Построение лекальных кривых осуществляют следующим образом:

Сначала определяют точки принадлежащие кривой а затем соединяют их с помощью лекала. К лекальным кривым относят так называемые конические сечения парабола, гипербола, эллипс, получаемые в результате сечения кругового конуса плоскостью, эвольвента, синусоида и другие

1. Построение эллипса.

2. Фокус эллипса

3. Построение параболы

6.Вычерчивание лекальных кривых.

Эллипс это коническое сечение которое относится к так называемым лекальным кривым. Эллипс, гипербола и парабола получаются в результате сечения кругового конуса плоскостью, синусоида, эвольвента и другие кривые.

Рисунок 41. Пересечение конуса плоскостью по эллипсу-(а) и эллипс-(б).

Для того чтобы построить лекальные кривые(парабола,эллипс,гипербола),определяют точки которые принадлежат кривой а затем все точки соединяются с помощью лекала. В случае когда рассекают поверхность кругового конуса плоскостью наклонной -Р,таким образом чтобы наклонная плоскость пересекла все образующие кругового конуса, то в самой плоскости сечения образуется эллипс.(Смотри рисунок 41, а).

Эллипс это плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний каждой из ее точек-М до двух заданных точек F1 и F2,-является постоянной величиной. Эта постоянная величина равняется большой оси эллипса MF1 + MF2=AB.малая ось эллипса CD а также большая ось AB являются взаимно перпендикулярны и одна ось делит другую по полам.

Рисунок 42. Построение эллипса по осям


Таким образом оси делят кривую эллипса на четыре попарно симметричных равных частях. Если из концов малой оси CD, как из центров описать дугу окружности радиусом,равным половине большой оси эллипса R=OA=OB,то она пересечет ее в точках F1 и F2,которые называются фокусами.

На рисунке 42 приводится пример построения эллипса по его осям.На заданных осях AB и CD,как на диаметрах строим две концентрические окружности с центром в точке О. Делим на произвольное число частей большую окружность и соединяем полученные точки прямыми с центром О.

Из точек пересечения 1; 2; 3; 4; со вспомогательными окружностями проводим отрезки горизонтальных и вертикальных прямых до их взаимного пересечения в точках E,F,K,M, которые принадлежат эллипсу. Далее с помощью лекала соединяются построенные точки плавной кривой и получают в результате эллипс.

Построение лекальных кривых,парабола

Рисунок 43. Пересечение конуса плоскостью по параболе. Построение параболы по фокусу и директрисе.

Если рассечь наклонной плоскостью Р круговой конус,параллельной одной из его образующих,то в плоскости сечения образуется парабола.(смотри рисунок 43 а).Парабола это незамкнутая плоская кривая линия. Каждая точка параболы расположена от данной прямой -MN,и от фокуса -F на одинаковом расстоянии.

Прямая MN является направляющей и расположена перпендикулярно оси параболы.Между направляющей -MN и фокусом -F, прямо посередине расположена вершина параболы А. Для того чтобы построить параболу по фокусу и заданной направляющей,через точку фокуса-F , проведем ось параболы -Х, перпендикулярно направляющей -MN.

Разделим пополам отрезок-EF и получим вершину параболы-А.От вершины параболы на произвольном расстоянии проведем прямые перпендикулярно оси параболы. Из точки -F радиусом который равен расстоянию-L, от соответствующей прямой до направляющей, например СВ, делаем на это прямой засечки. В данном случае точки С и В.

Таким образом построив несколько пар симметричных точек,проведем с помощью лекала через них плавную кривую. На рисунке(43 в) приводится пример построения параболы касательной к двум прямым ОА и ОВ в точках А и В. Отрезки ОА и ОВ делят на одинаковое число равных частей(например делят на восемь). После этого нумеруются полученные точки деления и соединяются прямыми 1-1; 2-2; 3-3 (смотри рисунок 43, в) и так далее. Эти прямые к параболической кривой являются касательными. В образованный прямыми контур далее вписывают плавную касательную кривую-параболу.

Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельно оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (смотри рисунок 45, а).

Рисунок 45. Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б).

Гиперболой (рисунок 45,б) называют плоскую кривую у которой разность расстояний от каждой ее точки до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная расстоянию между ее вершинами a и b, например SF1-SF2=ab. У гиперболы две оси симметрии -действительная АВ и мнимая CD.

Две прямые KL и K1 L1, проходящие через центр О гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимптотами. Гиперболу можно построить по заданным вершинам a и b и фокусам F1 и F2. Вершины гиперболы определяем, вписывая прямоугольник в окружность построенном на фокусном расстоянии (отрезке F1 и F2), как на диаметре.

На действительной оси АВ справа от фокуса F2 намечаем произвольные 1, 2, 3, 4, … Из фокусов F1 и F2 проводим дуги окружностей сначала радиусом а-1, затем b-1 до взаимного пересечения по обе стороны от действительной оси гиперболы. Далее выполним взаимное пересечение следующей пары дуг радиусами а-2 и b-2(точка S) и так далее.

Полученные точки пересечения дуг принадлежат правой ветви гиперболы. Точки левой ветви будут симметричны построенным точкам относительно мнимой оси CD.

Синусоидой называется проекция траектории точки,движущейся по цилиндрической винтовой линии, на плоскость, параллельную оси цилиндра. Движение точки складывается из равномерно -вращательного движения (вокруг оси цилиндра) и равномерно-поступательного (параллельно от цилиндра).

Рисунок 46. Построение синусоиды

Синусоида представляет собой плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла. для построения синусоиды (рисунок 46) через центр О окружности диаметра D проведем прямую ОХ и на ней отложим отрезок О1 А, равный длине окружности π D . Этот отрезок и окружность делим на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проведем взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединим с помощью лекала плавной кривой.

Вычерчивание лекальных кривых

Лекальные кривые строят по точкам. Соединяют эти точки с помощью лекал, предварительно от руки прорисовывая кривую по точкам. принцип соединения отдельных точек кривой заключается в следующем:

Выбираем ту часть дуги лекала, которая лучше всего совпадает с наибольшим количеством точек очерчиваемой кривой. Далее проведем не всю дугу кривой, совпадащую с лекалом, а лишь среднюю часть ее. После этого подберем другую часть лекала, но так, чтобы эта часть касалась примерно одной трети проведенной кривой и не менее двух последующих точек кривой, и так далее. Таким образом обеспечивается плавный переход между отдельными дугами кривой.

РЕКОМЕНДУЕМ выполнить перепост статьи в соцсетях!

Построение эллипса

Эллипс - замкнутая плоская выпуклая кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек, называемых фокусами, лежащих на большой оси постоянная, и равна длине большой оси. Построение овала по двум осям (рисунок 23) выполняется следующим образом:

• - проводят осевые линии, на которых симметрично от точки пересечения O откладывают отрезки AB и CD, равные большой и малой осям эллипса;
• - строят две окружности радиусами равными половине осей эллипса с центром в точке пересечения осей;
• - делят окружность на двенадцать равных частей. Деление окружности выполняют как показано в п.2.3;
• -.через полученные точки проводят лучи-диаметры;
• - из точек пересечения лучей с соответствующими окружностями проводят прямые линии параллельно осям эллипса до их взаимного пересечения в точках лежащих на эллипсе;
• - полученные точки соединяют плавной кривой линией при помощи лекал. При построении лекальной кривой линии необходимо выбирать и располагать лекало так, чтобы соединялось как минимум четыре-пять точек.

Существуют и другие способы построения эллипса.

Построение параболы

Парабола - плоская кривая линия, каждая точка которой равноудалена от директрисы DD 1 - прямой, перпендикулярной к оси симметрии параболы, и от фокуса F, точки расположенной на оси симметрии. Расстояние KF между директрисой и фокусом называется параметром параболы p .

