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Áreas de figuras volumétricas. Cómo calcular y etiquetar el área

Áreas de figuras volumétricas. Cómo calcular y etiquetar el área

Para resolver problemas de geometría, es necesario conocer fórmulas, como el área de un triángulo o el área de un paralelogramo, así como técnicas sencillas que cubriremos.

Primero, aprendamos las fórmulas para las áreas de figuras. Los hemos recopilado especialmente en una cómoda mesa. ¡Imprime, aprende y postula!

Por supuesto, no todas las fórmulas de geometría están en nuestra tabla. Por ejemplo, para resolver problemas de geometría y estereometría en la segunda parte del perfil Examen Estatal Unificado de Matemáticas, se utilizan otras fórmulas para el área de un triángulo. Definitivamente te contaremos sobre ellos.

Pero, ¿qué pasa si no necesitas encontrar el área de un trapezoide o un triángulo, sino el área de alguna figura compleja? ¡Hay formas universales! Los mostraremos utilizando ejemplos del banco de tareas FIPI.

1. ¿Cómo encontrar el área de una figura no estándar? Por ejemplo, ¿un cuadrilátero arbitrario? Una técnica simple: dividamos esta figura en aquellas de las que sabemos todo y encontremos su área, como la suma de las áreas de estas figuras.

Divide este cuadrilátero con una línea horizontal en dos triángulos con una base común igual a . Las alturas de estos triángulos son iguales. Y . Entonces el área del cuadrilátero es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos: .

Respuesta: .

2. En algunos casos, el área de una figura se puede representar como la diferencia de algunas áreas.

¡No es tan fácil calcular a qué equivalen la base y la altura de este triángulo! Pero podemos decir que su área es igual a la diferencia entre las áreas de un cuadrado de lado y tres triángulos rectángulos. ¿Los ves en la foto? Obtenemos: .

Respuesta: .

3. A veces, en una tarea es necesario encontrar el área no de toda la figura, sino de parte de ella. Por lo general, estamos hablando del área de un sector, parte de un círculo. Encuentre el área de un sector de un círculo de radio cuya longitud de arco es igual a .

En esta imagen vemos parte de un círculo. El área de todo el círculo es igual a . Queda por descubrir qué parte del círculo está representada. Dado que la longitud de todo el círculo es igual (ya que ), y la longitud del arco de un sector dado es igual Por lo tanto, la longitud del arco es varias veces menor que la longitud de todo el círculo. El ángulo en el que descansa este arco también es un factor menor que un círculo completo (es decir, grados). Esto significa que el área del sector será varias veces menor que el área de todo el círculo.

Fórmula de área Es necesario determinar el área de una figura, que es una función de valor real definida sobre una determinada clase de figuras del plano euclidiano y que satisface 4 condiciones:

Positividad: el área no puede ser menor que cero;
Normalización: un cuadrado con una unidad lateral tiene área 1;
Congruencia: las figuras congruentes tienen igual área;
Aditividad: el área de la unión de 2 figuras sin puntos internos comunes es igual a la suma de las áreas de estas figuras.

Fórmulas para el área de figuras geométricas.

Figura geométrica	Fórmula	Dibujo
El resultado de sumar las distancias entre los puntos medios de lados opuestos de un cuadrilátero convexo será igual a su semiperímetro.
Sector circular. El área de un sector de un círculo es igual al producto de su arco por la mitad de su radio.
Segmento circular. Para obtener el área del segmento ASB, basta con restar el área del triángulo AOB del área del sector AOB.	S = 1/2 R(s - CA)
El área de la elipse es igual al producto de las longitudes de los semiejes mayor y menor de la elipse por el número pi.
Elipse. Otra opción para calcular el área de una elipse es a través de dos de sus radios.
Triángulo. A través de la base y la altura. Fórmula para el área de un círculo usando su radio y diámetro.
Cuadrado . Por su lado. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
Cuadrado. A través de sus diagonales. El área de un cuadrado es igual a la mitad del cuadrado de la longitud de su diagonal.
Polígono regular. Para determinar el área de un polígono regular, es necesario dividirlo en triángulos iguales que tendrían un vértice común en el centro del círculo inscrito.	S= r p = 1/2 r n a

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Si planea realizar la renovación usted mismo, deberá hacer un presupuesto de los materiales de construcción y acabado. Para hacer esto, deberá calcular el área de la habitación en la que planea realizar trabajos de reparación. El principal asistente en esto es una fórmula especialmente desarrollada. El área de la habitación, es decir, su cálculo, le permitirá ahorrar mucho dinero en materiales de construcción y dirigir los recursos financieros liberados en una dirección más adecuada.

Forma geométrica de la habitación.

La fórmula para calcular el área de una habitación depende directamente de su forma. Las más típicas de las construcciones domésticas son las habitaciones rectangulares y cuadradas. Sin embargo, durante la remodelación, la forma estándar puede verse distorsionada. Las habitaciones son:

Rectangular.
Cuadrado.
Configuración compleja (por ejemplo, redonda).
Con hornacinas y salientes.

Cada uno de ellos tiene sus propias características de cálculo, pero, por regla general, se utiliza la misma fórmula. Se puede calcular el área de una habitación de cualquier forma y tamaño, de una forma u otra.

Habitación rectangular o cuadrada

Para calcular el área de una habitación rectangular o cuadrada, basta con recordar las lecciones de geometría de la escuela. Por lo tanto, no debería resultarle difícil determinar el área de la habitación. La fórmula de cálculo es la siguiente:

S habitaciones=A*B, donde

A es la longitud de la habitación.

B es el ancho de la habitación.

