Fórmulas trigonométricas como resolver. Ecuaciones trigonométricas: fórmulas, soluciones, ejemplos

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Una igualdad que contiene una incógnita bajo el signo de una función trigonométrica (`sin x, cos x, tan x` o `ctg x`) se llama ecuación trigonométrica, y son sus fórmulas las que consideraremos más a fondo.

Las ecuaciones más simples son `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, donde `x` es el ángulo que se va a encontrar, `a` es cualquier número. Anotemos las fórmulas raíz de cada uno de ellos.

1. Ecuación `sen x=a`.

Para `|a|>1` no tiene soluciones.

Cuando `|a| \leq 1` tiene un número infinito de soluciones.

Fórmula raíz: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuación `cos x=a`

Para `|a|>1` - como en el caso del seno, no tiene soluciones entre los números reales.

Cuando `|a| \leq 1` tiene un número infinito de soluciones.

Fórmula raíz: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casos especiales de seno y coseno en gráficas.

3. Ecuación `tg x=a`

Tiene un número infinito de soluciones para cualquier valor de "a".

Fórmula raíz: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuación `ctg x=a`

También tiene un número infinito de soluciones para cualquier valor de "a".

Fórmula raíz: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Fórmulas para las raíces de ecuaciones trigonométricas en la tabla.

Para seno:
Para coseno:
Para tangente y cotangente:
Fórmulas para resolver ecuaciones que contienen funciones trigonométricas inversas:

Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.

Resolver cualquier ecuación trigonométrica consta de dos etapas:

• con la ayuda de transformarlo al más simple;
• resuelva la ecuación más simple obtenida usando las fórmulas de raíz y las tablas escritas arriba.

Veamos los principales métodos de solución mediante ejemplos.

Método algebraico.

Este método implica reemplazar una variable y sustituirla en una igualdad.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

haga un reemplazo: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, luego `2y^2-3y+1=0`,

encontramos las raíces: `y_1=1, y_2=1/2`, de lo que se siguen dos casos:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Respuesta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorización.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `sen x+cos x=1`.

Solución. Movamos todos los términos de la igualdad hacia la izquierda: `sin x+cos x-1=0`. Usando , transformamos y factorizamos el lado izquierdo:

`pecado x — 2pecado^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sen x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Respuesta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducción a una ecuación homogénea

Primero, necesitas reducir esta ecuación trigonométrica a una de dos formas:

`a sin x+b cos x=0` (ecuación homogénea de primer grado) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuación homogénea de segundo grado).

Luego divide ambas partes por `cos x \ne 0` - para el primer caso, y por `cos^2 x \ne 0` - para el segundo. Obtenemos ecuaciones para `tg x`: `a tg x+b=0` y `a tg^2 x + b tg x +c =0`, que deben resolverse utilizando métodos conocidos.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Solución. Escribamos el lado derecho como `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`pecado^2 x+pecado x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Esta es una ecuación trigonométrica homogénea de segundo grado, dividimos sus lados izquierdo y derecho por `cos^2 x \ne 0`, obtenemos:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2x+tgx — 2=0`. Introduzcamos el reemplazo `tg x=t`, lo que resulta en `t^2 + t - 2=0`. Las raíces de esta ecuación son `t_1=-2` y `t_2=1`. Entonces:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Respuesta. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \en Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \en Z`.

Moviéndose a medio ángulo

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `11 sen x - 2 cos x = 10`.

Solución. Apliquemos las fórmulas de los ángulos dobles, lo que da como resultado: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Aplicando el método algebraico descrito anteriormente, obtenemos:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Respuesta. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \en Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \en Z`.

Introducción del ángulo auxiliar.

En la ecuación trigonométrica `a sin x + b cos x =c`, donde a,b,c son coeficientes y x es una variable, divide ambos lados por `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Los coeficientes del lado izquierdo tienen las propiedades del seno y el coseno, es decir, la suma de sus cuadrados es igual a 1 y sus módulos no son mayores que 1. Denotémoslos de la siguiente manera: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, entonces:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Echemos un vistazo más de cerca al siguiente ejemplo:

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `3 sen x+4 cos x=2`.

