Pola figur objętościowych. Jak obliczyć i oznaczyć powierzchnię

Aby rozwiązać problemy z geometrią, musisz znać wzory - takie jak pole trójkąta lub pole równoległoboku - a także proste techniki, które omówimy.

Najpierw nauczmy się wzorów na pola figur. Specjalnie zebraliśmy je w wygodnym stoliku. Drukuj, ucz się i aplikuj!

Oczywiście nie wszystkie wzory geometrii znajdują się w naszej tabeli. Na przykład, aby rozwiązać problemy z geometrii i stereometrii w drugiej części profilu Unified State Exam z matematyki, stosuje się inne wzory na pole trójkąta. Na pewno o nich opowiemy.

Ale co, jeśli chcesz znaleźć nie obszar trapezu lub trójkąta, ale obszar jakiejś złożonej figury? Istnieją uniwersalne sposoby! Pokażemy je na przykładach z banku zadań FIPI.

1. Jak znaleźć obszar niestandardowej figury? Na przykład dowolny czworokąt? Prosta technika - podzielmy tę figurę na te, o których wiemy wszystko i znajdźmy jej pole - jako sumę pól tych figur.

Podziel ten czworokąt linią poziomą na dwa trójkąty o wspólnej podstawie równej . Wysokości tych trójkątów są równe I . Następnie pole czworoboku jest równe sumie pól dwóch trójkątów: .

Odpowiedź: .

2. W niektórych przypadkach obszar figury można przedstawić jako różnicę niektórych obszarów.

Nie jest łatwo obliczyć, ile wynosi podstawa i wysokość tego trójkąta! Ale możemy powiedzieć, że jego powierzchnia jest równa różnicy między polami kwadratu o boku i trzech trójkątów prostokątnych. Czy widzisz je na zdjęciu? Otrzymujemy: .

Odpowiedź: .

3. Czasami w zadaniu trzeba znaleźć obszar nie całej figury, ale jej część. Zwykle mówimy o obszarze sektora - części koła. Znajdź obszar sektora koła o promieniu, którego długość łuku jest równa .

Na tym zdjęciu widzimy część koła. Pole całego koła jest równe. Pozostaje dowiedzieć się, która część koła jest przedstawiona. Ponieważ długość całego okręgu jest równa (od ) i długość łuku danego sektora jest równa dlatego długość łuku jest kilkakrotnie mniejsza niż długość całego koła. Kąt, pod którym spoczywa ten łuk, jest również czynnikiem mniejszym niż pełne koło (to znaczy stopni). Oznacza to, że powierzchnia sektora będzie kilkakrotnie mniejsza niż powierzchnia całego koła.

Formuła powierzchniowa konieczne jest wyznaczenie pola figury, będącej funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną na pewnej klasie figur płaszczyzny euklidesowej i spełniającą 4 warunki:

  1. Pozytywność — pole nie może być mniejsze od zera;
  2. Normalizacja - kwadrat z jednostką boczną ma pole 1;
  3. Kongruencja - figury przystające mają równe pole;
  4. Addytywność - obszar związku 2 figur bez wspólnych punktów wewnętrznych jest równy sumie pól tych figur.
Wzory na pole figur geometrycznych.
Figura geometryczna Formuła Rysunek

Wynik dodania odległości między środkami przeciwległych boków czworoboku wypukłego będzie równy jego półobwodowi.

Sektor koła.

Pole sektora koła jest równe iloczynowi jego łuku i połowy jego promienia.

Odcinek koła.

Aby otrzymać pole odcinka ASB wystarczy od pola odcinka AOB odjąć pole trójkąta AOB.

S = 1 / 2 R(s - AC)

Pole elipsy jest równe iloczynowi długości większej i mniejszej półosi elipsy oraz liczby pi.

Elipsa.

Inną opcją obliczania powierzchni elipsy są dwa jej promienie.

Trójkąt. Przez podstawę i wysokość.

Wzór na pole koła na podstawie jego promienia i średnicy.

Kwadrat . Przez jego stronę.

Pole kwadratu jest równe kwadratowi długości jego boku.

Kwadrat. Przez jego przekątne.

Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości jego przekątnej.

Regularny wielokąt.

Aby określić obszar wielokąta foremnego, należy podzielić go na równe trójkąty, które miałyby wspólny wierzchołek w środku okręgu wpisanego.

