رسم دالة خطية تحتوي على وحدة نمطية. كيفية حل المعادلات باستخدام المعامل: القواعد الأساسية
, مسابقة "عرض الدرس"
عرض الدرس
إلى الأمام
انتباه! تعد معاينة الشرائح للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.
الغرض من الدرس:
- كرر بناء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على علامة المعامل ؛
- التعرف على طريقة جديدة لإنشاء رسم بياني لدالة خطية متعددة التعريفات ؛
- لإصلاح أسلوب جديدعند حل المشاكل.
معدات:
- جهاز عرض الوسائط المتعددة
- ملصقات.
خلال الفصول
تحديث المعرفة
على الشاشة ، الشريحة 1 من العرض التقديمي.
ما هو التمثيل البياني للدالة y = | x | ؟ (الشريحة 2).
(مجموعة من المنصات من 1 و 2 زوايا إحداثيات)
ابحث عن المراسلات بين الوظائف والرسوم البيانية ، واشرح اختيارك (الشريحة 3).
الصورة 1
أخبر الخوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية للوظائف بالشكل y = | f (x) | في مثال الدالة y = | x 2 -2x-3 | (الشريحة 4)
الطالب: تحتاج إلى إنشاء رسم بياني لهذه الوظيفة
اصنع القطع المكافئ y = x 2 -2x-3
الشكل 2
الشكل 3
أخبر الخوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية للوظائف بالشكل y = f (| x |) باستخدام مثال الدالة y = x 2 -2 | x | -3 (الشريحة 6).
بناء القطع المكافئ.
يتم حفظ جزء من الرسم البياني عند x 0 وعرضه بتماثل فيما يتعلق بالمحور y (الشريحة 7)
الشكل 4
أخبر الخوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية للوظائف بالشكل y = | f (| x |) | في مثال الدالة y = | x 2 -2 | x | -3 | (الشريحة 8).
الطالب: لإنشاء رسم بياني لهذه الوظيفة ، أنت بحاجة إلى:
تحتاج إلى بناء قطع مكافئ y \ u003d x 2 -2x-3
نبني y \ u003d x 2 -2 | x | -3 ، ونحفظ جزءًا من الرسم البياني ونعرضه بشكل متماثل فيما يتعلق بنظام التشغيل
نحفظ الجزء الموجود فوق OX ، ونعرض الجزء السفلي بشكل متماثل بالنسبة لـ OX (الشريحة 9)
الشكل 5
المهمة التالية مكتوبة في دفاتر الملاحظات.
1. ارسم رسمًا بيانيًا لدالة خطية متعددة التعريف y = | x + 2 | + | x-1 | - | x-3 |
طالب في البلاك بورد يعلق:
نجد أصفار تعبيرات الوحدة الفرعية × 1 \ u003d -2 ، × 2 \ u003d 1 ، × 3 \ u003d 3
تقسيم المحور إلى فترات
لكل فترة ، نكتب الوظيفة
في x< -2, у=-х-4
في -2 x<1, у=х
في 1 x<3, у = 3х-2
عند x 3 ، y \ u003d x + 4
نقوم ببناء رسم بياني لدالة خطية متعددة التعريف.
لقد قمنا ببناء رسم بياني للوظائف باستخدام تعريف الوحدة (الشريحة 10).
الشكل 6
أوجه انتباهكم إلى "طريقة الرأس" ، والتي تسمح لك برسم دالة خطية متعددة التعريف (الشريحة 11). يكتب الأطفال خوارزمية البناء في دفتر ملاحظات.
طريقة فيرتكس
الخوارزمية:
- أوجد أصفار كل تعبير وحدة فرعية
- لنقم بعمل جدول نكتب فيه ، بالإضافة إلى الأصفار ، قيمة واحدة من الوسيطة على اليسار وعلى اليمين
- دعنا نضع النقاط على مستوى الإحداثيات ونربطها في سلسلة
2. لنحلل هذه الطريقة على نفس الدالة y = | x + 2 | + | x-1 | - | x-3 |
المعلم على السبورة والأطفال في دفاترهم.
طريقة Vertex:
ابحث عن أصفار كل تعبير وحدة فرعية ؛
لنقم بعمل جدول نكتب فيه ، بالإضافة إلى الأصفار ، قيمة واحدة من الوسيطة على اليسار وعلى اليمين
دعنا نضع النقاط على مستوى الإحداثيات ونربطها في سلسلة.
الرسم البياني للدالة الخطية متعددة التعريفات عبارة عن خط مكسور يحتوي على روابط متطرفة لا نهائية (الشريحة 12).
