Konstrukcija krivulja uzoraka provodi se na sljedeći način:

Najprije se određuju točke koje pripadaju krivulji, a zatim se povezuju uzorkom. Krivulje uzorka uključuju takozvane konusne presjeke parabole, hiperbole, elipse dobivene rezanjem kružnog stošca ravninom, evolventom, sinusoidom i dr.

1. Konstrukcija elipse.

2. Fokus elipse

3. Konstrukcija parabole

6. Crtanje krivulja uzorka.

Elipsa je konusni presjek koji pripada tzv. krivuljama uzorka. Elipsa, hiperbola i parabola dobivaju se presjecanjem kružnog stošca ravninom, sinusoidom, evolventom i drugim krivuljama.

Slika 41. Presjek stošca ravninom po elipsi (a) i elipsi (b).

Da bi se konstruirale uzorne krivulje (parabola, elipsa, hiperbola), određuju se točke koje pripadaju krivulji, a zatim se sve točke povezuju uzorkom. U slučaju kada je površina kružnog stošca presječena kosom ravninom -P, tako da kosa ravnina siječe sve generatrise kružnog stošca, tada se u samoj presječnoj ravnini formira elipsa (vidi sliku 41, a ).

Elipsa je ravna zatvorena krivulja u kojoj je zbroj udaljenosti svake njezine točke - M do dviju zadanih točaka F1 i F2 - konstantna vrijednost. Ova konstantna vrijednost jednaka je velikoj osi elipse MF1 + MF2 = AB Mala os elipse CD i velika os AB međusobno su okomite i jedna os dijeli drugu na pola.

Slika 42. Konstrukcija elipse po osi


Dakle, osi dijele krivulju elipse na četiri po paru simetrična jednaka dijela. Ako s krajeva male osi CD, kao iz središta, opišemo kružni luk polumjera jednakog polovici velike osi elipse R=OA=OB, tada će je on presijecati u točkama F1 i F2. , koji se nazivaju žarišta.

Na slici 42 prikazan je primjer konstruiranja elipse po njezinim osima Na zadanim osima AB i CD kao na promjerima konstruiramo dvije koncentrične kružnice sa središtem u točki O. Veliku kružnicu podijelimo na proizvoljan broj dijelova i spojimo. rezultirajuće točke s ravnim linijama u središte O.

Od sjecišta 1; 2; 3; 4; pomoćnim kružnicama povlačimo odsječke vodoravnih i okomitih linija dok se ne presjeku u točkama E, F, K, M koje pripadaju elipsi. Zatim se pomoću uzorka spajaju konstruirane točke glatke krivulje i rezultat je elipsa.

Konstrukcija uzorka krivulja, parabola

Slika 43. Presjek stošca ravninom po paraboli. Konstruiranje parabole pomoću fokusa i direktrise.

Ako kružni stožac usporedno s jednom od njegovih tvornica presječete nagnutom ravninom P, tada se u presječnoj ravnini formira parabola (vidi sliku 43 a). Parabola je otvorena ravna zakrivljena linija. Svaka točka parabole nalazi se od zadane ravnice -MN, te od žarišta -F na istoj udaljenosti.

Pravac MN je vodilica i nalazi se okomito na os parabole fokus i zadanu vodilicu, kroz fokusnu točku -F povući os parabole -X, okomitu vodilicu -MN.

Podijelite segment-EF na pola i dobijete vrh parabole-A. Iz vrha parabole na proizvoljnoj udaljenosti povucite ravne crte okomite na os parabole. Od točke -F s polumjerom jednakim udaljenosti -L, od odgovarajuće ravne crte do vodilice, na primjer CB, napravimo ravnu crtu do ove. U ovom slučaju, točke C i B.

Nakon što smo tako konstruirali nekoliko parova simetričnih točaka, pomoću uzorka crtamo glatku krivulju kroz njih. Slika (43 c) prikazuje primjer konstruiranja parabole tangente na dvije ravne crte OA i OB u točkama A i B. Dužnice OA i OB podijeljene su na isti broj jednakih dijelova (npr. podijeljene na osam). Nakon toga se dobivene točke podjele numeriraju i povezuju ravnim linijama 1-1; 2-2; 3-3 (vidi sliku 43, c) i tako dalje. Ove su linije tangente na paraboličnu krivulju. Glatka tangentna parabola je tada upisana u konturu koju čine ravne linije.

