Trazado de una función lineal que contiene un módulo. Cómo resolver ecuaciones con módulo: reglas básicas

, Concurso "Presentación para la lección"

Presentación para la lección

De vuelta atras

¡Atención! La vista previa de la diapositiva es solo para fines informativos y es posible que no represente la extensión total de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

El propósito de la lección:

• repetir la construcción de gráficos de funciones que contengan el signo del módulo;
• familiarizarse con un nuevo método para construir un gráfico de una función lineal por partes;
• arreglar Nuevo método al resolver problemas.

Equipo:

• proyector multimedia,
• carteles

durante las clases

Actualización de conocimientos

En la pantalla diapositiva 1 de la presentación.

¿Cuál es la gráfica de la función y=|x| ? (diapositiva 2).

(conjunto de bisectrices de 1 y 2 ángulos coordenados)

Encuentra una correspondencia entre funciones y gráficos, explica tu elección (diapositiva 3).

Foto 1

Decir el algoritmo para construir gráficas de funciones de la forma y=|f(x)| en el ejemplo de la función y=|x 2 -2x-3| (diapositiva 4)

Estudiante: para construir un gráfico de esta función, necesitas

Construye una parábola y=x 2 -2x-3

Figura 2

figura 3

Explique el algoritmo para construir gráficos de funciones de la forma y=f(|x|) usando el ejemplo de la función y=x 2 -2|x|-3 (diapositiva 6).

Construye una parábola.

Parte del gráfico en x 0 se guarda y se muestra en simetría con respecto al eje y (diapositiva 7)

Figura 4

Dile al algoritmo para construir gráficas de funciones de la forma y=|f(|x|)| en el ejemplo de la función y=|x 2 -2|x|-3| (diapositiva 8).

Estudiante: Para construir un gráfico de esta función, necesitas:

Necesitas construir una parábola y \u003d x 2 -2x-3

Construimos y \u003d x 2 -2 | x | -3, guardamos parte del gráfico y lo mostramos simétricamente con respecto al sistema operativo

Guardamos la parte superior del OX y mostramos la parte inferior simétricamente con respecto al OX (diapositiva 9)

Figura 5

La siguiente tarea está escrita en cuadernos.

1. Dibujar un gráfico de una función lineal por partes y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Estudiante en pizarra comentando:

Encontramos los ceros de las expresiones del submódulo x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

Rompiendo el eje en intervalos

Para cada intervalo, escribimos la función

en x< -2, у=-х-4

a -2x<1, у=х

a 1x<3, у = 3х-2

en x 3, y \u003d x + 4

Construimos un gráfico de una función lineal por partes.

Hemos construido un gráfico de función utilizando la definición del módulo (diapositiva 10).

Figura 6

Traigo a su atención el "método del vértice", que le permite trazar una función lineal por partes (diapositiva 11). Los niños escriben el algoritmo de construcción en un cuaderno.

método de vértice

Algoritmo:

1. Encuentre los ceros de cada expresión de submódulo
2. Hagamos una tabla en la que, además de ceros, escribamos un valor del argumento a la izquierda y a la derecha
3. Pongamos los puntos en el plano de coordenadas y conéctelos en serie

2. Analicemos este método en la misma función y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

La maestra está en la pizarra, los niños están en sus cuadernos.

Método de vértice:

Encuentre los ceros de cada expresión de submódulo;

Hagamos una tabla en la que, además de ceros, escribamos un valor del argumento a la izquierda y a la derecha

Pongamos los puntos en el plano de coordenadas y conéctelos en serie.

El gráfico de una función lineal por partes es una línea discontinua con infinitos enlaces extremos (diapositiva 12).

Figura 7

¿Qué método hace que la gráfica sea más rápida y fácil?

3. Para arreglar este método, propongo realizar la siguiente tarea:

Para que valores de x la funcion y=|x-2|-|x+1| toma el mayor valor.

Seguimos el algoritmo; estudiante en la pizarra.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, conecta los puntos en serie.

4. Tarea adicional

Para qué valores de a la ecuación ||4+x|-|x-2||=a tiene dos raíces.

5. Tarea

a) Para qué valores de X es la función y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| toma el valor más pequeño.

b) Trace la función y=||x-1|-2|-3| .

