Ինչ է կոչվում հանրահաշվական կոտորակի արժեք: Հիմնական հասկացություններ

Երբ աշակերտը ընդունվում է ավագ դպրոց, մաթեմատիկան բաժանվում է երկու առարկայի՝ հանրահաշիվ և երկրաչափություն։ Հայեցակարգերն ավելի ու ավելի շատ են, առաջադրանքներն ավելի ու ավելի դժվարանում են։ Որոշ մարդիկ դժվարանում են հասկանալ կոտորակները: Բաց թողեցի այս թեմայի առաջին դասը, և վոյլա: կոտորակներ? Հարց, որը տանջելու է իմ ողջ դպրոցական կյանքում.

Հանրահաշվական կոտորակի հասկացությունը

Սկսենք սահմանումից. Տակ հանրահաշվական կոտորակվերաբերում է P/Q արտահայտություններին, որտեղ P-ը համարիչն է, իսկ Q-ն՝ հայտարարը: Թիվը, թվային արտահայտությունը կամ թվային-այբբենական արտահայտությունը կարող են թաքնվել տառի մուտքի տակ:

Նախքան մտածելը, թե ինչպես լուծել հանրահաշվական կոտորակները, նախ պետք է հասկանալ, որ նման արտահայտությունը ամբողջի մի մասն է:

Որպես կանոն, ամբողջ թիվը 1 է։ Հայտարարի թիվը ցույց է տալիս, թե քանի մասի է բաժանվում միավորը։ Համարիչն անհրաժեշտ է՝ պարզելու համար, թե քանի տարր է վերցված։ Կոտորակի բարը համապատասխանում է բաժանման նշանին: Թույլատրվում է կոտորակային արտահայտություն գրել որպես «Բաժանում» մաթեմատիկական գործողություն: Այս դեպքում համարիչը դիվիդենտն է, հայտարարը՝ բաժանարարը։

Ընդհանուր կոտորակների հիմնական կանոնը

Երբ աշակերտներն ուսումնասիրում են այս թեման դպրոցում, նրանց տրվում են օրինակներ՝ ամրապնդելու համար: Դրանք ճիշտ լուծելու և բարդ իրավիճակներից տարբեր ելքեր գտնելու համար հարկավոր է կիրառել կոտորակների հիմնական հատկությունը։

Դա տեղի է ունենում այսպես․ եթե և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բազմապատկեք նույն թվով կամ արտահայտությամբ (բացի զրոյից), ընդհանուր կոտորակի արժեքը չի փոխվում։ Այս կանոնի հատուկ դեպք է արտահայտության երկու կողմերի բաժանումը նույն թվի կամ բազմանդամի վրա։ Նման փոխակերպումները կոչվում են նույնական հավասարություններ:

Ստորև կանդրադառնանք, թե ինչպես լուծել հանրահաշվական կոտորակների գումարում և հանում, կոտորակները բազմապատկելով, բաժանելով և փոքրացնելով:

Մաթեմատիկական գործողություններ կոտորակներով

Եկեք նայենք, թե ինչպես լուծել, հանրահաշվական կոտորակի հիմնական հատկությունը և ինչպես կիրառել այն գործնականում: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել երկու կոտորակ, ավելացնել դրանք, բաժանել մեկը մյուսի վրա կամ հանել, դուք միշտ պետք է հետևեք կանոններին:

Այսպիսով, գումարման և հանման գործողության համար պետք է գտնել հավելյալ գործոն՝ արտահայտությունները ընդհանուր հայտարարի բերելու համար։ Եթե ​​կոտորակները սկզբում տրված են նույն Q արտահայտություններով, ապա այս պարբերությունը պետք է բաց թողնել: Երբ ընդհանուր հայտարարը գտնվի, ինչպե՞ս եք լուծում հանրահաշվական կոտորակները: Դուք պետք է ավելացնեք կամ հանեք համարիչները: Բայց! Պետք է հիշել, որ եթե կոտորակի դիմաց կա «-» նշան, ապա համարիչի բոլոր նշանները հակադարձվում են: Երբեմն դուք չպետք է կատարեք որևէ փոխարինում կամ մաթեմատիկական գործողություններ: Բավական է փոխել կոտորակի դիմաց նշանը։

