Esfuerzos principales durante la flexión. Prueba completa de la resistencia a la flexión de vigas.

En caso de flexión transversal plana, cuando también actúa un momento flector en las secciones de la viga METRO y fuerza cortante q, no sólo normal
, pero también tensiones cortantes .

Las tensiones normales durante la flexión transversal se calculan utilizando las mismas fórmulas que para la flexión pura:

;
.(6.24)

PAG

Fig.6.11. Curva plana

Al derivar la fórmula, haremos algunas suposiciones:

Esfuerzos cortantes que actúan a la misma distancia. en desde el eje neutro, constante a lo largo de todo el ancho de la viga;

Las tensiones tangenciales son en todas partes paralelas a la fuerza. q.

Consideremos una viga en voladizo sometida a flexión transversal bajo la acción de una fuerza. R. Construyamos diagramas de fuerzas internas. ACERCA DE y, Y METRO z .

A distancia X desde el extremo libre de la viga seleccionamos una sección elemental de la viga con una longitud dX y un ancho igual al ancho de la viga b. Mostremos las fuerzas internas que actúan a lo largo de los bordes del elemento: en el borde CD se produce fuerza cortante q y y momento flector METRO z, y al borde ab– también fuerza cortante q y y momento flector METRO z +dM z(porque q y permanece constante a lo largo de la viga y el momento METRO z cambios, fig. 6.12). A distancia en cortar parte del elemento del eje neutro abCd, mostramos las tensiones que actúan a lo largo de los bordes del elemento resultante mbcn, y considere su equilibrio. No existen tensiones en las caras que forman parte de la superficie exterior de la viga. En las caras laterales del elemento por la acción del momento flector. METRO z, surgen tensiones normales:

; (6.25)

. (6.26)

Además, en estas caras por la acción de la fuerza cortante. q y, surgen tensiones cortantes , las mismas tensiones surgen según la ley del emparejamiento de tensiones tangenciales en la cara superior del elemento.

Creemos una ecuación de equilibrio para el elemento. mbcn, proyectando las tensiones resultantes consideradas sobre el eje X:

. (6.29)

La expresión bajo el signo integral representa el momento estático de la cara lateral del elemento. mbcn relativo al eje X, para que podamos escribir

. (6.30)

Teniendo en cuenta que, según las dependencias diferenciales de Zhuravsky D.I. durante la flexión,

, (6.31)

expresión para tangentes Las tensiones durante la flexión transversal se pueden reescribir de la siguiente manera ( La fórmula de Zhuravsky)

. (6.32)

Analicemos la fórmula de Zhuravsky.

q y– fuerza cortante en la sección considerada;

j z – momento de inercia axial de la sección con respecto al eje z;

b– el ancho de la sección en el lugar donde se determinan los esfuerzos cortantes;

–momento estático con respecto al eje z de la sección situada encima (o debajo) de la fibra donde se determina el esfuerzo cortante:

, (6.33)

Dónde Y F" es la coordenada del centro de gravedad y el área de la parte considerada del tramo, respectivamente.

6.6 Verificación de fuerza total. Tramos peligrosos y puntos peligrosos.

Para comprobar la resistencia a la flexión de las cargas externas que actúan sobre la viga, se construyen diagramas de cambios en las fuerzas internas a lo largo de su longitud y se determinan las secciones peligrosas de la viga, para cada una de las cuales es necesario realizar una prueba de resistencia.

Al comprobar completamente la resistencia de dichas secciones, habrá al menos tres (a veces coinciden):

La sección en la que el momento flector METRO z alcanza su valor absoluto máximo;

La sección en la que la fuerza cortante q y, alcanza su valor absoluto máximo;

La sección en la que el momento flector METRO z y fuerza cortante q y alcanzar valores bastante grandes en valor absoluto.

En cada uno de los tramos peligrosos es necesario, mediante la construcción de diagramas de tensiones normales y cortantes, encontrar los puntos peligrosos del tramo (para cada uno de ellos se realiza un ensayo de resistencia), de los cuales también habrá al menos tres. :

El punto en el que las tensiones normales , alcanzan su valor máximo, es decir, el punto de la superficie exterior de la viga más alejado del eje neutro de la sección;

El punto en el que el esfuerzo cortante alcanzar su valor máximo: un punto que se encuentra en el eje neutro de la sección;

El punto en el que tanto las tensiones normales como las tensiones cortantes alcanzan valores suficientemente grandes (esta prueba tiene sentido para secciones como vigas en T o vigas en I, donde el ancho de la sección a lo largo de la altura no es constante).

Durante la flexión transversal, junto con el momento flector, actúa en la sección una fuerza transversal, que es la resultante de las tensiones tangenciales.