Ako izrežete izravne i obrnute stošce ravninom paralelnom s dvjema generatrikama ili, u određenom slučaju, paralelnom s osi, tada ćete u ravnini presjeka dobiti hiperbolu koja se sastoji od dvije simetrične grane (vidi sliku 45, a) .

Slika 45. Presjek stošca ravninom duž hiperbole (a) i konstrukcija hiperbole (b).

Hiperbola (slika 45,b) je ravna krivulja u kojoj je razlika udaljenosti od svake njezine točke do dviju zadanih točaka F1 i F2, zvanih žarišta, konstantna vrijednost i jednaka udaljenosti između njezinih vrhova a i b, na primjer SF1-SF2=ab. Hiperbola ima dvije osi simetrije - realnu AB i imaginarnu CD.

Dvije ravne linije KL i K1 L1 koje prolaze središtem O hiperbole i dodiruju njene grane u beskonačnosti nazivamo asimptote. Iz zadanih vrhova a i b i žarišta F1 i F2 može se konstruirati hiperbola. Vrhove hiperbole određujemo upisivanjem pravokutnika u kružnicu konstruiranu na žarišnoj duljini (segment F1 i F2), kao na promjeru.

Na realnoj osi AB desno od fokusa F2 označimo proizvoljne 1, 2, 3, 4, ... Iz fokusa F1 i F2 povučemo lukove kružnica, prvo radijusa a-1, zatim b-1 do međusobno sjecište s obje strane realne osi hiperbole. Zatim ćemo izvršiti međusobno sjecište sljedećeg para lukova polumjera a-2 i b-2 (točka S) i tako dalje.

Dobivene sjecišne točke lukova pripadaju desnom kraku hiperbole. Točke lijeve grane bit će simetrične konstruiranim točkama u odnosu na zamišljenu os CD.

Sinusoida je projekcija putanje točke koja se kreće duž cilindrične zavojnice na ravninu paralelnu s osi cilindra. Gibanje točke sastoji se od jednoliko rotacijskog gibanja (oko osi cilindra) i jednoliko translatornog gibanja (paralelno s cilindrom).

Slika 46. Konstrukcija sinusoide

Sinusni val je ravna krivulja koja pokazuje promjenu trigonometrijske sinusne funkcije ovisno o promjeni veličine kuta. da biste konstruirali sinusoidu (slika 46), kroz središte O kružnice promjera D povucite ravnu liniju OX i na njoj iscrtajte isječak O1 A jednak duljini kružnice. π D. Ovaj segment podijelimo i zaokružimo na isti broj jednakih dijelova. Iz dobivenih i numeriranih točaka povučemo međusobno okomite ravne crte. Spojit ćemo dobivene točke sjecišta ovih linija pomoću uzorka glatke krivulje.

Crtanje krivulja uzorka

Krivulje uzorka konstruiraju se točkama. Ove točke su povezane pomoću uzoraka, prvo crtanje krivulje ručno rukom. Princip povezivanja pojedinih točaka krivulje je sljedeći:

Odaberemo onaj dio luka uzorka koji se najbolje podudara s najvećim brojem točaka zacrtane krivulje. Dalje, nećemo nacrtati cijeli luk krivulje koji se podudara s uzorkom, već samo njegov srednji dio. Nakon toga ćemo odabrati drugi dio uzorka, ali tako da taj dio dodiruje otprilike jednu trećinu nacrtane krivulje i najmanje dvije slijedeće točke krivulje i tako dalje. To osigurava gladak prijelaz između pojedinačnih lukova krivulje.

PREPORUČAMO vam da ponovno objavite članak na društvenim mrežama!

