굽힘 중 주요 응력. 빔의 굽힘 강도에 대한 전체 테스트

편평한 횡방향 굽힘의 경우 굽힘 모멘트가 보의 단면에도 작용하는 경우 중그리고 전단력 큐, 정상일 뿐만 아니라
, 또한 전단 응력 .

가로 굽힘 중 수직 응력은 순수 굽힘과 동일한 공식을 사용하여 계산됩니다.

;
.(6.24)

피

그림 6.11. 플랫 벤드

공식을 도출할 때 다음과 같은 몇 가지 가정을 합니다.

동일한 거리에 작용하는 전단 응력 ~에중립 축에서 빔 폭에 걸쳐 일정합니다.

접선 응력은 모든 곳에서 힘과 평행합니다. 큐.

힘의 작용으로 인해 가로 방향으로 굽어지는 캔틸레버 빔을 생각해 보겠습니다. 아르 자형. 내부 힘의 다이어그램을 구성해 봅시다 에 대한 와이, 그리고 중 지 .

원거리에서 엑스빔의 자유 끝에서 길이가 있는 빔의 기본 섹션을 선택합니다. 디엑스그리고 빔의 너비와 같은 너비 비. 요소의 가장자리를 따라 작용하는 내부 힘을 보여드리겠습니다. CD전단력이 발생하다 큐 와이및 굽힘 모멘트 중 지, 그리고 직전에 ab– 또한 전단력 큐 와이및 굽힘 모멘트 중 지 +dM 지(왜냐하면 큐 와이빔의 길이를 따라 일정하게 유지되며, 순간 중 지변화, 그림. 6.12). 원거리에서 ~에중립 축에서 요소의 일부를 잘라냅니다. ab씨디, 결과 요소의 가장자리를 따라 작용하는 응력을 보여줍니다. MBCN, 그리고 그 평형을 고려하십시오. 빔 외부 표면의 일부인 면에는 응력이 없습니다. 굽힘 모멘트의 작용으로 인해 요소의 측면에 중 지, 정상적인 응력이 발생합니다.

; (6.25)

. (6.26)

또한, 전단력의 작용으로 인해 이러한 면에 큐 와이, 전단 응력이 발생합니다. , 요소의 윗면에 접선 응력 쌍의 법칙에 따라 동일한 응력이 발생합니다.

요소에 대한 평형 방정식을 만들어 봅시다 MBCN, 고려된 결과 응력을 축에 투영합니다. 엑스:

. (6.29)

적분부호 아래의 수식은 요소 측면의 정적 모멘트를 나타냅니다. MBCN축을 기준으로 엑스, 그래서 우리는 쓸 수 있습니다

. (6.30)

굽힘 중 Zhuravsky D.I.의 차등 의존성에 따라,

, (6.31)

에 대한 표현 접선가로 굽힘 중 응력은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다( Zhuravsky의 공식)

. (6.32)

Zhuravsky의 공식을 분석해 보겠습니다.

큐 와이- 고려중인 단면의 전단력;

제이 지 - 축에 대한 단면의 축방향 관성 모멘트 지;

비– 전단응력이 결정되는 장소의 단면 폭;

– 전단 응력이 결정되는 섬유 위(또는 아래)에 위치한 단면의 z축에 대한 정적 모멘트:

, (6.33)

어디 그리고 에프"는 각각 무게 중심의 좌표와 단면의 고려 부분의 면적입니다.

6.6 전체 강도 검사. 위험구간 및 위험지점

빔에 작용하는 외부 하중의 굽힘 강도를 확인하기 위해 길이에 따른 내부 힘의 변화 다이어그램이 작성되고 빔의 위험한 부분이 결정되며 각 부분에 대해 강도 테스트를 수행해야 합니다.

해당 섹션의 강도를 완전히 확인하면 최소한 세 가지가 있습니다(때로는 일치함).

굽힘 모멘트가 발생하는 단면 중 지최대 절대값에 도달합니다.

전단력이 작용하는 구간 큐 와이, 최대 절대값에 도달합니다.

굽힘 모멘트가 발생하는 단면 중 지 그리고 전단력 큐 와이절대값으로 꽤 큰 값에 도달합니다.

각 위험 구역에서는 수직 응력과 전단 응력 다이어그램을 작성하여 구역의 위험한 지점을 찾아야 하며(각각에 대해 강도 테스트가 수행됨) 그 중 최소 3개가 있어야 합니다. :

보통이 스트레스를 받는 지점 , 최대값, 즉 단면의 중립 축에서 가장 먼 빔 외부 표면의 지점에 도달합니다.

전단응력이 발생하는 지점 최대 값에 도달 - 단면의 중립 축에 있는 지점.

수직 응력과 전단 응력이 모두 충분히 큰 값에 도달하는 지점(이 테스트는 높이에 따른 단면 폭이 일정하지 않은 T-빔 또는 I-빔과 같은 단면에 적합합니다).

횡방향 굽힘 동안 굽힘 모멘트와 함께 단면에 횡방향 힘이 작용하며 이는 접선 응력의 결과입니다.

