تعریف مخروط بریده از عناصر آن را فرموله کنید. فروستوم

سطح مخروطیسطحی است که توسط تمام خطوط مستقیمی که از هر نقطه منحنی معین و نقطه ای خارج از منحنی عبور می کنند تشکیل شده است (شکل 32).

این منحنی نامیده می شود راهنما ، سر راست - تشکیل ، نقطه - بالا سطح مخروطی

سطح مخروطی دایره ای مستقیمسطحی است که توسط تمام خطوط مستقیمی که از هر نقطه یک دایره معین عبور می کنند و نقطه ای از یک خط مستقیم که بر صفحه دایره عمود است و از مرکز آن می گذرد تشکیل می شود. در ادامه به اختصار این سطح را می نامیم سطح مخروطی (شکل 33).

مخروط (مخروط دایره ای مستقیم ) جسمی هندسی است که با یک سطح مخروطی و صفحه ای موازی با صفحه دایره راهنما محدود شده است (شکل 34).

برنج. 32 شکل. 33 شکل. 34

مخروط را می توان جسمی در نظر گرفت که با چرخش مثلث قائم الزاویه حول محوری که یکی از پایه های مثلث را در بر می گیرد به دست می آید.

دایره ای که یک مخروط را در بر می گیرد نامیده می شود اساس . راس یک سطح مخروطی شکل نامیده می شود بالا مخروط قطعه ای که راس یک مخروط را به مرکز قاعده آن متصل می کند نامیده می شود ارتفاع مخروط قطعات تشکیل دهنده یک سطح مخروطی نامیده می شوند تشکیل مخروط محور مخروط خط مستقیمی است که از بالای مخروط و مرکز قاعده آن می گذرد. بخش محوری به مقطعی که از محور مخروط می گذرد می گویند. توسعه سطح جانبی مخروط را قطاع می گویند که شعاع آن برابر با طول ژنراتیکس مخروط و طول قوس بخش برابر با محیط قاعده مخروط است.

فرمول های صحیح برای مخروط عبارتند از:

جایی که آر- شعاع پایه؛

اچ- ارتفاع؛

ل- طول ژنراتیکس؛

پایه S- مساحت پایه؛

سمت S

اس پر

V- حجم مخروط

مخروط کوتاه شدهبه قسمتی از مخروط که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه مخروط محصور شده است (شکل 35).

مخروط بریده را می توان جسمی در نظر گرفت که با چرخش ذوزنقه مستطیلی حول محوری که ضلع ذوزنقه عمود بر پایه ها را در بر می گیرد، به دست می آید.

به دو دایره ای که یک مخروط را در بر می گیرد، آن می گویند دلایل . ارتفاع یک مخروط کوتاه فاصله بین پایه های آن است. قطعات تشکیل دهنده سطح مخروطی مخروط کوتاه نامیده می شوند تشکیل . خط مستقیمی که از مرکز پایه ها می گذرد نامیده می شود محور مخروط کوتاه شده بخش محوری به مقطعی که از محور مخروط بریده می گذرد می گویند.

برای یک مخروط کوتاه، فرمول های صحیح عبارتند از:

(8)

جایی که آر- شعاع پایه پایین؛

r- شعاع پایه بالایی؛

اچ- ارتفاع، l - طول ژنراتیکس.

سمت S- سطح جانبی؛

اس پر- سطح کل؛

V- حجم یک مخروط کوتاه.

مثال 1.سطح مقطع مخروط به موازات پایه، ارتفاع را به نسبت 1: 3 تقسیم می کند، با شمارش از بالا. اگر شعاع قاعده و ارتفاع مخروط 9 سانتی‌متر و 12 سانتی‌متر باشد، سطح جانبی مخروط بریده‌شده را بیابید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 36).

برای محاسبه مساحت سطح جانبی مخروط کوتاه از فرمول (8) استفاده می کنیم. بیایید شعاع پایه ها را پیدا کنیم حدود 1 Aو حدود 1 ولتو تشکیل AB

مثلث های مشابه را در نظر بگیرید SO2Bو SO 1 A، ضریب شباهت، سپس

از اینجا

از آن به بعد

مساحت سطح جانبی مخروط کوتاه شده برابر است با:

پاسخ: .

مثال 2.یک چهارم دایره شعاع به یک سطح مخروطی تا می شود. شعاع قاعده و ارتفاع مخروط را پیدا کنید.

راه حل.ربع دایره توسعه سطح جانبی مخروط است. بیایید نشان دهیم r- شعاع پایه آن، H –ارتفاع بیایید مساحت سطح جانبی را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم: برابر است با مساحت ربع دایره: . معادله ای با دو مجهول به دست می آوریم rو ل(تشکیل یک مخروط). در این حالت، ژنراتیکس برابر با شعاع دایره چهارم است آر، یعنی معادله زیر را بدست می آوریم: از آنجا با دانستن شعاع پایه و مولد، ارتفاع مخروط را می یابیم:

پاسخ: 2 سانتی متر، .