Հայեցակարգը հաճախ օգտագործվում է որպես կրճատող կոտորակներ. Սա նշանակում է հետևյալը. եթե համարիչը և հայտարարը բաժանվում են մեկից տարբեր արտահայտությամբ (նույնը երկու մասի համար), ապա ստացվում է նոր կոտորակ։ Շահաբաժինն ու բաժանարարն ավելի փոքր են, քան նախկինում, բայց կոտորակների հիմնական կանոնի շնորհիվ նրանք մնում են սկզբնական օրինակին հավասար։

Այս գործողության նպատակը նոր անկրճատելի արտահայտություն ստանալն է։ Դուք կարող եք լուծել այս խնդիրը՝ կրճատելով համարիչն ու հայտարարը ամենամեծ ընդհանուր գործակցով: Գործողության ալգորիթմը բաղկացած է երկու կետից.

1. Գտեք gcd կոտորակի երկու կողմերի համար:
2. Համարը և հայտարարը բաժանելով գտած արտահայտության վրա և ստանալով նախորդին հավասար անկրճատելի կոտորակ:

Ստորև բերված է աղյուսակ, որը ցույց է տալիս բանաձևերը: Հարմարության համար կարող եք տպել այն և ձեզ հետ տանել նոթատետրում: Այնուամենայնիվ, որպեսզի հետագայում, թեստ կամ քննություն լուծելիս, դժվարություններ չառաջանան հանրահաշվական կոտորակները լուծելու հարցում, այս բանաձևերը պետք է սովորել անգիր։

Մի քանի օրինակներ լուծումներով

Տեսական տեսանկյունից դիտարկվում է այն հարցը, թե ինչպես լուծել հանրահաշվական կոտորակները։ Հոդվածում բերված օրինակները կօգնեն ձեզ ավելի լավ հասկանալ նյութը:

1. Կոտորակները փոխակերպի՛ր և բերի՛ր ընդհանուր հայտարարի:

2. Կոտորակները դարձրե՛ք և բերե՛ք ընդհանուր հայտարարի:

Տեսական մասը ուսումնասիրելուց և գործնական մասը դիտարկելուց հետո այլևս հարցեր չպետք է առաջանան։

Այս դասը ներառում է հանրահաշվական կոտորակի հասկացությունը: Մարդիկ կոտորակների են հանդիպում կյանքի ամենապարզ իրավիճակներում. երբ անհրաժեշտ է առարկան բաժանել մի քանի մասի, օրինակ՝ տորթը հավասարապես տասը հոգու կտրատել։ Ակնհայտ է, որ բոլորը ստանում են տորթի մի կտոր: Այս դեպքում մենք կանգնած ենք թվային կոտորակի հասկացության հետ, սակայն հնարավոր է իրավիճակ, երբ օբյեկտը բաժանվում է անհայտ թվով մասերի, օրինակ՝ x-ով։ Այս դեպքում առաջանում է կոտորակային արտահայտության հասկացությունը։ Ամբողջական արտահայտություններին (փոփոխականներով արտահայտությունների բաժանում չպարունակող) և դրանց հատկություններին արդեն ծանոթացել ես 7-րդ դասարանում։ Հաջորդիվ մենք կանդրադառնանք ռացիոնալ կոտորակի հայեցակարգին, ինչպես նաև փոփոխականների ընդունելի արժեքներին:

Առարկա:Հանրահաշվական կոտորակներ. Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների վրա

Դաս.Հիմնական հասկացություններ

1. Հանրահաշվական կոտորակների սահմանում և օրինակներ

Ռացիոնալ արտահայտությունները բաժանվում են ամբողջական և կոտորակային արտահայտություններ.

Սահմանում. Ռացիոնալ կոտորակձևի կոտորակային արտահայտությունն է, որտեղ կան բազմանդամներ: - համարիչի հայտարար.

