Principales contraintes lors de la flexion. Test complet de la résistance à la flexion des poutres

En cas de flexion transversale plate, lorsqu'un moment fléchissant agit également dans les sections de la poutre M et force de cisaillement Q, pas seulement normal
, mais aussi des contraintes de cisaillement .

Les contraintes normales en flexion transversale sont calculées selon les mêmes formules que pour la flexion pure :

;
.(6.24)

P.

Figure 6.11. Courbe plate

Lors de la dérivation de la formule, nous ferons quelques hypothèses :

Contraintes de cisaillement agissant à la même distance àà partir de l'axe neutre, constante sur toute la largeur du faisceau ;

Les contraintes tangentielles sont partout parallèles à la force Q.

Considérons une poutre en porte-à-faux soumise à une flexion transversale sous l'action d'une force R.. Construisons des diagrammes d'efforts internes À PROPOS oui, Et M z .

À distance Xà partir de l'extrémité libre de la poutre on sélectionne une section élémentaire de la poutre d'une longueur dX et une largeur égale à la largeur de la poutre b. Montrons les forces internes agissant le long des bords de l'élément : sur le bord CD une force de cisaillement se produit Q oui et moment de flexion M z, et sur le point un B– également la force de cisaillement Q oui et moment de flexion M z +dM z(parce que Q oui reste constant sur toute la longueur de la poutre, et le moment M z changements, fig. 6.12). À distance à couper une partie de l'élément de l'axe neutre un Bcd, nous montrons les contraintes agissant le long des bords de l'élément résultant mbcn, et considérons son équilibre. Il n'y a aucune contrainte sur les faces qui font partie de la surface extérieure de la poutre. Sur les faces latérales de l'élément sous l'action du moment fléchissant M z, des contraintes normales apparaissent :

; (6.25)

. (6.26)

De plus, sur ces faces sous l'action de la force de cisaillement Q oui, des contraintes de cisaillement apparaissent , les mêmes contraintes surviennent selon la loi d'appariement des contraintes tangentielles sur la face supérieure de l'élément.

Créons une équation d'équilibre pour l'élément mbcn, projetant les contraintes résultantes considérées sur l'axe X:

. (6.29)

L'expression sous le signe intégral représente le moment statique de la face latérale de l'élément mbcn par rapport à l'axe X, pour que nous puissions écrire

. (6.30)

Considérant que, d'après les dépendances différentielles de Zhuravsky D.I. lors de la flexion,

, (6.31)

expression pour tangentes les contraintes lors de la flexion transversale peuvent être réécrites comme suit ( La formule de Zhuravsky)

. (6.32)

Analysons la formule de Zhuravsky.

Q oui– effort tranchant dans la section considérée ;

J. z – moment d'inertie axial de la section par rapport à l'axe z;

b– la largeur de la section à l'endroit où sont déterminées les contraintes de cisaillement ;

–moment statique par rapport à l’axe z de la section située au dessus (ou en dessous) de la fibre où est déterminée la contrainte de cisaillement :

, (6.33)

Où Et F" est respectivement la coordonnée du centre de gravité et la surface de la partie considérée de la section.

6.6 Vérification de la pleine résistance. Sections dangereuses et points dangereux

Pour vérifier la résistance à la flexion des charges externes agissant sur la poutre, des diagrammes d'évolution des forces internes sur sa longueur sont construits et des sections dangereuses de la poutre sont déterminées, pour chacune desquelles il est nécessaire d'effectuer un essai de résistance.

Lors de la vérification complète de la résistance de ces sections, il y en aura au moins trois (parfois elles coïncident) :

La section dans laquelle le moment de flexion M z atteint sa valeur absolue maximale ;

La section dans laquelle la force de cisaillement Q oui, atteint sa valeur absolue maximale ;

La section dans laquelle le moment de flexion M z et force de cisaillement Q oui atteindre des valeurs assez importantes en valeur absolue.

Dans chacune des sections dangereuses, il faut, en construisant des schémas de contraintes normales et de cisaillement, retrouver les points dangereux de la section (un essai de résistance est réalisé pour chacun d'eux), dont il y aura également au moins trois :

Le point auquel les contraintes normales , atteignent leur valeur maximale, c'est-à-dire le point de la surface extérieure de la poutre le plus éloigné de l'axe neutre de la section ;

Le point auquel la contrainte de cisaillement atteindre leur valeur maximale - un point situé sur l'axe neutre de la section ;

Le point auquel les contraintes normales et les contraintes de cisaillement atteignent des valeurs suffisamment grandes (ce test est logique pour les sections telles que les poutres en T ou les poutres en I, où la largeur de la section le long de la hauteur n'est pas constante).

Lors de la flexion transversale, parallèlement au moment de flexion, une force transversale agit dans la section, qui est la résultante des contraintes tangentielles.