الشكل 7
ما هي الطريقة التي تجعل الرسم البياني أسرع وأسهل؟
3. لإصلاح هذه الطريقة ، أقترح إجراء المهمة التالية:
لأي قيم x تقوم الدالة y = | x-2 | - | x + 1 | يأخذ على أكبر قيمة.
نحن نتبع الخوارزمية. طالب على السبورة.
y = | x-2 | - | x + 1 |
× 1 \ u003d 2 ، × 2 \ u003d -1
y (3) = 1-4 = 3 ، قم بتوصيل النقاط على التوالي.
4. مهمة إضافية
ما هي قيم a التي تحتوي عليها المعادلة || 4 + x | - | x-2 || = a لها جذرين.
5. الواجب المنزلي
أ) ما هي قيم X هي الدالة y = | 2x + 3 | +3 | x-1 | - | x + 2 | يأخذ أصغر قيمة.
ب) ارسم الدالة y = || x-1 | -2 | -3 | .
, مسابقة "عرض الدرس"
عرض الدرس
إلى الأمام
انتباه! تعد معاينة الشرائح للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.
الغرض من الدرس:
- كرر بناء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على علامة المعامل ؛
- التعرف على طريقة جديدة لإنشاء رسم بياني لدالة خطية متعددة التعريفات ؛
- ترسيخ الأسلوب الجديد في حل المشكلات.
معدات:
- جهاز عرض الوسائط المتعددة
- ملصقات.
خلال الفصول
تحديث المعرفة
على الشاشة ، الشريحة 1 من العرض التقديمي.
ما هو التمثيل البياني للدالة y = | x | ؟ (الشريحة 2).
(مجموعة من المنصات من 1 و 2 زوايا إحداثيات)
ابحث عن المراسلات بين الوظائف والرسوم البيانية ، واشرح اختيارك (الشريحة 3).
الصورة 1
أخبر الخوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية للوظائف بالشكل y = | f (x) | في مثال الدالة y = | x 2 -2x-3 | (الشريحة 4)
الطالب: تحتاج إلى إنشاء رسم بياني لهذه الوظيفة
اصنع القطع المكافئ y = x 2 -2x-3
الشكل 2
الشكل 3
أخبر الخوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية للوظائف بالشكل y = f (| x |) باستخدام مثال الدالة y = x 2 -2 | x | -3 (الشريحة 6).
بناء القطع المكافئ.
يتم حفظ جزء من الرسم البياني عند x 0 وعرضه بتماثل فيما يتعلق بالمحور y (الشريحة 7)
الشكل 4
أخبر الخوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية للوظائف بالشكل y = | f (| x |) | في مثال الدالة y = | x 2 -2 | x | -3 | (الشريحة 8).
الطالب: لإنشاء رسم بياني لهذه الوظيفة ، أنت بحاجة إلى:
تحتاج إلى بناء قطع مكافئ y \ u003d x 2 -2x-3
نبني y \ u003d x 2 -2 | x | -3 ، ونحفظ جزءًا من الرسم البياني ونعرضه بشكل متماثل فيما يتعلق بنظام التشغيل
نحفظ الجزء الموجود فوق OX ، ونعرض الجزء السفلي بشكل متماثل بالنسبة لـ OX (الشريحة 9)
الشكل 5
المهمة التالية مكتوبة في دفاتر الملاحظات.
1. ارسم رسمًا بيانيًا لدالة خطية متعددة التعريف y = | x + 2 | + | x-1 | - | x-3 |
طالب في البلاك بورد يعلق:
نجد أصفار تعبيرات الوحدة الفرعية × 1 \ u003d -2 ، × 2 \ u003d 1 ، × 3 \ u003d 3
تقسيم المحور إلى فترات
لكل فترة ، نكتب الوظيفة
في x< -2, у=-х-4
في -2 x<1, у=х
في 1 x<3, у = 3х-2
عند x 3 ، y \ u003d x + 4
نقوم ببناء رسم بياني لدالة خطية متعددة التعريف.
لقد قمنا ببناء رسم بياني للوظائف باستخدام تعريف الوحدة (الشريحة 10).
الشكل 6
أوجه انتباهكم إلى "طريقة الرأس" ، والتي تسمح لك برسم دالة خطية متعددة التعريف (الشريحة 11). يكتب الأطفال خوارزمية البناء في دفتر ملاحظات.
