تنش های اصلی در طول خمش آزمایش کامل مقاومت خمشی تیرها

در صورت خمش عرضی صاف، زمانی که یک لنگر خمشی نیز در مقاطع تیر عمل می کند مو نیروی برشی س، نه تنها عادی است
و همچنین تنش های برشی .

تنش های نرمال در طول خمش عرضی با استفاده از فرمول های مشابه برای خمش خالص محاسبه می شود:

;
.(6.24)

پ

شکل 6.11. خم صاف

هنگام استخراج فرمول، چند فرض را خواهیم داشت:

تنش های برشی که در همان فاصله عمل می کنند دراز محور خنثی، در عرض تیر ثابت است.

تنش های مماسی در همه جا موازی با نیرو هستند س.

اجازه دهید یک تیر کنسول را در نظر بگیریم که تحت تأثیر یک نیرو در معرض خمش عرضی است آر. بیایید نمودارهایی از نیروهای داخلی بسازیم در باره y، و م z .

در فاصله ایکساز انتهای آزاد تیر یک بخش ابتدایی تیر را با طول انتخاب می کنیم دایکسو عرضی برابر با عرض تیر ب. اجازه دهید نیروهای داخلی را که در امتداد لبه های عنصر عمل می کنند نشان دهیم: روی لبه سی دینیروی برشی رخ می دهد س yو لحظه خم شدن م z، و در آستانه است ab- همچنین نیروی برشی س yو لحظه خم شدن م z +dM z(زیرا س yدر طول پرتو و لحظه ثابت می ماند م zتغییرات، شکل. 6.12). در فاصله دربخشی از عنصر را از محور خنثی جدا کنید abجد، تنش های اعمال شده در امتداد لبه های عنصر حاصل را نشان می دهیم mbcn، و تعادل آن را در نظر بگیرید. هیچ تنشی بر روی وجوهی که بخشی از سطح بیرونی تیر هستند وجود ندارد. در وجوه جانبی عنصر از عمل لحظه خمشی م z، استرس های عادی ایجاد می شوند:

; (6.25)

. (6.26)

علاوه بر این در این وجوه از عمل نیروی برشی س yتنش های برشی بوجود می آیند تنش های مشابه بر اساس قانون جفت شدن تنش های مماسی در وجه بالایی عنصر بوجود می آیند.

بیایید یک معادله تعادل برای عنصر ایجاد کنیم mbcn، تنش های حاصل را بر روی محور در نظر می گیرند ایکس:

. (6.29)

عبارت زیر علامت انتگرال نشان دهنده لحظه ایستا وجه جانبی عنصر است mbcnنسبت به محور ایکس، تا بتوانیم بنویسیم

. (6.30)

با توجه به اینکه، با توجه به وابستگی های دیفرانسیل ژوراوسکی D.I در حین خمش،

, (6.31)

بیان برای مماس هاتنش ها در طول خمش عرضی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد ( فرمول ژوراوسکی)

. (6.32)

بیایید فرمول ژوراوسکی را تحلیل کنیم.

س y- نیروی برشی در بخش مورد نظر.

جی z - گشتاور محوری اینرسی مقطع نسبت به محور z;

ب- عرض مقطع در محلی که تنش های برشی تعیین می شود.

- گشتاور استاتیک نسبت به محور z مقطعی که در بالای (یا زیر) فیبر قرار دارد و در آن تنش برشی تعیین می‌شود:

, (6.33)

جایی که و اف"به ترتیب مختصات مرکز ثقل و مساحت قسمت در نظر گرفته شده از بخش است.

6.6 بررسی قدرت کامل. بخش های خطرناک و نقاط خطرناک

برای بررسی مقاومت خمشی بارهای خارجی وارد بر تیر، نمودارهایی از تغییرات نیروهای داخلی در طول آن ساخته شده و مقاطع خطرناک تیر تعیین می شود که برای هر یک از آنها آزمایش مقاومت لازم است.

هنگام بررسی کامل استحکام چنین بخشهایی، حداقل سه مورد وجود دارد (گاهی اوقات آنها با هم مطابقت دارند):

بخشی که در آن لنگر خمشی م zبه حداکثر مقدار مطلق خود می رسد.

مقطعی که در آن نیروی برشی س y، به حداکثر مقدار مطلق خود می رسد.

بخشی که در آن لنگر خمشی م z و نیروی برشی س yبه مقادیر بسیار بزرگ در قدر مطلق می رسد.

در هر یک از مقاطع خطرناک، لازم است با ساخت نمودار تنش های نرمال و برشی، نقاط خطرناک مقطع (برای هر یک از آنها آزمایش مقاومت انجام می شود) که حداقل سه مورد از آنها نیز وجود خواهد داشت. :

نقطه ای که در آن تنش های معمولی وجود دارد ، به حداکثر مقدار خود می رسند، یعنی نقطه ای از سطح بیرونی تیر که از محور خنثی مقطع دورتر است.

نقطه ای که در آن تنش برشی رسیدن به حداکثر مقدار خود - نقطه ای که روی محور خنثی بخش قرار دارد.

نقطه‌ای که در آن تنش‌های معمولی و تنش‌های برشی به مقادیر کافی بزرگ می‌رسند (این آزمایش برای مقاطعی مانند تیرهای T یا تیرهای I که عرض مقطع در امتداد ارتفاع ثابت نیست منطقی است).

در هنگام خمش عرضی، همراه با ممان خمشی، نیروی عرضی در مقطع وارد می شود که حاصل تنش های مماسی است.