Solución. Dividiendo ambos lados de la igualdad por `sqrt (3^2+4^2)`, obtenemos:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sen x+4/5 porque x=2/5`.

Denotemos `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Dado que `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, entonces tomamos `\varphi=arcsin 4/5` como ángulo auxiliar. Luego escribimos nuestra igualdad en la forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicando la fórmula para la suma de ángulos del seno, escribimos nuestra igualdad de la siguiente forma:

`pecado (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcosen 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcosin 2/5-` `arcossin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Respuesta. `x=(-1)^n arcosin 2/5-` `arcossin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuaciones trigonométricas racionales fraccionarias

Se trata de igualdades con fracciones cuyos numeradores y denominadores contienen funciones trigonométricas.

Ejemplo. Resuelve la ecuación. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solución. Multiplica y divide el lado derecho de la igualdad por `(1+cos x)`. Como resultado obtenemos:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin^2 x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin^2 x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Considerando que el denominador no puede ser igual a cero, obtenemos `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Igualemos el numerador de la fracción a cero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Entonces `sin x=0` o `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \en Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dado que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, las soluciones son `x=2\pi n, n \in Z` y `x=\pi /2+2\pi n` , `n\en Z`.

Respuesta. `x=2\pi n`, `n \en Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \en Z`.

La trigonometría, y las ecuaciones trigonométricas en particular, se utilizan en casi todas las áreas de la geometría, la física y la ingeniería. Los estudios comienzan en el décimo grado, siempre hay tareas para el Examen Estatal Unificado, así que trate de recordar todas las fórmulas de ecuaciones trigonométricas: ¡definitivamente le serán útiles!

Sin embargo, ni siquiera es necesario memorizarlos, lo principal es comprender la esencia y poder deducirla. No es tan difícil como parece. Compruébalo tú mismo viendo el vídeo.

Al resolver muchos problemas matemáticos, especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Tales problemas incluyen, por ejemplo, ecuaciones lineales y cuadráticas, desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadráticas. El principio para resolver con éxito cada uno de los problemas mencionados es el siguiente: debe establecer qué tipo de problema está resolviendo, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán al resultado deseado, es decir Responde y sigue estos pasos.

Es obvio que el éxito o el fracaso en la resolución de un problema en particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve y de qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso es necesario tener la habilidad de realizar transformaciones y cálculos idénticos.

La situación es diferente con ecuaciones trigonométricas. No es nada difícil establecer que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades a la hora de determinar la secuencia de acciones que conducirían a la respuesta correcta.

A veces es difícil determinar su tipo basándose en la apariencia de una ecuación. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.

Para resolver una ecuación trigonométrica, debes intentar:

1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a “funciones idénticas”;
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.

Consideremos Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.

I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples.

Diagrama de solución

Paso 1. Expresar una función trigonométrica en términos de componentes conocidos.

Paso 2. Encuentre el argumento de la función usando las fórmulas:

porque x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

pecado x = a; x = (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.

tanx = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Paso 3. Encuentra la variable desconocida.

Ejemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solución.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Reemplazo de variables

Diagrama de solución

Paso 1. Reducir la ecuación a forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.

Paso 2. Denota la función resultante por la variable t (si es necesario, introduce restricciones sobre t).

Paso 3. Escribe y resuelve la ecuación algebraica resultante.

Etapa 4. Haga un reemplazo inverso.

Paso 5. Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.

Ejemplo.

2cos 2 (x/2) – 5sen (x/2) – 5 = 0.

Solución.

1) 2(1 – sen 2 (x/2)) – 5sen (x/2) – 5 = 0;

2sen 2 (x/2) + 5sen (x/2) + 3 = 0.

2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, no cumple la condición |t| ≤ 1.

4) pecado(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Método de reducción del orden de las ecuaciones

Diagrama de solución

Paso 1. Reemplace esta ecuación por una lineal, usando la fórmula para reducir el grado:

sen 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

porque 2 x = 1/2 · (1 + porque 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando los métodos I y II.

Ejemplo.

porque 2x + porque 2x = 5/4.

Solución.

1) porque 2x + 1/2 · (1 + porque 2x) = 5/4.

