Կաղապարների կորերի կառուցումն իրականացվում է հետևյալ կերպ.

Նախ որոշվում են կորին պատկանող կետերը, այնուհետև դրանք միացվում են օրինաչափության միջոցով։ Կաղապարի կորերը ներառում են պարաբոլայի, հիպերբոլայի, էլիպսի այսպես կոչված կոնական հատվածները, որոնք ստացվում են շրջանաձև կոնը հարթությամբ, ինվոլյուտով, սինուսոիդով և այլն կտրելով:

1. Էլիպսի կառուցում.

2. Էլիպսի ֆոկուս

3. Պարաբոլայի կառուցում

6. Կաղապարների գծագրում:

Էլիպսը կոնաձև հատված է, որը պատկանում է այսպես կոչված նախշային կորերին։ Էլիպս, հիպերբոլա և պարաբոլա ստացվում են հարթությամբ, սինուսոիդով, ինվոլյուտով և այլ կորերով շրջանաձև կոն կտրելով։

Նկար 41. Կոնի հատումը հարթության կողմից էլիպսի (ա) և էլիպսի (բ) երկայնքով:

Կաղապարների կորեր (պարաբոլա, էլիպս, հիպերբոլա) կառուցելու համար որոշվում են կորին պատկանող կետերը, այնուհետև բոլոր կետերը միացվում են օրինաչափության միջոցով: Այն դեպքում, երբ շրջանաձև կոնի մակերեսը կտրված է թեքված հարթության միջով, այնպես, որ թեքված հարթությունը հատում է շրջանաձև կոնի բոլոր գեներատորները, ապա ինքնին հատվածի հարթությունում ձևավորվում է էլիպս (տե՛ս Նկար 41, ա )

Էլիպսը հարթ փակ կոր է, որում նրա յուրաքանչյուր կետի հեռավորությունների գումարը` M-ից երկու տրված F1 և F2 կետերը, հաստատուն արժեք է: Այս հաստատուն արժեքը հավասար է էլիպսի հիմնական առանցքին MF1 + MF2 = AB Էլիպսի փոքր առանցքը և AB հիմնական առանցքը փոխադարձաբար ուղղահայաց են, և մի առանցքը կիսում է մյուսը:

Նկար 42. Էլիպսի կառուցում առանցքների երկայնքով


Այսպիսով, առանցքները էլիպսի կորը բաժանում են չորս զույգ սիմետրիկ հավասար մասերի։ Եթե ​​փոքր առանցքի CD ծայրերից, ինչպես կենտրոններից, նկարագրենք շրջանագծի մի աղեղ, որի շառավիղը հավասար է էլիպսի հիմնական առանցքի կեսին R=OA=OB, ապա այն կհատի այն F1 և F2 կետերում։ , որոնք կոչվում են օջախներ։

Նկար 42-ը ցույց է տալիս իր առանցքների երկայնքով էլիպսի կառուցման օրինակը Տրված AB և CD առանցքների վրա, ինչպես տրամագծերի վրա, մենք կառուցում ենք երկու համակենտրոն շրջանակներ, որոնց կենտրոնը գտնվում է O կետում: Մենք մեծ շրջանակը բաժանում ենք կամայական թվով մասերի և միացնում: ստացված կետերը՝ ուղիղ գծերով դեպի O կենտրոն։

Խաչմերուկ 1 կետերից; 2; 3; 4; Օժանդակ շրջանագծերով հորիզոնական և ուղղահայաց գծերի հատվածներ ենք գծում այնքան ժամանակ, մինչև դրանք հատվեն E, F, K, M կետերում, որոնք պատկանում են էլիպսին։ Հաջորդը, օգտագործելով օրինաչափություն, հարթ կորի կառուցված կետերը միացվում են, և արդյունքում ստացվում է էլիպս:

Կաղապարների կորերի կառուցում, պարաբոլա

Նկար 43. Կոնի հատումը պարաբոլայի երկայնքով հարթությամբ: Կառուցեք պարաբոլա՝ օգտագործելով կիզակետը և ուղղագիծը:

Եթե ​​դուք կտրում եք շրջանաձև կոն, որը զուգահեռ է նրա գեներատորներից մեկին թեքված P հարթությամբ, ապա հատվածի հարթությունում ձևավորվում է պարաբոլա (տես Նկար 43 ա) պարաբոլան բաց հարթ կոր գիծ է: Պարաբոլայի յուրաքանչյուր կետ գտնվում է տրված ուղիղ գծից -MN, իսկ կիզակետից -F նույն հեռավորության վրա։

Ուղիղ MN ուղեցույց է և ուղղահայաց է պարաբոլայի առանցքին ֆոկուս և տրված ուղեցույց, կիզակետային կետի միջով -F, գծեք պարաբոլայի առանցքը -X, ուղղահայաց ուղեցույցը -MN:

Բաժանեք հատված-EF-ը և ստացեք պարաբոլայի գագաթը կամայական հեռավորության վրա գտնվող պարաբոլայի գագաթից, գծեք պարաբոլայի առանցքին ուղղահայաց գծեր: -L հեռավորությանը հավասար շառավղով -F կետից, համապատասխան ուղիղ գծից դեպի ուղեցույց, օրինակ՝ CB, մենք ուղիղ գիծ ենք կազմում դեպի սրան։ Այս դեպքում C և B կետերը.

