กราฟิกฟังก์ชันพาวเวอร์ของพลังที่แตกต่างกันทั้งหมด ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติและกราฟ เนื้อหาสาธิต บทเรียน-บรรยาย แนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชัน

คุณคุ้นเคยกับคุณสมบัติ y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xเป็นต้น ฟังก์ชันทั้งหมดเหล่านี้เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันกำลัง เช่น ฟังก์ชัน y=xpโดยที่ p คือจำนวนจริงที่กำหนด
คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงเป็นหลัก และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับค่าที่ xและ พีมีเหตุผล x พี. ให้เราดำเนินการพิจารณาที่คล้ายกันของกรณีต่าง ๆ ขึ้นอยู่กับ
เลขชี้กำลัง หน้า

1. ดัชนี p=2nเป็นจำนวนธรรมชาติคู่

y=x2n, ที่ไหน นเป็นจำนวนธรรมชาติมีดังต่อไปนี้

คุณสมบัติ:

• โดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด เช่น เซต R;
• ชุดของค่า - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบเช่น y มากกว่าหรือเท่ากับ 0;
• การทำงาน y=x2nแม้แต่เพราะ x 2n=(- x) 2n
• ฟังก์ชั่นจะลดลงในช่วงเวลา x<0 และเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา x>0.

กราฟฟังก์ชัน y=x2nมีรูปแบบเดียวกับ เช่น กราฟของฟังก์ชัน y=x4.

2. ตัวบ่งชี้ p=2n-1- เลขคี่ธรรมชาติ
ในกรณีนี้ ฟังก์ชันพลังงาน y=x 2n-1โดยที่จำนวนธรรมชาติมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• โดเมนของคำจำกัดความ - ตั้งค่า R;
• ชุดของค่า - ชุด R;
• การทำงาน y=x 2n-1แปลกเพราะ (- x) 2n-1=x 2n-1 ;
• ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นในแกนจริงทั้งหมด

กราฟฟังก์ชัน y=x 2n-1 มีรูปแบบเดียวกับเช่น กราฟของฟังก์ชัน y=x 3 .

3.ตัวบ่งชี้ p=-2n, ที่ไหน น-จำนวนธรรมชาติ

ในกรณีนี้ ฟังก์ชันพลังงาน y=x -2n=1/x2nมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• โดเมนของคำจำกัดความ - ตั้งค่า R ยกเว้น x=0;
• ชุดของค่า - ตัวเลขบวก y>0;
• ฟังก์ชัน y =1/x2nแม้แต่เพราะ 1/(-x) 2n=1/x2n;
• ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x<0 и убывающей на промежутке x>0.

กราฟของฟังก์ชัน y =1/x2nมีรูปแบบเดียวกับเช่น กราฟของฟังก์ชัน y =1/x2.

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ กราฟ"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 11
คู่มือเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

ฟังก์ชันกำลัง โดเมนของคำจำกัดความ

ในบทเรียนที่แล้ว เราได้เรียนรู้วิธีการทำงานกับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ ในบทนี้ เราจะพิจารณาถึงฟังก์ชันกำลังและจำกัดตัวเราในกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นเหตุเป็นผล
เราจะพิจารณาฟังก์ชันของรูปแบบ: $y=x^(\frac(m)(n))$
ให้เราพิจารณาฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังเป็น $\frac(m)(n)>1$ ก่อน
ให้เราได้ใช้ฟังก์ชันเฉพาะ $y=x^2*5$
ตามคำจำกัดความที่เราให้ไว้ในบทเรียนที่แล้ว: ถ้า $x≥0$ โดเมนของฟังก์ชันของเราคือรังสี $(x)$ ลองวาดแผนผังฟังก์ชันของเรากัน