접선 응력 작용의 결과는 평면 단면의 가설과 모순되는 단면 형상의 왜곡입니다. 첫째, 해당 섹션에서 경험할 수 있는 deplaiatsho,저것들. 평평하게 유지되지 않습니다. 둘째, 변형 후 단면은 보의 곡선 축에 수직으로 유지되지 않습니다.

이러한 효과는 막대 굽힘에 대한 보다 복잡한 이론에서 고려됩니다. 동시에 많은 엔지니어링 문제의 경우 순수 굽힘에 대해 얻은 공식을 가로 굽힘의 경우로 일반화할 수 있습니다. 이러한 공식의 적용 한계에 대한 평가와 얻은 결과에 대한 책임은 계산기의 역량에 속합니다.

가로 굽힘 중 수직 응력 값을 결정하기 위해 공식 (5.10)이 널리 사용됩니다. 다음으로, 일정한 횡력의 경우 이 공식이 정확한 결과를 제공하고 가변 횡력의 경우 법선을 결정하기 위해 얻은 결과를 보여줍니다.

수식에 순서 오류가 표시됨 - 어디 시간- 섹션 높이; / - 빔 길이.

접선 응력의 크기를 결정하려면 길이가 다음과 같은 빔 요소를 고려하십시오. dx(그림 5.8).

쌀. 5.8.

요소의 오른쪽과 왼쪽 부분에서 수직 응력은 s/o만큼 서로 다릅니다. 이는 굽힘 모멘트 값의 차이로 인해 발생합니다. 디엠씨.길이에 따른 t의 변화와 관련된 항 dx,더 높은 수준의 작은 양으로 무시될 수 있습니다.

가정해보자: 단면의 접선 응력은 이 단면에 작용하는 전단력과 평행하게 향합니다. 큐.

거리만큼 떨어진 지점에서 접선 응력 값을 결정합시다 ~에중립 축에서. 이렇게하려면 비행기로 자르십시오. CD보 요소 길이에서 dx부분 침대.

높이의 단면 ~에접선 응력이 작용합니다. 동시에, 수직 단면에서, 즉 평면과 평행한 평면에서 xz,접선 응력 쌍의 법칙에 따라 동일한 크기의 접선 응력이 작용합니다.

이 요소에 작용하는 모든 힘을 축 방향으로 투영하여 요소의 평형 방정식을 작성해 보겠습니다. 엑스.섹션 상단의 평형 방정식에 포함된 적분을 계산해 보겠습니다. ㅏ*:

변환의 결과로 접선 응력을 계산하기 위한 다음 공식을 얻습니다.

공식 (5.10)에 따라 관계식 (5.3)을 고려하여 수직 응력의 미분을 찾습니다.

전단 응력에 대한 표현식에서 이 값을 고려합니다.

결과적으로 접선 응력을 계산하기 위해 다음 공식을 얻습니다.

어디 큐 - 단면의 전단력; 에스* - 중심축을 기준으로 면적 L*을 갖는 단면의 절단 부분의 정적 모멘트; / izg - 중심축에 대한 단면의 관성 모멘트. 시간-전단응력이 결정되는 위치의 단면폭.

공식 (5.21)이 호출됩니다. 방식주라브스키 에게

직사각형 단면의 빔을 고려하십시오(그림 5.9, ㅏ).위험한 구간의 수직응력과 전단응력을 결정해 보겠습니다. 단면 L은 위험하며 최대 굽힘 모멘트 M зг = -И가 작용합니다. 횡력의 경우 빔의 모든 단면에서의 값은 일정하고 동일합니다. -에프.

쌀. 5.9.

공식 (5.15) 및 (5.20)에 따라 최대 수직 응력의 값을 결정합니다.

'Zhuravsky Dmitry Ivanovich (1828-1891) - 교량 건설 및 구조 역학 분야의 전문가이자 러시아 기계 과학자이자 엔지니어는 빔의 가로 굽힘 중에 전단 응력을 결정하는 문제를 최초로 해결했습니다.

공식 (5.21)에 포함된 수량을 계산해 보겠습니다.

일정 거리만큼 분리된 단면 지점에서 ~에중립 축에서 전단 응력의 값은 다음과 같습니다.

최대 전압은 다음에서 발생합니다. 와이 =중심축에 속하는 섬유는 0 0t.

이 전압은 공식적으로 음수 값을 갖지만 계산에 중요하지 않으므로 그 부호는 무시할 수 있습니다.

빔 단면에서 발생하는 수직 응력과 접선 응력의 최대값 비율을 추정해 보겠습니다.

빔의 설계도에 따르면, - 1. 따라서 접선 응력은 수직 응력에 비해 크기가 더 높습니다.

길이와 특성 단면 크기의 빔에 대한 추정치(5.24)를 일반화해 보겠습니다. ㅏ.전단력은 다음과 같습니다. 에프,굽힘 모멘트는 M 굽힘으로 추정됩니다 ~ FI.단면의 축 관성 모멘트, 단면 일부의 정적 모멘트 및 굽힘에 대한 저항 모멘트의 특성 값에 대해 다음 추정치를 얻습니다.

결과적으로 최대 수직 및 접선 응력에 대해 다음 추정치가 유효합니다.

최종적으로 최대 접선 응력과 수직 응력의 비율에 대한 다음 추정치를 얻습니다.

