ความเค้นหลักระหว่างการดัดงอ การทดสอบกำลังรับแรงดัดงอของคานเต็มรูปแบบ

ในกรณีที่มีการดัดงอตามขวางแบบเรียบ เมื่อโมเมนต์การดัดยังทำหน้าที่ในส่วนของลำแสงด้วย มและแรงเฉือน ถามไม่ใช่แค่ปกติเท่านั้น
แต่ยังเกิดแรงเฉือนอีกด้วย .

ความเค้นปกติระหว่างการดัดงอตามขวางคำนวณโดยใช้สูตรเดียวกับการดัดแบบบริสุทธิ์:

;
.(6.24)

ป

รูปที่.6.11. โค้งแบน

เมื่อได้สูตร เราจะตั้งสมมติฐานบางประการ:

แรงเฉือนเน้นที่การกระทำในระยะห่างเท่ากัน ที่จากแกนกลาง ค่าคงที่ตลอดความกว้างของคาน

ความเค้นในวงสัมผัสมีอยู่ทุกหนทุกแห่งขนานกับแรง ถาม.

ให้เราพิจารณาลำแสงคานยื่นที่มีการดัดงอตามขวางภายใต้การกระทำของแรง ร. มาสร้างแผนภาพแรงภายในกันดีกว่า เกี่ยวกับ ย, และ ม z .

เรื่องระยะทาง xจากปลายคานที่ว่างเราเลือกส่วนพื้นฐานของลำแสงที่มีความยาว งxและมีความกว้างเท่ากับความกว้างของคาน ข. ให้เราแสดงแรงภายในที่กระทำตามขอบขององค์ประกอบ: ที่ขอบ ซีดีแรงเฉือนเกิดขึ้น ถาม ยและโมเมนต์การดัดงอ ม zและใกล้จะถึงแล้ว เกี่ยวกับ– แรงเฉือนด้วย ถาม ยและโมเมนต์การดัดงอ ม z +ดีเอ็ม z(เพราะ ถาม ยคงที่ตลอดความยาวของคานและโมเมนต์ ม zการเปลี่ยนแปลงรูปที่ 6.12) เรื่องระยะทาง ที่ตัดส่วนหนึ่งขององค์ประกอบออกจากแกนกลาง เกี่ยวกับคงเราจะแสดงความเค้นที่กระทำตามขอบขององค์ประกอบผลลัพธ์ MBCNและพิจารณาความสมดุลของมัน ไม่มีแรงกดบนใบหน้าที่เป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวด้านนอกของลำแสง ที่ด้านข้างขององค์ประกอบจากการกระทำของโมเมนต์การดัด ม zความเครียดตามปกติเกิดขึ้น:

; (6.25)

. (6.26)

นอกจากนี้บนใบหน้าเหล่านี้ยังได้รับอิทธิพลจากแรงเฉือนอีกด้วย ถาม ย, แรงเฉือนเกิดขึ้น ความเค้นเดียวกันนี้เกิดขึ้นตามกฎการจับคู่ความเค้นในวงสัมผัสที่ส่วนบนขององค์ประกอบ

เรามาสร้างสมการสมดุลสำหรับองค์ประกอบกันดีกว่า MBCNโดยฉายความเค้นผลลัพธ์ที่พิจารณาลงบนแกน x:

. (6.29)

การแสดงออกภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลแสดงถึงโมเมนต์คงที่ของใบหน้าด้านข้างขององค์ประกอบ MBCNสัมพันธ์กับแกน xเราก็เลยเขียนได้

. (6.30)

เมื่อพิจารณาว่าตามการพึ่งพาส่วนต่างของ Zhuravsky D.I. ในระหว่างการดัด

, (6.31)

การแสดงออกสำหรับ แทนเจนต์ความเค้นระหว่างการดัดงอตามขวางสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ ( สูตรของ Zhuravsky)

. (6.32)

มาวิเคราะห์สูตรของ Zhuravsky กัน

ถาม ย– แรงเฉือนในส่วนที่พิจารณา

เจ z – โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน z;

ข– ความกว้างของหน้าตัดตรงจุดที่กำหนดความเค้นเฉือน

– โมเมนต์คงที่สัมพันธ์กับแกน z ของส่วนที่อยู่เหนือ (หรือด้านล่าง) เส้นใยซึ่งหาความเค้นเฉือน:

, (6.33)

ที่ไหน และ เอฟ" คือพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงและพื้นที่ส่วนที่พิจารณาของหน้าตัดตามลำดับ

6.6 การตรวจสอบความแข็งแรงเต็มที่ ส่วนอันตรายและจุดอันตราย

ในการตรวจสอบความแข็งแรงในการดัดงอของแรงภายนอกที่กระทำต่อลำแสงจะมีการสร้างไดอะแกรมของการเปลี่ยนแปลงแรงภายในตามความยาวของมันและกำหนดส่วนที่เป็นอันตรายของลำแสงซึ่งแต่ละส่วนจำเป็นต้องทำการทดสอบความแข็งแรง

เมื่อตรวจสอบความแข็งแกร่งของส่วนดังกล่าวอย่างเต็มที่แล้ว ก็จะมีอย่างน้อยสามส่วน (บางครั้งก็ตรงกัน):

ส่วนที่มีการโมเมนต์การดัดงอ ม zถึงค่าสัมบูรณ์สูงสุด

ส่วนที่มีแรงเฉือน ถาม ยถึงค่าสัมบูรณ์สูงสุด

ส่วนที่มีการโมเมนต์การดัดงอ ม z และแรงเฉือน ถาม ยเข้าถึงค่าที่ค่อนข้างมากในค่าสัมบูรณ์

ในแต่ละส่วนที่อันตรายจำเป็นต้องสร้างไดอะแกรมของความเค้นปกติและแรงเฉือนเพื่อค้นหาจุดอันตรายของส่วนนั้น (ทำการทดสอบความแข็งแรงสำหรับแต่ละจุด) ซึ่งก็จะมีอย่างน้อยสามจุดด้วย : :