คุณสมบัติของฟังก์ชัน $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2 ไม่เป็นเลขคู่หรือคี่
3. เพิ่มขึ้น $$
ข) $(2,10)$,
c) บนรังสี $$
วิธีการแก้.
พวกคุณจำได้ไหมว่าเราพบค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในกลุ่มเกรด 10 ได้อย่างไร?
ถูกต้องแล้ว เราใช้อนุพันธ์ มาแก้ตัวอย่างของเราและทำซ้ำอัลกอริทึมเพื่อค้นหาค่าที่น้อยที่สุดและมากที่สุด
1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. อนุพันธ์มีอยู่ในโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันดั้งเดิม จากนั้นจึงไม่มีจุดวิกฤต หาจุดที่อยู่กับที่:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ และ $x_2=\sqrt(64)=4$
โซลูชันเดียวเท่านั้น $x_2=4$ เป็นของเซ็กเมนต์ที่กำหนด
มาสร้างตารางค่าของฟังก์ชันของเราที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดสุดขั้ว:
คำตอบ: $y_(name)=-862.65$ with $x=9$; $y_(สูงสุด)=38.4$ สำหรับ $x=4$

ตัวอย่าง. แก้สมการ: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
วิธีการแก้. กราฟของฟังก์ชัน $y=x^(\frac(4)(3))$ กำลังเพิ่มขึ้น ในขณะที่กราฟของฟังก์ชัน $y=24-x$ กำลังลดลง คุณกับฉันรู้: ถ้าฟังก์ชันหนึ่งเพิ่มขึ้นและอีกฟังก์ชันหนึ่งลดลง ฟังก์ชันเหล่านี้จะตัดกันที่จุดเดียว นั่นคือ เรามีคำตอบเดียวเท่านั้น
บันทึก:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
นั่นคือ สำหรับ $х=8$ เราได้ค่าเท่ากัน $16=16$ นี่คือคำตอบของสมการของเรา
คำตอบ: $x=8$.

ตัวอย่าง.
พล็อตฟังก์ชัน: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$
วิธีการแก้.
กราฟของฟังก์ชันของเราได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน $y=x^(\frac(3)(4))$ โดยเลื่อนไปทางขวา 3 หน่วย และขึ้น 2 หน่วย

ตัวอย่าง. เขียนสมการแทนเจนต์ไปยังเส้น $y=x^(-\frac(4)(5))$ ที่จุด $x=1$
วิธีการแก้. สมการแทนเจนต์ถูกกำหนดโดยสูตรที่เรารู้จัก:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
ในกรณีของเรา $a=1$
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
มาหาอนุพันธ์กันเถอะ:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
มาคำนวณกัน:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
ค้นหาสมการแทนเจนต์:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
คำตอบ: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน: $y=x^\frac(4)(3)$ บนเซ็กเมนต์:
ก) $$
ข) $(4.50)$.
c) บนรังสี $$
3. แก้สมการ: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. สร้างกราฟฟังก์ชัน: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$
5. เขียนสมการแทนเจนต์ไปยังเส้น $y=x^(-\frac(3)(7))$ ที่จุด $x=1$

บรรยาย: ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังธรรมชาติ กราฟของมัน

เรากำลังจัดการกับฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์มีอำนาจอยู่เสมอ:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1 เป็นต้น

กราฟของฟังก์ชันกำลัง

ตอนนี้เราจะพิจารณากรณีที่เป็นไปได้หลายประการของฟังก์ชันกำลัง

1) y = x 2 น .

ซึ่งหมายความว่าตอนนี้เราจะพิจารณาฟังก์ชันที่เลขชี้กำลังเป็นเลขคู่

คุณสมบัติคุณสมบัติ:

1. จำนวนจริงทั้งหมดได้รับการยอมรับเป็นช่วง

2. ฟังก์ชันสามารถรับค่าบวกทั้งหมดและเลขศูนย์ได้

3. ฟังก์ชันนี้แม้จะไม่ได้ขึ้นอยู่กับสัญญาณของอาร์กิวเมนต์ แต่ขึ้นอยู่กับโมดูลัสเท่านั้น

4. สำหรับอาร์กิวเมนต์เชิงบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และสำหรับอาร์กิวเมนต์เชิงลบ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้คล้ายกับพาราโบลา ตัวอย่างเช่น ด้านล่างเป็นกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 4

2) ฟังก์ชันมีเลขชี้กำลังคี่: y \u003d x 2 n +1

1. โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

2. ช่วงฟังก์ชัน - สามารถอยู่ในรูปของจำนวนจริงใดๆ

3. ฟังก์ชั่นนี้แปลก

4. เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนตลอดช่วงการพิจารณาฟังก์ชัน

5. กราฟของฟังก์ชันกำลังทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังคี่จะเหมือนกับฟังก์ชัน y \u003d x 3

3) ฟังก์ชันนี้มีเลขชี้กำลังธรรมชาติติดลบเสมอกัน: y \u003d x -2 น.

