1 qual ângulo é chamado de desdobrado? Ângulo reto e reto

O ângulo é a principal figura geométrica, que analisaremos ao longo de todo o tópico. Definições, métodos de fixação, notação e medição de ângulo. Vejamos os princípios de destaque de cantos em desenhos. Toda a teoria é ilustrada e possui um grande número de desenhos visuais.

Definição 1

Canto– uma figura simples e importante em geometria. O ângulo depende diretamente da definição de um raio, que por sua vez consiste nos conceitos básicos de ponto, linha reta e plano. Para um estudo aprofundado, você precisa se aprofundar nos tópicos linha reta em um avião - informações necessárias E avião - informações necessárias.

O conceito de ângulo começa com os conceitos de ponto, plano e linha reta representados neste plano.

Definição 2

Dada uma linha reta a no avião. Vamos denotar um certo ponto O nele. Uma linha reta é dividida por um ponto em duas partes, cada uma delas com um nome Raio, e ponto O – início do feixe.

Em outras palavras, o feixe ou meio reto - faz parte de uma linha composta por pontos de uma determinada linha localizados no mesmo lado em relação ao ponto inicial, ou seja, o ponto O.

A designação do feixe é permitida em duas variações: uma letra minúscula ou duas letras maiúsculas do alfabeto latino. Quando designada por duas letras, a viga possui um nome composto por duas letras. Vamos dar uma olhada no desenho.

Vamos passar ao conceito de determinação de um ângulo.

Definição 3

Cantoé uma figura localizada em um determinado plano, formada por dois raios divergentes que possuem origem comum. Lado do ânguloé um raio vértice– origem comum dos lados.

Há um caso em que os lados de um ângulo podem atuar como uma linha reta.

Definição 4

Quando ambos os lados de um ângulo estão localizados na mesma linha reta ou seus lados servem como meias-linhas adicionais de uma linha reta, então tal ângulo é chamado expandido.

A imagem abaixo mostra um canto girado.

Um ponto em uma linha reta é o vértice de um ângulo. Na maioria das vezes é designado pelo ponto O.

Um ângulo em matemática é denotado pelo sinal “∠”. Quando os lados de um ângulo são designados por letras latinas minúsculas, para determinar corretamente o ângulo, as letras são escritas em uma linha correspondente aos lados. Se dois lados são designados k e h, então o ângulo é designado ∠ k h ou ∠ h k.

Quando a designação está em letras maiúsculas, então, respectivamente, os lados do ângulo são denominados O A e O B. Neste caso, o ângulo tem um nome composto por três letras do alfabeto latino, escritas em sequência, no centro com um vértice - ∠ A O B e ∠ B O A. Existe uma designação em forma de números quando os ângulos não possuem nomes ou designações de letras. Abaixo está uma imagem onde os ângulos são indicados de diferentes maneiras.

Um ângulo divide um plano em duas partes. Se o ângulo não for girado, então uma parte do plano é chamada área do canto interno, o outro - área do canto externo. Abaixo está uma imagem explicando quais partes do avião são externas e quais são internas.

Quando dividido por um ângulo desenvolvido em um plano, qualquer uma de suas partes é considerada a região interna do ângulo desenvolvido.

A área interna do ângulo é um elemento que serve para a segunda definição do ângulo.

Definição 5

Ângulo chamada de figura geométrica que consiste em dois raios divergentes que têm uma origem comum e uma área de ângulo interno correspondente.

Esta definição é mais rigorosa que a anterior, pois tem mais condições. Não é aconselhável considerar ambas as definições separadamente, porque um ângulo é uma figura geométrica transformada por dois raios que emanam de um ponto. Quando é necessário realizar ações com ângulo, a definição significa a presença de dois raios com início comum e área interna.

Definição 6

Os dois ângulos são chamados adjacente, se houver um lado comum e os outros dois forem meias-linhas adicionais ou formarem um ângulo reto.

A figura mostra que os ângulos adjacentes se complementam, pois são uma continuação um do outro.

Definição 7

Os dois ângulos são chamados vertical, se os lados de um são meias-linhas complementares do outro ou são continuações dos lados do outro. A imagem abaixo mostra uma imagem de ângulos verticais.

Quando linhas retas se cruzam, são obtidos 4 pares de ângulos adjacentes e 2 pares de ângulos verticais. Abaixo é mostrado na imagem.

O artigo mostra as definições de ângulos iguais e desiguais. Vejamos qual ângulo é considerado maior, qual é menor e outras propriedades do ângulo. Duas figuras são consideradas iguais se, quando sobrepostas, coincidem completamente. A mesma propriedade se aplica à comparação de ângulos.

Dois ângulos são dados. É necessário concluir se esses ângulos são iguais ou não.