특정 직사각형 단면에 대해 얻은 추정치는 단면이 대규모로 간주된다는 조건 하에 임의의 단면의 경우로 확장될 수 있습니다. 벽이 얇은 프로파일의 경우, 수직 응력과 비교하여 접선 응력을 무시할 가능성에 대한 위의 결론이 항상 맞는 것은 아닙니다.

식 (5.21)을 도출할 때 우리는 완전히 일관성이 없었으며 변환을 수행하는 동안 다음과 같은 오류를 범했다는 점에 유의해야 합니다. 즉, 우리가 사용한 법선응력 공식은 평면 단면의 가설이 타당하다는 가정하에 구해졌습니다. 단면 편평이 없는 경우. 요소에 접선 응력을 적용함으로써 직각 왜곡 가능성을 허용하여 위에서 언급한 가설을 위반했습니다. 따라서 결과 계산 공식은 대략적인 것입니다. 그림에 표시된 전단 응력 다이어그램. 5.9, 비, 가로 굽힘 중 빔 단면의 곡률 특성을 설명합니다. 극한 지점에서는 접선 응력이 0이므로 해당 섬유는 빔의 상부 및 하부 표면에 수직이 됩니다. 최대 전단 응력이 작용하는 중립선에서는 최대 전단 변형률이 발생합니다.

동시에 단면 내에서 횡력의 값이 일정하면 모든 단면의 곡률이 동일하므로 곡률의 효과가 세로 인장 및 압축의 크기에 반영되지 않습니다. 굽힘 모멘트로 인한 섬유의 변형.

직사각형이 아닌 단면의 경우 전단 응력 분포의 특성에 대해 허용된 가정을 충족하지 못하기 때문에 식(5.21)에 추가 오류가 발생합니다. 예를 들어 원형 단면의 경우 점에서 전단 응력이 작용합니다. ~에단면 윤곽선은 윤곽선에 접선 방향으로 향해야 하며 전단력과 평행하지 않아야 합니다. 큐.이는 전단 응력에 z/축과 z축을 따라 작용하는 구성요소가 있어야 함을 의미합니다.

그러나 기존의 모순에도 불구하고 결과 공식은 실제 계산을 수행할 때 상당히 만족스러운 결과를 제공합니다. 공식 (5.21)에 의해 결정된 접선 응력 값과 정확한 방법으로 얻은 결과를 비교하면 가장 큰 접선 응력 값의 오류가 5%를 초과하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 이 공식은 실제 계산에 적합합니다.

직접 가로 굽힘에 대한 강도 계산에 관해 몇 가지 설명을 하겠습니다. 순수한 굽힘과 달리 가로 굽힘 중에 막대의 단면에 굽힘 모멘트 M mzg와 가로 힘이라는 두 가지 힘 요인이 발생합니다. 큐.그러나 가장 높은 수직 응력이 전단 응력이 없는 가장 바깥쪽 섬유에서 발생한다는 점을 고려하면(그림 5.9 참조) 비),가장 높은 접선 응력은 수직 응력이 0인 중립층에서 발생하며, 이러한 경우 강도 조건은 수직 응력과 접선 응력에 대해 별도로 공식화됩니다.

수직 응력 계산 공식을 도출할 때 빔 섹션의 내부 힘이 다음으로만 감소되는 굽힘의 경우를 고려합니다. 굽힘 모멘트, ㅏ 전단력은 0으로 판명된다. 이런 굽힘의 경우를 이라고 합니다. 순수한 굽힘. 순수 굽힘이 적용되는 빔의 중간 부분을 고려하십시오.

하중을 가하면 빔이 구부러지므로 아래쪽 섬유는 늘어나고 위쪽 섬유는 짧아집니다.

빔의 섬유 일부는 늘어나고 일부는 압축되어 인장에서 압축으로의 전환이 발생합니다. 점프 없이 부드럽게, V 평균빔의 일부가 위치합니다. 섬유가 구부러지기만 하고 장력이나 압축이 발생하지 않는 층입니다.이 레이어는 중립적층. 중성층이 빔의 단면과 교차하는 선을 호출합니다. 중립선또는 중립축섹션. 보의 축에 중립선이 연결되어 있습니다. 중립선그 라인은 정상적인 응력은 0입니다.

축에 수직인 보의 측면에 그려진 선은 그대로 유지됩니다. 평평한구부릴 때. 이러한 실험 데이터를 통해 공식의 결론을 내릴 수 있습니다. 평면 단면의 가설(추측). 이 가설에 따르면, 빔의 단면은 굽혀지기 전에 평평하고 축에 수직이며, 굽혀질 때 평평한 상태를 유지하고 빔의 곡선 축에 수직으로 나타납니다.

정규 응력 공식 도출을 위한 가정: 1) 평면 단면의 가설이 충족되었습니다. 2) 종방향 섬유는 서로 누르지 않으므로(비압력 가설), 따라서 각 섬유는 일축 인장 또는 압축 상태에 있다. 3) 섬유의 변형은 단면 폭에 따른 위치에 의존하지 않습니다. 결과적으로 단면의 높이에 따라 변하는 수직 응력은 너비를 따라 동일하게 유지됩니다. 4) 빔은 적어도 하나의 대칭면을 가지며 모든 외부 힘은 이 평면에 있습니다. 5) 보의 재질은 Hooke의 법칙을 따르며, 인장과 압축에서의 탄성계수는 동일하다. 6) 빔의 치수 간의 관계는 뒤틀림이나 비틀림 없이 평면 굽힘 조건에서 작동하도록 되어 있습니다.