پیامد اعمال تنش های مماسی، اعوجاج شکل مقطع است که با فرضیه مقاطع صفحه در تناقض است. اولا، بخش ممکن است تجربه کند دپلایاتشو،آن ها صاف نمی ماند ثانیاً مقطع پس از تغییر شکل عمود بر محور منحنی تیر نمی ماند.

این اثرات در نظریه های پیچیده تر خمش میله در نظر گرفته می شود. در عین حال، برای تعداد زیادی از مسائل مهندسی، فرمول های به دست آمده برای خمش خالص را می توان به حالت خمش عرضی تعمیم داد. ارزیابی محدودیت های کاربرد این فرمول ها و مسئولیت نتایج به دست آمده در صلاحیت ماشین حساب است.

برای تعیین مقادیر تنش های نرمال در حین خمش عرضی از فرمول (5.10) به طور گسترده استفاده می شود. در ادامه نشان خواهیم داد که در مورد نیروی عرضی ثابت، این فرمول نتیجه دقیق و در مورد نیروی عرضی متغیر، نتایج برای تعیین نرمال به دست می‌آید.

فرمول ها خطای ترتیبی را نشان می دهند - جایی که ساعت- ارتفاع بخش؛ / - طول پرتو.

برای تعیین مقدار تنش های مماسی، یک المان تیر با طول در نظر بگیرید dx(شکل 5.8).

برنج. 5.8.

در بخش های راست و چپ المان، تنش های نرمال با یکدیگر تفاوت دارند که به دلیل تفاوت در مقادیر لنگر خمشی در dM آقایاصطلاح مرتبط با تغییر t در طول طول dx،را می توان به عنوان کمیتی از درجه بالاتر کوچکی نادیده گرفت.

اجازه دهید این فرض را داشته باشیم: تنش های مماسی در مقطع به موازات نیروی برشی اعمال شده در این مقطع هدایت می شوند. س

اجازه دهید مقادیر تنش های مماسی را در نقاطی که با فاصله از هم جدا شده اند تعیین کنیم دراز محور خنثی برای انجام این کار، با یک هواپیما قطع کنید سی دیاز طول عنصر تیر dxقسمت تختخواب.

در مقطع در ارتفاع درتنش های مماسی عمل می کنند، یعنی در همان زمان، در مقطع عمود بر آن، یعنی. در یک صفحه موازی با هواپیما xz،مطابق قانون جفت شدن تنش های مماسی، تنش های مماسی با همان اندازه عمل خواهند کرد.

بیایید یک معادله تعادل برای یک عنصر ایجاد کنیم، با تاباندن تمام نیروهای وارد بر این عنصر در جهت محور. ایکس.اجازه دهید انتگرال های موجود در معادله تعادل را در قسمت بالای بخش محاسبه کنیم آ*:

در نتیجه تبدیل ها، فرمول زیر را برای محاسبه تنش های مماسی به دست می آوریم:

با توجه به فرمول (5.10) و با در نظر گرفتن رابطه (5.3)، مشتق تنش نرمال را پیدا می کنیم:

و این مقدار را در بیان تنش برشی در نظر بگیرید:

در نتیجه فرمول زیر را برای محاسبه تنش های مماسی به دست می آوریم:

جایی که س - نیروی برشی در مقطع; S* - لحظه ایستا قسمت برش مقطع با مساحت L* نسبت به محور مرکزی. / izg - ممان اینرسی بخش نسبت به محور مرکزی؛ h-عرض مقطع در محل تعیین تنش های برشی.

فرمول (5.21) نامیده می شود فرمول هاژوراووسکی به

تیری را با مقطع مستطیلی در نظر بگیرید (شکل 5.9، آ).اجازه دهید تنش های نرمال و برشی را در یک مقطع خطرناک تعیین کنیم. مقطع L خطرناک است که در آن حداکثر ممان خمشی M зг = -И عمل می کند و در مورد نیروی عرضی مقدار آن در هر مقطعی از تیر ثابت و مساوی است. -اف.

برنج. 5.9.

با توجه به فرمول های (5.15) و (5.20)، مقدار حداکثر تنش نرمال را تعیین می کنیم:

ژورافسکی دیمیتری ایوانوویچ (1828-1891) - دانشمند و مهندس مکانیک روسی، متخصص در زمینه ساخت پل و مکانیک سازه، اولین کسی بود که مشکل تعیین تنش های برشی در طول خمش عرضی تیر را حل کرد.

اجازه دهید مقادیر موجود در فرمول (5.21) را محاسبه کنیم:

در نقطه ای که با فاصله از هم جدا شده است دراز محور خنثی، مقدار تنش برشی است

حداکثر ولتاژ رخ می دهد در y = 0 در الیاف متعلق به محور مرکزی 0t.

این ولتاژ به طور رسمی یک مقدار منفی دارد، اما علامت آن را می توان نادیده گرفت، زیرا برای محاسبه مهم نیست.

اجازه دهید نسبت حداکثر مقادیر تنش های نرمال و مماسی ناشی از مقطع تیر را تخمین بزنیم:

با توجه به نمودار طراحی تیر، فرض می شود که - 1. از این نتیجه می شود که تنش های مماسی در مقایسه با تنش های معمولی از مرتبه بزرگی بالاتری برخوردار هستند.

