Trigonometrik formulalarni yechish usullari. Trigonometrik tenglamalar - formulalar, yechimlar, misollar

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

  • Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

  • Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
  • Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
  • Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
  • Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

  • Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
  • Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Muammoingizga batafsil yechim buyurtma berishingiz mumkin!!!

Trigonometrik funksiya (`sin x, cos x, tan x` yoki `ctg x`) belgisi ostida noma`lumni o`z ichiga olgan tenglik trigonometrik tenglama deyiladi va biz ularning formulalarini keyinroq ko`rib chiqamiz.

Eng oddiy tenglamalar `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, bu yerda `x` topiladigan burchak, `a` istalgan son. Keling, ularning har biri uchun ildiz formulalarini yozamiz.

1. `sin x=a` tenglamasi.

`|a|>1` uchun uning yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tenglama

`|a|>1` uchun - sinus holatida bo'lgani kabi, haqiqiy sonlar orasida yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklarda sinus va kosinus uchun maxsus holatlar.

3. `tg x=a` tenglama

Har qanday `a` qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tenglama

Shuningdek, "a" ning har qanday qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlar mavjud.

Ildiz formulasi: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Jadvaldagi trigonometrik tenglamalarning ildizlari uchun formulalar

Sinus uchun:
Kosinus uchun:
Tangens va kotangens uchun:
Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechish formulalari:

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari

Har qanday trigonometrik tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat:

  • uni eng oddiyga aylantirish yordamida;
  • yuqorida yozilgan ildiz formulalari va jadvallar yordamida olingan eng oddiy tenglamani yeching.

Keling, misollar yordamida asosiy yechim usullarini ko'rib chiqaylik.

Algebraik usul.

Bu usul o'zgaruvchini almashtirish va uni tenglikka almashtirishni o'z ichiga oladi.

Misol. Tenglamani yeching: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

almashtiring: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, keyin `2y^2-3y+1=0`,

biz ildizlarni topamiz: `y_1=1, y_2=1/2`, undan ikkita holat kelib chiqadi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Javob: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizatsiya.

Misol. Tenglamani yeching: `sin x+cos x=1`.

Yechim. Tenglikning barcha shartlarini chapga siljiymiz: `sin x+cos x-1=0`. dan foydalanib, biz chap tomonni aylantiramiz va faktorlarga ajratamiz:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

  1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
  2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Javob: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Bir jinsli tenglamaga keltirish

Birinchidan, ushbu trigonometrik tenglamani ikkita shakldan biriga qisqartirishingiz kerak:

`a sin x+b cos x=0` (birinchi darajali bir jinsli tenglama) yoki `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

Keyin ikkala qismni birinchi holat uchun "cos x \ne 0" ga, ikkinchisi uchun "cos^2 x \ne 0" ga bo'ling. Biz `tg x` uchun tenglamalarni olamiz: `a tg x+b=0` va `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ularni ma'lum usullar yordamida yechish kerak.

Misol. Tenglamani yeching: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Yechim. O'ng tomonni `1=sin^2 x+cos^2 x` shaklida yozamiz:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Bu ikkinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama bo'lib, biz uning chap va o'ng tomonlarini `cos^2 x \ne 0` ga ajratamiz, biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` ga olib keladigan `tg x=t` almashtirishni kiritamiz. Bu tenglamaning ildizlari `t_1=-2` va `t_2=1`. Keyin:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Javob. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Yarim burchakka o'tish

Misol. Tenglamani yeching: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Yechim. Ikki burchakli formulalarni qo‘llaymiz, natijada: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Yuqorida tavsiflangan algebraik usulni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yordamchi burchakning kiritilishi

`a sin x + b cos x =c` trigonometrik tenglamada a,b,c koeffitsientlar va x o'zgaruvchi bo'lib, ikkala tomonni `sqrt (a^2+b^2)` ga bo'ling:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Chap tarafdagi koeffitsientlar sinus va kosinus xossalariga ega, ya'ni kvadratlari yig'indisi 1 ga teng, modullari esa 1 dan katta emas. Ularni quyidagicha belgilaymiz: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, keyin:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik:

Misol. Tenglamani yeching: `3 sin x+4 cos x=2`.