จุดที่ทำให้เกิดความเครียดตามปกติ ไปถึงค่าสูงสุดนั่นคือจุดบนพื้นผิวด้านนอกของลำแสงที่อยู่ห่างจากแกนกลางของส่วนนั้นมากที่สุด

จุดที่เกิดแรงเฉือน ถึงค่าสูงสุด - จุดที่วางอยู่บนแกนกลางของส่วน

จุดที่ทั้งความเค้นปกติและแรงเฉือนถึงค่าที่มากเพียงพอ ​​(การทดสอบนี้เหมาะสมสำหรับส่วนต่างๆ เช่น T-beams หรือ I-beams ซึ่งความกว้างของส่วนตามความสูงไม่คงที่)

ในระหว่างการดัดงอตามขวาง พร้อมกับโมเมนต์การดัดงอ แรงตามขวางจะกระทำในส่วนดังกล่าว ซึ่งเป็นผลจากความเค้นในแนวเส้นสัมผัส

ผลที่ตามมาของการกระทำของความเค้นในวงสัมผัสคือการบิดเบือนรูปร่างหน้าตัดซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของส่วนระนาบ ประการแรกส่วนนี้อาจมีประสบการณ์ เดอเพลียตโช,เหล่านั้น. ไม่แบน ประการที่สองส่วนหลังจากการเสียรูปจะไม่ตั้งฉากกับแกนโค้งของลำแสง

ผลกระทบเหล่านี้ถูกนำมาพิจารณาในทฤษฎีที่ซับซ้อนมากขึ้นของการดัดงอแท่ง ในเวลาเดียวกัน สำหรับปัญหาทางวิศวกรรมจำนวนมาก สูตรที่ได้รับสำหรับการดัดแบบบริสุทธิ์สามารถสรุปได้ในกรณีของการดัดตามขวาง การประเมินขีดจำกัดของการบังคับใช้สูตรเหล่านี้และความรับผิดชอบต่อผลลัพธ์ที่ได้รับนั้นอยู่ในความสามารถของเครื่องคิดเลข

เพื่อกำหนดค่าของความเค้นปกติระหว่างการดัดงอตามขวางจึงมีการใช้สูตร (5.10) อย่างกว้างขวาง ต่อไป เราจะแสดงว่าในกรณีของแรงตามขวางคงที่ สูตรนี้ให้ผลลัพธ์ที่แน่นอน และในกรณีของแรงตามขวางแบบแปรผัน ผลลัพธ์ที่ได้สำหรับการกำหนดเส้นปกติ

สูตรแสดงข้อผิดพลาดในการสั่งซื้อ - ที่ไหน ชม.- ความสูงของส่วน; / - ความยาวลำแสง

ในการหาขนาดของความเค้นในแนวเส้นสัมผัส ให้พิจารณาองค์ประกอบลำแสงที่มีความยาว ดีเอ็กซ์(รูปที่ 5.8)

ข้าว. 5.8.

ในส่วนด้านขวาและด้านซ้ายขององค์ประกอบ ความเค้นปกติจะแตกต่างกันโดย s/o ซึ่งเกิดจากความแตกต่างในค่าของโมเมนต์การดัดที่ คุณดีเอ็มคำที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงใน t ตามความยาว ดีเอ็กซ์,อาจละเลยเป็นปริมาณของความเล็กที่สูงกว่าได้

ให้เราตั้งสมมติฐาน: ความเค้นในวงสัมผัสในส่วนนี้จะมีทิศทางขนานกับแรงเฉือนที่กระทำในส่วนนี้ ถาม

ให้เรากำหนดค่าของความเค้นแทนเจนต์ ณ จุดที่คั่นด้วยระยะทาง ที่จากแกนกลาง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ตัดเครื่องบินออก ซีดีจากความยาวขององค์ประกอบลำแสง ดีเอ็กซ์ส่วนหนึ่ง เตียง.

ในหน้าตัดที่ความสูง ที่การกระทำของความเค้นแทนเจนต์คือ ในเวลาเดียวกันในส่วนที่ตั้งฉากกับมันนั่นคือ ในระนาบขนานกับระนาบ เอ็กซ์แซด,ตามกฎการจับคู่ของความเค้นในวงโคจร ความเค้นในวงโคจรที่มีขนาดเท่ากันจะทำงาน

มาสร้างสมการสมดุลสำหรับองค์ประกอบหนึ่งโดยฉายแรงทั้งหมดที่กระทำต่อองค์ประกอบนี้ไปยังทิศทางของแกน เอ็กซ์ให้เราคำนวณอินทิกรัลที่รวมอยู่ในสมการสมดุลภายในส่วนบนของส่วน ก*:

จากผลของการเปลี่ยนแปลง เราได้สูตรต่อไปนี้ในการคำนวณความเค้นในวงสัมผัส:

ตามสูตร (5.10) และคำนึงถึงความสัมพันธ์ของบัญชี (5.3) เราพบอนุพันธ์ของความเครียดปกติ:

และนำค่านี้มาพิจารณาในการแสดงออกของความเค้นเฉือน:

เป็นผลให้เราได้รับสูตรต่อไปนี้สำหรับการคำนวณความเค้นแทนเจนต์:

ที่ไหน ถาม - แรงเฉือนในส่วน; ส* - โมเมนต์คงที่ของส่วนตัดของส่วนที่มีพื้นที่ L* สัมพันธ์กับแกนกลาง / izg - โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนกลาง ชม-ความกว้างของหน้าตัด ณ ตำแหน่งที่กำหนดความเค้นเฉือน

เรียกว่าสูตร (5.21) สูตรจูราฟสกี้ ถึง

พิจารณาคานที่มีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 5.9, ก)ให้เราพิจารณาความเค้นปกติและแรงเฉือนในส่วนที่เป็นอันตราย ส่วน L เป็นอันตรายซึ่งโมเมนต์การดัดสูงสุด M зг = -И ทำหน้าที่ สำหรับแรงตามขวางค่าของมันในส่วนใด ๆ ของลำแสงจะคงที่และเท่ากัน -ฟ.