اجازه دهید تخمین (5.24) را برای یک تیر با طول / و اندازه مقطع مشخصه تعمیم دهیم آ.با نیروی برشی برابر با اف،گشتاور خمشی به صورت خم M ~ تخمین زده می شود FI.برای مقادیر مشخصه گشتاور محوری اینرسی مقطع، ممان استاتیک بخشی از مقطع و ممان مقاومت در برابر خمش، برآوردهای زیر را بدست می آوریم:

در نتیجه، برای حداکثر تنش های نرمال و مماسی برآوردهای زیر معتبر است:

در نهایت تخمین زیر را از نسبت حداکثر تنش مماسی و نرمال بدست می آوریم:

تخمین‌های به‌دست‌آمده برای یک مقطع مستطیلی خاص را می‌توان به یک مقطع دلخواه تعمیم داد، با این شرط که سطح مقطع به‌عنوان توده‌ای در نظر گرفته شود. برای پروفیل های جدار نازک، نتیجه گیری فوق در مورد امکان نادیده گرفتن تنش های مماسی در مقایسه با تنش های معمولی همیشه درست نیست.

لازم به ذکر است که هنگام استخراج فرمول (5.21) کاملاً سازگار نبودیم و در حین انجام تبدیل ها، خطای زیر را مرتکب شدیم. یعنی فرمول تنش های نرمال که استفاده کردیم با این فرض به دست آمد که فرضیه مقاطع صفحه معتبر است، یعنی. در صورت عدم وجود انحراف مقطعی. با اعمال تنش‌های مماسی به عنصر، امکان اعوجاج زوایای قائمه را فراهم کردیم و در نتیجه فرضیه فوق را زیر پا گذاشتیم. بنابراین، فرمول های محاسباتی به دست آمده تقریبی هستند. نمودار تنش برشی نشان داده شده در شکل. 5.9، ب، ماهیت انحنای مقاطع تیر را در هنگام خمش عرضی توضیح می دهد. در نقاط انتهایی، تنش های مماسی صفر است، بنابراین، الیاف مربوطه به سطوح بالایی و پایینی تیر نرمال خواهند بود. در خط خنثی، جایی که حداکثر تنش های برشی اعمال می شود، حداکثر کرنش های برشی رخ می دهد.

در عین حال، توجه می کنیم که اگر مقدار نیروی عرضی در داخل مقطع ثابت باشد، انحنای تمام مقاطع یکسان خواهد بود، بنابراین، اثر انحنا در بزرگی کشش و فشار طولی منعکس نمی شود. تغییر شکل الیاف ناشی از لنگر خمشی.

برای مقاطع غیر مستطیلی، خطاهای اضافی در فرمول (5.21) به دلیل عدم برآورده کردن مفروضات پذیرفته شده در مورد ماهیت توزیع تنش های مماسی وارد می شود. بنابراین، برای مثال، برای یک مقطع دایره ای، تنش برشی در نقاط درخطوط برش باید به صورت مماس بر روی کانتور باشد و نه موازی با نیروی برشی ساین بدان معنی است که تنش های برشی باید دارای اجزایی باشند که هم در امتداد محور z/- و هم در امتداد محور z عمل می کنند.

با این حال، با وجود تناقضات موجود، فرمول های حاصل نتایج کاملا رضایت بخشی را هنگام انجام محاسبات عملی به دست می دهند. مقایسه مقادیر تنش های مماسی تعیین شده توسط فرمول (5.21) با نتایج به دست آمده با روش های دقیق نشان می دهد که خطا در مقدار بزرگترین تنش مماسی از 5٪ تجاوز نمی کند. این فرمول برای محاسبات عملی مناسب است.

اجازه دهید در مورد محاسبات استحکام برای خمش عرضی مستقیم نظراتی را بیان کنیم. بر خلاف خمش خالص، دو عامل نیرو در مقاطع عرضی میله در خمش عرضی ایجاد می شود: ممان خمشی M mzg و نیروی عرضی. سبا این حال، با توجه به اینکه بیشترین تنش های نرمال در بیرونی ترین الیاف رخ می دهد، جایی که هیچ تنش برشی وجود ندارد (شکل 5.9 را ببینید، ب)و بیشترین تنش های مماسی در لایه خنثی رخ می دهد که در آن تنش های نرمال برابر با صفر است، شرایط مقاومت در این موارد به طور جداگانه برای تنش های نرمال و مماسی فرموله می شود:

هنگام استخراج فرمول برای محاسبه تنش های نرمال، حالت خمش را در نظر می گیریم، زمانی که نیروهای داخلی در مقاطع تیر فقط به کاهش می یابد. لحظه خم شدن، آ معلوم می شود که نیروی برشی صفر است. این حالت خم شدن نامیده می شود خم شدن خالص. بخش میانی تیر را در نظر بگیرید که در معرض خمش خالص است.

هنگام بارگیری، تیر خم می شود تا آن را الیاف پایینی بلندتر و الیاف بالایی کوتاه می شوند.

از آنجایی که بخشی از الیاف تیر کشیده می شود و بخشی فشرده می شود و انتقال از کشش به فشار رخ می دهد. صاف و بدون پرش، V میانگینبخشی از پرتو قرار دارد لایه ای که الیاف آن فقط خم می شود، اما نه کشش و نه فشار را تجربه نمی کند.این لایه نامیده می شود خنثیلایه. خطی که در امتداد آن لایه خنثی سطح مقطع تیر را قطع می کند نامیده می شود خط خنثییا محور خنثیبخش ها خطوط خنثی بر روی محور پرتو رشته می شوند. خط خنثیخطی است که در آن تنش های معمولی صفر هستند.

خطوط کشیده شده در سطح جانبی تیر عمود بر محور باقی می مانند تختهنگام خم شدن این داده های تجربی این امکان را فراهم می کند که نتیجه گیری فرمول ها را پایه گذاری کنیم فرضیه مقاطع صفحه (حدس). بر اساس این فرضیه، مقاطع تیر قبل از خم شدن، مسطح و عمود بر محور خود هستند، صاف می مانند و در هنگام خم شدن عمود بر محور منحنی تیر می شوند.