La consecuencia de la acción de tensiones tangenciales es una distorsión de la forma de la sección transversal, lo que contradice la hipótesis de las secciones planas. En primer lugar, la sección puede experimentar deplaiatssho, aquellos. no se queda plano. En segundo lugar, la sección después de la deformación no permanece perpendicular al eje curvo de la viga.

Estos efectos se tienen en cuenta en teorías más complejas sobre la flexión de varillas. Al mismo tiempo, para una gran cantidad de problemas de ingeniería, las fórmulas obtenidas para la flexión pura se pueden generalizar al caso de la flexión transversal. La evaluación de los límites de aplicabilidad de estas fórmulas y la responsabilidad de los resultados obtenidos son competencia del calculador.

Para determinar los valores de las tensiones normales durante la flexión transversal, se utiliza ampliamente la fórmula (5.10). A continuación mostraremos que en el caso de una fuerza transversal constante, esta fórmula da un resultado exacto, y en el caso de una fuerza transversal variable, los resultados obtenidos para determinar la normal

las fórmulas muestran un error de orden - Dónde h- altura de la sección; / - longitud de la viga.

Para determinar la magnitud de las tensiones tangenciales, considere un elemento de viga con una longitud dx(Figura 5.8).

Arroz. 5.8.

En las secciones derecha e izquierda del elemento, las tensiones normales difieren entre sí en s/o, lo que se debe a la diferencia en los valores del momento flector en dm sr. El término asociado con el cambio en t a lo largo de la longitud. dx, puede despreciarse como una cantidad de orden superior de pequeñez.

Supongamos que las tensiones tangenciales en la sección se dirigen paralelas a la fuerza cortante que actúa en esta sección. P.

Determinemos los valores de las tensiones tangenciales en puntos separados por una distancia. en desde el eje neutro. Para hacer esto, corte con un avión. CD desde la longitud del elemento de viga dx Parte una cama.

En sección transversal en altura en Las tensiones tangenciales actúan, es decir, al mismo tiempo, en la sección perpendicular a él, es decir. en un plano paralelo al plano xz, De acuerdo con la ley del emparejamiento de tensiones tangenciales, actuarán tensiones tangenciales de la misma magnitud.

Creemos una ecuación de equilibrio para un elemento proyectando todas las fuerzas que actúan sobre este elemento en la dirección del eje. X. Calculemos las integrales incluidas en la ecuación de equilibrio dentro de la parte superior de la sección. A*:

Como resultado de las transformaciones obtenemos la siguiente fórmula para calcular tensiones tangenciales:

Según la fórmula (5.10) y teniendo en cuenta la relación (5.3), encontramos la derivada de la tensión normal:

y tenga en cuenta este valor en la expresión del esfuerzo cortante:

Como resultado, obtenemos la siguiente fórmula para calcular las tensiones tangenciales:

Dónde q - fuerza cortante en la sección; S* - momento estático de la parte cortada de la sección con área L* con respecto al eje central; / izg - momento de inercia de la sección con respecto al eje central; h- ancho de la sección en el lugar donde se determinan los esfuerzos cortantes.

La fórmula (5.21) se llama fórmulasZhuravski A

Considere una viga con una sección transversal rectangular (Fig. 5.9, A). Determinemos las tensiones normales y cortantes en una sección peligrosa. Es peligrosa la sección L, en la que actúa el momento flector máximo M зг = -И En cuanto a la fuerza transversal, su valor en cualquier sección de la viga es constante e igual -F.

Arroz. 5.9.

Según las fórmulas (5.15) y (5.20), determinamos el valor de la tensión normal máxima:

‘Zhuravsky Dmitry Ivanovich (1828-1891) - Ingeniero mecánico ruso, especialista en el campo de la construcción de puentes y mecánica estructural, fue el primero en resolver el problema de determinar las tensiones cortantes durante la flexión transversal de una viga.

Calculemos las cantidades incluidas en la fórmula (5.21):

En un punto de sección separado por una distancia en desde el eje neutro, el valor del esfuerzo cortante es

El voltaje máximo ocurre en y = 0 en fibras pertenecientes al eje central 0t.

Este voltaje formalmente tiene un valor negativo, pero su signo puede ignorarse, ya que no es importante para el cálculo.

Estimemos la relación entre los valores máximos de tensiones normales y tangenciales que surgen en la sección de la viga:

Según el diagrama de diseño de la viga, se supone que - 1. De esto se deduce que las tensiones tangenciales son de un orden de magnitud mayor en comparación con las tensiones normales.

Generalicemos la estimación (5.24) para una viga de longitud / y tamaño característico de la sección transversal. A. Con una fuerza cortante igual a F, El momento flector se estima como M curvatura ~ FI. Para los valores característicos del momento de inercia axial de la sección, el momento estático de parte de la sección y el momento de resistencia a la flexión, obtenemos las siguientes estimaciones:

En consecuencia, para las tensiones máximas normales y tangenciales son válidas las siguientes estimaciones:

Finalmente obtenemos la siguiente estimación de la relación entre tensiones tangenciales máximas y normales:

Las estimaciones obtenidas para una sección transversal rectangular específica pueden extenderse al caso de una sección transversal arbitraria, con la condición de que la sección transversal se considere masiva. Para perfiles de paredes delgadas, la conclusión anterior sobre la posibilidad de despreciar las tensiones tangenciales en comparación con las tensiones normales no siempre es cierta.

