1 który kąt nazywa się rozłożonym? Prosty i prosty kąt

Kąt jest główną figurą geometryczną, którą będziemy analizować w całym temacie. Definicje, metody wyznaczania, oznaczanie i pomiar kąta. Przyjrzyjmy się zasadom podkreślania narożników na rysunkach. Cała teoria jest ilustrowana i posiada dużą liczbę rysunków poglądowych.

Definicja 1

Narożnik– prosta ważna figura w geometrii. Kąt zależy bezpośrednio od definicji promienia, która z kolei składa się z podstawowych pojęć punktu, linii prostej i płaszczyzny. Aby uzyskać dokładne przestudiowanie, musisz zagłębić się w tematy linia prosta na płaszczyźnie - niezbędne informacje I samolot - niezbędne informacje.

Pojęcie kąta zaczyna się od pojęć punktu, płaszczyzny i linii prostej przedstawionych na tej płaszczyźnie.

Definicja 2

Biorąc pod uwagę linię prostą a na płaszczyźnie. Oznaczmy na nim pewien punkt O. Linia prosta jest podzielona punktem na dwie części, z których każda ma nazwę Promień i punkt O – początek belki.

Innymi słowy, wiązka lub półprosty – jest to część linii składająca się z punktów danej linii znajdujących się po tej samej stronie w stosunku do punktu początkowego, czyli punktu O.

Oznaczenie belki jest dozwolone w dwóch odmianach: jedna mała lub dwie wielkie litery alfabetu łacińskiego. Belka oznaczona dwiema literami ma nazwę składającą się z dwóch liter. Przyjrzyjmy się bliżej rysunkowi.

Przejdźmy do koncepcji określania kąta.

Definicja 3

Narożnik to figura znajdująca się na danej płaszczyźnie, utworzona przez dwa rozbieżne promienie, które mają wspólny początek. Strona kątowa jest promieniem wierzchołek– wspólne pochodzenie boków.

Zdarza się, że boki kąta mogą działać jak linia prosta.

Definicja 4

Jeżeli obie strony kąta leżą na tej samej prostej lub jego boki służą jako dodatkowe półproste jednej prostej, wówczas taki kąt nazywa się rozszerzony.

Poniższe zdjęcie przedstawia obrócony narożnik.

Punkt na prostej jest wierzchołkiem kąta. Najczęściej jest on wyznaczony przez punkt O.

Kąt w matematyce oznacza się znakiem „∠”. Kiedy boki kąta są oznaczone małymi literami łacińskimi, to aby poprawnie określić kąt, litery są pisane w rzędzie odpowiadającym bokom. Jeśli dwa boki są oznaczone k i h, wówczas kąt jest oznaczony ∠ k h lub ∠ h k.

Gdy oznaczenie jest pisane wielkimi literami, wówczas boki kąta nazywane są odpowiednio O A i O B. W tym przypadku kąt ma nazwę złożoną z trzech liter alfabetu łacińskiego, zapisanych w rzędzie, pośrodku z wierzchołkiem - ∠ A O B i ∠ B O A. Oznaczenie w postaci liczb występuje, gdy kąty nie mają nazw ani oznaczeń literowych. Poniżej znajduje się rysunek, na którym kąty są zaznaczone na różne sposoby.

Kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Jeżeli kąt nie zostanie obrócony, wówczas nazywana jest jedna część płaszczyzny obszar narożnika wewnętrznego, inny - zewnętrzny obszar narożnika. Poniżej znajduje się obraz wyjaśniający, które części samolotu są zewnętrzne, a które wewnętrzne.

Dzieląc przez kąt rozwinięty na płaszczyźnie, dowolną jej część uważa się za obszar wewnętrzny rozwiniętego kąta.

Wewnętrzna powierzchnia kąta jest elementem służącym do drugiej definicji kąta.

Definicja 5

Kąt nazywana figurą geometryczną składającą się z dwóch rozbieżnych promieni, które mają wspólny początek i odpowiadającą im powierzchnię kąta wewnętrznego.

