Головні напруження при згинанні. Повна перевірка міцності балок при згинанні

При плоскому поперечному згині, коли в перерізах балки діють і згинальний момент Мта поперечна сила Q, виникають не лише нормальні
, а й дотичні напруги .

Нормальна напруга при поперечному згині розраховуються за тими ж формулами, що і при чистому згині:

;
.(6.24)

П

Рис.6.11. Плоский вигин

при висновку формули приймемо деякі припущення:

Дотичні напруги, що діють на однаковій відстані увід нейтральної осі, постійні по ширині бруса;

Дотичні напруження всюди паралельні силі Q.

Розглянемо консольну балку, яка перебуває в умовах поперечного вигину під дією сили Р. Побудуємо епюри внутрішніх зусиль Про y, і М z .

На відстані xвід вільного кінця балки виділимо елементарну ділянку балки завдовжки dxі шириною, що дорівнює ширині балки b. Покажемо внутрішні зусилля, що діють за межами елемента: на межі cdвиникає поперечна сила Q yі згинальний момент М z, а на межі ab– також поперечна сила Q yі згинальний момент M z +dM z(так як Q yзалишається постійною по довжині балки, а момент М zзмінюється, рис. 6.12). На відстані увід нейтральної осі відсічемо частину елемента abcd, покажемо напруги, що діють за межами отриманого елемента mbcnі розглянемо його рівновагу. На гранях, що є частиною зовнішньої поверхні балки, немає напруги. На бічних гранях елемента від дії згинального моменту М z, виникають нормальні напруження:

; (6.25)

. (6.26)

Крім того, на цих гранях від дії поперечної сили Q y, виникають дотичні напруги , Такі ж напруги виникають за законом парності дотичних напруг і на верхній грані елемента.

Складемо рівняння рівноваги елемента mbcn, проектуючи рівнодіючі розглянуті напруги на вісь x:

. (6.29)

Вираз, що стоїть під знаком інтеграла, є статичний момент бічної грані елемента mbcnщодо осі xтому можемо записати

. (6.30)

Враховуючи, що, згідно з диференціальними залежностями Журавського Д. І. при згинанні,

, (6.31)

вираз для дотичнихнапруги при поперечному згині можемо переписати наступним чином ( формула Журавського)

. (6.32)

Проаналізуємо формулу Журавського.

Q y– поперечна сила в аналізованому перерізі;

J z - осьовий момент інерції перерізу щодо осі z;

b– ширина перерізу там, де визначаються дотичні напруги;

-Статичний момент щодо осі z частини перерізу, розташованої вище (або нижче) того волокна, де визначається дотична напруга:

, (6.33)

де і F- координата центру тяжкості і площа частини перерізу, що розглядається, відповідно.

6.6 Повна перевірка міцності. Небезпечні перерізи та небезпечні точки

Для перевірки на міцність при вигині по зовнішніх навантаженнях, що діють на балку, будують епюри зміни внутрішніх зусиль по її довжині і визначають небезпечні перерізи балки, для кожного з яких необхідно провести перевірку міцності.

При повній перевірці міцності таких перерізів буде щонайменше три (іноді вони збігаються):

Перетин, в якому згинальний момент М zдосягає свого максимального за модулем значення;

Перетин, в якому поперечна сила Q yдосягає свого максимального за модулем значення;

Перетин, в якому і згинальний момент М z та поперечна сила Q yдосягають за модулем досить великих величин.

У кожному з небезпечних перерізів необхідно, побудувавши епюри нормальних та дотичних напруг, знайти небезпечні точки перерізу (перевірка міцності проводиться для кожної з них), яких також буде, як мінімум, три:

Крапка, в якій нормальні напруження , Досягають свого максимального значення, - тобто точка на зовнішній поверхні балки найбільш віддалена від нейтральної осі перерізу;

Крапка, в якій дотичні напруги досягають свого максимального значення, - точка, що лежить на нейтральній осі перерізу;

Точка, в якій і нормальні напруги, і дотичні напруги досягають досить великих величин (ця перевірка має сенс для перерізів типу тавра або двотавра, де ширина перерізу по висоті непостійна).

При поперечному згині поряд з згинальним моментом у перерізі діє поперечна сила, яка є рівнодією дотичних напруг.

Наслідком дії дотичних напруг є спотворення форми поперечного перерізу, що суперечить гіпотезі плоских перерізів. По-перше, перетин може зазнавати деплаіацшо,тобто. не залишається пласким. По-друге, переріз після деформування не залишається перпендикулярним до вигнутої осі бруса.