На рисунке 24 показан пример вычерчивания параболы по вершине O, оси OK и хорде CD. Построение выполняют следующим образом:

• - проводят горизонтальную прямую линию на которой отмечают вершину O и откладывают ось OK.;
• - через точку K проводят перпендикуляр на котором симметрично вверх и вниз откладывают длину хорды параболы;
• - строят прямоугольник ABCD, в котором одна сторона равна оси, а другая - хорде параболы;
• - сторону BC делят на несколько равных частей, а отрезок KC на столько же равных частей;
• - из вершины параболы О проводят лучи через точки 1, 2, и т.д., а через точки 1 1 , 2 1 , и т. д.;
• - проводят прямые параллельные оси и определяют точки пересечения лучей с соответствующими параллельными прямыми, например, точку пересечения луча О1 с прямой О1 1 , которая принадлежит параболе;
• - полученные точки соединяют плавной кривой линией под лекало. Вторая ветвь параболы строится аналогично.

Существуют и другие способы построения параболы.

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

Рубрика: |

Построение параболы является одной из известных математических операций. Довольно часто она применяется не только в научных целях, но и в чисто практических. Давайте узнаем, как совершить данную процедуру при помощи инструментария приложения Excel.

Парабола представляет собой график квадратичной функции следующего типа f(x)=ax^2+bx+c . Одним из примечательных его свойств является тот факт, что парабола имеет вид симметричной фигуры, состоящей из набора точек равноудаленных от директрисы. По большому счету построение параболы в среде Эксель мало чем отличается от построения любого другого графика в этой программе.

Создание таблицы

Прежде всего, перед тем, как приступить к построению параболы, следует построить таблицу, на основании которой она и будет создаваться. Для примера возьмем построение графика функции f(x)=2x^2+7 .

Построение графика

Как уже было сказано выше, теперь нам предстоит построить сам график.

Редактирование диаграммы

Теперь можно немного отредактировать полученный график.

Кроме того, можно совершать любые другие виды редактирования полученной параболы, включая изменение её названия и наименований осей. Данные приёмы редактирования не выходят за границы действий по работе в Эксель с диаграммами других видов.

Как видим, построение параболы в Эксель ничем принципиально не отличается от построения другого вида графика или диаграммы в этой же программе. Все действия производятся на основе заранее сформированной таблицы. Кроме того, нужно учесть, что для построения параболы более всего подходит точечный вид диаграммы.

Эллипс. Если рассечь поверхность кругового конуса наклонной плоскостью Р так, чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится эллипс (рисунок 65).

Рисунок 65

Эллипс (рисунок 66) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М ) до двух заданный точек F 1 и F 2 – фокусов эллипса – есть величина постоянная, равная длине его большой оси AB (например, F 1 M + F 2 M = AB ).Отрезок AB называется большой осью эллипса, а отрезок CD – его малой осью. Оси эллипса пересекаются в точке O – центре эллипса, а его размер определяет длины большой и малой осей. Точки F 1 и F 2 расположены на большой оси AB симметрично относительно точки O и удалены от концов малой оси (точек С и D ) на расстояние, равное половине большой оси эллипса .

Рисунок 66

Существует несколько способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рисунок 67). В этом случае задают центр эллипса – точку O и через нее проводят две взаимно перпендикулярные прямые (рисунок 67, а). Из точки О описывают две окружности радиусами, равными половине большой и малой осей. Большую окружность делят на 12 равных частей и точки деления соединяют с точкой О . Проведенные линии разделят меньшую окружность также на 12 равных частей. Затем через точки деления меньшей окружности проводят горизонтальные прямые (или прямые, параллельные большой оси эллипса), а через точки деления большей окружности – вертикальные (или прямые, параллельные малой оси эллипса). Точки их пересечения (например, точка М ) принадлежат эллипсу. Соединив полученные точки плавной кривой, получают эллипс (рисунок 67, б).

