1 ¿Qué ángulo se llama desplegado? Ángulo recto y recto

El ángulo es la figura geométrica principal, que analizaremos a lo largo de todo el tema. Definiciones, métodos de fijación, notación y medida de ángulos. Veamos los principios para resaltar esquinas en dibujos. Toda la teoría está ilustrada y tiene una gran cantidad de dibujos visuales.

Definición 1

Esquina– una simple figura importante en geometría. El ángulo depende directamente de la definición de rayo, que a su vez consta de los conceptos básicos de punto, recta y plano. Para un estudio exhaustivo, es necesario profundizar en los temas. línea recta en un avión - información necesaria Y avión - información necesaria.

El concepto de ángulo comienza con los conceptos de punto, plano y línea recta representados en este plano.

Definición 2

Dada una recta a en el plano. Designemos un cierto punto O en él. Una línea recta se divide por un punto en dos partes, cada una de las cuales tiene un nombre. Rayo, y el punto O – comienzo de la viga.

En otras palabras, la viga o medio recto – es parte de una línea que consta de puntos de una línea dada ubicados en el mismo lado con respecto al punto inicial, es decir, el punto O.

La designación de la viga se permite en dos variaciones: una letra minúscula o dos letras mayúsculas del alfabeto latino. Cuando se designa con dos letras, la viga tiene un nombre que consta de dos letras. Echemos un vistazo más de cerca al dibujo.

Pasemos al concepto de determinar un ángulo.

Definición 3

Esquina Es una figura situada en un plano determinado, formada por dos rayos divergentes que tienen un origen común. Lado del ángulo es un rayo vértice– origen común de los lados.

Hay un caso en el que los lados de un ángulo pueden actuar como una línea recta.

Definición 4

Cuando ambos lados de un ángulo están ubicados en la misma línea recta o sus lados sirven como medias líneas adicionales de una línea recta, ese ángulo se llama expandido.

La siguiente imagen muestra una esquina girada.

Un punto en una recta es el vértice de un ángulo. La mayoría de las veces se designa con el punto O.

Un ángulo en matemáticas se denota con el signo “∠”. Cuando los lados de un ángulo se designan con letras latinas minúsculas, para determinar correctamente el ángulo, se escriben letras en una fila correspondiente a los lados. Si dos lados se designan k y h, entonces el ángulo se designa ∠ k h o ∠ ​​h k.

Cuando la designación está en letras mayúsculas, entonces, respectivamente, los lados del ángulo se denominan O A y O B. En este caso, el ángulo tiene un nombre formado por tres letras del alfabeto latino, escritas en fila, en el centro con un vértice - ∠ A O B y ∠ B O A. Hay una designación en forma de números cuando los ángulos no tienen nombres ni designaciones de letras. A continuación se muestra una imagen donde los ángulos se indican de diferentes maneras.

Un ángulo divide un plano en dos partes. Si el ángulo no se gira, entonces una parte del plano se llama área de la esquina interior, el otro - área de la esquina exterior. A continuación se muestra una imagen que explica qué partes del avión son externas y cuáles son internas.

Cuando se divide por un ángulo desarrollado en un plano, cualquiera de sus partes se considera región interior del ángulo desarrollado.

La zona interior del ángulo es un elemento que sirve para la segunda definición del ángulo.

Definición 5

Ángulo Se llama figura geométrica formada por dos rayos divergentes que tienen un origen común y un área de ángulo interno correspondiente.

Esta definición es más estricta que la anterior, al tener más condiciones. No es aconsejable considerar ambas definiciones por separado, porque un ángulo es una figura geométrica transformada mediante dos rayos que emanan de un punto. Cuando es necesario realizar acciones con un ángulo, la definición significa la presencia de dos rayos con un inicio común y un área interna.

Definición 6

Los dos ángulos se llaman adyacente, si hay un lado común y los otros dos son medias líneas adicionales o forman un ángulo recto.

La figura muestra que los ángulos adyacentes se complementan entre sí, ya que son continuación uno del otro.

Definición 7

Los dos ángulos se llaman vertical, si los lados de uno son medias líneas complementarias del otro o son continuación de los lados del otro. La siguiente imagen muestra una imagen de ángulos verticales.

Cuando las líneas rectas se cruzan, se obtienen 4 pares de ángulos adyacentes y 2 pares de ángulos verticales. A continuación se muestra en la imagen.

