http://:www.svkspb.nm.ru

الخصائص الهندسية للمقاطع المسطحة

مربع: , dF - منصة الابتدائية.

لحظة ثابتة لعنصر المنطقةمدافعنسبة إلى المحور 0x
- حاصل ضرب عنصر المساحة بالمسافة "y" من المحور 0x: dS x = ydF

بعد تلخيص (دمج) هذه المنتجات على كامل مساحة الشكل، نحصل على ذلك لحظات ثابتةبالنسبة إلى المحورين y وx:
;
[سم 3، م 3، الخ].

إحداثيات مركز الثقل:
. لحظات ثابتة نسبية محاور مركزية(المحاور التي تمر عبر مركز ثقل المقطع) تساوي الصفر. عند حساب العزوم الساكنة لشخصية مركبة يتم تقسيمها إلى أجزاء بسيطة بمساحات معروفة F i وإحداثيات مراكز الثقل x i, y i والعزم الساكن لمساحة الشكل بأكمله = مجموع العزوم الساكنة لكل جزء من أجزائها:
.

إحداثيات مركز ثقل الشكل المعقد:

م
قسم لحظات الجمود

محوري(استوائي) قسم لحظة الجمود- مجموع منتجات المناطق الأولية dF بمربعات مسافاتها إلى المحور.

;
[سم 4، م 4، الخ].

إن عزم القصور الذاتي القطبي لقسم ما بالنسبة إلى نقطة معينة (القطب) هو مجموع منتجات المناطق الأولية بمربعات مسافاتها من هذه النقطة.
; [سم 4، م 4، الخ]. ي ذ + ي س = ي ص .

لحظة الطرد المركزي من الجمود للقسم- مجموع منتجات المساحات الأولية ومسافاتها من محورين متعامدين بشكل متبادل.
.

إن لحظة القصور الذاتي للطرد المركزي للقسم بالنسبة للمحاور التي يتزامن أحدها أو كليهما مع محاور التماثل تساوي الصفر.

تكون لحظات القصور الذاتي المحورية والقطبية دائمًا موجبة؛ ويمكن أن تكون لحظات القصور الذاتي الطاردة المركزية موجبة أو سالبة أو صفرًا.

لحظة القصور الذاتي لشخصية معقدة تساوي مجموع لحظات القصور الذاتي للأجزاء المكونة لها.

لحظات القصور الذاتي لمقاطع ذات شكل بسيط

ص
دائرة مقطع مستطيلة

ل


جرس

ت
مثلث

ر
متساوي الفخذ

مستطيلي

ت
مثلث

ح ربع دائرة

J y = J x = 0.055R 4

J xy = 0.0165R 4

في التين. (-)

نصف دائرة

م

تم العثور على لحظات القصور الذاتي للملفات التعريفية القياسية من جداول التصنيف:

د
vutavr قناة ركن

م

عزوم القصور الذاتي حول محاور متوازية:

ج x1 =J x + a 2 F;

J y1 = J y + b 2 F;

عزم القصور الذاتي حول أي محور يساوي عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي الموازي للمحور المعطى، بالإضافة إلى حاصل ضرب مساحة الشكل ومربع المسافة بين المحورين. J y1x1 =J yx + abF; (يتم استبدال "أ" و"ب" في الصيغة مع مراعاة علامتهما).

التبعية بين لحظات القصور الذاتي عند تدوير المحاور:

ج x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

الزاوية >0، إذا حدث الانتقال من نظام الإحداثيات القديم إلى النظام الجديد عكس اتجاه عقارب الساعة. J y1 + J x1 = J y + J x

تسمى القيم المتطرفة (الحد الأقصى والحد الأدنى) لحظات القصور الذاتي اللحظات الرئيسية من الجمود. تسمى المحاور التي تكون لحظات القصور الذاتي المحورية لها قيم متطرفة المحاور الرئيسية للقصور الذاتي. المحاور الرئيسية للقصور الذاتي متعامدة بشكل متبادل. عزم القصور الذاتي الطارد المركزي حول المحاور الرئيسية = 0، أي المحاور الرئيسية للقصور الذاتي - المحاور التي تكون عزم القصور الذاتي للطرد المركزي فيها = 0. إذا تزامن أحد المحاور أو تزامن كلاهما مع محور التماثل، فهما المحوران الرئيسيان. الزاوية التي تحدد موضع المحاور الرئيسية:
، إذا كانت  0 >0  تدور المحاور عكس اتجاه عقارب الساعة. دائمًا ما يشكل المحور الأقصى زاوية أصغر مع زاوية المحاور بالنسبة إلى قيمة عزم القصور الذاتي الأكبر. تسمى المحاور الرئيسية التي تمر عبر مركز الثقل المحاور المركزية الرئيسية للقصور الذاتي. لحظات القصور الذاتي حول هذه المحاور:

J ماكس + J دقيقة = J x + J y . لحظة الطرد المركزي للقصور الذاتي بالنسبة إلى المحاور المركزية الرئيسية للقصور الذاتي تساوي 0. إذا كانت اللحظات الرئيسية للقصور الذاتي معروفة، فإن صيغ الانتقال إلى المحاور الدائرية هي:

J x1 = J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 = J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

الهدف النهائي من حساب الخصائص الهندسية للقسم هو تحديد اللحظات المركزية الرئيسية للقصور الذاتي وموضع المحاور المركزية الرئيسية للقصور الذاتي. ر نصف قطر الجمود -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

إذا كانت J x وJ y هي اللحظات الرئيسية للقصور الذاتي، فإن i x وi y - نصف القطر الرئيسي من الجمود. يسمى القطع الناقص المبني على أنصاف أقطار القصور الذاتي الرئيسية كما هو الحال في أنصاف المحاور القطع الناقص من الجمود. باستخدام القطع الناقص للقصور الذاتي، يمكنك العثور بيانيًا على نصف قطر القصور الذاتي i x1 لأي ​​محور x1. للقيام بذلك، تحتاج إلى رسم مماس للقطع الناقص، موازيًا لمحور x1، وقياس المسافة من هذا المحور إلى المماس. بمعرفة نصف قطر القصور الذاتي، يمكنك العثور على لحظة القصور الذاتي للقسم بالنسبة للمحور x 1:
. بالنسبة للأقسام التي تحتوي على أكثر من محوري تماثل (على سبيل المثال: دائرة، مربع، حلقة، إلخ)، تكون لحظات القصور الذاتي المحورية حول جميع المحاور المركزية متساوية، J xy = 0، ويتحول القطع الناقص من القصور الذاتي إلى دائرة من القصور الذاتي .

لحظات المقاومة

لحظة المقاومة المحورية- نسبة عزم القصور الذاتي حول المحور إلى المسافة منه إلى أبعد نقطة في القسم.
[سم 3، م 3]

تعتبر لحظات المقاومة ذات أهمية خاصة بالنسبة للمحاور المركزية الرئيسية:

مستطيل:
; الدائرة: W x = W y =
,

القسم الأنبوبي (الحلقة): W x =W y =
حيث = د N / د ب .

لحظة المقاومة القطبية - نسبة عزم القصور الذاتي القطبي إلى المسافة من القطب إلى أبعد نقطة في القسم:
.

لدائرة W п =
.

إن عزم القصور الذاتي المحوري (أو الاستوائي) لقسم ما بالنسبة إلى محور معين هو مجموع منتجات المناطق الأولية المأخوذة على كامل مساحتها F بواسطة مربعات مسافاتها من هذا المحور، أي.

إن عزم القصور الذاتي القطبي لقسم ما بالنسبة إلى نقطة معينة (القطب) هو مجموع منتجات المناطق الأولية المأخوذة على كامل مساحتها F بواسطة مربعات مسافاتها من هذه النقطة، أي.

إن عزم القصور الذاتي للطرد المركزي لمقطع ما بالنسبة لبعض المحورين المتعامدين بشكل متبادل هو مجموع منتجات المناطق الأولية المأخوذة على مساحته بأكملها F ومسافاتها من هذه المحاور، أي.

يتم التعبير عن لحظات القصور الذاتي في ، إلخ.

تكون لحظات القصور الذاتي المحورية والقطبية موجبة دائما، حيث أن تعبيراتها تحت علامات التكامل تشمل قيم المساحات (موجبة دائما) ومربعات مسافات هذه المناطق من محور أو قطب معين.

في التين. 9.5، يُظهر مقطعًا بالمساحة F ويُظهر المحورين y وz. لحظات القصور الذاتي المحورية لهذا القسم بالنسبة إلى محاور y:

مجموع لحظات الجمود هذه

وبالتالي

وبالتالي، فإن مجموع لحظات القصور الذاتي المحورية لقسم ما بالنسبة إلى محورين متعامدين بشكل متبادل يساوي عزم القصور الذاتي القطبي لهذا القسم بالنسبة إلى نقطة تقاطع هذه المحاور.

يمكن أن تكون لحظات القصور الذاتي الطاردة المركزية موجبة أو سالبة أو صفر. على سبيل المثال، عزم القصور الذاتي للقسم الموضح في الشكل. 9.5، a، بالنسبة إلى y والمحاور إيجابية، لأنه بالنسبة للجزء الرئيسي من هذا القسم، الموجود في الربع الأول، تكون قيم ، وبالتالي، إيجابية.

