Pengaturan
Grafik fungsi daya dari semua kekuatan yang berbeda. Fungsi daya, sifat-sifatnya dan grafiknya Materi demonstrasi Pelajaran-kuliah Konsep Fungsi

Grafik fungsi daya dari semua kekuatan yang berbeda. Fungsi daya, sifat-sifatnya dan grafiknya Materi demonstrasi Pelajaran-kuliah Konsep Fungsi

Apakah Anda akrab dengan fitur-fiturnya? y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x dll. Semua fungsi ini adalah kasus khusus dari fungsi daya, yaitu fungsi y=xp, di mana p adalah bilangan real tertentu.
Sifat-sifat dan grafik fungsi daya pada dasarnya bergantung pada sifat-sifat pangkat dengan eksponen nyata, dan khususnya pada nilai-nilai yang x dan p masuk akal x p. Mari kita lanjutkan ke pertimbangan serupa dari berbagai kasus, tergantung pada
eksponen p.

Indeks p=2n adalah bilangan asli genap.

y=x2n, di mana n adalah bilangan asli, memiliki berikut:

properti:

domain definisi adalah semua bilangan real, yaitu himpunan R;
set nilai - angka non-negatif, yaitu y lebih besar dari atau sama dengan 0;
fungsi y=x2n bahkan, karena x 2n=(- x) 2n
fungsi menurun pada interval x<0 dan meningkat pada interval x>0.

Grafik Fungsi y=x2n memiliki bentuk yang sama seperti, misalnya, grafik fungsi y=x4.

2. Indikator p=2n-1- bilangan asli ganjil
Dalam hal ini, fungsi daya y=x 2n-1, di mana adalah bilangan asli, memiliki sifat-sifat berikut:

domain definisi - atur R;
set nilai - set R;
fungsi y=x 2n-1 aneh karena (- x) 2n-1=x 2n-1 ;
fungsi meningkat pada seluruh sumbu nyata.

Grafik Fungsi y=x 2n-1 memiliki bentuk yang sama seperti, misalnya, grafik fungsi y=x 3 .

3.Indikator p=-2n, di mana n- bilangan asli.

Dalam hal ini, fungsi daya y=x -2n=1/x2n memiliki sifat-sifat berikut:

domain definisi - set R, kecuali untuk x=0;
set nilai - angka positif y>0;
fungsi y =1/x2n bahkan, karena 1/(-x) 2n=1/x2n;
fungsi meningkat pada interval x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Grafik fungsi y =1/x2n memiliki bentuk yang sama dengan, misalnya, grafik fungsi y =1/x2.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi daya. Properti. Grafik"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10-11 "Logaritma"

Fungsi daya, domain definisi.

Kawan, dalam pelajaran terakhir kita belajar bagaimana bekerja dengan angka dengan eksponen rasional. Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan fungsi pangkat dan membatasi diri pada kasus ketika eksponennya rasional.
Kami akan mempertimbangkan fungsi dari bentuk: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Mari kita pertimbangkan dulu fungsi yang eksponennya adalah $\frac(m)(n)>1$.
Mari kita diberikan fungsi spesifik $y=x^2*5$.
Menurut definisi yang kita berikan dalam pelajaran terakhir: jika $x≥0$, maka domain dari fungsi kita adalah sinar $(x)$. Mari kita gambarkan grafik fungsi kita secara skematis.

Sifat-sifat fungsi $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Bukan genap maupun ganjil.
3. Meningkat sebesar $$,
b) $(2,10)$,
c) pada sinar $$.
Larutan.
Teman-teman, apakah Anda ingat bagaimana kami menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen di kelas 10?
Itu benar, kami menggunakan turunannya. Mari selesaikan contoh kita dan ulangi algoritme untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar.
1. Temukan turunan dari fungsi yang diberikan:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Derivatif ada pada seluruh domain fungsi asal, maka tidak ada titik kritis. Mari kita cari titik stasioner:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ dan $x_2=\sqrt(64)=4$.
Hanya satu solusi $x_2=4$ yang termasuk dalam segmen yang diberikan.
Mari kita buat tabel nilai fungsi kita di ujung segmen dan di titik ekstrem:

Jawaban: $y_(name)=-862.65$ dengan $x=9$; $y_(maks)=38,4$ untuk $x=4$.