El artículo muestra las definiciones de ángulos iguales y desiguales. Veamos qué ángulo se considera mayor, cuál es menor y otras propiedades del ángulo. Dos figuras se consideran iguales si al superponerlas coinciden completamente. La misma propiedad se aplica al comparar ángulos.

Se dan dos ángulos. Es necesario llegar a una conclusión sobre si estos ángulos son iguales o no.

Se sabe que existe una superposición de los vértices de dos ángulos y de los lados del primer ángulo con cualquier otro lado del segundo. Es decir, si hay una coincidencia completa cuando los ángulos se superponen, los lados de los ángulos dados se alinearán completamente, los ángulos igual.

Puede ser que cuando se superpongan los lados no se alineen, entonces las esquinas desigual, más pequeño del cual consta de otro, y más contiene un ángulo completamente diferente. A continuación se muestran ángulos desiguales que no estaban alineados cuando se superpusieron.

Los ángulos rectos son iguales.

La medición de ángulos comienza midiendo el lado del ángulo que se está midiendo y su área interna, llenándola con ángulos unitarios y aplicándolos entre sí. Es necesario contar el número de ángulos trazados, ellos predeterminan la medida del ángulo medido.

La unidad de ángulo se puede expresar mediante cualquier ángulo mensurable. Existen unidades de medida generalmente aceptadas que se utilizan en ciencia y tecnología. Se especializan en otros títulos.

El concepto más utilizado grado.

Definición 8

Un grado Se llama ángulo al que tiene la ciento ochentava parte de un ángulo llano.

La designación estándar para un grado es “°”, luego un grado es 1°. Por lo tanto, un ángulo recto consta de 180 ángulos de un grado. Todas las esquinas disponibles se colocan firmemente entre sí y los lados de la anterior se alinean con la siguiente.

Se sabe que el número de grados de un ángulo es la medida misma del ángulo. Un ángulo desplegado tiene en su composición 180 ángulos apilados. La siguiente figura muestra ejemplos en los que la esquina se coloca 30 veces, es decir, una sexta parte de la desplegada, y 90 veces, es decir, la mitad.

Los minutos y segundos se utilizan para medir ángulos con precisión. Se utilizan cuando el valor del ángulo no es una designación de grado completo. Estas fracciones de grado permiten realizar cálculos más precisos.

Definición 9

en un minuto llamado sexagésima parte de un grado.

Definición 10

En un segundo llamado una sexagésima de minuto.

Un grado contiene 3600 segundos. Los minutos se denominan """ y los segundos, """. La designación se realiza:

1° = 60" = 3600 "" , 1 " = (1 60)° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600)° ,

y la designación para un ángulo de 17 grados 3 minutos y 59 segundos es 17° 3” 59””.

Definición 11

Pongamos un ejemplo de la designación de la medida en grados de un ángulo igual a 17 ° 3 "59 "". La entrada tiene otra forma: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Para medir ángulos con precisión, utilice un dispositivo de medición como un transportador. Al denotar el ángulo ∠ A O B y su medida en grados de 110 grados, se utiliza una notación más conveniente ∠ A O B = 110 °, que dice "El ángulo A O B es igual a 110 grados".

En geometría, se usa una medida de ángulo del intervalo (0, 180], y en trigonometría, una medida de grado arbitraria se llama ángulos de rotación. El valor de los ángulos siempre se expresa como un número real. Ángulo recto- Este es un ángulo que tiene 90 grados. Esquina filosa– un ángulo inferior a 90 grados, y desafilado- más.

Un ángulo agudo se mide en el intervalo (0, 90) y un ángulo obtuso - (90, 180). A continuación se muestran claramente tres tipos de ángulos.

Cualquier medida en grados de cualquier ángulo tiene el mismo valor. Un ángulo mayor tiene correspondientemente una medida en grados mayor que uno más pequeño. La medida en grados de un ángulo es la suma de todas las medidas en grados disponibles de los ángulos interiores. A continuación se muestra una figura que muestra el ángulo AOB, que consta de los ángulos AOC, COD y DOB. En detalle se ve así: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.

En base a esto, podemos concluir que suma todos los ángulos adyacentes son iguales a 180 grados, porque todos forman un ángulo llano.