Konstrukcija elipse

Elipsa je zatvorena ravna konveksna krivulja, čiji je zbroj udaljenosti svake točke do dviju zadanih točaka, zvanih žarišta, koje leže na velikoj osi, konstantan i jednak duljini velike osi. Konstrukcija ovala duž dvije osi (slika 23) izvodi se na sljedeći način:

• - povući aksijalne linije na kojima su segmenti AB i CD, jednaki velikoj i maloj osi elipse, simetrično položeni od sjecišta O;
• - konstruirati dvije kružnice polumjera jednakih polovici osi elipse sa središtem u sjecištu osi;
• - krug podijeliti na dvanaest jednakih dijelova. Podjela kruga se izvodi kao što je prikazano u paragrafu 2.3;
• -kroz dobivene točke provlače se promjerne zrake;
• - ravne linije se povlače iz točaka sjecišta zraka s odgovarajućim krugovima paralelnim s osi elipse dok se ne presijeku u točkama koje leže na elipsi;
• - dobivene točke povezane su glatkom zakrivljenom linijom pomoću uzoraka. Prilikom konstruiranja krivulje uzorka potrebno je odabrati i postaviti uzorak tako da bude spojeno najmanje četiri do pet točaka.

Postoje i drugi načini za konstruiranje elipse.

Konstruiranje parabole

Parabola je ravna zakrivljena linija, čija je svaka točka jednako udaljena od direktrise DD 1 - ravne linije okomite na os simetrije parabole, i od fokusa F, točke koja se nalazi na osi simetrije. Udaljenost KF između direktrise i žarišta naziva se parametar parabole str.

Na slici 24 prikazan je primjer crtanja parabole duž vrha O, osi OK i tetive CD. Konstrukcija se izvodi na sljedeći način:

• - nacrtati vodoravnu ravnu liniju na kojoj je označen vrh O i ucrtana os OK;
• - kroz točku K povući okomicu na kojoj je simetrično gore i dolje ucrtana duljina tetive parabole;
• - konstruirati pravokutnik ABCD kojemu je jedna stranica jednaka osi, a druga tetivi parabole;
• - stranica BC podijeljena je na više jednakih dijelova, a segment KC na isto toliko jednakih dijelova;
• - iz vrha parabole O povuku se zrake kroz točke 1, 2 itd., te kroz točke 1 1, 2 1 itd.;
• - povući pravce paralelne s osima i odrediti sjecišta zraka s pripadajućim usporednim pravcima, npr. sjecište zrake O1 s pravcem O1 1, koji pripada paraboli;
• - dobivene točke povezane su glatkom zakrivljenom linijom ispod uzorka. Druga grana parabole konstruirana je na sličan način.

Postoje i drugi načini za konstruiranje parabole.

Kako izgraditi parabolu? Postoji nekoliko načina za crtanje grafa kvadratne funkcije. Svaki od njih ima svoje prednosti i nedostatke. Razmotrimo dva načina.

Počnimo iscrtavanjem kvadratne funkcije oblika y=x²+bx+c i y= -x²+bx+c.

Primjer.

Grafički nacrtajte funkciju y=x²+2x-3.

Riješenje:

y=x²+2x-3 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema gore. Koordinate vrha parabole

Iz vrha (-1;-4) gradimo graf parabole y=x² (kao iz ishodišta koordinata. Umjesto (0;0) - vrh (-1;-4). Iz (-1; -4) idemo udesno za 1 jedinicu, zatim lijevo za 1 i gore za 1 zatim: 2 - desno, 4 - gore, 3 - gore, 3 -; lijevo, 9 - gore Ako ovih 7 točaka nije dovoljno, onda 4 desno, 16 gore itd.).

Graf kvadratne funkcije y= -x²+bx+c je parabola čije su grane usmjerene prema dolje. Da bismo konstruirali graf, tražimo koordinate vrha i iz njih konstruiramo parabolu y= -x².

Primjer.

Grafički nacrtajte funkciju y= -x²+2x+8.

Riješenje:

y= -x²+2x+8 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema dolje. Koordinate vrha parabole

Od vrha gradimo parabolu y= -x² (1 - udesno, 1- dolje; 1 - lijevo, 1 - dolje; 2 - desno, 4 - dolje; 2 - lijevo, 4 - dolje, itd.):

Ova metoda vam omogućuje brzo sastavljanje parabole i ne uzrokuje poteškoće ako znate kako nacrtati graf funkcija y=x² i y= -x². Nedostatak: ako su koordinate vrha frakcijski brojevi, nije baš zgodno graditi graf. Ako trebate znati točne vrijednosti točaka sjecišta grafa s osi Ox, morat ćete dodatno riješiti jednadžbu x²+bx+c=0 (ili -x²+bx+c=0), čak i ako se te točke mogu izravno odrediti iz crteža.