Contoh. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Larutan. Grafik fungsi $y=x^(\frac(4)(3))$ naik, sedangkan grafik fungsi $y=24-x$ menurun. Kawan, Anda dan saya tahu: jika satu fungsi meningkat dan yang lainnya berkurang, maka mereka berpotongan hanya pada satu titik, yaitu, kita hanya memiliki satu solusi.
Catatan:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Artinya, untuk $х=8$ kita mendapatkan persamaan yang benar $16=16$, ini adalah solusi dari persamaan kita.
Jawaban: $x=8$.

Contoh.
Plot fungsinya: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Larutan.
Grafik fungsi kita diperoleh dari grafik fungsi $y=x^(\frac(3)(4))$, menggesernya 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas.

Contoh. Tulis persamaan garis singgung garis $y=x^(-\frac(4)(5))$ di titik $x=1$.
Larutan. Persamaan tangen ditentukan oleh rumus yang kita ketahui:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Dalam kasus kami $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Mari kita cari turunannya:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Mari kita hitung:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Tentukan persamaan tangen:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Jawaban: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Tugas untuk solusi independen

1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: $y=x^\frac(4)(3)$ pada segmen:
a) $$.
b) $(4.50)$.
c) pada sinar $$.
3. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Buat grafik fungsi: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Tulis persamaan garis singgung garis $y=x^(-\frac(3)(7))$ di titik $x=1$.

Kuliah: Fungsi daya dengan eksponen alami, grafiknya

Kami terus-menerus berurusan dengan fungsi di mana argumen memiliki beberapa kekuatan:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1, dll.

Grafik Fungsi Daya

Jadi, sekarang kita akan mempertimbangkan beberapa kemungkinan kasus fungsi daya.

1) y = x 2 n .

Ini berarti bahwa sekarang kita akan mempertimbangkan fungsi di mana eksponennya adalah bilangan genap.

Fitur Fitur:

1. Semua bilangan real diterima sebagai rentang.

2. Fungsi dapat mengambil semua nilai positif dan angka nol.

3. Fungsinya genap karena tidak bergantung pada tanda argumen, tetapi hanya pada modulusnya.

4. Untuk argumen positif, fungsinya meningkat, dan untuk argumen negatif, fungsinya menurun.

Grafik fungsi-fungsi ini menyerupai parabola. Misalnya, di bawah ini adalah grafik fungsi y \u003d x 4.

2) Fungsi memiliki eksponen ganjil: y \u003d x 2 n +1.

1. Domain dari fungsi tersebut adalah seluruh himpunan bilangan real.

2. Rentang fungsi - dapat berbentuk bilangan real apa pun.

3. Fungsi ini aneh.

4. Secara monoton meningkat selama seluruh interval mempertimbangkan fungsi.

5. Grafik semua fungsi pangkat dengan eksponen ganjil identik dengan fungsi y \u003d x 3.

3) Fungsi ini memiliki eksponen natural genap negatif: y \u003d x -2 n.

Kita semua tahu bahwa eksponen negatif memungkinkan Anda untuk memasukkan eksponen ke dalam penyebut dan mengubah tanda eksponen, yaitu, Anda mendapatkan bentuk y \u003d 1 / x 2 n.

1. Argumen dari fungsi ini dapat mengambil nilai apa pun kecuali nol, karena variabel ada dalam penyebut.

2. Karena eksponen adalah bilangan genap, fungsi tidak dapat mengambil nilai negatif. Dan karena argumen tidak bisa sama dengan nol, maka nilai fungsi yang sama dengan nol juga harus dikecualikan. Ini berarti bahwa fungsi hanya dapat mengambil nilai positif.

3. Fungsi ini merata.

4. Jika argumennya negatif, fungsinya meningkat secara monoton, dan jika positif, fungsinya menurun.

Tampilan grafik fungsi y \u003d x -2:

4) Fungsi dengan eksponen ganjil negatif y \u003d x - (2 n + 1) .