إذا قمت بتغيير الاتجاه الموجب للمحور y أو الاتجاه المعاكس (الشكل 9.5، ب) أو قمت بتدوير كلا المحورين بمقدار 90 درجة (الشكل 9.5، ج)، فإن عزم القصور الذاتي للطرد المركزي سيصبح سالبًا (خاص به) لن تتغير القيمة المطلقة)، حيث أن الجزء الرئيسي من القسم سوف يقع بعد ذلك في ربع تكون إحداثيات y فيه موجبة وإحداثيات z سالبة. إذا قمت بتغيير الاتجاهات الإيجابية لكلا المحورين إلى الاتجاه المعاكس، فلن يغير ذلك علامة أو مقدار عزم القصور الذاتي الطارد المركزي.

لنفكر في شكل متماثل حول محور واحد أو أكثر (الشكل 10.5). لنرسم المحاور بحيث يتطابق واحد منها على الأقل (في هذه الحالة، المحور y) مع محور تناظر الشكل. في هذه الحالة، كل منصة تقع على يمين المحور تتوافق مع نفس المنصة الموجودة بشكل متناظر على الأولى، ولكن على يسار المحور الصادي. لحظة القصور الذاتي للطرد المركزي لكل زوج من هذه المنصات ذات الموقع المتماثل تساوي:

لذلك،

وبالتالي، فإن عزم القصور الذاتي للقسم بالنسبة للمحورين، اللذين يتطابق أحدهما أو كليهما مع محاور التماثل، يساوي الصفر.

إن عزم القصور الذاتي المحوري لقسم معقد بالنسبة إلى محور معين يساوي مجموع لحظات القصور الذاتي المحورية للأجزاء المكونة له بالنسبة إلى نفس المحور.

وبالمثل، فإن عزم القصور الذاتي الطارد المركزي لمقطع معقد نسبة إلى أي محورين متعامدين بشكل متبادل يساوي مجموع لحظات القصور الطارد المركزي للأجزاء المكونة له بالنسبة إلى نفس المحاور. كما أن عزم القصور الذاتي القطبي لقسم معقد بالنسبة إلى نقطة معينة يساوي مجموع لحظات القصور الذاتي القطبية للأجزاء المكونة له بالنسبة إلى نفس النقطة.

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن لحظات القصور الذاتي المحسوبة حول محاور ونقاط مختلفة لا يمكن جمعها.

عند التحقق من قوة أجزاء الهياكل، علينا أن نواجه أقسامًا ذات أشكال معقدة إلى حد ما، والتي من المستحيل حساب عزم القصور الذاتي لها بطريقة بسيطة كما استخدمنا للمستطيل والدائرة.

يمكن أن يكون مثل هذا القسم، على سبيل المثال، شريط T (الشكل 5 أ) القسم الحلقي للأنبوب الخاضع للثني (هياكل الطائرات) (الشكل 5، ب)، القسم الحلقي من مجلة العمود أو حتى الأقسام الأكثر تعقيدًا. يمكن تقسيم جميع هذه الأقسام إلى أقسام بسيطة، مثل المستطيلات والمثلثات والدوائر وما إلى ذلك. يمكن إثبات أن عزم القصور الذاتي لمثل هذا الشكل المعقد هو مجموع لحظات القصور الذاتي للأجزاء التي نقسمها إليها.

الشكل 5.أقسام من النوع T - أ) والحلقة ب)

ومن المعروف أن لحظة القصور الذاتي لأي شكل بالنسبة للمحور في— فييساوي:

أين ض- مسافة الوسادات الأولية إلى المحور في—في.

دعونا نقسم المساحة المأخوذة إلى أربعة أجزاء: و و و. الآن، عند حساب عزم القصور الذاتي، يمكنك تجميع المصطلحات في دالة التكامل لإجراء الجمع بشكل منفصل لكل منطقة من المناطق الأربعة المحددة، ثم إضافة هذه المجاميع. هذا لن يغير قيمة التكامل.

سيتم تقسيم تكاملنا إلى أربعة تكاملات، يغطي كل منها إحدى المجالات، و:

يمثل كل من هذه التكاملات لحظة القصور الذاتي للجزء المقابل من المنطقة بالنسبة للمحور في— في; لهذا

أين عزم القصور الذاتي حول المحور؟ في — فيالمنطقة، - نفس الشيء بالنسبة للمنطقة، وما إلى ذلك.

يمكن صياغة النتيجة التي تم الحصول عليها على النحو التالي: لحظة القصور الذاتي لشخصية معقدة تساوي مجموع لحظات القصور الذاتي للأجزاء المكونة لها. وبالتالي، يجب أن نكون قادرين على حساب عزم القصور الذاتي لأي شكل بالنسبة إلى أي محور يقع في مستواه.

الحل لهذه المشكلة هو محتوى هذه المقابلة والمقابلتين التاليتين.

عزوم القصور الذاتي حول محاور متوازية.

سيتم حل مهمة الحصول على أبسط الصيغ لحساب لحظة القصور الذاتي لأي شكل بالنسبة لأي محور في عدة خطوات. إذا أخذنا سلسلة من المحاور المتوازية مع بعضها البعض، يتبين أنه يمكننا بسهولة حساب عزوم القصور الذاتي لأي شكل حول أي من هذه المحاور، بمعرفة عزم القصور الذاتي الخاص به حول محور يمر بمركز ثقل الشكل موازية للمحاور المختارة.