Рисунок 67

Парабола. Если круговой конус рассечь плоскостью Р , параллельной одной из его образующих, то в плоскости сечения получится парабола (рисунок 68).

Рисунок 68

Парабола (рисунок 69) – плоская кривая, каждая точка которой удалена на одинаковое расстояние от заданной прямой DD 1 , называемой директрисой , и точки F – фокуса параболы . Например, для точки М отрезки MN (расстояние до директрисы) и MF (расстояние до фокуса) равны, т. е. MN = MF .

Парабола имеет форму разомкнутой кривой с одной осью симметрии, которая проходит через фокус параболы – точку F и расположена перпендикулярно к директрисе DD 1 .Точна A , лежащая на середине отрезка OF , называется вершиной параболы . Расстояние от фокуса до директрисы – отрезок OF = 2´OA – обозначают буквой р и называют параметром параболы . Чем больше параметр р , тем резче ветви параболы отходят от ее оси. Отрезок, заключенный между двумя точками параболы, расположенными симметрично относительно оси параболы, называется хордой (например, хорда MК ).

Рисунок 69

Построение параболы по ее директрисе DD 1 и фокусу F (рисунок 70, а). Через точку F перпендикулярно к директрисе проводят ось параболы до пересечения ее с директрисой в точке О. Отрезок OF = p делят пополам и получают точку A – вершину параболы. На оси параболы отточки A откладывают несколько постепенно увеличивающихся отрезков. Через точки деления 1, 2, 3 ит. д. проводят прямые, параллельные директрисе. Приняв фокус параболы за центр, описывают дуги радиусом R 1 =L 1 1 ,радиусом R 2 = L 2 до пересечения с прямой, проведенной через точку 2 ,и т. д. Полученные точки принадлежат параболе. Вначале их соединяют тонкой плавной линией от руки, затем обводят по лекалу.

Построение параболы по ее оси, вершине А и промежуточной точке М (рисунок 70, б).Через вершину A проводят прямую, перпендикулярную к оси параболы, а через точку М – прямую, параллельную оси. Обе прямые пересекаются в точке B . Отрезки AB и BM делят на одинаковое число равных частей, а точки деления нумеруют в направлениях, указанных стрелками. Через вершину A и точки 1 , 2 , 3 , 4 проводят лучи, а из точек I , II , III , IV – прямые, параллельные оси параболы. На пересечении прямых, обозначенных одинаковым номером, расположены точки, принадлежащие параболе. Обе ветви параболы одинаковы, поэтому другую ветвь строят симметрично первой с помощью хорд.

Рисунок 70

Построение параболы, касательной к двум прямым OA и ОВ в данных на них точках A и В (рисунок 71, б). Отрезки OA и ОВ делят на одинаковое число равных частей (например, на 8 частей). Полученные точки деления нумеруют и одноименные точки соединяют прямыми 1–1 , 2 –2 , 3 –3 и т. д. Эти прямые являются касательными к параболической кривой. Далее в образованный прямыми контур вписывают плавную касательную кривую – параболу.

Рисунок 71

Гипербола. Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельной оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рисунок 72, а).

Гиперболой (рисунок 72, б)называется незамкнутая плоская кривая, представляющая собой множество точек, разность расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная.

Рисунок 72

Постоянные точки F 1 и F 2 называются фокусами, а расстояние между ними – фокусным расстоянием. Отрезки прямой (F 1 M и F 2 M ), соединяющие какую-нибудь точку (M ) кривой с фокусами, называются радиус–векторами гиперболы. Разность расстояний точки от фокусов F 1 и F 2 есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами а и b гиперболы; например, для точки M будем иметь: F 1 M -F 2 M = ab. Гипербола состоит из двух незамкнутых ветвей, имеет две взаимно перпендикулярные оси – действительнуюАВ и мнимуюCD. Прямые pq и rs, проходящие через центр O ,называются асимптотами.

Построение гиперболы по данным асимптотам pq и rs, фокусам F 1 и F 2 приведено на рисунке 72, б.

