Determinați care dreaptă din plan este dată de ecuație. Ecuația unei drepte, tipuri de ecuații a unei drepte pe un plan
Luați în considerare funcția dată de formula (ecuația)
Această funcție și, prin urmare, ecuația (11), corespunde în plan unei linii bine definite, care este graficul acestei funcții (vezi Fig. 20). Din definiția graficului funcției rezultă că această dreaptă constă din acele și numai acele puncte ale planului ale căror coordonate satisfac ecuația (11).
Lasă acum
Linia, care este graficul acestei funcții, constă din acele și numai acele puncte ale planului ale căror coordonate satisfac ecuația (12). Aceasta înseamnă că, dacă un punct se află pe linia specificată, atunci coordonatele lui satisfac ecuația (12). Dacă punctul nu se află pe această dreaptă, atunci coordonatele sale nu satisfac ecuația (12).
Ecuația (12) se rezolvă în raport cu y. Luați în considerare o ecuație care conține x și y care nu este rezolvată în raport cu y, cum ar fi ecuația
Să arătăm că acestei ecuații îi corespunde în plan o dreaptă și anume un cerc centrat la originea coordonatelor și cu raza egală cu 2. Să rescriem ecuația sub forma
Partea sa stângă este pătratul distanței punctului de la origine (vezi § 2, articolul 2, formula 3). Din egalitatea (14) rezultă că pătratul acestei distanțe este 4.
Aceasta înseamnă că orice punct ale cărui coordonate satisfac ecuația (14) și, prin urmare, ecuația (13), este situat la o distanță de 2 de origine.
Locul acestor puncte este un cerc centrat la origine și raza 2. Acest cerc va fi linia corespunzătoare ecuației (13). Coordonatele oricăruia dintre punctele sale satisfac în mod evident ecuația (13). Dacă punctul nu se află pe cercul găsit, atunci pătratul distanței sale de la origine va fi fie mai mare, fie mai mic decât 4, ceea ce înseamnă că coordonatele unui astfel de punct nu satisfac ecuația (13).
Să fie acum, în cazul general, dată ecuația
pe partea stângă a căreia se află o expresie care conține x și y.
Definiție. Linia definită de ecuația (15) este locul punctelor din planul ale cărui coordonate satisfac această ecuație.
Aceasta înseamnă că dacă linia L este determinată de ecuație, atunci coordonatele oricărui punct al lui L satisfac această ecuație, iar coordonatele oricărui punct al planului situat în afara lui L nu satisfac ecuația (15).
Ecuația (15) se numește ecuație de linie
Cometariu. Nu trebuie gândit că orice ecuație definește vreo linie. De exemplu, ecuația nu definește nicio linie. Într-adevăr, pentru orice valoare reală a lui și y, partea stângă a acestei ecuații este pozitivă, iar partea dreaptă este egală cu zero și, prin urmare, această ecuație nu poate satisface coordonatele oricărui punct din plan.
O linie poate fi definită pe un plan nu numai printr-o ecuație care conține coordonate carteziene, ci și printr-o ecuație în coordonate polare. Linia definită de ecuație în coordonate polare este locul punctelor din planul ale cărui coordonate polare satisfac această ecuație.
Exemplul 1. Construiți spirala lui Arhimede la .
Soluţie. Să facem un tabel pentru unele valori ale unghiului polar și valorile corespunzătoare ale razei polare.
Construim un punct în sistemul de coordonate polare, care, evident, coincide cu polul; apoi, desenând axa într-un unghi față de axa polară, construim un punct cu o coordonată pozitivă pe această axă; după aceea, construim în mod similar puncte cu valori pozitive ale unghiului polar și ale razei polare (axele pentru aceste puncte nu sunt indicate în Fig. 30).
După cum se știe, orice punct din plan este determinat de două coordonate într-un sistem de coordonate. Sistemele de coordonate pot fi diferite în funcție de alegerea bazei și a originii.
Definiție: Ecuația unei drepte este relația y = f(x) dintre coordonatele punctelor care alcătuiesc această dreaptă.
Rețineți că ecuația liniei poate fi exprimată într-un mod parametric, adică fiecare coordonată a fiecărui punct este exprimată printr-un parametru independent t. Un exemplu tipic este traiectoria unui punct în mișcare. În acest caz, timpul joacă rolul unui parametru.