رسم بياني 1.نموذج حسابي لتحديد عزم القصور الذاتي للمحاور المتوازية.

سوف نسمي المحاور التي تمر عبر مركز الثقل محاور مركزية. لنأخذ (الشكل 1) رقمًا عشوائيًا. لنرسم المحور المركزي الوحدة التنظيمية، سوف نسمي عزم القصور الذاتي حول هذا المحور. دعونا نرسم محورًا في مستوى الشكل موازيمحاور فيعلى مسافة منها. لنجد العلاقة بين و - عزم القصور الذاتي حول المحور. للقيام بذلك، سوف نكتب تعبيرات ل و . دعونا نقسم مساحة الشكل إلى مناطق؛ مسافات كل منصة من هذه المنصات إلى المحاور فيودعونا ندعو و. ثم

من الشكل 1 لدينا:

أول هذه التكاملات الثلاثة هو عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي الوحدة التنظيمية. والثاني هو العزم الساكن حول نفس المحور؛ فهو يساوي الصفر، لأن المحور فييمر عبر مركز ثقل الشكل. وأخيرًا، التكامل الثالث يساوي مساحة الشكل F. هكذا،

(1)

أي أن عزم القصور الذاتي حول أي محور يساوي عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي الموازي للمحور المعطى، بالإضافة إلى حاصل ضرب مساحة الشكل ومربع المسافة بين المحورين.

وهذا يعني أن مهمتنا قد تقلصت الآن إلى حساب لحظات القصور الذاتي المركزية فقط؛ فإذا عرفناها يمكننا حساب عزم القصور الذاتي حول أي محور آخر. ومن الصيغة (1) يتبع ذلك وسطلحظة الجمود هو الأصغرومن لحظات القصور الذاتي حول المحاور المتوازية ومن أجلها نحصل على:

دعونا أيضًا نوجد عزم القصور الذاتي الطارد المركزي حول المحاور الموازية للمحاور المركزية، إذا كان معروفًا (الشكل 1). منذ بحكم التعريف

حيث: ثم يلي ذلك

حيث أن التكاملين الأخيرين يمثلان العزوم الثابتة للمساحة حول المحورين المركزيين الوحدة التنظيميةو أوزثم يختفون، وبالتالي:

(2)

إن عزم القصور الذاتي الطارد المركزي بالنسبة إلى نظام من المحاور المتعامدة المتوازية الموازية للمحور المركزي يساوي عزم القصور الذاتي الطارد المركزي بالنسبة إلى هذه المحاور المركزية بالإضافة إلى حاصل ضرب مساحة الشكل وإحداثيات مركز ثقله مقارنة بالمحاور الجديدة.

العلاقة بين لحظات القصور الذاتي عند تدوير المحاور.

يمكنك رسم أي عدد تريده من المحاور المركزية. والسؤال الذي يطرح نفسه هو ما إذا كان من الممكن التعبير عن عزم القصور الذاتي حول أي محور مركزي اعتمادا على عزم القصور الذاتي حوالي واحد أو اثنين تأكيدمحاور. للقيام بذلك، دعونا نرى كيف ستتغير لحظات القصور الذاتي حول محورين متعامدين بشكل متبادل عندما يتم تدويرهما بزاوية.

لنأخذ شكلاً ونرسمه عبر مركز ثقله عنمحورين متعامدين بشكل متبادل الوحدة التنظيميةو أوز(الصورة 2).

الصورة 2.نموذج حسابي لتحديد لحظات القصور الذاتي للمحاور الدائرية.

دعونا نعرف عزم القصور الذاتي المحوري حول هذه المحاور، وكذلك عزم القصور الذاتي الطارد المركزي. لنرسم نظامًا ثانيًا لمحاور الإحداثيات ونميل إلى الأول بزاوية؛ سنأخذ في الاعتبار الاتجاه الموجب لهذه الزاوية عند تدوير المحاور حول النقطة عنعكس عقارب الساعه. أصل عنيحفظ. دعونا نعبر عن اللحظات المتعلقة بالنظام الثاني لمحاور الإحداثيات و من خلال لحظات القصور الذاتي المعروفة و .

ولنكتب تعبيرات عن لحظات القصور الذاتي حول هذه المحاور:

على نفس المنوال:

لحل المشكلات، قد تحتاج إلى صيغ للانتقال من محاور إلى أخرى لعزم القصور الذاتي الطارد المركزي. عند تدوير المحاور (الشكل 2) لدينا:

أين ويتم حسابها باستخدام الصيغ (14.10)؛ ثم

بعد التحويلات نحصل على:

(7)

وبالتالي، من أجل حساب عزم القصور الذاتي حول أي محور مركزي، عليك معرفة عزم القصور الذاتي حول نظام أي محورين مركزيين متعامدين بشكل متبادل الوحدة التنظيميةو أوز، لحظة القصور الذاتي الطاردة المركزية بالنسبة لنفس المحاور وزاوية ميل المحور إلى المحور في.

