Područja volumetrijskih figura. Kako izračunati i označiti površinu

Da biste riješili geometrijske probleme, morate znati formule - kao što je površina trokuta ili površina paralelograma - kao i jednostavne tehnike, o čemu ćemo govoriti.

Prvo, naučimo formule za površine figura. Posebno smo ih prikupili u prigodnoj tablici. Ispiši, nauči i primijeni!

Naravno, nisu sve geometrijske formule u našoj tablici. Na primjer, za rješavanje problema iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profila Jedinstveni državni ispit iz matematike koriste se druge formule za područje trokuta. Svakako ćemo vam reći o njima.

Ali što ako ne trebate pronaći područje trapeza ili trokuta, već područje neke složene figure? Postoje univerzalni načini! Pokazat ćemo ih na primjerima iz FIPI banke zadataka.

1. Kako pronaći područje nestandardne figure? Na primjer, proizvoljni četverokut? Jednostavna tehnika - podijelimo ovu figuru na one o kojima sve znamo i pronađemo joj površinu - kao zbroj površina tih figura.

Podijelite ovaj četverokut vodoravnom crtom na dva trokuta sa zajedničkom bazom jednakom . Visine ovih trokuta su jednake i . Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dvaju trokuta: .

Odgovor: .

2. U nekim slučajevima, područje figure može se prikazati kao razlika nekih područja.

Nije tako lako izračunati čemu su jednake osnovica i visina tog trokuta! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici površina kvadrata sa stranicom i tri pravokutna trokuta. Vidite li ih na slici? Dobivamo: .

Odgovor: .

3. Ponekad u zadatku trebate pronaći područje ne cijele figure, već njenog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijela kruga. Nađite površinu sektora kruga polumjera čija je duljina luka jednaka .

Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga jednaka je . Ostaje saznati koji je dio kruga prikazan. Budući da je duljina cijele kružnice jednaka (od ), i duljina luka danog sektora je jednaka , dakle, duljina luka je nekoliko puta manja od duljine cijele kružnice. Kut pod kojim ovaj luk počiva također je faktor manji od punog kruga (tj. stupnjeva). To znači da će područje sektora biti nekoliko puta manje od područja cijelog kruga.

Formula površine potrebno je odrediti površinu figure, koja je funkcija realne vrijednosti definirana na određenoj klasi likova euklidske ravnine i koja zadovoljava 4 uvjeta:

  1. Pozitivnost - Površina ne može biti manja od nule;
  2. Normalizacija - kvadrat s bočnom jedinicom ima površinu 1;
  3. Kongruencija - sukladni likovi imaju jednaku površinu;
  4. Aditivnost - površina spoja 2 figure bez zajedničkih unutarnjih točaka jednaka je zbroju površina ovih figura.
Formule za područje geometrijskih figura.
Geometrijski lik Formula Crtanje

Rezultat zbrajanja udaljenosti između središta suprotnih stranica konveksnog četverokuta bit će jednak njegovom poluopsegu.

Kružni sektor.

Površina sektora kruga jednaka je umnošku njegovog luka i polovine polumjera.

Kružni segment.

Da biste dobili površinu segmenta ASB, dovoljno je oduzeti površinu trokuta AOB od površine sektora AOB.

S = 1 / 2 R (s - AC)

Površina elipse jednaka je umnošku duljina velike i male poluosi elipse i broja pi.

Elipsa.

Druga mogućnost za izračunavanje površine elipse je kroz dva njena radijusa.

Trokut. Kroz bazu i visinu.

Formula za površinu kruga pomoću polumjera i promjera.

Trg . Kroz njegovu stranu.

Površina kvadrata jednaka je kvadratu duljine njegove stranice.

Kvadrat. Kroz njegove dijagonale.

Površina kvadrata jednaka je polovici kvadrata duljine njegove dijagonale.

Pravilni poligon.

Da bi se odredila površina pravilnog poligona, potrebno ga je podijeliti na jednake trokute koji bi imali zajednički vrh u središtu upisane kružnice.