Облік даних ефектів проводиться у складніших теоріях вигину стрижнів. Разом з тим для великої кількості інженерних завдань, отримані для чистого вигину формули можуть бути узагальнені на випадок поперечного вигину. Оцінка меж застосування даних формул і відповідальність за отриманий результат належать до компетенції розрахунника.

Для визначення значень нормальної напруги при поперечному згині широко використовується формула (5.10). Далі покажемо, що у разі постійної поперечної сили ця формула дає точний результат, а у разі змінної поперечної сили, отримані для визначення нормаль-

них напруг формули гавкають похибка порядку - де h- Висота перерізу; / - Довжина балки.

Для визначення величини дотичних напруг розглянемо елемент бруса завдовжки dx(Рис. 5.8).

Мал. 5.8.

У вдачному і лівому перерізах елемента нормальні напруги відрізняються один від одного на с/о, що обумовлено різницею в значеннях згинального моменту на dM mr.Доданком, пов'язаним із зміною т на довжині dx,можна знехтувати як величиною вищого порядку малості.

Зробимо припущення: дотичні напруги в перерізі спрямовані паралельно діючої в цьому перерізі силі, що перерізує. Q.

Визначимо значення дотичних напруг у точках, що віддаляються на відстань увід нейтральної осі. Для цього відсічемо площиною cdвід елемента бруса завдовжки dxчастина abed.

У перетині на висоті удіють дотичні напруження т. У той самий час у перпендикулярному щодо нього перерізі, тобто. у площині, паралельній площині xz,відповідно до закону парності дотичних напруг діятиме такої ж величини дотичні напруги.

Складемо рівняння рівноваги елемента, спроектувавши для цього всі сили, що діють на цей елемент, на напрям осі х.Інтеграли, що входять до рівняння рівноваги, обчислимо в межах верхньої частини перерізу А*:

В результаті перетворень отримаємо наступну формулу для обчислення дотичних напруг:

Згідно з формулою (5.10) та з урахуванням співвідношення (5.3) знайдемо похідну нормальної напруги:

і врахуємо це значення у виразі для дотичної напруги:

В результаті отримуємо наступну формулу для обчислення дотичних напруг:

де Q - поперечна сила у перерізі; S* - статичний момент відсіченої частини перерізу площею Л* щодо центральної осі; / изг - момент інерції перерізу щодо центральної осі; h -ширина перерізу у місці визначення дотичних напруг.

Формула (5.21) має назву формулиЖуравського До

Розглянемо балку із прямокутним поперечним перерізом (рис. 5.9, а).Визначимо нормальні та дотичні напруги в небезпечному перерізі. Небезпечним є переріз Л, в якому діє максимальний згинальний момент М нзг = -Я Що стосується поперечної сили, то її значення в будь-якому перерізі бруса постійно і дорівнює -F.

Мал. 5.9.

Відповідно до формул (5.15) і (5.20) визначимо значення максимальної нормальної напруги:

'Журавський Дмитро Іванович (1828-1891) - російський учений-механік та інженер, спеціаліст у галузі мостобудування та будівельної механіки, першим вирішив завдання визначення дотичних напруг при поперечному згині балки.

Обчислимо величини, що входять до формули (5.21):

У точці перерізу, що віддаляється на відстань увід нейтральної осі, значення дотичної напруги дорівнює

Максимальна напруга виникає при у = 0 у волокнах, що належать центральній осі 0т.

Ця напруга формально має негативне значення, але її знак можна не брати до уваги, оскільки для розрахунку це не має значення.

Оцінимо співвідношення максимальних величин нормальних та дотичних напруг, що виникають у перерізі балки:

Згідно з розрахунковою схемою бруса вважається, що - 1. З цього випливає, що дотичні напруги мають вищий порядок трошки порівняно з нормальними напругами.

Узагальним оцінку (5.24) для балки завдовжки / та характерним розміром перерізу а.При величині поперечної сили, що дорівнює F,згинальний момент оцінюється як М изг ~ FI.Для характерних значень осьового моменту інерції перерізу, статичного моменту частини перерізу та моменту опору вигину отримуємо наступні оцінки:

Отже, для максимальної нормальної та дотичної напруги справедливі оцінки.