لحساب القيم > عليك اختيار المحاور بهذا الشكل فيو ضوتقسيم مساحة الشكل إلى أجزاء مكونة لتتمكن من إجراء هذا الحساب باستخدام صيغ الانتقال من المحاور المركزية لكل جزء من الأجزاء المكونة إلى المحاور الموازية لها فقط. سيتم عرض كيفية القيام بذلك عمليًا أدناه باستخدام مثال. لاحظ أنه في هذا الحساب، يجب تقسيم الأشكال المعقدة إلى أجزاء أولية تُعرف، إن أمكن، قيم اللحظات المركزية للقصور الذاتي بالنسبة لنظام المحاور المتعامدة المتبادلة.

لاحظ أن تقدم الاشتقاق والنتائج التي تم الحصول عليها لم تكن لتتغير لو تم أخذ أصل الإحداثيات ليس عند مركز ثقل المقطع، بل عند أي نقطة أخرى عن. وبالتالي، فإن الصيغتين (6) و (7) هي صيغ للانتقال من نظام من المحاور المتعامدة إلى أخرى، تدور بزاوية معينة، بغض النظر عما إذا كانت هذه محاور مركزية أم لا.

من الصيغ (6) يمكن الحصول على علاقة أخرى بين لحظات القصور الذاتي عند تدوير المحاور. إضافة التعبيرات ل ونحصل على

أي مجموع لحظات القصور الذاتي حول أي محاور متعامدة بشكل متبادل فيو ضلا يتغير عندما يتم تدويرها. استبدال التعبير الأخير بدلا من وقيمها، نحصل على:

أين هي المسافة من المواقع مدافعمن النقطة عن. الكمية هي، كما هو معروف، عزم القصور الذاتي القطبي للمقطع بالنسبة إلى النقطة عن.

وبالتالي، فإن عزم القصور الذاتي القطبي لمقطع ما بالنسبة إلى أي نقطة يساوي مجموع لحظات القصور الذاتي المحورية بالنسبة إلى المحاور المتعامدة المتبادلة التي تمر عبر هذه النقطة. ولذلك، يظل هذا المجموع ثابتًا عند تدوير المحاور. يمكن استخدام هذا الاعتماد (14.16) لتبسيط حساب لحظات القصور الذاتي.

لذلك، بالنسبة للدائرة:

منذ ذلك الحين عن طريق التماثل لدائرة ثم

والتي تم الحصول عليها أعلاه عن طريق التكامل.

وبالمثل، بالنسبة للمقطع الحلقي ذي الجدران الرقيقة يمكن الحصول على:

المحاور الرئيسية للقصور الذاتي واللحظات الرئيسية للقصور الذاتي.

كما هو معروف بالفعل، بمعرفة اللحظات المركزية للقصور الذاتي، وبالنسبة لشكل معين، يمكنك حساب لحظة القصور الذاتي بالنسبة لأي محور آخر.

في هذه الحالة، من الممكن أن تأخذ النظام الرئيسي للمحاور مثل هذا النظام الذي يتم فيه تبسيط الصيغ بشكل كبير. وهي أنه من الممكن العثور على نظام من محاور الإحداثيات التي تكون فيها لحظة القصور الذاتي للطرد المركزي مساوية للصفر. في الواقع، لحظات القصور الذاتي تكون دائمًا موجبة، مثل مجموع الحدود الموجبة، ولكنها عزم طارد مركزي

يمكن أن تكون إيجابية وسلبية على حد سواء، منذ الشروط زيدفقد تكون ذات علامة مختلفة اعتمادا على العلامات ضو فيلموقع واحد أو آخر. وهذا يعني أنه يمكن أن يساوي صفرًا.

تسمى المحاور التي يختفي عندها عزم القصور الذاتي الطارد المركزي المحاور الرئيسيةالتعطيل. إذا تم وضع بداية مثل هذا النظام في مركز ثقل الشكل، فستكون هذه المحاور المركزية الرئيسية. وسوف نشير إلى هذه المحاور و ; بالنسبة لهم

دعونا نجد في أي زاوية تميل المحاور الرئيسية إلى المحورين المركزيين y و z (الشكل 198).

رسم بياني 1.نموذج حسابي لتحديد موضع المحاور الرئيسية للقصور الذاتي.