Cabe señalar que al derivar la fórmula (5.21), no fuimos del todo consistentes y, al realizar las transformaciones, cometimos el siguiente error. Es decir, la fórmula para tensiones normales que utilizamos se obtuvo bajo el supuesto de que la hipótesis de las secciones planas es válida, es decir en ausencia de deplanación transversal. Al aplicar tensiones tangenciales al elemento, permitimos la posibilidad de distorsión de los ángulos rectos, violando así la hipótesis mencionada anteriormente. Por tanto, las fórmulas de cálculo resultantes son aproximadas. El diagrama de tensión cortante mostrado en la Fig. 5.9, b, explica la naturaleza de la curvatura de las secciones transversales de la viga durante la flexión transversal. En los puntos extremos, las tensiones tangenciales son cero, por lo tanto, las fibras correspondientes serán normales a las superficies superior e inferior de la viga. En la línea neutra, donde actúan los esfuerzos cortantes máximos, se producirán deformaciones cortantes máximas.

Al mismo tiempo, observamos que si el valor de la fuerza transversal es constante dentro de la sección, la curvatura de todas las secciones será la misma, por lo tanto, el efecto de la curvatura no se reflejará en la magnitud de las fuerzas longitudinales de tracción y compresión. Deformaciones de las fibras provocadas por el momento flector.

Para secciones transversales no rectangulares, se introducen errores adicionales en la fórmula (5.21) debido al incumplimiento de los supuestos aceptados sobre la naturaleza de la distribución del esfuerzo cortante. Entonces, por ejemplo, para una sección transversal circular, los esfuerzos cortantes en los puntos en Los contornos de la sección deben dirigirse tangencialmente al contorno y no paralelos a la fuerza cortante. P. Esto significa que los esfuerzos cortantes deben tener componentes que actúen tanto a lo largo del eje z/ como a lo largo del eje z.

Sin embargo, a pesar de las contradicciones existentes, las fórmulas resultantes dan resultados bastante satisfactorios a la hora de realizar cálculos prácticos. Una comparación de los valores de las tensiones tangenciales determinadas por la fórmula (5.21) con los resultados obtenidos por métodos exactos muestra que el error en el valor de la tensión tangencial más grande no supera el 5%, es decir esta fórmula es adecuada para cálculos prácticos.

Hagamos algunos comentarios sobre los cálculos de resistencia para flexión transversal directa. A diferencia de la flexión pura, durante la flexión transversal surgen dos factores de fuerza en las secciones transversales de la varilla: el momento flector M mzg y la fuerza transversal P. Sin embargo, dado que las tensiones normales más altas ocurren en las fibras más externas, donde no hay tensiones cortantes (ver Fig. 5.9, b), y las tensiones tangenciales más altas ocurren en la capa neutra, donde las tensiones normales son iguales a cero, las condiciones de resistencia en estos casos se formulan por separado para tensiones normales y tangenciales:

Al derivar la fórmula para calcular las tensiones normales, consideramos el caso de flexión, cuando las fuerzas internas en las secciones de la viga se reducen solo a momento de flexión, A la fuerza cortante resulta ser cero. Este caso de flexión se llama flexión pura. Considere la sección media de la viga, que está sujeta a flexión pura.

Cuando está cargada, la viga se dobla de manera que Las fibras inferiores se alargan y las superiores se acortan.

Dado que parte de las fibras de la viga se estira y parte se comprime y se produce la transición de tensión a compresión. suavemente, sin saltos, V. promedio parte de la viga se encuentra una capa cuyas fibras solo se doblan, pero no experimentan ni tensión ni compresión. Esta capa se llama neutral capa. La línea a lo largo de la cual la capa neutra cruza la sección transversal de la viga se llama línea neutra o eje neutral secciones. Las líneas neutras están tendidas en el eje del haz. Línea neutra es la línea en la que Las tensiones normales son cero.

Las líneas dibujadas en la superficie lateral de la viga perpendiculares al eje permanecen departamento al doblarse. Estos datos experimentales permiten fundamentar las conclusiones de las fórmulas. hipótesis de secciones planas (conjetura). Según esta hipótesis, las secciones de la viga son planas y perpendiculares a su eje antes de doblarse, permanecen planas y resultan perpendiculares al eje curvo de la viga cuando ésta se dobla.