مفروضات برای استخراج فرمول های تنش نرمال: 1) فرضیه مقاطع صفحه محقق می شود. 2) الیاف طولی به یکدیگر فشار نمی آورند (فرضیه بدون فشار) و بنابراین هر یک از الیاف در حالت کشش یا فشار تک محوری قرار دارند. 3) تغییر شکل الیاف به موقعیت آنها در امتداد عرض مقطع بستگی ندارد. در نتیجه، تنش های معمولی که در امتداد ارتفاع مقطع تغییر می کنند، در طول عرض یکسان باقی می مانند. 4) پرتو حداقل یک صفحه تقارن دارد و تمام نیروهای خارجی در این صفحه قرار دارند. 5) جنس تیر از قانون هوک پیروی می کند و مدول الاستیسیته در کشش و فشار یکسان است. 6) رابطه بین ابعاد تیر به گونه ای است که در شرایط خمشی صفحه بدون تاب و پیچش عمل می کند.

بیایید یک تیر با مقطع دلخواه، اما دارای یک محور تقارن در نظر بگیریم. لحظه خم شدننشان می دهد گشتاور حاصل از نیروهای عادی داخلی، در مناطق بی نهایت کوچک بوجود می آید و می تواند در بیان شود انتگرالفرم: (1)، جایی که y بازوی نیروی اولیه نسبت به محور x است

فرمول (1) بیان می کند ایستاطرف مشکل خم شدن یک تیر مستقیم، اما در امتداد آن در یک لحظه خمشی شناخته شده است تعیین تنش های نرمال تا زمانی که قانون توزیع آنها برقرار نشود غیرممکن است.

اجازه دهید تیرهای قسمت میانی را انتخاب کرده و در نظر بگیریم مقطع طول dz،در معرض خم شدن بیایید آن را در مقیاس بزرگ به تصویر بکشیم.

بخش هایی که محدوده dz را محدود می کنند، موازی با یکدیگر تا تغییر شکل دهند، و پس از اعمال بار دور خطوط خنثی خود را با یک زاویه بچرخانید . طول بخش فیبر لایه خنثی تغییر نخواهد کرد.و برابر خواهد بود با: ، کجاست شعاع انحنامحور منحنی تیر. اما هر فیبر دیگری دروغ می گوید پایین تر یا بالاترلایه خنثی، طول آن را تغییر خواهد داد. بیایید محاسبه کنیم ازدیاد طول نسبی الیاف واقع در فاصله y از لایه خنثی.ازدیاد طول نسبی نسبت تغییر شکل مطلق به طول اصلی است، سپس:

بیایید کم کنیم و اصطلاحات مشابه را بیاوریم، سپس دریافت می کنیم: (2) این فرمول بیان می کند هندسیطرف مشکل خمش خالص: تغییر شکل الیاف به طور مستقیم با فاصله آنها تا لایه خنثی متناسب است.

حالا بیایید به ادامه مطلب برویم استرس ها، یعنی در نظر می گیریم فیزیکیطرف کار مطابق با فرض بدون فشارما از الیاف تحت فشار محوری استفاده می کنیم: سپس با در نظر گرفتن فرمول (2) ما داریم (3), آن ها استرس معمولیهنگام خم شدن در امتداد ارتفاع مقطع به صورت خطی توزیع شده است. در بیرونی ترین الیاف، تنش های نرمال به حداکثر مقدار خود می رسد و در مرکز ثقل مقطع برابر با صفر است. جایگزین کنیم (3) به معادله (1) و کسر را از علامت انتگرال به عنوان یک مقدار ثابت برداریم، آنگاه داریم . اما بیان این است گشتاور محوری اینرسی مقطع نسبت به محور x - من x. ابعاد آن سانتی متر 4، متر 4

سپس ،جایی که (4) ، کجاست انحنای محور منحنی تیر، و صلبیت مقطع تیر در هنگام خمش است.

بیایید عبارت حاصل را جایگزین کنیم انحنا (4)به بیان (3) و دریافت می کنیم فرمول محاسبه تنش های نرمال در هر نقطه از مقطع: (5)

که بیشترینتنش ها بوجود می آیند در دورترین نقاط از خط خنثینگرش (6) تماس گرفت گشتاور محوری مقاومت مقطع. ابعاد آن سانتی متر 3، متر 3. ممان مقاومت، تأثیر شکل و ابعاد مقطع بر روی بزرگی تنش‌ها را مشخص می‌کند.

سپس حداکثر ولتاژ: (7)

شرایط مقاومت خمشی: (8)

هنگامی که خمش عرضی رخ می دهد نه تنها تنش های معمولی، بلکه برشی، زیرا در دسترس نیروی برشی. تنش برشی تصویر تغییر شکل را پیچیده می کند، منجر به انحنامقاطع عرضی تیر، در نتیجه فرضیه مقاطع صفحه نقض شده است. با این حال، تحقیقات نشان می دهد که اعوجاج توسط تنش های برشی ایجاد می شود اندکیبر تنش های نرمال محاسبه شده با فرمول تاثیر می گذارد (5) . بنابراین، هنگام تعیین تنش های نرمال در مورد خمش عرضی تئوری خمش خالص کاملاً قابل اجرا است.

خط خنثی سوال در مورد موقعیت خط خنثی.

در طول خمش نیروی طولی وجود ندارد، بنابراین می توانیم بنویسیم اجازه دهید در اینجا فرمول تنش های معمولی را جایگزین کنیم (3) و دریافت می کنیم از آنجایی که مدول الاستیسیته طولی ماده تیر برابر با صفر نیست و محور منحنی تیر دارای شعاع انحنای محدودی است، باید فرض کنیم که این انتگرال لحظه ایستا منطقهمقطع تیر نسبت به محور خنثی x ، و از برابر با صفر است، سپس خط خنثی از مرکز ثقل مقطع عبور می کند.