Drugi način konstruiranja parabole je po točkama, odnosno možete pronaći nekoliko točaka na grafu i nacrtati parabolu kroz njih (uzimajući u obzir da je pravac x=xₒ njegova os simetrije). Obično za to uzimaju vrh parabole, točke sjecišta grafa s koordinatnim osima i 1-2 dodatne točke.

Nacrtajte graf funkcije y=x²+5x+4.

Riješenje:

y=x²+5x+4 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema gore. Koordinate vrha parabole

odnosno vrh parabole je točka (-2,5; -2,25).

traže . U točki presjeka s osi Ox y=0: x²+5x+4=0. Korijeni kvadratne jednadžbe x1=-1, x2=-4, odnosno dobili smo dvije točke na grafu (-1; 0) i (-4; 0).

U točki presjeka grafa s osi Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Dobili smo bod (0; 4).

Da biste pojasnili grafikon, možete pronaći dodatnu točku. Uzmimo x=1, zatim y=1²+5∙1+4=10, odnosno druga točka na grafu je (1; 10). Te točke označimo na koordinatnoj ravnini. Uzimajući u obzir simetriju parabole u odnosu na ravnu crtu koja prolazi kroz njezin vrh, označimo još dvije točke: (-5; 6) i (-6; 10) i kroz njih nacrtamo parabolu:

Grafički nacrtajte funkciju y= -x²-3x.

Riješenje:

y= -x²-3x je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema dolje. Koordinate vrha parabole

Vrh (-1,5; 2,25) je prva točka parabole.

U točkama presjeka grafa s osi apscisa y=0, odnosno rješavamo jednadžbu -x²-3x=0. Njegovi korijeni su x=0 i x=-3, odnosno (0;0) i (-3;0) - još dvije točke na grafu. Točka (o; 0) je ujedno i točka presjeka parabole s osi ordinata.

Pri x=1 y=-1²-3∙1=-4, to jest (1; -4) je dodatna točka za crtanje.

Konstruiranje parabole iz točaka je radno intenzivnija metoda u usporedbi s prvom. Ako parabola ne siječe os Ox, bit će potrebno više dodatnih točaka.

Prije nego nastavimo konstruirati grafove kvadratnih funkcija oblika y=ax²+bx+c, razmotrimo konstrukciju grafova funkcija pomoću geometrijskih transformacija. Također je najprikladnije konstruirati grafove funkcija oblika y=x²+c pomoću jedne od ovih transformacija — paralelnog prevođenja.

Kategorija: |

Konstrukcija parabole jedna je od poznatih matematičkih operacija. Vrlo često se koristi ne samo u znanstvene svrhe, već iu čisto praktične svrhe. Otkrijmo kako izvesti ovaj postupak pomoću alata aplikacije Excel.

Parabola je graf kvadratne funkcije sljedećeg tipa f(x)=ax^2+bx+c. Jedno od njezinih izvanrednih svojstava je činjenica da parabola ima oblik simetričnog lika koji se sastoji od niza točaka jednako udaljenih od direktrise. Općenito, konstruiranje parabole u Excelu ne razlikuje se puno od konstruiranja bilo kojeg drugog grafikona u ovom programu.

Izrada tablice

Prije svega, prije nego počnete graditi parabolu, trebali biste izraditi tablicu na temelju koje će se ona izraditi. Za primjer, uzmimo konstrukciju grafa funkcije f(x)=2x^2+7.

Iscrtavanje grafa

Kao što je gore spomenuto, sada moramo izgraditi sam grafikon.

Uređivanje grafikona

Sada možete malo urediti dobiveni grafikon.

Osim toga, možete izvršiti bilo koju drugu vrstu uređivanja rezultirajuće parabole, uključujući promjenu njezina naziva i naziva osi. Ove tehnike uređivanja ne izlaze izvan okvira rada u Excelu s drugim vrstama dijagrama.