Supuestos para derivar fórmulas de tensión normal: 1) Se cumple la hipótesis de las secciones planas. 2) Las fibras longitudinales no se presionan entre sí (hipótesis de no presión) y, por tanto, cada una de las fibras se encuentra en un estado de tensión o compresión uniaxial. 3) Las deformaciones de las fibras no dependen de su posición a lo largo del ancho de la sección transversal. En consecuencia, las tensiones normales, que cambian a lo largo de la altura de la sección, permanecen iguales a lo largo del ancho. 4) La viga tiene al menos un plano de simetría y todas las fuerzas externas se encuentran en este plano. 5) El material de la viga obedece la ley de Hooke y el módulo de elasticidad en tracción y compresión es el mismo. 6) La relación entre las dimensiones de la viga es tal que opera en condiciones de flexión plana sin deformarse ni torcerse.

Consideremos una viga de sección arbitraria, pero que tiene un eje de simetría. Momento de flexión representa momento resultante de las fuerzas normales internas, que surge en áreas infinitamente pequeñas y se puede expresar en integral forma: (1), donde y es el brazo de la fuerza elemental con respecto al eje x

Fórmula (1) expresa estático lado del problema de doblar una viga recta, pero a lo largo de ella con un momento flector conocido Es imposible determinar las tensiones normales hasta que se establezca la ley de su distribución.

Seleccionemos las vigas en la sección central y consideremos sección de longitud dz, sujeto a flexión. Representémoslo en una escala ampliada.

Tramos que limitan el área dz, paralelos entre sí hasta que se deformen, y después de aplicar la carga girar alrededor de sus líneas neutrales en un ángulo . La longitud del segmento de fibra de la capa neutra no cambiará. y será igual a: , Dónde está radio de curvatura el eje curvo de la viga. Pero cualquier otra fibra tendida inferior o superior capa neutra, cambiará su longitud. calculemos Alargamiento relativo de las fibras ubicadas a una distancia y de la capa neutra. El alargamiento relativo es la relación entre la deformación absoluta y la longitud original, entonces:

Reduzcamos y traigamos términos similares, luego obtenemos: (2) Esta fórmula expresa geométrico lado del problema de flexión pura: Las deformaciones de las fibras son directamente proporcionales a sus distancias a la capa neutra.

Ahora pasemos a destaca, es decir. Nosotros lo consideraremos físico lado de la tarea. de acuerdo con supuesto sin presión utilizamos fibras bajo tensión-compresión axial: luego, teniendo en cuenta la fórmula (2) tenemos (3), aquellos. estrés normal al doblar a lo largo de la altura de la sección distribuido linealmente. En las fibras más externas, las tensiones normales alcanzan su valor máximo y en el centro de gravedad de la sección son iguales a cero. sustituyamos (3) en la ecuación (1) y sacamos la fracción del signo integral como un valor constante, entonces tenemos . Pero la expresión es momento de inercia axial de la sección con respecto al eje x - yo x. Su dimensión centímetros 4, metros 4

Entonces ,dónde (4), ¿dónde está? la curvatura del eje curvo de la viga, y es la rigidez de la sección de la viga durante la flexión.

Sustituyamos la expresión resultante. curvatura (4) en expresión (3) y obtenemos Fórmula para calcular tensiones normales en cualquier punto de la sección transversal: (5)

Eso. máximo surgen tensiones en los puntos más alejados de la línea neutral. Actitud (6) llamado momento axial de resistencia de la sección. Su dimensión centímetros 3, metros 3. El momento de resistencia caracteriza la influencia de la forma y las dimensiones de la sección transversal sobre la magnitud de las tensiones.

Entonces voltajes máximos: (7)

Condición de resistencia a la flexión: (8)

Cuando se produce una flexión transversal. no sólo tensiones normales, sino también de corte, porque disponible Fuerza de corte. Esfuerzo cortante complicar la imagen de la deformación, conducen a curvatura secciones transversales de la viga, lo que resulta en Se viola la hipótesis de las secciones planas.. Sin embargo, las investigaciones muestran que las distorsiones introducidas por los esfuerzos cortantes levemente afectan las tensiones normales calculadas por la fórmula (5) . Por tanto, al determinar las tensiones normales en el caso de flexión transversal La teoría de la flexión pura es bastante aplicable.

Línea neutra. Pregunta sobre la posición de la línea neutral.

Durante la flexión no hay fuerza longitudinal, por lo que podemos escribir Sustituyamos aquí la fórmula para tensiones normales. (3) y obtenemos Dado que el módulo de elasticidad longitudinal del material de la viga no es igual a cero y el eje curvo de la viga tiene un radio de curvatura finito, queda por suponer que esta integral es momento estático del área sección transversal de la viga con respecto al eje neutro x , y desde es igual a cero, entonces la línea neutra pasa por el centro de gravedad de la sección.