Действительная ось АВ гиперболы является биссектрисой угла, образованного асимптотами. Мнимая ось CD перпендикулярна АВ и проходит через точку О. Имея фокусы F 1 и F 2 , определяют вершины а и b гиперболы, для чего на отрезке F 1 F 2 строят полуокружность, которая пересекает асимптоты в точках m и п. Из этих точек опускают перпендикуляры на ось AB и на пересечении с ней получают вершины а и b гиперболы.

Для построения правой ветви гиперболы на прямой АВ правее фокуса F 1 намечают произвольные точки 1 , 2 , 3 , ..., 5. Точки V и V1 гиперболы получаются, если принять отрезок а5 за радиус и из точки F2 провести дугу окружности, которую засекают из точки F 1 , радиусом, равным b5. Остальные точки гиперболы строятся по аналогии с описанным.

Иногда приходится строить гиперболу, у которой асимптоты ОХ и OY взаимно перпендикулярны (рисунок 73). В этом случае действительная и мнимая оси будут бисс ектрисами прямых углов. Для построения задается одна из точек гиперболы, например точка А.

Рисунок 73

Через точку A проводят прямые АK и AM , параллельные осям ох и oу .Из точки O перес ечения ос ей проводят прямые, перес екающие прямые AM и АK в точках 1 , 2 , 3 , 4 и 1" , 2" , 3" , 4" . Далее из точек пересечения с этими прямыми проводят вертикальные и горизонтальные отрезки до их взаимного пересечения в точках I, II, III,IV и т. д. Полученные точки гиперболы соединяют спомощью лекала. Точки 1, 2, 3, 4 , расположенные на вертикальной прямой, берутся произвольно.

Эвольвента окружности или развертка окружности. Эвольвентой окружности называется плоская кривая, которую описывает каждая точка прямой линии, если эту прямую катить без скольжения по неподвижной окружности (траектория точек окружности, образованная ее развертыванием и выпрямлением) (рисунок 74).

Для построения эвольвенты достаточно задать диаметр окружности D и начальное положение точки A (точку A 0 ). Через точку A 0 проводят касательную к окружности и на ней откладывают длину заданной окружности D . Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. На каждой касательной откладывают отрезки, взятые с горизонтальной прямой и соответственно равные 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = В A 0 2 , 3A 3 = А 0 3 и т. д.; полученные точки соединяют по лекалу.

Рисунок 74

Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка A , равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки – полюса О и одновременно равномерно удаляющаяся от него (рисунок 75). Расстояние, пройденное точкой при повороте прямой на 360°, называют шагом спирали. Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят исходя из определения кривой, задаваясь шагом и направлением вращения.

Построение спирали Архимеда по заданному шагу (отрезок ОА) и направлению вращения по часовой стрелке (рисунок 75).Через точку О проводят прямую, откладывают на ней величину шага спирали OA и, приняв его за радиус, описывают окружность. Окружность и отрезок OA делят на 12 равных частей. Через точки деления окружности проводят радиусы O1 , O2 , O3 и т. д. и на них от точки О откладывают при помощи дуг соответственно 1/12, 2/12, 3/12 и т. д. радиуса окружности. Полученные точки соединяют по лекалу плавной кривой.

Спираль Архимеда является незамкнутой кривой, и при необходимости можно построить любое число ее витков. Для построения второго витка описывают окружность радиусом R = 2 OA и повторяют все предыдущие построения.

Рисунок 75

Синусоида. Синусоидой называется проекция траектории точки, движущейс я по цилиндричес кой винтовой линии, на плоскость, параллельную оси цилиндра. Движение точки складывается из равномерно–вращательного движения (вокруг оси цилиндра) и равномерно–поступательного (параллельно оси цилиндра). Синусоида – это плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла.

Для построения синусоиды (рисунок 76) через центр О окружности диаметра D проводят прямую ОХ и на ней откладывают отрезок O 1 A , равный длине окружности D. Этот отрезок и окружность делят на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проводят взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединяют с помощью лекала плавной кривой.