Kao što vidite, konstruiranje parabole u Excelu ne razlikuje se bitno od konstruiranja druge vrste grafikona ili dijagrama u istom programu. Sve radnje se izvode na temelju unaprijed generirane tablice. Osim toga, morate uzeti u obzir da je dijagram raspršenosti najprikladniji za konstrukciju parabole.

Elipsa. Ako plohu kružnog stošca presječete kosom ravninom R tako da siječe sve svoje generatore tada će se u presječnoj ravnini dobiti elipsa (slika 65).

Slika 65

Elipsa(Slika 66) – ravna zatvorena krivulja u kojoj je zbroj udaljenosti od bilo koje njezine točke (npr. od točke M ) do dvije zadane točke F 1 I F 2 – žarišta elipse – postoji konstantna vrijednost jednaka duljini njezine velike osi AB (Na primjer, Ž 1 M + F 2 M = AB ).Odsječak AB naziva se velika os elipse, a segment CD – njegovu sporednu os. Osi elipse sijeku se u točki O- središte elipse, a njegova veličina određuje duljine velike i male osi. Bodovi F 1 I F 2 smješten na glavnoj osi AB simetričan u odnosu na točku O i uklanjaju se s krajeva sporedne osi (točke S I D ) do udaljenosti jednake polovici velike osi elipse .

Slika 66

Postoji nekoliko načina za konstruiranje elipse. Najlakši način je konstruirati elipsu duž njezine dvije osi pomoću pomoćnih kružnica (slika 67). U ovom slučaju navedeno je središte elipse - točka O a kroz njega su povučene dvije međusobno okomite ravne crte (slika 67, a). Od točke OKO opiši dvije kružnice polumjera jednakih polovici velike i male osi. Veliki krug je podijeljen na 12 jednakih dijelova i točke podjele su povezane s točkom OKO . Nacrtane linije također će podijeliti manji krug na 12 jednakih dijelova. Zatim se kroz razdjelne točke manjeg kruga povuku vodoravne crte (ili ravne linije paralelne s velikom osi elipse), a kroz razdjelne točke okomite (ili ravne crte paralelne s malom osi elipse) većeg kruga. Točke njihovog sjecišta (na primjer, točka M ) pripadaju elipsi. Spajanjem dobivenih točaka glatkom krivuljom dobiva se elipsa (slika 67, b).

Slika 67

Parabola. Ako je kružni stožac presječen ravninom R , paralelna s jednom od svojih generatrisa, tada će se u presječnoj ravnini dobiti parabola (slika 68).

Slika 68

Parabola(Slika 69) – ravna krivulja čija je svaka točka jednako udaljena od zadane ravne linije DD 1 , nazvao ravnateljice, i bodova F – fokus parabole. Na primjer, za bod M segmentima MN (udaljenost do ravnateljice) i M.F. (udaljenost do fokusa) su jednake, tj. MN = M.F. .

Parabola ima oblik otvorene krivulje s jednom osi simetrije, koja prolazi kroz žarište parabole - točku F a nalazi se okomito na režiju DD 1 .Točno A , koji leži u sredini segmenta OD , nazvao vrh parabole. Udaljenost od fokusa do direktrise - segmenta OD = 2´OA – označen slovom R i nazovite parametar parabole. Što je veći parametar R , što se grane parabole oštrije odmiču od svoje osi. Segment zatvoren između dvije točke parabole koje se nalaze simetrično u odnosu na os parabole naziva se akord(na primjer, akord MK ).

Slika 69

Konstruiranje parabole iz njene direktrise DD 1 i fokusa F(Slika 70, a) . Kroz točku F nacrtati os parabole okomito na direktrisu dok ne siječe direktrisu u točki OKO. Segment linije OD = str podijelite na pola i dobijete bod A – vrh parabole. Na osi točkaste parabole A položite nekoliko dijelova koji se postupno povećavaju. Kroz točke podjele 1, 2, 3 to. d. crtati ravne linije paralelne s direktrisom. Uzimajući žarište parabole za središte, opisuju lukove s radijusom R1 =L1 1 ,radius R2 = L2 dok ne presiječe pravac kroz točku 2 , itd. Dobivene točke pripadaju paraboli. Prvo se ručno spajaju tankom glatkom linijom, a zatim se crtaju duž uzorka.