Yechim. Tenglikning ikkala tomonini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ga ajratsak, biz quyidagilarga erishamiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ni belgilaymiz. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` bo`lgani uchun yordamchi burchak sifatida `\varphi=arcsin 4/5` ni olamiz. Keyin tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus uchun burchaklar yig'indisi formulasini qo'llagan holda, biz tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kasrli ratsional trigonometrik tenglamalar

Bular soni va maxraji trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan tenglikdir.

Misol. Tenglamani yeching. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Yechim. Tenglikning o'ng tomonini `(1+cos x)` ga ko'paytiring va bo'ling. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Maxraj nolga teng bo'lmasligini hisobga olsak, Z`da `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ni olamiz.

Kasrning ayiruvchisini nolga tenglashtiramiz: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Keyin `sin x=0` yoki `1-sin x=0`.

  1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ekanligini hisobga olsak, yechimlar `x=2\pi n, n \da Z` va `x=\pi /2+2\pi n` bo`ladi. , `n \in Z`.

Javob. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometriya, xususan, trigonometrik tenglamalar geometriya, fizika va texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. O'qish 10-sinfda boshlanadi, har doim yagona davlat imtihoniga topshiriqlar mavjud, shuning uchun trigonometrik tenglamalarning barcha formulalarini eslab qolishga harakat qiling - ular sizga albatta foydali bo'ladi!

Biroq, ularni eslab qolishning hojati yo'q, asosiysi, mohiyatni tushunish va uni chiqarib olishdir. Bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Videoni tomosha qilib o'zingiz ko'ring.

Ko'pchilikni hal qilganda matematik muammolar, ayniqsa, 10-sinfdan oldin sodir bo'lganlar, maqsadga olib keladigan harakatlar tartibi aniq belgilangan. Bunday masalalarga, masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar, chiziqli va kvadrat tengsizliklar, kasr tenglamalari va kvadratiklarga keltiruvchi tenglamalar. Yuqorida aytib o'tilgan muammolarning har birini muvaffaqiyatli hal qilish printsipi quyidagilardan iborat: siz qanday turdagi muammoni hal qilayotganingizni belgilashingiz kerak, kerakli natijaga olib keladigan kerakli harakatlar ketma-ketligini eslab qolishingiz kerak, ya'ni. javob bering va ushbu bosqichlarni bajaring.

Ko'rinib turibdiki, muayyan masalani hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, asosan, echilayotgan tenglama turi qanchalik to'g'ri aniqlanganiga, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligi qanchalik to'g'ri takrorlanganiga bog'liq. Albatta, bu holda bir xil o'zgartirish va hisob-kitoblarni bajarish ko'nikmalariga ega bo'lish kerak.

bilan vaziyat boshqacha trigonometrik tenglamalar. Tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash unchalik qiyin emas. To'g'ri javobga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.

Ba'zan tenglamaning ko'rinishiga qarab uning turini aniqlash qiyin. Va tenglama turini bilmasdan, bir necha o'nlab trigonometrik formulalardan to'g'risini tanlash deyarli mumkin emas.

Trigonometrik tenglamani yechish uchun siz quyidagilarni sinab ko'rishingiz kerak:

1. tenglamaga kiritilgan barcha funksiyalarni “bir xil burchaklarga” keltiring;
2. tenglamani “bir xil funksiyalar”ga keltiring;
3. tenglamaning chap tomonini ko‘paytiring va hokazo.

Keling, ko'rib chiqaylik trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

I. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarga keltirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Trigonometrik funktsiyani ma'lum komponentlar bilan ifodalang.

2-qadam. Funktsiya argumentini formulalar yordamida toping:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + pn, n Ê Z.

tan x = a; x = arktan a + pn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + pn, n Ê Z.

3-qadam. Noma'lum o'zgaruvchini toping.

Misol.

2 cos(3x – p/4) = -√2.

Yechim.

1) cos(3x – p/4) = -√2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Ê Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Ê Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Ê Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

Javob: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

II. O'zgaruvchan almashtirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Trigonometrik funksiyalardan biriga nisbatan tenglamani algebraik shaklga keltiring.

2-qadam. Hosil bo‘lgan funksiyani t o‘zgaruvchisi bilan belgilang (agar kerak bo‘lsa, t ga cheklovlar kiriting).