Consideremos una viga sujeta a flexión plana recta bajo la acción de cargas transversales arbitrarias en el plano principal. Ohhh(Figura 7.31, A). Cortemos la viga a una distancia x de su extremo izquierdo y consideremos el equilibrio del lado izquierdo. La influencia del lado derecho en este caso debe ser reemplazada por la acción del momento flector A/ y la fuerza transversal qy en la sección dibujada (Fig. 7.31, b). El momento flector L7 en el caso general no es constante en magnitud, como era el caso de la flexión pura, sino que varía a lo largo de la viga. Desde el momento flector METRO

según (7.14) está asociado con tensiones normales o = a x, entonces las tensiones normales en las fibras longitudinales también cambiarán a lo largo de la viga. Por lo tanto, en el caso de flexión transversal, las tensiones normales son funciones de las variables x y y: a x = a x (x, y).

Durante la flexión transversal en la sección de la viga, no solo actúan tensiones normales sino también tangenciales (figura 7.31, V), cuya resultante es la fuerza transversal Pregunta y:

Presencia de tensiones tangenciales. x eh acompañado de la aparición de deformaciones angulares. Los esfuerzos cortantes, como los normales, se distribuyen de manera desigual sobre la sección. En consecuencia, las deformaciones angulares asociadas con ellos por la ley de Hooke durante el corte también se distribuirán de manera desigual. Esto significa que durante la flexión transversal, a diferencia de la flexión pura, las secciones de la viga no permanecen planas (se viola la hipótesis de J. Bernoulli).

La curvatura de las secciones transversales se puede demostrar claramente con el ejemplo de la flexión de una viga en voladizo de sección rectangular de caucho causada por una fuerza concentrada aplicada en el extremo (figura 7.32). Si primero dibuja líneas rectas en las caras laterales perpendiculares al eje de la viga, luego de doblar estas líneas no permanecen rectas. Al mismo tiempo, se doblan de modo que el mayor desplazamiento se produzca al nivel de la capa neutra.

Estudios más precisos han establecido que el efecto de la distorsión de las secciones transversales sobre la magnitud de las tensiones normales es insignificante. Depende de la relación de la altura de la sección. h a la longitud de la viga / y en h// o x para flexión transversal se suele utilizar la fórmula (7.14) derivada para el caso de flexión pura.

La segunda característica de la flexión transversal es la presencia de tensiones normales. oh y, actuando en las secciones longitudinales de la viga y caracterizando la presión mutua entre las capas longitudinales. Estas tensiones ocurren en áreas donde hay una carga distribuida. q, y en lugares donde se aplican fuerzas concentradas. Normalmente, estas tensiones son muy pequeñas en comparación con las tensiones normales. una x. Un caso especial es la acción de una fuerza concentrada, en cuya zona de aplicación pueden surgir importantes tensiones locales. y tú.

Por tanto, un elemento infinitesimal en el plano Ohhh en el caso de flexión transversal, se encuentra en un estado de tensión biaxial (figura 7.33).

Las tensiones t y o, así como la tensión o Y, en el caso general son funciones de las coordenadas* e y. Deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio diferencial, que para un estado de tensión biaxial ( az = T yz = = 0) en ausencia

Las fuerzas volumétricas tienen la siguiente forma:

Estas ecuaciones se pueden utilizar para determinar tensiones cortantes = m y tensiones normales UNED. Esto es más fácil de hacer para una viga con una sección transversal rectangular. En este caso, al determinar m, se supone que están distribuidos uniformemente a lo largo del ancho de la sección (figura 7.34). Esta suposición fue hecha por el famoso constructor de puentes ruso D.I. Zhuravski. Las investigaciones muestran que esta suposición corresponde casi exactamente a la naturaleza real de la distribución de los esfuerzos cortantes durante la flexión para vigas suficientemente estrechas y altas. (b « Y).

Usando la primera de las ecuaciones diferenciales (7.26) y la fórmula (7.14) para tensiones normales una x, obtenemos

Integrando esta ecuación sobre la variable y, encontramos

Dónde f(x)- una función arbitraria, para determinar cuál utilizamos la condición de ausencia de tensiones tangenciales en el borde inferior de la viga:

Teniendo en cuenta esta condición de frontera, de (7.28) encontramos

La expresión final para los esfuerzos tangenciales que actúan en las secciones transversales de la viga toma la siguiente forma:

Debido a la ley del emparejamiento de tensiones tangenciales, también surgen tensiones tangenciales t, = t en secciones longitudinales

hoo hoo

haces paralelos a la capa neutra.

De la fórmula (7.29) se desprende claramente que las tensiones tangenciales varían a lo largo de la altura de la sección transversal de la viga según la ley de una parábola cuadrada. Las tensiones tangenciales tienen el mayor valor en puntos al nivel del eje neutro en y = 0, y en las fibras más externas del haz en y = ±h/2 son iguales a cero. Usando la fórmula (7.23) para el momento de inercia de una sección rectangular, obtenemos

Dónde F= bh -área de la sección transversal de la viga.