임의의 단면을 가지지만 대칭축을 갖는 빔을 생각해 봅시다. 굽힘 모멘트나타냅니다 내부 수직력의 합력 모멘트, 무한히 작은 영역에서 발생하며 다음과 같이 표현될 수 있습니다. 완전한형태: (1), 여기서 y는 x축에 대한 기본 힘의 팔입니다.

공식 (1) 표현하다 공전직선 빔을 굽히는 문제의 측면이지만 알려진 굽힘 모멘트를 따라 진행됩니다. 분포 법칙이 확립될 때까지는 수직 응력을 결정하는 것이 불가능합니다.

중간 부분의 빔을 선택하고 고려해 보겠습니다. 길이 dz의 단면,구부러지기 쉽습니다. 확대해서 그려보겠습니다.

면적 dz를 제한하는 섹션, 변형될 때까지 서로 평행, 그리고 하중을 적용한 후 중립선을 중심으로 각도만큼 회전 . 중성층 섬유 세그먼트의 길이는 변경되지 않습니다.그리고 다음과 같습니다: , 어디야? 곡률 반경빔의 곡선 축. 하지만 다른 어떤 섬유도 거짓말을 하고 있어 더 낮거나 더 높음중립층, 길이가 바뀔 거예요. 계산해보자 중성층으로부터 거리 y에 위치한 섬유의 상대적 신장.상대 신율은 원래 길이에 대한 절대 변형의 비율입니다.

비슷한 용어를 줄여서 가져오면 다음과 같은 결과를 얻습니다. (2) 이 공식은 다음과 같이 표현됩니다. 기하학적순수 굽힘 문제의 측면: 섬유의 변형은 중성층까지의 거리에 정비례합니다.

이제 다음으로 넘어 갑시다 스트레스, 즉. 우리는 고려할 것이다 물리적과제의 측면. 에 따라 압력이 없는 가정우리는 축 방향 장력 압축 하에서 섬유를 사용합니다. 그런 다음 공식을 고려합니다. (2) 우리는 (3), 저것들. 정상적인 스트레스단면 높이를 따라 구부릴 때 선형적으로 분포됨. 가장 바깥쪽 섬유에서는 수직 응력이 최대값에 도달하고 단면의 무게 중심에서는 0과 같습니다. 대체하자 (3) 방정식에 (1) 적분 부호에서 분수를 상수 값으로 취하면 다음과 같습니다. . 하지만 표현은 x 축에 대한 단면의 축 관성 모멘트 - 나는 x. 그 차원 cm 4, m 4

그 다음에 ,어디 (4) ,어디입니까? 빔의 곡선 축의 곡률, 굽힘 중 빔 단면의 강성입니다.

결과 표현식을 대체해 보겠습니다. 곡률(4)표현에 (3) 그리고 우리는 얻습니다 단면의 임의 지점에서 수직 응력을 계산하는 공식: (5)

저것. 최고긴장이 발생하다 중립선에서 가장 먼 지점.태도 (6) ~라고 불리는 단면저항의 축방향 모멘트. 그 차원 cm 3, m 3. 저항 모멘트는 단면의 모양과 치수가 응력 크기에 미치는 영향을 나타냅니다.

그 다음에 최대 전압: (7)

굽힘 강도 조건: (8)

가로 굽힘이 발생할 때 정상 응력뿐만 아니라 전단 응력도, 왜냐하면 사용 가능 전단력. 전단응력 변형의 그림을 복잡하게 하다, 그들은 다음으로 이어진다 곡률빔의 단면으로 인해 평면 단면의 가설이 위반되었습니다.. 그러나 연구에 따르면 전단 응력으로 인해 왜곡이 발생하는 것으로 나타났습니다. 약간공식으로 계산된 수직 응력에 영향을 줍니다. (5) . 따라서 가로 굽힘의 경우 수직 응력을 결정할 때 순수 굽힘 이론은 상당히 적용 가능합니다.

중립선. 중립선 위치에 대한 질문입니다.

구부리는 동안 세로 방향의 힘이 없으므로 쓸 수 있습니다. 여기에 수직 응력에 대한 공식을 대체해 보겠습니다. (3) 그리고 우리는 얻습니다 빔 재료의 종방향 탄성 계수는 ​​0이 아니고 빔의 곡선 축은 유한한 곡률 반경을 갖기 때문에 이 적분은 다음과 같다고 가정합니다. 면적의 정적 모멘트중립 선축 x를 기준으로 한 빔의 단면 , 이후 값이 0이면 중립선이 단면의 무게 중심을 통과합니다.

