Merencanakan fungsi linier yang berisi modul. Cara Menyelesaikan Persamaan dengan Modulus: Aturan Dasar
, Kompetisi "Presentasi untuk pelajaran"
Presentasi untuk pelajaran
Mundur ke depan
Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.
Tujuan pelajaran:
- ulangi konstruksi grafik fungsi yang mengandung tanda modulus;
- berkenalan dengan metode baru untuk membangun grafik fungsi linier-sepotong;
- memperbaiki metode baru ketika memecahkan masalah.
Peralatan:
- proyektor multimedia,
- poster.
Selama kelas
Pembaruan pengetahuan
Di layar geser 1 dari presentasi.
Tentukan grafik fungsi y=|x| ? (slide 2).
(set dari garis-bagi dari 1 dan 2 sudut koordinat)
Temukan korespondensi antara fungsi dan grafik, jelaskan pilihan Anda (slide 3).
Gambar 1
Sebutkan algoritme untuk membuat grafik fungsi berbentuk y=|f(x)| pada contoh fungsi y=|x 2 -2x-3| (slide 4)
Siswa: untuk membuat grafik fungsi ini, Anda perlu
Bangun parabola y=x 2 -2x-3
Gambar 2
Gambar 3
Sebutkan algoritme untuk membuat grafik fungsi berbentuk y=f(|x|) menggunakan contoh fungsi y=x 2 -2|x|-3 (slide 6).
Bangun parabola.
Bagian dari grafik pada x 0 disimpan dan ditampilkan secara simetri terhadap sumbu y (slide 7)
Gambar 4
Sebutkan algoritma untuk membuat grafik fungsi berbentuk y=|f(|x|)| pada contoh fungsi y=|x 2 -2|x|-3| (slide 8).
Siswa: Untuk membuat grafik fungsi ini, Anda memerlukan:
Anda perlu membuat parabola y \u003d x 2 -2x-3
Kami membangun y \u003d x 2 -2 | x | -3, menyimpan bagian dari grafik dan menampilkannya secara simetris sehubungan dengan OS
Kami menyimpan bagian di atas OX, dan menampilkan bagian bawah secara simetris sehubungan dengan OX (slide 9)
Gambar 5
Tugas selanjutnya ditulis di buku catatan.
1. Gambarlah grafik fungsi linier-sepotong y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Siswa di papan tulis berkomentar:
Kami menemukan nol dari ekspresi submodul x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Memecah sumbu menjadi interval
Untuk setiap interval, kami menulis fungsi
di x< -2, у=-х-4
di -2x<1, у=х
pada 1x<3, у = 3х-2
di x 3, y \u003d x + 4
Kami membangun grafik fungsi linier-sepotong.
Kami telah membangun grafik fungsi menggunakan definisi modul (slide 10).
Gambar 6
Saya memberikan perhatian Anda pada "metode simpul", yang memungkinkan Anda untuk memplot fungsi linier-sepotong (slide 11). Anak-anak menuliskan algoritma konstruksi di buku catatan.
Metode simpul
Algoritma:
- Temukan nol dari setiap ekspresi submodul
- Mari kita buat tabel di mana, selain nol, kita menulis satu nilai argumen di kiri dan kanan
- Mari kita letakkan titik-titik pada bidang koordinat dan hubungkan secara seri
2. Mari kita analisis metode ini pada fungsi yang sama y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Guru ada di papan tulis, anak-anak di buku catatan mereka.
Metode simpul:
Temukan nol dari setiap ekspresi submodule;
Mari kita buat tabel di mana, selain nol, kita menulis satu nilai argumen di kiri dan kanan
Mari kita letakkan titik-titik pada bidang koordinat dan hubungkan secara seri.
Grafik fungsi linier-sepotong adalah garis putus-putus dengan tautan ekstrem tak terbatas (slide 12).
Gambar 7
Metode apa yang membuat grafik lebih cepat dan mudah?
3. Untuk memperbaiki metode ini, saya mengusulkan untuk melakukan tugas berikut:
Untuk nilai x berapa fungsi y=|x-2|-|x+1| mengambil nilai terbesar.
Kami mengikuti algoritma; siswa di papan tulis.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, hubungkan titik-titik tersebut secara seri.
4. Tugas tambahan
Untuk nilai a berapa persamaan ||4+x|-|x-2||=a memiliki dua akar.
5. Pekerjaan rumah
a) Berapa nilai X fungsi y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| mengambil nilai terkecil.
b) Gambarkan fungsi y=||x-1|-2|-3| .
, Kompetisi "Presentasi untuk pelajaran"
Presentasi untuk pelajaran
Mundur ke depan
Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.