اجازه دهید تیری را در نظر بگیریم که تحت تأثیر بارهای عرضی دلخواه در صفحه اصلی خمش مستقیم صفحه دارد. اوهو(شکل 7.31، آ).بیایید تیر را در فاصله x از انتهای چپ آن برش دهیم و تعادل سمت چپ را در نظر بگیریم. تاثیر سمت راست در این حالت باید با عمل لنگر خمشی A/ و نیروی عرضی جایگزین شود. Qyدر بخش ترسیم شده (شکل 7.31، ب).لنگر خمشی L7 در حالت کلی، مانند خمش خالص، از نظر اندازه ثابت نیست، اما در طول تیر متغیر است. از لحظه خم شدن م

مطابق (7.14) با تنش های نرمال o = a x همراه است، سپس تنش های نرمال در الیاف طولی نیز در طول تیر تغییر می کند. بنابراین در حالت خمش عرضی، تنش های نرمال تابعی از متغیرهای x و هستند y: a x = a x (x، y).

در طول خمش عرضی در مقطع تیر، نه تنها تنش های معمولی بلکه مماسی نیز اعمال می شود (شکل 7.31، V)که حاصل آن نیروی عرضی است Q y:

وجود تنش های مماسی x اوههمراه با ظاهر تغییر شکل های زاویه ای. تنش های برشی، مانند تنش های معمولی، به طور ناهموار در سطح مقطع توزیع می شوند. در نتیجه، تغییر شکل‌های زاویه‌ای مرتبط با آن‌ها توسط قانون هوک در حین برش نیز به‌طور نابرابر توزیع می‌شوند. به این معنی که در هنگام خمش عرضی، بر خلاف خمش خالص، مقاطع تیر صاف نمی مانند (فرضیه جی. برنولی نقض می شود).

انحنای مقاطع را می توان به وضوح با مثال خمش یک تیر کنسولی از بخش لاستیکی مستطیل شکل ناشی از نیروی متمرکز اعمال شده در انتها نشان داد (شکل 7.32). اگر ابتدا خطوط مستقیم بر روی وجوه جانبی عمود بر محور تیر رسم کنید، پس از خم شدن این خطوط صاف نمی مانند. در همان زمان، آنها خم می شوند تا بیشترین جابجایی در سطح لایه خنثی رخ دهد.

مطالعات دقیق تر نشان داده اند که اثر اعوجاج مقاطع بر روی مقدار تنش های نرمال ناچیز است. بستگی به نسبت ارتفاع بخش دارد ساعتبه طول تیر / و در ساعت/ / o x برای خمش عرضی معمولاً از فرمول (7.14) مشتق شده برای حالت خمش خالص استفاده می شود.

دومین ویژگی خمش عرضی وجود تنش های معمولی است O y، در بخش های طولی تیر عمل می کند و فشار متقابل بین لایه های طولی را مشخص می کند. این تنش ها در مناطقی که بار توزیع شده وجود دارد رخ می دهد q،و در مکان هایی که نیروهای متمرکز اعمال می شود. به طور معمول این تنش ها در مقایسه با تنش های معمولی بسیار کوچک هستند تبر.یک مورد خاص عمل یک نیروی متمرکز است که در ناحیه اعمال آن تنش های موضعی قابل توجهی می تواند ایجاد شود. و شما.

بنابراین، یک عنصر بینهایت کوچک در هواپیما اوهودر مورد خمش عرضی، در حالت تنش دو محوری قرار دارد (شکل 7.33).

ولتاژهای t و o و همچنین ولتاژ o Y در حالت کلی توابعی از مختصات* و y هستند. آنها باید معادلات تعادل دیفرانسیل را برآورده کنند، که برای یک حالت تنش دو محوری ( a z = T yz = = 0) در غیاب

نیروهای حجمی به شکل زیر هستند:

از این معادلات می توان برای تعیین تنش های برشی = m و تنش های نرمال استفاده کرد OU.این کار برای یک تیر با مقطع مستطیلی ساده ترین کار است. در این مورد، هنگام تعیین m، این فرض وجود دارد که آنها به طور یکنواخت در عرض مقطع توزیع شده اند (شکل 7.34). این فرض توسط پل ساز معروف روسی D.I. ژوراووسکی. تحقیقات نشان می‌دهد که این فرض تقریباً دقیقاً با ماهیت واقعی توزیع تنش‌های برشی در طول خمش برای تیرهای باریک و بلند مطابقت دارد. (ب « و).

استفاده از اولین معادلات دیفرانسیل (7.26) و فرمول (7.14) برای تنش های نرمال تبر،ما گرفتیم

ادغام این معادله روی متغیر y،ما پیدا می کنیم

جایی که f(x)- یک تابع دلخواه، برای تعیین اینکه از شرایط عدم وجود تنش های مماسی در لبه پایینی تیر استفاده می کنیم:

با در نظر گرفتن این شرط مرزی، از (7.28) پیدا می کنیم

بیان نهایی برای تنش های مماسی اعمال شده در مقاطع تیر به شکل زیر است:

با توجه به قانون جفت شدن تنش های مماسی، تنش های مماسی نیز در مقاطع طولی به وجود می آیند.