Օրինակներ ռացիոնալ արտահայտություններ.- կոտորակային արտահայտություններ; - ամբողջական արտահայտություններ. Առաջին արտահայտության մեջ, օրինակ, համարիչը , իսկ հայտարարը՝ ։

Իմաստը հանրահաշվական կոտորակինչպես որևէ մեկը հանրահաշվական արտահայտություն, կախված է դրանում ներառված փոփոխականների թվային արժեքից։ Մասնավորապես, առաջին օրինակում կոտորակի արժեքը կախված է փոփոխականների արժեքներից և , իսկ երկրորդ օրինակում՝ միայն փոփոխականի արժեքից:

2. Հանրահաշվական կոտորակի և երկու հիմնական կոտորակային խնդիրների արժեքը

Դիտարկենք առաջին բնորոշ առաջադրանքը՝ արժեքի հաշվարկը ռացիոնալ կոտորակժամը տարբեր իմաստներդրանում ներառված փոփոխականները.

Օրինակ 1. Հաշվեք կոտորակի արժեքը a) , b) , c) համար:

Լուծում. Փոխարինենք փոփոխականների արժեքները նշված կոտորակի մեջ՝ ա) , բ) , գ) - գոյություն չունի (քանի որ չեք կարող բաժանել զրոյի):

Պատասխան՝ 3; 1; գոյություն չունի.

Ինչպես տեսնում ենք, երկուսն են բնորոշ առաջադրանքներցանկացած կոտորակի համար՝ 1) կոտորակի հաշվում, 2) գտնել վավեր և անվավեր արժեքներտառերի փոփոխականներ.

Սահմանում. Վավեր փոփոխական արժեքներ- փոփոխականների արժեքներ, որոնց դեպքում արտահայտությունը իմաստ ունի: Փոփոխականների բոլոր հնարավոր արժեքների բազմությունը կոչվում է ՕՁկամ տիրույթ.

3. Մեկ փոփոխականով կոտորակներում փոփոխականների ընդունելի (ADV) և անընդունելի արժեքները

Բառացի փոփոխականների արժեքը կարող է անվավեր լինել, եթե այդ արժեքներում կոտորակի հայտարարը զրո է: Մնացած բոլոր դեպքերում փոփոխականների արժեքները վավեր են, քանի որ կոտորակը կարող է հաշվարկվել:

Օրինակ 2. Սահմանեք, թե փոփոխականի որ արժեքներով կոտորակն իմաստ չունի:

Լուծում. Որպեսզի այս արտահայտությունն իմաստ ունենա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ կոտորակի հայտարարը հավասար չլինի զրոյի։ Այսպիսով, փոփոխականի միայն այն արժեքները կլինեն անվավեր, որոնց համար հայտարարը հավասար է զրոյի: Կոտորակի հայտարարն է , ուստի լուծում ենք գծային հավասարումը.

Հետևաբար, հաշվի առնելով փոփոխականի արժեքը, կոտորակը իմաստ չունի։

Օրինակի լուծումից հետևում է փոփոխականների անվավեր արժեքներ գտնելու կանոնը՝ կոտորակի հայտարարը հավասար է զրոյի և գտնվել են համապատասխան հավասարման արմատները։

Դիտարկենք մի քանի նմանատիպ օրինակներ:

Օրինակ 3. Սահմանեք, թե փոփոխականի որ արժեքներով կոտորակն իմաստ չունի:

Լուծում. .

Պատասխանել. .

Օրինակ 4. Սահմանեք, թե փոփոխականի որ արժեքներով կոտորակն իմաստ չունի:

Լուծում..

Կան այս խնդրի այլ ձևակերպումներ՝ գտնել տիրույթկամ ընդունելի արտահայտությունների արժեքների միջակայք (APV). Սա նշանակում է գտնել փոփոխականների բոլոր վավեր արժեքները: Մեր օրինակում սրանք բոլոր արժեքներն են, բացառությամբ. Հարմար է սահմանման տիրույթը պատկերել թվային առանցքի վրա։

Դա անելու համար մենք դրա վրա մի կետ կկտրենք, ինչպես նշված է նկարում.