مثال 3.یک ذوزنقه مستطیل شکل با زاویه تند 45 O، پایه کوچکتر 3 سانتی متر و ضلع مایل برابر با ضلع عمود بر پایه ها می چرخد. حجم بدنه حاصل از انقلاب را بیابید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 37).

در نتیجه چرخش، یک مخروط کوتاه به دست می آوریم تا حجم آن را پیدا کنیم، شعاع پایه و ارتفاع بزرگتر را محاسبه می کنیم. در ذوزنقه O 1 O 2 ABانجام خواهیم داد AC^O 1 B. B داریم: یعنی این مثلث متساوی الساقین است A.C.=قبل از میلاد مسیح.=3 سانتی متر

پاسخ:

مثال 4.مثلثی با اضلاع 13 سانتی متر، 37 سانتی متر و 40 سانتی متر حول یک محور خارجی می چرخد ​​که به موازات ضلع بزرگتر است و در فاصله 3 سانتی متری از آن قرار دارد (محور در صفحه مثلث قرار دارد). مساحت سطح بدنه حاصل از انقلاب را پیدا کنید.

راه حل . بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 38).

سطح بدنه حاصل از چرخش از سطوح جانبی دو مخروط کوتاه و سطح جانبی یک استوانه تشکیل شده است. برای محاسبه این مساحت ها باید شعاع پایه مخروط ها و استوانه را دانست ( بودنو O.C.، تشکیل مخروط ها ( قبل از میلاد مسیح.و A.C.) و ارتفاع سیلندر ( AB). تنها ناشناخته است CO. این فاصله از ضلع مثلث تا محور چرخش است. پیدا خواهیم کرد دی سی. مساحت مثلث ABC در یک ضلع برابر با حاصلضرب نصف ضلع AB و ارتفاع کشیده شده به سمت آن است. دی سیاز طرف دیگر با دانستن تمام اضلاع مثلث، مساحت آن را با استفاده از فرمول هرون محاسبه می کنیم.

معرفی

برنج. 1. اشیایی از زندگی که شکل کو-نو-سا کوتاه شده دارند

به نظر شما ارقام جدید در هندسه از کجا می آیند؟ همه چیز بسیار ساده است: یک شخص در زندگی با اشیاء مشابه تبدیل شده است و می آید، انگار آنها را صدا می کند. بیایید به کابینتی که شیرهای سیرک روی آن نشسته‌اند نگاه کنیم، یک تکه هویج که وقتی ما فقط ... بیرون می‌آید - بخشی از آن، یک آتشفشان فعال و مثلاً نوری از فونا- ri-ka (نگاه کنید به شکل 1).

مخروط کوتاه، عناصر و بخش محوری آن

برنج. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry

می بینیم که همه این شکل ها یک شکل هستند - هم از پایین و هم از بالا با دایره هایی محدود شده اند، اما به سمت بالا باریک می شوند (شکل 2 را ببینید).

برنج. 3. از قسمت بالای co-nu-sa

شبیه مخروط است. فقط به اندازه کافی بالا خاموش نیست. ما به طور ذهنی تصور می کنیم که یک مخروط را می گیریم و با یک حرکت شمشیر تیز قسمت بالایی را از آن جدا می کنیم (شکل 3 را ببینید).

برنج. 4. مخروط کوتاه شده

این دقیقاً شکل ما است که به آن مخروط کوتاه می گویند (شکل 4 را ببینید).

برنج. 5. Se-che-nie، موازی-os-no-va-niyu ko-nu-sa

بگذارید یک مخروط داده شود. بیایید یک صفحه، یک صفحه موازی از محور این co-nu-sa و یک مخروط متقاطع ایجاد کنیم (نگاه کنید به شکل 5).

مخروط را به دو بدن تقسیم می کند: یکی از آنها مخروطی با اندازه کوچکتر است و دومی مخروط کوتاه نامیده می شود (شکل 6 را ببینید).

برنج. 6. اجسام به دست آمده در یک مقطع موازی

بنابراین، مخروط کوتاه شده بخشی از مخروط است که بین بدنه اصلی آن و بدنه موازی آن متصل است. همانطور که در مورد یک مخروط، یک مخروط کوتاه می تواند یک دایره به عنوان پایه داشته باشد - در این مورد به آن دایره می گویند. اگر مخروط اصلی مستقیم بود، مخروط بریده شده را مستقیم می گویند. همانطور که در مورد ko-nu-sa-mi، ما به کلیدها نگاه خواهیم کرد، اما ko-nu-s sy کوتاه دایره ای مستقیم، اگر به طور خاص مشخص نشده باشد که ما در مورد یک co-nu-se کوتاه شده غیر مستقیم صحبت می کنیم. یا در اساس آن هیچ دایره ای وجود ندارد.