3-qadam. Olingan algebraik tenglamani yozing va yeching.

4-qadam. Teskari almashtirishni amalga oshiring.

5-qadam. Eng oddiy trigonometrik tenglamani yeching.

Misol.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Yechim.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t bo'lsin, bu erda |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 yoki e = -3/2, |t| shartini qanoatlantirmaydi ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Ê Z;

x = p + 4pn, n Ê Z.

Javob: x = p + 4pn, n Ê Z.

III. Tenglama tartibini qisqartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Darajani kamaytirish formulasidan foydalanib, ushbu tenglamani chiziqli bilan almashtiring:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2-qadam. Olingan tenglamani I va II usullar yordamida yeching.

Misol.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Yechim.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Ê Z;

x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

Javob: x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

IV. Bir jinsli tenglamalar

Yechim diagrammasi

1-qadam. Ushbu tenglamani shaklga qisqartiring

a) sin x + b cos x = 0 (birinchi darajali bir hil tenglama)

yoki ko'rinishga

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

2-qadam. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

va tan x uchun tenglamani oling:

a) tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

3-qadam. Tenglamani ma'lum usullar yordamida yeching.

Misol.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Yechim.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) U holda tg x = t bo'lsin

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 yoki t = -4, bu degani

tg x = 1 yoki tg x = -4.

Birinchi tenglamadan x = p/4 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Javob: x = p/4 + pn, n Ê Z; x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Trigonometrik formulalar yordamida tenglamani o'zgartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Barcha mumkin bo'lgan trigonometrik formulalardan foydalanib, bu tenglamani I, II, III, IV usullar bilan yechilgan tenglamaga keltiring.

2-qadam. Hosil boʻlgan tenglamani maʼlum usullar yordamida yeching.

Misol.

sin x + gunoh 2x + gunoh 3x = 0.

Yechim.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 yoki 2cos x + 1 = 0;

Birinchi tenglamadan 2x = p/2 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan cos x = -1/2.

Bizda x = p/4 + pn/2, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = ±(p – p/3) + 2pk, k Ê Z.

Natijada, x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Javob: x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyati va mahorati juda katta muhim, ularning rivojlanishi talaba tomonidan ham, o'qituvchi tomonidan ham katta kuch talab qiladi.

Trigonometrik tenglamalarni yechish bilan stereometriya, fizika va boshqalarning ko‘pgina masalalari bog‘langan.Bunday masalalarni yechish jarayonida trigonometriya elementlarini o‘rganish natijasida olinadigan ko‘pgina bilim va ko‘nikmalar o‘z ichiga oladi.

Trigonometrik tenglamalar matematikani o'rganish va umuman shaxsiy rivojlanish jarayonida muhim o'rin tutadi.

Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Trigonometriya fan sifatida Qadimgi Sharqda vujudga kelgan. Birinchi trigonometrik nisbatlar astronomlar tomonidan yulduzlar tomonidan aniq taqvim va yo'nalish yaratish uchun olingan. Bu hisob-kitoblar sferik trigonometriya bilan bog'liq bo'lsa-da maktab kursi tekis uchburchakning tomonlari va burchaklarining nisbatlarini o'rganish.

Trigonometriya - trigonometrik funksiyalarning xossalari hamda uchburchaklarning tomonlari va burchaklari oʻrtasidagi bogʻliqliklarni oʻrganuvchi matematikaning boʻlimi.

Milodiy 1-ming yillikda madaniyat va fanning gullab-yashnagan davrida bilimlar Qadimgi Sharqdan Yunonistonga tarqaldi. Ammo trigonometriyaning asosiy kashfiyotlari Arab xalifaligi odamlarining xizmatlaridir. Xususan, turkman olimi al-Marazviy tangens va kotangens kabi funksiyalarni kiritdi va sinuslar, tangenslar va kotangentlar uchun dastlabki qiymatlar jadvallarini tuzdi. Sinus va kosinus tushunchalari hind olimlari tomonidan kiritilgan. Trigonometriyaga Evklid, Arximed, Eratosfen kabi antik davrning buyuk arboblarining asarlarida katta e'tibor berilgan.

Trigonometriyaning asosiy miqdorlari

Raqamli argumentning asosiy trigonometrik funktsiyalari sinus, kosinus, tangens va kotangensdir. Ularning har biri o'z grafigiga ega: sinus, kosinus, tangens va kotangens.