, Concurso "Presentación para la lección"

Presentación para la lección

De vuelta atras

¡Atención! La vista previa de la diapositiva es solo para fines informativos y es posible que no represente la extensión total de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

El propósito de la lección:

• repetir la construcción de gráficos de funciones que contengan el signo del módulo;
• familiarizarse con un nuevo método para construir un gráfico de una función lineal por partes;
• consolidar el nuevo método en la resolución de problemas.

Equipo:

• proyector multimedia,
• carteles

durante las clases

Actualización de conocimientos

En la pantalla diapositiva 1 de la presentación.

¿Cuál es la gráfica de la función y=|x| ? (diapositiva 2).

(conjunto de bisectrices de 1 y 2 ángulos coordenados)

Encuentra una correspondencia entre funciones y gráficos, explica tu elección (diapositiva 3).

Foto 1

Decir el algoritmo para construir gráficas de funciones de la forma y=|f(x)| en el ejemplo de la función y=|x 2 -2x-3| (diapositiva 4)

Estudiante: para construir un gráfico de esta función, necesitas

Construye una parábola y=x 2 -2x-3

Figura 2

figura 3

Explique el algoritmo para construir gráficos de funciones de la forma y=f(|x|) usando el ejemplo de la función y=x 2 -2|x|-3 (diapositiva 6).

Construye una parábola.

Parte del gráfico en x 0 se guarda y se muestra en simetría con respecto al eje y (diapositiva 7)

Figura 4

Dile al algoritmo para construir gráficas de funciones de la forma y=|f(|x|)| en el ejemplo de la función y=|x 2 -2|x|-3| (diapositiva 8).

Estudiante: Para construir un gráfico de esta función, necesitas:

Necesitas construir una parábola y \u003d x 2 -2x-3

Construimos y \u003d x 2 -2 | x | -3, guardamos parte del gráfico y lo mostramos simétricamente con respecto al sistema operativo

Guardamos la parte superior del OX y mostramos la parte inferior simétricamente con respecto al OX (diapositiva 9)

Figura 5

La siguiente tarea está escrita en cuadernos.

1. Dibujar un gráfico de una función lineal por partes y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Estudiante en pizarra comentando:

Encontramos los ceros de las expresiones del submódulo x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

Rompiendo el eje en intervalos

Para cada intervalo, escribimos la función

en x< -2, у=-х-4

a -2x<1, у=х

a 1x<3, у = 3х-2

en x 3, y \u003d x + 4

Construimos un gráfico de una función lineal por partes.

Hemos construido un gráfico de función utilizando la definición del módulo (diapositiva 10).

Figura 6

Traigo a su atención el "método del vértice", que le permite trazar una función lineal por partes (diapositiva 11). Los niños escriben el algoritmo de construcción en un cuaderno.

método de vértice

Algoritmo:

1. Encuentre los ceros de cada expresión de submódulo
2. Hagamos una tabla en la que, además de ceros, escribamos un valor del argumento a la izquierda y a la derecha
3. Pongamos los puntos en el plano de coordenadas y conéctelos en serie

2. Analicemos este método en la misma función y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

La maestra está en la pizarra, los niños están en sus cuadernos.

Método de vértice:

Encuentre los ceros de cada expresión de submódulo;

Hagamos una tabla en la que, además de ceros, escribamos un valor del argumento a la izquierda y a la derecha

Pongamos los puntos en el plano de coordenadas y conéctelos en serie.

El gráfico de una función lineal por partes es una línea discontinua con infinitos enlaces extremos (diapositiva 12).

Figura 7

¿Qué método hace que la gráfica sea más rápida y fácil?

3. Para arreglar este método, propongo realizar la siguiente tarea:

Para que valores de x la funcion y=|x-2|-|x+1| toma el mayor valor.

Seguimos el algoritmo; estudiante en la pizarra.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, conecta los puntos en serie.

4. Tarea adicional

Para qué valores de a la ecuación ||4+x|-|x-2||=a tiene dos raíces.

5. Tarea

a) Para qué valores de X es la función y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| toma el valor más pequeño.

b) Trace la función y=||x-1|-2|-3| .

Función de la forma y=|x|.
El gráfico de la función en el intervalo - con el gráfico de la función y \u003d -x.