S= r p = 1/2 r n za

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
  • Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

  • Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Jeśli planujesz przeprowadzić remont samodzielnie, konieczne będzie dokonanie wyceny materiałów budowlanych i wykończeniowych. Aby to zrobić, musisz obliczyć powierzchnię pomieszczenia, w którym planujesz przeprowadzić prace remontowe. Głównym asystentem jest w tym specjalnie opracowana formuła. Powierzchnia pokoju, a mianowicie jej obliczenie, pozwoli zaoszczędzić dużo pieniędzy na materiałach budowlanych i skierować uwolnione środki finansowe w bardziej odpowiednim kierunku.

Geometryczny kształt pokoju

Wzór na obliczenie powierzchni pomieszczenia zależy bezpośrednio od jego kształtu. Najbardziej typowe dla budynków mieszkalnych są pokoje prostokątne i kwadratowe. Jednak podczas przebudowy standardowa forma może zostać zniekształcona. Pokoje to:

  • Prostokątny.
  • Kwadrat.
  • Złożona konfiguracja (na przykład okrągła).
  • Z niszami i występami.

Każdy z nich ma swoje własne funkcje obliczeniowe, ale z reguły stosowana jest ta sama formuła. Można obliczyć powierzchnię pomieszczenia o dowolnym kształcie i rozmiarze, w ten czy inny sposób.

Pokój prostokątny lub kwadratowy

Aby obliczyć powierzchnię prostokątnego lub kwadratowego pokoju, pamiętaj tylko o szkolnych lekcjach geometrii. Dlatego określenie powierzchni pokoju nie powinno być trudne. Wzór obliczeniowy wygląda następująco:

S pokoi=A*B, gdzie

A to długość pokoju.

B to szerokość pomieszczenia.

Aby zmierzyć te wartości, będziesz potrzebować zwykłej miarki. Aby uzyskać jak najdokładniejsze obliczenia, warto zmierzyć ścianę po obu stronach. Jeśli wartości się nie zgadzają, jako podstawę należy przyjąć średnią z uzyskanych danych. Pamiętaj jednak, że wszelkie obliczenia mają swoje własne błędy, dlatego materiał należy kupować z rezerwą.

Pokój o złożonej konfiguracji

Jeżeli Twój pokój nie mieści się w definicji „typowego”, tj. ma kształt koła, trójkąta, wielokąta, wówczas do obliczeń może być potrzebny inny wzór. Możesz spróbować z grubsza podzielić powierzchnię pomieszczenia o tej charakterystyce na elementy prostokątne i wykonać obliczenia metodą standardową. Jeśli nie masz takiej możliwości, skorzystaj z następujących metod:

  • Wzór na znalezienie obszaru koła:

S pokój=π*R 2, gdzie

R jest promieniem pomieszczenia.

  • Wzór na znalezienie pola trójkąta:

S pokój = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), gdzie

P jest półobwodem trójkąta.

A, B, C to długości jego boków.

Zatem P=A+B+C/2

Jeśli masz jakiekolwiek trudności podczas procesu obliczeń, lepiej nie torturować się i zwrócić się do profesjonalistów.

Powierzchnia pokoju z występami i niszami

Często ściany zdobią elementy dekoracyjne w postaci różnych wnęk lub występów. Ich obecność może wynikać także z konieczności ukrycia nieestetycznych elementów pomieszczenia. Obecność półek lub wnęk na ścianie oznacza, że ​​obliczenia należy przeprowadzać etapami. Te. Najpierw znajduje się obszar płaskiego odcinka ściany, a następnie dodaje się do niego obszar niszy lub występu.

Powierzchnię ściany oblicza się ze wzoru:

S ściany = P x C, gdzie

P - obwód

C - wysokość

Należy również wziąć pod uwagę obecność okien i drzwi. Od otrzymanej wartości należy odjąć ich powierzchnię.

Pokój z wielopoziomowym sufitem

Sufit wielopoziomowy nie komplikuje obliczeń tak bardzo, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Jeśli ma prostą konstrukcję, obliczenia można wykonać w oparciu o zasadę znajdowania powierzchni ścian skomplikowanych niszami i występami.

Jeśli jednak projekt sufitu zawiera elementy łukowe i przypominające fale, bardziej odpowiednie jest określenie jego powierzchni na podstawie powierzchni podłogi. Aby to zrobić, potrzebujesz:

  1. Znajdź wymiary wszystkich prostych odcinków ścian.
  2. Znajdź powierzchnię podłogi.
  3. Pomnóż długość i wysokość odcinków pionowych.
  4. Zsumuj wynikową wartość z powierzchnią podłogi.