Ushbu miqdorlarning qiymatlarini hisoblash uchun formulalar Pifagor teoremasiga asoslanadi. Maktab o'quvchilariga "Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir" formulasida ko'proq ma'lum, chunki dalil teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak misolida keltirilgan.

Sinus, kosinus va boshqa munosabatlar har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklari va tomonlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Keling, A burchak uchun bu miqdorlarni hisoblash uchun formulalarni keltiramiz va trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi munosabatlarni kuzatamiz:

Ko'rib turganingizdek, tg va ctg teskari funktsiyalardir. Agar a oyog'ini sin A va gipotenuza c ko'paytmasi, b oyog'ini cos A * c deb tasavvur qilsak, tangens va kotangens uchun quyidagi formulalarni olamiz:

Trigonometrik doira

Grafik jihatdan ko'rsatilgan miqdorlar o'rtasidagi munosabatni quyidagicha ifodalash mumkin:

Aylana, bu holda, a burchagining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini ifodalaydi - 0 ° dan 360 ° gacha. Rasmdan ko'rinib turibdiki, har bir funktsiya burchakka qarab manfiy yoki ijobiy qiymat oladi. Masalan, agar a aylananing 1 va 2 choraklariga tegishli bo'lsa, ya'ni 0° dan 180° gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, sin a «+» belgisiga ega bo'ladi. 180° dan 360° gacha (III va IV chorak) a uchun sin a faqat manfiy qiymat bo'lishi mumkin.

Keling, aniq burchaklar uchun trigonometrik jadvallar tuzishga harakat qilaylik va miqdorlarning ma'nosini bilib olaylik.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° va boshqalarga teng a qiymatlari maxsus holatlar deyiladi. Ular uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari hisoblab chiqiladi va maxsus jadvallar ko'rinishida taqdim etiladi.

Bu burchaklar tasodifan tanlanmagan. Jadvallardagi p belgisi radyanlar uchundir. Rad - aylana yoyi uzunligi uning radiusiga mos keladigan burchak. Ushbu qiymat universal bog'liqlikni o'rnatish uchun kiritilgan; radianlarda hisoblashda radiusning smdagi haqiqiy uzunligi muhim emas.

Trigonometrik funktsiyalar uchun jadvallardagi burchaklar radian qiymatlariga mos keladi:

Shunday qilib, 2p to'liq aylana yoki 360 ° ekanligini taxmin qilish qiyin emas.

Trigonometrik funksiyalarning xossalari: sinus va kosinus

Sinus va kosinus, tangens va kotangensning asosiy xossalarini ko'rib chiqish va solishtirish uchun ularning funktsiyalarini chizish kerak. Buni ikki o'lchovli koordinatalar tizimida joylashgan egri chiziq shaklida bajarish mumkin.

Sinus va kosinus xususiyatlarining qiyosiy jadvalini ko'rib chiqing:

Sinus to'lqiniKosinus
y = sin xy = cos x
ODZ [-1; 1]ODZ [-1; 1]
sin x = 0, x = pk uchun, bu erda k s Zcos x = 0, x = p/2 + pk uchun, bu erda k s Z
sin x = 1, x = p/2 + 2pk uchun, bu erda k s Zcos x = 1, x = 2pk da, bu erda k s Z
sin x = - 1, x = 3p/2 + 2pk da, bu erda k s Zcos x = - 1, x = p + 2pk uchun, bu erda k s Z
sin (-x) = - sin x, ya'ni funksiya toqcos (-x) = cos x, ya'ni funksiya juft
funksiya davriy, eng kichik davri 2p
sin x › 0, x 1 va 2 choraklarga tegishli yoki 0° dan 180° gacha (2pk, p + 2pk)cos x › 0, x bilan I va IV choraklarga tegishli yoki 270° dan 90° gacha (- p/2 + 2pk, p/2 + 2pk)
sin x ‹ 0, x uchinchi va to'rtinchi choraklarga tegishli yoki 180° dan 360° gacha (p + 2pk, 2p + 2pk)cos x ‹ 0, x 2 va 3 choraklarga tegishli yoki 90° dan 270° gacha (p/2 + 2pk, 3p/2 + 2pk)
[- p/2 + 2pk, p/2 + 2p] oraliqda ortadi.[-p + 2pk, 2pk] oraliqda ortadi
[p/2 + 2pk, 3p/2 + 2p] oraliqlarda kamayadiintervallarda kamayadi
hosila (sin x)’ = cos xhosila (cos x)’ = - sin x