وفي اللفظ المشهور للانتقال من المحاور yzإلى المحاور، لعزم القصور الذاتي للطرد المركزي نعطي الزاوية القيمة؛ ثم ستتزامن المحاور مع المحاور الرئيسية، وستكون لحظة القصور الذاتي للطرد المركزي مساوية للصفر:

(1)

يتم تحقيق هذه المعادلة بقيمتين تختلفان بمقدار 180 درجة أو قيمتين تختلفان بمقدار 90 درجة. إذن، هذه المعادلة تعطينا الموقع محورين، وتشكيل زاوية قائمة مع بعضها البعض. وستكون هذه المحاور المركزية الرئيسية والتي .

باستخدام هذه الصيغة، يمكنك استخدام تلك المعروفة للحصول على صيغ لحظات القصور الذاتي الرئيسية و. للقيام بذلك، نستخدم مرة أخرى التعبيرات الخاصة بالموقف العام للحظات المحورية من القصور الذاتي. إنهم يحددون القيم وإذا قمنا بالاستبدال

(2)

ويمكن استخدام العلاقات الناتجة لحل المشاكل. إحدى اللحظات الرئيسية للقصور الذاتي هي أخرى.

يمكن تحويل الصيغ (2) إلى نموذج خالي من القيمة . بالتعبير عن قيمها واستبدالها في الصيغة الأولى (2) ، نحصل على نفس الاستبدال من الصيغة (1):

استبدال هنا الكسر من الصيغة (1) بـ

نحن نحصل

(3)

ويمكن التوصل إلى نفس التعبير عن طريق إجراء تحويل مماثل للصيغة الثانية (3).

بالنسبة للنظام الرئيسي للمحاور المركزية، والتي يمكن للمرء أن ينتقل منها إلى أي دولة أخرى، يمكن للمرء أن يأخذ الوحدة التنظيميةو أوز, والمحاور الرئيسية و ; عندها لن تظهر لحظة القصور الذاتي للطرد المركزي () في الصيغ. دعونا نشير إلى الزاوية التي يصنعها المحور (الشكل 2) مع المحور الرئيسي بواسطة . لحساب و، والانتقال من المحاور و، تحتاج إلى استبدال الزاوية من خلال، و، وفي التعبيرات الموجودة مسبقًا لـ و، و، و. ونتيجة لذلك نحصل على:

في المظهر، تشبه هذه الصيغ تمامًا صيغ الإجهادات العادية والقص على طول منطقتين متعامدتين بشكل متبادل في عنصر يتعرض للتوتر في اتجاهين. سنشير فقط إلى صيغة تسمح لنا بالاختيار من بين قيمتين للزاوية تلك التي تتوافق مع انحراف المحور الرئيسي الأول (إعطاء الحد الأقصى ج) من الموضع الأولي للمحور في:

الآن يمكننا أخيرًا صياغة ما يجب القيام به حتى نتمكن من حساب لحظة القصور الذاتي لأي شكل بأبسط طريقة بالنسبة إلى أي محور. من الضروري رسم محاور من خلال مركز ثقل الشكل الوحدة التنظيميةو أوزبحيث يمكننا، بتقسيم الشكل إلى أبسط أجزائه، حساب العزوم التي تمر على مسافة (الشكل 2) من مركز الثقل بسهولة:

في كثير من الحالات، من الممكن رسم المحاور الرئيسية للشكل على الفور؛ إذا كان الشكل له محور تماثل، فسيكون هذا أحد المحاور الرئيسية. في الواقع، عند اشتقاق الصيغة، تعاملنا بالفعل مع التكامل، وهو عزم القصور الذاتي الطارد المركزي للمقطع بالنسبة إلى المحاور فيو ض; وقد ثبت أنه إذا كان المحور أوزهو محور التماثل، وهذا التكامل يختفي.

ولذلك، في هذه الحالة المحاور الوحدة التنظيميةو أوزنكون رئيسيالمحاور المركزية للقصور الذاتي للقسم. هكذا، محاور التماثل- دائما المحور المركزي الرئيسي؛ ثانية بيتيمر المحور المركزي عبر مركز الثقل بشكل عمودي على محور التماثل.

مثال.أوجد لحظات القصور الذاتي للمستطيل (الشكل 3) بالنسبة للمحاور وهي تساوي:

لحظات القصور الذاتي حول المحاور وتساوي:

لحظة الطرد المركزي من القصور الذاتي تساوي.

تعتمد طريقة حساب لحظات القصور الذاتي للأقسام المعقدة على حقيقة أنه يمكن اعتبار أي تكامل كمجموع للتكاملات، وبالتالي، يمكن حساب عزم القصور الذاتي لأي قسم على أنه مجموع لحظات القصور الذاتي للأقسام المعقدة أجزائه الفردية.

لذلك، لحساب لحظات القصور الذاتي، يتم تقسيم مقطع معقد إلى عدد من الأجزاء البسيطة (الأشكال) بحيث يمكن حساب خصائصها الهندسية باستخدام صيغ معروفة أو العثور عليها باستخدام جداول مرجعية خاصة.