Instrukcje krok po kroku dotyczące określania ogólnego

powierzchnia pokoju

  1. Oczyść pokój ze zbędnych rzeczy. Podczas pomiaru będziesz potrzebować swobodnego dostępu do wszystkich obszarów swojego pomieszczenia, dlatego musisz pozbyć się wszystkiego, co mogłoby w tym przeszkadzać.
  2. Wizualnie podziel pokój na obszary o regularnych i nieregularnych kształtach. Jeśli Twój pokój ma ściśle kwadratowy lub prostokątny kształt, możesz pominąć ten krok.
  3. Zrób losowy układ pokoju. Ten rysunek jest potrzebny, aby wszystkie dane były zawsze pod ręką. Ponadto nie da ci to możliwości pomylenia się w wielu pomiarach.
  4. Pomiarów należy dokonać kilka razy. Jest to ważna zasada, która pozwala uniknąć błędów w obliczeniach. Ponadto, jeśli go używasz, upewnij się, że belka leży płasko na powierzchni ściany.
  5. Znajdź całkowitą powierzchnię pokoju. Wzór na całkowitą powierzchnię pokoju polega na znalezieniu sumy wszystkich powierzchni poszczególnych części pokoju. Te. S ogółem = S ściany + S podłoga + S sufit

Pole figury geometrycznej- numeryczna charakterystyka figury geometrycznej pokazująca wielkość tej figury (część powierzchni ograniczona zamkniętym konturem tej figury). Wielkość obszaru wyraża się liczbą zawartych w nim jednostek kwadratowych.

Wzory na pole trójkąta

  1. Wzór na pole trójkąta na bok i wysokość
    Pole trójkąta równa połowie iloczynu długości boku trójkąta i długości wysokości poprowadzonej na ten bok
  2. Wzór na pole trójkąta oparty na trzech bokach i promieniu okręgu opisanego
  3. Wzór na pole trójkąta oparty na trzech bokach i promieniu okręgu wpisanego
    Pole trójkąta jest równy iloczynowi półobwodu trójkąta i promienia okręgu wpisanego.
    4. gdzie S jest polem trójkąta,
    - długości boków trójkąta,
    - wysokość trójkąta,
    - kąt między bokami i,
    - promień okręgu wpisanego,
    R - promień opisanego okręgu,

Wzory na pole kwadratu

  1. Wzór na pole kwadratu według długości boku
    Powierzchnia kwadratowa równy kwadratowi długości jego boku.
  2. Wzór na pole kwadratu wzdłuż przekątnej
    Powierzchnia kwadratowa równy połowie kwadratu długości jego przekątnej.
    S=1 2
    2
    3. gdzie S jest polem kwadratu,
    - długość boku kwadratu,
    - długość przekątnej kwadratu.

Wzór na pole prostokąta

    Pole prostokąta równy iloczynowi długości dwóch sąsiednich boków

    gdzie S jest polem prostokąta,
    - długości boków prostokąta.

Wzory na pole równoległoboku

  1. Wzór na pole równoległoboku na podstawie długości boku i wysokości
    Obszar równoległoboku
  2. Wzór na pole równoległoboku oparty na dwóch bokach i kącie między nimi
    Obszar równoległoboku jest równy iloczynowi długości jego boków pomnożonemu przez sinus kąta między nimi.

    a b grzech α

    3. gdzie S jest obszarem równoległoboku,
    - długości boków równoległoboku,
    - długość wysokości równoległoboku,
    - kąt między bokami równoległoboku.

Wzory na pole rombu

  1. Wzór na pole rombu na podstawie długości boku i wysokości
    Powierzchnia rombu równy iloczynowi długości jego boku i długości wysokości obniżonej na ten bok.
  2. Wzór na pole rombu na podstawie długości boku i kąta
    Powierzchnia rombu jest równy iloczynowi kwadratu długości jego boku i sinusa kąta między bokami rombu.
  3. Wzór na pole rombu na podstawie długości jego przekątnych
    Powierzchnia rombu równy połowie iloczynu długości jego przekątnych.
    4. gdzie S jest polem rombu,
    - długość boku rombu,
    - długość wysokości rombu,
    - kąt między bokami rombu,
    1, 2 - długości przekątnych.

Wzory na pole trapezu

  1. Wzór Herona na trapez

    Gdzie S jest obszarem trapezu,
    - długości podstaw trapezu,
    - długości boków trapezu,