2) porque 2x + 1/2 + 1/2 · porque 2x = 5/4;

3/2 porque 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuaciones homogéneas

Diagrama de solución

Paso 1. Reduzca esta ecuación a la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)

o a la vista

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).

Paso 2. Divide ambos lados de la ecuación por

a) porque x ≠ 0;

b) porque 2 x ≠ 0;

y obtenga la ecuación para tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Paso 3. Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.

Ejemplo.

5sen 2 x + 3sen x porque x – 4 = 0.

Solución.

1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3sen x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Sea tg x = t, entonces

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, lo que significa

tg x = 1 o tg x = -4.

De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método de transformación de una ecuación mediante fórmulas trigonométricas.

Diagrama de solución

Paso 1. Usando todas las fórmulas trigonométricas posibles, reduzca esta ecuación a una ecuación resuelta por los métodos I, II, III, IV.

Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando métodos conocidos.

Ejemplo.

sen x + sen 2x + sen 3x = 0.

Solución.

1) (sen x + pecado 3x) + pecado 2x = 0;

2sen 2x porque x + pecado 2x = 0.

2) pecado 2x (2cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

De la primera ecuación 2x ​​= π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.

Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacidad y habilidad para resolver ecuaciones trigonométricas es muy Es importante destacar que su desarrollo requiere un importante esfuerzo, tanto por parte del alumno como por parte del docente.

Muchos problemas de estereometría, física, etc. están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas. El proceso de resolución de dichos problemas incorpora muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.

Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de aprendizaje de las matemáticas y del desarrollo personal en general.

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La trigonometría, como ciencia, se originó en el Antiguo Oriente. Los astrónomos derivaron las primeras relaciones trigonométricas para crear un calendario y una orientación precisos de las estrellas. Estos cálculos se relacionaban con la trigonometría esférica, mientras que en curso escolar Estudiar las razones de los lados y ángulos de un triángulo plano.

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las funciones trigonométricas y las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos.

Durante el apogeo de la cultura y la ciencia en el primer milenio d.C., el conocimiento se extendió desde el Antiguo Oriente hasta Grecia. Pero los principales descubrimientos de la trigonometría son mérito de los hombres del califato árabe. En particular, el científico turcomano al-Marazwi introdujo funciones como la tangente y la cotangente y compiló las primeras tablas de valores de senos, tangentes y cotangentes. Los conceptos de seno y coseno fueron introducidos por científicos indios. La trigonometría recibió mucha atención en las obras de grandes figuras de la antigüedad como Euclides, Arquímedes y Eratóstenes.

Cantidades básicas de trigonometría.

Las funciones trigonométricas básicas de un argumento numérico son seno, coseno, tangente y cotangente. Cada uno de ellos tiene su propia gráfica: seno, coseno, tangente y cotangente.

Las fórmulas para calcular los valores de estas cantidades se basan en el teorema de Pitágoras. Los escolares conocen mejor la formulación: "Los pantalones pitagóricos son iguales en todas las direcciones", ya que la prueba se da en el ejemplo de un triángulo rectángulo isósceles.

El seno, el coseno y otras relaciones establecen la relación entre los ángulos agudos y los lados de cualquier triángulo rectángulo. Presentemos fórmulas para calcular estas cantidades para el ángulo A y tracemos las relaciones entre funciones trigonométricas:

Como puedes ver, tg y ctg son funciones inversas. Si imaginamos el cateto a como el producto del pecado A y la hipotenusa c, y el cateto b como cos A * c, obtenemos las siguientes fórmulas para tangente y cotangente:

círculo trigonométrico

Gráficamente, la relación entre las cantidades mencionadas se puede representar de la siguiente manera:

El círculo en este caso representa todos los valores posibles del ángulo α, desde 0° hasta 360°. Como se puede ver en la figura, cada función toma un valor negativo o positivo según el ángulo. Por ejemplo, sen α tendrá un signo “+” si α pertenece al primer y segundo cuarto del círculo, es decir, está en el rango de 0° a 180°. Para α de 180° a 360° (cuartos III y IV), sen α sólo puede ser un valor negativo.

Intentemos construir tablas trigonométricas para ángulos específicos y descubrir el significado de las cantidades.