Остаточно отримуємо наступну оцінку відношення максимальних дотичних та нормальних напруг:

Отримані для конкретного прямокутного поперечного перерізу оцінки можна поширити і на випадок довільного перерізу з застереженням, що поперечний переріз розглядається як масивне. Для тонкостінних профілів наведений вище висновок про можливість нехтування дотичними напругами порівняно з нормальними напругами справедливий не завжди.

Слід зазначити, що з отриманні формули (5.21) ми були остаточно послідовні і, проводячи перетворення, допустили таку похибку. Зокрема, формула для нормальних напруг, яку ми використовували, було отримано у припущенні справедливості гіпотези плоских перерізів, тобто. за відсутності депланації поперечного перерізу. Приклавши до елемента дотичні напруги, ми дозволили спотворення прямих кутів, чим порушили вищезгадану гіпотезу. Тому отримані розрахункові формули мають наближений характер. Епюра дотичних напруг показана на рис. 5.9, бпояснює характер викривлення поперечних перерізів балки при поперечному згині У крайніх точках дотичні напруги дорівнюють нулю, отже, відповідні їм волокна будуть нормальними до верхньої та нижньої поверхонь балки. На нейтральній лінії, де діють максимальні дотичні напруги, матимуть місце максимальні зсувні деформації.

Разом з тим відзначимо, що при постійному в межах ділянки значенні поперечної сили викривлення всіх перерізів буде однаковим, отже, ефект викривлення не відбиватиметься на величині поздовжніх деформацій розтягування і стиснення волокон, що викликаються згинальним моментом.

Для поперечних перерізів непрямокутної форми додаткові похибки приносяться до формули (5.21) через невиконання прийнятих припущень про характер розподілу дотичних напруг. Так, наприклад, для круглого поперечного перерізу дотичні напруги в точках уконтура перерізу повинні бути спрямовані по дотичній до контуру, а не паралельно поперечній силі Q.Це означає, що дотичні напруги повинні мати складові, що діють як вздовж осі г/, так і вздовж осі г.

Проте, попри наявні протиріччя, отримані формули дають цілком задовільні результати під час проведення практичних розрахунків. Зіставлення значень дотичних напруг, визначених за формулою (5.21), з результатами, одержаними точними методами, показує, що помилка у величині найбільшої дотичної напруги вбирається у 5%, тобто. ця формула придатна щодо практичних розрахунків.

Зробимо кілька зауважень щодо розрахунків на міцність при прямому поперечному згині. На відміну від чистого вигину в поперечних перерізах стрижня при поперечному згині виникають два силові фактори: згинальний момент М мзг і поперечна сила Q.Однак враховуючи, що найбільші нормальні напруги виникають у крайніх волокнах, де дотичні напруги відсутні (див. рис. 5.9, б),а найбільші дотичні напруги мають місце в нейтральному шарі, де нормальні напруги дорівнюють нулю, умови міцності в цих випадках формулюються окремо та нормальним і дотичним напругам:

При виведенні формули для обчислення нормальних напруг розглянемо такий випадок вигину, коли внутрішні сили в перерізах балки наводяться лише до згинальний момент, а поперечна сила виявляється рівною нулю. Цей випадок вигину зветься чистого вигину. Розглянемо середню ділянку балки, що піддається чистому вигину.

У навантаженому стані балка прогинається так, що її нижні волокна подовжуються, а верхні коротшають.

Оскільки частина волокон балки розтягується, частина стискається, причому перехід від розтягнення до стиску відбувається плавно, без стрибків, в середньоїчастини балки знаходиться шар, волокна якого тільки викривляються, але не відчувають ні розтягування, ні стискування.Такий шар називають нейтральнимшаром. Лінія, якою нейтральний шар перетинається з поперечним перерізом балки, називається нейтральною лінієюабо нейтральною віссюперерізу. Нейтральні лінії нанизані на вісь балки. Нейтральна лінія- це лінія, в якій нормальні напруги дорівнюють нулю.

Лінії, проведені на бічній поверхні балки перпендикулярно до осі, залишаються плоскимипри згинанні. Ці дослідні дані дозволяють покласти в основу висновків формул гіпотезу плоских перерізів (гіпотеза). Згідно з цією гіпотезою перерізу балки плоскі та перпендикулярні до її осі до вигину, залишаються плоскими і виявляються перпендикулярними до вигнутої осі балки при її вигині.