برنج. 7. چرخش تله مستطیل شکل

موضوع جهانی ما بدنه های چرخشی است. مخروط کوتاه نیز از این قاعده مستثنی نیست! به یاد داشته باشیم که برای به دست آوردن co-nu-sa، یک مثلث مستطیل شکل را smo-mat-ri-va-li می کنیم و آن را به دور ka-te-ta می چرخانیم؟ اگر مخروط حاصل با صفحه ای موازی با محور بریده شود، دیگر خط مستقیمی از تله مثلث -mo-coal باقی نخواهد ماند. چرخش آن به دور ضلع کوچکتر به ما یک مخروط کوتاه می دهد. اجازه دهید دوباره توجه کنیم که ما، بدیهی است، فقط در مورد یک همنوع دایره ای مستقیم صحبت می کنیم (شکل 7 را ببینید).

برنج. 8. Os-no-va-niya کوتاه شده-no-go ko-nu-sa

من چند مقدمات را انجام خواهم داد. اساس نیم کو-نو-سا و دایره، نیمه چا-یو-شای در بخش تخت کو-نو-سا، روی- اوس-نو-وا-نی-یا-می را کوتاه می گویند. ko-nu-sa (پایین و بالایی) (شکل 8 را ببینید).

برنج. 9. Ob-ra-zu-yu-schi کوتاه شده ko-nu-sa

از قلمه های را-زو-یو-شیه نیمه کو-نو-سا، متصل بین os-but-va-ni-mi کوتاه شده-but-go ko-nu-sa، آنها درباره-را- می نامند. zu-yu-schi-mi کوتاه شده-no-go ko-nu-sa. از آنجایی که همه پیامدهای آموزشی مساوی هستند و همه نتایج تحصیلی از یکسان هستند، پس co-nu-sa کوتاه شده ob-ra-zu-yu برابر هستند (مقاطع و بریده را اشتباه نگیرید!). از اینجا برابری تراشه محور برش به دست می آید (شکل 9 را ببینید).

از محور چرخش، محصور در داخل co-nu-sa کوتاه شده، آن را محور محور کوتاه co-nu-sa می نامند. این برش مجدد، ra-zu-me-et-sya، مراکز بنیادی خود را متحد می کند (شکل 10 را ببینید).

برنج. 10. محور ko-nu-sa کوتاه شده

کو-نو-سا کوتاه شده یو-سو-تا یک پر-پن-دی-کو-لیار است که از نقطه یکی از os-no-va-niya تا پایه دیگر، طرفدار و دن است. اغلب، در کیفیت شما، محور آن را کوتاه کرده اید.

برنج. 11. Ose-voe se-che-nie truncated-no-go-ko-nu-sa

بخش محور یک ko-nu-sa کوتاه شده، بخشی است که از محور آن می گذرد. شکل ذوزنقه دارد، کمی بعد برابری آن را نشان خواهیم داد (شکل 11 را ببینید).

نواحی سطوح جانبی و کل یک مخروط کوتاه

برنج. 12. مخروط با نمادهای معرفی شده

بیایید ناحیه bo-co-voy را در بالای ko-nu-sa کوتاه شده پیدا کنیم. بگذارید پایه های co-nu-sa کوتاه شده دارای شعاع و , و ob-ra-zu-yu برابر باشد (به شکل 12 مراجعه کنید).

برنج. 13. تعیین ob-ra-zu-yu-shchei from-se-chen-no-th ko-nu-sa

بیایید مساحت bo-ko-voy را در بالای co-nu-sa کوتاه شده به عنوان تفاوت در مساحت bo-ko-voys در بالا پیدا کنیم. ko-nu-sa و from-se-chen-no-go. برای انجام این کار، ما از طریق ob-ra-zu-yu from-se-chen-no-th ko-nu-sa را نشان می دهیم (شکل 13 را ببینید).

سپس is-ko-may است.

برنج. 14. مثلث های مشابه

تنها چیزی که باقی می ماند این است که شما آن را بفهمید.

اجازه دهید توجه داشته باشیم که از po-do-biy tri-corn-ni-kov، از-to-yes (نگاه کنید به شکل 14).

می توان این را با تقسیم آن به تفاوت بین شعاع ها بیان کرد، اما ما به این نیاز نداریم، زیرا در مورد فعلی دقیقاً همان fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de- است. نه با جایگزینی به جای آن، در نهایت داریم: .