Funksiyaning juft yoki juft emasligini aniqlash juda oddiy. Trigonometrik miqdorlarning belgilari bilan trigonometrik doirani tasavvur qilish va grafikni OX o'qiga nisbatan aqliy ravishda "katlash" kifoya. Agar belgilar bir-biriga to'g'ri kelsa, funktsiya juft, aks holda toq bo'ladi.

Radianlarning kiritilishi va sinus va kosinus to'lqinlarining asosiy xususiyatlarining ro'yxati bizga quyidagi naqshni taqdim etishga imkon beradi:

Formulaning to'g'riligini tekshirish juda oson. Misol uchun, x = p/2 uchun sinus 1 ga teng, x = 0 ning kosinasi kabi. Tekshirish jadvallarga murojaat qilish yoki berilgan qiymatlar uchun funktsiya egri chizig'ini kuzatish orqali amalga oshirilishi mumkin.

Tangensoidlar va kotangentsoidlarning xossalari

Tangens va kotangens funksiyalarning grafiklari sinus va kosinus funksiyalaridan sezilarli farq qiladi. tg va ctg qiymatlari bir-biriga o'zaro bog'liqdir.

  1. Y = tan x.
  2. Tangens x = p/2 + pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
  3. Tangentoidning eng kichik musbat davri p dir.
  4. Tg (- x) = - tg x, ya'ni funksiya toq.
  5. Tg x = 0, x = p uchun.
  6. Funktsiya ortib bormoqda.
  7. Tg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
  8. Tg x ‹ 0, x s uchun (— p/2 + pk, pk).
  9. Hosil (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Matndagi kotangentoidning grafik tasvirini ko'rib chiqing.

Kotangentoidlarning asosiy xususiyatlari:

  1. Y = karavot x.
  2. Sinus va kosinus funktsiyalaridan farqli o'laroq, tangentoidda Y barcha haqiqiy sonlar to'plamining qiymatlarini olishi mumkin.
  3. Kotangentoid x = pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
  4. Kotangentoidning eng kichik musbat davri p ga teng.
  5. Ctg (- x) = - ctg x, ya'ni funksiya toq.
  6. Ctg x = 0, x = p/2 + pk uchun.
  7. Funktsiya pasaymoqda.
  8. Ctg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
  9. Ctg x ‹ 0, x s uchun (p/2 + pk, pk).
  10. Hosil (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x To'g'ri

Trigonometrik tenglamalarni yechish haqida tushuncha.

  • Trigonometrik tenglamani yechish uchun uni bir yoki bir nechta asosiy trigonometrik tenglamalarga aylantiring. Trigonometrik tenglamani yechish oxir-oqibat to'rtta asosiy trigonometrik tenglamani yechishga to'g'ri keladi.

  • Asosiy trigonometrik tenglamalarni yechish.

    • Asosiy trigonometrik tenglamalarning 4 turi mavjud:
    • sin x = a; cos x = a
    • tan x = a; ctg x = a
    • Asosiy trigonometrik tenglamalarni echish birlik aylanasidagi turli x pozitsiyalarni ko'rib chiqishni, shuningdek, konversiya jadvalini (yoki kalkulyator) ishlatishni o'z ichiga oladi.
    • Misol 1. sin x = 0,866. O'tkazish jadvali (yoki kalkulyator) yordamida siz javob olasiz: x = p/3. Birlik doirasi boshqa javob beradi: 2p/3. Esda tuting: barcha trigonometrik funktsiyalar davriydir, ya'ni ularning qiymatlari takrorlanadi. Masalan, sin x va cos x ning davriyligi 2pn, tg x va ctg x ning davriyligi pn ga teng. Shuning uchun javob quyidagicha yoziladi:
    • x1 = p/3 + 2pn; x2 = 2p/3 + 2pn.
    • 2-misol. cos x = -1/2. O'tkazish jadvali (yoki kalkulyator) yordamida siz javob olasiz: x = 2p/3. Birlik doirasi boshqa javob beradi: -2p/3.
    • x1 = 2p/3 + 2p; x2 = -2p/3 + 2p.
    • 3-misol. tg (x - p/4) = 0.
    • Javob: x = p/4 + pn.
    • 4-misol. ctg 2x = 1,732.
    • Javob: x = p/12 + pn.