Допущення для виведення формул нормальної напруги: 1) Виконується гіпотеза плоских перерізів. 2) Поздовжні волокна один на одного не тиснуть (гіпотеза про ненатискання) і, отже, кожне з волокон знаходиться в стані одновісного розтягування або стиснення. 3) Деформації волокон не залежить від їх положення за шириною перерізу. Отже, і нормальні напруження, змінюючись по висоті перерізу, залишаються по ширині однаковими. 4) Балка має хоча б одну площину симетрії, і всі зовнішні сили лежать у цій площині. 5) Матеріал балки підпорядковується закону Гука, причому модуль пружності при розтягуванні та стисканні однаковий. 6) Співвідношення між розмірами балки такі, що вона працює в умовах плоского вигину без жолоблення або скручування.

Розглянемо балку довільного перерізу, але має вісь симетрії. Згинальний моментявляє собою результуючий момент внутрішніх нормальних сил, що виникають на нескінченно малих майданчиках і можуть бути виражені в інтегральномувигляді: (1), де y - плече елементарної сили щодо осі х

Формула (1) висловлює статичнубік задачі про згин прямого бруса, але по ній за відомим згинальним моментом не можна визначити нормальні напруги, доки встановлено закон їх розподілу.

Виділимо на середній ділянці балки та розглянемо ділянку довжиною dz,що піддається вигину. Зобразимо його у укрупненому масштабі.

Перерізи, що обмежують ділянку dz, паралельні один одному до деформації, а після застосування навантаження обернуться навколо своїх нейтральних ліній на кут . Довжина відрізка волокон нейтрального шару при цьому не змінитьсяі дорівнюватиме: , де це радіус кривизнивигнутої осі балки. А ось будь-яке інше волокно, що лежить нижче або вищенейтрального шару, змінить свою довжину. Обчислимо відносне подовження волокон, що від нейтрального шару з відривом у.Відносне подовження - це відношення абсолютної деформації до початкової довжини, тоді:

Скоротимо на і наведемо подібні члени, тоді отримаємо: (2) Ця формула висловлює геометричнубік завдання про чистий вигин: деформації волокон прямо пропорційні їх відстані до нейтрального шару.

Тепер перейдемо до напруженням, тобто. будемо розглядати фізичнубік завдання. відповідно до припущенням про ненатисканняволокон використовуємо при осьовому розтягуванні-стисканні:, тоді з урахуванням формули (2) маємо (3), тобто. нормальні напруженняпри вигині за висотою перерізу розподіляються за лінійним законом. На крайніх волокнах нормальні напруги досягають максимального значення, а центрі тяжкості перерізу дорівнюють нулю. Підставимо (3) у рівняння (1) і винесемо за знак інтеграла дріб як постійну величину, тоді маємо . Але вираз – це осьовий момент інерції перерізу щодо осі х - I х. Його розмірність см 4 , м 4

Тоді звідки (4) ,де - це кривизна вигнутої осі балки, а - жорсткість перерізу балки при згинанні.

Підставимо отриманий вираз кривизни (4)на вираз (3) і отримаємо формулу для обчислення нормальних напруг у будь-якій точці поперечного перерізу: (5)

Т.о. максимальнінапруги виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної лінії.Ставлення (6) називають осьовим моментом опору перерізу. Його розмірність см 3 , м 3. Момент опору характеризує вплив форми та розмірів поперечного перерізу на величину напруги.

Тоді максимальна напруга: (7)

Умова міцності при згинанні: (8)

При поперечному згині діють не тільки нормальні, а й дотичні напруги,т.к. є поперечна сила. Дотичні напруження ускладнюють картину деформування, вони призводять до викривленняпоперечних перерізів балки, внаслідок чого порушується гіпотеза плоских перерізів. Однак дослідження показують, що спотворення, які привносять дотичні напруги, незначновпливають на нормальні напруги, підраховані за формулою (5) . Таким чином, при визначенні нормальних напруг у разі поперечного вигину теорія чистого вигину цілком застосовна.

нейтральна лінія. Питання про становище нейтральної лінії.

При згинанні відсутня поздовжня сила, тому можна записати Підставимо сюди формулу нормальних напруг (3) і отримаємо Так як модуль поздовжньої пружності матеріалу балки не дорівнює нулю і вигнута вісь балки має кінцевий радіус кривизни, залишається покласти, що цей інтеграл є статичний момент площіпоперечного перерізу балки щодо нейтральної лінії-осі х , і, оскільки він дорівнює нулю, то нейтральна лінія проходить через центр тяжкості перерізу.