La conséquence de l'action des contraintes tangentielles est une distorsion de la forme de la section transversale, ce qui contredit l'hypothèse des sections planes. Premièrement, la section peut connaître déplaiatssho, ceux. ne reste pas plat. Deuxièmement, la section après déformation ne reste pas perpendiculaire à l'axe courbe de la poutre.

Ces effets sont pris en compte dans des théories plus complexes de flexion des tiges. Parallèlement, pour un grand nombre de problèmes d'ingénierie, les formules obtenues pour la flexion pure peuvent être généralisées au cas de la flexion transversale. L'évaluation des limites d'applicabilité de ces formules et la responsabilité des résultats obtenus relèvent de la compétence du calculateur.

Pour déterminer les valeurs des contraintes normales en flexion transversale, la formule (5.10) est largement utilisée. Nous montrerons ensuite que dans le cas d'une force transversale constante, cette formule donne un résultat exact, et dans le cas d'une force transversale variable, les résultats obtenus pour déterminer la normale

les formules montrent une erreur d'ordre - Où h- la hauteur des sections ; / - longueur du faisceau.

Pour déterminer l'ampleur des contraintes tangentielles, considérons un élément de poutre d'une longueur dx(Fig. 5.8).

Riz. 5.8.

Dans les sections droite et gauche de l'élément, les contraintes normales diffèrent les unes des autres de s/o, ce qui est dû à la différence des valeurs du moment fléchissant à dM m. Le terme associé à la variation de t sur la longueur dx, peut être négligée comme une quantité d’ordre supérieur de petitesse.

Faisons l'hypothèse : les contraintes tangentielles dans la section sont dirigées parallèlement à l'effort tranchant agissant dans cette section Q.

Déterminons les valeurs des contraintes tangentielles en des points séparés par une distance à de l'axe neutre. Pour ce faire, coupez avec un avion CDà partir de la longueur de l'élément de poutre dx Partie un lit.

En coupe transversale en hauteur à les contraintes tangentielles agissent, c'est-à-dire en même temps, dans la section qui lui est perpendiculaire, c'est-à-dire dans un plan parallèle au plan xz, conformément à la loi d'appariement des contraintes tangentielles, des contraintes tangentielles de même ampleur agiront.

Créons une équation d'équilibre pour un élément en projetant toutes les forces agissant sur cet élément dans la direction de l'axe X. Calculons les intégrales incluses dans l'équation d'équilibre dans la partie supérieure de la section UN*:

A la suite des transformations, on obtient la formule suivante de calcul des contraintes tangentielles :

D'après la formule (5.10) et en tenant compte de la relation (5.3), on trouve la dérivée de la contrainte normale :

et prendre en compte cette valeur dans l'expression de la contrainte de cisaillement :

En conséquence, nous obtenons la formule suivante pour calculer les contraintes tangentielles :

Où Q - force de cisaillement en section ; S* - moment statique de la partie coupée de la section d'aire L* par rapport à l'axe central ; / izg - moment d'inertie de la section par rapport à l'axe central ; h- largeur de la section à l'endroit où les contraintes de cisaillement sont déterminées.

La formule (5.21) s'appelle formulesJouravski À

Considérons une poutre de section rectangulaire (Fig. 5.9, UN). Déterminons les contraintes normales et de cisaillement dans une section dangereuse. La section L est dangereuse, dans laquelle agit le moment de flexion maximal M зг = -И. Quant à la force transversale, sa valeur dans n'importe quelle section de la poutre est constante et égale -F.

Riz. 5.9.

D'après les formules (5.15) et (5.20), on détermine la valeur de la contrainte normale maximale :

« Zhuravsky Dmitry Ivanovich (1828-1891) - Scientifique et ingénieur en mécanique russe, spécialiste dans le domaine de la construction de ponts et de la mécanique des structures, a été le premier à résoudre le problème de la détermination des contraintes de cisaillement lors de la flexion transversale d'une poutre.

Calculons les quantités incluses dans la formule (5.21) :

À un point de section séparé par une distance àà partir de l'axe neutre, la valeur de la contrainte de cisaillement est

La tension maximale se produit à y = 0 en fibres appartenant à l'axe central 0t.

Cette tension a formellement une valeur négative, mais son signe peut être ignoré, puisqu'il n'a pas d'importance pour le calcul.

Estimons le rapport des valeurs maximales des contraintes normales et tangentielles apparaissant dans la section de la poutre :

D'après le schéma de conception de la poutre, on suppose que - 1. Il s'ensuit que les contraintes tangentielles sont d'un ordre de grandeur supérieur à celles des contraintes normales.