เราทุกคนรู้ดีว่าเลขชี้กำลังลบช่วยให้คุณสามารถวางเลขชี้กำลังลงในตัวส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลังนั่นคือคุณได้รับรูปแบบ y \u003d 1 / x 2 n

1. อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันนี้สามารถรับค่าใดก็ได้ ยกเว้นศูนย์ เนื่องจากตัวแปรอยู่ในตัวส่วน

2. เนื่องจากเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ ฟังก์ชันจึงไม่สามารถรับค่าลบได้ และเนื่องจากอาร์กิวเมนต์ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ จึงควรไม่รวมค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ด้วย ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันสามารถรับได้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น

3. ฟังก์ชันนี้จะเท่ากัน

4. ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นค่าลบ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน และถ้าเป็นค่าบวก ฟังก์ชันก็จะลดลง

มุมมองของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x -2:

4) ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ y \u003d x - (2 n + 1) .

1. ฟังก์ชันนี้มีอยู่ในค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ยกเว้นค่าศูนย์

2. ฟังก์ชันนี้ยอมรับค่าจริงทั้งหมด ยกเว้นค่าศูนย์

3. ฟังก์ชั่นนี้แปลก

4. ลดลงในสองช่วงเวลาที่พิจารณา

พิจารณาตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังคี่ติดลบโดยใช้ตัวอย่าง y \u003d x -3

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังและกราฟ

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับศูนย์ p = 0

หากเลขชี้กำลังของฟังก์ชันกำลัง y = x p เท่ากับศูนย์ p = 0 ฟังก์ชันกำลังจะถูกกำหนดสำหรับ x ≠ 0 ทั้งหมดและมีค่าคงที่เท่ากับ 1
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0

ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังคี่ธรรมชาติ p = n = 1, 3, 5, ...

พิจารณาฟังก์ชันกำลัง y = x p = x n ด้วยเลขชี้กำลังคี่ตามธรรมชาติ n = 1, 3, 5, .... เลขชี้กำลังดังกล่าวสามารถเขียนได้ดังนี้: n = 2k + 1 โดยที่ k = 0, 1, 2, 3, . .. เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ ด้านล่างนี้คือคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว

กราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x n ด้วยเลขชี้กำลังคี่ธรรมชาติที่ ค่านิยมที่แตกต่างกันเลขชี้กำลัง n = 1, 3, 5, ....

พื้นที่คำจำกัดความ: –∞< x < ∞

ชุดของค่า: –∞< y < ∞

สุดขั้ว: ไม่

นูน:

ที่ –∞< x < 0 выпукла вверх

ที่ 0< x < ∞ выпукла вниз

จุดเปลี่ยน: x = 0, y = 0

ค่านิยมส่วนตัว:

ที่ x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

สำหรับ x = 0, y(0) = 0 n = 0

สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1

ฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ p = n = 2, 4, 6, ...

พิจารณาฟังก์ชันกำลัง y = x p = x n ด้วยเลขชี้กำลังคู่ที่เป็นธรรมชาติ n = 2, 4, 6, .... เลขชี้กำลังดังกล่าวสามารถเขียนได้ดังนี้: n = 2k โดยที่ k = 1, 2, 3, .. . เป็นธรรมชาติ คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันดังกล่าวแสดงไว้ด้านล่าง

กราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x n ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นธรรมชาติสำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง n = 2, 4, 6, ....