Los valores de α iguales a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° y así sucesivamente se denominan casos especiales. Los valores de las funciones trigonométricas para ellos se calculan y presentan en forma de tablas especiales.

Estos ángulos no fueron elegidos al azar. La designación π en las tablas es para radianes. Rad es el ángulo en el que la longitud del arco de un círculo corresponde a su radio. Este valor se introdujo para establecer una dependencia universal; al calcular en radianes, la longitud real del radio en cm no importa.

Los ángulos en las tablas de funciones trigonométricas corresponden a valores en radianes:

Entonces, no es difícil adivinar que 2π es un círculo completo o 360°.

Propiedades de las funciones trigonométricas: seno y coseno

Para considerar y comparar las propiedades básicas del seno y el coseno, la tangente y la cotangente, es necesario dibujar sus funciones. Esto se puede hacer en forma de curva ubicada en un sistema de coordenadas bidimensional.

Considere la tabla comparativa de propiedades del seno y el coseno:

Onda sinusoidal	Coseno
y = senx	y = porque x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sen x = 0, para x = πk, donde k ϵ Z	cos x = 0, para x = π/2 + πk, donde k ϵ Z
sen x = 1, para x = π/2 + 2πk, donde k ϵ Z	cos x = 1, en x = 2πk, donde k ϵ Z
sen x = - 1, en x = 3π/2 + 2πk, donde k ϵ Z	cos x = - 1, para x = π + 2πk, donde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, es decir, la función es impar	cos (-x) = cos x, es decir, la función es par
	la función es periódica, el período más pequeño es 2π
sen x › 0, siendo x perteneciente al 1º y 2º trimestre o de 0° a 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, siendo x perteneciente a los cuartos I y IV o de 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sen x ‹ 0, siendo x perteneciente al tercer y cuarto cuarto o de 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, siendo x perteneciente al 2º y 3º cuarto o de 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
incrementos en el intervalo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	aumenta en el intervalo [-π + 2πk, 2πk]
disminuye en intervalos [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	disminuye en intervalos
derivada (sin x)’ = cos x	derivada (cos x)’ = - sen x

Determinar si una función es par o no es muy sencillo. Basta imaginar un círculo trigonométrico con los signos de cantidades trigonométricas y "doblar" mentalmente la gráfica con respecto al eje OX. Si los signos coinciden la función es par, en caso contrario es impar.

La introducción de radianes y el listado de las propiedades básicas de las ondas seno y coseno nos permiten presentar el siguiente patrón:

Es muy fácil comprobar que la fórmula es correcta. Por ejemplo, para x = π/2, el seno es 1, al igual que el coseno de x = 0. La verificación se puede realizar consultando tablas o trazando curvas de función para valores dados.

Propiedades de tangentes y cotangentes.

Las gráficas de las funciones tangente y cotangente difieren significativamente de las funciones seno y coseno. Los valores tg y ctg son recíprocos entre sí.

1. Y = tanx.
2. La tangente tiende a los valores de y en x = π/2 + πk, pero nunca los alcanza.
3. El período positivo más pequeño de la tangentoide es π.
4. Tg (- x) = - tg x, es decir la función es impar.
5. Tg x = 0, para x = πk.
6. La función es creciente.
7. Tg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, para x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivada (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Considere la imagen gráfica de la cotangentoide a continuación en el texto.

Principales propiedades de los cotangentoides:

1. Y = cuna x.
2. A diferencia de las funciones seno y coseno, en la tangentoide Y puede tomar los valores del conjunto de todos los números reales.
3. La cotangentoide tiende a los valores de y en x = πk, pero nunca los alcanza.
4. El período positivo más pequeño de una cotangentoide es π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, es decir, la función es impar.
6. Ctg x = 0, para x = π/2 + πk.
7. La función es decreciente.
8. Ctg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, para x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivada (ctg x)’ = - 1/sen 2 ⁡x Correcto

Concepto de resolución de ecuaciones trigonométricas.

• Para resolver una ecuación trigonométrica, conviértala en una o más ecuaciones trigonométricas básicas. En última instancia, resolver una ecuación trigonométrica se reduce a resolver las cuatro ecuaciones trigonométricas básicas.