El diagrama t se muestra en la Fig. 7.34.

En el caso de vigas de sección transversal no rectangular (figura 7.35), es difícil determinar los esfuerzos cortantes m a partir de la ecuación de equilibrio (7.27), ya que la condición de frontera para m no se conoce en todos los puntos de la sección transversal. contorno. Esto se debe al hecho de que en este caso las tensiones tangenciales t actúan en la sección transversal, no paralelas a la fuerza transversal. Qy. De hecho, se puede demostrar que en puntos cercanos al contorno de la sección transversal, el esfuerzo cortante total m se dirige tangencialmente al contorno. Consideremos en las proximidades de un punto arbitrario del contorno (ver figura 7.35) un área infinitesimal dF en el plano de sección transversal y una plataforma perpendicular a él dF" en la superficie lateral de la viga. Si la tensión total t en un punto del contorno no se dirige tangencialmente, entonces se puede descomponer en dos componentes: xvx en la dirección de la normal v al contorno y X en dirección tangente t al contorno. Por tanto, de acuerdo con la ley del emparejamiento de tensiones tangenciales en el sitio. dF" debería

pero actúa sobre un esfuerzo cortante x igual a x vv . Si la superficie lateral está libre de cargas de corte, entonces el componente x vv = zvx = 0, es decir, el esfuerzo cortante total x debe dirigirse tangencialmente al contorno de la sección transversal, como se muestra, por ejemplo, en los puntos A y EN contorno.

En consecuencia, el esfuerzo cortante x tanto en puntos del contorno como en cualquier punto de la sección transversal se puede descomponer en sus componentes x.

Para determinar las componentes x de la tensión tangencial en vigas de sección transversal no rectangular (figura 7.36, b) Supongamos que la sección tiene un eje de simetría vertical y que la componente x del esfuerzo cortante total x, como en el caso de una sección transversal rectangular, está distribuida uniformemente sobre su ancho.

Utilizando una sección longitudinal paralela al plano. Oxz y pasando en la distancia en de él, y dos secciones transversales je + dx Recortemos mentalmente de la parte inferior de la viga un elemento de longitud infinitesimal. dx(Figura 7.36, V).

Supongamos que el momento flector METRO varía dentro de la longitud dx del elemento de viga considerado, y la fuerza cortante q es constante. Luego en las secciones transversales x y x+dx Las vigas estarán sujetas a esfuerzos tangenciales x de igual magnitud, y a esfuerzos normales que surgen de momentos flectores. m zmetrom z+ dM „, serán respectivamente iguales A Y A + da. A lo largo del borde horizontal del elemento seleccionado (en la Fig. 7.36, V se muestra en axonometría) de acuerdo con la ley del emparejamiento de tensiones tangenciales, actuarán las tensiones x v „ = x.

hoo hoo

Resultantes R Y R+dR tensiones normales o y o + d aplicado a los extremos del elemento, teniendo en cuenta la fórmula (7.14) son iguales

Dónde

momento estático del área de corte F(en la figura 7.36, b sombreado) con respecto al eje neutro Onz y, es una variable auxiliar que varía dentro en

Resultante de las tensiones tangenciales t aplicadas

xy

al borde horizontal del elemento, teniendo en cuenta el supuesto introducido sobre la distribución uniforme de estas tensiones a lo ancho por) se puede encontrar usando la fórmula

La condición de equilibrio para el elemento?X=0 da

Sustituyendo los valores de las fuerzas resultantes, obtenemos

De aquí, teniendo en cuenta (7.6), obtenemos una fórmula para determinar tensiones tangenciales:

Esta fórmula en la literatura rusa se llama fórmula D.I. Zhuravski.

De acuerdo con la fórmula (7.32), la distribución de tensiones tangenciales t a lo largo de la altura de la sección depende del cambio en el ancho de la sección. b(y) y el momento estático de la parte de corte de la sección S OTC (y).

Utilizando la fórmula (7.32), los esfuerzos cortantes se determinan de manera más sencilla para la viga rectangular considerada anteriormente (figura 7.37).

El momento estático del área de la sección transversal de corte F qtc es igual a

Sustituyendo 5° tf en (7.32), obtenemos la fórmula previamente derivada (7.29).

La fórmula (7.32) se puede utilizar para determinar los esfuerzos cortantes en vigas con un ancho de sección constante por pasos. Dentro de cada sección con ancho constante, las tensiones tangenciales varían a lo largo de la altura de la sección según la ley de una parábola cuadrada. En lugares donde el ancho de la sección cambia bruscamente, las tensiones tangenciales también presentan saltos o discontinuidades. La naturaleza del diagrama t para dicha sección se muestra en la Fig. 7.38.