1. Fungsi ini ada untuk semua nilai argumen, kecuali angka nol.

2. Fungsi menerima semua nilai real, kecuali angka nol.

3. Fungsi ini aneh.

4. Penurunan pada dua interval yang dipertimbangkan.

Pertimbangkan contoh grafik fungsi dengan eksponen ganjil negatif menggunakan contoh y \u003d x -3.

Sifat-sifat fungsi daya dan grafiknya

Fungsi daya dengan eksponen sama dengan nol, p = 0

Jika eksponen fungsi daya y = x p sama dengan nol, p = 0, maka fungsi daya didefinisikan untuk semua x 0 dan konstan sama dengan satu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x 0.

Fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami, p = n = 1, 3, 5, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen ganjil alami n = 1, 3, 5, .... Eksponen tersebut juga dapat ditulis sebagai: n = 2k + 1, di mana k = 0, 1, 2, 3, .. adalah bilangan bulat non-negatif. Di bawah ini adalah sifat dan grafik dari fungsi tersebut.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami di nilai yang berbeda eksponen n = 1, 3, 5, ....

Daerah definisi: –∞< x < ∞

Himpunan nilai: –∞< y < ∞

Ekstrem: tidak

Cembung:

di –∞< x < 0 выпукла вверх

pada 0< x < ∞ выпукла вниз

Titik belok: x = 0, y = 0

Nilai pribadi:

di x = –1, y(–1) = (–1) n (–1) 2m+1 = –1

untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Fungsi pangkat dengan eksponen genap alami, p = n = 2, 4, 6, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen genap alami n = 2, 4, 6, .... Eksponen tersebut juga dapat ditulis sebagai: n = 2k, di mana k = 1, 2, 3, .. .adalah alam. Sifat dan grafik fungsi tersebut diberikan di bawah ini.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan pangkat genap alami untuk berbagai nilai pangkat n = 2, 4, 6, ....

Daerah definisi: –∞< x < ∞

Kumpulan nilai: 0 y< ∞

Nada datar:

di x< 0 монотонно убывает

untuk x > 0 naik secara monoton

Ekstrem: minimum, x = 0, y = 0

Cembung: cembung ke bawah

Poin lutut: tidak

Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, y = 0
Nilai pribadi:

di x = –1, y(–1) = (–1) n (–1) 2m = 1

untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif bilangan bulat, p = n = -1, -2, -3, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif n = -1, -2, -3, .... Jika kita menempatkan n = –k, di mana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif untuk berbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ....

Eksponen ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen negatif ganjil n = -1, -3, -5, ....

Domain definisi: x 0

Himpunan nilai: y 0

Paritas: ganjil, y(–x) = – y(x)

Ekstrem: tidak

Cembung:

di x< 0: выпукла вверх

untuk x > 0: cembung ke bawah

Poin lutut: tidak

Tanda: di x< 0, y < 0

untuk x > 0, y > 0

Nilai pribadi:

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Eksponen genap, n = -2, -4, -6, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat genap negatif n = -2, -4, -6, ....

Domain definisi: x 0

Himpunan nilai: y > 0

Paritas: genap, y(–x) = y(x)

Nada datar:

di x< 0: монотонно возрастает

untuk x > 0: menurun secara monoton

Ekstrem: tidak

Cembung: cembung ke bawah

Poin lutut: tidak

Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: no

Tanda: y > 0

Nilai pribadi:

di x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional (pecahan)

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional (pecahan), di mana n adalah bilangan bulat, m > 1 adalah bilangan asli. Selain itu, n, m tidak memiliki pembagi yang sama.

Penyebut indikator pecahan ganjil

Biarkan penyebut dari eksponen pecahan menjadi ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p didefinisikan untuk nilai positif dan negatif dari argumen. Mari kita pertimbangkan sifat-sifat fungsi daya tersebut ketika eksponen p berada dalam batas-batas tertentu.

p negatif, p< 0

Biarkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ...) kurang dari nol: .

Grafik Fungsi Daya dengan eksponen negatif rasional untuk berbagai nilai eksponen , di mana m = 3, 5, 7, ... ganjil.

