجانب ها pq و rs ترفندها F 1 و F 2 نشان داده شده در شکل 72، ب.

محور واقعی AB هذلولی نیمساز زاویه ای است که مجانب ها تشکیل می دهند. محور خیالی سی دی عمود بر AB و از نقطه عبور می کند در باره. ترفندهایی داشتن F 1 و F2، رئوس را تعریف کنید آ و ب هذلولی ها، چرا در یک بخش F 1 F 2 نیم دایره ای بسازید که مجانب را در نقاطی قطع می کند متر و پ. از این نقاط عمود بر روی محور پایین می آیند AB و در تقاطع با آن رئوس می گیریم آ و ب هایپربولی

برای ساختن شاخه سمت راست هذلولی روی یک خط AB سمت راست فوکوس F 1 نقاط دلخواه را علامت گذاری کنید 1 , 2 , 3 , ..., 5. نکته ها V و V1 اگر قطعه را بگیریم هذلول ها به دست می آیند a5 فراتر از شعاع و از نقطه F2 یک قوس دایره ای بکشید که از نقطه مشخص شده است F 1، شعاع برابر با b5. نقاط باقیمانده هذلولی بر اساس قیاس با موارد توصیف شده ساخته می شوند.

گاهی اوقات باید هذلولی بسازید که مجانب آن باشد اوه و OY متقابل عمود بر هم باشند (شکل 73). در این صورت محور واقعی و خیالی bis خواهد بود با الکتریسیته های زاویه راست برای ساخت، یکی از نقاط هذلولی مشخص می شود، مثلاً نقطه آ.

شکل 73

از طریق نقطه آ مستقیم انجام دهد AK و صبح. ، موازی با محورها اوه و شما .از نقطه O دوباره با مفاهیم در مورد با مستقیم به او می دهند با خطوط مستقیم صبح. و AK در نقاط 1 , 2 , 3 , 4 و 1" , 2" , 3" , 4" . در مرحله بعد، پاره های عمودی و افقی از نقاط تقاطع با این خطوط ترسیم می شوند تا زمانی که در نقاط یکدیگر را قطع کنند. I، II، III، IV و غیره نقاط حاصل از هذلولی با استفاده از یک الگو به هم متصل می شوند . نکته ها 1, 2, 3, 4 واقع در یک خط عمودی خودسرانه گرفته می شود .

درگیر شدن یک دایرهیا توسعه یک دایره درگیر شدن یک دایرهمنحنی صافی نامیده می شود که با هر نقطه از یک خط مستقیم توصیف می شود اگر این خط مستقیم بدون لغزش در امتداد یک دایره ثابت (مسیر نقاط یک دایره که از استقرار و صاف شدن آن تشکیل می شود) نورد شود (شکل 74).

برای ساختن ورقه کافی است که قطر دایره را مشخص کنید دی و موقعیت اولیه نقطه آ (نقطه A 0 ). از طریق نقطه A 0 مماس بر دایره رسم کنید و طول دایره داده شده را روی آن رسم کنید دی . پاره و دایره حاصل به همان تعداد قسمت تقسیم می شوند و مماس بر آن در یک جهت از طریق نقاط تقسیم دایره کشیده می شود. بر روی هر مماس، پاره های برگرفته از خط افقی و به ترتیب برابر گذاشته می شود 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = V A 0 2 , 3A 3 = A 0 3 و غیره.؛ نقاط به دست آمده مطابق الگو به هم متصل می شوند.

شکل 74

مارپیچ ارشمیدس- یک منحنی مسطح که با یک نقطه توصیف می شود آ چرخش یکنواخت حول یک نقطه ثابت - قطب ها در باره و در عین حال به طور مساوی از آن دور می شود (شکل 75). مسافت طی شده توسط یک نقطه هنگام چرخش یک خط مستقیم به اندازه 360 درجه، گام مارپیچ نامیده می شود. نقاط متعلق به مارپیچ ارشمیدس بر اساس تعریف منحنی ساخته شده اند و گام و جهت چرخش را مشخص می کنند.