Arroz. 7.37

Arroz. 7.38

Consideremos la distribución de tensiones tangenciales en una sección en I (figura 7.39, A) al doblarse en un plano Oh. Una sección en I se puede representar como la unión de tres rectángulos estrechos: dos estantes horizontales y una pared vertical.

Al calcular m en la pared en la fórmula (7.32), debe tomar b(y) - d. Como resultado obtenemos

Dónde S° 1C calculado como la suma de momentos estáticos alrededor del eje Onzárea de estante fn y partes de la pared F, sombreado en la Fig. 7,39, A:

Las tensiones tangenciales t tienen el mayor valor al nivel del eje neutro en y = 0:

¿Dónde está el momento estático del área de la mitad de la sección con respecto al eje neutro?

Para vigas en I laminadas y canales, el valor del momento estático de la mitad de la sección se da en el surtido.

Arroz. 7.39

En el nivel donde la pared se une a las alas, los esfuerzos cortantes 1 ? igual

Dónde S" - Momento estático del área de la sección transversal de la brida con respecto al eje neutro:

Los esfuerzos tangenciales verticales m en las alas de la viga en I no se pueden encontrar usando la fórmula (7.32), ya que debido al hecho de que b :» t, la suposición de su distribución uniforme a lo ancho del estante se vuelve inaceptable. En los bordes superior e inferior de la brida, estas tensiones deben ser cero. Por lo tanto t en

Guau

Los estantes son muy pequeños y no tienen ningún interés práctico. De mucho mayor interés son las tensiones tangenciales horizontales en las alas m, para determinarlas consideramos el equilibrio de un elemento infinitesimal aislado del ala inferior (figura 7.39). , b).

Según la ley del emparejamiento de tensiones tangenciales en la cara longitudinal de este elemento, paralela al plano Oh, se aplica voltaje x xz igual en magnitud a la tensión t que actúa en la sección transversal. Debido al pequeño espesor del ala de la viga en I, se puede suponer que estos esfuerzos están distribuidos uniformemente sobre el espesor del ala. Teniendo esto en cuenta, de la ecuación de equilibrio del elemento 5^=0 tendremos

Desde aquí encontramos

Sustituyendo en esta fórmula la expresión para una x de (7.14) y teniendo en cuenta que obtenemos

Teniendo en cuenta que

Dónde S° TC - momento estático del área de corte del estante (en la Fig. 7.39, A sombreado dos veces) en relación con el eje Onz, finalmente lo conseguiremos

Según la Fig. 7.39 , A

Dónde z- variable basada en ejes UNED.

Teniendo esto en cuenta, la fórmula (7.34) se puede representar en la forma

Esto muestra que los esfuerzos cortantes horizontales varían linealmente a lo largo del eje Onz y tomar el mayor valor en z = re/ 2:

En la Fig. La Figura 7.40 muestra diagramas de esfuerzos tangenciales m y m^, así como las direcciones de estos esfuerzos en las alas y la pared de la viga en I cuando se aplica una fuerza cortante positiva a la sección de la viga. P. Las tensiones tangenciales, en sentido figurado, forman un flujo continuo en la sección de la viga en I, dirigido a cada punto paralelo al contorno de la sección.

Pasemos a la definición de tensiones normales. y y en las secciones longitudinales de la viga. Consideremos una sección de una viga con una carga distribuida uniformemente a lo largo del borde superior (figura 7.41). Consideremos que la sección transversal de la viga es rectangular.

Lo usamos para determinar la segunda de las ecuaciones de equilibrio diferencial (7.26). Sustituyendo la fórmula (7.32) para tensiones tangenciales en esta ecuación tu eh, teniendo en cuenta (7.6) obtenemos

Después de realizar la integración sobre la variable y, encontramos

Aquí f(x) - una función arbitraria que se define mediante una condición de frontera. Según las condiciones del problema, la viga se carga con una carga uniformemente distribuida. q a lo largo del borde superior y el borde inferior está libre de cargas. Luego las condiciones de contorno correspondientes se escriben en la forma

Usando la segunda de estas condiciones, obtenemos

Teniendo esto en cuenta, la fórmula para el estrés y y tomará la siguiente forma:

De esta expresión queda claro que las tensiones varían a lo largo de la altura de la sección según la ley de una parábola cúbica. En este caso, se satisfacen ambas condiciones de contorno (7.35). Valor de voltaje más alto toma la superficie superior de la viga cuando y=-h/2:

Naturaleza del diagrama y y mostrado en la Fig. 7.41.

Estimar los valores de las tensiones más altas o. a, y m y las relaciones entre ellos, consideremos, por ejemplo, la flexión de una viga en voladizo de sección transversal rectangular con dimensiones bxh, bajo la acción de una carga uniformemente distribuida aplicada al borde superior de la viga (figura 7.42). El valor absoluto más alto de tensiones se produce en la junta. De acuerdo con las fórmulas (7.22), (7.30) y (7.37), estas tensiones son iguales

Como es habitual en las vigas. l/h» 1, entonces de las expresiones obtenidas se deduce que los voltajes c x en valor absoluto excede el voltaje t y, especialmente, y tú. Así, por ejemplo, cuando 1/yo == 10 obtenemos a x /t xy = 20', o x /c y = 300.