주 평면에서 임의의 횡하중의 작용으로 평면 직선 굽힘을 받는 빔을 고려해 보겠습니다. 오오(그림 7.31, ㅏ).왼쪽 끝에서 거리 x만큼 떨어진 곳에서 빔을 자르고 왼쪽 측면의 평형을 고려해 보겠습니다. 이 경우 오른쪽의 영향은 굽힘 모멘트 A/와 횡력의 작용으로 대체되어야 합니다. Qy그려진 부분에서 (그림 7.31, 비).일반적인 경우 굽힘 모멘트 L7은 순수 굽힘의 경우처럼 크기가 일정하지 않지만 빔의 길이에 따라 달라집니다. 휘어지는 순간부터 중

(7.14)에 따르면 법선 응력 o = a x와 연관되어 있으면 종방향 섬유의 법선 응력도 빔의 길이를 따라 변경됩니다. 따라서 가로 굽힘의 경우 수직 응력은 변수 x와 변수의 함수입니다. y: a x = a x (x, y).

빔 단면의 가로 굽힘 중에는 수직 응력뿐만 아니라 접선 응력도 작용합니다(그림 7.31, V),그 결과는 횡력이다 질문:

접선 응력의 존재 x 어각도 변형이 나타납니다. 일반 응력과 마찬가지로 전단 응력은 단면 전체에 고르지 않게 분포됩니다. 결과적으로 전단 중 Hooke의 법칙에 따른 각도 변형도 고르지 않게 분포됩니다. 이는 순수 굽힘과 달리 가로 굽힘 중에 빔의 단면이 편평하게 유지되지 않음을 의미합니다(J. Bernoulli의 가설이 위반됨).

단면의 곡률은 끝에 가해지는 집중된 힘에 의해 직사각형 고무 단면의 캔틸레버 빔이 구부러지는 예를 통해 명확하게 설명할 수 있습니다(그림 7.32). 먼저 빔 축에 수직인 측면에 직선을 그리면 구부린 후에 이 선이 직선으로 유지되지 않습니다. 동시에 중립층 수준에서 가장 큰 변화가 발생하도록 구부러져 있습니다.

보다 정확한 연구에 따르면 수직 응력의 크기에 대한 단면 왜곡의 영향이 미미하다는 것이 입증되었습니다. 단면 높이의 비율에 따라 다릅니다. 시간빔의 길이에 맞춰 / 그리고 시간//o x 가로 굽힘의 경우 순수 굽힘의 경우에 대해 유도된 공식(7.14)이 일반적으로 사용됩니다.

가로 굽힘의 두 번째 특징은 수직 응력이 존재한다는 것입니다. 영형 y, 빔의 종단면에 작용하고 종단층 사이의 상호 압력을 특성화합니다. 이러한 응력은 분산 하중이 있는 영역에서 발생합니다. 큐,집중된 힘이 가해지는 장소. 일반적으로 이러한 응력은 일반 응력에 비해 매우 작습니다. x.특별한 경우는 상당한 국지적 응력이 발생할 수 있는 적용 영역에서 집중된 힘의 작용입니다. 그리고 너.

따라서 평면의 무한소 요소 오오가로 굽힘의 경우 이축 응력 상태에 있습니다(그림 7.33).

일반적으로 전압 t와 o는 물론 전압 o Y도 좌표*와 y의 함수입니다. 이축 응력 상태에 대해 미분 평형 방정식을 충족해야 합니다( a z = 티 yz = = 0) 부재중

체적력의 형태는 다음과 같습니다.

이 방정식은 전단 응력 = m 및 수직 응력을 결정하는 데 사용할 수 있습니다. OU.이는 직사각형 단면을 가진 빔에 대해 수행하는 가장 쉬운 방법입니다. 이 경우 m을 결정할 때 단면 너비에 걸쳐 균일하게 분포되어 있다고 가정합니다(그림 7.34). 이 가정은 유명한 러시아 교량 건설업자 D.I. Zhuravsky. 연구에 따르면 이 가정은 충분히 좁고 높은 빔에 대한 굽힘 중 전단 응력 분포의 실제 특성과 거의 정확하게 일치합니다. (비 « 그리고).

수직 응력에 대한 미분 방정식(7.26)과 공식(7.14) 중 첫 번째 사용 엑스,우리는 얻는다

변수에 대해 이 방정식을 통합하면 와이,우리는 찾는다

어디 에프엑스(f(x))- 빔의 하단 가장자리에 접선 응력이 없는 조건을 사용하는지 결정하기 위한 임의의 함수:

이 경계 조건을 고려하면 (7.28)에서 다음을 찾을 수 있습니다.

빔의 단면에 작용하는 접선 응력에 대한 최종 표현은 다음 형식을 취합니다.

접선 응력 쌍의 법칙으로 인해 접선 응력도 세로 단면에서 t, = t 발생합니다.

후후

중성층과 평행한 빔.

공식(7.29)에서 접선 응력은 사각 포물선의 법칙에 따라 빔 단면의 높이에 따라 달라짐이 분명합니다. 접선 응력은 중립 축 수준의 지점에서 가장 큰 값을 갖습니다. 와이 = 0, 그리고 빔의 가장 바깥쪽 섬유에서 y = ±h/2그들은 0과 같습니다. 직사각형 단면의 관성 모멘트에 대한 공식 (7.23)을 사용하여 다음을 얻습니다.

어디 F= ㄴ -보의 단면적.

다이어그램 t는 그림 1에 나와 있습니다. 7.34.