اکنون به دست آوردن شکل برای یک سطح کامل دشوار نیست. برای این کار، دقیقاً مساحت دو دایره پایه ها را اضافه کنید: .

وظیفه

برنج. 15. Illu-stration to for-da-che

اجازه دهید مخروط بریده شده توسط یک ذوزنقه مستطیلی به دور ارتفاع خود بچرخد. خط وسط ذوزنقه برابر است با و ضلع بزرگتر برابر است (شکل 15 را ببینید). ناحیه bo-co-voy را در بالای no-sti کو-نو-سا کوتاه شده پیدا کنید.

راه حل

از فرمول ما می دانیم که .

تشکیل کو-نو-سا یک تر-پیشن بزرگ صد-رو-در جریان خواهد بود، یعنی Ra-di-u-sy ko- well-sa - این اساس تر- است. درخواست ما نمی توانیم آنها را پیدا کنیم. اما ما به آن نیاز نداریم: ما فقط به مجموع آنها نیاز داریم و مجموع پایه های یک ذوزنقه دو برابر بزرگتر از خط وسط آن است، یعنی برابر است با . سپس .

شباهت بین مخروط های کوتاه و اهرام

به این نکته توجه کنید که وقتی از co-nu-se صحبت می کنیم، بین او و pi -ra-mi-doy صحبت می کنیم - فرمول ها مشابه بودند. اینجا هم همین‌طور است، زیرا یک مخروط کوتاه بسیار شبیه به یک pi-ra-mi-du کوتاه است، بنابراین فرمول‌های منطقه بزرگ و کامل هستند، ko-nu-sa و pi-ra-mi کوتاه شده از بالا و نه بالا. -dy (و به زودی فرمول هایی برای حجم وجود خواهد داشت) analog-lo-gic- us.

وظیفه

برنج. 1. Illu-strat-tion to za-da-che

Ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa برابر و و ob-ra-zu-yu-shchaya برابر است با . co-nu-sa کوتاه شده و مساحت محور آن را پیدا کنید (شکل 1 را ببینید).

که از یک نقطه (بالای مخروط) سرچشمه می گیرند و از یک سطح صاف عبور می کنند.

این اتفاق می افتد که مخروط بخشی از یک جسم است که حجم محدودی دارد و از ترکیب هر قطعه ای که راس و نقاط یک سطح صاف را به هم وصل می کند به دست می آید. دومی، در این مورد، است پایه مخروط، و گفته می شود که مخروط روی این پایه قرار دارد.

وقتی پایه یک مخروط یک چند ضلعی است، قبلاً وجود دارد هرم .

مخروط دایره ای- این جسمی است متشکل از یک دایره (پایه مخروط)، نقطه ای که در صفحه این دایره قرار ندارد (بالای مخروط و تمام بخش هایی که بالای مخروط را به نقاط آن متصل می کنند. پایه). قطعاتی که راس مخروط و نقاط دایره پایه را به هم متصل می کنند نامیده می شوند تشکیل یک مخروط. سطح مخروط از یک پایه و یک سطح جانبی تشکیل شده است.

سطح جانبی صحیح است nهرم کربنی که در یک مخروط حک شده است:

S n =½P n l n,

جایی که P n- محیط قاعده هرم، و لوگاریتم- فریضه.

با همان اصل: برای سطح جانبی یک مخروط کوتاه با شعاع پایه R 1, R 2و تشکیل لفرمول زیر را بدست می آوریم:

S=(R 1 + R 2)l.

مخروط های دایره ای راست و مایل با پایه و ارتفاع مساوی. این بدنه ها حجم یکسانی دارند:

خواص مخروط

• وقتی مساحت پایه حد داشته باشد یعنی حجم مخروط هم حدی دارد و برابر است با قسمت سوم حاصلضرب ارتفاع و مساحت پایه.

جایی که اس- مساحت پایه، اچ- ارتفاع

بنابراین، هر مخروطی که روی این قاعده قرار دارد و دارای یک راس است که در صفحه موازی با قاعده قرار دارد، حجم برابری دارد، زیرا ارتفاع آنها یکسان است.

• مرکز ثقل هر مخروط با حجم دارای حد در یک چهارم ارتفاع از پایه قرار دارد.
• زاویه جامد در راس مخروط دایره ای راست را می توان با فرمول زیر بیان کرد:

جایی که α - زاویه باز شدن مخروط

• مساحت سطح جانبی چنین مخروطی، فرمول:

و مساحت کل (یعنی مجموع مساحت سطح جانبی و قاعده)، فرمول:

S=πR(l+R)،

جایی که آر- شعاع پایه، ل- طول ژنراتیکس.