Diferite tipuri de ecuații ale unei linii drepte
Ecuația generală a unei drepte.
Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi
Ah + Wu + C = 0,
în plus, constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A 2 + B 2 ¹ 0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a dreptei .
In functie de valori constanta A, Bși C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - linia trece prin origine
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( Prin + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Ox
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox
Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în diferite formeîn funcţie de orice condiţii iniţiale date.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.
Să fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, apoi ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte:
Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe un plan, ecuația unei drepte scrise mai sus este simplificată:
dacă x 1 ¹ x 2 și x \u003d x 1, dacă x 1 \u003d x 2.
Fracția = k se numește panta dreptei.
Ecuația unei drepte după un punct și o pantă.
Dacă ecuația generală a dreptei Ax + Vy + C = 0 duce la forma:
și notăm , atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu panta k.
Ecuația unei drepte în segmente.
Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0, atunci, împărțind la –С, obținem: sau
Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul A este coordonata punctului de intersecție al dreptei cu axa x și b- coordonata punctului de intersectie a dreptei cu axa Oy.
Ecuația normală a unei linii drepte.
Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Vy + C = 0 sunt împărțite la numărul , care se numește factor de normalizare, atunci obținem
xcosj + ysinj - p = 0 –
ecuația normală a unei linii drepte.
Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât m × С< 0.
p este lungimea perpendicularei coborâte de la origine la dreapta, iar j este unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Ox.
Unghiul dintre liniile unui plan.
Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca
Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 .
Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/k 2 .
Teorema. Liniile drepte Ax + Vy + C \u003d 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele atunci când coeficienții A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB sunt proporționali. Dacă și C 1 = lC, atunci liniile coincid.
Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a unui sistem de două ecuații.
Distanța de la un punct la o linie.
Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca
Cursul 5
Introducere în analiză. Calcul diferenţial al unei funcţii a unei variabile.
LIMITA DE FUNCȚIE
Limita unei funcții într-un punct.
0 a - D a a + D x
Figura 1. Limita unei funcții într-un punct.
Fie definită funcția f(x) într-o vecinătate a punctului x = a (adică în punctul x = a însuși, funcția poate să nu fie definită)
Definiție. Numărul A se numește limita funcției f(x) pentru x®a dacă pentru orice e>0 există un număr D>0 astfel încât pentru tot x astfel încât
0 < ïx - aï < D
inegalitatea ïf(x) - Aï< e.
Aceeași definiție poate fi scrisă într-o formă diferită:
Dacă a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Scrierea limitei unei funcții într-un punct:
Definiție.
Dacă f(x) ® A 1 pentru x ® a numai pentru x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, atunci se numește limita funcției f(x) în punctul x = a din dreapta.
Definiția de mai sus se referă la cazul în care funcția f(x) nu este definită în punctul x = a în sine, ci este definită într-o vecinătate arbitrar mică a acestui punct.
Limitele A 1 și A 2 sunt de asemenea numite unilateral în afara funcției f(x) în punctul x = a. Se mai spune că A limita functiei f(x).
Ecuația unei drepte pe un plan.
După cum se știe, orice punct din plan este determinat de două coordonate într-un sistem de coordonate. Sistemele de coordonate pot fi diferite în funcție de alegerea bazei și a originii.
Definiție. Ecuația liniilor se numeste raport y=f(x ) între coordonatele punctelor care alcătuiesc această dreaptă.
Rețineți că ecuația liniei poate fi exprimată într-un mod parametric, adică fiecare coordonată a fiecărui punct este exprimată printr-un parametru independentt.
Un exemplu tipic este traiectoria unui punct în mișcare. În acest caz, timpul joacă rolul unui parametru.
Ecuația unei drepte pe un plan.
Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi
Ah + Wu + C = 0,
în plus, constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A 2 + B 2¹ 0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte.
În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:
C = 0, A¹ 0, B¹ 0 - linia trece prin origine
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( Prin + C \u003d 0) - o linie dreaptă este paralelă cu axa Ox
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) - o linie dreaptă paralelă cu axa Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - linia coincide cu axa Oy
A = C = 0, B1 0 - linia coincide cu axa Ox
Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.
Distanța de la un punct la o linie.
Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca
.
Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la dreapta dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:
(1)
Coordonate x 1 și y 1 poate fi găsit ca o soluție a sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.
Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
apoi, rezolvând, obținem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
.
Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. Determinați unghiul dintre linii: y=-3x+7; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.
Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.
Aflați: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, deci dreptele sunt perpendiculare.
Exemplu. Având în vedere vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6;5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.
În ultimul articol, am luat în considerare principalele puncte referitoare la subiectul unei linii drepte pe un plan. Acum să trecem la studiul ecuației unei drepte: luați în considerare ce ecuație poate fi numită ecuație a unei drepte și, de asemenea, ce formă are ecuația unei drepte într-un plan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Definirea ecuației unei drepte într-un plan
Să presupunem că există o dreaptă, care este dată într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare O x y.
Definiția 1
Linie dreapta- aceasta este figură geometrică, care este format din puncte. Fiecare punct are propriile sale coordonate de-a lungul axelor de abscisă și ordonate. Ecuația care descrie dependența coordonatelor fiecărui punct al unei drepte din sistemul cartezian O x y se numește ecuația unei drepte pe un plan.
De fapt, ecuația unei linii drepte într-un plan este o ecuație cu două variabile, care sunt notate cu x și y. Ecuația se transformă într-o identitate atunci când valorile oricăruia dintre punctele dreptei sunt substituite în ea.
Să vedem ce formă va avea ecuația unei drepte într-un plan. Acesta va fi punctul central al următoarei secțiuni a articolului nostru. Rețineți că există mai multe opțiuni pentru scrierea ecuației unei linii drepte. Acest lucru se explică prin prezența mai multor moduri de a seta o linie dreaptă pe un plan și, de asemenea, prin diferitele specificități ale sarcinilor.
Să facem cunoștință cu teorema care definește forma ecuației unei drepte pe un plan în sistemul de coordonate carteziene O x y .
Teorema 1
O ecuație de forma A x + B y + C = 0 , unde x și y sunt variabile, iar A, B și C sunt numere reale, dintre care A și B nu sunt egale cu zero, definește o linie dreaptă în Sistemul de coordonate carteziene O x y . La rândul său, orice dreaptă de pe plan poate fi dată printr-o ecuație de forma A x + B y + C = 0 .
Astfel, ecuația generală a unei drepte în plan are forma A x + B y + C = 0 .
Să explicăm câteva aspecte importante ale subiectului.
Exemplul 1
Uită-te la desen.
Linia din desen este determinată de o ecuație de forma 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, deoarece coordonatele oricărui punct care formează această linie satisfac ecuația de mai sus. În același timp, un anumit număr de puncte din plan, definit de ecuația 2 x + 3 y - 2 = 0, ne oferă linia dreaptă pe care o vedem în figură.
Ecuația generală a unei linii drepte poate fi completă sau incompletă. În ecuația completă, toate numerele A, B și C sunt diferite de zero. În toate celelalte cazuri, ecuația este considerată incompletă. O ecuație de forma A x + B y = 0 definește o dreaptă care trece prin origine. Dacă A este zero, atunci ecuația A x + B y + C = 0 definește o dreaptă paralelă cu axa x O x . Dacă B este egal cu zero, atunci linia este paralelă cu axa ordonatelor O y .
Concluzie: pentru un anumit set de valori ale numerelor A, B și C, folosind ecuația generală a unei drepte, puteți scrie orice dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y.
Linia dată de o ecuație de forma A x + B y + C = 0 are un vector drept normal cu coordonatele A , B .
Toate ecuațiile de drepte date, pe care le vom considera mai jos, pot fi obținute din ecuația generală a unei linii. Procesul invers este de asemenea posibil, atunci când oricare dintre ecuațiile luate în considerare poate fi redusă la ecuația generală a unei linii drepte.
Puteți înțelege toate nuanțele subiectului în articolul „Ecuația generală a unei linii drepte”. În material oferim o demonstrație a teoremei cu ilustrații grafice și o analiză detaliată a exemplelor. O atenție deosebită se acordă tranzițiilor de la ecuația generală a unei linii drepte la ecuațiile de alte tipuri și invers.
Ecuația unei drepte în segmente are forma x a + y b = 1 , unde a și b sunt numere reale care nu sunt egale cu zero. Valorile absolute ale numerelor a și b sunt egale cu lungimea segmentelor care sunt tăiate de o linie dreaptă pe axele de coordonate. Lungimea segmentelor este măsurată de la originea coordonatelor.