هو هو

پرتوهای موازی با لایه خنثی

از فرمول (7.29) مشخص می شود که تنش های مماسی در طول ارتفاع مقطع تیر طبق قانون سهمی مربع تغییر می کند. تنش های مماسی بیشترین مقدار را در نقاطی در سطح محور خنثی دارند y = 0، و در بیرونی ترین الیاف تیر در y = ±h/2آنها برابر با صفر هستند. با استفاده از فرمول (7.23) برای ممان اینرسی یک مقطع مستطیلی، به دست می آوریم

جایی که F=bh -سطح مقطع تیر.

نمودار t در شکل نشان داده شده است. 7.34.

در مورد تیرهای با مقطع غیر مستطیلی (شکل 7.35)، تعیین تنش های برشی m از معادله تعادل (7.27) دشوار است، زیرا شرایط مرزی برای m در همه نقاط مقطع مشخص نیست. کانتور این به این دلیل است که در این حالت، تنش های مماسی t در مقطع عمل می کنند، نه موازی با نیروی عرضی. Qy.در واقع می توان نشان داد که در نقاط نزدیک به کانتور مقطع، کل تنش برشی m به صورت مماس بر کانتور هدایت می شود. اجازه دهید در مجاورت یک نقطه دلخواه در کانتور (نگاه کنید به شکل 7.35) یک منطقه بی نهایت کوچک را در نظر بگیرید. dFدر سطح مقطع و سکوی عمود بر آن dF"در سطح جانبی تیر. اگر تنش کل t در یک نقطه از کانتور به صورت مماس جهت ندهد، می توان آن را به دو جزء تجزیه کرد: x vxدر جهت v نرمال به کانتور و ایکسدر جهت مماس تیبه کانتور. بنابراین با توجه به قانون جفت شدن تنش های مماسی روی سایت dF"باید

اما بر روی تنش برشی x برابر با x vv عمل کنید. اگر سطح جانبی عاری از بارهای برشی باشد، جزء x vv = است z vx = 0، یعنی تنش برشی کل x باید به صورت مماس بر روی سطح مقطع هدایت شود، به عنوان مثال، در نقاط A و نشان داده شده است. که درکانتور

در نتیجه تنش برشی x هم در نقاط کانتور و هم در هر نقطه از مقطع می تواند به اجزای آنها x تجزیه شود.

برای تعیین مولفه های x تنش مماسی در تیرهای با مقطع غیر مستطیلی (شکل 7.36، ب)فرض می کنیم که مقطع دارای یک محور قائم تقارن است و مولفه x تنش برشی کل x، مانند مورد یک مقطع مستطیلی، به طور یکنواخت در عرض آن توزیع شده است.

استفاده از یک مقطع طولی موازی با صفحه Oxzو گذر از دور دراز آن، و دو مقطع هه + dxاجازه دهید به طور ذهنی از پایین تیر یک عنصر بی نهایت کوچک را برش دهیم dx(شکل 7.36، V).

اجازه دهید لحظه خمشی را فرض کنیم مدر طول متفاوت است dxعنصر تیر مورد نظر و نیروی برشی سثابت است سپس در مقاطع x و x + dxتیرها در معرض تنش‌های مماسی x با بزرگی مساوی و تنش‌های معمولی ناشی از گشتاورهای خمشی قرار خواهند گرفت. M zمترM z+ dM",به ترتیب برابر خواهد بود آو آ + دادر امتداد لبه افقی عنصر انتخاب شده (در شکل 7.36، Vدر آکسونومتری نشان داده شده است) با توجه به قانون جفت شدن تنش های مماسی، تنش های x v„ = x عمل خواهند کرد.

هو هو

نتایج آرو R+dRتنش های معمولی o و o + d اعمال شده به انتهای عنصر با در نظر گرفتن فرمول (7.14) برابر هستند

جایی که

لحظه ایستا ناحیه برش اف(در شکل 7.36، بسایه دار) نسبت به محور خنثی اوز y یک متغیر کمکی است که در داخل متغیر است در

حاصل تنش های مماسی t اعمال شده

xy

به لبه افقی عنصر، با در نظر گرفتن فرض معرفی شده در مورد توزیع یکنواخت این تنش ها در عرض توسط) را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

شرط تعادل برای عنصر؟X=0 می دهد

با جایگزینی مقادیر نیروهای حاصل، به دست می آوریم

از اینجا، با در نظر گرفتن (7.6)، فرمولی برای تعیین تنش های مماسی به دست می آوریم:

این فرمول در ادبیات روسی نامیده می شود فرمول D.I. ژوراووسکی.

مطابق با فرمول (7.32)، توزیع تنش های مماسی t در طول ارتفاع مقطع به تغییر عرض مقطع بستگی دارد. ب(y) و ممان استاتیک قسمت برش بخش S OTC (y).

با استفاده از فرمول (7.32)، تنش های برشی به سادگی برای تیر مستطیلی در نظر گرفته شده در بالا تعیین می شود (شکل 7.37).

ممان استاتیک سطح مقطع برش F qtc برابر است با

با جایگزینی 5 درجه tf به (7.32)، فرمول مشتق شده قبلی (7.29) را به دست می آوریم.

از فرمول (7.32) می توان برای تعیین تنش های برشی در تیرهایی با عرض مقطع ثابت قدم به قدم استفاده کرد. در هر مقطع با عرض ثابت، تنش‌های مماسی در امتداد ارتفاع مقطع با توجه به قانون سهمی مربع تغییر می‌کند. در جاهایی که عرض مقطع به طور ناگهانی تغییر می کند، تنش های مماسی نیز پرش یا ناپیوستگی دارند. ماهیت نمودار t برای چنین مقطعی در شکل نشان داده شده است. 7.38.