  • Trigonometrik tenglamalarni yechishda qo'llaniladigan o'zgartirishlar.

    • Trigonometrik tenglamalarni o'zgartirish uchun algebraik o'zgartirishlar (ko'paytmalar, bir jinsli terminlarni qisqartirish va boshqalar) va trigonometrik o'xshashliklardan foydalaniladi.
    • 5-misol: trigonometrik identifikatsiyalar yordamida sin x + sin 2x + sin 3x = 0 tenglama 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 tenglamasiga aylantiriladi. Shunday qilib, quyidagi asosiy trigonometrik tenglamalar hal qilish kerak: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Ma'lum funktsiya qiymatlari yordamida burchaklarni topish.

      • Trigonometrik tenglamalarni echishni o'rganishdan oldin ma'lum funksiya qiymatlari yordamida burchaklarni topishni o'rganishingiz kerak. Buni konversiya jadvali yoki kalkulyator yordamida amalga oshirish mumkin.
      • Misol: cos x = 0,732. Kalkulyator x = 42,95 daraja javob beradi. Birlik doirasi qo'shimcha burchaklarni beradi, ularning kosinasi ham 0,732.

    • Eritmani birlik doirasiga qo'ying.

      • Trigonometrik tenglamaning yechimlarini birlik doirasi bo‘yicha chizishingiz mumkin. Birlik doiradagi trigonometrik tenglamaning yechimlari muntazam ko‘pburchakning uchlaridir.
      • Misol: Birlik doiradagi x = p/3 + pn/2 yechimlari kvadratning uchlarini ifodalaydi.
      • Misol: Birlik aylanadagi x = p/4 + pn/3 yechimlari muntazam olti burchakli uchlarini ifodalaydi.

    • Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.

      • Agar berilgan trigonometrik tenglama faqat bitta trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olsa, bu tenglamani asosiy trigonometrik tenglama sifatida yeching. Agar berilgan tenglama ikki yoki undan ortiq trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olgan bo'lsa, unda bunday tenglamani echishning 2 ta usuli mavjud (uni o'zgartirish imkoniyatiga qarab).
        • 1-usul.
      • Bu tenglamani quyidagi ko’rinishdagi tenglamaga aylantiring: f(x)*g(x)*h(x) = 0, bu yerda f(x), g(x), h(x) asosiy trigonometrik tenglamalar.
      • 6-misol. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Yechim. Ikki burchakli sin 2x = 2*sin x*cos x formulasidan foydalanib, sin 2x ni almashtiring.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos x = 0 va (sin x + 1) = 0.
      • 7-misol. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Yechish: Trigonometrik o‘ziga xosliklardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga aylantiring: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos 2x = 0 va (2cos x + 1) = 0.
      • Misol 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
      • Yechish: Trigonometrik o‘ziga xosliklardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga aylantiring: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos 2x = 0 va (2sin x + 1) = 0 .
        • 2-usul.
      • Berilgan trigonometrik tenglamani faqat bitta trigonometrik funksiyadan iborat tenglamaga aylantiring. Keyin bu trigonometrik funktsiyani noma'lum funktsiya bilan almashtiring, masalan, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t va boshqalar).
      • 9-misol. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
      • Yechim. Ushbu tenglamada (cos^2 x) ni (1 - sin^2 x) bilan almashtiring (identifikatsiyaga ko'ra). O'zgartirilgan tenglama:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ni t bilan almashtiring. Endi tenglama quyidagicha ko'rinadi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Bu ikki ildizga ega bo'lgan kvadrat tenglama: t1 = -1 va t2 = 9/5. Ikkinchi ildiz t2 funktsiya diapazonini qoniqtirmaydi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • 10-misol. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Yechim. tg x ni t bilan almashtiring. Dastlabki tenglamani quyidagicha qayta yozing: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Endi t ni toping va keyin t = tan x uchun x ni toping.