Ta definicja jest bardziej rygorystyczna niż poprzednia, ponieważ zawiera więcej warunków. Nie zaleca się rozpatrywania obu definicji osobno, gdyż kąt jest figurą geometryczną przekształconą za pomocą dwóch promieni wychodzących z jednego punktu. Kiedy konieczne jest wykonanie działań pod kątem, definicja oznacza obecność dwóch promieni o wspólnym początku i obszarze wewnętrznym.

Definicja 6

Nazywa się dwa kąty przylegający, jeśli istnieje wspólny bok, a pozostałe dwie są dodatkowymi półprostymi lub tworzą kąt prosty.

Rysunek pokazuje, że sąsiednie kąty uzupełniają się, ponieważ są wzajemną kontynuacją.

Definicja 7

Nazywa się dwa kąty pionowy, jeśli boki jednego są uzupełniającymi się półliniami drugiego lub są kontynuacją boków drugiego. Poniższy rysunek przedstawia obraz kątów pionowych.

Gdy linie proste się przecinają, uzyskuje się 4 pary sąsiadujących i 2 pary kątów pionowych. Poniżej pokazano na zdjęciu.

W artykule przedstawiono definicje kątów równych i nierównych. Przyjrzyjmy się, który kąt jest uważany za większy, który za mniejszy, i inne właściwości kąta. Dwie liczby uważa się za równe, jeśli po nałożeniu całkowicie się pokrywają. Ta sama właściwość dotyczy porównywania kątów.

Dane są dwa kąty. Należy dojść do wniosku, czy kąty te są równe, czy nie.

Wiadomo, że wierzchołki dwóch kątów i boki pierwszego kąta pokrywają się z dowolnym innym bokiem drugiego. Oznacza to, że jeśli zachodzi zupełna zbieżność nałożenia kątów, boki danych kątów zostaną całkowicie wyrównane, kąty równy.

Może się zdarzyć, że po nałożeniu boki nie będą się zbiegać, a następnie rogi nierówne, mniejsze z których składa się z innego, i więcej zawiera zupełnie inny kąt. Poniżej znajdują się nierówne kąty, które nie zostały wyrównane po nałożeniu.

Kąty proste są równe.

Pomiar kątów rozpoczyna się od zmierzenia boku mierzonego kąta i jego pola wewnętrznego, wypełnienia go kątami jednostkowymi i przyłożenia ich do siebie. Konieczne jest policzenie liczby ułożonych kątów, określają one z góry miarę mierzonego kąta.

Jednostkę kąta można wyrazić za pomocą dowolnego mierzalnego kąta. Istnieją ogólnie przyjęte jednostki miary stosowane w nauce i technologii. Specjalizują się w innych tytułach.

Najczęściej używane pojęcie stopień.

Definicja 8

Jeden stopień nazywany kątem, który ma sto osiemdziesiątą część kąta prostego.

Standardowe oznaczenie stopnia to „°”, wówczas jeden stopień to 1°. Dlatego kąt prosty składa się ze 180 takich kątów o jednym stopniu. Wszystkie dostępne narożniki są ściśle do siebie przylegające, a boki poprzedniego zbiegają się z następnym.

Wiadomo, że miara kąta jest liczbą stopni kąta. Kąt rozłożony ma w swoim składzie 180 kątów skumulowanych. Poniższy rysunek pokazuje przykłady, w których kąt jest ułożony 30 razy, czyli jedną szóstą rozłożonego, i 90 razy, czyli połowę.

Minuty i sekundy służą do dokładnego pomiaru kątów. Stosuje się je, gdy wartość kąta nie jest oznaczeniem pełnego stopnia. Te ułamki stopnia pozwalają na dokładniejsze obliczenia.

Definicja 9

w minutę nazywana jedną sześćdziesiątą stopnia.

Definicja 10

Za sekundę nazywana jedną sześćdziesiątą minuty.

Stopień zawiera 3600 sekund. Minuty oznacza się „””, a sekundy „”. Wyznaczanie następuje:

1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,

a oznaczenie dla kąta 17 stopni 3 minut i 59 sekund to 17°3 „59””.