Tujuan pelajaran:
- ulangi konstruksi grafik fungsi yang mengandung tanda modulus;
- berkenalan dengan metode baru untuk membangun grafik fungsi linier-sepotong;
- mengkonsolidasikan metode baru dalam memecahkan masalah.
Peralatan:
- proyektor multimedia,
- poster.
Selama kelas
Pembaruan pengetahuan
Di layar geser 1 dari presentasi.
Tentukan grafik fungsi y=|x| ? (slide 2).
(set dari garis-bagi dari 1 dan 2 sudut koordinat)
Temukan korespondensi antara fungsi dan grafik, jelaskan pilihan Anda (slide 3).
Gambar 1
Sebutkan algoritme untuk membuat grafik fungsi berbentuk y=|f(x)| pada contoh fungsi y=|x 2 -2x-3| (slide 4)
Siswa: untuk membuat grafik fungsi ini, Anda perlu
Bangun parabola y=x 2 -2x-3
Gambar 2
Gambar 3
Sebutkan algoritme untuk membuat grafik fungsi berbentuk y=f(|x|) menggunakan contoh fungsi y=x 2 -2|x|-3 (slide 6).
Bangun parabola.
Bagian dari grafik pada x 0 disimpan dan ditampilkan secara simetri terhadap sumbu y (slide 7)
Gambar 4
Sebutkan algoritma untuk membuat grafik fungsi berbentuk y=|f(|x|)| pada contoh fungsi y=|x 2 -2|x|-3| (slide 8).
Siswa: Untuk membuat grafik fungsi ini, Anda memerlukan:
Anda perlu membuat parabola y \u003d x 2 -2x-3
Kami membangun y \u003d x 2 -2 | x | -3, menyimpan bagian dari grafik dan menampilkannya secara simetris sehubungan dengan OS
Kami menyimpan bagian di atas OX, dan menampilkan bagian bawah secara simetris sehubungan dengan OX (slide 9)
Gambar 5
Tugas selanjutnya ditulis di buku catatan.
1. Gambarlah grafik fungsi linier-sepotong y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Siswa di papan tulis berkomentar:
Kami menemukan nol dari ekspresi submodul x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Memecah sumbu menjadi interval
Untuk setiap interval, kami menulis fungsi
di x< -2, у=-х-4
di -2x<1, у=х
pada 1x<3, у = 3х-2
di x 3, y \u003d x + 4
Kami membangun grafik fungsi linier-sepotong.
Kami telah membangun grafik fungsi menggunakan definisi modul (slide 10).
Gambar 6
Saya memberikan perhatian Anda pada "metode simpul", yang memungkinkan Anda untuk memplot fungsi linier-sepotong (slide 11). Anak-anak menuliskan algoritma konstruksi di buku catatan.
Metode simpul
Algoritma:
- Temukan nol dari setiap ekspresi submodul
- Mari kita buat tabel di mana, selain nol, kita menulis satu nilai argumen di kiri dan kanan
- Mari kita letakkan titik-titik pada bidang koordinat dan hubungkan secara seri
2. Mari kita analisis metode ini pada fungsi yang sama y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Guru ada di papan tulis, anak-anak di buku catatan mereka.
Metode simpul:
Temukan nol dari setiap ekspresi submodule;
Mari kita buat tabel di mana, selain nol, kita menulis satu nilai argumen di kiri dan kanan
Mari kita letakkan titik-titik pada bidang koordinat dan hubungkan secara seri.
Grafik fungsi linier-sepotong adalah garis putus-putus dengan tautan ekstrem tak terbatas (slide 12).
Gambar 7
Metode apa yang membuat grafik lebih cepat dan mudah?
3. Untuk memperbaiki metode ini, saya mengusulkan untuk melakukan tugas berikut:
Untuk nilai x berapa fungsi y=|x-2|-|x+1| mengambil nilai terbesar.
Kami mengikuti algoritma; siswa di papan tulis.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, hubungkan titik-titik tersebut secara seri.
4. Tugas tambahan
Untuk nilai a berapa persamaan ||4+x|-|x-2||=a memiliki dua akar.
5. Pekerjaan rumah
a) Berapa nilai X fungsi y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| mengambil nilai terkecil.
b) Gambarkan fungsi y=||x-1|-2|-3| .
Fungsi dari bentuk y=|x|.
Grafik fungsi pada interval - dengan grafik fungsi y \u003d -x.
Pertimbangkan dulu kasus paling sederhana - fungsi y=|x|. Menurut definisi modul, kami memiliki:
Jadi, untuk x≥0 fungsi y=|x| bertepatan dengan fungsi y \u003d x, dan untuk x Dengan menggunakan penjelasan ini, mudah untuk memplot fungsi y \u003d | x | (Gbr. 1).