Այսպիսով, կառուցելով մի քանի զույգ սիմետրիկ կետեր, մենք դրանց միջով հարթ կոր ենք գծում՝ օգտագործելով նախշը: Նկար (43 գ) ցույց է տալիս A և B կետերում OA և OB երկու ուղիղ գծերին շոշափող պարաբոլայի կառուցման օրինակ: OA և OB հատվածները բաժանված են նույն թվով հավասար մասերի (օրինակ՝ բաժանված ութի): Դրանից հետո ստացված բաժանման կետերը համարակալվում և միացվում են 1-1 ուղիղ գծերով. 2-2; 3-3 (տես նկար 43, գ) և այլն: Այս գծերը շոշափում են պարաբոլիկ կորին: Հարթ շոշափող պարաբոլայի կորն այնուհետև գծագրվում է ուղիղ գծերով ձևավորված եզրագծի մեջ:

Եթե ​​ուղիղ և հակադարձ կոնները կտրում եք իր երկու գեներատորներին զուգահեռ հարթությամբ կամ, կոնկրետ դեպքում, առանցքին զուգահեռ, ապա հատվածի հարթությունում դուք կստանաք հիպերբոլա, որը բաղկացած է երկու սիմետրիկ ճյուղերից (տե՛ս Նկար 45, ա) .

Գծապատկեր 45. Հիպերբոլայի (a) երկայնքով հարթության կողմից կոնի հատումը և (b) հիպերբոլայի կառուցումը:

Հիպերբոլան (Նկար 45, բ) հարթ կոր է, որի յուրաքանչյուր կետից մինչև երկու տրված F1 և F2 կետերի հեռավորությունների տարբերությունը, որոնք կոչվում են կիզակետեր, հաստատուն արժեք է և հավասար է a և b գագաթների միջև եղած հեռավորությանը, օրինակ SF1-SF2=ab. Հիպերբոլան ունի համաչափության երկու առանցք՝ իրական AB և երևակայական CD:

Երկու ուղիղներ KL և K1 L1, որոնք անցնում են հիպերբոլայի O կենտրոնով և դիպչում նրա ճյուղերին անվերջությամբ, կոչվում են ասիմպտոտներ: Հիպերբոլա կարելի է կառուցել տրված a և b գագաթներից և F1 և F2 օջախներից: Մենք որոշում ենք հիպերբոլայի գագաթները՝ ուղղանկյուն գրելով շրջանագծի մեջ, որը կառուցված է կիզակետային երկարությամբ (հատված F1 և F2), ինչպես տրամագիծը:

F2 ֆոկուսից աջ AB իրական առանցքի վրա մենք նշում ենք կամայական 1, 2, 3, 4, ... F1 և F2 ֆոկուսներից գծում ենք շրջանագծերի աղեղներ՝ սկզբում a-1 շառավղով, ապա b-1 մինչև. փոխադարձ հատում հիպերբոլայի իրական առանցքի երկու կողմերում: Հաջորդիվ կկատարենք հաջորդ զույգ աղեղների փոխադարձ հատումը a-2 և b-2 շառավղներով (կետ S) և այլն։

Ստացված աղեղների հատման կետերը պատկանում են հիպերբոլայի աջ ճյուղին։ Ձախ ճյուղի կետերը սիմետրիկ կլինեն կառուցված կետերի նկատմամբ երևակայական առանցքի CD-ի նկատմամբ:

Սինուսոիդը գլանաձև պարույրով շարժվող կետի հետագծի պրոյեկցիան է մխոցի առանցքին զուգահեռ հարթության վրա։ Կետի շարժումը բաղկացած է միատեսակ պտտվող շարժումից (գլանի առանցքի շուրջ) և հավասարաչափ փոխադրական շարժումից (գլանին զուգահեռ)։

Նկար 46. Սինուսոիդի կառուցում

Սինուսային ալիքը հարթ կոր է, որը ցույց է տալիս եռանկյունաչափական սինուսի ֆունկցիայի փոփոխությունը՝ կախված անկյան մեծության փոփոխությունից։ Սինուսոիդ կառուցելու համար (Նկար 46), D տրամագծով շրջանագծի O կենտրոնի միջով գծեք OX ուղիղ գիծ և դրա վրա գծեք O1 A հատված, որը հավասար է շրջանագծի երկարությանը π Դ. Այս հատվածը և շրջանագիծը բաժանում ենք նույն թվով հավասար մասերի։ Ստացված և համարակալված կետերից գծում ենք փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղներ։ Մենք կկապենք այս գծերի արդյունքում առաջացող խաչմերուկները՝ օգտագործելով հարթ կորի օրինակ:

Նախշերի կորեր գծելը

Կաղապարների կորերը կառուցված են կետերով: Այս կետերը միացված են նախշերով, նախ ձեռքով կոր գծելով: Կորի առանձին կետերի միացման սկզբունքը հետևյալն է.

Մենք ընտրում ենք նախշային աղեղի այն հատվածը, որը լավագույնս համընկնում է ուրվագծված կորի ամենաշատ կետերի հետ: Հաջորդը, մենք չենք գծի կորի ամբողջ աղեղը, որը համընկնում է օրինակին, այլ միայն դրա միջին մասը: Դրանից հետո մենք կընտրենք օրինաչափության մեկ այլ հատված, բայց այնպես, որ այս մասը դիպչի գծված կորի մոտավորապես մեկ երրորդին և կորի առնվազն երկու հաջորդ կետերին և այլն: Սա ապահովում է հարթ անցում կորի առանձին կամարների միջև:

ՄԵՆՔ ԽՈՐՀՈՒՐԴ ԵՆՔ Ձեզ նորից հրապարակել հոդվածը սոցիալական ցանցերում:

Էլիպսի կառուցում

Էլիպսը փակ հարթ ուռուցիկ կոր է, որի յուրաքանչյուր կետի հեռավորությունների գումարը հիմնական առանցքի վրա ընկած երկու տրված կետերից, որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն են և հավասար են հիմնական առանցքի երկարությանը: Երկու առանցքների երկայնքով օվալի կառուցումը (Նկար 23) կատարվում է հետևյալ կերպ.