Datorită ecuației, puteți desena cu ușurință o linie dreaptă pe desen. Pentru a face acest lucru, este necesar să marcați punctele a, 0 și 0, b într-un sistem de coordonate dreptunghiular și apoi să le conectați cu o linie dreaptă.
Exemplul 2
Să construim o linie dreaptă, care este dată de formula x 3 + y - 5 2 = 1. Marcam două puncte pe grafic 3 , 0 , 0 , - 5 2 , conectăm-le între ele.
Aceste ecuații, având forma y = k · x + b, ar trebui să ne fie bine cunoscute din cursul algebrei. Aici x și y sunt variabile, k și b sunt numere reale, dintre care k este panta. În aceste ecuații, variabila y este o funcție a argumentului x.
Să dăm definiția pantei prin definirea unghiului de înclinare a dreptei față de direcția pozitivă a axei O x .
Definiția 2
Pentru a desemna unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei O x în sistemul de coordonate carteziene, introducem valoarea unghiului α. Unghiul este măsurat de la direcția pozitivă a axei x la o linie dreaptă în sens invers acelor de ceasornic. Unghiul α este considerat egal cu zero dacă linia este paralelă cu axa O x sau coincide cu aceasta.
Panta unei drepte este tangenta pantei acelei drepte. Se scrie astfel k = t g α . Pentru o dreaptă care este paralelă cu axa O y sau care coincide cu aceasta, nu este posibil să scrieți ecuația unei drepte cu pantă, deoarece panta în acest caz se transformă în infinit (nu există).
Linia dreaptă, care este dată de ecuația y = k x + b, trece prin punctul 0, b pe axa y. Aceasta înseamnă că ecuația unei linii drepte cu o pantă y \u003d k x + b stabilește o linie dreaptă pe planul care trece prin punctul 0, b și formează un unghi α cu direcția pozitivă a axei O x și k \u003d t g α.
Exemplul 3
Să desenăm o linie dreaptă, care este definită de o ecuație de forma y = 3 · x - 1 .
Această linie trebuie să treacă prin punctul (0 , - 1) . Unghiul de înclinare α = a r c t g 3 = π 3 este egal cu 60 de grade cu direcția pozitivă a axei O x. Panta este 3
Vă rugăm să rețineți că folosind ecuația unei drepte cu o pantă este foarte convenabil să căutați ecuația unei tangente la graficul unei funcții într-un punct.
Mai multe materiale pe această temă puteți găsi în articolul „Ecuația unei linii cu pantă”. Pe lângă teorie, există un număr mare de exemple grafice și o analiză detaliată a sarcinilor.
Acest tip de ecuație are forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, unde x 1, y 1, a x, a y sunt numere reale, dintre care a x și a y nu sunt egale cu zero.
Linia dreaptă dată de ecuația canonică a dreptei trece prin punctul M 1 (x 1 , y 1) . Numerele a x și a y din numitorii fracțiilor sunt coordonatele vectorului de direcție al dreptei. Aceasta înseamnă că ecuația canonică a unei drepte x - x 1 a x = y - y 1 a y în sistemul de coordonate carteziene O x y corespunde unei drepte care trece prin punctul M 1 (x 1 , y 1) și având un vector de direcție a → = (a x , a y) .
Exemplul 4
Desenați o linie dreaptă în sistemul de coordonate O x y, care este dată de ecuația x - 2 3 = y - 3 1 . Punctul M 1 (2 , 3) aparține dreptei, vectorul a → (3 , 1) este vectorul de direcție al acestei drepte.
Ecuația canonică de linie dreaptă de forma x - x 1 a x = y - y 1 a y poate fi utilizată în cazurile în care a x sau a y este zero. Prezența zeroului în numitor face ca notația x - x 1 a x = y - y 1 a y să fie condiționată. Ecuația poate fi scrisă după cum urmează a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
În cazul în care a x \u003d 0, ecuația canonică a unei linii drepte ia forma x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y și stabilește o linie dreaptă care este paralelă cu axa ordonatelor sau coincide cu această axă.
Ecuația canonică a unei linii drepte, cu condiția ca a y \u003d 0, ia forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 0. O astfel de ecuație definește o linie dreaptă paralelă cu axa x sau care coincide cu aceasta.