De ello se deduce que cualquier los angulos verticales son iguales. Si consideramos esto como ejemplo, encontramos que los ángulos A O B y C O D son verticales (en el dibujo), entonces los pares de ángulos A O B y B O C, C O D y B O C se consideran adyacentes. En este caso, la igualdad ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° junto con ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° se consideran únicamente verdaderas. Por tanto tenemos que ∠ A O B = ∠ C O D . A continuación se muestra un ejemplo de la imagen y designación de capturas verticales.

Además de grados, minutos y segundos, se utiliza otra unidad de medida. Se llama radián. La mayoría de las veces se puede encontrar en trigonometría al denotar los ángulos de los polígonos. ¿Cómo se llama un radian?

Definición 12

Un ángulo en radianes llamado ángulo central, que tiene un radio de círculo igual a la longitud del arco.

En la figura, el radián se representa como un círculo, donde hay un centro, indicado por un punto, con dos puntos en el círculo conectados y transformados en radios O A y O B. Por definición, este triángulo A O B es equilátero, lo que significa la longitud del arco A B es igual a las longitudes de los radios O B y O A.

La designación del ángulo se considera "rad". Es decir, escribir 5 radianes se abrevia como 5 rad. A veces puedes encontrar una notación llamada pi. Los radianes no dependen de la longitud de un círculo dado, ya que las figuras tienen cierta limitación por el ángulo y su arco con el centro ubicado en el vértice del ángulo dado. Se consideran similares.

Los radianes tienen el mismo significado que los grados, sólo que la diferencia está en su magnitud. Para determinar esto, es necesario dividir la longitud del arco calculada del ángulo central por la longitud de su radio.

En la práctica utilizan convertir grados a radianes y radianes a grados para una resolución de problemas más cómoda. Este artículo contiene información sobre la conexión entre la medida de grados y el radian, donde podrás estudiar en detalle las conversiones de grados a radianes y viceversa.

Los dibujos se utilizan para representar visual y cómodamente arcos y ángulos. No siempre es posible representar y marcar correctamente tal o cual ángulo, arco o nombre. Los ángulos iguales se designan con el mismo número de arcos y los ángulos desiguales con un número diferente. El dibujo muestra la designación correcta de ángulos agudos, iguales y desiguales.

Cuando es necesario marcar más de 3 esquinas, se utilizan símbolos de arco especiales, como ondulados o dentados. No es tan importante. A continuación se muestra una imagen que muestra su designación.

Los símbolos de los ángulos deben mantenerse simples para no interferir con otros significados. Al resolver un problema, se recomienda resaltar solo los ángulos necesarios para la solución, para no saturar todo el dibujo. Esto no interferirá con la solución y la prueba, y también le dará una apariencia estética al dibujo.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Un ángulo es una figura geométrica que consta de dos rayos diferentes que emanan de un punto. En este caso, estos rayos se llaman lados del ángulo. El punto que es el inicio de los rayos se llama vértice del ángulo. En la imagen puedes ver el ángulo con el vértice en el punto ACERCA DE y las partes k Y metro.

A los lados del ángulo están marcados los puntos A y C. Este ángulo puede denominarse ángulo AOC. En el medio debe estar el nombre del punto en el que se sitúa el vértice del ángulo. También existen otras designaciones, ángulo O o ángulo km. En geometría, en lugar de la palabra ángulo, a menudo se escribe un símbolo especial.

Ángulo desarrollado y no expandido.

Si ambos lados de un ángulo están en la misma línea recta, entonces dicho ángulo se llama expandidoángulo. Es decir, un lado del ángulo es una continuación del otro lado del ángulo. La siguiente figura muestra el ángulo expandido O.

Cabe señalar que cualquier ángulo divide el avión en dos partes. Si el ángulo no está desplegado, entonces una de las partes se llama región interna del ángulo y la otra, región externa de este ángulo. La siguiente figura muestra un ángulo no desarrollado y marca las regiones exterior e interior de este ángulo.

En el caso de un ángulo desarrollado, cualquiera de las dos partes en las que divide el plano puede considerarse la región exterior del ángulo. Podemos hablar de la posición de un punto con respecto a un ángulo. Un punto puede estar fuera de la esquina (en la región exterior), en uno de sus lados o dentro de la esquina (en la región interior).