พื้นที่คำจำกัดความ: –∞< x < ∞

ชุดของค่า: 0 ≤ y< ∞

เสียงเดียว:

ที่ x< 0 монотонно убывает

สำหรับ x > 0 เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ

สุดขั้ว: ต่ำสุด x = 0, y = 0

ความนูน: นูนลง

จุดเข่า: ไม่

จุดตัดที่มีแกนพิกัด: x = 0, y = 0
ค่านิยมส่วนตัว:

ที่ x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

สำหรับ x = 0, y(0) = 0 n = 0

สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1

ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม p = n = -1, -2, -3, ...

พิจารณาฟังก์ชันกำลัง y = x p = x n ด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ n = -1, -2, -3, .... ถ้าเราใส่ n = –k โดยที่ k = 1, 2, 3, ... คือ เป็นจำนวนธรรมชาติ มันสามารถแสดงเป็น:

กราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x n พร้อมเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบสำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง n = -1, -2, -3, ....

เลขชี้กำลังคี่ n = -1, -3, -5, ...

ด้านล่างนี้คือคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = x n ที่มีเลขชี้กำลังลบคี่ n = -1, -3, -5, ....

โดเมนของคำจำกัดความ: x ≠ 0

ชุดของค่า: y ≠ 0

พาริตี้: คี่, y(–x) = – y(x)

สุดขั้ว: ไม่

นูน:

ที่ x< 0: выпукла вверх

สำหรับ x > 0: นูนลง

จุดเข่า: ไม่

ป้าย: at x< 0, y < 0

สำหรับ x > 0, y > 0

ค่านิยมส่วนตัว:

สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1

เลขชี้กำลังคู่ n = -2, -4, -6, ...

ด้านล่างนี้คือคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = x n ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ n = -2, -4, -6, ....

โดเมนของคำจำกัดความ: x ≠ 0

ชุดของค่า: y > 0

ความเท่าเทียมกัน: คู่ y(–x) = y(x)

เสียงเดียว:

ที่ x< 0: монотонно возрастает

สำหรับ x > 0: ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ

สุดขั้ว: ไม่

ความนูน: นูนลง

จุดเข่า: ไม่

จุดตัดกับแกนพิกัด: no

ลงชื่อ: y > 0

ค่านิยมส่วนตัว:

ที่ x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1

ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (เศษส่วน)

พิจารณาฟังก์ชันกำลัง y = x p ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (เศษส่วน) โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม m > 1 เป็นจำนวนธรรมชาติ นอกจากนี้ n, m ไม่มีตัวหารร่วม

ตัวส่วนของตัวบ่งชี้เศษส่วนเป็นเลขคี่

ให้ตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษเป็นเลขคี่: m = 3, 5, 7, ... . ในกรณีนี้ ฟังก์ชันกำลัง x p ถูกกำหนดสำหรับค่าบวกและค่าลบของอาร์กิวเมนต์ ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังดังกล่าวเมื่อเลขชี้กำลัง p อยู่ในขอบเขตที่กำหนด

p เป็นลบ p< 0

ให้เลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (ที่มีตัวส่วนคี่ m = 3, 5, 7, ...) น้อยกว่าศูนย์: .

กราฟของฟังก์ชันกำลัง ด้วยเลขชี้กำลังเชิงลบที่เป็นเหตุเป็นผลสำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง โดยที่ m = 3, 5, 7, ... เป็นเลขคี่

ตัวเศษ n = -1, -3, -5, ...

นี่คือคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง y = x p ที่มีเลขชี้กำลังลบที่เป็นตรรกยะ โดยที่ n = -1, -3, -5, ... เป็นจำนวนเต็มลบคี่ m = 3, 5, 7 ... คือ จำนวนธรรมชาติคี่

โดเมนของคำจำกัดความ: x ≠ 0

ชุดของค่า: y ≠ 0

พาริตี้: คี่, y(–x) = – y(x)

ความน่าเบื่อหน่าย: ลดลงเรื่อย ๆ

สุดขั้ว: ไม่

นูน:

ที่ x< 0: выпукла вверх

สำหรับ x > 0: นูนลง

จุดเข่า: ไม่

จุดตัดกับแกนพิกัด: no

ที่ x< 0, y < 0

สำหรับ x > 0, y > 0

ค่านิยมส่วนตัว:

ที่ x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1

ตัวเศษ n = -2, -4, -6, ...