Այսպիսով, կոտորակի սահմանման տիրույթկլինեն բոլոր թվերը, բացի 3-ից։

Պատասխանել..

Օրինակ 5. Սահմանեք, թե փոփոխականի որ արժեքներով կոտորակն իմաստ չունի:

Լուծում..

Եկեք պատկերենք ստացված լուծումը թվային առանցքի վրա.

Պատասխանել..

4. Ընդունելի (AP) տարածքի և փոփոխականների անընդունելի արժեքների գրաֆիկական պատկերը կոտորակներում

Օրինակ 6. Սահմանեք, թե փոփոխականների որ արժեքներով կոտորակն իմաստ չունի:

Լուծում.. Ստացել ենք երկու փոփոխականների հավասարություն, թվային օրինակներ կտանք՝ կամ և այլն։

Եկեք այս լուծումը պատկերենք Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի գրաֆիկի վրա.

Բրինձ. 3. Ֆունկցիայի գրաֆիկ.

Այս գրաֆիկի վրա գտնվող ցանկացած կետի կոորդինատները ներառված չեն կոտորակի ընդունելի արժեքների միջակայքում:

Պատասխանել. .

5. «Զրո բաժանում» տեսակի դեպք

Քննարկված օրինակներում մենք հանդիպեցինք մի իրավիճակի, երբ տեղի ունեցավ բաժանում զրոյի վրա: Այժմ հաշվի առեք այն դեպքը, երբ ավելին հետաքրքիր իրավիճակբաժանման տեսակով.

Օրինակ 7. Սահմանեք, թե փոփոխականների որ արժեքներով կոտորակն իմաստ չունի:

Լուծում..

Ստացվում է, որ կոտորակը իմաստ չունի ժամը . Բայց կարելի է պնդել, որ դա այդպես չէ, քանի որ. .

Կարող է թվալ, որ եթե վերջնական արտահայտությունը հավասար է 8-ի, ապա սկզբնականը նույնպես կարելի է հաշվարկել, և հետևաբար իմաստ ունի ։ Այնուամենայնիվ, եթե այն փոխարինենք սկզբնական արտահայտությամբ, կստանանք՝ անիմաստ է:

Պատասխանել..

Այս օրինակն ավելի մանրամասն հասկանալու համար լուծենք հետևյալ խնդիրը. ո՞ր արժեքներով է նշված կոտորակը հավասար զրոյի:

(կոտորակը զրո է, երբ համարիչը զրո է) . Բայց անհրաժեշտ է լուծել սկզբնական հավասարումը կոտորակի միջոցով, և դա իմաստ չունի, քանի որ փոփոխականի այս արժեքի դեպքում հայտարարը զրո է: Սա նշանակում է, որ այս հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ։

6. ՕՁ գտնելու կանոն

Այսպիսով, մենք կարող ենք ճշգրիտ կանոն ձևակերպել կոտորակի թույլատրելի արժեքների միջակայքը գտնելու համար. ՕՁկոտորակներըանհրաժեշտ և բավարար է նրա հայտարարը հավասարեցնել զրոյի և գտնել ստացված հավասարման արմատները։

Մենք դիտարկել ենք երկու հիմնական խնդիր. կոտորակի արժեքի հաշվարկփոփոխականների նշված արժեքների համար և գտնելով կոտորակի ընդունելի արժեքների միջակայքը.

Այժմ դիտարկենք ևս մի քանի խնդիր, որոնք կարող են առաջանալ կոտորակների հետ աշխատելիս։

7. Տարբեր առաջադրանքներ և եզրակացություններ

Օրինակ 8. Ապացուցեք, որ փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար կոտորակը .

Ապացույց. Համարիչը դրական թիվ է։ . Արդյունքում և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը դրական թվեր են, հետևաբար կոտորակը դրական թիվ է։

Ապացուցված է.