En la siguiente figura, el punto A se encuentra fuera del ángulo O, el punto B se encuentra a un lado del ángulo y el punto C se encuentra dentro del ángulo.

Ángulos de medición

Para medir ángulos existe un aparato llamado transportador. La unidad de ángulo es grado. Cabe señalar que cada ángulo tiene una medida determinada en grados, que es mayor que cero.

Dependiendo de la medida en grados, los ángulos se dividen en varios grupos.

Este artículo discutirá una de las formas geométricas básicas: un ángulo. Después de una introducción general a este concepto, nos centraremos en un tipo específico de figura de este tipo. El ángulo recto es un concepto importante en geometría, que será el tema principal de este artículo.

Introducción al ángulo geométrico

En geometría hay una serie de objetos que forman la base de toda ciencia. El ángulo se refiere a ellos y se define usando el concepto de rayo, así que comencemos por él.

Además, antes de comenzar a determinar el ángulo en sí, debe recordar varios objetos igualmente importantes en geometría: este es un punto, una línea recta en un plano y el plano mismo. Una línea recta es la figura geométrica más simple que no tiene principio ni fin. Un plano es una superficie que tiene dos dimensiones. Bueno, un rayo (o media línea) en geometría es parte de una línea que tiene un comienzo, pero no un final.

Usando estos conceptos, podemos afirmar que un ángulo es una figura geométrica que se encuentra enteramente en un determinado plano y consta de dos rayos divergentes con un origen común. Estos rayos se llaman lados de un ángulo y el comienzo común de los lados es su vértice.

Tipos de ángulos y geometría.

Sabemos que los ángulos pueden ser completamente diferentes. Por eso, un poco más abajo habrá una pequeña clasificación que te ayudará a comprender mejor los tipos de ángulos y sus principales características. Entonces, existen varios tipos de ángulos en geometría:

1. Ángulo recto. Se caracteriza por un valor de 90 grados, lo que significa que sus lados siempre son perpendiculares entre sí.
2. Esquina filosa. Estos ángulos incluyen a todos sus representantes que tienen un tamaño inferior a 90 grados.
3. Ángulo obtuso. Aquí pueden existir todos los ángulos, desde 90 hasta 180 grados.
4. Esquina desplegada. Tiene un tamaño de estrictamente 180 grados y exteriormente sus lados forman una línea recta.

El concepto de ángulo recto.

Ahora veamos el ángulo rotado con más detalle. Este es el caso cuando ambos lados se encuentran en la misma línea recta, lo que se puede ver claramente en la figura un poco más abajo. Esto significa que podemos decir con seguridad que en un ángulo invertido, uno de sus lados es esencialmente una continuación del otro.

Vale la pena recordar el hecho de que un ángulo así siempre se puede dividir mediante un rayo que emerge de su vértice. Como resultado, obtenemos dos ángulos, que en geometría se llaman adyacentes.

Además, la esquina desplegada tiene varias características. Para hablar del primero de ellos es necesario recordar el concepto de “bisectriz de ángulo”. Recuerda que este es un rayo que divide cualquier ángulo exactamente por la mitad. En cuanto al ángulo desplegado, su bisectriz lo divide de tal forma que se forman dos ángulos rectos de 90 grados. Esto es muy fácil de calcular matemáticamente: 180˚ (grado del ángulo girado): 2 = 90˚.

Si dividimos un ángulo girado por un rayo completamente arbitrario, como resultado siempre obtenemos dos ángulos, uno de los cuales será agudo y el otro obtuso.

Propiedades de las esquinas rotadas

Será conveniente considerar este ángulo, reuniendo todas sus propiedades principales, que es lo que hicimos en esta lista:

1. Los lados del ángulo girado son antiparalelos y forman una línea recta.
2. El ángulo de rotación es siempre de 180˚.
3. Dos ángulos adyacentes juntos forman siempre un ángulo llano.
4. Un ángulo completo, que mide 360˚, consta de dos desplegados y es igual a su suma.
5. La mitad de un ángulo llano es un ángulo recto.

Así, conociendo todas estas características de este tipo de ángulos, podremos utilizarlos para resolver una serie de problemas geométricos.

Problemas con ángulos rotados.