Konstrukcija parabole duž njezine osi, vrha A i međutočke M(Slika 70, b). Kroz vrh A nacrtati ravnu liniju okomitu na os parabole, a kroz točku M – ravna linija paralelna s osi. Obje se linije sijeku u točki B . Segmenti AB I B.M. podijeljeni su na isti broj jednakih dijelova, a točke dijeljenja su numerirane u smjerovima označenim strelicama. Kroz vrh A i točkice 1 , 2 , 3 , 4 provodne zrake, a iz točaka ja , II , III ,IV – ravne linije paralelne s osi parabole. U sjecištu pravaca označenih istim brojem nalaze se točke koje pripadaju paraboli. Oba ogranka parabole su jednaka, pa se drugi ogranak gradi simetrično prvom pomoću tetiva.

Slika 70

Konstrukcija parabole tangente na dvije ravne linije OA i OB u točkama A i B koje su na njima zadane.(Slika 71, b). Segmenti O.A. I OB podijeliti na isti broj jednakih dijelova (na primjer, na 8 dijelova). Dobivene točke diobe se numeriraju, a istoimene točke povezuju ravnim crtama. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 itd . d . Ove su linije tangente na paraboličnu krivulju. Zatim se glatka tangentna krivulja – parabola – upisuje u konturu koju čine ravne linije. .

Slika 71

Hiperbola. Ako izrežete izravne i obrnute stošce ravninom paralelnom s dvjema generatrikama ili, u određenom slučaju, paralelnom s osi, tada ćete u ravnini presjeka dobiti hiperbolu koja se sastoji od dvije simetrične grane (slika 72, a).

Hiperbola(Slika 72, b) naziva se krivulja otvorene ravnine, koja je skup točaka, razlika u udaljenosti od dvije zadane točke je konstantna vrijednost.

Slika 72

Stalne točke F 1 I F 2 se zovu trikovi , a udaljenost između njih je žarišna duljina . Segmenti linije ( Ž 1 M I Ž 2 M ), povezivanje bilo koje točke ( M ) krivulja s žarištima nazivaju se radijus vektori hiperbole . Razlika između udaljenosti točke i fokusa F 1 I F 2 je konstantna vrijednost i jednaka je udaljenosti između vrhova A I b hiperbola; primjerice za bod M imat će: F 1 M -F 2 M = ab. Hiperbola se sastoji od dvije otvorene grane i ima dvije međusobno okomite osi - važeći AB I zamišljena CD. Direktno pq I rs, prolazeći kroz središte O ,se zovu asimptote .

Konstruiranje hiperbole pomoću ovih asimptota pq I rs, trikovi F 1 I F 2 prikazano na slici 72, b.

Realna os AB hiperbola je simetrala kuta koji čine asimptote. Imaginarna os CD okomito AB i prolazi kroz točku OKO. Imati trikove F 1 I F2, definirati vrhove A I b hiperbole, zašto na segmentu F 1 F 2 konstruirajte polukružnicu koja siječe asimptote u točkama m I P. Iz ovih točaka okomice se spuštaju na os AB a na sjecištu s njim dobivamo vrhove A I b hiperbola.

Konstruirati desnu granu hiperbole na pravcu AB desno od fokusa F 1 označavati proizvoljne točke 1 , 2 , 3 , ..., 5. Bodovi V I V1 hiperbole dobivamo ako uzmemo segment a5 izvan radijusa i od točke F2 nacrtati luk kruga, koji je označen od točke F 1, radijus jednak b5. Preostale točke hiperbole konstruirane su analogno opisanim.

Ponekad morate konstruirati hiperbolu čije asimptote OH I OY međusobno okomiti (slika 73). U tom će slučaju stvarna i imaginarna os biti bis S elektrise pravih kutova. Za konstrukciju je navedena jedna od točaka hiperbole, na primjer, točka A.