• - գծեք առանցքային գծեր, որոնց վրա AB և CD հատվածները, որոնք հավասար են էլիպսի հիմնական և փոքր առանցքներին, սիմետրիկորեն դրված են O հատման կետից.
• - առանցքների հատման կետում կենտրոնով կառուցել երկու շրջան, որոնց շառավիղները հավասար են էլիպսի առանցքների կեսին.
• - շրջանագիծը բաժանեք տասներկու հավասար մասերի: Շրջանակի բաժանումը կատարվում է այնպես, ինչպես ցույց է տրված 2.3 պարագրաֆում.
• -ստացված կետերի միջով գծվում են տրամագծով ճառագայթներ;
• - ուղիղ գծեր են գծվում ճառագայթների հատման կետերից էլիպսի առանցքներին զուգահեռ համապատասխան շրջանագծերով, մինչև դրանք հատվեն իրար վրա ընկած կետերում.
• - ստացված կետերը միացված են հարթ կոր գծով, օգտագործելով նախշեր: Կաղապարի կորի գիծ կառուցելիս անհրաժեշտ է ընտրել և տեղադրել նախշը այնպես, որ միացված լինեն առնվազն չորսից հինգ կետեր:

Էլիպս կառուցելու այլ եղանակներ կան:

Պարաբոլայի կառուցում

Պարաբոլան հարթ կոր գիծ է, որի յուրաքանչյուր կետ հավասար հեռավորության վրա է DD 1 ուղղահայաց ուղիղ գիծ, ​​որը ուղղահայաց է պարաբոլայի համաչափության առանցքին, իսկ F կիզակետից՝ մի կետ, որը գտնվում է համաչափության առանցքի վրա: Ուղղորդիչի և կիզակետի միջև KF հեռավորությունը կոչվում է պարաբոլայի պարամետր էջ.

Նկար 24-ը ցույց է տալիս O գագաթի երկայնքով պարաբոլա գծելու օրինակ, OK առանցքի և ակորդի CD: Շինարարությունն իրականացվում է հետևյալ կերպ.

• - գծեք հորիզոնական ուղիղ գիծ, ​​որի վրա նշվում է O գագաթը և գծագրված է OK առանցքը.
• - K կետի միջով գծեք ուղղահայաց, որի վրա պարաբոլայի ակորդի երկարությունը սիմետրիկորեն վեր ու վար գծագրված է.
• - կառուցել ABCD ուղղանկյուն, որի մի կողմը հավասար է առանցքին, իսկ մյուսը հավասար է պարաբոլայի ակորդին.
• - BC կողմը բաժանված է մի քանի հավասար մասերի, իսկ KC հատվածը նույն թվով հավասար մասերի.
• - O պարաբոլայի գագաթից ճառագայթները գծվում են 1, 2 և այլն կետերով, և 1 1, 2 1 և այլն կետերով;
• - գծել առանցքներին զուգահեռ ուղիղ գծեր և որոշել ճառագայթների հատման կետերը համապատասխան զուգահեռ գծերով, օրինակ՝ O1 ճառագայթի հատման կետը O1 1 ուղիղ գծի հետ, որը պատկանում է պարաբոլային.
• - ստացված կետերը միացված են օրինաչափության տակ հարթ կոր գծով: Նմանատիպ ձևով է կառուցված պարաբոլայի երկրորդ ճյուղը։

Պարաբոլա կառուցելու այլ եղանակներ կան:

Ինչպե՞ս կառուցել պարաբոլա: Քառակուսային ֆունկցիան գծագրելու մի քանի եղանակ կա: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր դրական և բացասական կողմերը: Դիտարկենք երկու ճանապարհ.

Սկսենք y=x²+bx+c և y= -x²+bx+c ձևի քառակուսային ֆունկցիան գծելով:

Օրինակ.

Գծապատկերե՛ք y=x²+2x-3 ֆունկցիան:

Լուծում:

y=x²+2x-3 քառակուսի ֆունկցիա է: Գրաֆիկը պարաբոլա է՝ վերև ճյուղերով։ Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները

(-1;-4) գագաթից կառուցում ենք y=x² պարաբոլայի գրաֆիկը (որպես կոորդինատների սկզբնաղբյուր. (0;0)-ի փոխարեն՝ գագաթ (-1;-4): (-1; -4) մենք գնում ենք աջ 1 միավորով և վերևում 1 միավորով, այնուհետև ձախից 1-ով և 1-ով վերև, այնուհետև. 2 - աջ, 2 - ձախ, 3 - վերև, 3 -; ձախ, 9 - վեր Եթե այս 7 միավորը բավարար չէ, ապա 4-ը դեպի աջ, 16-ը դեպի վեր և այլն):

y= -x²+bx+c քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։ Գրաֆիկ կառուցելու համար մենք փնտրում ենք գագաթի կոորդինատները և նրանից կառուցում ենք y= -x² պարաբոլան:

Օրինակ.

Գծապատկերե՛ք y= -x²+2x+8 ֆունկցիան:

Լուծում:

y= -x²+2x+8 քառակուսի ֆունկցիա է: Գրաֆիկը պարաբոլա է՝ ներքեւ ճյուղերով: Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները

Վերևից մենք կառուցում ենք պարաբոլա y= -x² (1 - դեպի աջ, 1- ներքև; 1 - ձախ, 1 - ներքև; 2 - աջ, 4 - ներքև; 2 - ձախ, 4 - ներքև և այլն):

Այս մեթոդը թույլ է տալիս արագ կառուցել պարաբոլա և դժվար չէ, եթե գիտեք, թե ինչպես գծագրել y=x² և y= -x² ֆունկցիաները: Թերություն. եթե գագաթի կոորդինատները կոտորակային թվեր են, ապա գրաֆիկ կառուցելն այնքան էլ հարմար չէ։ Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է իմանալ Ox առանցքի հետ գրաֆիկի հատման կետերի ճշգրիտ արժեքները, ապա լրացուցիչ պետք է լուծեք x²+bx+c=0 (կամ -x²+bx+c=0) հավասարումը։ նույնիսկ եթե այդ կետերը կարելի է ուղղակիորեն որոշել գծագրից:

Պարաբոլա կառուցելու մեկ այլ եղանակ է կետերը, այսինքն՝ գրաֆիկի վրա կարելի է գտնել մի քանի կետեր և դրանց միջով պարաբոլա նկարել (հաշվի առնելով, որ x=xₒ ուղիղը նրա համաչափության առանցքն է)։ Սովորաբար դրա համար վերցնում են պարաբոլայի գագաթը, գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ և 1-2 լրացուցիչ կետեր։

Գծե՛ք y=x²+5x+4 ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Լուծում:

y=x²+5x+4 քառակուսի ֆունկցիա է: Գրաֆիկը պարաբոլա է՝ վերև ճյուղերով։ Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները

այսինքն պարաբոլայի գագաթը կետն է (-2,5; -2,25):

Փնտրում են. Ox առանցքի y=0 հատման կետում՝ x²+5x+4=0: x1=-1, x2=-4 քառակուսային հավասարման արմատները, այսինքն՝ գրաֆիկի վրա ստացանք երկու կետ (-1; 0) և (-4; 0):

Գրաֆիկի հատման կետում Oy առանցքի x=0՝ y=0²+5∙0+4=4: Մենք ստացանք միավորը (0; 4):

Գրաֆիկը պարզաբանելու համար կարող եք լրացուցիչ կետ գտնել. Վերցնենք x=1, ապա y=1²+5∙1+4=10, այսինքն՝ գրաֆիկի մեկ այլ կետ (1; 10): Մենք նշում ենք այս կետերը կոորդինատային հարթության վրա: Հաշվի առնելով պարաբոլայի համաչափությունը նրա գագաթով անցնող ուղիղ գծի նկատմամբ՝ նշում ենք ևս երկու կետ՝ (-5; 6) և (-6; 10) և դրանց միջով պարաբոլա գծում.

Գծապատկերե՛ք y= -x²-3x ֆունկցիան:

Լուծում:

y= -x²-3x-ը քառակուսի ֆունկցիա է: Գրաֆիկը պարաբոլա է՝ ներքեւ ճյուղերով: Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները

Գագաթը (-1,5; 2,25) պարաբոլայի առաջին կետն է։

Գրաֆիկի y=0 աբսցիսային առանցքի հատման կետերում, այսինքն՝ լուծում ենք -x²-3x=0 հավասարումը։ Նրա արմատներն են x=0 և x=-3, այսինքն՝ (0;0) և (-3;0)՝ ևս երկու կետ գրաֆիկի վրա։ Կետը (o; 0) նաև պարաբոլայի հատման կետն է օրդինատների առանցքի հետ։

x=1 y=-1²-3∙1=-4-ում, այսինքն (1; -4) գծագրման լրացուցիչ կետ է:

Կետերից պարաբոլայի կառուցումը առաջինի համեմատ ավելի աշխատատար մեթոդ է: Եթե ​​պարաբոլան չի հատում Ox առանցքը, ապա լրացուցիչ լրացուցիչ կետեր կպահանջվեն:

Նախքան y=ax²+bx+c ձևի քառակուսի ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցումը շարունակելը, եկեք դիտարկենք ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցումը երկրաչափական փոխակերպումների միջոցով: Նաև առավել հարմար է y=x²+c ձևի ֆունկցիաների գրաֆիկներ կառուցել՝ օգտագործելով այս փոխակերպումներից մեկը՝ զուգահեռ թարգմանությունը։

Կարգավիճակ՝ |

Պարաբոլայի կառուցումը հայտնի մաթեմատիկական գործողություններից է։ Բավական հաճախ այն օգտագործվում է ոչ միայն գիտական, այլև զուտ գործնական նպատակներով։ Եկեք պարզենք, թե ինչպես կատարել այս ընթացակարգը, օգտագործելով Excel հավելվածի գործիքները:

Պարաբոլան հետևյալ տիպի քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկն է f(x)=ax^2+bx+c. Նրա ուշագրավ հատկություններից է այն փաստը, որ պարաբոլան ունի սիմետրիկ պատկերի ձև, որը բաղկացած է մի շարք կետերից, որոնք հավասար են ուղղահայացից: Մեծ հաշվով, Excel-ում պարաբոլայի կառուցումը շատ չի տարբերվում այս ծրագրի ցանկացած այլ գրաֆիկից:

Սեղանի ստեղծում

Նախ, նախքան պարաբոլայի կառուցումը սկսելը, պետք է աղյուսակ կառուցել, որի հիման վրա այն կստեղծվի։ Օրինակ՝ վերցնենք ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցումը f(x)=2x^2+7.

Գրաֆիկի գծագրում

Ինչպես նշվեց վերևում, այժմ մենք պետք է ինքնին կառուցենք գրաֆիկը:

Գծապատկերի խմբագրում

Այժմ դուք կարող եք մի փոքր խմբագրել ստացված գրաֆիկը:

Բացի այդ, դուք կարող եք կատարել ստացված պարաբոլայի ցանկացած այլ տեսակի խմբագրում, ներառյալ դրա անվանումը և առանցքների անունները փոխելը: Այս խմբագրման տեխնիկան դուրս չի գալիս Excel-ում այլ տեսակի դիագրամների հետ աշխատելու շրջանակներից:

Ինչպես տեսնում եք, Excel-ում պարաբոլայի կառուցումը սկզբունքորեն չի տարբերվում նույն ծրագրի մեկ այլ տեսակի գրաֆիկի կամ դիագրամի կառուցումից: Բոլոր գործողությունները կատարվում են նախապես ստեղծված աղյուսակի հիման վրա: Բացի այդ, պետք է հաշվի առնել, որ ցրման դիագրամը ամենահարմարն է պարաբոլա կառուցելու համար:

Էլիպս.Եթե ​​դուք կտրեք շրջանաձև կոնի մակերեսը թեքված հարթությամբ Ռ այնպես, որ այն հատի իր բոլոր գեներատորները, ապա կտրվածքի հարթությունում կստացվի էլիպս (Նկար 65):

Նկար 65

Էլիպս(Նկար 66) – հարթ փակ կոր, որում իր ցանկացած կետից (օրինակ՝ կետից) հեռավորությունների գումարը Մ ) մինչև երկու տրված միավոր F 1 Եվ F 2 – Էլիպսի օջախները – կա հաստատուն արժեք, որը հավասար է նրա հիմնական առանցքի երկարությանը ԱԲ (Օրինակ, F 1 Մ + F 2 M = AB ).Գծի հատված ԱԲ կոչվում է էլիպսի հիմնական առանցք, իսկ հատված CD – նրա փոքր առանցքը. Էլիպսի առանցքները հատվում են կետում Օ- էլիպսի կենտրոնը, և դրա չափը որոշում է հիմնական և փոքր առանցքների երկարությունները: Միավորներ F 1 Եվ F 2 գտնվում է հիմնական առանցքի վրա ԱԲ սիմետրիկ կետի նկատմամբ Օ և հանվում են փոքր առանցքի ծայրերից (կետ ՀԵՏ Եվ Դ ) հեռավորության վրա, որը հավասար է էլիպսի հիմնական առանցքի կեսին .

Նկար 66

Էլիպս կառուցելու մի քանի եղանակ կա. Ամենահեշտ ձևը նրա երկու առանցքների երկայնքով էլիպս կառուցելն է՝ օգտագործելով օժանդակ շրջանակներ (Նկար 67): Այս դեպքում նշվում է էլիպսի կենտրոնը՝ կետը Օ և դրա միջով երկու փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղ գծեր են գծվում (Նկար 67, ա): Կետից ՄԱՍԻՆ նկարագրեք երկու շրջանագիծ, որոնց շառավիղները հավասար են հիմնական և փոքր առանցքների կեսին: Մեծ շրջանագիծը բաժանված է 12 հավասար մասերի և բաժանման կետերը միացված են կետին ՄԱՍԻՆ . Նկարված գծերը նույնպես փոքր շրջանակը կբաժանեն 12 հավասար մասերի։ Այնուհետև հորիզոնական գծերը (կամ էլիպսի հիմնական առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծեր) գծվում են փոքր շրջանի բաժանման կետերով, իսկ ուղղահայաց գծերը (կամ էլիպսի փոքր առանցքին զուգահեռ ուղիղներ)՝ բաժանման կետերով։ ավելի մեծ շրջանից: Նրանց հատման կետերը (օրինակ՝ կետը Մ ) պատկանում են էլիպսին։ Ստացված կետերը հարթ կորով միացնելով՝ ստացվում է էլիպս (Նկար 67, բ)։

Գծապատկեր 67

Պարաբոլա.Եթե ​​շրջանաձև կոնը կտրված է հարթությամբ Ռ , դրա գեներատորներից մեկին զուգահեռ, ապա կտրվածքի հարթությունում պարաբոլա կստացվի (Նկար 68):

Նկար 68

Պարաբոլա(Նկար 69) – հարթ կոր, որի յուրաքանչյուր կետը նույն հեռավորությունն է տրված ուղիղ գծից DD 1 , կանչեց տնօրեն, և միավորներ F – պարաբոլայի կիզակետը. Օրինակ, մի կետի համար Մ հատվածներ MN (հեռավորությունը տնօրենի հետ) և Մ.Ֆ. (կենտրոնացման հեռավորությունը) հավասար են, այսինքն. MN = Մ.Ֆ. .

Պարաբոլան ունի բաց կորի ձև՝ սիմետրիայի մեկ առանցքով, որն անցնում է պարաբոլայի կիզակետով՝ կետով։ Ֆ եւ գտնվում է տնօրենին ուղղահայաց DD 1 .Ճշգրիտ Ա , պառկած հատվածի մեջտեղում ՕՐ , կանչեց պարաբոլայի գագաթը. Հեռավորությունը ֆոկուսից մինչև ուղղորդիչ - հատված ՕՐ = 2'OA - նշվում է տառով Ռ և զանգիր պարաբոլայի պարամետր. Որքան մեծ է պարամետրը Ռ , այնքան ավելի կտրուկ են պարաբոլայի ճյուղերը հեռանում նրա առանցքից։ Պարաբոլայի երկու կետերի միջև ընկած հատվածը, որը գտնվում է պարաբոլայի առանցքի նկատմամբ սիմետրիկորեն, կոչվում է. ակորդ(օրինակ՝ ակորդ ՄԿ ).

Նկար 69

Պարաբոլայի կառուցում իր ուղղորդիչ DD 1-ից և F ֆոկուսից(Նկար 70, ա) . Կետի միջոցով Ֆ գծե՛ք պարաբոլայի առանցքը ուղղահայաց ուղղահայաց, մինչև այն հատի ուղղաձիգը կետում ՄԱՍԻՆ. Գծի հատված ՕՐ = էջ կիսեք կիսով չափ և ստացեք միավոր Ա – պարաբոլայի գագաթը. Կետային պարաբոլայի առանցքի վրա Ա դնել մի քանի աստիճանաբար աճող հատվածներ: Բաժանման կետերի միջոցով 1, 2, 3 այն. D. ուղիղ գծեր գծեք ուղղաձիգին զուգահեռ: Որպես կենտրոն վերցնելով պարաբոլայի կիզակետը՝ նրանք նկարագրում են շառավղով աղեղներ R 1 = L 1 1 , շառավիղ R2 = L2 մինչև այն հատի մի գիծ մի կետով 2 և այլն: Ստացված կետերը պատկանում են պարաբոլային: Սկզբում դրանք ձեռքով միացված են բարակ հարթ գծով, այնուհետև գծագրվում են նախշի երկայնքով:

Պարաբոլայի կառուցումն իր առանցքի, A գագաթի և M միջանկյալ կետի երկայնքով(Նկար 70, բ): Վերևի միջով Ա գծե՛ք պարաբոլայի առանցքին ուղղահայաց և կետի միջով Մ – ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ։ Երկու ուղիղները հատվում են մի կետում Բ . Հատվածներ ԱԲ Եվ Բ.Մ. բաժանվում են նույն թվով հավասար մասերի, իսկ բաժանման կետերը համարակալվում են սլաքներով նշված ուղղություններով: Վերևի միջով Ա և կետեր 1 , 2 , 3 , 4 անցկացնել ճառագայթներ, և կետերից Ի , II , III ,IV - պարաբոլայի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծեր: Նույն թվով նշված գծերի հատման կետում կան պարաբոլային պատկանող կետեր։ Պարաբոլայի երկու ճյուղերը նույնն են, ուստի մյուս ճյուղը կառուցված է առաջինին սիմետրիկ՝ օգտագործելով ակորդներ։

Նկար 70

OA և OB երկու ուղիղ գծերին շոշափող պարաբոլայի կառուցում դրանց վրա տրված A և B կետերում(Նկար 71, բ): Հատվածներ Օ.Ա. Եվ ՕԲ բաժանված է նույն թվով հավասար մասերի (օրինակ՝ 8 մասի)։ Ստացված բաժանման կետերը համարակալված են, իսկ համանուն կետերը միացված են ուղիղ գծերով։ 1–1 , 2 –2 , 3 –3 և այլն . դ . Այս գծերը շոշափում են պարաբոլիկ կորին: Այնուհետև հարթ շոշափող կորը` պարաբոլան, գծագրվում է ուղիղ գծերով ձևավորված ուրվագծի մեջ: .

Նկար 71

Հիպերբոլա.Եթե ​​ուղիղ և հակադարձ կոնները կտրում եք իր երկու գեներատորներին զուգահեռ հարթությամբ կամ, կոնկրետ դեպքում, առանցքին զուգահեռ, ապա հատվածի հարթությունում դուք կստանաք հիպերբոլա, որը բաղկացած է երկու սիմետրիկ ճյուղերից (Նկար 72, ա):

Հիպերբոլիա(Նկար 72, բ) կոչվում է բաց հարթության կոր, որը միավորների բազմություն է, տրված երկու կետերից հեռավորությունների տարբերությունը հաստատուն արժեք է։

Նկար 72

Մշտական ​​միավորներ F 1 Եվ F 2 կոչվում են հնարքներ , և նրանց միջև հեռավորությունը կիզակետային երկարությունը . Գծի հատվածներ ( F 1 Մ Եվ F 2 M ), միացնելով ցանկացած կետ ( Մ ) կիզակետերով կորը կոչվում են շառավղով վեկտորներհիպերբոլիաներ . Տարբերությունը կետի և կենտրոնացման հեռավորությունների միջև F 1 Եվ F 2 հաստատուն արժեք է և հավասար է գագաթների միջև եղած հեռավորությանը Ա Եվ բ հիպերբոլիա; օրինակ՝ մի կետի համար Մ Կունենա: F 1 M -F 2 M = ab. Հիպերբոլան բաղկացած է երկու բաց ճյուղերից և ունի երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցք. վավեր ԱԲ Եվ երևակայական CD. Ուղղակի pq Եվ rs, անցնելով կենտրոնով Օ ,կոչվում են ասիմպտոտներ .

Այս ասիմպտոտների միջոցով հիպերբոլայի կառուցում pq Եվ rs, հնարքներ F 1 Եվ F 2 ցույց է տրված Նկար 72-ում, բ.

Իրական առանցք ԱԲ հիպերբոլան ասիմպտոտներով ձևավորված անկյան կիսորդն է: Երևակայական առանցք CD ուղղահայաց ԱԲ և անցնում է կետով ՄԱՍԻՆ. Հնարքներ ունենալը F 1 Եվ F2, սահմանել գագաթները Ա Եվ բ հիպերբոլաներ, ինչու հատվածի վրա F 1 F 2 Կառուցեք կիսաշրջան, որը հատում է ասիմպտոտները կետերում մ Եվ Պ. Այս կետերից ուղղահայացները իջեցվում են առանցքի վրա ԱԲ իսկ դրա հետ հատման կետում ստանում ենք գագաթներ Ա Եվ բ հիպերբոլիա.

Գծի վրա հիպերբոլայի աջ ճյուղը կառուցելու համար ԱԲ կենտրոնացման աջ կողմում F 1 նշեք կամայական կետերը 1 , 2 , 3 , ..., 5. Միավորներ Վ Եվ V1 հիպերբոլաները ստացվում են, եթե վերցնենք հատվածը ա5 շառավղից այն կողմ և կետից F2 նկարել շրջանագծի աղեղ, որը նշված է կետից F 1, շառավիղը հավասար է b5. Հիպերբոլայի մնացած կետերը կառուցված են նկարագրվածների անալոգիայով:

Երբեմն պետք է կառուցել հիպերբոլա, որի ասիմպտոտները Օհ Եվ OY փոխադարձ ուղղահայաց (Նկար 73): Այս դեպքում իրական և երևակայական առանցքները կլինեն բիս Հետ ուղիղ անկյունների էլեկտրականություն. Կառուցելու համար նշվում է հիպերբոլայի կետերից մեկը, օրինակ՝ կետը Ա.