Sangat mudah untuk melihat bahwa grafik ini adalah gabungan dari bagian grafik fungsi y \u003d x, yang terletak tidak di bawah sumbu OX, dan garis yang diperoleh dari refleksi cermin tentang sumbu OX, bagian itu, yang terletak di bawah sumbu OX.
Metode ini juga cocok untuk memplot grafik fungsi y=|kx+b|.
Jika grafik fungsi y=kx+b ditunjukkan pada Gambar 2, maka grafik fungsi y=|kx+b| adalah garis yang ditunjukkan pada Gambar 3.
(!LANG:Contoh 1. Gambarkan fungsi y=||1-x 2 |-3|.
Mari buat grafik fungsi y=1-x 2 dan terapkan operasi "modul" padanya (bagian grafik yang terletak di bawah sumbu OX direfleksikan secara simetris relatif terhadap sumbu OX).
Mari kita geser grafik ke bawah dengan 3.
Mari kita terapkan operasi "modul" dan dapatkan grafik akhir dari fungsi y=||1-x 2 |-3|
Contoh 2 Gambarkan fungsi y=||x 2 -2x|-3|.
Sebagai hasil dari transformasi, kita mendapatkan y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Mari kita buat grafik fungsi y=(x-1) 2 -1: bangun parabola y=x 2 dan geser ke kanan 1 dan turun 1.
Mari kita terapkan operasi "modul" padanya (bagian dari grafik yang terletak di bawah sumbu OX direfleksikan secara simetris terhadap sumbu OX).
Mari kita geser grafik ke bawah 3 dan menerapkan operasi "modul", sebagai hasilnya kita akan mendapatkan grafik akhir.
Contoh 3 Plot fungsinya.
Untuk memperluas modul, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:
1)x>0, maka modul akan terbuka dengan tanda "+" =
2) x =
Mari kita buat grafik untuk kasus pertama.
Mari kita buang bagian grafik, di mana x
Mari kita buat grafik untuk kasus kedua dan dengan cara yang sama membuang bagian di mana x>0, sebagai hasil yang kita dapatkan.
Mari gabungkan kedua grafik dan dapatkan yang terakhir.
Contoh 4 Plot fungsinya.
Pertama, mari kita buat grafik fungsi.Untuk ini, akan lebih mudah untuk memilih bagian bilangan bulat, kita dapatkan. Membangun di atas tabel nilai, kita mendapatkan grafik.
Mari kita terapkan operasi modulus (bagian dari grafik yang terletak di bawah sumbu OX direfleksikan secara simetris terhadap sumbu OX). Kami mendapatkan grafik terakhir
Contoh 5 Gambarkan fungsi y=|-x 2 +6x-8|. Pertama, kita sederhanakan fungsinya menjadi y=1-(x-3) 2 dan membangun grafiknya
Sekarang kami menerapkan operasi "modul" dan mencerminkan bagian grafik di bawah sumbu OX, relatif terhadap sumbu OX
Contoh 6 Gambarkan fungsi y=-x 2 +6|x|-8. Kami juga menyederhanakan fungsi menjadi y=1-(x-3) 2 dan membangun grafiknya
Sekarang kami menerapkan operasi "modul" dan mencerminkan bagian grafik di sebelah kanan sumbu oY, ke sisi kiri
Contoh 7 Gambarkan sebuah fungsi 
. Mari kita plot fungsinya
Mari kita plot fungsinya
Mari kita lakukan transfer paralel dengan 3 unit segmen ke kanan dan 2 ke atas. Grafiknya akan terlihat seperti:
Mari kita terapkan operasi "modul" dan refleksikan bagian grafik di sebelah kanan garis lurus x=3 ke dalam setengah bidang kiri.
Tanda modulo mungkin merupakan salah satu fenomena paling menarik dalam matematika. Dalam hal ini, banyak anak sekolah memiliki pertanyaan tentang bagaimana membangun grafik fungsi yang berisi modul. Mari kita periksa masalah ini secara rinci.
1. Merencanakan fungsi yang berisi modul
Contoh 1
Gambarkan fungsi y = x 2 – 8|x| + 12.
Larutan.
Mari kita mendefinisikan paritas fungsi. Nilai y(-x) sama dengan nilai y(x), jadi fungsi ini genap. Maka grafiknya simetris terhadap sumbu Oy. Kami membuat grafik fungsi y \u003d x 2 - 8x + 12 untuk x 0 dan secara simetris menampilkan grafik relatif terhadap Oy untuk x negatif (Gbr. 1).
Contoh 2
Grafik selanjutnya adalah y = |x 2 – 8x + 12|.
