Zones de figures volumétriques. Comment calculer et étiqueter la surface

Pour résoudre des problèmes de géométrie, vous devez connaître des formules - telles que l'aire d'un triangle ou l'aire d'un parallélogramme - ainsi que des techniques simples que nous aborderons.

Tout d’abord, apprenons les formules pour les aires des figures. Nous les avons spécialement rassemblés dans un tableau pratique. Imprimez, apprenez et postulez !

Bien entendu, toutes les formules géométriques ne figurent pas dans notre tableau. Par exemple, pour résoudre des problèmes de géométrie et de stéréométrie dans la deuxième partie de l'examen d'État unifié de profil en mathématiques, d'autres formules pour l'aire d'un triangle sont utilisées. Nous vous en parlerons certainement.

Mais que se passe-t-il si vous avez besoin de trouver non pas l'aire d'un trapèze ou d'un triangle, mais l'aire d'une figure complexe ? Il existe des moyens universels ! Nous les montrerons à l'aide d'exemples de la banque de tâches FIPI.

1. Comment trouver l'aire d'une figure non standard ? Par exemple, un quadrilatère arbitraire ? Une technique simple - divisons cette figure en celles dont nous savons tout et trouvons son aire - comme la somme des aires de ces figures.

Divisez ce quadrilatère par une ligne horizontale en deux triangles de base commune égale à . Les hauteurs de ces triangles sont égales Et . Alors l'aire du quadrilatère est égale à la somme des aires des deux triangles : .

Répondre: .

2. Dans certains cas, l'aire d'une figure peut être représentée comme la différence de certaines aires.

Il n'est pas si simple de calculer à quoi sont égales la base et la hauteur de ce triangle ! Mais on peut dire que son aire est égale à la différence entre les aires d'un carré avec un côté et de trois triangles rectangles. Les voyez-vous sur la photo ? On a: .

Répondre: .

3. Parfois, dans une tâche, vous devez trouver l'aire non pas de la figure entière, mais d'une partie de celle-ci. Habituellement, nous parlons de l'aire d'un secteur - partie d'un cercle. Trouvez l'aire d'un secteur d'un cercle de rayon dont la longueur de l'arc est égale à .

Sur cette image, nous voyons une partie d'un cercle. L'aire du cercle entier est égale à . Reste à savoir quelle partie du cercle est représentée. Puisque la longueur du cercle entier est égale (puisque ), et la longueur de l'arc d'un secteur donné est égale , par conséquent, la longueur de l'arc est plusieurs fois inférieure à la longueur du cercle entier. L'angle auquel cet arc repose est également un facteur inférieur à un cercle complet (c'est-à-dire en degrés). Cela signifie que la superficie du secteur sera plusieurs fois inférieure à la superficie du cercle entier.

Formule de superficie est nécessaire pour déterminer l'aire d'une figure, qui est une fonction à valeur réelle définie sur une certaine classe de figures du plan euclidien et satisfaisant 4 conditions :

1. Positivité - La surface ne peut pas être inférieure à zéro ;
2. Normalisation - un carré avec unité latérale a une aire 1 ;
3. Congruence : les figures congruentes ont une surface égale ;
4. Additivité - l'aire de l'union de 2 figures sans points internes communs est égale à la somme des aires de ces figures.

Formules pour l'aire des figures géométriques.

Figure géométrique	Formule	Dessin
Le résultat de l’addition des distances entre les milieux des côtés opposés d’un quadrilatère convexe sera égal à son demi-périmètre.
Secteur cercle. L'aire d'un secteur de cercle est égale au produit de son arc et de la moitié de son rayon.
Segment de cercle. Pour obtenir l'aire du segment ASB, il suffit de soustraire l'aire du triangle AOB à l'aire du secteur AOB.	S = 1 / 2 R(s - CA)
L'aire de l'ellipse est égale au produit des longueurs des demi-axes majeur et mineur de l'ellipse et du nombre pi.
Ellipse. Une autre option pour calculer l'aire d'une ellipse consiste à passer par deux de ses rayons.
Triangle. À travers la base et la hauteur. Formule pour l'aire d'un cercle en utilisant son rayon et son diamètre.
Carré . À ses côtés. L'aire d'un carré est égale au carré de la longueur de son côté.
Carré. À travers ses diagonales. L'aire d'un carré est égale à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale.
Polygone régulier. Pour déterminer l'aire d'un polygone régulier, il faut le diviser en triangles égaux qui auraient un sommet commun au centre du cercle inscrit.	S = r p = 1/2 r n a