Mai multe materiale pe tema ecuației canonice a unei linii drepte, vezi aici. În articol, oferim o serie de soluții la probleme, precum și numeroase exemple care vă permit să stăpâniți mai bine subiectul.
Ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan
Aceste ecuații au forma x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ, unde x 1, y 1, a x, a y sunt numere reale, dintre care a x și a y nu pot fi egale cu zero în același timp. timp. În formulă este introdus un parametru suplimentar λ, care poate lua orice valoare reală.
Scopul ecuației parametrice este de a stabili o relație implicită între coordonatele punctelor unei drepte. Pentru aceasta se introduce parametrul λ.
Numerele x, y sunt coordonatele unui punct de pe linie. Ele sunt calculate prin ecuații parametrice ale unei linii drepte pentru o anumită valoare reală a parametrului λ.
Exemplul 5
Să presupunem că λ = 0 .
Atunci x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, adică punctul cu coordonatele (x 1, y 1) aparține dreptei.
Vă atragem atenția asupra faptului că coeficienții a x și a y cu parametrul λ în acest tip de ecuații sunt coordonatele vectorului de direcție al dreptei.
Exemplul 6
Se consideră ecuații parametrice drepte de forma x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Linia dreaptă dată de ecuațiile din sistemul de coordonate carteziene trece prin punctul (x 1 , y 1) și are un vector de direcție a → = (3 , 1) .
Pentru mai multe informații, consultați articolul „Ecuații parametrice ale unei linii drepte pe un plan”.
Ecuația normală a unei drepte are forma, A x + B y + C = 0 , unde numerele A, B și C sunt astfel încât lungimea vectorului n → = (A , B) este egală cu unu. , şi C ≤ 0 .
Vectorul normal al dreptei, dat de ecuația normală a dreptei în sistemul de coordonate dreptunghiular O x y, este vectorul n → = (A , B) . Această dreaptă trece la distanța C de la origine pe direcția vectorului n → = (A , B) .
O altă modalitate de a scrie ecuația normală a unei linii drepte este cos α x + cos β y - p = 0, unde cos α și cos β sunt două numere reale care sunt cosinus de direcție ale vectorului normal de lungime unității al unei linii drepte. Aceasta înseamnă că n → = (cos α , cos β) , egalitatea n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 este adevărată, valoarea p ≥ 0 și este egală cu distanța de la origine la dreapta.
Exemplul 7
Se consideră ecuația generală a dreptei - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . Această ecuație generală a dreptei este ecuația normală a dreptei, deoarece n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 și C = - 3 ≤ 0 .
Ecuația definește o dreaptă în sistemul de coordonate cartezian 0xy, al cărei vector normal are coordonatele - 1 2 , 3 2 . Linia este îndepărtată de la origine cu 3 unități în direcția vectorului normal n → = - 1 2 , 3 2 .
Vă atragem atenția asupra faptului că ecuația normală a unei drepte pe un plan vă permite să găsiți distanța de la un punct la o dreaptă pe un plan.
Dacă în ecuația generală a liniei A x + B y + C \u003d 0 numerele A, B și C sunt astfel încât ecuația A x + B y + C \u003d 0 nu este o ecuație normală a dreptei, atunci se poate reduce la o formă normală. Citiți mai multe despre acest lucru în articolul „Ecuația normală a unei linii”.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Luați în considerare o relație de formă F(x, y)=0 legând variabilele Xși la. Se va chema egalitatea (1). ecuație cu două variabile x, y, dacă această egalitate nu este adevărată pentru toate perechile de numere Xși la. Exemple de ecuații: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Dacă (1) este adevărată pentru toate perechile de numere x și y, atunci se numește identitate. Exemple de identitate: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
Se va numi ecuația (1). ecuația mulțimii de puncte (x; y), dacă această ecuaţie este satisfăcută de coordonate Xși la orice punct al multimii si nu satisfac coordonatele vreunui punct care nu apartin acestei multimi.
Un concept important în geometria analitică este conceptul de ecuație a unei linii. Fie un sistem de coordonate dreptunghiular și o linie α.
Definiție. Ecuația (1) se numește ecuație de linie α
(în sistemul de coordonate creat), dacă această ecuație este satisfăcută de coordonate Xși la orice punct de pe linie α
, și nu satisface coordonatele niciunui punct care nu se află pe această dreaptă.