S= r p = 1/2 r n a

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

  • Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

  • Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
  • S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
  • Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
  • Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

  • Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
  • U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Ako planirate sami izvršiti obnovu, tada ćete morati napraviti procjenu građevinskih i završnih materijala. Da biste to učinili, morat ćete izračunati površinu prostorije u kojoj planirate izvršiti radove obnove. Glavni pomoćnik u tome je posebno razvijena formula. Područje sobe, odnosno njegov izračun, omogućit će vam uštedu puno novca Građevinski materijal a oslobođena financijska sredstva usmjeriti u prikladnijem smjeru.

Geometrijski oblik sobe

Formula za izračunavanje površine sobe izravno ovisi o njegovom obliku. Najtipičnije za domaće zgrade su pravokutne i kvadratne sobe. Međutim, tijekom preuređenja, standardni obrazac može biti iskrivljen. Sobe su:

  • Pravokutan.
  • Kvadrat.
  • Složena konfiguracija (na primjer, okrugla).
  • S nišama i izbočinama.

Svaki od njih ima svoje značajke izračuna, ali u pravilu se koristi ista formula. Površina sobe bilo kojeg oblika i veličine, na ovaj ili onaj način, može se izračunati.

Pravokutna ili kvadratna soba

Za izračunavanje površine pravokutnog ili kvadratni oblik, samo zapamti školske lekcije geometrija. Stoga vam ne bi trebalo biti teško odrediti površinu sobe. Formula za izračun izgleda ovako:

S sobe=A*B, gdje

A je duljina sobe.

B je širina prostorije.

Za mjerenje ovih vrijednosti trebat će vam redovita mjerač trake. Da biste dobili najtočnije izračune, vrijedi izmjeriti zid s obje strane. Ako se vrijednosti ne slažu, uzmite prosjek dobivenih podataka kao osnovu. Ali zapamtite da svi izračuni imaju svoje pogreške, tako da materijal treba kupiti s rezervom.

Soba složene konfiguracije

Ako vaša soba ne odgovara definiciji "tipične", tj. ima oblik kruga, trokuta, poligona, možda će vam trebati druga formula za izračune. Možete pokušati grubo podijeliti površinu sobe s ovom karakteristikom na pravokutne elemente i izvršiti izračune standardnom metodom. Ako nemate ovu priliku, upotrijebite sljedeće metode:

  • Formula za pronalaženje površine kruga:

S soba=π*R 2, gdje je

R je radijus prostorije.

  • Formula za pronalaženje površine trokuta:

S soba = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), gdje

P je poluopseg trokuta.

A, B, C su duljine njegovih stranica.

Stoga je P=A+B+C/2

Ako imate bilo kakvih poteškoća tijekom procesa izračuna, onda je bolje da se ne mučite i obratite se profesionalcima.

Područje prostorije s izbočinama i nišama

Često su zidovi ukrašeni ukrasnim elementima u obliku raznih niša ili izbočina. Također, njihova prisutnost može biti posljedica potrebe da se sakriju neki neestetski elementi vaše sobe. Prisutnost izbočina ili niša na vašem zidu znači da se izračun treba provesti u fazama. Oni. Prvo se pronađe područje ravnog dijela zida, a zatim mu se doda područje niše ili izbočine.

Površina zida nalazi se po formuli:

S zidovi = P x C, gdje je

P - perimetar

C - visina

Također morate uzeti u obzir prisutnost prozora i vrata. Njihovo područje mora se oduzeti od dobivene vrijednosti.

Soba s višeslojnim stropom

Strop na više razina ne komplicira izračune koliko se čini na prvi pogled. Ako ima jednostavan dizajn, tada se izračuni mogu napraviti na temelju načela pronalaženja površine zidova kompliciranih nišama i izbočinama.

Međutim, ako vaš dizajn stropa ima lučne i valovite elemente, tada je prikladnije odrediti njegovu površinu pomoću površine poda. Da biste to učinili potrebno vam je:

  1. Odredite dimenzije svih ravnih dijelova zidova.
  2. Pronađite površinu poda.
  3. Pomnožite duljinu i visinu okomitih dijelova.
  4. Zbrojite dobivenu vrijednost s površinom poda.