Slika 73

Kroz točku A izvršiti izravno AK I prije podne , paralelno s osi Oh I ti .Od točke O ponovno S pojmovi o S daju joj izravnu S ravne linije prije podne I AK u točkama 1 , 2 , 3 , 4 I 1" , 2" , 3" , 4" . Zatim se povlače okomiti i vodoravni segmenti od točaka sjecišta s tim linijama dok se ne presijeku u točkama I, II, III, IV itd. Rezultirajuće točke hiperbole povezuju se pomoću uzorka . Bodovi 1, 2, 3, 4 koji se nalaze na okomitoj liniji uzimaju se proizvoljno .

Evolventa kružnice ili razvoj kruga. Evolventa kružnice naziva se ravna krivulja koja je opisana svakom točkom pravca ako se ovaj pravac kotrlja bez klizanja duž stacionarne kružnice (putanja točaka kružnice nastale njezinim razmještanjem i ravnanjem) (slika 74).

Za konstrukciju evolvente dovoljno je odrediti promjer kruga D i početni položaj točke A (točka A 0 ). Kroz točku A 0 nacrtati tangentu na kružnicu i na nju ucrtati duljinu zadane kružnice D . Rezultirajući segment i krug se dijele na isti broj dijelova i na njega se povlače tangente u jednom smjeru kroz točke dijeljenja kruga. Na svakoj tangenti polažu se segmenti uzeti s vodoravne linije i odgovarajući jednaki 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = V A 0 2 , 3A 3 = A 0 3 itd.; Rezultirajuće točke povezane su prema uzorku.

Slika 74

Arhimedova spirala- ravna krivulja opisana točkom A , ravnomjerno rotirajući oko fiksne točke – motke OKO a pritom se ravnomjerno udaljava od njega (slika 75). Udaljenost koju točka prijeđe pri okretanju ravne linije za 360° naziva se nagib spirale. Točke koje pripadaju Arhimedovoj spirali konstruiraju se na temelju definicije krivulje, zadajući korak i smjer rotacije.

Konstrukcija Arhimedove spirale pomoću zadanog koraka (segment OA) i smjera rotacije u smjeru kazaljke na satu(Slika 75).Kroz točku OKO nacrtajte ravnu liniju i na njoj označite korak spirale O.A. i, uzimajući ga kao polumjer, opišite krug. Kružnica i isječak O.A. podijeliti na 12 jednakih dijelova. Kroz razdjelne točke kružnice povučeni su polumjeri O1 , O2 , O3 itd. a na njima iz točke OKO polažu se pomoću lukova, redom, 1/12, 2/12, 3/12, itd. polumjera kruga. Rezultirajuće točke povezane su duž uzorka s glatkom krivuljom.

Arhimedova spirala je otvorena krivulja i po potrebi možete konstruirati bilo koji broj njezinih zavoja. Da biste konstruirali drugi zavoj, opišite kružnicu polumjerom R = 2 OA i ponovite sve prethodne konstrukcije.

Slika 75

Sinusni val.Sinusni val naziva se projekcija putanje točke koja se giba S Ja sam cilindričan S koja spirala, na ravnini paralelnoj s osi cilindra . Gibanje točke sastoji se od jednolikog rotacijskog gibanja (oko osi cilindra) i jednolikog translatornog gibanja (paralelno s osi cilindra). . Sinusni val je ravna krivulja koja pokazuje promjenu trigonometrijske sinusne funkcije ovisno o promjeni kuta .

Za izgradnju sinusoide (slika 76) kroz središte OKO promjer kruga D izvršiti izravno OH a na njega je položen segment O 1 A , jednak opsegu D. Ovaj segment i krug podijeljeni su na isti broj jednakih dijelova. Iz dobivenih i numeriranih točaka povlače se međusobno okomite ravne crte. Rezultirajuće točke sjecišta ovih linija povezane su pomoću uzorka glatke krivulje.

Slika 76

Kardioida. Kardioida(Slika 77) poziva S Ja sam zatvorena putanja točke u krugu S koja se kotrlja bez klizanja duž stacionarne kružnice istog polumjera .