Розглянемо балку, що у умовах плоского прямого вигину під впливом довільних поперечних навантажень у головній площині Оху(рис. 7.31, а).Розсічемо балку на відстані х від її лівого кінця і розглянемо рівновагу лівої частини. Вплив правої частини в цьому випадку потрібно замінити дією згинального моменту Л/ та поперечної сили Q yу проведеному перерізі (рис. 7.31, б).Згинальний момент Л7 у загальному випадку не є постійним за величиною, як це мало місце при чистому згинанні, а змінюється по довжині балки. Оскільки згинальний момент М

згідно (7.14) пов'язаний з нормальними напругами о = а х, то нормальні напруги в поздовжніх волокнах також будуть змінюватися по довжині балки. Отже, у разі поперечного вигину нормальні напруги є функціями змінних х і у: а х = а х (х, у).

При поперечному згині в перерізі балки діють не тільки нормальні, а й дотичні напруги (рис. 7.31, в),рівнодіючою яких є поперечна сила Q y:

Наявність дотичних напруг х ухсупроводжується появою кутових деформацій у. Дотичні напруження, як і нормальні, розподілені за перерізом нерівномірно. Отже, нерівномірно буде розподілено і кутові деформації, пов'язані з ними законом Гука при зрушенні. Це означає, що при поперечному згині на відміну чистого вигину перерізу балки не залишаються плоскими (порушується гіпотеза Я. Бернуллі).

Викривлення поперечних перерізів можна наочно продемонструвати на прикладі вигину консольної балки прямокутного перерізу з гуми, викликаного прикладеною на кінці зосередженою силою (рис. 7.32). Якщо попередньо на бічних гранях нанести прямі лінії, перпендикулярні до осі балки, то після вигину ці лінії не залишаються прямими. При цьому вони викривляються так, що найбільше зсув має місце на рівні нейтрального шару.

Більш точними дослідженнями встановлено, що спотворення поперечних перерізів на величину нормальних напруг незначно. Воно залежить від відношення висоти перерізу hдо довжини балки / і при h// про х при поперечному згинанні зазвичай використовується формула (7.14), виведена для випадку чистого згинання.

Другою особливістю поперечного вигину є наявність нормальних напруг оу, що діють у поздовжніх перерізах балки та характеризують взаємний тиск між поздовжніми шарами. Ці напруги виникають на ділянках, де є розподілене навантаження q,і в місцях застосування зосереджених сил. Зазвичай ці напруги мають дуже малу величину в порівнянні з нормальними напругами а х.Особливий випадок є дією зосередженої сили, в області застосування якої можуть виникнути значні місцеві напруги а у.

Таким чином, нескінченно малий елемент у площині Охуу разі поперечного вигину знаходиться в умовах двовісного напруженого стану (рис. 7.33).

Напруги т і о, як і напруга o Y , загалом є функціями координат* і у. Вони повинні задовольняти диференціальні рівняння рівноваги, які для двовісного напруженого стану ( a z = T yz = = 0) за відсутності

об'ємних сил мають такий вигляд:

Ці рівняння можуть бути використані для визначення дотичних напруг = т і нормальних напруг про у.Найпростіше це зробити для балки прямокутного поперечного перерізу. В цьому випадку при визначенні т приймається припущення про їх рівномірний розподіл за шириною перерізу (рис. 7.34). Це припущення було зроблено відомим російським вченим-мостобудівником Д.І. Журавським. Дослідження показують, що це припущення практично точно відповідає дійсному характеру розподілу дотичних напруг при згинанні для досить вузьких та високих балок (b « І).

Скориставшись першим з диференціальних рівнянь (7.26) та формулою (7.14) для нормальних напруг а х,отримаємо

Інтегруючи це рівняння по змінній у,знаходимо

де f(x)- Довільна функція, для визначення якої використовуємо умову відсутності дотичних напруг на нижній грані балки:

З урахуванням цієї граничної умови з (7.28) знаходимо

Остаточний вираз для дотичних напруг, що діють у поперечних перерізах балки, набуває наступного вигляду:

З огляду на закону парності дотичних напруг виникають також дотичні напруги т, = т у поздовжніх перерізах

ху ух

балки, паралельні нейтральному шару.

З формули (7.29) видно, що дотичні напруги змінюються за висотою поперечного перерізу балки згідно із законом квадратної параболи. Найбільше значення дотичні напруги мають у точках на рівні нейтральної осі при у = 0, а в крайніх волокнах балки при y = ±h/2вони дорівнюють нулю. Використовуючи формулу (7.23) для моменту інерції прямокутного перерізу, отримаємо

де F = bh -площа поперечного перерізу балки.