في بعض الحالات، عند التقسيم إلى أشكال بسيطة لتقليل العدد أو تبسيط شكلها، فمن المستحسن استكمال القسم المعقد ببعض المناطق. لذلك، على سبيل المثال، عند تحديد الخصائص الهندسية للقسم الموضح في الشكل. 22.5 أ، يستحسن إضافته إلى مستطيل، ثم طرح خصائص الجزء المضاف من الخصائص الهندسية لهذا المستطيل. افعل الشيء نفسه إذا كانت هناك ثقوب (الشكل 22.5، ب).

بعد تقسيم قسم معقد إلى أجزاء بسيطة، يتم تحديد نظام إحداثيات مستطيل لكل منها، بالنسبة إلى لحظات القصور الذاتي للجزء المقابل. تعتبر جميع أنظمة الإحداثيات هذه متوازية مع بعضها البعض بحيث يكون من الممكن بعد ذلك، من خلال الترجمة المتوازية للمحاور، حساب لحظات القصور الذاتي لجميع الأجزاء المتعلقة بنظام الإحداثيات المشترك للقسم المعقد بأكمله.

كقاعدة عامة، يفترض أن يكون نظام الإحداثيات لكل شكل بسيط مركزيًا، أي أن أصله يتزامن مع مركز ثقل هذا الشكل. في هذه الحالة، يتم تبسيط الحساب اللاحق لحظات القصور الذاتي عند الانتقال إلى محاور متوازية أخرى، حيث أن صيغ الانتقال من المحاور المركزية لها شكل أبسط من المحاور غير المركزية.

والخطوة التالية هي حساب مساحات كل شكل بسيط، بالإضافة إلى عزم القصور الذاتي المحوري والطرد المركزي بالنسبة إلى محاور نظام الإحداثيات المختار له. العزوم الثابتة حول هذه المحاور، كقاعدة عامة، تساوي الصفر، حيث أن هذه المحاور عادة ما تكون مركزية لكل جزء من القسم. في الحالات التي تكون فيها هذه المحاور غير مركزية، فمن الضروري حساب العزوم الثابتة.

يتم حساب عزم القصور الذاتي القطبي فقط لقسم دائري (صلب أو حلقي) باستخدام صيغ جاهزة ؛ أما بالنسبة لأجزاء الأشكال الأخرى، فإن هذه الخاصية الهندسية ليس لها أي أهمية، حيث أنها لا تستخدم في الحسابات.

يتم حساب لحظات القصور الذاتي المحورية والطرد المركزي لكل شكل بسيط بالنسبة إلى محاور نظام الإحداثيات الخاص به باستخدام الصيغ أو الجداول المتاحة لمثل هذا الشكل. بالنسبة لبعض الأشكال، لا تسمح لنا الصيغ والجداول المتاحة بتحديد لحظات القصور الذاتي المحورية والطرد المركزي المطلوبة؛ وفي هذه الحالات من الضروري استخدام صيغ للانتقال إلى محاور جديدة (عادةً في حالة دوران المحاور).

لا تشير جداول التصنيف إلى قيم لحظات القصور الذاتي الطاردة المركزية للزوايا. تمت مناقشة طريقة تحديد لحظات القصور الذاتي هذه في المثال 4.5.

في الغالبية العظمى من الحالات، يكون الهدف النهائي لحساب الخصائص الهندسية لقسم ما هو تحديد لحظات القصور الذاتي المركزية الرئيسية وموضع المحاور المركزية الرئيسية للقصور الذاتي. ولذلك فإن المرحلة التالية من الحساب هي تحديد إحداثيات مركز ثقل مقطع معين [باستخدام الصيغتين (6.5) و (7.5)] في بعض أنظمة الإحداثيات العشوائية، ومن خلال مركز ثقل المقطع هذا ، يتم رسم المحاور المركزية المساعدة (وليست الرئيسية) بالتوازي مع محاور نظام الإحداثيات للأشكال البسيطة.

ثم، باستخدام الصيغ التي تحدد العلاقات بين لحظات القصور الذاتي للمحاور المتوازية (انظر الفقرة 5.5)، يتم تحديد لحظات القصور الذاتي لكل شكل بسيط بالنسبة للمحاور المركزية المساعدة، من خلال جمع لحظات القصور الذاتي لكل شكل بسيط نسبة بالنسبة للمحاور، يتم تحديد لحظات القصور الذاتي للقسم المعقد بأكمله بالنسبة لهذه المحاور؛ في هذه الحالة، يتم طرح لحظات القصور الذاتي للثقوب أو الوسادات المضافة.

تسمى لحظات القصور الذاتي للأقسام تكاملات بالشكل التالي:

في;

- عزم القصور الذاتي المحوري للقسم بالنسبة للمحور ض;

- عزم القصور الذاتي للقسم بالطرد المركزي؛

- لحظة القصور الذاتي القطبية للقسم.

3.2.1. خواص قسم لحظات القصور الذاتي

البعد لحظات القصور الذاتي هو [الطول 4]، عادة [ م 4 ] أو [ سم 4 ].