Généralisons l'estimation (5.24) pour une poutre de longueur / et de section transversale caractéristique UN. Avec une force de cisaillement égale à F, le moment de flexion est estimé comme M flexion ~ FI. Pour les valeurs caractéristiques du moment d'inertie axial de la section, du moment statique d'une partie de la section et du moment résistant à la flexion, on obtient les estimations suivantes :

Par conséquent, pour les contraintes normales et tangentielles maximales, les estimations suivantes sont valables :

On obtient finalement l'estimation suivante du rapport des contraintes tangentielles maximales et normales :

Les estimations obtenues pour une section rectangulaire spécifique peuvent être étendues au cas d'une section arbitraire, à condition que la section soit considérée comme massive. Pour les profilés à parois minces, la conclusion ci-dessus sur la possibilité de négliger les contraintes tangentielles par rapport aux contraintes normales n'est pas toujours vraie.

Il convient de noter que lors de la dérivation de la formule (5.21), nous n'avons pas été complètement cohérents et, en effectuant les transformations, nous avons commis l'erreur suivante. À savoir, la formule des contraintes normales que nous avons utilisée a été obtenue en supposant que l'hypothèse des sections planes est valable, c'est-à-dire en l’absence de déplanation transversale. En appliquant des contraintes tangentielles à l'élément, nous avons pris en compte la possibilité de distorsion des angles droits, violant ainsi l'hypothèse mentionnée ci-dessus. Les formules de calcul obtenues sont donc approximatives. Le diagramme de contrainte de cisaillement présenté sur la Fig. 5.9, b, explique la nature de la courbure des sections transversales de la poutre lors de la flexion transversale. Aux points extrêmes, les contraintes tangentielles sont nulles, donc les fibres correspondantes seront normales aux surfaces supérieure et inférieure de la poutre. À la ligne neutre, où agissent les contraintes de cisaillement maximales, des déformations de cisaillement maximales se produiront.

Dans le même temps, nous notons que si la valeur de la force transversale est constante dans la section, la courbure de toutes les sections sera la même, par conséquent, l'effet de courbure ne se reflétera pas dans l'ampleur de la traction et de la compression longitudinales. déformations des fibres provoquées par le moment de flexion.

Pour les sections transversales non rectangulaires, des erreurs supplémentaires sont introduites dans la formule (5.21) en raison du non-respect des hypothèses acceptées sur la nature de la distribution des contraintes tangentielles. Ainsi, par exemple, pour une section circulaire, les contraintes de cisaillement aux points à les contours des sections doivent être dirigés tangentiellement au contour et non parallèlement à la force de cisaillement Q. Cela signifie que les contraintes de cisaillement doivent avoir des composantes agissant à la fois le long de l'axe z/ et le long de l'axe z.

Cependant, malgré les contradictions existantes, les formules obtenues donnent des résultats tout à fait satisfaisants lors de calculs pratiques. Une comparaison des valeurs des contraintes tangentielles déterminées par la formule (5.21) avec les résultats obtenus par des méthodes exactes montre que l'erreur sur la valeur de la plus grande contrainte tangentielle ne dépasse pas 5 %, c'est-à-dire cette formule convient aux calculs pratiques.

Faisons quelques commentaires concernant les calculs de résistance en flexion transversale directe. Contrairement à la flexion pure, deux facteurs de force apparaissent dans les sections transversales de la tige lors de la flexion transversale : le moment de flexion M mzg et la force transversale Q. Cependant, étant donné que les contraintes normales les plus élevées se produisent dans les fibres les plus externes, où il n'y a pas de contraintes de cisaillement (voir Fig. 5.9, b), et les contraintes tangentielles les plus élevées se produisent dans la couche neutre, où les contraintes normales sont égales à zéro, les conditions de résistance dans ces cas sont formulées séparément pour les contraintes normales et tangentielles :

Lors de l'élaboration de la formule de calcul des contraintes normales, nous considérons le cas de la flexion, lorsque les efforts internes dans les sections de la poutre sont réduits uniquement à moment de flexion, UN la force de cisaillement s'avère nulle. Ce cas de flexion est appelé flexion pure. Considérons la section médiane de la poutre, qui est soumise à une pure flexion.

Lorsqu'elle est chargée, la poutre se plie de sorte qu'elle Les fibres inférieures s'allongent et les fibres supérieures se raccourcissent.

Puisqu'une partie des fibres de la poutre est étirée et une partie est comprimée, et la transition de la tension à la compression se produit en douceur, sans sauts, V moyenne une partie de la poutre est située une couche dont les fibres ne font que se plier, mais ne subissent ni tension ni compression. Cette couche est appelée neutre couche. La ligne le long de laquelle la couche neutre coupe la section transversale du faisceau est appelée ligne neutre ou axe neutre sections. Des lignes neutres sont enfilées sur l'axe du faisceau. Ligne neutre est la ligne dans laquelle les contraintes normales sont nulles.

Les lignes tracées sur la surface latérale de la poutre perpendiculairement à l'axe restent plat lors de la flexion. Ces données expérimentales permettent de fonder les conclusions des formules hypothèse de sections planes (conjecture). Selon cette hypothèse, les sections de la poutre sont plates et perpendiculaires à son axe avant pliage, restent plates et s'avèrent perpendiculaires à l'axe courbe de la poutre lorsqu'elle est pliée.