– Berapa kisaran dari fungsi yang diusulkan? (y 0).
- Bagaimana grafiknya? (Di atas atau menyentuh sumbu x).
Ini berarti grafik fungsi diperoleh sebagai berikut: mereka memplot fungsi y \u003d x 2 - 8x + 12, membiarkan bagian grafik yang terletak di atas sumbu Ox tidak berubah, dan bagian grafik yang terletak di bawah sumbu absis ditampilkan secara simetris relatif terhadap sumbu Ox (Gbr. 2).
Contoh 3
Untuk memplot fungsi y = |x 2 – 8|x| + 12| melakukan kombinasi transformasi:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Jawaban: gambar 3.
Transformasi yang dipertimbangkan berlaku untuk semua jenis fungsi. Mari kita buat tabel:
2. Merencanakan fungsi yang mengandung "modul bersarang" dalam rumus
Kita telah berkenalan dengan contoh fungsi kuadrat yang mengandung modulus, serta aturan umum untuk membuat grafik fungsi dalam bentuk y = f(|x|), y = |f(x)| dan y = |f(|x|)|. Transformasi ini akan membantu kita ketika mempertimbangkan contoh berikut.
Contoh 4
Pertimbangkan fungsi dari bentuk y = |2 – |1 – |x|||. Ekspresi yang mendefinisikan fungsi berisi "modul bersarang".
Larutan.
Kami menggunakan metode transformasi geometris.
Mari kita tuliskan rantai transformasi yang berurutan dan buat gambar yang sesuai (Gbr. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Mari kita pertimbangkan kasus-kasus ketika transformasi translasi simetri dan paralel bukanlah teknik utama untuk merencanakan.
Contoh 5
Buat grafik fungsi berbentuk y \u003d (x 2 - 4) / (x + 2) 2.
Larutan.
Sebelum membuat grafik, kita mengubah rumus yang mendefinisikan fungsi dan mendapatkan definisi analitis lain dari fungsi tersebut (Gbr. 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Mari kita perluas modul dalam penyebut:
Untuk x > -2, y = x - 2, dan untuk x< -2, y = -(x – 2).
Domain D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Rentang E(y) = (-4; +∞).
Titik di mana grafik berpotongan dengan sumbu koordinat: (0; -2) dan (2; 0).
Fungsi menurun untuk semua x dari interval (-∞; -2), meningkat untuk x dari -2 ke +∞.
Di sini kita harus mengungkapkan tanda modulus dan memplot fungsi untuk setiap kasus.
Contoh 6
Pertimbangkan fungsi y = |x + 1| – |x – 2|.
Larutan.
Memperluas tanda modul, perlu untuk mempertimbangkan semua kemungkinan kombinasi tanda ekspresi submodul.
Ada empat kemungkinan kasus:
(x + 1 - x + 2 = 3, dengan x -1 dan x 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, dengan x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, untuk x -1 dan x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, dengan x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Maka fungsi aslinya akan terlihat seperti:
(3, untuk x 2;
y = (-3, di x< -1;
(2x – 1, dengan -1 x< 2.
Kami mendapat fungsi yang diberikan sepotong-sepotong, grafiknya ditunjukkan pada Gambar 6.
3. Algoritma untuk membuat grafik fungsi dari bentuk
y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + kapak + b.
Pada contoh sebelumnya, cukup mudah untuk memperluas tanda modul. Jika ada lebih banyak jumlah modul, maka sulit untuk mempertimbangkan semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda ekspresi submodul. Bagaimana kita dapat membuat grafik fungsi dalam kasus ini?
Perhatikan bahwa grafik adalah polyline, dengan simpul pada titik memiliki absis -1 dan 2. Untuk x = -1 dan x = 2, ekspresi submodul sama dengan nol. Secara praktis, kami mendekati aturan untuk membuat grafik seperti itu:
Grafik fungsi berbentuk y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b adalah garis putus-putus dengan tautan ujung tak terbatas. Untuk membangun polyline seperti itu, cukup mengetahui semua simpulnya (absis simpul adalah nol dari ekspresi submodule) dan satu titik kontrol masing-masing di tautan tak terbatas kiri dan kanan. 
Sebuah tugas.
Gambarkan fungsi y = |x| + |x – 1| + |x + 1| dan temukan nilai terkecilnya.
Larutan:
Nol ekspresi submodul: 0; -satu; 1. Simpul dari polyline (0; 2); (-13); (13). Titik kontrol di sebelah kanan (2; 6), di sebelah kiri (-2; 6). Kami membangun grafik (Gbr. 7). min f(x) = 2.
Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara membuat grafik fungsi dengan modulus?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.