Dacă (1) este ecuația dreaptă α, atunci vom spune că ecuația (1) determină (seturi) linia α.
Linia α poate fi determinat nu numai printr-o ecuație de forma (1), ci și printr-o ecuație de formă
F(P, φ) = 0, care conține coordonatele polare.
- ecuația unei drepte cu pantă;
Să fie dată o linie dreaptă, nu perpendiculară pe axă OH. Hai sa sunăm unghi de înclinare linie dată axei OH colţ α prin care să se rotească axa OH astfel încât direcția pozitivă să coincidă cu una dintre direcțiile dreptei. Tangenta unghiului de înclinare a unei drepte la axă OH numit factor de pantă această linie dreaptă și notat cu literă La.
|
|||
|
|||
Deducem ecuația acestei linii drepte, dacă o știm Lași valoarea din segment OV, pe care ea o taie pe ax OU.
|
|
Ecuația (2) se numește ecuația unei drepte cu pantă.În cazul în care un K=0, atunci linia este paralelă cu axa OH iar ecuația sa este y = b.
- ecuația unei drepte care trece prin două puncte;
|
|
. Aceasta este ecuația dacă y 1 ≠ y 2, poate fi scris ca: În cazul în care un y 1 = y 2, atunci ecuația dreptei dorite are forma y = y 1. În acest caz, linia este paralelă cu axa OH. În cazul în care un x 1 = x 2, apoi linia care trece prin puncte M 1și M 2, paralel cu axa OU, ecuația sa are forma x = x 1.
- ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat cu o pantă dată;
|
|
și, invers, ecuația (5) pentru coeficienți arbitrari A, B, C (DARși B ≠ 0 simultan) definește o linie într-un sistem de coordonate dreptunghiular Ohu.
Dovada.
Să demonstrăm mai întâi prima afirmație. Dacă linia nu este perpendiculară Oh, atunci este determinat de ecuația de gradul întâi: y = kx + b, adică ecuația de forma (5), unde
A=k, B=-1și C = b. Dacă linia este perpendiculară Oh, atunci toate punctele sale au aceeași abscisă egală cu valoarea α segment tăiat de o linie dreaptă pe axă Oh.
Ecuația acestei drepte are forma x = α, acestea. este, de asemenea, o ecuație de gradul I de forma (5), unde A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. Aceasta dovedește prima afirmație.
Să demonstrăm afirmație inversă. Să fie dată ecuația (5) și cel puțin unul dintre coeficienți DARși B ≠ 0.
În cazul în care un B ≠ 0, atunci (5) poate fi scris ca . înclinată 
, obținem ecuația y = kx + b, adică o ecuație de forma (2) care definește o dreaptă.
În cazul în care un B = 0, apoi A ≠ 0și (5) ia forma . Indicând prin α, primim
x = α, adică ecuația unei drepte perpendiculare Ox.
Se numesc linii definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular printr-o ecuație de gradul întâi linii de prim ordin.
Tip ecuație Ah + Wu + C = 0 este incompletă, adică unul dintre coeficienți este egal cu zero.
1) C = 0; Ah + Wu = 0și definește o linie care trece prin origine.
2) B = 0 (A ≠ 0); ecuația Ax + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0și definește o dreaptă paralelă Oh.
Ecuația (6) se numește ecuația unei drepte „în segmente”. Numerele Ași b sunt valorile segmentelor pe care linia dreaptă le taie pe axele de coordonate. Această formă a ecuației este convenabilă pentru construcția geometrică a unei linii drepte.
- ecuația normală a unei linii drepte;
Аx + Вy + С = 0 este ecuația generală a unei drepte și (5) X cos α + y sin α – p = 0(7)
ecuația sa normală.
Deoarece ecuațiile (5) și (7) definesc aceeași linie dreaptă, atunci ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0și
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) coeficienții acestor ecuații sunt proporționali. Aceasta înseamnă că înmulțind toți termenii ecuației (5) cu un factor M, obținem ecuația MA x + MB y + MS = 0, care coincide cu ecuația (7) adică
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
Pentru a găsi factorul M, pătratăm primele două dintre aceste egalități și adăugăm:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1
(9)