ساخت مارپیچ ارشمیدس با استفاده از زمین معین (بخش OA) و جهت چرخش در جهت عقربه های ساعت(شکل 75).از طریق یک نقطه در باره یک خط مستقیم بکشید و زمین مارپیچ را روی آن علامت بزنید O.A. و با در نظر گرفتن آن به عنوان شعاع، یک دایره را توصیف کنید. دایره و بخش O.A. به 12 قسمت مساوی تقسیم می شود. شعاع ها از طریق نقاط تقسیم دایره کشیده می شوند O1 , O2 , O3 و غیره و روی آنها از نقطه در باره با استفاده از قوس ها به ترتیب 1/12، 2/12، 3/12 و غیره از شعاع دایره گذاشته می شوند. نقاط به دست آمده در امتداد یک الگوی با یک منحنی صاف به هم متصل می شوند.

مارپیچ ارشمیدس یک منحنی باز است و در صورت لزوم می توانید هر تعداد دور آن را بسازید. برای ساختن پیچ دوم دایره ای با شعاع توصیف کنید آر = 2 OA و تمام ساختارهای قبلی را تکرار کنید.

شکل 75

موج سینوسی.موج سینوسیطرح ریزی مسیر حرکت نقطه ای نامیده می شود با من استوانه ای هستم با کدام مارپیچ، در صفحه ای موازی با محور سیلندر . حرکت یک نقطه شامل حرکت چرخشی یکنواخت (حول محور استوانه) و حرکت انتقالی یکنواخت (موازی با محور استوانه) است. . موج سینوسی یک منحنی مسطح است که تغییر تابع سینوسی مثلثاتی را بسته به تغییر زاویه نشان می دهد. .

برای ساخت یک سینوسی (شکل 76) از طریق مرکز در باره قطر دایره دی مستقیم انجام دهد اوه و یک قطعه بر روی آن گذاشته شده است O 1 A ، برابر با محیط دی این پاره و دایره به همان تعداد قسمت مساوی تقسیم می شوند. خطوط مستقیم عمود بر یکدیگر از نقاط به دست آمده و شماره گذاری شده ترسیم می شوند. نقاط تقاطع حاصل از این خطوط با استفاده از یک الگوی منحنی صاف به هم متصل می شوند.

شکل 76

کاردیوئید. کاردیوئید(شکل 77) تماس می گیرد با من یک مسیر بسته از یک نقطه در یک دایره هستم با که بدون لغزش در امتداد دایره ای ثابت به همان شعاع می غلتد .

شکل 77

از مرکز در باره دایره ای به شعاع معین بکشید و یک نقطه دلخواه روی آن بگیرید م. مجموعه‌ای از بخش‌ها از این نقطه ترسیم می‌شوند. در هر مقطع، در دو طرف نقطه تلاقی آن با دایره، قطعاتی برابر با قطر دایره گذاشته شده است. M1. بله، سکنت III3MIII 1 دایره را در یک نقطه قطع می کند 3 بخش ها از این نقطه حذف می شوند 3III و 3III 1, برابر قطر M1. نکته ها III و III 1 ، متعلق به کاردیوئید است . به همین ترتیب، با جاری IV4MIV 1 دوباره با دایره در یک نقطه است 4; بخش ها از این نقطه گذاشته می شوند IV4 و 4IV 1, برابر قطر M1، امتیاز بگیرید IV و IV 1 و غیره.

همانطور که در شکل 77 نشان داده شده است، نقاط یافت شده توسط یک منحنی به هم متصل می شوند.

منحنی های سیکلوئیدی. سیکلوئیدها – خطوط منحنی صفحه توصیف شده توسط یک نقطه متعلق به یک دایره که بدون لغزش در امتداد یک خط مستقیم یا دایره می‌چرخد. . اگر دایره در یک خط مستقیم بچرخد، آن نقطه منحنی نامیده شده را توصیف می کند سیکلوئید.

اگر دایره ای در امتداد دایره دیگری که خارج از آن است (در امتداد قسمت محدب) غلت بزند، آن نقطه منحنی را توصیف می کند به نام اپی سیکلوئید .