طريقة فيرتكس
الخوارزمية:
- أوجد أصفار كل تعبير وحدة فرعية
- لنقم بعمل جدول نكتب فيه ، بالإضافة إلى الأصفار ، قيمة واحدة من الوسيطة على اليسار وعلى اليمين
- دعنا نضع النقاط على مستوى الإحداثيات ونربطها في سلسلة
2. لنحلل هذه الطريقة على نفس الدالة y = | x + 2 | + | x-1 | - | x-3 |
المعلم على السبورة والأطفال في دفاترهم.
طريقة Vertex:
ابحث عن أصفار كل تعبير وحدة فرعية ؛
لنقم بعمل جدول نكتب فيه ، بالإضافة إلى الأصفار ، قيمة واحدة من الوسيطة على اليسار وعلى اليمين
دعنا نضع النقاط على مستوى الإحداثيات ونربطها في سلسلة.
الرسم البياني للدالة الخطية متعددة التعريفات عبارة عن خط مكسور يحتوي على روابط متطرفة لا نهائية (الشريحة 12).
الشكل 7
ما هي الطريقة التي تجعل الرسم البياني أسرع وأسهل؟
3. لإصلاح هذه الطريقة ، أقترح إجراء المهمة التالية:
لأي قيم x تقوم الدالة y = | x-2 | - | x + 1 | يأخذ على أكبر قيمة.
نحن نتبع الخوارزمية. طالب على السبورة.
y = | x-2 | - | x + 1 |
× 1 \ u003d 2 ، × 2 \ u003d -1
y (3) = 1-4 = 3 ، قم بتوصيل النقاط على التوالي.
4. مهمة إضافية
ما هي قيم a التي تحتوي عليها المعادلة || 4 + x | - | x-2 || = a لها جذرين.
5. الواجب المنزلي
أ) ما هي قيم X هي الدالة y = | 2x + 3 | +3 | x-1 | - | x + 2 | يأخذ أصغر قيمة.
ب) ارسم الدالة y = || x-1 | -2 | -3 | .
دالة على الشكل y = | x |.
الرسم البياني للوظيفة على الفاصل الزمني - مع الرسم البياني للوظيفة y \ u003d -x.
فكر أولاً في أبسط حالة - الوظيفة y = | x |. حسب تعريف الوحدة ، لدينا:
وبالتالي ، بالنسبة إلى x≥0 الدالة y = | x | يتزامن مع الوظيفة y \ u003d x ، وبالنسبة لـ x باستخدام هذا الشرح ، من السهل رسم الوظيفة y \ u003d | x | (الشكل 1).
من السهل أن نرى أن هذا الرسم البياني هو اتحاد ذلك الجزء من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x ، والذي لا يقع أسفل محور OX ، والخط الذي تم الحصول عليه عن طريق انعكاس المرآة حول محور OX ، ذلك الجزء منه ، التي تقع تحت محور OX.
هذه الطريقة مناسبة أيضًا لرسم الرسم البياني للدالة y = | kx + b |.
إذا كان الرسم البياني للدالة y = kx + b موضحًا في الشكل 2 ، فسيكون الرسم البياني للدالة y = | kx + b | هو الخط الموضح في الشكل 3.
(! LANG: مثال 1.ارسم الدالة y = || 1-x 2 | -3 |.
دعونا نبني رسمًا بيانيًا للدالة y = 1-x 2 ونطبق عملية "الوحدة النمطية" عليها (ينعكس جزء الرسم البياني الموجود أسفل محور OX بشكل متماثل بالنسبة لمحور OX).
دعنا نحول الرسم البياني لأسفل بمقدار 3.
دعنا نطبق عملية "الوحدة النمطية" ونحصل على الرسم البياني النهائي للدالة y = || 1-x 2 | -3 |
مثال 2ارسم الدالة y = || x 2 -2x | -3 |.
نتيجة للتحول ، نحصل على y = | x 2 -2x | = | (x-1) 2 -1 |. لنقم ببناء رسم بياني للدالة y = (x-1) 2-1: نبني القطع المكافئ y = x 2 ونزح إلى اليمين بمقدار 1 ولأسفل بمقدار 1.
دعنا نطبق عملية "الوحدة النمطية" عليها (ينعكس جزء الرسم البياني الموجود أسفل محور OX بشكل متماثل فيما يتعلق بمحور OX).
دعنا نحول الرسم البياني لأسفل بمقدار 3 ونطبق عملية "الوحدة" ، ونتيجة لذلك سنحصل على الرسم البياني النهائي.
مثال 3ارسم الدالة.
لتوسيع الوحدة ، نحتاج إلى النظر في حالتين:
1) x> 0 ، ثم سيتم فتح الوحدة بعلامة "+" =
2) س =
لنقم ببناء رسم بياني للحالة الأولى.
