Odredite koji je pravac na ravnini dan jednadžbom. Jednadžba pravca, vrste jednadžbi pravca na ravnini
Razmotrimo funkciju danu formulom (jednadžbom)
Ova funkcija, a time i jednadžba (11), odgovara na ravnini dobro definiranoj liniji, koja je graf ove funkcije (vidi sliku 20). Iz definicije grafa funkcije proizlazi da se ovaj pravac sastoji od onih i samo onih točaka ravnine čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (11).
Neka sada
Pravac koji je graf ove funkcije sastoji se od onih i samo onih točaka ravnine čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (12). To znači da ako točka leži na navedenoj liniji, tada njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu (12). Ako točka ne leži na tom pravcu, tada njezine koordinate ne zadovoljavaju jednadžbu (12).
Jednadžba (12) se rješava s obzirom na y. Razmotrimo jednadžbu koja sadrži x i y koja nije riješena u odnosu na y, kao što je jednadžba
Pokažimo da pravac odgovara ovoj jednadžbi u ravnini, naime kružnica sa središtem u ishodištu koordinata i polumjerom jednakim 2. Prepišimo jednadžbu u obliku
Njegova lijeva strana je kvadrat udaljenosti točke od ishodišta (vidi § 2, točka 2, formula 3). Iz jednakosti (14) slijedi da je kvadrat te udaljenosti 4.
To znači da se svaka točka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (14), a time i jednadžbu (13), nalazi na udaljenosti 2 od ishodišta.
Geografsko mjesto takvih točaka je kružnica sa središtem u ishodištu i radijusom 2. Ova kružnica će biti pravac koji odgovara jednadžbi (13). Koordinate bilo koje njegove točke očito zadovoljavaju jednadžbu (13). Ako točka ne leži na kružnici koju smo pronašli, tada će kvadrat njezine udaljenosti od ishodišta biti veći ili manji od 4, što znači da koordinate takve točke ne zadovoljavaju jednadžbu (13).
Neka sada, u općem slučaju, s obzirom na jednadžbu
na čijoj se lijevoj strani nalazi izraz koji sadrži x i y.
Definicija. Pravac definiran jednadžbom (15) je geometrijsko mjesto točaka u ravnini čije koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu.
To znači da ako je pravac L određen jednadžbom, tada koordinate bilo koje točke ravnine L zadovoljavaju ovu jednadžbu, a koordinate bilo koje točke ravnine koja leži izvan L ne zadovoljavaju jednadžbu (15).
Jednadžba (15) naziva se jednadžba linije
Komentar. Ne treba misliti da bilo koja jednadžba definira bilo koju liniju. Na primjer, jednadžba ne definira nikakvu liniju. Doista, za bilo koju stvarnu vrijednost i y, lijeva strana ove jednadžbe je pozitivna, a desna strana jednaka nuli, pa stoga ova jednadžba ne može zadovoljiti koordinate bilo koje točke u ravnini
Pravac se može definirati na ravnini ne samo jednadžbom koja sadrži kartezijeve koordinate, već i jednadžbom u polarnim koordinatama. Pravac definiran jednadžbom u polarnim koordinatama je geometrijsko mjesto točaka u ravnini čije polarne koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu.
Primjer 1. Konstruirajte Arhimedovu spiralu na .
Riješenje. Napravimo tablicu za neke vrijednosti polarnog kuta i odgovarajuće vrijednosti polarnog radijusa.
Gradimo točku u polarnom koordinatnom sustavu, koja se, očito, podudara s polom; zatim crtanjem osi pod kutom prema polarnoj osi konstruiramo točku s pozitivnom koordinatom na ovoj osi; nakon toga na sličan način konstruiramo točke s pozitivnim vrijednostima polarnog kuta i polarnog radijusa (osi za te točke nisu prikazani na slici 30).
Kao što je poznato, svaka točka na ravnini određena je dvjema koordinatama u nekom koordinatnom sustavu. Koordinatni sustavi mogu biti različiti ovisno o izboru baze i ishodišta.
Definicija: Jednadžba pravca je odnos y = f(x) između koordinata točaka koje čine taj pravac.
Imajte na umu da se jednadžba linije može izraziti na parametarski način, to jest, svaka koordinata svake točke izražena je kroz neki neovisni parametar t. Tipičan primjer je putanja pokretne točke. U ovom slučaju vrijeme igra ulogu parametra.
Različite vrste jednadžbi pravca
Opća jednadžba pravca.