Pembilang ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Kami menyajikan sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen negatif rasional , di mana n = -1, -3, -5, ... adalah bilangan bulat negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil.

Domain definisi: x 0

Himpunan nilai: y 0

Paritas: ganjil, y(–x) = – y(x)

Monotonisitas: menurun secara monoton

Ekstrem: tidak

Cembung:

di x< 0: выпукла вверх

untuk x > 0: cembung ke bawah

Poin lutut: tidak

Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: no

di x< 0, y < 0

untuk x > 0, y > 0

Nilai pribadi:

di x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Pembilang genap, n = -2, -4, -6, ...

Sifat fungsi pangkat y = x p dengan pangkat negatif rasional , dimana n = -2, -4, -6, ... adalah bilangan bulat negatif genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil.

Domain definisi: x 0

Himpunan nilai: y > 0

Paritas: genap, y(–x) = y(x)

Nada datar:

di x< 0: монотонно возрастает

untuk x > 0: menurun secara monoton

Ekstrem: tidak

Cembung: cembung ke bawah

Poin lutut: tidak

Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: no

Tanda: y > 0

Nilai p positif, kurang dari satu, 0< p < 1

Grafik fungsi daya dengan eksponen rasional (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Pembilang ganjil, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Daerah definisi: –∞< x < +∞

Himpunan nilai: –∞< y < +∞

Paritas: ganjil, y(–x) = – y(x)

Monotonisitas: meningkat secara monoton

Ekstrem: tidak

Cembung:

di x< 0: выпукла вниз

untuk x > 0: cembung ke atas

Titik belok: x = 0, y = 0

Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, y = 0

di x< 0, y < 0

untuk x > 0, y > 0

Nilai pribadi:

di x = -1, y(-1) = -1

untuk x = 0, y(0) = 0

untuk x = 1, y(1) = 1

Pembilang genap, n = 2, 4, 6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional , berada dalam 0 disajikan.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Daerah definisi: –∞< x < +∞

Kumpulan nilai: 0 y< +∞

Paritas: genap, y(–x) = y(x)

Nada datar:

di x< 0: монотонно убывает

untuk x > 0: meningkat secara monoton

Ekstrem: minimum pada x = 0, y = 0

Cembung: cembung ke atas pada x 0

Poin lutut: tidak

Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, y = 0

Tanda: untuk x 0, y > 0

Pada domain fungsi daya y = x p, rumus berikut berlaku:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Sifat-sifat fungsi daya dan grafiknya

Fungsi daya dengan eksponen sama dengan nol, p = 0

Jika eksponen fungsi daya y = x p sama dengan nol, p = 0 , maka fungsi daya didefinisikan untuk semua x 0 dan konstan, sama dengan satu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x 0.

Fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami, p = n = 1, 3, 5, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen ganjil alami n = 1, 3, 5, ... . Indikator seperti itu juga dapat ditulis sebagai: n = 2k + 1, di mana k = 0, 1, 2, 3, ... adalah bilangan bulat non-negatif. Di bawah ini adalah sifat dan grafik dari fungsi tersebut.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan pangkat ganjil alami untuk berbagai nilai pangkat n = 1, 3, 5, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Breakpoint: x=0, y=0
x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
di x = -1,
y(-1) = (-1) n (-1) 2k+1 = -1
untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 1 , fungsi invers terhadap dirinya sendiri: x = y
untuk n 1, fungsi invers adalah akar dari derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen genap alami, p = n = 2, 4, 6, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen genap alami n = 2, 4, 6, ... . Indikator seperti itu juga dapat ditulis sebagai: n = 2k, di mana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli. Sifat dan grafik fungsi tersebut diberikan di bawah ini.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan pangkat genap alami untuk berbagai nilai pangkat n = 2, 4, 6, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: 0 y< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
untuk x 0 secara monoton menurun
untuk x 0 meningkat secara monoton
Ekstrem: minimum, x=0, y=0
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n (-1) 2k = 1
untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 2, Akar pangkat dua:
untuk n 2, akar derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif bilangan bulat, p = n = -1, -2, -3, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif n = -1, -2, -3, ... . Jika kita menempatkan n = -k, di mana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif untuk berbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ... .