Նկար 73

Կետի միջոցով Ա իրականացնել ուղղակի Ա.Կ Եվ Ա.Մ. , առանցքներին զուգահեռ Օ՜ Եվ ou .Կետից Օ վեր Հետ մասին հասկացություններ Հետ նրանք ուղղակիորեն տալիս են նրան Հետ ուղիղ գծեր Ա.Մ. Եվ Ա.Կ կետերում 1 , 2 , 3 , 4 Եվ 1" , 2" , 3" , 4" . Այնուհետև ուղղահայաց և հորիզոնական հատվածները գծվում են այս գծերի հետ հատման կետերից մինչև դրանք հատվում են կետերում: I, II, III, IV և այլն: Հիպերբոլայի ստացված կետերը միացված են օրինաչափության միջոցով . Միավորներ 1, 2, 3, 4 ուղղահայաց գծի վրա տեղակայված են կամայականորեն .

Շրջանակի ներդիրկամ շրջանի զարգացում։ Շրջանակի ներդիրկոչվում է հարթ կոր, որը նկարագրվում է ուղիղ գծի յուրաքանչյուր կետով, եթե այս ուղիղ գիծը պտտվում է առանց անշարժ շրջանի երկայնքով սահելու (շրջագծի կետերի հետագիծը, որը ձևավորվում է դրա տեղակայմամբ և ուղղմամբ) (Նկար 74):

Ինվոլյուտ կառուցելու համար բավական է նշել շրջանագծի տրամագիծը Դ և կետի սկզբնական դիրքը Ա (կետ A 0 ) Կետի միջոցով A 0 գծի՛ր շրջանագծին շոշափող և դրա վրա գծի՛ր տվյալ շրջանագծի երկարությունը Դ . Ստացված հատվածը և շրջանագիծը բաժանվում են նույն թվով մասերի, և դրան շոշափողները մեկ ուղղությամբ գծվում են շրջանագծի բաժանարար կետերի միջով: Յուրաքանչյուր շոշափողի վրա դրված են հորիզոնական գծից վերցված և համապատասխանաբար հավասար հատվածներ 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = V A 0 2 , 3A 3 = A 0 3 և այլն; Ստացված կետերը միացված են ըստ օրինաչափության։

Նկար 74

Արքիմեդի պարույր- հարթ կոր, որը նկարագրված է կետով Ա միատեսակ պտտվող ֆիքսված կետի շուրջը. բեւեռներ ՄԱՍԻՆ և միևնույն ժամանակ հավասարապես հեռանալով դրանից (Նկար 75): Մի կետի անցած հեռավորությունը ուղիղ գիծը 360°-ով պտտելիս կոչվում է պարուրաձև քայլ: Արքիմեդյան պարույրին պատկանող կետերը կառուցված են կորի սահմանման հիման վրա՝ նշելով պտտման քայլն ու ուղղությունը։

Արքիմեդի պարույրի կառուցում` օգտագործելով տրված բարձրությունը (հատված OA) և պտտման ուղղությունը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ(Նկար 75): Մի կետի միջով ՄԱՍԻՆ գծեք ուղիղ գիծ և նշեք դրա վրա պարուրաձև քայլը Օ.Ա. և, վերցնելով այն որպես շառավիղ, նկարագրիր շրջան։ Շրջանակ և հատված Օ.Ա. բաժանված է 12 հավասար մասերի: Շառավիղները գծվում են շրջանագծի բաժանարար կետերի միջով O1 , O2 , O3 և այլն և դրանց վրա կետից ՄԱՍԻՆ դրվում են շրջանագծի շառավղի համապատասխանաբար 1/12, 2/12, 3/12 և այլն կամարներով։ Ստացված կետերը միացված են հարթ կորով օրինաչափության երկայնքով:

Արքիմեդի պարույրը բաց կոր է, և անհրաժեշտության դեպքում կարող եք կառուցել նրա պտույտների ցանկացած քանակ: Երկրորդ շրջադարձը կառուցելու համար նկարագրեք շառավղով շրջան Ռ = 2 OA և կրկնել բոլոր նախորդ կոնստրուկցիաները:

Նկար 75

Սինուսային ալիք.Սինուսային ալիքկոչվում է շարժվող կետի հետագծի պրոյեկցիա Հետ Ես գլանաձեւ եմ Հետ որը պարույր՝ գլանների առանցքին զուգահեռ հարթության վրա . Կետի շարժումը բաղկացած է միատեսակ պտտվող շարժումից (գլանի առանցքի շուրջ) և միատեսակ թարգմանական շարժումից (գլանի առանցքին զուգահեռ) . Սինուսային ալիքը հարթ կոր է, որը ցույց է տալիս եռանկյունաչափական սինուսի ֆունկցիայի փոփոխությունը՝ կախված անկյան փոփոխությունից։ .

Կենտրոնի միջով սինուսոիդ կառուցելու համար (Նկար 76): ՄԱՍԻՆ շրջանակի տրամագիծը Դ իրականացնել ուղղակի Օհ և դրա վրա դրված է հատված Օ 1 Ա , հավասար է շրջագծին Դ. Այս հատվածը և շրջանագիծը բաժանված են նույն թվով հավասար մասերի։ Ստացված և համարակալված կետերից գծվում են փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղներ։ Այս գծերի արդյունքում առաջացող խաչմերուկները միացված են հարթ կորի օրինակով:

Նկար 76

Կարդիոիդ. Կարդիոիդ(Նկար 77) զանգեր Հետ Ես շրջանագծի մի կետի փակ հետագիծ եմ Հետ որը գլորվում է առանց սահելու նույն շառավղով անշարժ շրջանով .