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลังลบที่เป็นตรรกยะ โดยที่ n = -2, -4, -6, ... เป็นจำนวนเต็มลบคู่ m = 3, 5, 7 ... เป็นจำนวนธรรมชาติคี่ .

โดเมนของคำจำกัดความ: x ≠ 0

ชุดของค่า: y > 0

ความเท่าเทียมกัน: คู่ y(–x) = y(x)

เสียงเดียว:

ที่ x< 0: монотонно возрастает

สำหรับ x > 0: ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ

สุดขั้ว: ไม่

ความนูน: นูนลง

จุดเข่า: ไม่

จุดตัดกับแกนพิกัด: no

ลงชื่อ: y > 0

ค่า p เป็นบวก น้อยกว่าหนึ่ง 0< p < 1

กราฟฟังก์ชันกำลัง ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

ตัวเศษ n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

พื้นที่คำจำกัดความ: –∞< x < +∞

ชุดของค่า: –∞< y < +∞

พาริตี้: คี่, y(–x) = – y(x)

ความน่าเบื่อ: เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ

สุดขั้ว: ไม่

นูน:

ที่ x< 0: выпукла вниз

สำหรับ x > 0: นูนขึ้น

จุดเปลี่ยน: x = 0, y = 0

จุดตัดที่มีแกนพิกัด: x = 0, y = 0

ที่ x< 0, y < 0

สำหรับ x > 0, y > 0

ค่านิยมส่วนตัว:

ที่ x = –1, y(–1) = –1

สำหรับ x = 0, y(0) = 0

สำหรับ x = 1, y(1) = 1

ตัวเศษ n = 2, 4, 6, ...

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง y = x p พร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งอยู่ภายใน 0 จะถูกนำเสนอ< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

พื้นที่คำจำกัดความ: –∞< x < +∞

ชุดของค่า: 0 ≤ y< +∞

ความเท่าเทียมกัน: คู่ y(–x) = y(x)

เสียงเดียว:

ที่ x< 0: монотонно убывает

สำหรับ x > 0: เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน

สุดขั้ว: ต่ำสุดที่ x = 0, y = 0

ความนูน: นูนขึ้นที่ x ≠ 0

จุดเข่า: ไม่

จุดตัดที่มีแกนพิกัด: x = 0, y = 0

เครื่องหมาย: สำหรับ x ≠ 0, y > 0

บนโดเมนของฟังก์ชันกำลัง y = x p สูตรต่อไปนี้ถือเป็น:
; ;
;
; ;
; ;
; .

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังและกราฟ

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับศูนย์ p = 0

หากเลขชี้กำลังของฟังก์ชันกำลัง y = x p เท่ากับศูนย์ p = 0 ฟังก์ชันกำลังจะถูกกำหนดสำหรับ x ≠ 0 ทั้งหมดและเป็นค่าคงที่ เท่ากับหนึ่ง:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0

ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังคี่ธรรมชาติ p = n = 1, 3, 5, ...

พิจารณาฟังก์ชันกำลัง y = x p = x n ที่มีเลขชี้กำลังคี่ตามธรรมชาติ n = 1, 3, 5, ... . ตัวบ่งชี้ดังกล่าวสามารถเขียนได้ดังนี้: n = 2k + 1 โดยที่ k = 0, 1, 2, 3, ... เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ด้านล่างนี้คือคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว

กราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x n ที่มีเลขชี้กำลังคี่ตามธรรมชาติสำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง n = 1, 3, 5, ... .

โดเมน: -∞ < x < ∞
หลายค่า: -∞ < y < ∞
ความเท่าเทียมกัน:คี่ y(-x) = - y(x)
เสียงเดียว:เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ
สุดขั้ว:ไม่
นูน:
ที่ -∞< x < 0 выпукла вверх
ที่ 0< x < ∞ выпукла вниз
เบรกพอยต์: x=0, y=0
x=0, y=0
ขีดจำกัด:
;
ค่านิยมส่วนตัว:
ที่ x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
สำหรับ x = 0, y(0) = 0 n = 0
สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:
สำหรับ n = 1 ฟังก์ชันจะผกผันกับตัวมันเอง: x = y
สำหรับ n ≠ 1 ฟังก์ชันผกผันคือรากของดีกรี n:

ฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ p = n = 2, 4, 6, ...