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Si vous envisagez de faire la rénovation vous-même, vous devrez alors faire une estimation des matériaux de construction et de finition. Pour ce faire, vous devrez calculer la superficie de la pièce dans laquelle vous envisagez de réaliser des travaux de rénovation. L'assistant principal est une formule spécialement développée. La superficie de la pièce, à savoir son calcul, vous permettra d'économiser beaucoup d'argent sur les matériaux de construction et d'orienter les ressources financières libérées dans une direction plus appropriée.

Forme géométrique de la pièce

La formule de calcul de la superficie d'une pièce dépend directement de sa forme. Les bâtiments domestiques les plus typiques sont les pièces rectangulaires et carrées. Cependant, lors du réaménagement, le formulaire standard peut être déformé. Les chambres sont :

• Rectangulaire.
• Carré.
• Configuration complexe (par exemple, ronde).
• Avec niches et projections.

Chacun d'eux a ses propres fonctionnalités de calcul, mais, en règle générale, la même formule est utilisée. La superficie d'une pièce de n'importe quelle forme et taille, d'une manière ou d'une autre, peut être calculée.

Chambre rectangulaire ou carrée

Pour calculer l'aire d'une pièce rectangulaire ou carrée, n'oubliez pas vos cours de géométrie à l'école. Par conséquent, il ne devrait pas être difficile pour vous de déterminer la superficie de la pièce. La formule de calcul ressemble à :

Chambres S=A*B, où

A est la longueur de la pièce.

B est la largeur de la pièce.

Pour mesurer ces valeurs, vous aurez besoin d'un ruban à mesurer ordinaire. Pour obtenir les calculs les plus précis, il vaut la peine de mesurer le mur des deux côtés. Si les valeurs ne concordent pas, prenez comme base la moyenne des données obtenues. Mais rappelez-vous que tous les calculs comportent leurs propres erreurs, le matériel doit donc être acheté avec une réserve.

Une salle à la configuration complexe

Si votre chambre ne correspond pas à la définition de « typique », c'est-à-dire a la forme d'un cercle, d'un triangle, d'un polygone, vous aurez peut-être besoin d'une formule différente pour les calculs. Vous pouvez essayer de diviser grossièrement la superficie d'une pièce présentant cette caractéristique en éléments rectangulaires et effectuer des calculs en utilisant la méthode standard. Si vous n'avez pas cette opportunité, utilisez les méthodes suivantes :

• Formule pour trouver l'aire d'un cercle :

S pièce = π*R 2, où

R est le rayon de la pièce.

• Formule pour trouver l'aire d'un triangle :

S pièce = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), où

P est le demi-périmètre du triangle.

A, B, C sont les longueurs de ses côtés.

Donc P=A+B+C/2

Si vous rencontrez des difficultés lors du processus de calcul, il vaut mieux ne pas vous torturer et vous tourner vers des professionnels.

Zone de la salle avec projections et niches

Souvent, les murs sont décorés d'éléments décoratifs sous la forme de diverses niches ou saillies. Aussi, leur présence peut être due à la nécessité de cacher certains éléments inesthétiques de votre pièce. La présence de rebords ou de niches sur votre mur implique que le calcul doit être effectué par étapes. Ceux. Tout d'abord, la surface d'une section plate du mur est trouvée, puis la surface de la niche ou de la saillie y est ajoutée.

L'aire du mur est trouvée par la formule :

Murs S = P x C, où

P - périmètre

C - hauteur

Il faut également tenir compte de la présence de fenêtres et de portes. Leur superficie doit être soustraite de la valeur résultante.

Chambre avec plafond à plusieurs niveaux

Un plafond à plusieurs niveaux ne complique pas les calculs autant qu'il y paraît à première vue. S'il a une conception simple, des calculs peuvent être effectués sur la base du principe de recherche de la surface des murs compliquée par des niches et des saillies.

Cependant, si la conception de votre plafond comporte des éléments arqués et en forme de vague, il est alors plus approprié de déterminer sa superficie en utilisant la surface au sol. Pour ce faire, vous avez besoin de :

1. Trouvez les dimensions de toutes les sections droites de murs.
2. Trouvez la superficie au sol.
3. Multipliez la longueur et la hauteur des sections verticales.
4. Additionnez la valeur résultante avec la surface au sol.