Definicja 11

Podajmy przykład oznaczenia miary stopnia kąta równego 17 ° 3 „59”. Wpis ma inną postać: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Aby dokładnie zmierzyć kąty, użyj urządzenia pomiarowego, takiego jak kątomierz. Przy oznaczaniu kąta ∠ A O B i jego miary stopnia wynoszącej 110 stopni stosuje się wygodniejszą notację ∠ A O B = 110 °, która brzmi: „Kąt A O B jest równy 110 stopni”.

W geometrii stosuje się miarę kąta z przedziału (0, 180], a w trygonometrii miarę dowolnego stopnia nazywa się kąty obrotu. Wartość kątów wyrażana jest zawsze jako liczba rzeczywista. Prosty kąt- To jest kąt, który ma 90 stopni. Ostry róg– kąt mniejszy niż 90 stopni, oraz tępy- więcej.

Kąt ostry mierzy się w przedziale (0, 90), a kąt rozwarty - (90, 180). Poniżej wyraźnie pokazano trzy rodzaje kątów.

Dowolna miara stopnia dowolnego kąta ma tę samą wartość. Większy kąt ma odpowiednio większą miarę stopnia niż mniejszy. Miara stopnia jednego kąta jest sumą wszystkich dostępnych miar stopnia kątów wewnętrznych. Poniżej znajduje się rysunek przedstawiający kąt AOB, składający się z kątów AOC, COD i DOB. Szczegółowo wygląda to tak: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.

Na tej podstawie możemy to stwierdzić suma wszyscy sąsiednie kąty są równe 180 stopni, ponieważ wszystkie tworzą kąt prosty.

Wynika z tego, że jakikolwiek kąty pionowe są równe. Jeśli rozważymy to jako przykład, okaże się, że kąty A O B i C O D są pionowe (na rysunku), wówczas pary kątów A O B i B O C, C O D i B O C uważa się za sąsiadujące. W tym przypadku równość ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° wraz z ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° uważa się za jednoznacznie prawdziwą. Stąd mamy, że ∠ A O B = ∠ do O D . Poniżej przykładowy obraz i oznaczenie zaczepów pionowych.

Oprócz stopni, minut i sekund używana jest inna jednostka miary. Nazywa się to radian. Najczęściej można go znaleźć w trygonometrii przy oznaczaniu kątów wielokątów. Jak nazywa się radian?

Definicja 12

Jeden kąt radianowy zwany kątem środkowym, który ma promień okręgu równy długości łuku.

Na rysunku radian jest przedstawiony jako okrąg, którego środek jest oznaczony kropką, a dwa punkty na okręgu są połączone i przekształcone w promienie O A i O B. Z definicji ten trójkąt A O B jest równoboczny, co oznacza długość łuku A B jest równa długościom promieni O B i O A.

Przyjmuje się, że oznaczenie kąta to „rad”. Oznacza to, że zapisanie 5 radianów jest skracane jako 5 rad. Czasami można znaleźć zapis zwany pi. Radiany nie zależą od długości danego okręgu, ponieważ figury mają pewne ograniczenie przez kąt i jego łuk, którego środek znajduje się w wierzchołku danego kąta. Uważa się je za podobne.

Radiany mają to samo znaczenie co stopnie, różnica polega jedynie na ich wielkości. Aby to ustalić, należy podzielić obliczoną długość łuku kąta środkowego przez długość jego promienia.

W praktyce stosują przeliczanie stopni na radiany i radianów na stopnie dla wygodniejszego rozwiązywania problemów. W tym artykule znajdują się informacje na temat związku między miarą stopni a radianami, w którym można szczegółowo przestudiować konwersję stopni na radiany i odwrotnie.

Rysunki służą do wizualnego i wygodnego przedstawiania łuków i kątów. Nie zawsze możliwe jest prawidłowe zobrazowanie i oznaczenie tego lub innego kąta, łuku lub nazwy. Kąty równe są oznaczone tą samą liczbą łuków, a kąty nierówne inną liczbą. Rysunek pokazuje prawidłowe oznaczenie kątów ostrych, równych i nierównych.