Hypothèses pour dériver les formules de contrainte normale : 1) L'hypothèse des sections planes est vérifiée. 2) Les fibres longitudinales ne s'appuient pas les unes sur les autres (hypothèse de non-pression) et, par conséquent, chacune des fibres est dans un état de tension ou de compression uniaxiale. 3) Les déformations des fibres ne dépendent pas de leur position le long de la largeur de la section transversale. Par conséquent, les contraintes normales, changeant sur la hauteur de la section, restent les mêmes sur la largeur. 4) La poutre a au moins un plan de symétrie et toutes les forces externes se situent dans ce plan. 5) Le matériau de la poutre obéit à la loi de Hooke, et le module d'élasticité en traction et en compression est le même. 6) La relation entre les dimensions de la poutre est telle qu'elle fonctionne dans des conditions de flexion plane sans déformation ni torsion.

Considérons une poutre de section arbitraire, mais ayant un axe de symétrie. Moment de flexion représente moment résultant des forces normales internes, apparaissant sur des zones infiniment petites et peut être exprimé en intégral formulaire: (1), où y est le bras de la force élémentaire par rapport à l'axe x

Formule (1) exprime statique côté du problème de la flexion d'une poutre droite, mais le long de celle-ci à un moment de flexion connu Il est impossible de déterminer les contraintes normales tant que la loi de leur répartition n'est pas établie.

Sélectionnons les poutres de la section médiane et considérons section de longueur dz, sujet à la flexion. Représentons-le à une échelle agrandie.

Sections limitant la zone dz, parallèles les uns aux autres jusqu'à déformation, et après avoir appliqué la charge tourner autour de leurs lignes neutres d'un angle . La longueur du segment de fibre de couche neutre ne changera pas. et sera égal à : , où est-il rayon de courbure l'axe courbe de la poutre. Mais toute autre fibre ment inférieur ou supérieur couche neutre, va changer sa longueur. Calculons allongement relatif des fibres situées à une distance y de la couche neutre. L'allongement relatif est le rapport entre la déformation absolue et la longueur d'origine, alors :

Réduisons de et ramenons des termes similaires, nous obtenons alors : (2) Cette formule exprime géométrique côté du problème de flexion pure : Les déformations des fibres sont directement proportionnelles à leurs distances à la couche neutre.

Passons maintenant à stresse, c'est à dire. nous allons le prendre en compte physique côté de la tâche. conformément à hypothèse de non-pression on utilise des fibres sous tension-compression axiale : alors, en tenant compte de la formule (2) nous avons (3), ceux. stress normal lors d'une flexion le long de la hauteur de la section distribué linéairement. Sur les fibres les plus externes, les contraintes normales atteignent leur valeur maximale, et au centre de gravité de la section elles sont égales à zéro. Remplaçons (3) dans l'équation (1) et prenons la fraction du signe intégral comme valeur constante, alors nous avons . Mais l'expression est moment d'inertie axial de la section par rapport à l'axe x - je x. Sa dimension cm 4, m 4

Alors ,où (4), où est la courbure de l'axe incurvé de la poutre, et est la rigidité de la section de poutre pendant la flexion.

Remplaçons l'expression résultante courbure (4) en expression (3) et nous obtenons formule pour calculer les contraintes normales en tout point de la section transversale : (5)

Que. maximum des tensions surgissent aux points les plus éloignés de la ligne neutre. Attitude (6) appelé moment axial de résistance de section. Sa dimension cm 3, m 3. Le moment résistant caractérise l'influence de la forme et des dimensions de la section transversale sur l'ampleur des contraintes.

Alors tensions maximales : (7)

Condition de résistance à la flexion : (8)

En cas de flexion transversale non seulement normales, mais aussi contraintes de cisaillement, parce que disponible force de cisaillement. Contrainte de cisaillement compliquer l'image de la déformation, ils conduisent à courbure sections transversales de la poutre, ce qui entraîne l'hypothèse des sections planes est violée. Cependant, les recherches montrent que les distorsions introduites par les contraintes de cisaillement légèrement affecter les contraintes normales calculées par la formule (5) . Ainsi, lors de la détermination des contraintes normales en cas de flexion transversale La théorie de la flexion pure est tout à fait applicable.

Ligne neutre. Question sur la position de la ligne neutre.

Lors de la flexion, il n’y a pas de force longitudinale, on peut donc écrire Remplaçons ici la formule des contraintes normales (3) et nous obtenons Puisque le module d'élasticité longitudinale du matériau de la poutre n'est pas égal à zéro et que l'axe incurvé de la poutre a un rayon de courbure fini, il reste à supposer que cette intégrale est moment statique de l'aire section transversale du faisceau par rapport à l'axe de la ligne neutre x , et depuis elle est égale à zéro, alors la ligne neutre passe par le centre de gravité de la section.