Bilo koji pravac u ravnini može se dati jednadžbom prvog reda
Ah + Wu + C = 0,
štoviše, konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2 ¹ 0. Ova jednadžba prvog reda naziva se opća jednadžba ravne linije .
Ovisno o vrijednostima konstanta A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - linija prolazi kroz ishodište
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C = 0) - linija je paralelna s osi Ox
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - linija je paralelna s osi Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - ravna linija poklapa se s osi Oy
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - ravna linija poklapa se s osi Ox
Jednadžba ravne linije može se prikazati u razne forme ovisno o bilo kojim danim početnim uvjetima.
Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke.
Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2) pa je jednadžba pravca koji prolazi kroz te točke:
Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti na nulu. Na ravnini je gore napisana jednadžba ravne linije pojednostavljena:
ako je x 1 ¹ x 2 i x \u003d x 1, ako je x 1 \u003d x 2.
Razlomak = k naziva se nagibom pravca.
Jednadžba pravca s točkom i kosom.
Ako opća jednadžba ravne linije Ax + Vy + C = 0 dovede do oblika:
i označavaju , tada se dobivena jednadžba naziva jednadžba pravca s nagibom k.
Jednadžba pravca u segmentima.
Ako je u općoj jednadžbi ravne linije Ah + Vu + S = 0 S ¹ 0, tada, dijeljenjem s –S, dobivamo: ili
Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent a je koordinata točke presjeka pravca s osi x, i b- koordinata sjecišta pravca s osi Oy.
Normalna jednadžba pravca.
Ako se oba dijela jednadžbe Ax + Vy + C = 0 podijele s brojem , koji se naziva faktor normalizacije, tada dobivamo
xcosj + ysinj - p = 0 –
normalna jednadžba ravne linije.
Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da m × S< 0.
p je duljina okomice spuštene iz ishodišta na ravnu crtu, a j je kut koji ta okomica čini s pozitivnim smjerom osi Ox.
Kut između pravaca na ravnini.
Ako su zadane dvije linije y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će šiljasti kut između ovih linija biti definiran kao
Dva su pravca paralelna ako je k 1 = k 2 .
Dva su pravca okomita ako je k 1 = -1/k 2 .
Teorema. Ravne linije Ax + Vy + C \u003d 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 \u003d lA, B 1 = lB proporcionalni. Ako je također C 1 = lC, tada se pravci podudaraju.
Koordinate točke presjeka dviju pravaca nalaze se kao rješenje sustava dviju jednadžbi.
Udaljenost od točke do pravca.
Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do linije Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao
Predavanje 5
Uvod u analizu. Diferencijalni račun funkcije jedne varijable.
OGRANIČENJE FUNKCIJE
Limit funkcije u točki.
0 a - D a a + D x
Slika 1. Limit funkcije u točki.
Neka je funkcija f(x) definirana u nekoj okolini točke x = a (odnosno, u samoj točki x = a funkcija možda neće biti definirana)
Definicija. Broj A naziva se limitom funkcije f(x) za x®a ako za bilo koji e>0 postoji broj D>0 takav da za sve x vrijedi
0 < ïx - aï < D
nejednakost ïf(x) - Aï< e.
Ista definicija može se napisati u drugom obliku:
Ako je - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Zapisivanje limita funkcije u točki:
Definicija.
Ako je f(x) ® A 1 za x ® a samo za x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, onda se zove limes funkcije f(x) u točki x = a na desnoj strani.
Gornja se definicija odnosi na slučaj kada funkcija f(x) nije definirana u samoj točki x = a, već je definirana u nekoj proizvoljno maloj okolini te točke.
Granice A 1 i A 2 također se nazivaju jednostrano izvan funkcije f(x) u točki x = a. Također se kaže da je A granica funkcije f(x).
Jednadžba pravca na ravnini.
Kao što je poznato, svaka točka na ravnini određena je dvjema koordinatama u nekom koordinatnom sustavu. Koordinatni sustavi mogu biti različiti ovisno o izboru baze i ishodišta.
Definicija. Jednadžba linije naziva se omjer y=f(x ) između koordinata točaka koje čine ovaj pravac.
Imajte na umu da se jednadžba linije može izraziti na parametarski način, to jest, svaka koordinata svake točke izražena je kroz neki neovisni parametart.
Tipičan primjer je putanja pokretne točke. U ovom slučaju vrijeme igra ulogu parametra.
Jednadžba pravca na ravnini.