Gdy konieczne jest oznaczenie więcej niż 3 narożników, stosuje się specjalne symbole łuków, takie jak faliste lub postrzępione. To nie jest takie ważne. Poniżej zdjęcie przedstawiające ich oznaczenie.

Symbole kątów powinny być proste, aby nie zakłócać innych znaczeń. Rozwiązując problem, zaleca się wyróżnienie tylko kątów niezbędnych do rozwiązania, aby nie zaśmiecać całego rysunku. Nie będzie to kolidować z rozwiązaniem i dowodem, a także nada rysunkowi estetyczny wygląd.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Kąt to figura geometryczna składająca się z dwóch różnych promieni wychodzących z jednego punktu. W tym przypadku promienie te nazywane są bokami kąta. Punkt będący początkiem promieni nazywa się wierzchołkiem kąta. Na zdjęciu widać kąt z wierzchołkiem w punkcie O i strony k I M.

Na bokach kąta zaznaczono punkty A i C. Kąt ten można oznaczyć jako kąt AOC. W środku musi znajdować się nazwa punktu, w którym znajduje się wierzchołek kąta. Istnieją również inne oznaczenia, kąt O lub kąt km. W geometrii zamiast słowa kąt często zapisywany jest specjalny symbol.

Kąt rozwinięty i nierozszerzony

Jeżeli obie strony kąta leżą na tej samej prostej, wówczas taki kąt nazywamy rozszerzony kąt. Oznacza to, że jedna strona kąta jest kontynuacją drugiej strony kąta. Poniższy rysunek przedstawia kąt rozszerzony O.

Należy zauważyć, że dowolny kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Jeżeli kąt nie jest rozłożony, wówczas jedna z części nazywana jest obszarem wewnętrznym kąta, a druga obszarem zewnętrznym tego kąta. Poniższy rysunek przedstawia kąt nierozwinięty i zaznacza zewnętrzne i wewnętrzne obszary tego kąta.

W przypadku kąta rozwiniętego za zewnętrzny obszar kąta można uznać dowolną z dwóch części, na które dzieli on płaszczyznę. Możemy mówić o położeniu punktu względem kąta. Punkt może leżeć na zewnątrz narożnika (w obszarze zewnętrznym), może znajdować się po jednym z jego boków lub może leżeć wewnątrz narożnika (w obszarze wewnętrznym).

Na poniższym rysunku punkt A leży na zewnątrz kąta O, punkt B leży po jednej stronie kąta, a punkt C leży wewnątrz kąta.

Pomiar kątów

Do pomiaru kątów służy urządzenie zwane kątomierzem. Jednostką kąta jest stopień. Należy zauważyć, że każdy kąt ma pewną miarę stopnia, która jest większa od zera.

W zależności od miary stopnia kąty dzielą się na kilka grup.

W tym artykule omówimy jeden z podstawowych kształtów geometrycznych - kąt. Po ogólnym wprowadzeniu do tej koncepcji skupimy się na konkretnym typie takiej figury. Kąt prosty to ważne pojęcie w geometrii, które będzie głównym tematem tego artykułu.

Wprowadzenie do kąta geometrycznego

W geometrii istnieje wiele obiektów, które stanowią podstawę całej nauki. Kąt odnosi się do nich i jest definiowany za pomocą pojęcia promienia, więc zacznijmy od niego.

Ponadto zanim zaczniesz określać sam kąt, musisz pamiętać o kilku równie ważnych obiektach w geometrii - jest to punkt, linia prosta na płaszczyźnie i sama płaszczyzna. Linia prosta to najprostsza figura geometryczna, która nie ma początku ani końca. Płaszczyzna to powierzchnia, która ma dwa wymiary. Cóż, półprosta w geometrii jest częścią linii, która ma początek, ale nie ma końca.