Considérons une poutre soumise à une flexion droite plane sous l'action de charges transversales arbitraires dans le plan principal. Ohoo(Fig. 7.31, UN). Coupons la poutre à une distance x de son extrémité gauche et considérons l'équilibre du côté gauche. L'influence du côté droit doit dans ce cas être remplacée par l'action du moment fléchissant A/ et de la force transversale Qy dans la section dessinée (Fig. 7.31, b). Le moment de flexion L7 dans le cas général n'est pas constant en amplitude, comme c'était le cas pour la flexion pure, mais varie le long de la longueur de la poutre. Depuis le moment de flexion M

selon (7.14) est associé à des contraintes normales o = a x, alors les contraintes normales dans les fibres longitudinales changeront également le long de la longueur de la poutre. Par conséquent, dans le cas de flexion transversale, les contraintes normales sont fonctions des variables x et y : un x = un x (x, y).

Lors de la flexion transversale dans la section de poutre, non seulement des contraintes normales mais aussi des contraintes tangentielles agissent (Fig. 7.31, V), dont la résultante est la force transversale Q et :

Présence de contraintes tangentielles x euh accompagné de l'apparition de déformations angulaires. Les contraintes de cisaillement, comme les contraintes normales, sont inégalement réparties sur la section. Par conséquent, les déformations angulaires qui leur sont associées par la loi de Hooke lors du cisaillement seront également inégalement réparties. Cela signifie que lors de la flexion transversale, contrairement à la flexion pure, les sections de la poutre ne restent pas plates (l'hypothèse de J. Bernoulli est violée).

La courbure des sections transversales peut être clairement démontrée par l'exemple de la flexion d'une poutre en porte-à-faux de section rectangulaire en caoutchouc provoquée par une force concentrée appliquée à son extrémité (Fig. 7.32). Si vous tracez d'abord des lignes droites sur les faces latérales perpendiculaires à l'axe de la poutre, ces lignes ne restent pas droites après le pliage. En même temps, ils sont pliés de manière à ce que le plus grand décalage se produise au niveau de la couche neutre.

Des études plus précises ont établi que l'effet de la distorsion des sections transversales sur l'ampleur des contraintes normales est insignifiant. Cela dépend du rapport entre la hauteur de la section hà la longueur de la poutre / et à h// o x pour la flexion transversale, la formule (7.14) dérivée pour le cas de flexion pure est habituellement utilisée.

La deuxième caractéristique de la flexion transversale est la présence de contraintes normales Ô y, agissant dans les sections longitudinales de la poutre et caractérisant la pression mutuelle entre les couches longitudinales. Ces contraintes se produisent dans les zones où il y a une charge répartie q, et dans les endroits où des forces concentrées sont appliquées. Généralement, ces contraintes sont très faibles par rapport aux contraintes normales. un x. Un cas particulier est l'action d'une force concentrée, dans la zone d'application de laquelle des contraintes locales importantes peuvent survenir et toi.

Ainsi, un élément infinitésimal dans le plan Ohoo dans le cas d'une flexion transversale, il est dans un état de contrainte biaxiale (Fig. 7.33).

Les tensions t et o, ainsi que la tension o Y, sont dans le cas général fonctions des coordonnées* et y. Ils doivent satisfaire aux équations d'équilibre différentielle qui, pour un état de contrainte biaxiale ( a z = T yz = = 0) en l'absence

les forces volumétriques ont la forme suivante :

Ces équations peuvent être utilisées pour déterminer les contraintes de cisaillement = m et les contraintes normales OU. C'est la méthode la plus simple à réaliser pour une poutre de section rectangulaire. Dans ce cas, lors de la détermination de m, on suppose qu'ils sont uniformément répartis sur toute la largeur de la section (Fig. 7.34). Cette hypothèse a été formulée par le célèbre constructeur de ponts russe D.I. Jouravski. Les recherches montrent que cette hypothèse correspond presque exactement à la nature réelle de la répartition des contraintes de cisaillement lors de la flexion pour des poutres suffisamment étroites et hautes. (b « ET).

Utilisation de la première des équations différentielles (7.26) et de la formule (7.14) pour les contraintes normales un x, on a

Intégration de cette équation sur la variable oui, nous trouvons

Où f(x)- une fonction arbitraire, pour déterminer laquelle on utilise la condition d'absence de contraintes tangentielles sur le bord inférieur de la poutre :

En tenant compte de cette condition aux limites, d’après (7.28) on trouve

L'expression finale des contraintes tangentielles agissant dans les sections transversales de la poutre prend la forme suivante :

En raison de la loi d'appariement des contraintes tangentielles, des contraintes tangentielles apparaissent également t, = t dans les sections longitudinales

hou hou

faisceaux parallèles à la couche neutre.

D'après la formule (7.29), il ressort clairement que les contraintes tangentielles varient le long de la hauteur de la section transversale de la poutre selon la loi d'une parabole carrée. Les contraintes tangentielles ont la plus grande valeur aux points situés au niveau de l'axe neutre à y = 0, et dans les fibres les plus externes du faisceau à y = ±h/2 ils sont égaux à zéro. En utilisant la formule (7.23) pour le moment d'inertie d'une section rectangulaire, on obtient

Où F = bh - surface de la section transversale de la poutre.