ข้าว. 5.9.

ตามสูตร (5.15) และ (5.20) เรากำหนดค่าของความเครียดปกติสูงสุด:

Zhuravsky Dmitry Ivanovich (1828-1891) - นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรเครื่องกลชาวรัสเซีย ผู้เชี่ยวชาญด้านการก่อสร้างสะพานและกลศาสตร์โครงสร้าง เป็นคนแรกที่แก้ปัญหาในการพิจารณาความเค้นเฉือนระหว่างการดัดงอตามขวางของคาน

ให้เราคำนวณปริมาณที่รวมอยู่ในสูตร (5.21):

ณ จุดตัดแบ่งตามระยะทาง ที่จากแกนที่เป็นกลาง จะได้ค่าของความเค้นเฉือน

แรงดันไฟฟ้าสูงสุดเกิดขึ้นที่ ย = 0 ในเส้นใยที่อยู่ในแกนกลาง 0ต.

แรงดันไฟฟ้านี้อย่างเป็นทางการมีค่าเป็นลบ แต่สามารถละเว้นเครื่องหมายได้เนื่องจากไม่สำคัญสำหรับการคำนวณ

ให้เราประมาณอัตราส่วนของค่าสูงสุดของความเค้นปกติและวงสัมผัสที่เกิดขึ้นในส่วนของลำแสง:

ตามแผนภาพการออกแบบคานสันนิษฐานว่า - 1. จากนี้ไปความเครียดในวงสัมผัสจะมีลำดับความสำคัญที่สูงกว่าเมื่อเทียบกับความเค้นปกติ

ให้เราสรุปค่าประมาณ (5.24) สำหรับคานความยาว / และขนาดหน้าตัดลักษณะเฉพาะ ก.โดยมีแรงเฉือนเท่ากับ ฉโมเมนต์การดัดประมาณว่า M โค้ง ~ FI.สำหรับค่าคุณลักษณะของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วน โมเมนต์คงที่ของส่วนของส่วน และโมเมนต์ความต้านทานต่อการดัดงอ เราได้ค่าประมาณต่อไปนี้:

ดังนั้น สำหรับค่าความเค้นปกติและค่าแทนเจนต์สูงสุด การประมาณต่อไปนี้จึงใช้ได้:

ในที่สุดเราก็ได้ค่าประมาณอัตราส่วนของความเค้นในวงสัมผัสสูงสุดและความเค้นปกติดังต่อไปนี้:

ค่าประมาณที่ได้รับสำหรับหน้าตัดสี่เหลี่ยมจำเพาะสามารถขยายไปยังกรณีของหน้าตัดที่กำหนดเองได้ โดยมีเงื่อนไขว่าหน้าตัดนั้นถือว่ามีขนาดใหญ่ สำหรับโปรไฟล์ที่มีผนังบาง ข้อสรุปข้างต้นเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของการละเลยความเค้นในวงสัมผัสเมื่อเปรียบเทียบกับความเค้นปกตินั้นไม่เป็นความจริงเสมอไป

ควรสังเกตว่าเมื่อได้รับสูตร (5.21) เราไม่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์ และในขณะที่ดำเนินการแปลงเกิดข้อผิดพลาดดังต่อไปนี้ กล่าวคือ สูตรสำหรับความเค้นปกติที่เราใช้นั้นได้มาภายใต้สมมติฐานที่ว่าสมมติฐานของส่วนระนาบนั้นถูกต้อง กล่าวคือ ในกรณีที่ไม่มีการตัดขวาง ด้วยการใช้แรงเค้นแทนเจนต์กับองค์ประกอบ เราอนุญาตให้มีความเป็นไปได้ที่มุมฉากจะบิดเบี้ยว จึงเป็นการละเมิดสมมติฐานที่กล่าวมาข้างต้น ดังนั้นสูตรการคำนวณที่ได้จึงเป็นค่าประมาณ แผนภาพความเค้นเฉือนที่แสดงในรูปที่. 5.9, ขอธิบายลักษณะของความโค้งของส่วนตัดขวางของลำแสงระหว่างการโค้งงอตามขวาง ที่จุดสูงสุด ความเค้นในวงสัมผัสจะเป็นศูนย์ ดังนั้น เส้นใยที่สอดคล้องกันจะเป็นปกติที่พื้นผิวด้านบนและด้านล่างของลำแสง ที่เส้นกลางซึ่งเกิดความเค้นเฉือนสูงสุด ความเค้นเฉือนสูงสุดจะเกิดขึ้น

ในเวลาเดียวกันเราสังเกตว่าหากค่าของแรงตามขวางภายในหน้าตัดคงที่ ความโค้งของทุกส่วนจะเท่ากัน ดังนั้นผลกระทบของความโค้งจะไม่สะท้อนถึงขนาดของแรงดึงตามยาวและแรงอัด การเสียรูปของเส้นใยที่เกิดจากโมเมนต์ดัด

สำหรับหน้าตัดที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีข้อผิดพลาดเพิ่มเติมในสูตร (5.21) เนื่องจากไม่เป็นไปตามสมมติฐานที่ยอมรับเกี่ยวกับธรรมชาติของการกระจายตัวของความเค้นในแนวสัมผัส ตัวอย่างเช่น สำหรับหน้าตัดแบบวงกลม แรงเฉือนจะเกิดความเค้นที่จุดต่างๆ ที่รูปทรงของส่วนควรหันเข้าหาเส้นสัมผัสกับโครงร่าง และไม่ขนานกับแรงเฉือน ถามซึ่งหมายความว่าความเค้นเฉือนจะต้องมีส่วนประกอบที่ทำงานทั้งบนแกน z/- และตามแนวแกน z