직사각형이 아닌 단면의 빔(그림 7.35)의 경우, m에 대한 경계 조건이 단면의 모든 지점에서 알려져 있지 않기 때문에 평형 방정식(7.27)에서 전단 응력 m을 결정하는 것이 어렵습니다. 윤곽. 이는 이 경우 접선 응력이 횡력과 평행하지 않고 단면에 작용하기 때문입니다. Qy.실제로 단면의 윤곽 근처 지점에서 총 전단 응력 m은 윤곽에 접선 방향으로 향한다는 것을 알 수 있습니다. 윤곽선(그림 7.35 참조)의 임의 지점 부근에서 극미량 영역을 고려해 보겠습니다. dF단면과 이에 수직인 플랫폼 dF"빔의 측면에. 윤곽선의 한 지점에서 총 응력 t가 접선 방향으로 향하지 않으면 두 가지 구성 요소로 분해될 수 있습니다. xvx윤곽선에 대한 법선 v 방향으로 엑스접선 방향으로 티윤곽에. 따라서 현장의 접선 응력 쌍의 법칙에 따라 dF"~해야 한다

그러나 xvv와 동일한 전단 응력 x에 작용합니다. 측면에 전단 하중이 없는 경우 구성요소 x vv = z vx = 0, 즉 총 전단 응력 x는 예를 들어 점 A와 A에서 표시된 것처럼 단면의 윤곽에 접선 방향으로 향해야 합니다. 안에윤곽.

결과적으로 윤곽선 지점과 단면의 모든 지점에서 전단 응력 x는 해당 구성 요소 x로 분해될 수 있습니다.

직사각형이 아닌 단면의 빔에서 접선 응력의 구성요소 x를 결정하려면(그림 7.36, 비)단면에 수직 대칭축이 있고 직사각형 단면의 경우처럼 총 전단 응력 x의 x 구성 요소가 너비에 걸쳐 균일하게 분포되어 있다고 가정해 보겠습니다.

평면과 평행한 종단면 사용 옥스그리고 저 멀리 지나가는 ~에그것으로부터, 그리고 두 개의 단면 ㅎ + dx빔의 바닥에서 아주 작은 길이의 요소를 정신적으로 잘라냅시다. dx(그림 7.36, V).

굽힘 모멘트를 가정해보자. 중길이에 따라 다름 dx고려 중인 보 요소의 전단력 큐일정합니다. 그런 다음 단면 x와 x + dx빔은 동일한 크기의 접선 응력 x와 굽힘 모멘트로 인해 발생하는 수직 응력을 받게 됩니다. M z중M z+ dM',각각 동등할 것이다 ㅏ그리고 ㅏ + 다.선택한 요소의 수평 가장자리를 따라(그림 7.36에서, V축척법으로 표시됨) 접선 응력 쌍의 법칙에 따라 응력 x v `` = x가 작용합니다.

후후

결과 아르 자형그리고 R+dR수직 응력 o 및 o + d는 공식 (7.14)을 고려하여 요소의 끝 부분에 적용됩니다.

어디

차단 영역의 정적 모멘트 에프(그림 7.36에서, 비음영 처리) 중립 축을 기준으로 온스 y는 다음 범위 내에서 변하는 보조 변수입니다. ~에

적용된 접선 응력 t의 결과

xy

폭 전체에 걸쳐 이러한 응력의 균일한 분포에 대한 도입된 가정을 고려하여 요소의 수평 가장자리에 에 의해)는 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다

요소?X=0에 대한 평형 조건은 다음과 같습니다.

결과적인 힘의 값을 대체하면

여기에서 (7.6)을 고려하여 접선 응력을 결정하는 공식을 얻습니다.

러시아 문학에서 이 공식은 다음과 같습니다. 포뮬러 D.I. Zhuravsky.

공식 (7.32)에 따라 단면 높이에 따른 접선 응력 t의 분포는 단면 폭의 변화에 ​​따라 달라집니다. 비(y)와 단면 S OTC(y)의 절단 부분의 정적 모멘트입니다.

공식(7.32)을 사용하면 위에서 고려한 직사각형 보에 대한 전단 응력이 가장 간단하게 결정됩니다(그림 7.37).

절단 단면적 Fqtc의 정적 모멘트는 다음과 같습니다.

5° tf를 (7.32)에 대입하면 이전에 유도된 공식(7.29)을 얻습니다.

공식(7.32)을 사용하여 단계적으로 일정한 단면 폭을 갖는 보의 전단 응력을 결정할 수 있습니다. 폭이 일정한 각 단면 내에서 접선 응력은 사각 포물선의 법칙에 따라 단면 높이에 따라 달라집니다. 단면 폭이 급격하게 변하는 곳에서는 접선 응력에도 점프나 불연속성이 있습니다. 그러한 단면에 대한 다이어그램 t의 특성이 그림 1에 나와 있습니다. 7.38.

쌀. 7.37

쌀. 7.38

I-단면에서 접선 응력의 분포를 고려해 보겠습니다(그림 7.39, ㅏ)비행기에서 구부릴 때 아. I-단면은 세 개의 좁은 직사각형, 즉 두 개의 수평 선반과 수직 벽의 교차점으로 표현될 수 있습니다.