Definicija. Bilo koji pravac u ravnini može se dati jednadžbom prvog reda
Ah + Wu + C = 0,
štoviše, konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2¹ 0. Ova jednadžba prvog reda zove se opća jednadžba pravca.
Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - pravac prolazi kroz ishodište
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0) - ravna linija je paralelna s osi Ox
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - pravac paralelan s osi Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - linija se podudara s osi Oy
A = C = 0, B ¹ 0 - linija se poklapa s osi Ox
Jednadžba ravne crte može se prikazati u različitim oblicima ovisno o bilo kojem danom početnom uvjetu.
Udaljenost od točke do pravca.
Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do linije Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao
.
Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na zadani pravac. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:
(1)
Koordinate x 1 a y 1 može se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:
Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi zadanom točkom M 0 okomito na zadani pravac.
Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada, rješavajući, dobivamo:
Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:
.
Teorem je dokazan.
Primjer. Odredite kut između linija: y=-3x+7; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.
Primjer. Pokažite da su pravci 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomiti.
Nađi: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, stoga su pravci okomiti.
Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B(6;5),C (12; -1). Nađite jednadžbu za visinu povučenu iz vrha C.
U prošlom članku razmotrili smo glavne točke u vezi s temom ravne linije na ravnini. Prijeđimo sada na proučavanje jednadžbe ravne crte: razmotrimo koja se jednadžba može nazvati jednadžbom ravne crte, a također i kakav oblik ima jednadžba ravne crte u ravnini.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Definicija jednadžbe pravca u ravnini
Recimo da postoji pravac, koji je zadan u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu O x y.
Definicija 1
Ravna crta- ovo je geometrijski lik, koji se sastoji od točkica. Svaka točka ima svoje koordinate duž apscisne i ordinatne osi. Jednadžba koja opisuje ovisnost koordinata svake točke pravca u Kartezijevom sustavu O x y naziva se jednadžba pravca na ravnini.
Zapravo, jednadžba pravca u ravnini je jednadžba s dvije varijable, koje se označavaju kao x i y. Jednadžba se pretvara u identitet kada se u nju zamijene vrijednosti bilo koje točke ravne linije.
Pogledajmo kakav će oblik imati jednadžba pravca u ravnini. To će biti fokus sljedećeg odjeljka našeg članka. Imajte na umu da postoji nekoliko opcija za pisanje jednadžbe ravne linije. To se objašnjava prisutnošću nekoliko načina postavljanja ravne linije na ravninu, kao i različitim specifičnostima zadataka.
Upoznajmo se s teoremom koji definira oblik jednadžbe pravca na ravnini u Kartezijevom koordinatnom sustavu O x y .
Teorem 1
Jednadžba oblika A x + B y + C = 0, gdje su x i y varijable, a A, B i C neki realni brojevi, od kojih A i B nisu jednaki nuli, definira ravnu liniju u Kartezijev koordinatni sustav O x y . Zauzvrat, bilo koja ravna crta na ravnini može se dati jednadžbom oblika A x + B y + C = 0 .
Dakle, opća jednadžba pravca u ravnini ima oblik A x + B y + C = 0 .
Objasnimo neke važne aspekte teme.
Primjer 1
Pogledaj sliku.
Crta na crtežu određena je jednadžbom oblika 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, budući da koordinate bilo koje točke koja čini ovu liniju zadovoljavaju gornju jednadžbu. Istovremeno, određeni broj točaka u ravnini, definiranih jednadžbom 2 x + 3 y - 2 = 0, daje nam ravnu liniju koju vidimo na slici.
Opća jednadžba pravca može biti potpuna i nepotpuna. U kompletnoj jednadžbi svi brojevi A, B i C nisu nula. U svim ostalim slučajevima, jednadžba se smatra nepotpunom. Jednadžba oblika A x + B y = 0 definira ravnu liniju koja prolazi kroz ishodište. Ako je A nula, tada jednadžba A x + B y + C = 0 definira ravnu liniju paralelnu s x-osi O x . Ako je B jednako nuli, tada je pravac paralelan s ordinatnom osi O y .
Zaključak: za određeni skup vrijednosti brojeva A, B i C, koristeći opću jednadžbu pravca, možete napisati bilo koji pravac na ravninu u pravokutnom koordinatnom sustavu O x y.
Pravac zadan jednadžbom oblika A x + B y + C = 0 ima normalni vektor s koordinatama A , B .
Sve navedene jednadžbe pravaca, koje ćemo razmotriti u nastavku, mogu se dobiti iz opće jednadžbe pravca. Moguć je i obrnuti proces, kada se bilo koja od razmatranih jednadžbi može svesti na opću jednadžbu pravca.