อย่างไรก็ตามแม้จะมีข้อขัดแย้งอยู่ แต่สูตรที่ได้ก็ให้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจเมื่อทำการคำนวณเชิงปฏิบัติ การเปรียบเทียบค่าของความเค้นแทนเจนต์ที่กำหนดโดยสูตร (5.21) กับผลลัพธ์ที่ได้จากวิธีการที่แน่นอนแสดงให้เห็นว่าข้อผิดพลาดในค่าของความเค้นแทนเจนต์ที่ใหญ่ที่สุดไม่เกิน 5% เช่น สูตรนี้เหมาะสำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติ

ให้เราแสดงความเห็นเล็กน้อยเกี่ยวกับการคำนวณกำลังสำหรับการดัดงอตามขวางโดยตรง ตรงกันข้ามกับการดัดงอเพียงอย่างเดียว ปัจจัยแรงสองประการเกิดขึ้นที่หน้าตัดของแกนระหว่างการดัดงอตามขวาง: โมเมนต์การดัด M mzg และแรงตามขวาง ถามอย่างไรก็ตาม เนื่องจากความเค้นปกติสูงสุดเกิดขึ้นในเส้นใยชั้นนอกสุด โดยที่ไม่มีความเค้นเฉือน (ดูรูปที่ 5.9 ข)และความเค้นในวงสัมผัสสูงสุดจะเกิดขึ้นในชั้นที่เป็นกลาง โดยที่ความเค้นปกติเท่ากับศูนย์ สภาวะความแข็งแรงในกรณีเหล่านี้จะถูกกำหนดสูตรแยกกันสำหรับความเค้นปกติและวงสัมผัส:

เมื่อได้สูตรการคำนวณความเค้นปกติเราจะพิจารณากรณีของการดัดงอเมื่อแรงภายในในส่วนของลำแสงลดลงเหลือเพียง ช่วงเวลาที่ดัด, ก แรงเฉือนกลายเป็นศูนย์. กรณีการดัดแบบนี้เรียกว่า การดัดแบบบริสุทธิ์. พิจารณาส่วนตรงกลางของลำแสงซึ่งอาจมีการโค้งงอล้วนๆ

เมื่อโหลดแล้วลำแสงจะโค้งงอจนได้ เส้นใยด้านล่างจะยาวขึ้นและเส้นใยด้านบนจะสั้นลง

เนื่องจากส่วนหนึ่งของเส้นใยของลำแสงถูกยืดออก และบางส่วนถูกบีบอัด และการเปลี่ยนจากความตึงเครียดไปสู่การบีบอัดเกิดขึ้น ได้อย่างราบรื่นโดยไม่ต้องกระโดด, วี เฉลี่ยส่วนหนึ่งของลำแสงตั้งอยู่ ชั้นที่มีเส้นใยเพียงโค้งงอ แต่ไม่มีแรงตึงหรือแรงอัดชั้นนี้เรียกว่า เป็นกลางชั้น. เส้นที่ชั้นกลางตัดกับส่วนตัดขวางของลำแสงเรียกว่า เส้นกลางหรือ แกนกลางส่วนต่างๆ เส้นกลางจะพันกันบนแกนของลำแสง เส้นกลางคือแนวที่ ความเครียดปกติจะเป็นศูนย์

เส้นที่ลากบนพื้นผิวด้านข้างของลำแสงตั้งฉากกับแกนยังคงอยู่ แบนเมื่อดัด ข้อมูลการทดลองเหล่านี้ทำให้สามารถสรุปผลจากสูตรต่างๆ ได้ สมมติฐานของส่วนระนาบ (การคาดเดา). ตามสมมติฐานนี้ ส่วนของลำแสงจะแบนและตั้งฉากกับแกนของมันก่อนที่จะทำการดัดงอ และยังคงแบนและกลายเป็นตั้งฉากกับแกนโค้งของลำแสงเมื่อทำการโค้งงอ

สมมติฐานในการหาสูตรความเครียดปกติ: 1) เป็นไปตามสมมติฐานของส่วนระนาบ 2) เส้นใยตามยาวไม่กดทับกัน (สมมติฐานที่ไม่มีแรงกด) ดังนั้นเส้นใยแต่ละเส้นจึงอยู่ในสภาวะความตึงหรือแรงอัดในแกนเดียว 3) การเสียรูปของเส้นใยไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งตามความกว้างของหน้าตัด ผลที่ตามมาคือความเค้นปกติที่เปลี่ยนแปลงไปตามความสูงของส่วน ยังคงเหมือนเดิมตลอดความกว้าง 4) ลำแสงมีระนาบสมมาตรอย่างน้อยหนึ่งระนาบ และแรงภายนอกทั้งหมดอยู่ในระนาบนี้ 5) วัสดุของลำแสงเป็นไปตามกฎของฮุค และโมดูลัสความยืดหยุ่นในแรงดึงและแรงอัดจะเท่ากัน 6) ความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของลำแสงนั้นทำงานภายใต้สภาวะการโค้งงอของระนาบโดยไม่บิดเบี้ยวหรือบิดงอ

ลองพิจารณาคานของหน้าตัดตามอำเภอใจ แต่มีแกนสมมาตร ช่วงเวลาแห่งการดัดงอแสดงถึง โมเมนต์ผลลัพธ์ของแรงปกติภายในเกิดขึ้นบนพื้นที่เล็กๆ มากมาย และสามารถแสดงออกได้ บูรณาการรูปร่าง: (1) โดยที่ y คือแขนของแรงพื้นฐานสัมพันธ์กับแกน x

สูตร (1) เป็นการแสดงออกถึง คงที่ด้านข้างของปัญหาการดัดลำแสงตรงแต่ไปตามโมเมนต์การดัดที่ทราบ ไม่สามารถระบุความเค้นปกติได้จนกว่าจะมีการกำหนดกฎการกระจายตัว

ให้เราเลือกคานตรงกลางแล้วพิจารณา ส่วนความยาว dzอาจมีการดัดงอ ลองพรรณนามันในขนาดที่ขยายใหญ่ขึ้น