Considere primero el caso más simple: la función y=|x|. Por definición del módulo, tenemos:

Así, para x≥0 la función y=|x| coincide con la función y \u003d x, y para x Usando esta explicación, es fácil trazar la función y \u003d | x | (Fig. 1).

Es fácil ver que este gráfico es la unión de esa parte del gráfico de la función y \u003d x, que no se encuentra debajo del eje OX, y la línea obtenida por reflexión especular sobre el eje OX, esa parte, que se encuentra debajo del eje OX.
Este método también es adecuado para trazar la gráfica de la función y=|kx+b|.
Si la gráfica de la función y=kx+b se muestra en la Figura 2, entonces la gráfica de la función y=|kx+b| es la línea que se muestra en la figura 3.

(!LANG:Ejemplo 1. Trace la función y=||1-x 2 |-3|.
Construyamos un gráfico de la función y=1-x 2 y apliquemos la operación "módulo" (la parte del gráfico ubicada debajo del eje OX se refleja simétricamente en relación con el eje OX).

Desplacemos el gráfico hacia abajo en 3.

Apliquemos la operación "módulo" y obtengamos la gráfica final de la función y=||1-x 2 |-3|

Ejemplo 2 Trace la función y=||x 2 -2x|-3|.
Como resultado de la transformación, obtenemos y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Construyamos un gráfico de la función y=(x-1) 2 -1: construyamos una parábola y=x 2 y desplacemos 1 hacia la derecha y 1 hacia abajo.

Apliquémosle la operación "módulo" (la parte del gráfico situada debajo del eje OX se refleja simétricamente respecto al eje OX).

Desplacemos el gráfico hacia abajo en 3 y apliquemos la operación "módulo", como resultado obtendremos el gráfico final.

Ejemplo 3 Trazar la función.
Para expandir un módulo, necesitamos considerar dos casos:
1)x>0, entonces el módulo se abrirá con el signo "+" =
2) x =

Construyamos un gráfico para el primer caso.

Descartemos la parte de la gráfica, donde x

Construyamos un gráfico para el segundo caso y descartemos de manera similar la parte donde x>0, como resultado obtenemos.

Combinemos los dos gráficos y obtengamos el final.

Ejemplo 4 Trazar la función.
Primero, construyamos un gráfico de la función, para esto, es conveniente seleccionar la parte entera, obtenemos. Sobre la base de la tabla de valores, obtenemos un gráfico.

Apliquemos la operación módulo (la parte de la gráfica que se encuentra debajo del eje OX se refleja simétricamente con respecto al eje OX). Obtenemos el gráfico final.

Ejemplo 5 Trace la función y=|-x 2 +6x-8|. Primero, simplificamos la función a y=1-(x-3) 2 y construimos su gráfica

Ahora aplicamos la operación "módulo" y reflejamos la parte del gráfico debajo del eje OX, en relación con el eje OX

Ejemplo 6 Trace la función y=-x 2 +6|x|-8. También simplificamos la función a y=1-(x-3) 2 y construimos su gráfica

Ahora aplicamos la operación “módulo” y reflejamos la parte de la gráfica a la derecha del eje oY, al lado izquierdo

Ejemplo 7 Trazar una función . Grafiquemos la función

Grafiquemos la función

Realicemos una transferencia paralela de 3 segmentos unitarios hacia la derecha y 2 hacia arriba. El gráfico se verá así:

Apliquemos la operación "módulo" y reflejemos la parte del gráfico a la derecha de la línea recta x=3 en el semiplano izquierdo.

El signo del módulo es quizás uno de los fenómenos más interesantes de las matemáticas. Al respecto, muchos escolares tienen la duda de cómo construir gráficas de funciones que contengan un módulo. Examinemos este tema en detalle.

1. Graficar funciones que contienen un módulo

Ejemplo 1

Trace la función y = x 2 – 8|x| + 12.

Solución.

Definamos la paridad de la función. El valor de y(-x) es el mismo que el valor de y(x), por lo que esta función es par. Entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje Oy. Construimos un gráfico de la función y \u003d x 2 - 8x + 12 para x ≥ 0 y mostramos simétricamente el gráfico en relación con Oy para x negativo (Fig. 1).

Ejemplo 2

El siguiente gráfico es y = |x 2 – 8x + 12|.