Korak po korak upute za određivanje općeg

površina sobe

  1. Očistite sobu od nepotrebnih stvari. Tijekom postupka mjerenja trebat će vam slobodan pristup svim dijelovima vaše sobe, stoga se trebate riješiti svega što bi moglo smetati.
  2. Vizualno podijelite sobu na područja pravilnog i nepravilnog oblika. Ako vaša soba ima strogo kvadratni ili pravokutni oblik, tada možete preskočiti ovaj korak.
  3. Napravite nasumični raspored sobe. Ovaj crtež je potreban kako bi svi podaci uvijek bili pri ruci. Također, neće vam dati priliku da se zbunite u brojnim mjerenjima.
  4. Mjerenja se moraju obaviti nekoliko puta. Ovo je važno pravilo kako biste izbjegli pogreške u izračunima. Također, ako ga koristite, pazite da greda leži ravno na površini zida.
  5. Pronađite ukupnu površinu sobe. Formula za ukupnu površinu sobe je pronaći zbroj svih površina pojedinih dijelova prostorije. Oni. S ukupno = S zidovi+S pod+S strop

Kvadrat geometrijski lik - numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine ograničen zatvorenom konturom ove figure). Veličina površine izražena je brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.

Formule površine trokuta

  1. Formula za površinu trokuta prema stranici i visini
    Površina trokuta jednak polovici umnoška duljine stranice trokuta i duljine visine povučene na tu stranicu
  2. Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru opisane kružnice
  3. Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru upisane kružnice
    Površina trokuta jednak je umnošku polumjera trokuta i polumjera upisane kružnice.
    4. gdje je S površina trokuta,
    - duljine stranica trokuta,
    - visina trokuta,
    - kut između stranica i,
    - radijus upisane kružnice,
    R - polumjer opisane kružnice,

Formule kvadratne površine

  1. Formula za površinu kvadrata prema duljini stranice
    Kvadratna površina jednaka kvadratu duljine njegove stranice.
  2. Formula za površinu kvadrata duž dijagonalne duljine
    Kvadratna površina jednaka polovici kvadrata duljine njegove dijagonale.
    S=1 2
    2
    3. gdje je S površina kvadrata,
    - duljina stranice kvadrata,
    - duljina dijagonale kvadrata.

Formula površine pravokutnika

    Površina pravokutnika jednak umnošku duljina njegovih dviju susjednih stranica

    gdje je S površina pravokutnika,
    - duljine stranica pravokutnika.

Formule površine paralelograma

  1. Formula za površinu paralelograma na temelju duljine stranice i visine
    Površina paralelograma
  2. Formula za površinu paralelograma koja se temelji na dvjema stranicama i kutu između njih
    Površina paralelograma jednak je umnošku duljina njegovih stranica pomnoženih sa sinusom kuta između njih.

    a b sin α

    3. gdje je S površina paralelograma,
    - duljine stranica paralelograma,
    - duljina visine paralelograma,
    - kut između stranica paralelograma.

Formule za površinu romba

  1. Formula za površinu romba na temelju duljine i visine stranice
    Površina romba jednak umnošku duljine njegove stranice i duljine visine spuštene na ovu stranu.
  2. Formula za površinu romba na temelju duljine stranice i kuta
    Površina romba jednak je umnošku kvadrata duljine njegove stranice i sinusa kuta između stranica romba.
  3. Formula za površinu romba na temelju duljina njegovih dijagonala
    Površina romba jednak polovici umnoška duljina njegovih dijagonala.
    4. gdje je S površina romba,
    - duljina stranice romba,
    - duljina visine romba,
    - kut između stranica romba,
    1, 2 - duljine dijagonala.

Formule površine trapeza

  1. Heronova formula za trapez

    Gdje je S površina trapeza,
    - duljine osnovica trapeza,
    - duljine stranica trapeza,