공식 (7.32)에서 벽의 m을 계산할 때 다음을 수행해야 합니다. b(y) - d.결과적으로 우리는

어디 남° 1C축에 대한 정적 모멘트의 합으로 계산됩니다. 온스선반 면적 Fn그리고 벽의 일부 에프,그림에 음영 처리됨. 7.39, ㅏ:

접선 응력 t는 중립 축 수준에서 가장 큰 값을 갖습니다. 와이 = 0:

중립 축을 기준으로 단면의 절반 영역의 정적 모멘트는 어디에 있습니까?

롤링된 I-빔과 채널의 경우 섹션 절반의 정적 모멘트 값이 분류에 제공됩니다.

쌀. 7.39

벽이 플랜지에 인접한 레벨에서는 전단 응력이 발생합니다. 1 ? 동일한

어디 에" -중립축에 대한 플랜지 단면적의 정적 모멘트:

I-빔 플랜지의 수직 접선 응력 m은 공식 (7.32)을 사용하여 찾을 수 없습니다. 비 :» 티,선반 폭 전체에 걸쳐 균일하게 분포된다는 가정은 받아들일 수 없게 됩니다. 플랜지의 상단 및 하단 가장자리에서 이러한 응력은 0이어야 합니다. 그러므로 t in

우와

선반은 매우 작으며 실질적인 관심이 없습니다. 훨씬 더 큰 관심을 끄는 것은 플랜지 m의 수평 접선 응력으로, 하부 플랜지로부터 분리된 극소 요소의 평형을 고려하는 것입니다(그림 7.39). , 비).

평면에 평행한 이 요소의 세로면에 대한 접선 응력 쌍의 법칙에 따르면 아,전압이 인가됨 x xz단면에 작용하는 응력 t와 크기가 동일합니다. I-빔 플랜지의 두께가 얇기 때문에 이러한 응력은 플랜지 두께 전체에 걸쳐 균일하게 분포되는 것으로 가정할 수 있습니다. 이를 고려하면, 5^=0 원소의 평형 방정식으로부터 우리는 다음을 얻게 됩니다:

여기에서 우리는 찾습니다

이 공식에 다음 표현식을 대입하면 엑스(7.14)로부터 우리가 얻는 것을 고려하면

고려해 보면

어디 S° TC -선반 절단 영역의 정적 모멘트 (그림 7.39, ㅏ두 번 음영처리됨) 축을 기준으로 온스,우리는 마침내 그것을 얻을 것이다

그림에 따르면 7.39 , ㅏ

어디 지- 축 기반 변수 OU.

이를 고려하면 식 (7.34)는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

이는 수평 전단 응력이 축을 따라 선형으로 변한다는 것을 보여줍니다. 온스그리고 가장 큰 가치를 z = d/ 2:

그림에서. 그림 7.40은 접선 응력 m 및 m^의 다이어그램과 양의 전단력이 빔 단면에 적용될 때 I-빔의 플랜지와 벽에서 이러한 응력의 방향을 보여줍니다. 큐.비유적으로 말하면 접선 응력은 단면의 윤곽에 평행한 각 지점을 향하는 I-빔 단면에서 연속적인 흐름을 형성합니다.

정상 응력의 정의로 넘어 갑시다 그리고 y빔의 세로 단면에서. 상단 가장자리를 따라 균일하게 분포된 하중을 갖는 빔의 단면을 고려해 보겠습니다(그림 7.41). 빔의 단면을 직사각형으로 만들어 보겠습니다.

우리는 이를 결정하는 데 사용합니다. 두 번째 미분 평형 방정식(7.26). 이 방정식에 접선 응력에 대한 공식(7.32)을 대체합니다. 어,(7.6)을 고려하면 우리는 다음을 얻습니다.

변수에 대한 적분을 수행한 후 와이,우리는 찾는다

여기 에프엑스(f(x)) -경계 조건을 사용하여 정의된 임의 함수입니다. 문제의 조건에 따라 보에 균일하게 분포된 하중이 가해집니다. 큐위쪽 가장자리를 따라 있고 아래쪽 가장자리에는 하중이 없습니다. 그런 다음 해당 경계 조건은 다음 형식으로 작성됩니다.

이 조건 중 두 번째를 사용하여 우리는 다음을 얻습니다.

이를 고려하여 스트레스 공식은 다음과 같습니다. 그리고 y다음과 같은 형식을 취하게 됩니다.

이 표현에서 응력은 입방 포물선의 법칙에 따라 단면의 높이에 따라 변한다는 것이 분명합니다. 이 경우 경계조건(7.35)이 모두 만족됩니다. 최고 전압 값 때 빔의 윗면을 차지합니다. y=-h/2:

다이어그램의 성격 그리고 y그림에 표시됩니다. 7.41.

가장 높은 응력의 값을 추정하려면 o. a, m 및 이들 사이의 관계, 예를 들어 치수가 있는 직사각형 단면의 캔틸레버 빔을 굽히는 것을 고려해 보겠습니다. bxh,보의 상단 가장자리에 균일하게 분포된 하중이 작용하는 경우(그림 7.42). 씰에서 가장 높은 응력 절대값이 발생합니다. 공식 (7.22), (7.30) 및 (7.37)에 따라 이러한 응력은 동일합니다.