• حجم مخروط دایره ای، فرمول:

• برای یک مخروط کوتاه (نه فقط مستقیم یا دایره ای)، حجم، فرمول:

جایی که S 1و S 2- مساحت پایه های بالا و پایین،

ساعتو اچ- فواصل از صفحه پایه بالا و پایین تا بالا.

• محل تلاقی صفحه با مخروط دایره ای راست یکی از مقاطع مخروطی است.

هندسه شاخه ای از ریاضیات است که به بررسی ساختارها در فضا و روابط بین آنها می پردازد. به نوبه خود از بخش هایی نیز تشکیل شده است که یکی از آنها استریومتری است. این شامل مطالعه خواص چهره های سه بعدی واقع در فضا است: مکعب، هرم، توپ، مخروط، استوانه و غیره.

مخروط جسمی در فضای اقلیدسی است که توسط یک سطح مخروطی شکل و صفحه ای که انتهای مولدهای آن روی آن قرار دارد محدود شده است. تشکیل آن در حین چرخش مثلث قائم الزاویه به دور هر یک از پایه های آن اتفاق می افتد، بنابراین به بدنه های انقلاب تعلق دارد.

اجزای یک مخروط

انواع زیر مخروط وجود دارد: مایل (یا مایل) و مستقیم. مورب آن است که محور آن با مرکز قاعده اش با زاویه قائم تلاقی نداشته باشد. به همین دلیل، ارتفاع در چنین مخروطی با محور منطبق نیست، زیرا قطعه ای است که از بالای بدنه به صفحه پایه آن با زاویه 90 درجه پایین می آید.

مخروطی را که محور آن بر قاعده آن عمود است راست می گویند. محور و ارتفاع در چنین جسم هندسی به دلیل این واقعیت است که راس در آن بالاتر از مرکز قطر پایه قرار دارد.

مخروط از عناصر زیر تشکیل شده است:

1. دایره ای که پایه آن است.
2. سطح جانبی.
3. نقطه ای که در صفحه قاعده قرار ندارد، راس مخروط نامیده می شود.
4. قطعاتی که نقاط دایره قاعده جسم هندسی و راس آن را به هم متصل می کنند.

همه این بخش ها مولد مخروط هستند. آنها به قاعده جسم هندسی متمایل هستند و در مورد مخروط راست، برآمدگی آنها برابر است، زیرا راس از نقاط دایره قاعده مساوی فاصله دارد. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که در یک مخروط منظم (مستقیم) ژنراتورها برابر هستند، یعنی طول یکسانی دارند و با محور (یا ارتفاع) و پایه زاویه‌های یکسانی تشکیل می‌دهند.

از آنجایی که در یک بدنه چرخشی مایل (یا مایل) راس نسبت به مرکز صفحه پایه جابجا می شود، ژنراتورها در چنین جسمی دارای طول ها و برآمدگی های متفاوتی هستند، زیرا هر یک از آنها در فاصله متفاوتی از هر دو نقطه قرار دارند. دایره پایه علاوه بر این، زوایای بین آنها و ارتفاع مخروط نیز متفاوت خواهد بود.

طول ژنراتیکس در یک مخروط مستقیم

همانطور که قبلاً نوشته شد، ارتفاع در جسم هندسی راست چرخش عمود بر صفحه قاعده است. بنابراین، ژنراتیکس، ارتفاع و شعاع پایه یک مثلث قائم الزاویه در مخروط ایجاد می کند.

یعنی با دانستن شعاع و ارتفاع پایه، با استفاده از فرمول قضیه فیثاغورث، می توانید طول ژنراتیکس را محاسبه کنید که برابر با مجموع مجذورات شعاع و ارتفاع پایه خواهد بود:

l 2 = r 2 + h 2 یا l = √r 2 + h 2

جایی که l مولد است.

r - شعاع؛

h - ارتفاع.

ژنراتور در یک مخروط شیبدار

با توجه به اینکه در یک مخروط مایل یا مایل، ژنراتورها طول یکسانی ندارند، محاسبه آنها بدون ساخت و ساز و محاسبات اضافی امکان پذیر نخواهد بود.

اول از همه، شما باید ارتفاع، طول محور و شعاع پایه را بدانید.

r 1 = √k 2 - h 2

که r 1 بخشی از شعاع بین محور و ارتفاع است.

k - طول محور؛

h - ارتفاع.

در نتیجه اضافه کردن شعاع (r) و بخشی از آن که بین محور و ارتفاع (r 1) قرار دارد، می‌توانید ژنراتیکس کامل مخروط، ارتفاع و بخشی از قطر آن را پیدا کنید:

که در آن R ساق مثلثی است که از ارتفاع، مولد و بخشی از قطر پایه تشکیل شده است.

r - شعاع پایه؛

r 1 - بخشی از شعاع بین محور و ارتفاع.