Sve nijanse teme možete razumjeti u članku "Opća jednadžba ravne linije". U materijalu donosimo dokaz teorema s grafičkim prikazima i detaljnom analizom primjera. Posebna se pozornost posvećuje prijelazima s opće jednadžbe pravca na jednadžbe drugih vrsta i obrnuto.
Jednadžba pravca u segmentima ima oblik x a + y b = 1 , gdje su a i b neki realni brojevi koji nisu jednaki nuli. Apsolutne vrijednosti brojeva a i b jednake su duljini segmenata koji su odsječeni ravnom linijom na koordinatnim osima. Duljina segmenata mjeri se iz ishodišta koordinata.
Zahvaljujući jednadžbi, možete lako nacrtati ravnu liniju na crtežu. Za to je potrebno označiti točke a, 0 i 0, b u pravokutnom koordinatnom sustavu, a zatim ih povezati ravnom linijom.
Primjer 2
Izgradimo ravnu liniju, koja je dana formulom x 3 + y - 5 2 = 1. Označimo dvije točke na grafu 3 , 0 , 0 , - 5 2 , spojimo ih zajedno.
Ove jednadžbe, koje imaju oblik y = k · x + b, trebale bi nam biti dobro poznate iz kolegija algebre. Ovdje su x i y varijable, k i b neki realni brojevi, od kojih je k nagib. U ovim jednadžbama varijabla y je funkcija argumenta x.
Definiciju nagiba dajmo kroz definiciju kuta nagiba pravca na pozitivan smjer osi O x .
Definicija 2
Za označavanje kuta nagiba pravca prema pozitivnom smjeru osi O x u Kartezijevom koordinatnom sustavu uvodimo vrijednost kuta α. Kut se mjeri od pozitivnog smjera x-osi do ravne crte u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Smatra se da je kut α jednak nuli ako je pravac paralelan s osi O x ili se s njom podudara.
Nagib pravca je tangenta nagiba pravca. Zapisuje se na sljedeći način k = t g α . Za ravnu liniju koja je paralelna s osi O y ili se poklapa s njom, nije moguće napisati jednadžbu pravca s nagibom, jer nagib u tom slučaju prelazi u beskonačnost (ne postoji).
Pravac, koji je dan jednadžbom y = k x + b, prolazi kroz točku 0, b na y-osi. To znači da jednadžba ravne crte s nagibom y \u003d k x + b postavlja ravnu crtu na ravninu koja prolazi kroz točku 0, b i tvori kut α s pozitivnim smjerom osi O x, a k \u003d t g α.
Primjer 3
Nacrtajmo ravnu liniju koja je definirana jednadžbom oblika y = 3 · x - 1 .
Ovaj pravac mora prolaziti kroz točku (0 , - 1) . Kut nagiba α = a r c t g 3 = π 3 jednak je 60 stupnjeva u pozitivnom smjeru osi O x. Nagib je 3
Imajte na umu da je korištenjem jednadžbe ravne linije s nagibom vrlo zgodno tražiti jednadžbu tangente na graf funkcije u točki.
Više materijala o temi možete pronaći u članku "Jednadžba pravca s nagibom". Uz teoriju, postoji veliki broj grafičkih primjera i detaljna analiza zadataka.
Ova vrsta jednadžbe ima oblik x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, gdje su x 1, y 1, a x, a y neki realni brojevi, od kojih a x i a y nisu jednaki nuli.
Pravac zadan kanonskom jednadžbom pravca prolazi točkom M 1 (x 1 , y 1) . Brojevi a x i a y u nazivnicima razlomaka su koordinate vektora smjera pravca. To znači da kanonska jednadžba pravca x - x 1 a x = y - y 1 a y u Kartezijevom koordinatnom sustavu O x y odgovara pravcu koji prolazi točkom M 1 (x 1 , y 1) i ima vektor smjera a → = (a x , a y) .
Primjer 4
Nacrtajte ravnu liniju u O x y koordinatnom sustavu koji je dan jednadžbom x - 2 3 = y - 3 1 . Točka M 1 (2 , 3) pripada pravoj liniji, vektor a → (3 , 1) je vektor smjera ove ravne linije.