Օրինակ 9. Հայտնի է, որ , գտեք .

Լուծում. Կոտորակի անդամը բաժանենք անդամի։ Մենք իրավունք ունենք կրճատել՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ սա անվավեր փոփոխական արժեք է տվյալ կոտորակի համար։

Պատասխանել..

Այս դասում մենք անդրադարձանք կոտորակների հետ կապված հիմնական հասկացություններին: Հաջորդ դասին մենք կանդրադառնանք կոտորակի հիմնական հատկությունը.

Մատենագիտություն

1. Բաշմակով Մ.Ի.Հանրահաշիվ 8-րդ դաս. - Մ.: Կրթություն, 2004:

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2010 թ.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Հանրահաշիվ 8-րդ դասարան: Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար. - Մ.: Կրթություն, 2006 թ.

1. Մանկավարժական գաղափարների փառատոն.

2. Հին դպրոց.

3. lib2.podelise ինտերնետային պորտալ: ru.

Տնային աշխատանք

1. No 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Հանրահաշիվ 8. - 5-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2010 թ.

2. Գրի՛ր ռացիոնալ կոտորակ, որի սահմանման տիրույթն է՝ ա) բազմությունը, բ) բազմությունը, գ) ամբողջ թվային տողը:

3. Ապացուցեք, որ փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների դեպքում կոտորակի արժեքը ոչ բացասական է:

4. Գտի՛ր արտահայտության տիրույթը: Հրահանգներ՝ առանձին դիտարկեք երկու դեպք՝ երբ ստորին կոտորակի հայտարարը զրո է և երբ սկզբնական կոտորակի հայտարարը զրո է։

§ 42-ում ասվում էր, որ եթե բազմանդամների բաժանումը հնարավոր չէ կատարել ամբողջությամբ, ապա քանորդը գրվում է կոտորակային արտահայտության տեսքով, որում դիվիդենտը համարիչն է, իսկ բաժանարարը՝ հայտարարը։

Կոտորակային արտահայտությունների օրինակներ.

Կոտորակային արտահայտության համարիչն ու հայտարարն իրենք կարող են լինել կոտորակային արտահայտություններ, օրինակ.

Կոտորակի հանրահաշվական արտահայտություններից ամենից հաճախ պետք է գործ ունենալ նրանց հետ, որոնցում համարիչն ու հայտարարը բազմանդամներ են (մասնավորապես՝ միանդամներ): Յուրաքանչյուր նման արտահայտություն կոչվում է հանրահաշվական կոտորակ:

Սահմանում. Հանրահաշվական արտահայտությունը, որը կոտորակ է, որի համարիչը և հայտարարը բազմանդամներ են, կոչվում է հանրահաշվական կոտորակ:

Ինչպես թվաբանության մեջ, այնպես էլ հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կոչվում են կոտորակի անդամներ։

Հետագայում, ուսումնասիրելով գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների վրա, մենք կկարողանանք ցանկացած կոտորակային արտահայտություն վերածել հանրահաշվական կոտորակի՝ օգտագործելով նույնական փոխակերպումներ:

Հանրահաշվական կոտորակների օրինակներ.

Նկատի ունեցեք, որ ամբողջ արտահայտությունը, այսինքն՝ բազմանդամը, կարելի է գրել որպես կոտորակ, դրա համար բավական է այս արտահայտությունը գրել համարիչով, իսկ 1-ը՝ հայտարարի մեջ, օրինակ.

2. Ընդունելի տառային արժեքներ.

Միայն համարիչում ներառված տառերը կարող են ընդունել ցանկացած արժեք (եթե խնդրի պայմանով որևէ լրացուցիչ սահմանափակում չի մտցվել):

Հայտարարի մեջ ներառված տառերի համար վավեր են միայն այն արժեքները, որոնք հայտարարը չեն դարձնում զրոյի: Հետևաբար, մենք միշտ կենթադրենք, որ հանրահաշվական կոտորակի հայտարարը հավասար չէ զրոյի։