Para ver si has comprendido el concepto de ángulo recto, intenta responder las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es la magnitud de un ángulo llano si sus lados forman una recta vertical?
2. ¿Serán dos ángulos adyacentes si el primero mide 72˚ y el otro mide 118˚?
3. Si un ángulo completo consta de dos ángulos inversos, ¿cuántos ángulos rectos tiene?
4. Un ángulo llano es dividido por un rayo en dos ángulos de modo que sus medidas en grados estén en la proporción 1:4. Calcula los ángulos resultantes.

Soluciones y respuestas:

1. No importa cómo se ubique el ángulo girado, siempre es, por definición, igual a 180˚.
2. Los ángulos adyacentes tienen un lado en común. Por lo tanto, para calcular el tamaño del ángulo que forman juntos, solo necesitas sumar el valor de sus medidas en grados. Esto significa 72 +118 = 190. Pero, por definición, un ángulo invertido es 180˚, lo que significa que dos ángulos dados no pueden ser adyacentes.
3. Un ángulo llano contiene dos ángulos rectos. Y como el completo tiene dos desplegados, significa que serán 4 líneas rectas.
4. Si llamamos a y b a los ángulos deseados, entonces sea x el coeficiente de proporcionalidad para ellos, lo que significa que a=x, y en consecuencia b=4x. El ángulo girado en grados es 180˚. Y de acuerdo con sus propiedades de que la medida en grados de un ángulo es siempre igual a la suma de las medidas en grados de aquellos ángulos en los que se divide por cualquier rayo arbitrario que pase entre sus lados, podemos concluir que x + 4x = 180˚ , lo que significa 5x = 180˚. De aquí encontramos: x = a = 36˚ y b = 4x = 144˚. Respuesta: 36˚ y 144˚.

Si pudo responder todas estas preguntas sin indicaciones y sin mirar las respuestas, entonces está listo para pasar a la siguiente lección de geometría.

“Conceptos básicos de geometría” - Test de igualdad de un triángulo. Segmentos. Geometría. Ángulos adyacentes y verticales. Construcción de rectas paralelas. Construcción de un triángulo. Conclusiones. Las líneas son paralelas. Picos. Las formas geométricas más simples. ¿Qué figura se llama triángulo? Los segmentos iguales tienen longitudes iguales. Un ángulo es una figura geométrica que consta de un punto y dos rayos.

“Geometría en tablas” - Coordenadas de un punto y coordenadas de un vector en el espacio Producto escalar de vectores en el espacio Movimiento Cilindro Cono Esfera y bola Volumen de un paralelepípedo rectangular Volumen de un prisma recto y cilindro Volumen de un prisma inclinado Volumen de una pirámide Volumen de un cono Volumen de una esfera y área de una esfera. Tablas de geometría.

“Geometría 8vo grado” - Cada afirmación se basa en lo ya probado. Cada edificio tiene una base. El concepto del teorema. Un axioma es una afirmación cuya verdad se acepta sin prueba. Todo enunciado matemático obtenido mediante demostración lógica es un teorema. Entonces, al repasar los teoremas, puedes llegar a los axiomas.

“La geometría es una ciencia” - La geometría consta de dos apartados: planimetría y estereometría. ¿Qué figura geométrica era el signo distintivo de los pitagóricos? ¿Qué forma pensaban los pitagóricos que tenía el universo entero? Respuesta: 580 – 500 antes de Cristo era. ¿Cuándo existió la Antigua Grecia? Introducción. Respuesta: “Planicidad”. Los pitagóricos asociaron estrechamente la explicación de la estructura del mundo con la geometría.

"Términos geométricos" - Cono. Pirámide. Radio y centro. Diagonal. Geometría. Cuadrado. Rombo. Cubo Trapezoide. La aparición de términos geométricos. Punto. Línea. Cilindro. Hipotenusa y pierna. Esfera. Prisma. De la historia de los términos geométricos.

“Lo que estudia la geometría” - La palabra “paralelo” proviene del griego “parallelos” - caminar uno al lado del otro. Historia de la geometría. Las transformaciones se limitaron principalmente a similitudes. L=(P1+P2)/2 L – circunferencia P1 - perímetro de un cuadrado grande P2 - perímetro de un cuadrado pequeño. Vrecta Geometría en la Antigua Grecia. Musa de la Geometría, Louvre. Descubriremos de dónde vino y qué geometría solía ser.

Hay un total de 24 presentaciones en el tema.