– ¿Cuál es el rango de la función propuesta? (y ≥ 0).

- ¿Cómo es el gráfico? (Encima o tocando el eje x).

Esto significa que el gráfico de la función se obtiene de la siguiente manera: trazan la función y \u003d x 2 - 8x + 12, dejan sin cambios la parte del gráfico que se encuentra sobre el eje Ox, y la parte del gráfico que se encuentra debajo el eje de abscisas se muestra simétricamente en relación con el eje Ox (Fig. 2).

Ejemplo 3

Para trazar la función y = |x 2 – 8|x| + 12| realizar una combinación de transformaciones:

y = x2 - 8x + 12 → y = x2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Respuesta: figura 3.

Las transformaciones consideradas son válidas para todo tipo de funciones. Hagamos una tabla:

2. Trazado de funciones que contienen "módulos anidados" en la fórmula

Ya nos hemos familiarizado con ejemplos de una función cuadrática que contiene un módulo, así como con las reglas generales para construir gráficos de funciones de la forma y = f(|x|), y = |f(x)| y y = |f(|x|)|. Estas transformaciones nos ayudarán cuando consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Considere una función de la forma y = |2 – |1 – |x|||. La expresión que define la función contiene "módulos anidados".

Solución.

Utilizamos el método de las transformaciones geométricas.

Escribamos una cadena de transformaciones sucesivas y hagamos el dibujo correspondiente (Fig. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Consideremos los casos en los que las transformaciones de simetría y traslación paralela no son la técnica principal para graficar.

Ejemplo 5

Construya un gráfico de una función de la forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Solución.

Antes de construir un gráfico, transformamos la fórmula que define la función y obtenemos otra definición analítica de la función (Fig. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Expandamos el módulo en el denominador:

Para x > -2, y = x - 2, y para x< -2, y = -(x – 2).

Dominio D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Rango E(y) = (-4; +∞).

Puntos en los que la gráfica se cruza con el eje de coordenadas: (0; -2) y (2; 0).

La función decrece para todo x del intervalo (-∞; -2), crece para x de -2 a +∞.

Aquí tuvimos que revelar el signo del módulo y graficar la función para cada caso.

Ejemplo 6

Considere la función y = |x + 1| – |x – 2|.

Solución.

Al expandir el signo del módulo, es necesario considerar todas las combinaciones posibles de signos de expresiones de submódulos.

Hay cuatro casos posibles:

(x + 1 - x + 2 = 3, con x ≥ -1 y x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, con x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, para x ≥ -1 y x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, con x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Entonces la función original se verá así:

(3, para x ≥ 2;

y = (-3, en x< -1;

(2x – 1, con -1 ≤ x< 2.

Obtuvimos una función dada por partes, cuyo gráfico se muestra en la Figura 6.

3. Algoritmo para la construcción de gráficas de funciones de la forma

y = un 1 | x – x 1 | + un 2 | x – x 2 | + … + un norte |x – x norte | + hacha + b.

En el ejemplo anterior, fue bastante fácil expandir los signos del módulo. Si hay más sumas de módulos, entonces es problemático considerar todas las combinaciones posibles de signos de expresiones de submódulos. ¿Cómo podemos graficar la función en este caso?

Tenga en cuenta que el gráfico es una polilínea, con vértices en puntos que tienen abscisas -1 y 2. Para x = -1 y x = 2, las expresiones del submódulo son iguales a cero. De manera práctica, abordamos la regla para construir dichos gráficos:

Gráfica de una función de la forma y = a 1 |x – x 1 | + un 2 | x – x 2 | + … + un norte |x – x norte | + ax + b es una línea quebrada con infinitos enlaces finales. Para construir una polilínea de este tipo, es suficiente conocer todos sus vértices (las abscisas de los vértices son ceros de las expresiones de los submódulos) y un punto de control cada uno en los enlaces infinitos izquierdo y derecho.

Una tarea.

Trazar la función y = |x| + |x – 1| + |x + 1| y encuentre su valor más pequeño.

Solución:

Ceros de expresiones de submódulos: 0; -una; 1. Vértices de la polilínea (0; 2); (-13); (13). Punto de control a la derecha (2; 6), a la izquierda (-2; 6). Construimos un gráfico (Fig. 7). mínimo f(x) = 2.

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