دعنا نتجاهل جزء الرسم البياني ، حيث x
دعونا نبني رسمًا بيانيًا للحالة الثانية ونتجاهل بالمثل الجزء الذي فيه x> 0 ، نتيجة لذلك نحصل عليه.
دعونا نجمع بين الرسمين البيانيين ونحصل على الشكل الأخير.
مثال 4ارسم الدالة.
أولاً ، دعنا نبني رسمًا بيانيًا للدالة ، ولهذا ، من الملائم تحديد الجزء الصحيح الذي نحصل عليه. بناء على جدول القيم ، نحصل على رسم بياني.
دعنا نطبق عملية المعامل (ينعكس جزء الرسم البياني الموجود أسفل محور OX بشكل متماثل فيما يتعلق بمحور OX). نحصل على الرسم البياني النهائي
مثال 5ارسم الدالة y = | -x 2 + 6x-8 |. أولًا ، نبسط الدالة إلى y = 1- (x-3) 2 ونبني رسمها البياني
الآن نطبق عملية "الوحدة النمطية" ونعكس جزء الرسم البياني أسفل محور OX ، بالنسبة لمحور OX
مثال 6ارسم الدالة y = -x 2 +6 | x | -8. نبسط أيضًا الدالة إلى y = 1- (x-3) 2 ونبني الرسم البياني الخاص بها
نطبق الآن عملية "الوحدة النمطية" ونعكس جزء الرسم البياني على يمين محور oY ، إلى الجانب الأيسر
مثال 7ارسم دالة 
. دعنا نرسم الدالة
دعنا نرسم الدالة
دعنا نجري نقلًا متوازيًا بمقدار 3 أجزاء وحدة إلى اليمين و 2 لأعلى. سيبدو الرسم البياني كما يلي:
دعنا نطبق عملية "الوحدة النمطية" ونعكس جزء الرسم البياني على يمين الخط المستقيم x = 3 في نصف المستوى الأيسر.
ربما تكون علامة modulo واحدة من أكثر الظواهر إثارة للاهتمام في الرياضيات. في هذا الصدد ، لدى العديد من أطفال المدارس مسألة كيفية بناء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على وحدة. دعونا نفحص هذه المسألة بالتفصيل.
1. وظائف التآمر التي تحتوي على وحدة
مثال 1
ارسم الدالة y = x 2-8 | x | +12.
المحلول.
دعونا نحدد التكافؤ في الوظيفة. قيمة y (-x) هي نفسها قيمة y (x) ، لذا فإن هذه الوظيفة زوجية. ثم يكون الرسم البياني الخاص به متماثلًا فيما يتعلق بمحور Oy. نبني رسمًا بيانيًا للدالة y \ u003d x 2-8x + 12 لـ x ≥ 0 ونعرض بشكل متماثل الرسم البياني بالنسبة لـ Oy لسالب x (الشكل 1).
مثال 2
الرسم البياني التالي هو y = | x 2-8x + 12 |.
- ما هو نطاق الوظيفة المقترحة؟ (ص ≥ 0).
- كيف هو الرسم البياني؟ (فوق أو لمس المحور السيني).
هذا يعني أنه يتم الحصول على الرسم البياني للدالة على النحو التالي: يرسمون الدالة y \ u003d x 2-8x + 12 ، ويتركون جزء الرسم البياني الذي يقع فوق محور Ox دون تغيير ، وجزء الرسم البياني الذي يقع تحته يتم عرض محور الإحداثيات بشكل متماثل بالنسبة لمحور الثور (الشكل 2).
مثال 3
لرسم الدالة y = | x 2-8 | x | + 12 | قم بإجراء مجموعة من التحولات:
ص = س 2-8 س + 12 ← ص = س 2-8 | س | + 12 → ص = | س 2-8 | س | + 12 |.
الجواب: الشكل 3.
التحولات المدروسة صالحة لجميع أنواع الوظائف. لنصنع طاولة:
2. رسم الدوال التي تحتوي على "الوحدات النمطية المتداخلة" في الصيغة
لقد تعرفنا بالفعل على أمثلة للدالة التربيعية التي تحتوي على معامل ، وكذلك القواعد العامة لإنشاء الرسوم البيانية للوظائف بالصيغة y = f (| x |) ، y = | f (x) | و y = | f (| x |) |. ستساعدنا هذه التحولات عند التفكير في المثال التالي.
مثال 4
ضع في اعتبارك دالة بالصيغة y = | 2 - | 1 - | x |||. يحتوي التعبير الذي يعرّف الوظيفة على "الوحدات النمطية المتداخلة".