ส่วนที่จำกัดพื้นที่ dz ขนานกันจนผิดรูปและหลังจากใช้งานโหลดแล้ว หมุนรอบเส้นกลางเป็นมุม . ความยาวของส่วนเส้นใยชั้นกลางจะไม่เปลี่ยนแปลงและจะเท่ากับ: , มันอยู่ที่ไหน รัศมีความโค้งแกนโค้งของลำแสง แต่ใยอื่นโกหก ต่ำกว่าหรือสูงกว่าชั้นที่เป็นกลาง จะเปลี่ยนความยาว. มาคำนวณกัน การยืดตัวสัมพัทธ์ของเส้นใยซึ่งอยู่ที่ระยะห่าง y จากชั้นที่เป็นกลางการยืดตัวสัมพัทธ์คืออัตราส่วนของการเสียรูปสัมบูรณ์ต่อความยาวเดิม ดังนั้น:

ลองลดและนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมา แล้วเราจะได้: (2) สูตรนี้แสดงออกถึง เรขาคณิตด้านข้างของปัญหาการโก่งงอล้วนๆ: การเสียรูปของเส้นใยจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับระยะห่างของเส้นใยถึงชั้นที่เป็นกลาง

ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า ความเครียด, เช่น. เราจะพิจารณา ทางกายภาพด้านข้างของงาน ตาม สมมติฐานที่ไม่กดดันเราใช้เส้นใยภายใต้การบีบอัดแรงตึงตามแนวแกน จากนั้นจึงคำนึงถึงสูตรด้วย (2) เรามี (3), เหล่านั้น. ความเครียดปกติเมื่อดัดตามความสูงของส่วน กระจายเชิงเส้น. บนเส้นใยชั้นนอกสุด ความเค้นปกติจะไปถึงค่าสูงสุด และที่จุดศูนย์ถ่วงของส่วนจะมีค่าเท่ากับศูนย์ มาทดแทนกันเถอะ (3) ลงในสมการ (1) และนำเศษส่วนออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลเป็นค่าคงที่ เราก็จะได้ . แต่การแสดงออกก็คือ โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน x - ฉัน x. มิติของมัน ซม. 4 ม. 4

แล้ว ,ที่ไหน (4) อยู่ที่ไหน ความโค้งของแกนโค้งของลำแสง และคือความแข็งแกร่งของส่วนลำแสงระหว่างการดัด

ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ ความโค้ง (4)ในการแสดงออก (3) และเราได้รับ สูตรคำนวณความเค้นปกติที่จุดใด ๆ ในภาคตัดขวาง: (5)

ที่. ขีดสุดความตึงเครียดเกิดขึ้น ณ จุดที่ไกลจากเส้นกลางที่สุดทัศนคติ (6) เรียกว่า โมเมนต์แนวแกนของความต้านทานส่วน. มิติของมัน ซม. 3, ม. 3. ช่วงเวลาแห่งความต้านทานเป็นลักษณะของอิทธิพลของรูปร่างและขนาดของหน้าตัดที่มีต่อขนาดของความเค้น

แล้ว แรงดันไฟฟ้าสูงสุด: (7)

สภาพแรงดัดงอ: (8)

เมื่อเกิดการโค้งงอตามขวาง ไม่เพียงแต่เป็นปกติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงแรงเฉือนด้วย, เพราะ มีอยู่ แรงเฉือน. ความเครียดเฉือน ทำให้ภาพการเสียรูปซับซ้อนขึ้นพวกเขานำไปสู่ ความโค้งภาพตัดขวางของลำแสงส่งผลให้ สมมติฐานของส่วนระนาบถูกละเมิด. อย่างไรก็ตาม การวิจัยแสดงให้เห็นว่าการบิดเบือนที่เกิดจากความเค้นเฉือน เล็กน้อยส่งผลต่อความเครียดปกติที่คำนวณโดยสูตร (5) . ดังนั้นเมื่อพิจารณาความเค้นปกติในกรณีของการดัดงอตามขวาง ทฤษฎีการดัดแบบบริสุทธิ์นั้นค่อนข้างนำไปใช้ได้

เส้นกลาง. ถามเรื่องตำแหน่งเส้นกลาง.

ในระหว่างการดัดงอจะไม่มีแรงตามยาวดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ ให้เราแทนที่สูตรสำหรับความเครียดปกติที่นี่ (3) และเราได้รับ เนื่องจากโมดูลัสความยืดหยุ่นตามยาวของวัสดุลำแสงไม่เท่ากับศูนย์และแกนโค้งของลำแสงมีรัศมีความโค้งจำกัด จึงยังคงถือว่าอินทิกรัลนี้คือ โมเมนต์คงที่ของพื้นที่ภาพตัดขวางของลำแสงสัมพันธ์กับแกนเส้นตรง x และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา มันเท่ากับศูนย์ จากนั้นเส้นกลางจะผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น

ให้เราพิจารณาลำแสงที่เกิดการโค้งงอตรงของระนาบภายใต้การกระทำของโหลดตามขวางโดยพลการในระนาบหลัก โอ้โห(รูปที่ 7.31, ก)ลองตัดลำแสงที่ระยะ x จากปลายด้านซ้ายแล้วพิจารณาสมดุลของด้านซ้าย อิทธิพลของด้านขวาในกรณีนี้จะต้องถูกแทนที่ด้วยการกระทำของโมเมนต์การโค้งงอ A/ และแรงตามขวาง Qyในส่วนที่วาด (รูปที่ 7.31, ข)โมเมนต์การดัดงอ L7 ในกรณีทั่วไปไม่มีขนาดคงที่ เช่นเดียวกับกรณีที่มีการดัดงอเพียงอย่างเดียว แต่จะแปรผันไปตามความยาวของลำแสง ตั้งแต่จังหวะโค้งงอ ม