اگر دایره ای در امتداد دایره دیگری که در داخل آن قرار دارد (در امتداد قسمت مقعر) غلت بخورد، آن نقطه منحنی را توصیف می کند به نام هیپوسایکلوئید . دایره ای که نقطه روی آن قرار دارد نامیده می شود تولید . خطی که دایره در امتداد آن می چرخد ​​نامیده می شود راهنما .

برای ساختن سیکلوئید(شکل 78) دایره ای به شعاع معین رسم کنید آر ; نقطه شروع را روی آن بگیرید آ و یک خط راهنما بکشید AB، که دایره در امتداد آن می چرخد .

شکل 78

دایره داده شده را به 12 قسمت مساوی (نقطه) تقسیم کنید 1" , 2" , 3" , ..., 12"). اگر نکته آ تغییر دادن با دختر با من در موقعیتی هستم A 12 ، سپس بخش AA 12 برابر طول محیطی داده شده خواهد بود با ty، یعنی . خطی از مراکز بکشید O – O 12 تولید به صورت محیطی با ti، برابر , و آن را به 12 قسمت مساوی تقسیم کنید. امتیاز بگیرید O 1 ,O2 ,O 3 ,...، ای 12 ، که مراکز دایره مولد هستند با شما . از این نقاط یک دایره بکشید با ty (یا کمان در اطراف با tey) از یک شعاع معین آر ، که خط را لمس می کنند AB در نقاط 1,2, 3, ..., 12. اگر از هر نقطه تماس بر روی دایره مربوطه، طول قوس برابر با مقداری که نقطه حرکت کرده است رسم کنیم. آ ، سپس نقاط متعلق به سیکلوئید را بدست می آوریم. مثلا برای گرفتن امتیاز الف 5 cycloids از مرکز به دنبال دارد O 5 یک دایره از نقطه تماس بکشید 5 یک قوس در اطراف محیط قرار دهید A5، مساوی با A5" یا از نقطه 5" یک خط مستقیم به موازات بکشید AB، به تقاطع در نقطه الف 5 با دایره کشیده شده . تمام نقاط دیگر سیکلوئید به طور مشابه ساخته شده اند. .

اپی سیکلوئید به شرح زیر ساخته می شود.شکل 79 شعاع دایره مولد را نشان می دهد با آ آر با مرکز O 0 ، نقطه شروع آ روی آن و قوس راهنما در اطراف با تو رادیو با آ R 1 که در امتداد آن غلت می خورد با من یک دایره هستم. ساخت اپی سیکلوئید شبیه به ساخت سیکلوئید است، یعنی: یک دایره معین را به 12 قسمت مساوی تقسیم کنید (نقطه) 1" , 2" , 3" , ...,12"), هر قسمت از این دایره از یک نقطه کنار گذاشته می شود آ در امتداد یک قوس AB 12 بار (نقطه 1 , 2 , 3 , ..., 12) و طول قوس را بدست آورید AA 12 . این طول را می توان با استفاده از زاویه تعیین کرد .

دورتر از مرکز در باره شعاع برابر با OOO 0 خطی از مراکز دایره مولد و رسم شعاع 01 , 02 , 03 , ...,012 ، ادامه داد تا زمانی که با خط مرکزها تلاقی کنند، مرکزها را دریافت کنند O 1، O 2، ...، O 12 ایجاد دایره . از این مراکز با شعاع برابر با آر ، دایره ها یا کمان هایی از دایره هایی که بر روی آنها می سازند رسم می کنند و با کدام نقاط منحنی؛ بنابراین، برای دریافت نکته یک 4 ثانیه باید بررسی شود با قوس در اطراف با شعاع سه راهی O4" تا زمانی که دایره ای را که از مرکز کشیده شده است قطع کند O4. نقاط دیگر به طور مشابه ساخته می شوند که سپس توسط یک منحنی صاف به هم متصل می شوند .

شکل 79

اطلاعات مربوطه.