با استفاده از همان فرمول از قضیه فیثاغورث، می توانید طول ژنراتیکس مخروط را پیدا کنید:

l = √h 2 + R 2

یا بدون محاسبه جداگانه R، دو فرمول را در یک فرمول ترکیب کنید:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

صرف نظر از اینکه مخروط مستقیم است یا مایل و داده های ورودی چیست، همه روش ها برای یافتن طول ژنراتیکس همیشه به یک نتیجه می رسند - استفاده از قضیه فیثاغورث.

بخش مخروطی

محوری صفحه ای است که در امتداد محور یا ارتفاع خود می گذرد. در مخروط مستقیم، چنین مقطعی یک مثلث متساوی الساقین است که در آن ارتفاع مثلث ارتفاع بدنه، اضلاع آن ژنراتورها و قاعده قطر قاعده است. در جسم هندسی متساوی الاضلاع، مقطع محوری یک مثلث متساوی الاضلاع است، زیرا در این مخروط قطر پایه و مولدها برابر است.

صفحه مقطع محوری در یک مخروط مستقیم، صفحه تقارن آن است. دلیل این امر این است که بالای آن در بالای مرکز پایه آن قرار دارد، یعنی صفحه قسمت محوری مخروط را به دو قسمت یکسان تقسیم می کند.

از آنجایی که ارتفاع و محور در یک بدنه حجمی شیبدار بر هم منطبق نیستند، صفحه مقطع محوری ممکن است شامل ارتفاع نباشد. اگر بتوان بخش‌های محوری زیادی را در چنین مخروطی ساخت، زیرا برای این فقط یک شرط باید رعایت شود - فقط باید از محور عبور کند، سپس بخش محوری صفحه‌ای که ارتفاع این مخروط به آن تعلق دارد را می‌توان فقط ترسیم کرد. یکی، زیرا تعداد شرایط افزایش می‌یابد، و همانطور که مشخص است، دو خط مستقیم (با هم) می‌توانند تنها به یک صفحه تعلق داشته باشند.

سطح مقطع

بخش محوری مخروط که قبلا ذکر شد یک مثلث است. بر این اساس، مساحت آن را می توان با استفاده از فرمول مساحت یک مثلث محاسبه کرد:

S = 1/2 * d * h یا S = 1/2 * 2r * h

که در آن S سطح مقطع است.

d - قطر پایه؛

r - شعاع؛

h - ارتفاع.

در مخروط مایل یا مایل، سطح مقطع در امتداد محور نیز مثلث است، بنابراین سطح مقطع در آن به روش مشابه محاسبه می شود.

جلد

از آنجایی که مخروط یک شکل سه بعدی در فضای سه بعدی است، حجم آن قابل محاسبه است. حجم مخروط عددی است که این جسم را در واحد حجم، یعنی بر حسب متر مکعب مشخص می کند. محاسبه به راست یا مایل بودن آن (میل) بستگی ندارد، زیرا فرمول های این دو نوع بدنه تفاوتی ندارند.

همانطور که قبلا گفته شد، تشکیل یک مخروط راست به دلیل چرخش یک مثلث قائم الزاویه در امتداد یکی از پایه های آن رخ می دهد. مخروط مایل یا مایل به طور متفاوتی تشکیل می شود، زیرا ارتفاع آن از مرکز صفحه پایه بدنه دور می شود. با این وجود، چنین تفاوت هایی در ساختار بر روش محاسبه حجم آن تأثیر نمی گذارد.

محاسبه حجم

هر مخروطی شبیه این است:

V = 1/3 * π * h * r 2

که در آن V حجم مخروط است.

h - ارتفاع؛

r - شعاع؛

π ثابتی برابر با 3.14 است.

برای محاسبه ارتفاع یک جسم، باید شعاع قاعده و طول مولد آن را بدانید. از آنجایی که شعاع، ارتفاع و مولد در یک مثلث قائم الزاویه ترکیب می شوند، می توان ارتفاع را با استفاده از فرمول از قضیه فیثاغورث (a 2 + b 2 = c 2 یا در مورد ما h 2 + r 2 = l 2، که l ژنراتور است). ارتفاع با گرفتن جذر اختلاف بین مربع های هیپوتونوس و پای دیگر محاسبه می شود:

a = √c 2 - b 2

یعنی ارتفاع مخروط برابر با مقداری خواهد بود که پس از گرفتن جذر اختلاف بین مجذور طول ژنراتیکس و مربع شعاع پایه بدست می آید:

h = √l 2 - r 2

با محاسبه ارتفاع به این روش و دانستن شعاع پایه آن می توانید حجم مخروط را محاسبه کنید. ژنراتور نقش مهمی در این مورد ایفا می کند، زیرا به عنوان یک عنصر کمکی در محاسبات عمل می کند.