Նկար 77

Կենտրոնից ՄԱՍԻՆ գծե՛ք տրված շառավիղով շրջան և դրա վրա վերցրե՛ք կամայական կետ Մ. Այս կետով գծված են մի շարք սեկանտներ: Յուրաքանչյուր հատվածում, շրջանագծի հետ հատման կետի երկու կողմերում, դրված են շրջանագծի տրամագծին հավասար հատվածներ. M1. Այո, սեկանտ III3МIII 1 հատում է շրջանագիծը մի կետում 3 ;հատվածները հանվում են այս կետից 3 III Եվ 3III 1, տրամագծին հավասար M1. Միավորներ III Եվ III 1 , պատկանում են կարդիոիդին . Նմանապես, Հետ ընթացիկ IV4MIV 1 վեր Հետ շրջանագիծը մի կետում 4; հատվածները դրվում են այս կետից IV4 Եվ 4IV 1, տրամագծին հավասար M1, միավորներ ստանալ IV Եվ IV 1 և այլն:

Գտնված կետերը միացված են կորով, ինչպես ցույց է տրված Նկար 77-ում:

Ցիկլոիդային կորեր. Ցիկլոիդներ – հարթ կոր գծեր, որոնք նկարագրված են շրջանագծին պատկանող կետով, որը գլորվում է առանց ուղիղ գծի կամ շրջանագծի երկայնքով սահելու . Եթե ​​շրջանակը գլորվում է ուղիղ գծով, ապա կետը նկարագրում է կորը, որը կոչվում է ցիկլոիդ.

Եթե ​​շրջանագիծը գլորվում է մեկ այլ շրջանի երկայնքով՝ գտնվելով դրանից դուրս (ուռուցիկ մասի երկայնքով), ապա կետը նկարագրում է մի կոր, որը կոչվում է. էպիցիկլոիդ .

Եթե ​​շրջանակը գլորվում է մեկ այլ շրջանի երկայնքով՝ գտնվելով դրա ներսում (գոգավոր մասի երկայնքով), ապա կետը նկարագրում է մի կոր, որը կոչվում է. հիպոցիկլոիդ . Այն շրջանագիծը, որի վրա գտնվում է կետը, կոչվում է արտադրելով . Այն գիծը, որի երկայնքով գլորվում է շրջանագիծը, կոչվում է ուղեցույց .

Ցիկլոիդ կառուցելու համար(Նկար 78) գծեք տրված շառավղով շրջան Ռ ; վերցրեք դրա մեկնարկային կետը Ա և գծեք ուղեցույց AB, որի երկայնքով գլորվում է շրջանը .

Նկար 78

Տրված շրջանագիծը բաժանեք 12 հավասար մասերի (կետ 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Եթե ​​կետը Ա փոփոխություն Հետ ծիծիկ Հետ Ես մի դիրքում եմ Ա 12 , ապա հատվածը AA 12 հավասար կլինի տրված շրջագծի երկարությանը Հետ ty, այսինքն. Գծեք կենտրոնների գիծ O – O 12 արտադրվում է շրջագծով Հետ ti, հավասար , և այն բաժանել 12 հավասար մասերի։ Ստացեք միավորներ O 1 ,O2 ,O 3 ,..., O 12 , որոնք առաջացնող շրջանի կենտրոններն են Հետ դու . Այս կետերից գծեք շրջանագծի մեջ Հետ ty (կամ կամարների շուրջը Հետ տեյ) տրված շառավղով Ռ , որոնք շոշափում են գիծը ԱԲ կետերում 1,2, 3, ..., 12. Եթե ​​շփման յուրաքանչյուր կետից համապատասխան շրջանագծի վրա գծենք աղեղի երկարությունը, որը հավասար է այն քանակին, որով կետը տեղաշարժվել է. Ա , ապա ստանում ենք ցիկլոիդին պատկանող կետեր։ Օրինակ՝ միավոր ստանալու համար Ա 5 կենտրոնից հետևում է ցիկլոիդներ O 5 Շփման կետից շրջան գծեք 5 շրջանագծի շուրջ աղեղ դնել A5, հավասար է A5», կամ կետից 5" գծեք ուղիղ գիծ զուգահեռ AB, դեպի կետի խաչմերուկ Ա 5 գծված շրջանով . Ցիկլոիդի բոլոր մյուս կետերը կառուցված են նույն կերպ։ .

Էպիցիկլոիդը կառուցված է հետևյալ կերպ.Նկար 79-ը ցույց է տալիս գեներացնող շրջանակի շառավիղը Հետ Ա Ռ կենտրոնով O 0 , Ելակետ Ա դրա վրա և ուղեցույցի կամարը շուրջը Հետ դու ռադիո Հետ Ա Ռ 1 որի երկայնքով այն գլորվում է Հետ Ես շրջան եմ։ Էպիցիկլոիդի կառուցվածքը նման է ցիկլոիդի կառուցվածքին, այն է՝ տրված շրջանագիծը բաժանել 12 հավասար մասերի (կետ. 1" , 2" , 3" , ...,12"), այս շրջանագծի յուրաքանչյուր հատված անջատված է մի կետից Ա աղեղի երկայնքով ԱԲ 12 անգամ (կետեր 1 , 2 , 3 , ..., 12) և ստացիր աղեղի երկարությունը AA 12 . Այս երկարությունը կարելի է որոշել՝ օգտագործելով անկյունը .

Կենտրոնից այն կողմ ՄԱՍԻՆ շառավիղը հավասար է OOO 0 , գծեք գեներացնող շրջանի կենտրոնների գիծ և, գծելով շառավիղներ 01 , 02 , 03 , ...,012 , շարունակվեց այնքան ժամանակ, մինչև հատվեն կենտրոնների գծով, ստացեք կենտրոններ O 1, O 2, ..., O 12 գեներացնող շրջան . Այս կենտրոններից, որոնց շառավիղը հավասար է Ռ , գծել շրջանակներ կամ շրջանակների կամարներ, որոնց վրա նրանք կառուցում են և Հետ կորի որ կետերը; Այսպիսով, հասկանալու համար A 4 վ պետք է ստուգվի Հետ աղեղ շուրջը Հետ թի շառավիղ O4" մինչև այն հատվի կենտրոնից գծված շրջանագծի հետ O4. Նմանապես կառուցված են նաև այլ կետեր, որոնք այնուհետև միացվում են հարթ կորով .

Նկար 79

Առնչվող տեղեկություններ.