พิจารณาฟังก์ชันกำลัง y = x p = x n ที่มีเลขชี้กำลังคู่ตามธรรมชาติ n = 2, 4, 6, ... . ตัวบ่งชี้ดังกล่าวสามารถเขียนได้ดังนี้: n = 2k โดยที่ k = 1, 2, 3, ... เป็นจำนวนธรรมชาติ คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันดังกล่าวแสดงไว้ด้านล่าง

กราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x n ที่มีเลขชี้กำลังคู่ตามธรรมชาติสำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง n = 2, 4, 6, ... .

โดเมน: -∞ < x < ∞
หลายค่า: 0 ≤ y< ∞
ความเท่าเทียมกัน:แม้กระทั่ง y(-x) = y(x)
เสียงเดียว:
สำหรับ x ≤ 0 ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ
สำหรับ x ≥ 0 เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ
สุดขั้ว:ขั้นต่ำ x=0, y=0
นูน:นูนลง
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด: x=0, y=0
ขีดจำกัด:
;
ค่านิยมส่วนตัว:
สำหรับ x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
สำหรับ x = 0, y(0) = 0 n = 0
สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:
สำหรับ n = 2, รากที่สอง:
สำหรับ n ≠ 2 รากของดีกรี n:

ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม p = n = -1, -2, -3, ...

พิจารณาฟังก์ชันกำลัง y = x p = x n ด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ n = -1, -2, -3, ... . หากเราใส่ n = -k โดยที่ k = 1, 2, 3, ... เป็นจำนวนธรรมชาติ มันสามารถแสดงเป็น:

กราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x n พร้อมเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบสำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง n = -1, -2, -3, ... .

เลขชี้กำลังคี่ n = -1, -3, -5, ...

ด้านล่างนี้คือคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = x n ที่มีเลขชี้กำลังลบคี่ n = -1, -3, -5, ... .

โดเมน: x ≠ 0
หลายค่า: y ≠ 0
ความเท่าเทียมกัน:คี่ y(-x) = - y(x)
เสียงเดียว:ลดลงอย่างน่าเบื่อ
สุดขั้ว:ไม่
นูน:
ที่ x< 0 : выпукла вверх
สำหรับ x > 0 : นูนลง
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด:ไม่
เข้าสู่ระบบ:
ที่ x< 0, y < 0
สำหรับ x > 0, y > 0
ขีดจำกัด:
; ; ;
ค่านิยมส่วนตัว:
สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:
สำหรับ n = -1,
สำหรับ n< -2 ,

เลขชี้กำลังคู่ n = -2, -4, -6, ...

ด้านล่างนี้คือคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = x n ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ n = -2, -4, -6, ... .

โดเมน: x ≠ 0
หลายค่า: y > 0
ความเท่าเทียมกัน:แม้กระทั่ง y(-x) = y(x)
เสียงเดียว:
ที่ x< 0 : монотонно возрастает
สำหรับ x > 0 : ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ
สุดขั้ว:ไม่
นูน:นูนลง
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด:ไม่
เข้าสู่ระบบ: y > 0
ขีดจำกัด:
; ; ;
ค่านิยมส่วนตัว:
สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:
สำหรับ n = -2,
สำหรับ n< -2 ,

ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (เศษส่วน)

พิจารณาฟังก์ชันกำลัง y = x p ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (เศษส่วน) โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม m > 1 เป็นจำนวนธรรมชาติ นอกจากนี้ n, m ไม่มีตัวหารร่วม

ตัวส่วนของตัวบ่งชี้เศษส่วนเป็นเลขคี่

ให้ตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษเป็นเลขคี่: m = 3, 5, 7, ... . ในกรณีนี้ ฟังก์ชันกำลัง x p ถูกกำหนดสำหรับค่า x ทั้งบวกและลบ พิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังดังกล่าวเมื่อเลขชี้กำลัง p อยู่ในขอบเขตที่กำหนด

p เป็นลบ p< 0

ให้เลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (ที่มีตัวส่วนคี่ m = 3, 5, 7, ... ) น้อยกว่าศูนย์:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังลบแบบมีเหตุมีผลสำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง โดยที่ m = 3, 5, 7, ... เป็นเลขคี่

ตัวเศษ n = -1, -3, -5, ...