المحلول.
نستخدم طريقة التحولات الهندسية.
دعنا نكتب سلسلة من التحويلات المتتالية ونرسم الرسم المقابل (الشكل 4):
ص = س → ص = | س | → ص = - | س | → ص = - | س | + 1 → ص = | - | س | + 1 | → ص = - | - | س | + 1 | → ص = - | - | س | + 1 | + 2 → ص = | 2 - | 1 - | x |||.
لنفكر في الحالات التي لا يكون فيها التناظر وتحولات الترجمة المتوازية هي التقنية الرئيسية للتخطيط.
مثال 5
أنشئ رسمًا بيانيًا لوظيفة على شكل y \ u003d (x 2-4) / √ (x + 2) 2.
المحلول.
قبل بناء الرسم البياني ، نقوم بتحويل الصيغة التي تحدد الوظيفة والحصول على تعريف تحليلي آخر للدالة (الشكل 5). 
ص = (س 2-4) / (س + 2) 2 = (س -2) (س + 2) / | س + 2 |.
دعنا نوسع الوحدة في المقام:
بالنسبة إلى x> -2 ، و y = x - 2 ، وللحالة x< -2, y = -(x – 2).
المجال D (ص) = (-؛ -2) ᴗ (-2 ؛ + ∞).
النطاق E (ص) = (-4 ؛ + ∞).
النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع محور الإحداثيات: (0 ؛ -2) و (2 ؛ 0).
تقل الوظيفة لكل x من الفاصل الزمني (-؛ -2) ، وتزيد لـ x من -2 إلى + ∞.
هنا كان علينا الكشف عن علامة المقياس ورسم الدالة لكل حالة.
مثال 6
ضع في اعتبارك الوظيفة y = | x + 1 | - | س - 2 |.
المحلول.
لتوسيع علامة الوحدة ، من الضروري النظر في جميع المجموعات الممكنة من علامات تعبيرات الوحدة الفرعية.
هناك أربع حالات محتملة:
(x + 1 - x + 2 = 3 ، مع x ≥ -1 و x 2 ؛
(-x - 1 + x - 2 = -3 ، مع x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1 ، لـ x ≥ -1 و x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1 ، مع x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
ثم ستبدو الوظيفة الأصلية كما يلي:
(3 ، لـ x ≥ 2 ؛
ص = (-3 ، عند س< -1;
(2x - 1 ، مع -1 ≤ x< 2.
حصلنا على دالة متعددة التعريف معطاة ، يظهر الرسم البياني لها في الشكل 6.
3. خوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية لوظائف النموذج
ص = أ 1 | س - س 1 | + أ 2 | س - س 2 | +… + a n | x - x n | + فأس + ب.
في المثال السابق ، كان من السهل جدًا توسيع علامات الوحدة. إذا كان هناك عدد أكبر من الوحدات النمطية ، فمن الصعب النظر في جميع التركيبات الممكنة لعلامات تعبيرات الوحدة الفرعية. كيف يمكننا رسم الدالة في هذه الحالة؟
لاحظ أن الرسم البياني عبارة عن خط متعدد الخطوط ، حيث تكون الرؤوس عند النقاط التي تحتوي على abscissas -1 و 2. بالنسبة إلى x = -1 و x = 2 ، فإن تعبيرات الوحدة الفرعية تساوي صفرًا. بطريقة عملية ، اقتربنا من قاعدة إنشاء مثل هذه الرسوم البيانية:
رسم بياني لدالة بالصيغة y = a 1 | x - x 1 | + أ 2 | س - س 2 | +… + a n | x - x n | + ax + b هو خط متقطع بروابط نهائية لا نهائية. لبناء مثل هذا الشكل متعدد الخطوط ، يكفي معرفة جميع رؤوسه (الرؤوس هي أصفار لتعبيرات الوحدة الفرعية) ونقطة تحكم واحدة على كل من الروابط اللانهائية اليمنى واليسرى. 
مهمة.
ارسم الدالة y = | x | + | س - 1 | + | x + 1 | والعثور على أصغر قيمة لها.
المحلول:
أصفار تعبيرات الوحدة الفرعية: 0 ؛ -واحد؛ 1. رؤوس الخطوط المتعددة (0 ؛ 2) ؛ (-13) ؛ (13). نقطة التحكم على اليمين (2 ؛ 6) ، على اليسار (-2 ؛ 6). نبني رسم بياني (الشكل 7). دقيقة و (س) = 2.
هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف ترسم دالة بمعامل؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.