به همین ترتیب، اگر ارتفاع جسم و طول مولد آن مشخص باشد، می توان شعاع قاعده آن را با گرفتن جذر اختلاف بین مجذور ژنراتیکس و مجذور ارتفاع پی برد:

r = √l 2 - h 2

سپس با استفاده از همان فرمول بالا حجم مخروط را محاسبه کنید.

حجم یک مخروط مایل

از آنجایی که فرمول حجم یک مخروط برای همه انواع اجسام چرخشی یکسان است، تفاوت در محاسبه آن جستجوی ارتفاع است.

برای پی بردن به ارتفاع یک مخروط شیبدار، داده های ورودی باید شامل طول ژنراتریس، شعاع پایه و فاصله بین مرکز پایه و تقاطع ارتفاع بدنه با صفحه باشد. از پایه آن با دانستن این موضوع، می توانید به راحتی آن قسمت از قطر پایه را که قاعده یک مثلث قائم الزاویه (از ارتفاع، ژنراتیکس و صفحه قاعده تشکیل می شود) محاسبه کنید. سپس دوباره با استفاده از قضیه فیثاغورث، ارتفاع مخروط و متعاقباً حجم آن را محاسبه کنید.

برنج. 1. اشیایی از زندگی که شکل مخروط بریده ای دارند

به نظر شما اشکال جدید در هندسه از کجا می آیند؟ همه چیز بسیار ساده است: یک فرد در زندگی با اشیاء مشابه روبرو می شود و نامی برای آنها می آورد. بیایید پایه‌ای را در نظر بگیریم که شیرها در سیرک روی آن می‌نشینند، تکه‌ای از هویج که وقتی فقط بخشی از آن را برش می‌دهیم، یک آتشفشان فعال و مثلاً نور چراغ قوه را در نظر بگیریم (شکل 1 را ببینید).

برنج. 2. اشکال هندسی

می بینیم که همه این شکل ها یک شکل هستند - هم در زیر و هم در بالا توسط دایره ها محدود می شوند، اما به سمت بالا مخروطی می شوند (شکل 2 را ببینید).

برنج. 3. برش قسمت بالای مخروط

شبیه مخروط است. بالا فقط گم شده است. بیایید به طور ذهنی تصور کنیم که یک مخروط را برداریم و با یک حرکت شمشیر تیز قسمت بالایی را از آن جدا کنیم (شکل 3 را ببینید).

برنج. 4. مخروط کوتاه شده

نتیجه دقیقاً شکل ما است، به آن یک مخروط کوتاه می گویند (شکل 4 را ببینید).

برنج. 5. برش موازی با پایه مخروط

بگذارید یک مخروط داده شود. اجازه دهید صفحه ای موازی با صفحه قاعده این مخروط و قطع کننده مخروط بکشیم (شکل 5 را ببینید).

مخروط را به دو بدن تقسیم می کند: یکی از آنها مخروط کوچکتر است و دومی مخروط کوتاه نامیده می شود (شکل 6 را ببینید).

برنج. 6. اجسام حاصل با مقطع موازی

بنابراین، مخروط کوتاه بخشی از یک مخروط است که بین پایه آن و صفحه موازی با پایه محصور شده است. مانند مخروط، مخروط بریده شده می تواند در قاعده خود دایره ای داشته باشد که در این صورت دایره ای نامیده می شود. اگر مخروط اصلی مستقیم بود، مخروط بریده شده را مستقیم می گویند. همانطور که در مورد مخروط ها، مخروط های کوتاه دایره ای را منحصراً در نظر می گیریم، مگر اینکه به طور خاص گفته شود که ما در مورد مخروط بریده غیر مستقیم صحبت می کنیم یا پایه های آن دایره نیستند.

برنج. 7. چرخش ذوزنقه مستطیل شکل

موضوع جهانی ما بدنه های چرخشی است. مخروط کوتاه نیز از این قاعده مستثنی نیست! یادمان باشد برای به دست آوردن یک مخروط یک مثلث قائم الزاویه در نظر گرفتیم و آن را به دور ساق چرخاندیم؟ اگر مخروط حاصل با صفحه ای موازی با قاعده قطع شود، مثلث به صورت ذوزنقه مستطیلی باقی می ماند. چرخش آن به دور ضلع کوچکتر به ما یک مخروط کوتاه می دهد. اجازه دهید دوباره توجه کنیم که، البته، ما فقط در مورد یک مخروط دایره ای مستقیم صحبت می کنیم (شکل 7 را ببینید).