นี่คือคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง y = x p ที่มีเลขชี้กำลังลบที่เป็นตรรกยะ โดยที่ n = -1, -3, -5, ... เป็นจำนวนเต็มลบคี่ m = 3, 5, 7 ... คือ จำนวนธรรมชาติคี่

โดเมน: x ≠ 0
หลายค่า: y ≠ 0
ความเท่าเทียมกัน:คี่ y(-x) = - y(x)
เสียงเดียว:ลดลงอย่างน่าเบื่อ
สุดขั้ว:ไม่
นูน:
ที่ x< 0 : выпукла вверх
สำหรับ x > 0 : นูนลง
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด:ไม่
เข้าสู่ระบบ:
ที่ x< 0, y < 0
สำหรับ x > 0, y > 0
ขีดจำกัด:
; ; ;
ค่านิยมส่วนตัว:
สำหรับ x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:

ตัวเศษ n = -2, -4, -6, ...

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง y = x p ที่มีเลขชี้กำลังลบที่เป็นตรรกยะ โดยที่ n = -2, -4, -6, ... เป็นจำนวนเต็มลบคู่ m = 3, 5, 7 ... เป็นจำนวนธรรมชาติคี่ .

โดเมน: x ≠ 0
หลายค่า: y > 0
ความเท่าเทียมกัน:แม้กระทั่ง y(-x) = y(x)
เสียงเดียว:
ที่ x< 0 : монотонно возрастает
สำหรับ x > 0 : ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ
สุดขั้ว:ไม่
นูน:นูนลง
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด:ไม่
เข้าสู่ระบบ: y > 0
ขีดจำกัด:
; ; ;
ค่านิยมส่วนตัว:
สำหรับ x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
สำหรับ x = 1, y(1) = 1 n = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:

ค่า p เป็นบวก น้อยกว่าหนึ่ง 0< p < 1

กราฟของฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

ตัวเศษ n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

โดเมน: -∞ < x < +∞
หลายค่า: -∞ < y < +∞
ความเท่าเทียมกัน:คี่ y(-x) = - y(x)
เสียงเดียว:เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ
สุดขั้ว:ไม่
นูน:
ที่ x< 0 : выпукла вниз
สำหรับ x > 0 : นูนขึ้น
เบรกพอยต์: x=0, y=0
จุดตัดกับแกนพิกัด: x=0, y=0
เข้าสู่ระบบ:
ที่ x< 0, y < 0
สำหรับ x > 0, y > 0
ขีดจำกัด:
;
ค่านิยมส่วนตัว:
สำหรับ x = -1, y(-1) = -1
สำหรับ x = 0, y(0) = 0
สำหรับ x = 1, y(1) = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:

ตัวเศษ n = 2, 4, 6, ...

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง y = x p พร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งอยู่ภายใน 0 จะถูกนำเสนอ< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

โดเมน: -∞ < x < +∞
หลายค่า: 0 ≤ y< +∞
ความเท่าเทียมกัน:แม้กระทั่ง y(-x) = y(x)
เสียงเดียว:
ที่ x< 0 : монотонно убывает
สำหรับ x > 0 : เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ
สุดขั้ว:ขั้นต่ำที่ x = 0, y = 0
นูน:นูนขึ้นที่ x ≠ 0
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด: x=0, y=0
เข้าสู่ระบบ:สำหรับ x ≠ 0, y > 0
ขีดจำกัด:
;
ค่านิยมส่วนตัว:
สำหรับ x = -1, y(-1) = 1
สำหรับ x = 0, y(0) = 0
สำหรับ x = 1, y(1) = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:

เลขชี้กำลัง p มากกว่าหนึ่ง p > 1

กราฟของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (p > 1 ) สำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง โดยที่ m = 3, 5, 7, ... เป็นเลขคี่

ตัวเศษ n = 5, 7, 9, ...