Kanonska ravna jednadžba oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y može se koristiti u slučajevima kada je a x ili a y nula. Prisutnost nule u nazivniku čini zapis x - x 1 a x = y - y 1 a y uvjetnim. Jednadžba se može napisati na sljedeći način a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
U slučaju kada je a x \u003d 0, kanonska jednadžba ravne linije ima oblik x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y i postavlja ravnu liniju koja je paralelna s ordinatnom osi ili se podudara s ovom osi.
Kanonska jednadžba ravne linije, pod uvjetom da je a y \u003d 0, poprima oblik x - x 1 a x \u003d y - y 1 0. Takva jednadžba definira ravnu liniju paralelnu s x-osi ili se podudara s njom.
Više materijala na temu kanonske jednadžbe pravca pogledajte ovdje. U članku nudimo niz rješenja problema, kao i brojne primjere koji vam omogućuju bolje svladavanje teme.
Parametarske jednadžbe pravca na ravnini
Ove jednadžbe imaju oblik x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ, gdje su x 1, y 1, a x, a y neki realni brojevi, od kojih a x i a y ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme. vrijeme. U formulu se uvodi dodatni parametar λ koji može poprimiti bilo koju stvarnu vrijednost.
Svrha parametarske jednadžbe je uspostaviti implicitni odnos između koordinata točaka pravca. Za to se uvodi parametar λ.
Brojevi x , y su koordinate neke točke na pravcu. Izračunavaju se parametarskim jednadžbama pravca za neku realnu vrijednost parametra λ.
Primjer 5
Pretpostavimo da je λ = 0 .
Tada je x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, tj. točka s koordinatama (x 1, y 1) pripada pravcu.
Skrećemo pozornost na činjenicu da su koeficijenti a x i a y s parametrom λ u ovoj vrsti jednadžbi koordinate vektora usmjeravanja pravca.
Primjer 6
Razmotrimo parametarske jednadžbe pravocrtnih oblika x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Pravac zadan jednadžbama u Kartezijevom koordinatnom sustavu prolazi kroz točku (x 1 , y 1) i ima smjerni vektor a → = (3 , 1) .
Za više informacija pogledajte članak "Parametarske jednadžbe pravca na ravnini".
Normalna jednadžba ravne linije ima oblik, A x + B y + C = 0 , gdje su brojevi A, B i C takvi da je duljina vektora n → = (A , B) jednaka jedan , i C ≤ 0 .
Vektor normale pravca, zadan jednadžbom normale pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu O x y, je vektor n → = (A , B) . Taj pravac prolazi na udaljenosti C od ishodišta u smjeru vektora n → = (A , B) .
Drugi način za pisanje normalne jednadžbe ravne crte je cos α x + cos β y - p = 0, gdje su cos α i cos β dva realna broja koji su kosinusi smjera jedinične dužine normalnog vektora ravne crte. To znači da je n → = (cos α , cos β) , jednakost n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 je istinita, vrijednost p ≥ 0 i jednaka je udaljenosti od ishodišta do pravca.
Primjer 7
Razmotrimo opću jednadžbu ravne linije - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . Ova opća jednadžba pravca je normalna jednadžba pravca, budući da je n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 i C = - 3 ≤ 0 .
Jednadžba definira ravnu liniju u kartezijevom koordinatnom sustavu 0xy čiji vektor normale ima koordinate - 1 2 , 3 2 . Pravac je udaljen od ishodišta za 3 jedinice u smjeru vektora normale n → = - 1 2 , 3 2 .
Skrećemo vam pozornost na činjenicu da normalna jednadžba ravne crte na ravnini omogućuje pronalaženje udaljenosti od točke do ravne crte na ravnini.
Ako su u općoj jednadžbi pravca A x + B y + C \u003d 0 brojevi A, B i C takvi da jednadžba A x + B y + C \u003d 0 nije normalna jednadžba pravca, tada može se svesti na normalan oblik. Više o tome pročitajte u članku "Normalna jednadžba pravca".
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Razmotrimo odnos oblika F(x, y)=0 povezivanje varijabli x i na. Pozvat će se jednakost (1). jednadžba s dvije varijable x, y, ako ova jednakost ne vrijedi za sve parove brojeva x i na. Primjeri jednadžbi: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Ako (1) vrijedi za sve parove brojeva x i y, tada se zove identitet. Primjeri identiteta: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
Jednadžba (1) će se zvati jednadžba skupa točaka (x; y), ako ovu jednadžbu zadovoljavaju koordinate x i na bilo koje točke skupa i ne zadovoljavaju koordinate bilo koje točke koja ne pripada ovom skupu.