Resolver ecuaciones trigonométricas básicas.

• Hay 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas:
• pecado x = a; porque x = a
• tanx = a; ctg x = a
• Resolver ecuaciones trigonométricas básicas implica observar diferentes posiciones de x en el círculo unitario, así como usar una tabla de conversión (o calculadora).
• Ejemplo 1. sen x = 0,866. Usando una tabla de conversión (o calculadora) obtendrás la respuesta: x = π/3. El círculo unitario da otra respuesta: 2π/3. Recuerde: todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten. Por ejemplo, la periodicidad de sen x y cos x es 2πn, y la periodicidad de tg x y ctg x es πn. Por lo tanto la respuesta se escribe de la siguiente manera:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Ejemplo 2. cos x = -1/2. Usando una tabla de conversión (o calculadora) obtendrás la respuesta: x = 2π/3. El círculo unitario da otra respuesta: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Ejemplo 3. tg (x - π/4) = 0.
• Respuesta: x = π/4 + πn.
• Ejemplo 4. ctg 2x = 1,732.
• Respuesta: x = π/12 + πn.

Transformaciones utilizadas en la resolución de ecuaciones trigonométricas.

• Para transformar ecuaciones trigonométricas se utilizan transformaciones algebraicas (factorización, reducción de términos homogéneos, etc.) e identidades trigonométricas.
• Ejemplo 5: Usando identidades trigonométricas, la ecuación sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se convierte en la ecuación 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Por lo tanto, las siguientes ecuaciones trigonométricas básicas necesita ser resuelto: cos x = 0; pecado(3x/2) = 0; porque(x/2) = 0.

• Encontrar ángulos usando valores de funciones conocidas.

  • Antes de aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, debes aprender a encontrar ángulos utilizando valores de funciones conocidas. Esto se puede hacer usando una tabla de conversión o una calculadora.
  • Ejemplo: cos x = 0,732. La calculadora dará la respuesta x = 42,95 grados. El círculo unitario dará ángulos adicionales, cuyo coseno también es 0,732.

• Reserva la solución en el círculo unitario.

  • Puedes trazar soluciones a una ecuación trigonométrica en el círculo unitario. Las soluciones de una ecuación trigonométrica en el círculo unitario son los vértices de un polígono regular.
  • Ejemplo: Las soluciones x = π/3 + πn/2 en el círculo unitario representan los vértices del cuadrado.
  • Ejemplo: Las soluciones x = π/4 + πn/3 en el círculo unitario representan los vértices de un hexágono regular.

• Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.

  • Si una ecuación trigonométrica determinada contiene solo una función trigonométrica, resuelva esa ecuación como una ecuación trigonométrica básica. Si una ecuación dada incluye dos o más funciones trigonométricas, entonces existen 2 métodos para resolver dicha ecuación (según la posibilidad de su transformación).
    • Método 1.
  • Transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, donde f(x), g(x), h(x) son las ecuaciones trigonométricas básicas.
  • Ejemplo 6. 2cos x + sen 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Solución. Usando la fórmula del doble ángulo sin 2x = 2*sin x*cos x, reemplaza sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sen x + 1) = 0. Ahora resuelve las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos x = 0 y (sen x + 1) = 0.
  • Ejemplo 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ahora resuelve las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2cos x + 1) = 0.
  • Ejemplo 8. sen x - sen 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ahora resuelve las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2sin x + 1) = 0 .
    • Método 2.
  • Convierta la ecuación trigonométrica dada en una ecuación que contenga solo una función trigonométrica. Luego reemplace esta función trigonométrica con alguna desconocida, por ejemplo, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Ejemplo 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Solución. En esta ecuación, reemplace (cos^2 x) con (1 - sin^2 x) (según la identidad). La ecuación transformada es:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Reemplaza sen x con t. Ahora la ecuación se ve así: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esta es una ecuación cuadrática que tiene dos raíces: t1 = -1 y t2 = 9/5. La segunda raíz t2 no satisface el rango de función (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Ejemplo 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Solución. Reemplace tg x con t. Reescribe la ecuación original de la siguiente manera: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ahora encuentra t y luego encuentra x para t = tan x.