Korzystając z tych pojęć, możemy stwierdzić, że kąt jest figurą geometryczną leżącą całkowicie w określonej płaszczyźnie i składającą się z dwóch rozbieżnych promieni o wspólnym początku. Takie półproste nazywane są bokami kąta, a wspólnym początkiem boków jest jego wierzchołek.

Rodzaje kątów i geometria

Wiemy, że kąty mogą być zupełnie inne. Dlatego nieco poniżej będzie mała klasyfikacja, która pomoże Ci lepiej zrozumieć rodzaje kątów i ich główne cechy. Tak więc istnieje kilka rodzajów kątów w geometrii:

1. Prosty kąt. Charakteryzuje się wartością 90 stopni, co oznacza, że ​​jego boki są zawsze do siebie prostopadłe.
2. Ostry róg. Kąty te obejmują wszystkich ich przedstawicieli o rozmiarze mniejszym niż 90 stopni.
3. Kąt rozwarty. Tutaj mogą występować wszystkie kąty w zakresie od 90 do 180 stopni.
4. Rozłożony narożnik. Ma rozmiar ściśle 180 stopni, a na zewnątrz jego boki tworzą jedną linię prostą.

Pojęcie kąta prostego

Przyjrzyjmy się teraz bardziej szczegółowo kątowi obrotu. Dzieje się tak w przypadku, gdy obie strony leżą na tej samej linii prostej, co wyraźnie widać na rysunku nieco niżej. Oznacza to, że możemy śmiało powiedzieć, że pod odwróconym kątem jeden z jego boków jest w istocie kontynuacją drugiego.

Warto pamiętać, że taki kąt zawsze można podzielić za pomocą promienia wychodzącego z jego wierzchołka. W rezultacie otrzymujemy dwa kąty, które w geometrii nazywane są sąsiadującymi.

Rozłożony kąt ma także kilka cech. Aby porozmawiać o pierwszym z nich, trzeba pamiętać o pojęciu „dwusiecznej kąta”. Przypomnijmy, że jest to półprosta, która dzieli dowolny kąt dokładnie na pół. Jeśli chodzi o kąt rozłożony, jego dwusieczna dzieli go w taki sposób, że powstają dwa kąty proste po 90 stopni. Bardzo łatwo to obliczyć matematycznie: 180˚ (stopień kąta obrotu): 2 = 90˚.

Jeśli podzielimy obrócony kąt przez całkowicie dowolny promień, wówczas w rezultacie zawsze otrzymamy dwa kąty, z których jeden będzie ostry, a drugi rozwarty.

Właściwości obróconych narożników

Wygodnie będzie rozważyć ten kąt, łącząc wszystkie jego główne właściwości, co zrobiliśmy na tej liście:

1. Boki obróconego kąta są antyrównoległe i tworzą linię prostą.
2. Kąt obrotu wynosi zawsze 180˚.
3. Dwa sąsiednie kąty razem zawsze tworzą kąt prosty.
4. Kąt pełny, czyli 360˚, składa się z dwóch kątów rozłożonych i jest równy ich sumie.
5. Połowa kąta prostego jest kątem prostym.

Znając wszystkie te cechy tego typu kątów, możemy je wykorzystać do rozwiązania szeregu problemów geometrycznych.

Problemy z obróconymi kątami

Aby sprawdzić, czy zrozumiałeś pojęcie kąta prostego, spróbuj odpowiedzieć na kilka poniższych pytań.

1. Jaka jest wielkość kąta prostego, jeśli jego boki tworzą linię pionową?
2. Czy dwa kąty będą sąsiadować ze sobą, jeśli pierwszy ma miarę 72°, a drugi 118°?
3. Jeśli pełny kąt składa się z dwóch kątów odwrotnych, to ile ma kątów prostych?
4. Kąt prosty dzieli się za pomocą półprostej na dwa kąty w taki sposób, że ich miary stopnia są w stosunku 1:4. Oblicz powstałe kąty.