تكون لحظات القصور الذاتي المحورية والقطبية إيجابية دائمًا. يمكن أن تكون لحظة القصور الذاتي للطرد المركزي موجبة أو سالبة أو صفرًا.

تسمى المحاور التي يكون فيها عزم القصور الذاتي للطرد المركزي صفرًا المحاور الرئيسية للقصور الذاتيأقسام.

محاور التماثل هي دائمًا المحاور الرئيسية. إذا كان أحد المحورين المتعامدين على الأقل هو محور تناظر، فإن كلا المحورين يكونان رئيسيين.

عزم القصور الذاتي لقسم مركب يساوي مجموع لحظات القصور الذاتي لعناصر هذا القسم.

لحظة القصور الذاتي القطبية تساوي مجموع لحظات القصور الذاتي المحورية.

دعونا نثبت الخاصية الأخيرة. في القسم مع المنطقة ألموقع الابتدائية داناقل نصف القطر ρ والإحداثيات فيو ض(الشكل 6) متصلة وفقًا لنظرية فيثاغورس: ρ 2 = في 2 + ض 2. ثم

أرز. 6. العلاقة بين الإحداثيات القطبية والديكارتية

موقع ابتدائي

3.2.2. لحظات القصور الذاتي لأبسط الأشكال

في قسم مستطيل(الشكل 7) حدد منصة أولية دامع الإحداثيات ذو ضوالمنطقة دا = dydz.

أرز. 7. القسم المستطيل

عزم القصور الذاتي المحوري حول المحور في

.

وبالمثل، نحصل على عزم القصور الذاتي حول المحور ض:

بسبب ال فيو ض- محور التماثل، ثم عزم الطرد المركزي د zy = 0.

ل دائرةقطر الدائرة ديتم تبسيط الحسابات إذا أخذنا في الاعتبار التماثل الدائري واستخدمنا الإحداثيات القطبية. دعونا نأخذ كمنصة أولية حلقة رفيعة للغاية بنصف قطر ρ وسمك دρ (الشكل 8). منطقتها دا= 2πρ دρ. ثم لحظة القصور الذاتي القطبية هي:

.

أرز. 8. قسم الجولة

كما هو موضح أعلاه، فإن لحظات القصور الذاتي المحورية حول أي محور مركزي هي نفسها ومتساوية

.

لحظة من الجمود خواتمنجد الفرق بين لحظات القصور الذاتي لدائرتين - الخارجية (التي يبلغ قطرها د) والداخلية (بقطر د):

لحظة من الجمود أنا ض مثلثوسوف نحدده نسبة إلى المحور الذي يمر عبر مركز الثقل (الشكل 9). من الواضح أن عرض الشريط الأولي يقع على مسافة فيمن المحور ض، متساوي

لذلك،

أرز. 9. القسم الثلاثي

3.3. التبعيات بين لحظات القصور الذاتي بالنسبة للمحاور المتوازية

مع قيم معروفة لعزوم القصور الذاتي حول المحاور ضو فيدعونا نحدد لحظات القصور الذاتي بالنسبة للمحاور الأخرى ض 1 و ذ 1 موازية لتلك المعطاة. وباستخدام الصيغة العامة لعزوم القصور الذاتي المحورية نجد

إذا المحاور ضو ذالمركزية إذن
، و

من الصيغ التي تم الحصول عليها يتضح أن لحظات القصور الذاتي حول المحاور المركزية (متى
) لها أصغر القيم مقارنة بعزوم القصور الذاتي حول أي محاور متوازية أخرى.

3.4. المحاور الرئيسية واللحظات الرئيسية للقصور الذاتي

عندما يتم تدوير المحاور بزاوية α، يصبح عزم القصور الذاتي للطرد المركزي مساويًا لـ

.

دعونا نحدد موقف المحاور الرئيسية الرئيسية للقصور الذاتي ش, الخامسبخصوص الذي

,

حيث α 0 هي الزاوية التي يجب أن تدور بها المحاور ذو ضحتى يصبحوا هم الرئيسيين.

بما أن الصيغة تعطي قيمتين للزاوية و
، ثم هناك محوران رئيسيان متعامدان بشكل متبادل. المحور الأقصى يصنع دائمًا زاوية أصغر ( ) مع المحاور ( ضأو ذ)، بالنسبة إلى اللحظة المحورية للقصور الذاتي ذات أهمية أكبر. تذكر أن الزوايا الموجبة تبتعد عن المحور ض عكس عقارب الساعه.

تسمى لحظات القصور الذاتي حول المحاور الرئيسية اللحظات الرئيسية من الجمود.ويمكن أن يظهر أنهم

.

تشير علامة الزائد الموجودة أمام الحد الثاني إلى الحد الأقصى لعزم القصور الذاتي، وعلامة الطرح إلى الحد الأدنى.