Епюрата наведена на рис. 7.34.

У разі балок непрямокутного поперечного перерізу (рис. 7.35) визначення дотичних напруг т з рівняння рівноваги (7.27) важко, тому що гранична умова для т не в усіх точках контуру поперечного перерізу відома. Це з тим, що у разі у поперечному перерізі діють дотичні напруги т, не паралельні поперечної силі Q y.Справді, можна показати, що в точках у контуру поперечного перерізу повна дотична напруга спрямована по дотичній до контуру. Розглянемо в околиці довільної точки контуру (див. рис. 7.35) нескінченно малий майданчик dFу площині поперечного перерізу та перпендикулярний до неї майданчик dF"на бічній поверхні балки. Якщо повна напруга т у точці контуру спрямована не по дотичній, вона може бути розкладена на дві складові: x vxу напрямку нормалі v до контуру та ху напрямку дотичної tдо контуру. Отже, згідно із законом парності дотичних напруг на майданчику dF"долж-

але діяти дотичну напругу х дорівнює x vv. Якщо бічна поверхня вільна від дотичних навантажень, складова x vv = z vx = 0, тобто повна дотична напруга х повинна бути спрямована по дотичній до контуру поперечного перерізу, як це показано, наприклад, у точках Л і Уконтуру.

Отже, дотичне напруження х як і точках контуру, і у будь-якій точці поперечного перерізу можна розкласти на складові їх.

Для визначення складових дотичної напруги в балках непрямокутного поперечного перерізу (рис. 7.36, б)припустимо, що переріз має вертикальну вісь симетрії і що складова х повного дотичного напруги х, як і у разі прямокутного поперечного перерізу, рівномірно розподілена за його шириною.

За допомогою поздовжнього перерізу, паралельного площині Oxzі того, хто проходить на відстані увід неї, і двома поперечними перерізами хих + dxвиріжемо подумки з нижньої частини балки нескінченно малий елемент завдовжки dx(Мал. 7.36, в).

Припустимо, що згинальний момент Мзмінюється в межах довжини dxрозглянутого елемента балки, а поперечна сила Qпостійна. Тоді в поперечних перерізах х і х + dxбалки діятимуть однакові за величиною дотичні напруги х, а нормальні напруги, що виникають від згинальних моментів M zmM z+ dM„,будуть відповідно рівні аі а + da.По горизонтальній грані виділеного елемента (рис. 7.36, ввін показаний в аксонометрії) згідно із законом парності дотичних напруг діятимуть напруги x v „ = х.

ху ух

Рівнодіючі Rі R+dRнормальних напруг про і про + d доданих до торців елемента, з урахуванням формули (7.14), рівні

де

статичний момент відсіченої площі F(На рис. 7.36, бзаштрихована) щодо нейтральної осі Ozу, - допоміжна змінна, що змінюється в межах у

Рівнодійна дотичних напруг т, прикладених

ху

до горизонтальної грані елемента, з урахуванням введеного припущення про рівномірний розподіл цих напруг за шириною Ь(у) може бути знайдена за формулою

Умова рівноваги елемента? Х = 0 дає

Підставляючи значення рівнодіючих сил, отримаємо

Звідси з урахуванням (7.6) отримаємо формулу визначення дотичних напруг:

Ця формула у вітчизняній літературі називається формулою Д.І. Журавського.

Відповідно до формули (7.32) розподіл дотичних напруг т за висотою перерізу залежить від зміни ширини перерізу b(у) та статичного моменту відсіченої частини перерізу S OTC (y).

За допомогою формули (7.32) дотичні напруги найбільше просто визначаються для розглянутої вище балки прямокутного перерізу (рис. 7.37).

Статичний момент відсіченої площі перерізу F qtc дорівнює

Підставивши 5° тс (7.32), отримаємо виведену раніше формулу (7.29).

Формула (7.32) може використовуватися при визначенні дотичних напруг у балках із ступінчасто-постійною шириною перерізу. У межах кожної ділянки з постійною шириною дотичні напруги змінюються за висотою перерізу за законом квадратної параболи. У місцях стрибкоподібної зміни ширини перерізу дотичні напруги мають стрибки або розриви. Характер епюриту для такого перерізу наведено на рис. 7.38.