ตาม (7.14) มีความสัมพันธ์กับความเค้นปกติ o = ​​a x จากนั้นความเค้นปกติในเส้นใยตามยาวจะเปลี่ยนไปตามความยาวของลำแสงด้วย ดังนั้น ในกรณีของการดัดงอตามขวาง ความเค้นปกติจึงเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x และ y: a x = a x (x, y)

ในระหว่างการดัดตามขวางในส่วนของลำแสง ไม่เพียงแต่ความเค้นปกติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเค้นในวงสัมผัสด้วย (รูปที่ 7.31, วี),ผลลัพธ์ที่ได้คือแรงตามขวาง ถาม:

การมีอยู่ของความเค้นแทนเจนต์ เอ็กซ์เอ่อพร้อมกับการปรากฏตัวของการเสียรูปเชิงมุม ความเค้นเฉือนเช่นเดียวกับค่าปกติจะมีการกระจายไม่เท่ากันทั่วทั้งหน้าตัด ดังนั้น การเสียรูปเชิงมุมที่เกี่ยวข้องกับกฎของฮุคในระหว่างการเฉือนก็จะมีการกระจายอย่างไม่สม่ำเสมอเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าในระหว่างการดัดงอตามขวาง ส่วนของลำแสงจะไม่แบนราบ ซึ่งต่างจากการดัดแบบบริสุทธิ์ ซึ่งแตกต่างจากการดัดแบบบริสุทธิ์ (สมมติฐานของ J. Bernoulli ถูกละเมิด)

ความโค้งของหน้าตัดสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างชัดเจนด้วยตัวอย่างการดัดงอของคานคานยื่นของหน้าตัดยางสี่เหลี่ยมที่เกิดจากแรงเข้มข้นที่ปลาย (รูปที่ 7.32) หากคุณวาดเส้นตรงเป็นครั้งแรกที่ด้านข้างซึ่งตั้งฉากกับแกนของลำแสงจากนั้นหลังจากงอเส้นเหล่านี้จะไม่คงเส้นตรง ในเวลาเดียวกันพวกมันจะโค้งงอเพื่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในระดับของชั้นที่เป็นกลาง

การศึกษาที่แม่นยำยิ่งขึ้นพบว่าผลกระทบของการบิดเบือนของส่วนตัดขวางต่อขนาดของความเค้นปกตินั้นไม่มีนัยสำคัญ ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของความสูงของส่วน ชม.ถึงความยาวของลำแสง / และที่ ชม./ / o x สำหรับการดัดงอตามขวาง โดยปกติจะใช้สูตร (7.14) ที่ได้มาจากกรณีของการดัดแบบบริสุทธิ์

คุณลักษณะที่สองของการดัดงอตามขวางคือการมีความเค้นปกติ โอ y ทำหน้าที่ในส่วนยาวของลำแสงและกำหนดลักษณะความดันร่วมกันระหว่างชั้นตามยาว ความเครียดเหล่านี้เกิดขึ้นในพื้นที่ที่มีการกระจายโหลด ถามและในสถานที่ที่มีการรวมพลังกัน โดยทั่วไปแล้วความเครียดเหล่านี้จะน้อยมากเมื่อเทียบกับความเครียดปกติ เอ็กซ์กรณีพิเศษคือการกระทำของแรงที่มีความเข้มข้นในพื้นที่การใช้งานที่อาจเกิดความเครียดในท้องถิ่นที่สำคัญได้ และคุณ.

ดังนั้นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในระนาบ โอ้โหในกรณีของการดัดงอตามขวาง จะอยู่ในสภาวะความเค้นสองแกน (รูปที่ 7.33)

แรงดันไฟฟ้า t และ o เช่นเดียวกับแรงดันไฟฟ้า o Y ในกรณีทั่วไปคือฟังก์ชันของพิกัด* และ y พวกเขาจะต้องเป็นไปตามสมการดิฟเฟอเรนเชียลดุลยภาพ ซึ่งสำหรับสถานะความเครียดในแกนสองแกน ( az = T yz = = 0) ในกรณีที่ไม่มี

แรงปริมาตรมีรูปแบบดังนี้:

สมการเหล่านี้สามารถใช้เพื่อหาค่าความเค้นเฉือน = m และความเค้นปกติได้ อู๋วิธีที่ง่ายที่สุดคือทำกับคานที่มีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในกรณีนี้ เมื่อพิจารณา m จะมีการสันนิษฐานว่ามีการกระจายอย่างสม่ำเสมอตลอดความกว้างของส่วน (รูปที่ 7.34) สมมติฐานนี้จัดทำโดย D.I. ผู้สร้างสะพานชื่อดังชาวรัสเซีย จูราฟสกี้ การวิจัยแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานนี้เกือบจะสอดคล้องกับธรรมชาติที่แท้จริงของการกระจายตัวของความเค้นเฉือนระหว่างการดัดงอเพื่อให้ได้คานที่แคบและสูงเพียงพอ (ข « และ).

ใช้สมการเชิงอนุพันธ์สมการแรก (7.26) และสูตร (7.14) สำหรับความเค้นปกติ เอ็กซ์เราได้รับ

การอินทิเกรตสมการนี้เหนือตัวแปร ใช่เราพบ

ที่ไหน ฉ(x)- ฟังก์ชั่นตามอำเภอใจเพื่อพิจารณาว่าเราใช้เงื่อนไขใดในกรณีที่ไม่มีความเค้นสัมผัสที่ขอบด้านล่างของลำแสง:

เมื่อนำเงื่อนไขขอบเขตนี้มาพิจารณา จาก (7.28) เราพบ

นิพจน์สุดท้ายสำหรับความเค้นในวงสัมผัสที่กระทำในส่วนตัดขวางของลำแสงจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

เนื่องจากกฎการจับคู่ของความเค้นในวงสัมผัส ความเค้นในวงสัมผัสจึงเกิดขึ้นเช่นกัน t, = t ในส่วนตามยาว

ฮู ฮู

คานขนานกับชั้นที่เป็นกลาง

จากสูตร (7.29) เห็นได้ชัดว่าความเค้นในวงสัมผัสแปรผันตามความสูงของหน้าตัดของคานตามกฎของพาราโบลาสี่เหลี่ยม ความเค้นในแนวสัมผัสมีค่ามากที่สุด ณ จุดที่ระดับแกนกลางที่ ย = 0 และในเส้นใยชั้นนอกสุดของลำแสงที่ y = ±h/2พวกมันมีค่าเท่ากับศูนย์ เราได้รับโดยใช้สูตร (7.23) สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัดสี่เหลี่ยม

ที่ไหน ฟ= ขช -พื้นที่หน้าตัดของคาน

แผนภาพ t แสดงในรูป 7.34.