Instructions étape par étape pour déterminer le général

superficie de la pièce

1. Débarrassez la pièce des choses inutiles. Pendant le processus de mesure, vous aurez besoin d'un accès libre à toutes les zones de votre pièce, vous devez donc vous débarrasser de tout ce qui pourrait interférer avec cela.
2. Divisez visuellement la pièce en zones de forme régulière et irrégulière. Si votre pièce a une forme strictement carrée ou rectangulaire, vous pouvez ignorer cette étape.
3. Faites une disposition aléatoire de la pièce. Ce dessin est nécessaire pour que toutes les données soient toujours à portée de main. De plus, cela ne vous donnera pas la possibilité de vous tromper dans de nombreuses mesures.
4. Les mesures doivent être prises plusieurs fois. C'est une règle importante pour éviter les erreurs de calcul. De plus, si vous l’utilisez, assurez-vous que la poutre repose à plat sur la surface du mur.
5. Trouvez la superficie totale de la pièce. La formule pour la superficie totale d'une pièce consiste à trouver la somme de toutes les superficies des sections individuelles de la pièce. Ceux. S total = S murs+S sol+S plafond

Aire d'une figure géométrique- une caractéristique numérique d'une figure géométrique montrant la taille de cette figure (partie de la surface limitée par le contour fermé de cette figure). La taille de la zone est exprimée par le nombre d'unités carrées qu'elle contient.

Formules d'aire triangulaire

1. Formule pour l'aire d'un triangle par côté et par hauteur
   Aire d'un triangleégal à la moitié du produit de la longueur d'un côté d'un triangle et de la longueur de l'altitude tracée de ce côté
   
2. Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit
   
3. Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle inscrit
   Aire d'un triangle est égal au produit du demi-périmètre du triangle et du rayon du cercle inscrit.
   
où S est l'aire du triangle,
- les longueurs des côtés du triangle,
- hauteur du triangle,
- l'angle entre les côtés et,
- rayon du cercle inscrit,
R - rayon du cercle circonscrit,

Formules de surface carrée

1. Formule pour l'aire d'un carré par longueur de côté
   Surface carréeégal au carré de la longueur de son côté.
2. Formule pour l'aire d'un carré le long de la diagonale
   Surface carréeégal à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale.
   

   S=	1	2
   	2

où S est l'aire du carré,
- longueur du côté du carré,
- longueur de la diagonale du carré.

Formule de zone rectangulaire

Aire d'un rectangleégal au produit des longueurs de ses deux côtés adjacents

où S est l'aire du rectangle,
- les longueurs des côtés du rectangle.

Formules d'aire de parallélogramme

1. Formule pour l'aire d'un parallélogramme basée sur la longueur et la hauteur des côtés
   Aire d'un parallélogramme
2. Formule pour l'aire d'un parallélogramme basée sur deux côtés et l'angle entre eux
   Aire d'un parallélogramme est égal au produit des longueurs de ses côtés multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare.
   

   a b péché α

où S est l'aire du parallélogramme,
- les longueurs des côtés du parallélogramme,
- longueur de hauteur du parallélogramme,
- l'angle entre les côtés du parallélogramme.

Formules pour l'aire d'un losange

1. Formule pour l'aire d'un losange basée sur la longueur et la hauteur des côtés
   Aire d'un losangeégal au produit de la longueur de son côté et de la longueur de la hauteur abaissée de ce côté.
2. Formule pour l'aire d'un losange basée sur la longueur et l'angle des côtés
   Aire d'un losange est égal au produit du carré de la longueur de son côté et du sinus de l'angle entre les côtés du losange.
3. Formule pour l'aire d'un losange basée sur la longueur de ses diagonales
   Aire d'un losangeégal à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales.
où S est l'aire du losange,
- longueur du côté du losange,
- longueur de la hauteur du losange,
- l'angle entre les côtés du losange,
1, 2 - longueurs de diagonales.

Formules de zone trapézoïdale

1. Formule du héron pour le trapèze

   Où S est l'aire du trapèze,
   - les longueurs des bases du trapèze,
   - les longueurs des côtés du trapèze,