Le diagramme t est présenté sur la Fig. 7.34.

Dans le cas de poutres de section non rectangulaire (Fig. 7.35), il est difficile de déterminer les contraintes de cisaillement m à partir de l'équation d'équilibre (7.27), car la condition aux limites pour m n'est pas connue en tous les points de la section. contour. Cela est dû au fait que dans ce cas, les contraintes tangentielles t agissent dans la section transversale, et non parallèlement à la force transversale. Q. En fait, on peut montrer qu'en des points proches du contour de la section transversale, la contrainte de cisaillement totale m est dirigée tangentiellement au contour. Considérons au voisinage d'un point arbitraire du contour (voir Fig. 7.35) une zone infinitésimale dF dans le plan de coupe transversale et une plate-forme perpendiculaire à celui-ci dF" sur la surface latérale de la poutre. Si la contrainte totale t en un point du contour n'est pas dirigée tangentiellement, alors elle peut être décomposée en deux composantes : xvx dans la direction de la normale v au contour et X dans le sens tangentiel t au contour. Ainsi, selon la loi d'appariement des contraintes tangentielles sur le chantier dF" devrait

mais agissent sur une contrainte de cisaillement x égale à x vv . Si la surface latérale est exempte de charges de cisaillement, alors le composant x vv = z vx = 0, c'est-à-dire que la contrainte de cisaillement totale x doit être dirigée tangentiellement au contour de la section transversale, comme indiqué par exemple aux points A et DANS contour.

Par conséquent, la contrainte de cisaillement x à la fois en des points du contour et en tout point de la section transversale peut être décomposée en leurs composantes x.

Pour déterminer les composantes x de la contrainte tangentielle dans les poutres de section non rectangulaire (Fig. 7.36, b) Supposons que la section ait un axe de symétrie vertical et que la composante x de la contrainte de cisaillement totale x, comme dans le cas d'une section rectangulaire, est uniformément répartie sur sa largeur.

Utiliser une coupe longitudinale parallèle au plan Oxz et passant au loin àà partir de celui-ci, et deux coupes transversales hé + dx Découpons mentalement du bas de la poutre un élément infinitésimal de longueur dx(Fig. 7.36, V).

Supposons que le moment de flexion M varie en longueur dx de l'élément de poutre considéré et la force de cisaillement Q est constante. Puis dans les sections transversales x et x + dx les poutres seront soumises à des contraintes tangentielles x d'égale ampleur et à des contraintes normales résultant des moments de flexion mzmmz+ dM", sera respectivement égal UN Et UN + pa. Le long du bord horizontal de l'élément sélectionné (sur la Fig. 7.36, V c'est montré en axonométrie) selon la loi d'appariement des contraintes tangentielles, les contraintes x v „ = x agiront.

hou hou

Résultats R. Et R+dR contraintes normales o et o + d appliqué aux extrémités de l'élément, en tenant compte de la formule (7.14) sont égaux

Où

moment statique de la zone de coupure F(sur la figure 7.36, b ombré) par rapport à l'axe neutre Oz y, est une variable auxiliaire qui varie dans à

Résultante des contraintes tangentielles t appliquées

xy

au bord horizontal de l'élément, en tenant compte de l'hypothèse introduite sur la répartition uniforme de ces contraintes sur toute la largeur par) peut être trouvé en utilisant la formule

La condition d’équilibre pour l’élément ?X=0 donne

En substituant les valeurs des forces résultantes, on obtient

De là, compte tenu de (7.6), on obtient une formule de détermination des contraintes tangentielles :

Cette formule dans la littérature russe s'appelle formule D.I. Jouravski.

Conformément à la formule (7.32), la répartition des contraintes tangentielles t le long de la hauteur de la section dépend de l'évolution de la largeur de la section b(y) et le moment statique de la partie coupée de la section S OTC (y).

À l'aide de la formule (7.32), les contraintes de cisaillement sont déterminées le plus simplement pour la poutre rectangulaire considérée ci-dessus (Fig. 7.37).

Le moment statique de la section transversale de coupure F qtc est égal à

En substituant 5° tf dans (7.32), nous obtenons la formule dérivée précédemment (7.29).

La formule (7.32) peut être utilisée pour déterminer les contraintes de cisaillement dans les poutres avec une largeur de section constante par étapes. Au sein de chaque section de largeur constante, les contraintes tangentielles varient le long de la hauteur de la section selon la loi de la parabole carrée. Aux endroits où la largeur de section change brusquement, les contraintes tangentielles présentent également des sauts ou des discontinuités. La nature du diagramme t pour une telle section est représentée sur la Fig. 7.38.