Rozwiązania i odpowiedzi:

1. Niezależnie od położenia obróconego kąta, z definicji jest on zawsze równy 180˚.
2. Kąty sąsiednie mają jeden bok wspólny. Dlatego, aby obliczyć wielkość kąta, jaki tworzą razem, wystarczy dodać wartość ich miar stopnia. Oznacza to 72 +118 = 190. Jednak z definicji kąt odwrócony wynosi 180˚, co oznacza, że ​​dwa podane kąty nie mogą sąsiadować ze sobą.
3. Kąt prosty zawiera dwa kąty proste. A skoro kompletny ma dwie rozłożone, to znaczy, że będą 4 linie proste.
4. Jeśli żądane kąty nazwiemy aib, to niech x będzie dla nich współczynnikiem proporcjonalności, co oznacza, że ​​a=x, a zatem b=4x. Kąt obrotu w stopniach wynosi 180˚. I zgodnie z jego właściwością, że miara stopnia kąta jest zawsze równa sumie miar stopnia kątów, na które jest on podzielony przez dowolny promień przechodzący między jego bokami, możemy stwierdzić, że x + 4x = 180˚ , co oznacza 5x = 180˚. Stąd znajdujemy: x = a = 36˚ i b = 4x = 144˚. Odpowiedź: 36˚ i 144˚.

Jeśli byłeś w stanie odpowiedzieć na wszystkie te pytania bez podpowiedzi i bez zaglądania do odpowiedzi, możesz przejść do następnej lekcji geometrii.

„Podstawowe pojęcia geometrii” - Test równości trójkąta. Segmenty. Geometria. Kąty sąsiadujące i pionowe. Budowa prostych równoległych. Budowa trójkąta. Wnioski. Linie są równoległe. Szczyty. Najprostsze kształty geometryczne. Jaką figurę nazywa się trójkątem. Równe odcinki mają jednakową długość. Kąt to figura geometryczna składająca się z punktu i dwóch półprostych.

„Geometria w tablicach” – współrzędne punktu i współrzędne wektora w przestrzeni Iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni Ruch Cylinder Stożek Kula i kula Objętość prostokątnego równoległościanu Objętość prostego pryzmatu i cylindra Objętość nachylonego pryzmatu Objętość piramidy Objętość stożka Objętość kuli i powierzchnia kuli. Tablice geometrii.

„Geometria 8. klasa” - Każde stwierdzenie opiera się na tym, co zostało już udowodnione. Każdy budynek ma fundament. Pojęcie twierdzenia. Aksjomat to stwierdzenie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu. Każde stwierdzenie matematyczne uzyskane na drodze dowodu logicznego jest twierdzeniem. Zatem, przechodząc przez twierdzenia, można dotrzeć do aksjomatów.

„Geometria jest nauką” - Geometria składa się z dwóch działów: planimetrii i stereometrii. Jaka figura geometryczna była znakiem rozpoznawczym pitagorejczyków? Jaki kształt według pitagorejczyków miał cały wszechświat? Odpowiedź: 580 – 500 pne era. Kiedy istniała starożytna Grecja? Wstęp. Odpowiedź: „Płaskość”. Pitagorejczycy ściśle związali wyjaśnianie budowy świata z geometrią.

„Warunki geometryczne” - stożek. Piramida. Promień i środek. Przekątna. Geometria. Kwadrat. Romb. Sześcian Trapez. Pojawienie się terminów geometrycznych. Kropka. Linia. Cylinder. Przeciwprostokątna i noga. Kula. Pryzmat. Z historii terminów geometrycznych.

„Co studiuje geometria” - Słowo „równoległy” pochodzi od greckiego „parallelos” – chodzić obok siebie. Historia geometrii. Przekształcenia ograniczały się głównie do podobieństw. L=(P1+P2)/2 L – obwód P1 – obwód dużego kwadratu P2 – obwód małego kwadratu. Vprosto Geometria w starożytnej Grecji. Muza geometrii, Luwr. Dowiemy się skąd się wziął i jaka była kiedyś geometria.

Łącznie w tej tematyce znajdują się 24 prezentacje