برنج. 7.37

برنج. 7.38

اجازه دهید توزیع تنش های مماسی را در یک مقطع I در نظر بگیریم (شکل 7.39، آ)هنگام خم شدن در هواپیما اوهیک بخش I را می توان به عنوان محل اتصال سه مستطیل باریک نشان داد: دو قفسه افقی و یک دیوار عمودی.

هنگام محاسبه m در دیوار در فرمول (7.32)، باید بگیرید b(y) - d.در نتیجه بدست می آوریم

جایی که درجه سانتی گرادبه عنوان مجموع گشتاورهای ساکن حول محور محاسبه می شود اوزمنطقه قفسه Fnو قسمت هایی از دیوار اف،سایه دار در شکل 7.39، آ:

تنش های مماسی t بیشترین مقدار را در سطح محور خنثی در دارند y = 0:

ممان استاتیک مساحت نصف مقطع نسبت به محور خنثی کجاست:

برای تیرهای نورد I و کانال ها، مقدار لحظه ایستا نیم بخش در مجموعه داده شده است.

برنج. 7.39

در سطحی که دیوار به فلنج ها متصل می شود، تنش های برشی ایجاد می شود 1 ? برابر

جایی که اس" -گشتاور ساکن سطح مقطع فلنج نسبت به محور خنثی:

تنش های مماسی عمودی m در فلنج های تیر I با استفاده از فرمول (7.32) یافت نمی شود، زیرا به دلیل این واقعیت است که ب :» تی،فرض توزیع یکنواخت آنها در عرض قفسه غیر قابل قبول می شود. در لبه های بالا و پایین فلنج، این تنش ها باید صفر باشد. بنابراین تی در

وای

قفسه ها بسیار کوچک هستند و هیچ اهمیت عملی ندارند. تنش‌های مماسی افقی در فلنج‌های m بسیار جالب‌تر است، برای تعیین تعادل یک عنصر بینهایت کوچک جدا شده از فلنج پایینی (شکل 7.39). ، ب).

طبق قانون جفت شدن تنش های مماسی روی وجه طولی این عنصر موازی با صفحه اوه،ولتاژ اعمال می شود x xzاز نظر بزرگی برابر با تنش t اعمال شده در مقطع است. با توجه به ضخامت کم فلنج I-beam، می توان فرض کرد که این تنش ها به طور یکنواخت بر روی ضخامت فلنج توزیع شده اند. با در نظر گرفتن این موضوع، از معادله تعادل عنصر 5^=0 خواهیم داشت

از اینجا پیدا می کنیم

به جای این فرمول عبارت for تبراز (7.14) و با در نظر گرفتن اینکه به دست می آوریم

با توجه به اینکه

جایی که S° TC -لحظه ایستا ناحیه برش قفسه (در شکل 7. 39، آدو بار سایه زده شده) نسبت به محور اوز،بالاخره بهش میرسیم

با توجه به شکل. 7.39 ، آ

جایی که z- متغیر مبتنی بر محور OU.

با در نظر گرفتن این موضوع، فرمول (7.34) را می توان به شکل نمایش داد

این نشان می دهد که تنش های برشی افقی به صورت خطی در امتداد محور تغییر می کند اوزو بیشترین ارزش را در z = d/ 2:

در شکل شکل 7.40 نمودار تنش های مماسی m و m^ و همچنین جهت این تنش ها را در فلنج ها و دیواره تیر I در هنگام اعمال نیروی برشی مثبت به مقطع تیر نشان می دهد. ستنش‌های مماسی، به‌طور مجازی، یک جریان پیوسته را در بخش I-beam تشکیل می‌دهند که در هر نقطه موازی با کانتور مقطع هدایت می‌شود.

بیایید به تعریف تنش های معمولی برویم و yدر مقاطع طولی تیر. بیایید بخشی از یک تیر را با بار یکنواخت در امتداد لبه بالایی در نظر بگیریم (شکل 7.41). سطح مقطع تیر را مستطیل شکل در نظر بگیرید.

ما از آن برای تعیین استفاده می کنیم دوم از معادلات تعادل دیفرانسیل (7.26). جایگزینی فرمول (7.32) برای تنش های مماسی در این معادله تو،با در نظر گرفتن (7.6) بدست می آوریم

پس از انجام یکپارچه سازی روی متغیر y،ما پیدا می کنیم

اینجا f(x) -یک تابع دلخواه که با استفاده از یک شرط مرزی تعریف می شود. با توجه به شرایط مشکل، تیر با یک بار توزیع یکنواخت بارگذاری می شود qدر امتداد لبه بالایی، و لبه پایینی بدون بار است. سپس شرایط مرزی مربوطه در فرم نوشته می شود

با استفاده از حالت دوم از این شرایط به دست می آوریم

با در نظر گرفتن این، فرمول استرس و yبه شکل زیر خواهد بود:

از این عبارت مشخص می شود که تنش ها در امتداد ارتفاع مقطع با توجه به قانون سهمی مکعبی تغییر می کند. در این حالت، هر دو شرط مرزی (7.35) برآورده می شوند. بالاترین مقدار ولتاژ زمانی که سطح بالایی تیر را می گیرد y=-h/2:

ماهیت نمودار و yدر شکل نشان داده شده است. 7.41.

برای تخمین مقادیر بالاترین تنش ها o. a و m و روابط بین آنها، برای مثال، خمش یک تیر کنسولی با مقطع مستطیلی با ابعاد را در نظر می گیریم. bxhتحت عمل یک بار توزیع یکنواخت اعمال شده به لبه بالایی تیر (شکل 7.42). بیشترین مقدار مطلق تنش ها در آب بند رخ می دهد. مطابق با فرمول های (7.22)، (7.30) و (7.37)، این تنش ها برابر هستند.