Riz. 7.37

Riz. 7.38

Considérons la répartition des contraintes tangentielles dans une section en I (Fig. 7.39, UN) en se penchant dans un avion Ooh. Une section en I peut être représentée comme la jonction de trois rectangles étroits : deux étagères horizontales et un mur vertical.

Lors du calcul de m dans le mur dans la formule (7.32), vous devez prendre b(y) - d. En conséquence nous obtenons

Où S°1C calculé comme la somme des moments statiques autour de l'axe Oz surface d'étagère Fn et des parties du mur F, ombré sur la Fig. 7.39, UN:

Les contraintes tangentielles t ont la plus grande valeur au niveau de l'axe neutre à y = 0:

où est le moment statique de l'aire de la moitié de la section par rapport à l'axe neutre :

Pour les poutres en I laminées et les profilés, la valeur du moment statique de la moitié de la section est indiquée dans l'assortiment.

Riz. 7.39

Au niveau où le mur jouxte les semelles, les contraintes de cisaillement 1 ? égal

Où S"- moment statique de la section transversale de la bride par rapport à l'axe neutre :

Les contraintes tangentielles verticales m dans les ailes de la poutre en I ne peuvent pas être trouvées à l'aide de la formule (7.32), car du fait que b :» t, l'hypothèse de leur répartition uniforme sur toute la largeur de l'étagère devient inacceptable. Sur les bords supérieur et inférieur de la bride, ces contraintes doivent être nulles. Donc t dans

Ouah

les étagères sont très petites et ne présentent aucun intérêt pratique. Les contraintes tangentielles horizontales dans les semelles m sont beaucoup plus intéressantes, pour déterminer lesquelles nous considérons l'équilibre d'un élément infinitésimal isolé de la semelle inférieure (Fig. 7.39). , b).

D'après la loi d'appariement des contraintes tangentielles sur la face longitudinale de cet élément, parallèle au plan Ooh, la tension est appliquée xxzégale en ampleur à la contrainte t agissant dans la section transversale. En raison de la faible épaisseur de la semelle de la poutre en I, ces contraintes peuvent être supposées être uniformément réparties sur l'épaisseur de la semelle. En tenant compte de cela, à partir de l'équation d'équilibre de l'élément 5^=0 nous aurons

De là, nous trouvons

En substituant à cette formule l'expression de un x de (7.14) et en tenant compte du fait que l’on obtient

Étant donné que

Où S°TC - moment statique de la zone de coupure de l'étagère (sur la Fig. 7. 39, UN ombré deux fois) par rapport à l'axe Oz, nous l'aurons enfin

D'après la fig. 7.39 , UN

Où z- variable basée sur l'axe OU.

Compte tenu de cela, la formule (7.34) peut être représentée sous la forme

Cela montre que les contraintes de cisaillement horizontales varient linéairement le long de l'axe Oz et prends la plus grande valeur à z = ré/ 2 :

En figue. La figure 7.40 montre des diagrammes des contraintes tangentielles m et m^, ainsi que les directions de ces contraintes dans les ailes et la paroi de la poutre en I lorsqu'une force de cisaillement positive est appliquée à la section de la poutre. Q. Les contraintes tangentielles, au sens figuré, forment un flux continu dans la section de la poutre en I, dirigé en chaque point parallèlement au contour de la section.

Passons à la définition des contraintes normales Andy dans les sections longitudinales de la poutre. Considérons une section de poutre avec une charge uniformément répartie le long du bord supérieur (Fig. 7.41). Supposons que la section transversale de la poutre soit rectangulaire.

Nous l'utilisons pour déterminer la deuxième des équations d’équilibre différentielle (7.26). Remplacement de la formule (7.32) pour les contraintes tangentielles dans cette équation euh, en tenant compte de (7.6) on obtient

Après avoir effectué l'intégration sur la variable oui, nous trouvons

Ici f(x) - une fonction arbitraire définie à l'aide d'une condition aux limites. Selon les conditions du problème, la poutre est chargée avec une charge uniformément répartie q le long du bord supérieur et le bord inférieur est libre de charges. Alors les conditions aux limites correspondantes s’écrivent sous la forme

En utilisant la seconde de ces conditions, on obtient

En tenant compte de cela, la formule du stress Andy prendra la forme suivante :

De cette expression, il ressort clairement que les contraintes varient le long de la hauteur de la section selon la loi d'une parabole cubique. Dans ce cas, les deux conditions aux limites (7.35) sont satisfaites. Valeur de tension la plus élevée prend la surface supérieure de la poutre lorsque y=-h/2:

Nature du schéma Andy montré sur la fig. 7.41.

Pour estimer les valeurs des contraintes les plus élevées o. a, et m et les relations entre eux, considérons, par exemple, la flexion d'une poutre en porte-à-faux de section rectangulaire de dimensions bxh, sous l'action d'une charge uniformément répartie appliquée sur le bord supérieur de la poutre (Fig. 7.42). La valeur absolue des contraintes la plus élevée se produit dans le joint. Conformément aux formules (7.22), (7.30) et (7.37), ces contraintes sont égales

Comme d'habitude pour les poutres l/heure» 1, alors des expressions obtenues il résulte que les tensions cx en valeur absolue dépasser la tension t et, surtout, et toi. Ainsi, par exemple, lorsque 1/je == 10 on obtient a x /t xy = 20', o x /c y = 300.