Por tanto, el mayor interés práctico al calcular vigas para flexión es la tensión. una x, actuando en las secciones transversales de la viga. voltajes con y, que caracterizan la presión mutua de las capas longitudinales de la viga son insignificantes en comparación con o v .

Los resultados obtenidos en este ejemplo indican que las hipótesis introducidas en el § 7.5 están completamente justificadas.

Curva plana (recta)- cuando el momento flector actúa en un plano que pasa por uno de los principales ejes centrales de inercia de la sección, es decir todas las fuerzas se encuentran en el plano de simetría de la viga. Principales hipótesis(supuestos): hipótesis sobre la no presión de las fibras longitudinales: las fibras paralelas al eje de la viga experimentan deformaciones de tracción-compresión y no ejercen presión entre sí en la dirección transversal; Hipótesis de secciones planas: una sección de una viga que es plana antes de la deformación permanece plana y normal al eje curvo de la viga después de la deformación. En el caso de flexión plana, en general, factores de potencia internos: fuerza longitudinal N, fuerza transversal Q y momento flector M. N>0, si la fuerza longitudinal es de tracción; en M>0, las fibras de la parte superior de la viga se comprimen y las fibras de la parte inferior se estiran. .

La capa en la que no hay extensiones se llama capa neutra(eje, línea). Para N=0 y Q=0, tenemos el caso pura curvatura. Tensiones normales:
, es el radio de curvatura de la capa neutra, y es la distancia desde alguna fibra hasta la capa neutra.

43) Tensión y compresión excéntricas.

Tensión y compresión

 - voltaje normal[Pa], 1 Pa (pascal) = 1 N/m 2,

10 6 Pa = 1 MPa (megapascales) = 1 N/mm 2

N - fuerza longitudinal (normal) [N] (newton); F - área de la sección transversal [m2]

 - deformación relativa [cantidad adimensional];

L - deformación longitudinal [m] (alargamiento absoluto), L - longitud de la varilla [m].

-Ley de Hooke -  = E

E - módulo de elasticidad a la tracción (módulo de elasticidad de primer tipo o módulo de Young) [MPa]. Para acero E = 210 5 MPa = 210 6 kg/cm 2 (en el “antiguo” sistema de unidades).

(cuanto mayor E, menos extensible es el material)

;
- ley de Hooke

EF es la rigidez de la varilla en tensión (compresión).

Cuando la varilla se estira, se “adelgaza”, su ancho - a disminuye por la deformación transversal - a.

-deformación transversal relativa.

-Relación de Poisson [cantidad adimensional];

 oscila entre 0 (corcho) y 0,5 (caucho); para acero  0,250,3.

Si la fuerza longitudinal y la sección transversal no son constantes, entonces el alargamiento de la varilla:

Trabajo de tracción:
, energía potencial:

47. Integrales Mohr

Un método universal para determinar desplazamientos (ángulos lineales y de rotación) es el método de Mohr. Se aplica una fuerza unitaria generalizada al sistema en el punto para el cual se busca el desplazamiento generalizado. Si se determina la deflexión, entonces la fuerza unitaria es una fuerza concentrada adimensional; si se determina el ángulo de rotación, entonces es un momento unitario adimensional. En el caso de un sistema espacial, existen seis componentes de fuerzas internas. El desplazamiento generalizado se define

48. Determinación de la tensión bajo la acción combinada de flexión y torsión.

Doblar con torsión

La acción combinada de flexión y torsión es el caso más común de ejes de carga. Surgen cinco componentes de las fuerzas internas: Q x, Q y, M x, M y, M z = M cr. Durante el cálculo, se construyen diagramas de momentos flectores M x , My y par M cr y se determina la sección peligrosa. Momento flector resultante
. Máx. Tensiones normales y cortantes en puntos peligrosos (A,B):
,

, (para un círculo: W=
– momento de resistencia axial , Wr =
– momento polar de contacto de la sección).

Principales tensiones en los puntos más peligrosos (A y B):

Las pruebas de fuerza se llevan a cabo según una de las teorías de fuerza:

IV: La teoría de Mohr:

donde m=[ p ]/[ c ] – permitido. por ejemplo, tensión/compresión (para materiales frágiles - hierro fundido).

t
.k.W p =2W, obtenemos:

El numerador es el momento reducido según la teoría aceptada de la fuerza. ;

II: , con índice de Poisson=0,3;

III:

o con una fórmula:
, de donde el momento de resistencia:
, diámetro del eje:
. Las fórmulas también son adecuadas para calcular la sección anular.