Sabe-se que há uma sobreposição dos vértices de dois ângulos e dos lados do primeiro ângulo com qualquer outro lado do segundo. Ou seja, se houver uma coincidência completa quando os ângulos se sobrepõem, os lados dos ângulos dados se alinharão completamente, os ângulos igual.

Pode ser que quando sobrepostos os lados não se alinhem, então os cantos desigual, menor do qual consiste em outro, e mais contém um ângulo completamente diferente. Abaixo estão ângulos desiguais que não foram alinhados quando sobrepostos.

Os ângulos retos são iguais.

A medição de ângulos começa medindo o lado do ângulo que está sendo medido e sua área interna, preenchendo-a com ângulos unitários e aplicando-os uns aos outros. É necessário contar o número de ângulos traçados, eles predeterminam a medida do ângulo medido.

A unidade angular pode ser expressa por qualquer ângulo mensurável. Existem unidades de medida geralmente aceitas que são usadas em ciência e tecnologia. Eles são especializados em outros títulos.

O conceito mais utilizado grau.

Definição 8

Um grau chamado de ângulo que tem centésima oitava parte de um ângulo reto.

A designação padrão para um grau é “°”, então um grau é 1°. Portanto, um ângulo reto consiste em 180 ângulos de um grau. Todos os cantos disponíveis estão bem encaixados uns nos outros e os lados do anterior estão alinhados com o próximo.

Sabe-se que o número de graus de um ângulo é a própria medida do ângulo. Um ângulo desdobrado possui 180 ângulos empilhados em sua composição. A figura abaixo mostra exemplos onde o ângulo é colocado 30 vezes, ou seja, um sexto do desdobrado, e 90 vezes, ou seja, metade.

Minutos e segundos são usados ​​para medir ângulos com precisão. Eles são usados ​​quando o valor do ângulo não é uma designação de grau inteiro. Essas frações de grau permitem cálculos mais precisos.

Definição 9

em um minuto chamado sexagésimo de grau.

Definição 10

Em um segundo chamado um sexagésimo de minuto.

Um grau contém 3600 segundos. Os minutos são designados como """ e os segundos são """. A designação ocorre:

1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,

e a designação para um ângulo de 17 graus, 3 minutos e 59 segundos é 17 ° 3 "59"".

Definição 11

Vamos dar um exemplo da designação da medida de grau de um ângulo igual a 17 ° 3 "59 "". A entrada tem outra forma: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Para medir ângulos com precisão, use um dispositivo de medição, como um transferidor. Ao denotar o ângulo ∠ A O B e sua medida de grau de 110 graus, uma notação mais conveniente é usada ∠ A O B = 110 °, que diz “O ângulo A O B é igual a 110 graus”.

Na geometria, uma medida de ângulo do intervalo (0, 180] é usada, e em trigonometria, uma medida de grau arbitrária é chamada ângulos de rotação. O valor dos ângulos é sempre expresso como um número real. Ângulo certo- Este é um ângulo de 90 graus. Canto afiado– um ângulo inferior a 90 graus, e cego- mais.

Um ângulo agudo é medido no intervalo (0, 90) e um ângulo obtuso - (90, 180). Três tipos de ângulos são claramente mostrados abaixo.

Qualquer medida de grau de qualquer ângulo tem o mesmo valor. Um ângulo maior tem uma medida de grau correspondentemente maior do que um ângulo menor. A medida de grau de um ângulo é a soma de todas as medidas de grau disponíveis de ângulos internos. Abaixo está uma figura que mostra o ângulo AOB, composto pelos ângulos AOC, COD e DOB. Em detalhes fica assim: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.

Com base nisso, podemos concluir que soma todos ângulos adjacentes são iguais a 180 graus, porque todos eles formam um ângulo reto.

Segue-se que qualquer ângulos verticais são iguais. Se considerarmos isso como exemplo, descobrimos que os ângulos A O B e C O D são verticais (no desenho), então os pares de ângulos A O B e B O C, C O D e B O C são considerados adjacentes. Neste caso, a igualdade ∠ A O B + ∠ B O C = 180° juntamente com ∠ C O D + ∠ B O C = 180° são consideradas exclusivamente verdadeiras. Portanto, temos que ∠ A O B = ∠ C O D . Abaixo está um exemplo de imagem e designação de capturas verticais.

Além de graus, minutos e segundos, é utilizada outra unidade de medida. É chamado radiano. Na maioria das vezes, pode ser encontrado na trigonometria ao denotar ângulos de polígonos. Como é chamado um radiano?

Definição 12

Um ângulo radiano chamado de ângulo central, que tem um raio de círculo igual ao comprimento do arco.