Para medir estos valores necesitarás una cinta métrica normal. Para obtener los cálculos más precisos, conviene medir la pared en ambos lados. Si los valores no concuerdan, tome como base el promedio de los datos resultantes. Pero recuerde que cualquier cálculo tiene sus propios errores, por lo que el material debe adquirirse con reserva.

Una habitación con una configuración compleja.

Si su habitación no se ajusta a la definición de "típica", es decir, tiene la forma de un círculo, triángulo, polígono, entonces es posible que necesites una fórmula diferente para los cálculos. Puede intentar dividir aproximadamente el área de una habitación con esta característica en elementos rectangulares y realizar cálculos utilizando el método estándar. Si no tiene esta oportunidad, utilice los siguientes métodos:

Fórmula para encontrar el área de un círculo:

S habitación=π*R 2, donde

R es el radio de la habitación.

Fórmula para encontrar el área de un triángulo:

S habitación = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), donde

P es el semiperímetro del triángulo.

A, B, C son las longitudes de sus lados.

Por lo tanto P=A+B+C/2

Si tiene alguna dificultad durante el proceso de cálculo, es mejor no torturarse y recurrir a profesionales.

Zona de la sala con salientes y nichos.

A menudo, las paredes están decoradas con elementos decorativos en forma de varios nichos o salientes. Además, su presencia puede deberse a la necesidad de ocultar algunos elementos antiestéticos de tu habitación. La presencia de repisas o nichos en la pared significa que el cálculo debe realizarse por etapas. Aquellos. Primero, se encuentra el área de una sección plana de la pared y luego se le agrega el área del nicho o saliente.

El área de la pared se encuentra mediante la fórmula:

S paredes = P x C, donde

P - perímetro

C - altura

También es necesario considerar la presencia de ventanas y puertas. Su área debe restarse del valor resultante.

Habitación con techo de varios niveles.

Un techo de varios niveles no complica los cálculos tanto como parece a primera vista. Si tiene un diseño simple, entonces se pueden realizar cálculos basándose en el principio de encontrar el área de las paredes, complicado por nichos y proyecciones.

Sin embargo, si la estructura de su techo tiene elementos arqueados y ondulados, entonces es más apropiado determinar su área utilizando el área del piso. Para hacer esto necesitas:

Encuentre las dimensiones de todas las secciones rectas de paredes.
Encuentra el área del piso.
Multiplica la longitud y la altura de las secciones verticales.
Sume el valor resultante con el área del piso.

Instrucciones paso a paso para determinar el general.

área de la habitación

Limpia la habitación de cosas innecesarias. Durante el proceso de medición, necesitará libre acceso a todas las áreas de su habitación, por lo que deberá deshacerse de todo lo que pueda interferir con esto.
Divida visualmente la habitación en áreas de formas regulares e irregulares. Si su habitación tiene una forma estrictamente cuadrada o rectangular, puede omitir este paso.
Haz un diseño aleatorio de la habitación. Este dibujo es necesario para que todos los datos estén siempre a mano. Además, no le dará la oportunidad de confundirse en numerosas mediciones.
Las medidas deben tomarse varias veces. Esta es una regla importante para evitar errores en los cálculos. Además, si lo utiliza, asegúrese de que la viga quede plana sobre la superficie de la pared.
Encuentra el área total de la habitación. La fórmula para el área total de una habitación es encontrar la suma de todas las áreas de las secciones individuales de la habitación. Aquellos. S total = S paredes+S suelo+S techo

Área de una figura geométrica- una característica numérica de una figura geométrica que muestra el tamaño de esta figura (parte de la superficie limitada por el contorno cerrado de esta figura). El tamaño del área se expresa por el número de unidades cuadradas que contiene.

Fórmulas de área de triángulo

Fórmula para el área de un triángulo por lado y altura
Área de un triángulo igual a la mitad del producto de la longitud de un lado de un triángulo por la longitud de la altura dibujada a este lado
Fórmula para el área de un triángulo basada en tres lados y el radio del círculo circunstante
Fórmula para el área de un triángulo basada en tres lados y el radio del círculo inscrito
Área de un triángulo es igual al producto del semiperímetro del triángulo por el radio del círculo inscrito.

Fórmulas de área cuadrada

Fórmula para el área de un cuadrado por la longitud del lado
Área cuadrada igual al cuadrado de la longitud de su lado.
Fórmula para el área de un cuadrado a lo largo de la diagonal
Área cuadrada igual a la mitad del cuadrado de la longitud de su diagonal.
S= 1 2
2

Fórmula del área del rectángulo

Área de un rectángulo

Fórmulas de área de paralelogramo

Fórmula para el área de un paralelogramo basada en la longitud y la altura de los lados
Área de un paralelogramo
Fórmula para el área de un paralelogramo basada en dos lados y el ángulo entre ellos
Área de un paralelogramo es igual al producto de las longitudes de sus lados multiplicado por el seno del ángulo entre ellos.
a b sen α

Fórmulas para el área de un rombo.

Fórmula para el área de un rombo según la longitud y la altura de los lados
Área de un rombo igual al producto de la longitud de su lado por la longitud de la altura bajada a este lado.
Fórmula para el área de un rombo según la longitud del lado y el ángulo
Área de un rombo es igual al producto del cuadrado de la longitud de su lado por el seno del ángulo entre los lados del rombo.
Fórmula para el área de un rombo en función de las longitudes de sus diagonales
Área de un rombo igual a la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales.

Fórmulas del área trapezoidal

Fórmula de Heron para el trapezoide.
Donde S es el área del trapezoide,
- longitudes de las bases del trapezoide,
- longitudes de los lados del trapezoide,