Slika 77

Od centra OKO nacrtati kružnicu zadanog polumjera i na njoj uzeti proizvoljnu točku M. Kroz ovu točku povučen je niz sekanti. Na svakoj sekanti, s obje strane njezine sjecišta s krugom, položeni su segmenti jednaki promjeru kruga M1. Da, sekans III3MIII 1 siječe krug u točki 3 ;segmenti se odlažu od ove točke 3III I 3III 1, jednak promjeru M1. Bodovi III I III 1 , pripadaju kardioidi . Slično, S Trenutno IV4MIV 1 ponovno S krug u točki 4; segmenti se polažu od ove točke IV4 I 4IV 1, jednak promjeru M1, dobiti bodove IV I IV 1 itd.

Pronađene točke povezuju se krivuljom, kao što je prikazano na slici 77.

Cikloidne krivulje. Cikloide – ravninske zakrivljene linije opisane točkom koja pripada kružnici koja se kotrlja bez klizanja po ravnoj liniji ili kružnici . Ako se kružnica kotrlja pravocrtno, tada točka opisuje krivulju tzv cikloida.

Ako se kružnica kotrlja po drugoj kružnici, a nalazi se izvan nje (po konveksnom dijelu), tada točka opisuje krivulju tzv. epicikloid .

Ako se krug kotrlja po drugom krugu, nalazeći se unutar njega (po konkavnom dijelu), tada točka opisuje krivulju tzv. hipocikloida . Kružnica na kojoj se nalazi točka naziva se proizvodeći . Crta po kojoj se kružnica kotrlja naziva se vodič .

Za konstruiranje cikloide(slika 78) nacrtati kružnicu zadanog polumjera R ; uzeti polazište na njemu A i nacrtati vodeću liniju AB, po kojoj se kotrlja krug .

Slika 78

Zadanu kružnicu podijelite na 12 jednakih dijelova (točaka 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Ako je točka A promijeniti S sjenica S U poziciji sam A 12 , zatim segment AA 12 bit će jednaka zadanoj duljini oboda S ty, tj. Nacrtajte crtu središta O – O 12 proizvodeći obodno S ti, jednako , i podijelite ga na 12 jednakih dijelova. Osvoji bodove O 1 ,O2 ,O 3 ,..., O 12 , koji su središta generirajućeg kruga S vas . Iz ovih točaka nacrtajte krug S ty (ili lukovi okolo S tey) zadanog radijusa R , koji dodiruju liniju AB u točkama 1,2, 3, ..., 12. Ako od svake dodirne točke na odgovarajuću kružnicu nacrtamo duljinu luka jednaku iznosu za koji se točka pomaknula A , tada dobivamo točke koje pripadaju cikloidi. Na primjer, da dobijete bod A 5 cikloida slijedi iz središta O 5 nacrtajte krug od točke dodira 5 položiti luk oko opsega A5, jednak A5", ili od točke 5" nacrtati ravnu liniju paralelno AB, do raskrižja u točki A 5 s nacrtanim krugom . Sve ostale točke cikloide konstruirane su na sličan način. .

Epicikloida je građena na sljedeći način. Slika 79 prikazuje polumjer tvorne kružnice S A R sa središtem O 0 , Polazna točka A na njemu i luk vodiča okolo S ti radio S A R 1 po kojoj se kotrlja S Ja sam krug. Konstrukcija epicikloide je slična konstrukciji cikloide, naime: podijelite zadanu kružnicu na 12 jednakih dijelova (točaka 1" , 2" , 3" , ...,12"), svaki dio ove kružnice je odložen od točke A duž luka AB 12 puta (točke 1 , 2 , 3 , ..., 12) i dobiti duljinu luka AA 12 . Ova se duljina može odrediti pomoću kuta .

Dalje od centra OKO radijus jednak OOO 0 , nacrtajte liniju središta generirajuće kružnice i, crtajući radijuse 01 , 02 , 03 , ...,012 , nastavljaju dok se ne presjeku s linijom središta, dobivaju središta O 1, O 2, ..., O 12 generirajući krug . Iz tih središta s polumjerom jednakim R , crtaju kružnice ili lukove kružnica na kojima se grade i S koje točke krivulje; Dakle, da shvatim poantu A 4 s treba provjeriti S luk okolo S tee polumjer O4" dok se ne presječe s kružnicom povučenom iz središta O4. Slično se konstruiraju i druge točke, koje se zatim spajaju glatkom krivuljom .

Slika 79

Povezane informacije.