Рисунок 76

Кардиоида . Кардиоидой (рисунок 77) называетс я замкнутая траектория точки окружнос ти, которая катится без скольжения по неподвижной окружности таким же радиусом.

Рисунок 77

Из центра О проводят окружность заданного радиуса и берут на ней произвольную точку M. Через эту точку проводят ряд секущих. На каждой секущей по обе стороны от точки пересечения ее с окружностью откладывают отрезки, равные диаметру окружности M1. Так, секущая III3МIII 1 пересекает окружность в точке 3 ;от этой точки откладывают отрезки 3III и 3III 1 , равные диаметру M1. Точки III и III 1 , принадлежат кардиоиде. По аналогии, с екущая IV4MIV 1 перес екает окружность в точке 4; от этой точки откладывают отрезки IV4 и 4IV 1 , равные диаметру M1, получают точки IV и IV 1 и т. д.

Найденные точки соединяют кривой, как указано на рисунке 77.

Циклоидальные кривые . Циклоиды– плоские кривые линии, описываемые точкой, принадлежащей окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или окружности. Если при этом окружность катится по прямой линии, то точка описывает кривую, называемую циклоидой .

Если окружность катится по другой окружности, находясь вне ее (по выпуклой части), то точка описывает кривую, называемую эпициклоидой.

Если же окружность катится по другой окружности, находясь внутри ее (по вогнутой части), то точка описывает кривую, называемую гипоциклоидой. Окружность, на которой расположена точка, называется производящей. Линия, по которой катится окружность, называется направляющей.

Для построения циклоиды (рисунок 78) проводят окружность заданного радиуса R ; на ней берут начальную точку A и проводят направляющую прямую АВ, по которой катится окружность.

Рисунок 78

Делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Если точка A перемес титс я в положение A 12 , то отрезок AA 12 будет равен длине заданной окружнос ти, т. е. . Проводят линию центров О – O 12 производящей окружнос ти, равную , и делят ее на 12 равных частей. Получают точки O 1 , O 2 , O 3 , ..., O 12 , являющиеся центрами производящей окружнос ти. Из этих точек проводят окружнос ти (или дуги окружнос тей) заданного радиуса R , которые касаются прямой АВ в точках 1,2, 3, ..., 12. Если от каждой точки касания отложить на соответствующей окружности длину дуги, равную величине, на которую переместилась точка A , то получим точки, принадлежащие циклоиде. Например, для получения точки A 5 циклоиды следует из центра O 5 провести окружность и от точки касания 5 отложить по окружности дугу А5, равную А5", или из точки 5" провести прямую, параллельную АВ, до пересечения в точке A 5 с проведенной окружностью. Аналогично строят и все другие точки циклоиды.

Эпициклоида строится следующим образом. На рисунке79 изображены производящая окружность радиус а R с центром O 0 , начальная точка A на ней и дуга направляющей окружнос ти радиус а R 1 , по которой катитс я окружность. Построение эпициклоиды аналогично построению циклоиды, а именно: делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1" , 2" , 3" , ...,12"), каждую часть этой окружности откладывают от точки A по дуге АВ 12 раз (точки 1 , 2 , 3 , ..., 12) и получают длину дуги AA 12 . Эту длину можно определить с помощью угла .

Далее из центра О радиусом, равным OO 0 , наносят линию центров производящей окружности и, проводя радиусы 01 , 02 , 03 , ...,012 ,продолженные до пересечения с линией центров, получают центры О 1 , О 2 , ..., O 12 производящей окружности. Из этих центров радиусом, равным R , проводят окружности или дуги окружностей, на которых строят ис комые точки кривой; Так, для получения точки A 4 с ледует провес ти дугу окружнос ти радиусом O4" до пересечения с окружностью, проведенной из центра O 4 . Аналогично строятся и другие точки, которые затем соединяются плавной кривой.

Рисунок 79

Похожая информация.