طبق معمول برای تیرها l/h» 1، سپس از عبارات به دست آمده نتیجه می شود که ولتاژها c xدر مقدار مطلق از ولتاژ t فراتر می رود و به خصوص و شما.بنابراین، برای مثال، زمانی که 1/I == 10 می گیریم a x /t xy = 20'، o x /c y = 300.

بنابراین، بیشترین علاقه عملی هنگام محاسبه تیرها برای خمش تنش است تبر،عمل در مقاطع عرضی تیر. ولتاژها با y،مشخص کننده فشار متقابل لایه های طولی تیر در مقایسه با o v ناچیز است.

نتایج به دست آمده در این مثال نشان می دهد که فرضیه های ارائه شده در § 7.5 کاملاً موجه هستند.

خمش صاف (مستقیم).- هنگامی که لنگر خمشی در صفحه ای که از یکی از محورهای اصلی اینرسی مرکزی مقطع عبور می کند، عمل می کند، یعنی. همه نیروها در صفحه تقارن پرتو قرار دارند. فرضیه های اصلی(فرض): فرضیه عدم فشار الیاف طولی: الیاف موازی با محور تیر، تغییر شکل کششی-فشاری را تجربه می کنند و در جهت عرضی به یکدیگر فشار وارد نمی کنند. فرضیه مقاطع صفحه: مقطعی از تیر که قبل از تغییر شکل صاف است، پس از تغییر شکل نسبت به محور منحنی تیر صاف و نرمال می ماند. در مورد خمش مسطح، به طور کلی، عوامل قدرت داخلی: نیروی طولی N، نیروی عرضی Q و لنگر خمشی M. N>0، اگر نیروی طولی کششی باشد. در M>0، الیاف بالای تیر فشرده شده و الیاف پایین کشیده می شوند. .

لایه ای که هیچ پسوندی در آن وجود ندارد نامیده می شود لایه خنثی(محور، خط). برای N=0 و Q=0 مورد داریم خم خالصولتاژهای معمولی:
, شعاع انحنای لایه خنثی است، y فاصله مقداری فیبر تا لایه خنثی است.

43) کشش و فشار غیرعادی

کشش و فشرده سازی

 - ولتاژ معمولی[Pa]، 1 Pa (پاسکال) = 1 N/m 2،

10 6 Pa = 1 MPa (مگا پاسکال) = 1 N/mm 2

N - نیروی طولی (عادی) [N] (نیوتن)؛ F - سطح مقطع [m2]

 - تغییر شکل نسبی [کمیت بدون بعد]؛

L - تغییر شکل طولی [m] (ازدیاد طول مطلق)، L - طول میله [m].

-قانون هوک -  = E

E - مدول الاستیسیته کششی (مدول الاستیسیته از نوع اول یا مدول یانگ) [MPa]. برای فولاد E = 210 5 MPa = 210 6 kg/cm 2 (در سیستم واحدهای "قدیمی").

(هرچه E بزرگتر باشد، مواد کششی کمتری دارند)

;
- قانون هوک

EF سفتی میله در کشش (فشردهی) است.

هنگامی که میله کشیده می شود، "نازک می شود"، عرض آن - a با تغییر شکل عرضی کاهش می یابد - a.

-تغییر شکل عرضی نسبی

-نسبت پواسون [کمیت بدون بعد]؛

 از 0 (چوب پنبه) تا 0.5 (لاستیک) متغیر است. برای فولاد  0.250.3.

اگر نیروی طولی و سطح مقطع ثابت نباشد، ازدیاد طول میله:

کار کششی:
، انرژی پتانسیل:

47. انتگرال موهر

یک روش جهانی برای تعیین جابجایی ها (زوایای خطی و چرخشی) روش موهر است. یک نیروی تعمیم یافته واحد در نقطه ای که جابجایی تعمیم یافته برای آن جستجو می شود به سیستم اعمال می شود. اگر انحراف تعیین شود، نیروی واحد یک نیروی متمرکز بدون بعد است و اگر زاویه چرخش تعیین شود، آنگاه یک واحد گشتاور بدون بعد است. در مورد یک سیستم فضایی، شش جزء نیروهای داخلی وجود دارد. جابجایی تعمیم یافته تعریف شده است

48. تعیین تنش تحت عمل ترکیبی خمش و پیچش

خم شدن با پیچش

عمل ترکیبی خمش و پیچش رایج ترین مورد شفت بارگذاری است. پنج جزء نیروهای داخلی بوجود می آیند: Q x، Q y، M x، M y، M z = M cr. در حین محاسبه، نمودارهای لنگر خمشی Mx، My و گشتاور Mcr ساخته شده و مقطع خطرناک تعیین می شود. لحظه خمشی حاصل
. حداکثر تنش های معمولی و برشی در نقاط خطرناک (A,B):
,

، (برای یک دایره: W=
- گشتاور محوری مقاومت , W р =
- ممان قطبی تماس مقطع).

تنش های اصلی در خطرناک ترین نقاط (A و B):

تست قدرت بر اساس یکی از تئوری های قدرت انجام می شود:

چهارم: نظریه مور:

جایی که m=[ p ]/[ c ] – مجاز است. به عنوان مثال کشش / فشرده سازی (برای مواد شکننده - چدن).

تی
.k.W p =2W، دریافت می کنیم:

بر اساس تئوری پذیرفته شده قدرت، شمارش ممان کاهش یافته است. ;

II: با نسبت پواسون=0.3;

III:

یا با یک فرمول:
لحظه مقاومت از آنجاست:
، قطر شفت:
. فرمول ها همچنین برای محاسبه مقطع حلقوی مناسب هستند.