Eksponen ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen negatif ganjil n = -1, -3, -5, ... .

Domain: x 0
Beberapa nilai: y 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: berkurang secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0 : cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = -1,
untuk n< -2 ,

Eksponen genap, n = -2, -4, -6, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat genap negatif n = -2, -4, -6, ... .

Domain: x 0
Beberapa nilai: y > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0 : menurun secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Tanda: y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = -2,
untuk n< -2 ,

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional (pecahan)

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional (pecahan), di mana n adalah bilangan bulat, m > 1 adalah bilangan asli. Selain itu, n, m tidak memiliki pembagi yang sama.

Penyebut indikator pecahan ganjil

Biarkan penyebut dari eksponen pecahan menjadi ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam hal ini, fungsi daya x p didefinisikan untuk nilai x positif dan negatif. Pertimbangkan sifat-sifat fungsi daya tersebut ketika eksponen p berada dalam batas-batas tertentu.

p negatif, p< 0

Biarkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ... ) kurang dari nol: .

Grafik fungsi eksponen dengan eksponen negatif rasional untuk berbagai nilai eksponen , di mana m = 3, 5, 7, ... ganjil.

Pembilang ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Berikut adalah sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan pangkat negatif rasional , dimana n = -1, -3, -5, ... adalah bilangan bulat negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... bilangan asli ganjil.

Domain: x 0
Beberapa nilai: y 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: berkurang secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0 : cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = -2, -4, -6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan pangkat negatif rasional, di mana n = -2, -4, -6, ... adalah bilangan bulat negatif genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil .

Domain: x 0
Beberapa nilai: y > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0 : menurun secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Tanda: y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Nilai p positif, kurang dari satu, 0< p < 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Pembilang ganjil, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Beberapa nilai: -∞ < y < +∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di x< 0 : выпукла вниз
untuk x > 0 : cembung ke atas
Breakpoint: x=0, y=0
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 2, 4, 6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional , berada dalam 0 disajikan.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Beberapa nilai: 0 y< +∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно убывает
untuk x > 0 : naik secara monoton
Ekstrem: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke atas pada x 0
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Tanda: untuk x 0, y > 0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = 1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Eksponen p lebih besar dari satu, p > 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (p > 1 ) untuk berbagai nilai eksponen , di mana m = 3, 5, 7, ... ganjil.

Pembilang ganjil, n = 5, 7, 9, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 5, 7, 9, ... adalah bilangan asli ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil.

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Breakpoint: x=0, y=0
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 4, 6, 8, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 4, 6, 8, ... adalah bilangan asli genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil.

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: 0 y< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 монотонно убывает
untuk x > 0 naik secara monoton
Ekstrem: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = 1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Penyebut dari indikator pecahan adalah genap

Biarkan penyebut dari eksponen pecahan menjadi genap: m = 2, 4, 6, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p tidak ditentukan untuk nilai negatif dari argumen. Sifatnya bertepatan dengan fungsi pangkat dengan eksponen irasional (lihat bagian berikutnya).

Fungsi daya dengan eksponen irasional

Pertimbangkan fungsi daya y = x p dengan eksponen irasional p . Sifat-sifat fungsi tersebut berbeda dari yang dipertimbangkan di atas karena tidak ditentukan untuk nilai negatif dari argumen x. Untuk nilai positif argumen, properti hanya bergantung pada nilai eksponen p dan tidak bergantung pada apakah p bilangan bulat, rasional, atau irasional.

y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.

Fungsi daya dengan p negative negatif< 0

Domain: x > 0
Beberapa nilai: y > 0
Nada datar: berkurang secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Batas: ;
nilai pribadi: Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Fungsi daya dengan eksponen positif p > 0

Indikatornya kurang dari satu 0< p < 1

Domain: x 0
Beberapa nilai: y 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke atas
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
Nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikatornya lebih besar dari satu p > 1

Domain: x 0
Beberapa nilai: y 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
Nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Education Institutions, Lan, 2009.