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง y = x p โดยมีเลขยกกำลังมากกว่าหนึ่ง: โดยที่ n = 5, 7, 9, ... เป็นจำนวนคี่ธรรมชาติ m = 3, 5, 7 ... เป็นจำนวนคี่ธรรมชาติ

โดเมน: -∞ < x < ∞
หลายค่า: -∞ < y < ∞
ความเท่าเทียมกัน:คี่ y(-x) = - y(x)
เสียงเดียว:เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ
สุดขั้ว:ไม่
นูน:
ที่ -∞< x < 0 выпукла вверх
ที่ 0< x < ∞ выпукла вниз
เบรกพอยต์: x=0, y=0
จุดตัดกับแกนพิกัด: x=0, y=0
ขีดจำกัด:
;
ค่านิยมส่วนตัว:
สำหรับ x = -1, y(-1) = -1
สำหรับ x = 0, y(0) = 0
สำหรับ x = 1, y(1) = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:

ตัวเศษ n = 4, 6, 8, ...

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง y = x p โดยมีเลขยกกำลังมากกว่าหนึ่ง: โดยที่ n = 4, 6, 8, ... เป็นจำนวนคู่ m = 3, 5, 7 ... เป็นจำนวนเต็มคี่

โดเมน: -∞ < x < ∞
หลายค่า: 0 ≤ y< ∞
ความเท่าเทียมกัน:แม้กระทั่ง y(-x) = y(x)
เสียงเดียว:
ที่ x< 0 монотонно убывает
สำหรับ x > 0 เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ
สุดขั้ว:ขั้นต่ำที่ x = 0, y = 0
นูน:นูนลง
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด: x=0, y=0
ขีดจำกัด:
;
ค่านิยมส่วนตัว:
สำหรับ x = -1, y(-1) = 1
สำหรับ x = 0, y(0) = 0
สำหรับ x = 1, y(1) = 1
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ:

ตัวส่วนของตัวบ่งชี้เศษส่วนเป็นคู่

ให้ตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษเป็นคู่: m = 2, 4, 6, ... . ในกรณีนี้ ฟังก์ชันกำลัง x p ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ คุณสมบัติของมันตรงกับฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ (ดูหัวข้อถัดไป)

ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังอตรรกยะ

พิจารณาฟังก์ชันกำลัง y = x p ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว p คุณสมบัติของฟังก์ชันดังกล่าวแตกต่างจากที่พิจารณาข้างต้นเนื่องจากไม่ได้กำหนดไว้สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ x สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ คุณสมบัติจะขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง p เท่านั้น และไม่ขึ้นกับว่า p เป็นจำนวนเต็ม ตรรกยะ หรืออตรรกยะ

y = x p สำหรับค่าต่าง ๆ ของเลขชี้กำลัง p .

ฟังก์ชันกำลังกับค่าลบ p< 0

โดเมน: x > 0
หลายค่า: y > 0
เสียงเดียว:ลดลงอย่างน่าเบื่อ
นูน:นูนลง
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด:ไม่
ขีดจำกัด: ;
มูลค่าส่วนตัว:สำหรับ x = 1, y(1) = 1 p = 1

ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลังบวก p > 0

ตัวบ่งชี้น้อยกว่าหนึ่ง0< p < 1

โดเมน: x ≥ 0
หลายค่า: y ≥ 0
เสียงเดียว:เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ
นูน:นูนขึ้น
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด: x=0, y=0
ขีดจำกัด:
ค่านิยมส่วนตัว:สำหรับ x = 0, y(0) = 0 p = 0
สำหรับ x = 1, y(1) = 1 p = 1

ตัวบ่งชี้มีค่ามากกว่าหนึ่ง p > 1

โดเมน: x ≥ 0
หลายค่า: y ≥ 0
เสียงเดียว:เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ
นูน:นูนลง
เบรกพอยต์:ไม่
จุดตัดกับแกนพิกัด: x=0, y=0
ขีดจำกัด:
ค่านิยมส่วนตัว:สำหรับ x = 0, y(0) = 0 p = 0
สำหรับ x = 1, y(1) = 1 p = 1

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.