Na figura, o radiano é representado como um círculo, onde existe um centro, indicado por um ponto, com dois pontos do círculo conectados e transformados em raios O A e O B. Por definição, este triângulo A O B é equilátero, o que significa o comprimento do arco A B é igual aos comprimentos dos raios O B e O A.

A designação do ângulo é considerada “rad”. Ou seja, escrever 5 radianos é abreviado como 5 rad. Às vezes você pode encontrar uma notação chamada pi. Os radianos não dependem do comprimento de um determinado círculo, pois as figuras possuem uma certa limitação pelo ângulo e seu arco com centro localizado no vértice de determinado ângulo. Eles são considerados semelhantes.

Radianos têm o mesmo significado que graus, apenas a diferença está em sua magnitude. Para determinar isso, é necessário dividir o comprimento calculado do arco do ângulo central pelo comprimento do seu raio.

Na prática eles usam convertendo graus em radianos e radianos em graus para uma resolução de problemas mais conveniente. Este artigo contém informações sobre a conexão entre a medida de grau e o radiano, onde você pode estudar detalhadamente as conversões de graus para radianos e vice-versa.

Os desenhos são usados ​​para representar arcos e ângulos de forma visual e conveniente. Nem sempre é possível representar e marcar corretamente este ou aquele ângulo, arco ou nome. Ângulos iguais são designados pelo mesmo número de arcos e ângulos desiguais por um número diferente. O desenho mostra a designação correta de ângulos agudos, iguais e desiguais.

Quando mais de 3 cantos precisam ser marcados, são usados ​​símbolos de arco especiais, como ondulado ou irregular. Não é tão importante. Abaixo está uma imagem mostrando sua designação.

Os símbolos de ângulo devem ser mantidos simples para não interferir em outros significados. Na hora de resolver um problema, é recomendável destacar apenas os ângulos necessários à solução, para não sobrecarregar todo o desenho. Isso não interferirá na solução e prova, além de dar um aspecto estético ao desenho.

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Um ângulo é uma figura geométrica que consiste em dois raios diferentes que emanam de um ponto. Neste caso, esses raios são chamados de lados do ângulo. O ponto que é o início dos raios é chamado de vértice do ângulo. Na imagem você pode ver o ângulo com o vértice no ponto SOBRE, e as partes k E eu.

Nas laterais do ângulo estão marcados os pontos A e C. Este ângulo pode ser designado como ângulo AOC. No meio deve estar o nome do ponto onde está localizado o vértice do ângulo. Existem também outras designações, ângulo O ou ângulo km. Na geometria, em vez da palavra ângulo, geralmente é escrito um símbolo especial.

Ângulo desenvolvido e não expandido

Se ambos os lados de um ângulo estão na mesma linha reta, então tal ângulo é chamado expandidoângulo. Ou seja, um lado do ângulo é uma continuação do outro lado do ângulo. A figura abaixo mostra o ângulo expandido O.

Deve-se notar que qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Se o ângulo não for desdobrado, então uma das partes é chamada de região interna do ângulo e a outra é chamada de região externa desse ângulo. A figura abaixo mostra um ângulo não desenvolvido e marca as regiões externa e interna desse ângulo.

No caso de um ângulo desenvolvido, qualquer uma das duas partes em que divide o plano pode ser considerada a região externa do ângulo. Podemos falar sobre a posição de um ponto em relação a um ângulo. Um ponto pode estar fora do canto (na região externa), pode estar localizado em um de seus lados ou pode estar dentro do canto (na região interna).

Na figura abaixo, o ponto A está fora do ângulo O, o ponto B está em um lado do ângulo e o ponto C está dentro do ângulo.

Medindo ângulos

Para medir ângulos existe um dispositivo chamado transferidor. A unidade do ângulo é grau. Deve-se observar que cada ângulo possui uma determinada medida de grau, que é maior que zero.

Dependendo da medida do grau, os ângulos são divididos em vários grupos.

Este artigo discutirá uma das formas geométricas básicas - um ângulo. Após uma introdução geral a este conceito, focaremos em um tipo específico de tal figura. O ângulo reto é um conceito importante em geometria, que será o tema principal deste artigo.

Introdução ao ângulo geométrico

Na geometria existem vários objetos que constituem a base de toda ciência. O ângulo se refere a eles e é definido usando o conceito de raio, então vamos começar com ele.

Além disso, antes de começar a determinar o ângulo em si, você precisa se lembrar de vários objetos igualmente importantes na geometria - este é um ponto, uma linha reta em um plano e o próprio plano. Uma linha reta é a figura geométrica mais simples que não tem começo nem fim. Um plano é uma superfície que possui duas dimensões. Bem, um raio (ou semi-reta) em geometria é uma parte de uma reta que tem começo, mas não tem fim.