Važan koncept u analitičkoj geometriji je koncept jednadžbe pravca. Neka pravokutni koordinatni sustav i neki pravac α.
Definicija. Jednadžba (1) naziva se jednadžba linije α
(u stvorenom koordinatnom sustavu), ako ovu jednadžbu zadovoljavaju koordinate x i na bilo koja točka na liniji α
, i ne zadovoljavaju koordinate nijedne točke koja ne leži na ovoj liniji.
Ako je (1) jednadžba linije α, onda ćemo reći da jednadžba (1) određuje (postavlja) crta α.
Crta α može se odrediti ne samo jednadžbom oblika (1), već i jednadžbom oblika
F(P, φ) = 0, koji sadrži polarne koordinate.
- jednadžba pravca s nagibom;
Neka je dana neka ravna linija koja nije okomita na os OH. Nazovimo kut nagiba dana linija prema osi OH kutak α kojim se zakreće os OH tako da se pozitivni smjer poklapa s jednim od pravaca pravca. Tangens kuta nagiba pravca na os OH nazvao faktor nagiba ova ravna crta i označena slovom Do.
|
|||
|
|||
Izvodimo jednadžbu ove ravne linije, ako je znamo Do i vrijednost u segmentu OV, koje ona odreže na osi OU.
|
|
Jednadžba (2) naziva se jednadžba pravca s nagibom. Ako a K=0, tada je pravac paralelan s osi OH a njegova jednadžba je y = b.
- jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke;
|
|
. Ovo je jednadžba ako y 1 ≠ y 2, može se napisati kao: Ako a y 1 = y 2, tada jednadžba tražene ravne linije ima oblik y = y 1. U ovom slučaju, linija je paralelna s osi OH. Ako a x 1 = x 2, zatim pravac koji prolazi kroz točke M 1 i M 2, paralelno s osi OU, njegova jednadžba ima oblik x = x 1.
- jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku sa zadanim nagibom;
|
|
i, obrnuto, jednadžba (5) za proizvoljne koeficijente A, B, C (ALI i B ≠ 0 simultano) definira neki pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu Ohu.
Dokaz.
Dokažimo prvo prvu tvrdnju. Ako pravac nije okomit Oh, tada je određena jednadžbom prvog stupnja: y = kx + b, tj. jednadžba oblika (5), gdje je
A=k, B=-1 i C = b. Ako je pravac okomit Oh, tada sve njegove točke imaju istu apscisu jednaku vrijednosti α segment odrezan ravnom linijom na osi Oh.
Jednadžba ovog pravca ima oblik x = α, oni. je također jednadžba prvog stupnja oblika (5), gdje je A \u003d 1, B = 0, C = - α. Ovo dokazuje prvu tvrdnju.
Dokažimo obratna izjava. Neka je dana jednadžba (5) i barem jedan od koeficijenata ALI i B ≠ 0.
Ako a B ≠ 0, tada se (5) može napisati kao . nagnuta 
, dobivamo jednadžbu y = kx + b, tj. jednadžba oblika (2) koja definira ravnu liniju.
Ako a B = 0, onda A ≠ 0 i (5) ima oblik . Označavajući kroz α, dobivamo
x = α, tj. jednadžba pravca okomita na Ox.
Pravci definirani u pravokutnom koordinatnom sustavu jednadžbom prvog stupnja nazivaju se linije prvog reda.
Vrsta jednadžbe Ah + Wu + C = 0 je nepotpuna, tj. jedan od koeficijenata je jednak nuli.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 i definira pravac koji prolazi kroz ishodište.
2) B = 0 (A ≠ 0); jednadžba Ax + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 i definira pravac paralelan Oh.
Jednadžba (6) naziva se jednadžba pravca "u segmentima". Brojke a i b su vrijednosti segmenata koje ravna linija odsijeca na koordinatnim osima. Ovaj oblik jednadžbe pogodan je za geometrijsku konstrukciju pravca.
- normalna jednadžba pravca;
Ax + Vy + S = 0 je opća jednadžba neke ravne linije, a (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)
njegova normalna jednadžba.
Budući da jednadžbe (5) i (7) definiraju istu ravnu liniju, tada ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 i
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) koeficijenti ovih jednadžbi su proporcionalni. To znači da množenjem svih članova jednadžbe (5) s nekim faktorom M dobivamo jednadžbu MA x + MB y + MS = 0, koja se podudara s jednadžbom (7) tj.
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
Da bismo pronašli faktor M, kvadriramo prve dvije od ovih jednakosti i dodamo:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1
(9)