برنج. 8. پایه های یک مخروط کوتاه

بیایید چند نظر بدهیم. قاعده یک مخروط کامل و دایره ای که از قسمتی از مخروط توسط یک صفحه حاصل می شود، پایه های یک مخروط کوتاه (پایین و بالا) نامیده می شوند (شکل 8 را ببینید).

برنج. 9. ژنراتورهای یک مخروط کوتاه

بخش های مولد یک مخروط کامل که بین پایه های یک مخروط کوتاه محصور شده اند، مولدهای مخروط کوتاه نامیده می شوند. از آنجایی که همه ژنراتورهای مخروط اصلی با هم برابر هستند و همه ژنراتورهای مخروط قطع شده با هم برابرند، پس ژنراتورهای مخروط بریده با هم برابر هستند (قطع و بریده را اشتباه نگیرید!). این بدان معناست که بخش محوری ذوزنقه متساوی الساقین است (شکل 9 را ببینید).

قسمتی از محور چرخش محصور در داخل مخروط بریده شده را محور مخروط بریده می گویند. این بخش، البته، مراکز پایه های خود را به هم متصل می کند (شکل 10 را ببینید).

برنج. 10. محور مخروط بریده شده

ارتفاع مخروط بریده عمودی است که از نقطه یکی از پایه ها به پایه دیگر کشیده می شود. بیشتر اوقات، ارتفاع یک مخروط کوتاه به عنوان محور آن در نظر گرفته می شود.

برنج. 11. مقطع محوری مخروط بریده شده

بخش محوری یک مخروط بریده، بخشی است که از محور آن می گذرد. شکل ذوزنقه ای دارد کمی بعد ثابت خواهیم کرد که متساوی الساقین است (شکل 11 را ببینید).

برنج. 12. مخروط با نمادهای معرفی شده

اجازه دهید مساحت سطح جانبی مخروط کوتاه را پیدا کنیم. اجازه دهید پایه های مخروط کوتاه شعاع و و ژنراتیکس برابر باشد (شکل 12 را ببینید).

برنج. 13. تعیین ژنراتیکس مخروط برش

اجازه دهید مساحت سطح جانبی مخروط کوتاه شده را به عنوان تفاوت بین مناطق سطوح جانبی مخروط اصلی و بریده شده پیدا کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید با ژنراتیکس مخروط برش مشخص کنیم (شکل 13 را ببینید).

سپس آنچه شما به دنبال آن هستید.

برنج. 14. مثلث های مشابه

تنها چیزی که باقی می ماند بیان کردن است.

توجه داشته باشید که از شباهت مثلث ها، از کجاست (شکل 14 را ببینید).

می توان با تقسیم بر اختلاف شعاع بیان کرد، اما ما به این نیاز نداریم، زیرا محصول مورد نظر ما در عبارت مورد نظر ظاهر می شود. با جایگزینی، در نهایت داریم: .

اکنون بدست آوردن فرمولی برای مساحت کل آسان است. برای این کار کافی است مساحت دو دایره پایه ها را اضافه کنید: .

برنج. 15. تصویر برای مسئله

اجازه دهید با چرخاندن یک ذوزنقه مستطیلی به دور ارتفاع آن، یک مخروط کوتاه به دست آید. خط وسط ذوزنقه برابر است و ضلع بزرگ آن است (شکل 15 را ببینید). سطح جانبی مخروط بریده شده را پیدا کنید.

راه حل

از فرمول ما می دانیم که .

ژنراتیکس مخروط ضلع بزرگتر ذوزنقه اصلی خواهد بود، یعنی شعاعهای مخروط پایه ذوزنقه هستند. ما نمی توانیم آنها را پیدا کنیم. اما ما به آن نیاز نداریم: ما فقط به مجموع آنها نیاز داریم و مجموع پایه های یک ذوزنقه دو برابر بزرگتر از خط وسط آن است، یعنی برابر است با . سپس .

لطفاً توجه داشته باشید که وقتی در مورد مخروط صحبت می کردیم ، موازی هایی بین آن و هرم ترسیم کردیم - فرمول ها مشابه بودند. اینجا هم همین‌طور است، زیرا مخروط کوتاه بسیار شبیه به هرم کوتاه است، بنابراین فرمول‌های سطوح جانبی و کل سطوح مخروط کوتاه و هرم (و به زودی فرمول‌هایی برای حجم وجود خواهد داشت) مشابه است.

برنج. 1. تصویر برای مشکل

شعاع پایه های مخروط بریده برابر با و و ژنراتیکس برابر است با. ارتفاع مخروط کوتاه شده و مساحت بخش محوری آن را بیابید (شکل 1 را ببینید).