Ainsi, le plus grand intérêt pratique lors du calcul des poutres pour la flexion est la contrainte un x, agissant dans les sections transversales de la poutre. Tensions avec y, caractérisant la pression mutuelle des couches longitudinales de la poutre sont négligeables par rapport à o v .

Les résultats obtenus dans cet exemple indiquent que les hypothèses introduites au § 7.5 sont tout à fait justifiées.

Courbure plate (droite)- lorsque le moment fléchissant agit dans un plan passant par l'un des principaux axes centraux d'inertie de la section, c'est-à-dire toutes les forces se situent dans le plan de symétrie de la poutre. Principales hypothèses(hypothèses) : hypothèse de non-pression des fibres longitudinales : les fibres parallèles à l'axe de la poutre subissent une déformation en traction-compression et n'exercent pas de pression les unes sur les autres dans le sens transversal ; hypothèse de sections planes : une section d'une poutre qui est plate avant déformation reste plate et normale à l'axe courbe de la poutre après déformation. Dans le cas du pliage à plat, en général, facteurs de puissance internes: effort longitudinal N, effort transversal Q et moment de flexion M. N>0, si l'effort longitudinal est une traction ; à M>0, les fibres du dessus de la poutre sont comprimées et les fibres du bas sont étirées. .

La couche dans laquelle il n'y a pas d'extensions est appelée couche neutre(axe, ligne). Pour N=0 et Q=0, on a le cas pur virage. Tensions normales :
, est le rayon de courbure de la couche neutre, y est la distance entre une fibre et la couche neutre.

43) Tension et compression excentriques

Tension et compression

 - tension normale[Pa], 1 Pa (pascal) = 1 N/m 2,

10 6 Pa = 1 MPa (mégapascal) = 1 N/mm 2

N - force longitudinale (normale) [N] (newton) ; F - surface de la section transversale [m2]

 - déformation relative [quantité sans dimension] ;

L - déformation longitudinale [m] (allongement absolu), L - longueur de tige [m].

-Loi de Hooke -  = E

E - module d'élasticité en traction (module d'élasticité de 1ère espèce ou module d'Young) [MPa]. Pour l'acier E = 210 5 MPa = 210 6 kg/cm 2 (dans « l'ancien » système d'unités).

(plus E est grand, moins le matériau est résistant à la traction)

;
- la loi de Hooke

EF est la raideur de la tige en traction (compression).

Lorsque la tige est étirée, elle « s'amincit », sa largeur - a diminue par la déformation transversale - a.

-déformation transversale relative.

-Rapport de Poisson [quantité sans dimension] ;

 va de 0 (liège) à 0,5 (caoutchouc) ; pour l'acier  0,250,3.

Si la force longitudinale et la section transversale ne sont pas constantes, alors l'allongement de la tige :

Travaux de traction :
, énergie potentielle:

47. Mohr Intégrale

Une méthode universelle pour déterminer les déplacements (angles linéaires et de rotation) est la méthode de Mohr. Une force généralisée unitaire est appliquée au système au point pour lequel le déplacement généralisé est recherché. Si la déviation est déterminée, alors la force unitaire est une force concentrée sans dimension ; si l'angle de rotation est déterminé, alors c'est un moment unitaire sans dimension. Dans le cas d’un système spatial, il existe six composantes de forces internes. Le déplacement généralisé est défini

48. Détermination de la contrainte sous l'action combinée de flexion et de torsion

Flexion avec torsion

L’action combinée de flexion et de torsion est le cas le plus courant de chargement d’arbres. Cinq composantes des forces internes apparaissent : Q x, Q y, M x, M y, M z = M cr. Lors du calcul, des diagrammes des moments de flexion M x , M y et du couple M cr sont construits et la section dangereuse est déterminée. Moment de flexion résultant
. Max. contraintes normales et de cisaillement aux points dangereux (A,B) :
,

, (pour un cercle : W=
– moment de résistance axial , W r =
– moment polaire de contact de la section).

Principales contraintes aux points les plus dangereux (A et B) :

Les tests de résistance sont effectués selon l'une des théories de résistance :

IV : La théorie de Mohr :

où m=[ p ]/[ c ] – admissible. par exemple tension/compression (pour les matériaux fragiles - fonte).

T
.k.W p =2W, on obtient :

Le numérateur est le moment réduit selon la théorie acceptée de la force. ;

II : , avec coefficient de Poisson=0,3 ;

III :

ou avec une formule :
, d'où le moment de résistance :
, diamètre de l'arbre :
. Les formules conviennent également au calcul de la section annulaire.