Usando esses conceitos, podemos afirmar que um ângulo é uma figura geométrica que se encontra inteiramente em um determinado plano e consiste em dois raios divergentes com uma origem comum. Esses raios são chamados de lados de um ângulo, e o início comum dos lados é seu vértice.

Tipos de ângulos e geometria

Sabemos que os ângulos podem ser completamente diferentes. Portanto, um pouco abaixo estará uma pequena classificação que o ajudará a entender melhor os tipos de ângulos e suas principais características. Portanto, existem vários tipos de ângulos na geometria:

1. Ângulo certo. É caracterizado por um valor de 90 graus, o que significa que seus lados são sempre perpendiculares entre si.
2. Canto afiado. Esses ângulos incluem todos os seus representantes com tamanho inferior a 90 graus.
3. Ângulo obtuso. Aqui pode haver todos os ângulos variando de 90 a 180 graus.
4. Canto desdobrado. Tem um tamanho estritamente de 180 graus e externamente seus lados formam uma linha reta.

O conceito de ângulo reto

Agora vamos examinar o ângulo girado com mais detalhes. Este é o caso quando ambos os lados estão na mesma linha reta, o que pode ser visto claramente na figura um pouco abaixo. Isto significa que podemos dizer com confiança que num ângulo invertido, um dos seus lados é essencialmente uma continuação do outro.

Vale lembrar que tal ângulo sempre pode ser dividido por meio de um raio que emerge de seu vértice. Como resultado, obtemos dois ângulos, que em geometria são chamados de adjacentes.

Além disso, o ângulo desdobrado possui vários recursos. Para falar sobre o primeiro deles, é preciso lembrar o conceito de “bissetriz do ângulo”. Lembre-se de que este é um raio que divide qualquer ângulo exatamente pela metade. Quanto ao ângulo desdobrado, sua bissetriz o divide de tal forma que se formam dois ângulos retos de 90 graus. Isto é muito fácil de calcular matematicamente: 180˚ (grau do ângulo girado): 2 = 90˚.

Se dividirmos um ângulo girado por um raio completamente arbitrário, sempre obteremos dois ângulos, um dos quais será agudo e o outro obtuso.

Propriedades de cantos girados

Será conveniente considerar este ângulo, reunindo todas as suas principais propriedades, que foi o que fizemos nesta lista:

1. Os lados do ângulo girado são antiparalelos e formam uma linha reta.
2. O ângulo girado é sempre 180˚.
3. Dois ângulos adjacentes juntos sempre formam um ângulo reto.
4. Um ângulo completo, que é 360˚, consiste em dois desdobrados e é igual à sua soma.
5. Metade de um ângulo reto é um ângulo reto.

Assim, conhecendo todas estas características deste tipo de ângulos, podemos utilizá-los para resolver uma série de problemas geométricos.

Problemas com ângulos girados

Para ver se você entendeu o conceito de ângulo reto, tente responder às seguintes perguntas.

1. Qual é o módulo de um ângulo reto se seus lados formam uma linha vertical?
2. Dois ângulos serão adjacentes se o primeiro for 72˚ e o outro for 118˚?
3. Se um ângulo completo consiste em dois ângulos inversos, quantos ângulos retos ele possui?
4. Um ângulo reto é dividido por um raio em dois ângulos tais que suas medidas de grau estejam na proporção de 1:4. Calcule os ângulos resultantes.

Soluções e respostas:

1. Não importa como o ângulo girado esteja localizado, ele é sempre, por definição, igual a 180˚.
2. Ângulos adjacentes têm um lado em comum. Portanto, para calcular o tamanho do ângulo que eles formam juntos, basta somar o valor de suas medidas de grau. Isto significa 72 +118 = 190. Mas, por definição, um ângulo invertido é 180˚, o que significa que dois ângulos dados não podem ser adjacentes.
3. Um ângulo reto contém dois ângulos retos. E como o completo tem dois desdobrados, significa que serão 4 retas.
4. Se chamarmos os ângulos desejados de aeb, então seja x o coeficiente de proporcionalidade para eles, o que significa que a=x e, portanto, b=4x. O ângulo girado em graus é 180˚. E de acordo com suas propriedades de que a medida de grau de um ângulo é sempre igual à soma das medidas de grau daqueles ângulos em que é dividido por qualquer raio arbitrário que passa entre seus lados, podemos concluir que x + 4x = 180˚ , o que significa 5x = 180˚ . A partir daqui encontramos: x = a = 36˚ e b = 4x = 144˚. Resposta: 36˚ e 144˚.

Se você foi capaz de responder a todas essas perguntas sem avisos e sem espiar as respostas, então você está pronto para passar para a próxima lição de geometria.

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