평소와 같이 빔의 경우 l/h» 1, 그러면 얻은 식에서 전압은 다음과 같습니다. cx절대값이 전압 t를 초과하고, 특히, 그리고 너.예를 들어, 1/나 == 10 우리는 얻습니다 a x /t xy = 20', o x /c y = 300.

따라서 굽힘에 대한 빔을 계산할 때 가장 큰 실질적인 관심은 응력입니다. 엑스,빔의 단면에 작용합니다. 전압 y와 함께,빔의 세로 층의 상호 압력을 특성화하는 것은 o v에 비해 무시할 수 있습니다.

이 예에서 얻은 결과는 § 7.5에 도입된 가설이 완전히 타당함을 나타냅니다.

플랫(직선) 벤드- 단면의 주요 관성 중심축 중 하나를 통과하는 평면에서 굽힘 모멘트가 작용할 때, 즉 모든 힘은 빔의 대칭면에 있습니다. 주요 가설(가정): 종방향 섬유의 비압력에 대한 가설: 빔 축에 평행한 섬유는 인장 압축 변형을 경험하고 횡방향으로 서로 압력을 가하지 않습니다. 평면 단면 가설: 변형 전에 편평했던 빔 단면은 변형 후에도 편평하고 빔의 곡선 축에 수직으로 유지됩니다. 플랫벤딩의 경우 일반적으로 내부역률: 종방향 힘 N, 횡방향 힘 Q 및 굽힘 모멘트 M. 종방향 힘이 인장인 경우 N>0; M>0에서는 빔 상단의 섬유가 압축되고 하단의 섬유가 늘어납니다. .

확장이 없는 레이어를 이라고 합니다. 중립층(축, 선). N=0 및 Q=0에 대해 다음과 같은 경우가 있습니다. 순수한 굴곡.정상 전압:
,는 중성층의 곡률 반경이고, y는 일부 섬유에서 중성층까지의 거리입니다.

43) 편심 인장 및 압축

장력과 압축

 - 정상 전압[Pa], 1Pa(파스칼) = 1N/m 2,

10 6 Pa = 1 MPa(메가파스칼) = 1 N/mm 2

N - 종방향(수직) 힘 [N](뉴턴); F - 단면적 [m2]

 - 상대 변형 [무차원 수량];

L - 종방향 변형 [m] (절대 신장), L - 로드 길이 [m].

-훅의 법칙 -  = E

E - 인장 탄성 계수(1종 탄성 계수 또는 영률) [MPa]. 강철의 경우 E = 210 5 MPa = 210 6 kg/cm 2 ("기존" 단위 체계).

(E가 클수록 재료의 인장력이 약해짐)

;
- 후크의 법칙

EF는 인장(압축) 시 로드의 강성입니다.

막대가 늘어나면 "얇아지고" 너비는 가로 변형에 따라 감소합니다. a.

-상대적인 가로 변형.

-푸아송비[무차원 수량];

 범위는 0(코르크)부터 0.5(고무)까지입니다. 강철의 경우  0.250.3.

종방향 힘과 단면적이 일정하지 않으면 막대의 신장률은 다음과 같습니다.

인장 작업:
, 잠재력:

47. 모어 적분

변위(선형 및 회전 각도)를 결정하는 보편적인 방법은 Mohr의 방법입니다. 일반화된 변위를 구하는 지점에서 단위 일반화된 힘이 시스템에 적용됩니다. 편향이 결정되면 단위 힘은 무차원 집중 힘이고, 회전 각도가 결정되면 무차원 단위 모멘트입니다. 공간 시스템의 경우 내부 힘의 6가지 구성 요소가 있습니다. 일반화된 변위가 정의됩니다.

48. 굽힘과 비틀림의 복합 작용에 따른 응력 결정

비틀림으로 굽힘

굽힘과 비틀림의 결합 작용은 샤프트 하중의 가장 일반적인 경우입니다. 내부 힘의 다섯 가지 구성요소가 발생합니다: Q x, Q y, M x, M y, M z = M cr. 계산하는 동안 굽힘 모멘트 M x , M y 및 토크 M cr 다이어그램이 구성되고 위험 구간이 결정됩니다. 결과 굽힘 모멘트
. 최대. 위험한 지점(A,B)에서의 수직 및 전단 응력:
,

, (원의 경우: W=
– 축방향 저항 모멘트 , 승 р =
– 단면의 극 접촉 순간).

가장 위험한 지점(A 및 B)의 주요 응력:

강도 테스트는 강도 이론 중 하나에 따라 수행됩니다.

IV: 모어의 이론:

여기서 m=[ p ]/[ c ] – 허용됩니다. 예: 인장/압축(취성 재료의 경우 - 주철).

티
.k.W p =2W, 우리는 다음을 얻습니다:

분자는 허용된 강도 이론에 따른 감소된 모멘트입니다. ;

II: , 푸아송비=0.3;

III:

또는 하나의 공식으로:
, 저항의 순간은 다음과 같습니다.
, 샤프트 직경:
. 이 공식은 환형 단면을 계산하는 데에도 적합합니다.