Мал. 7.37

Мал. 7.38

Розглянемо розподіл дотичних напруг у двотавровому перерізі (рис. 7.39, а)при вигині у площині Оху.Двотавровий переріз може бути представлений у вигляді сполучень трьох вузьких прямокутників: двох горизонтальних полиць та вертикальної стінки.

При обчисленні т у стінці у формулі (7.32) потрібно прийняти b(y) - d.В результаті отримаємо

де S° 1Cобчислюється як сума статичних моментів щодо осі Ozплощі полиці F nта частини стінки F,заштрихованих на рис. 7.39, а:

Найбільше значення дотичні напруги т мають на рівні нейтральної осі при у = 0:

де - статичний момент площі половини перерізу щодо нейтральної осі:

Для прокатних двотаврів та швелерів величина статичного моменту половини перерізу наведена у сортаменті.

Мал. 7.39

На рівні примикання стінки до полиць дотичні напруги 1 ? рівні

де S" -статичний момент площі перерізу полиці щодо нейтральної осі:

Вертикальні дотичні напруги т у полицях двотавра не можуть бути знайдені за формулою (7.32), так як внаслідок того, що b :» t,припущення про їх рівномірний розподіл за шириною полиці стає неприйнятним. На верхній і нижній гранях полиці ці напруги повинні дорівнювати нулю. Тому т в

ух

полицях дуже малі і не становлять практичного інтересу. Значно більший інтерес становлять горизонтальні дотичні напруги в полицях т, визначення яких розглянемо рівновагу нескінченно малого елемента, виділеного з нижньої полиці (рис. 7.39 , б).

Відповідно до закону парності дотичних напруг на поздовжній грані цього елемента, паралельної площині Оху,діє напруга x xz ,рівне за величиною напрузі т, що діє в поперечному перерізі. Внаслідок малої товщини полиці двотавра ці напруги можна прийняти рівномірно розподіленими по товщині полиці. З урахуванням цього рівняння рівноваги елемента 5^=0 будемо мати

Звідси знаходимо

Підставляючи в цю формулу вираз для а хз (7.14) та враховуючи, що отримаємо

Враховуючи що

де S° TC -статичний момент відсіченої площі полиці (на рис. 7. 39, азаштрихована двічі) щодо осі Oz,остаточно отримаємо

Відповідно до рис. 7.39 , а

де z- змінна, що відраховується від осі Оу.

З огляду на це формулу (7.34) можна подати у вигляді

Звідси видно, що горизонтальні дотичні напруги змінюються за лінійним законом вздовж осі. Ozі набувають найбільшого значення при z = d/2:

На рис. 7.40 показані епюри дотичних напруг т і т^, а також напрями цих напруг в полицях і стінці двотавра при дії перерізу балки позитивної поперечної сили Q.Дотичні напруження образно кажучи утворюють у перерізі двутавра безперервний потік, спрямований у кожній точці паралельно контуру перерізу.

Перейдемо до визначення нормальних напруг а уу поздовжніх перерізах балки. Розглянемо ділянку балки з рівномірно розподіленим навантаженням верхньої грані (рис. 7.41). Поперечний переріз балки приймемо прямокутним.

Використовуємо для визначення друге з диференціальних рівнянь рівноваги (7.26). Підставивши до цього рівняння формулу (7.32) для дотичних напруг т ух,з урахуванням (7.6) отримаємо

Виконавши інтегрування по змінній у,знаходимо

Тут f(x) -довільна функція, що визначається за допомогою граничної умови. За умовами завдання балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням qпо верхній грані, а нижня грань вільна від навантажень. Тоді відповідні граничні умови записуються як

Використовуючи другу з цих умов, отримаємо

З огляду на це формула для напруг а унабуде наступного вигляду:

З цього виразу видно, що напруги змінюються по висоті перерізу за законом кубічної параболи. При цьому виконуються обидві граничні умови (7.35). Найбільше значення напруги приймає на верхній поверхні балки при y=-h/2:

Характер епюри а унаведено на рис. 7.41.

Для оцінки величин найбільшої напруги о. а, і т і співвідношень між ними розглянемо, наприклад, вигин консольної балки прямокутного поперечного перерізу з розмірами bxh,що знаходиться під дією рівномірно розподіленого навантаження, прикладеного до верхньої грані балки (рис. 7.42). Найбільші за абсолютною величиною напруги виникають у закладенні. Відповідно до формул (7.22), (7.30) і (7.37) ці напруги рівні

Тому що зазвичай для балок l/h» 1, то з отриманих виразів випливає, що напруги з хпо абсолютній величині перевищують напруги т і, особливо, а у.Так, наприклад, при 1/І == 10 отримаємо а х / т ху = 20 ', про х / с у = 300.

Таким чином, найбільший практичний інтерес при розрахунку балок на вигин становлять напруги а х,діють у поперечних перерізах балки. Напруги з у,характеризують взаємне тиск поздовжніх шарів балки, зневажливо малі порівняно з o v.

Отримані у цьому прикладі результати свідчать, що введені в § 7.5 гіпотези цілком обгрунтовані.

Плоский (прямий) вигин- коли згинальний момент діє площині, що проходить через одну з основних центральних осей інерції перерізу, тобто. всі сили лежать у площині симетрії балки. Основні гіпотези(допущення): гіпотеза про не натискання поздовжніх волокон: волокна, паралельні осі балки, відчувають деформацію розтягування – стискування і тиску один на одного у поперечному напрямі; гіпотеза плоских перерізів: перетин балки, плоский до деформації, залишається плоским і нормальним до викривленої осі балки після деформації. При плоскому згинанні у випадку виникають внутрішні силові фактори: поздовжня сила N, поперечна сила Q і згинальний момент М. N>0, якщо поздовжня сила розтягує; при М>0 волокна зверху балки стискаються, знизу розтягуються. .

Шар, у якому відсутні подовження, називається нейтральним шаром(Віссю, лінією). При N=0 і Q=0 маємо випадок чистого вигину.Нормальна напруга:
, - Радіус кривизни нейтрального шару, y - відстань від деякого волокна до нейтрального шару.

43) Позацентрове розтягування та стиск

Розтягування та стиск

 - нормальна напруга[Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м 2

10 6 Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм 2

N – поздовжня (нормальна) сила [Н] (ньютон); F - площа перерізу [м 2]

 - відносна деформація [безрозмірна величина];

L – поздовжня деформація [м] (абсолютне подовження), L – довжина стрижня [м].

-закон Гука -  = Е

Е – модуль пружності при розтягуванні (модуль пружності 1-го роду або модуль Юнга) [МПа]. Для сталі Е = 210 5 МПа = 210 6 кг/см 2 (у "старій" системі одиниць).

(Чим більше Е, тим менш розтяжний матеріал)

;
- закон Гука

EF – жорсткість стрижня при розтягуванні (стисканні).

При розтягуванні стрижня він "потоншується", його ширина - а зменшується на поперечну деформацію - а.

-відносна поперечна деформація.

-Коефіцієнт Пуассона [безрозмірна величина];

 лежить в межах від 0 (пробка) до 0,5 (каучук); для сталі 0,250,3.

Якщо поздовжня сила та поперечний переріз не постійні, то подовження стрижня:

Робота при розтягуванні:
, потенціальна енергія:

47.Інтеграл Мора

Універсальний метод визначення переміщень (лінійних та кутів повороту) – метод Мора. До системи прикладають одиничну узагальнену силу у точці, на яку шукається узагальнене переміщення. Якщо визначається прогин, то одинична сила є безрозмірною зосередженою силою, якщо визначається кут повороту, то – безрозмірний одиничний момент. Що стосується просторової системи діють шість компонентів внутрішніх зусиль. Узагальнене переміщення визначається

48.Визначення напруги при спільній дії вигину та кручення

Вигин з крученням

Спільна дія вигину з крученням найчастіший випадок навантаження валів. Виникають п'ять компонентів внутрішніх зусиль: Q x, Q y, M x, M y, M z = M кр. При розрахунку будують епюри згинальних M x , M y і крутних M кр моментів і визначають небезпечний переріз. Результуючий згинальний момент
. Макс. нормальні та дотичні напруги в небезпечних точках (A,B):
,

, (Для кола: W =
-осьовий момент опору , W р =
-Полярний момент сопр-ня перерізу).

Головні напруги в найбільш небезпечних точках (А та В):

Перевірка міцності проводиться за однією з теорій міцності:

IV-а: теорія Мора:

де m=[p]/[c] – допуст. напр.розтягування/стискання (для крихких матеріалів – чавун).

Т
.к.W p =2W, отримуємо:

У чисельнику – наведений момент за прийнятою теорією міцності. ;

Друга: , при коэф.Пуасссона = 0,3;

ІІІ-я:

або однією формулою:
, звідки момент опору:
, Діаметр валу:
. Формули підходять і для розрахунку кільцевого перерізу.