ในกรณีของคานที่มีหน้าตัดที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม (รูปที่ 7.35) การหาค่าความเค้นเฉือน m จากสมการสมดุล (7.27) เป็นเรื่องยาก เนื่องจากไม่ทราบเงื่อนไขขอบเขตของ m ที่ทุกจุดของหน้าตัด รูปร่าง นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าในกรณีนี้ ความเค้นในวงสัมผัส t ทำหน้าที่ในหน้าตัด ไม่ขนานกับแรงตามขวาง Qy.ในความเป็นจริง แสดงให้เห็นว่า ณ จุดใกล้กับเส้นขอบของหน้าตัด ความเค้นเฉือนรวม m จะถูกส่งไปในแนวสัมผัสกับเส้นขอบหน้าตัด ให้เราพิจารณาบริเวณใกล้เคียงกับจุดใดก็ได้บนเส้นโครงร่าง (ดูรูปที่ 7.35) พื้นที่ขนาดเล็ก ดีเอฟในระนาบหน้าตัดและแท่นตั้งฉากกับมัน ดีเอฟ"บนพื้นผิวด้านข้างของลำแสง หากความเค้นรวม t ที่จุดบนเส้นขอบไม่ได้ถูกกำหนดทิศทางในแนวสัมผัส ก็สามารถแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบ: x vxในทิศทางของ v ปกติถึงเส้นชั้นความสูงและ เอ็กซ์ในทิศทางสัมผัสกัน ทีไปที่รูปร่าง ดังนั้นตามกฎการจับคู่ความเค้นสัมผัสบนไซต์งาน ดีเอฟ"ควร

แต่กระทำต่อแรงเฉือน x เท่ากับ x vv หากพื้นผิวด้านข้างปราศจากแรงเฉือน ดังนั้นส่วนประกอบ x vv = ซี วีเอ็กซ์ = 0 นั่นคือความเค้นเฉือนรวม x จะต้องกำกับในแนวสัมผัสกับรูปร่างของหน้าตัด ดังที่แสดงไว้ ตัวอย่างเช่น ที่จุด A และ ในรูปร่าง

ดังนั้น ความเค้นเฉือน x ทั้งที่จุดของเส้นโครงร่างและที่จุดใดๆ ของหน้าตัดสามารถถูกสลายเป็นส่วนประกอบ x ได้

เพื่อกำหนดส่วนประกอบ x ของความเค้นแทนเจนต์ในคานหน้าตัดที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม (รูปที่ 7.36 ข)สมมติว่าส่วนนี้มีแกนตั้งของสมมาตร และองค์ประกอบ x ของความเค้นเฉือนรวม x ดังเช่นในกรณีของหน้าตัดสี่เหลี่ยม มีการกระจายสม่ำเสมอตลอดความกว้าง

โดยใช้ส่วนตามยาวขนานกับระนาบ อ็อกซ์และผ่านไปในระยะไกล ที่จากนั้นและภาคตัดขวางสองส่วน เฮ้ + ดีเอ็กซ์ให้เราตัดองค์ประกอบที่มีความยาวเพียงเล็กน้อยออกจากด้านล่างของลำแสง ดีเอ็กซ์(รูปที่ 7.36, วี)

ให้เราถือว่าโมเมนต์การดัดงอนั้น มแตกต่างกันไปตามความยาว ดีเอ็กซ์ขององค์ประกอบลำแสงที่พิจารณา และแรงเฉือน ถามคงที่ จากนั้นในหน้าตัด x และ x + dxคานจะต้องได้รับความเค้นในแนวสัมผัส x ที่มีขนาดเท่ากัน และความเค้นปกติที่เกิดจากโมเมนต์การดัดงอ เอ็ม ซีมเอ็ม ซี+ ดีเอ็ม”,จะเท่ากันตามลำดับ กและ ก + ดาตามขอบแนวนอนขององค์ประกอบที่เลือก (ในรูปที่ 7.36 วีมันแสดงให้เห็นใน axonometry) ตามกฎของการจับคู่ของความเค้นในวงสัมผัส ความเครียด x v „ = x จะทำหน้าที่

ฮู ฮู

ผลลัพธ์ รและ ร+ดีอาร์ความเครียดปกติ o และ o + d นำไปใช้กับส่วนท้ายขององค์ประกอบโดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (7.14) มีค่าเท่ากัน

ที่ไหน

โมเมนต์คงที่ของพื้นที่ตัด เอฟ(ในรูปที่ 7.36, ขแรเงา) สัมพันธ์กับแกนกลาง ออนซ์ y เป็นตัวแปรเสริมที่แปรผันภายใน ที่

ผลลัพธ์ของความเค้นแทนเจนต์ที่นำไปใช้

เอ็กซ์ซี

ไปที่ขอบแนวนอนขององค์ประกอบ โดยคำนึงถึงสมมติฐานที่แนะนำเกี่ยวกับการกระจายความเค้นเหล่านี้สม่ำเสมอตลอดความกว้าง โดย) สามารถพบได้โดยใช้สูตร

สภาวะสมดุลขององค์ประกอบ?X=0 ให้

เราได้รับค่าของแรงลัพธ์แทนค่า

จากที่นี่โดยคำนึงถึง (7.6) เราได้สูตรสำหรับพิจารณาความเค้นในวงสัมผัส:

สูตรนี้ในวรรณคดีรัสเซียเรียกว่า สูตร D.I. จูราฟสกี้

ตามสูตร (7.32) การกระจายตัวของความเค้นในวงสัมผัส t ตามความสูงของส่วนจะขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงความกว้างของส่วน ข(y) และโมเมนต์คงที่ของส่วนตัดของส่วน S OTC (y)

เมื่อใช้สูตร (7.32) ความเค้นเฉือนจะถูกกำหนดอย่างง่ายที่สุดสำหรับลำแสงสี่เหลี่ยมที่พิจารณาข้างต้น (รูปที่ 7.37)

โมเมนต์คงที่ของพื้นที่หน้าตัดตัด F qtc เท่ากับ

เมื่อแทน 5° tf ลงใน (7.32) เราจะได้สูตรที่ได้มาจากก่อนหน้านี้ (7.29)

สูตร (7.32) สามารถใช้หาค่าความเค้นเฉือนในคานที่มีความกว้างหน้าตัดคงที่แบบขั้นตอน ภายในแต่ละส่วนที่มีความกว้างคงที่ ความเค้นในวงสัมผัสจะแปรผันไปตามความสูงของส่วนตามกฎของพาราโบลาสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในจุดที่ความกว้างของส่วนเปลี่ยนแปลงกะทันหัน ความเค้นในวงสัมผัสมีการกระโดดหรือการไม่ต่อเนื่องด้วย ลักษณะของแผนภาพ t สำหรับส่วนดังกล่าวแสดงในรูปที่ 1 7.38.

ข้าว. 7.37

ข้าว. 7.38

ให้เราพิจารณาการกระจายตัวของความเค้นในวงสัมผัสในส่วน I (รูปที่ 7.39, ก)เมื่อก้มตัวในเครื่องบิน โอ้.ส่วน I สามารถแสดงเป็นจุดเชื่อมต่อของสี่เหลี่ยมแคบๆ สามอัน ได้แก่ ชั้นวางแนวนอน 2 ชั้นและผนังแนวตั้ง 1 อัน

เมื่อคำนวณ m ในผนังตามสูตร (7.32) คุณต้องทำ ข(ย) - ง.เป็นผลให้เราได้รับ

ที่ไหน เอส° 1ซีคำนวณเป็นผลรวมของโมเมนต์คงที่รอบแกน ออนซ์พื้นที่ชั้นวาง ฟนและส่วนของผนัง ฉแรเงาในรูป 7.39 น. ตอบ:

ความเค้นในแนวสัมผัสจะมีค่ามากที่สุดที่ระดับแกนกลางที่ ย = 0:

โดยที่ โมเมนต์คงที่ของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนกลาง:

สำหรับคานไอและรางแบบม้วน ค่าของโมเมนต์คงที่ของครึ่งหนึ่งของส่วนจะถูกระบุไว้ในประเภทต่างๆ

ข้าว. 7.39

ในระดับที่ผนังติดกับหน้าแปลนจะเกิดความเค้นเฉือน 1 ? เท่ากัน

ที่ไหน ส"-โมเมนต์คงที่ของพื้นที่หน้าตัดของหน้าแปลนสัมพันธ์กับแกนกลาง:

ความเค้นแทนเจนต์ในแนวตั้ง m ในหน้าแปลนของ I-beam ไม่พบโดยใช้สูตร (7.32) เนื่องจากเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า ข :» เสื้อข้อสันนิษฐานของการกระจายที่สม่ำเสมอตลอดความกว้างของชั้นวางนั้นเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ ที่ขอบด้านบนและด้านล่างของหน้าแปลน ความเค้นเหล่านี้ควรเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงเข้าไป

ว้าว

ชั้นวางมีขนาดเล็กมากและไม่มีความสนใจในทางปฏิบัติ สิ่งที่น่าสนใจยิ่งกว่ามากคือความเค้นสัมผัสวงแนวนอนในหน้าแปลน m เพื่อพิจารณาว่าเราจะพิจารณาความสมดุลขององค์ประกอบขนาดเล็กที่แยกได้จากหน้าแปลนด้านล่าง (รูปที่ 7.39 , ข)

ตามกฎการจับคู่ความเค้นในแนวสัมผัสบนใบหน้าตามยาวขององค์ประกอบนี้ ขนานกับระนาบ โอ้ใช้แรงดันไฟฟ้า x xzมีขนาดเท่ากับความเค้น t ที่กระทำในหน้าตัดขวาง เนื่องจากหน้าแปลน I-beam มีความหนาเพียงเล็กน้อย จึงสามารถสันนิษฐานได้ว่าความเค้นเหล่านี้มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนความหนาของหน้าแปลน เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราจะได้สมการสมดุลขององค์ประกอบ 5^=0

จากที่นี่เราพบว่า

การแทนที่นิพจน์สำหรับในสูตรนี้ เอ็กซ์จาก (7.14) และคำนึงถึงสิ่งที่เราได้รับ

เมื่อพิจารณาแล้วว่า

ที่ไหน เอส° ทีซี -โมเมนต์คงที่ของพื้นที่ตัดของชั้นวาง (ในรูปที่ 7. 39, กแรเงาสองครั้ง) สัมพันธ์กับแกน ออนซ์,ในที่สุดเราก็จะได้มันมา

ตามรูป 7.39 , ก

ที่ไหน z- ตัวแปรตามแกน อู๋

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ สามารถแสดงสูตร (7.34) ในแบบฟอร์มได้

นี่แสดงให้เห็นว่าความเค้นเฉือนในแนวนอนแปรผันเป็นเส้นตรงตามแนวแกน ออนซ์และรับค่าสูงสุดที่ ซ = ง/ 2:

ในรูป รูปที่ 7.40 แสดงแผนผังของความเค้นในแนวเส้นสัมผัส m และ m^ ตลอดจนทิศทางของความเค้นเหล่านี้ในหน้าแปลนและผนังของคาน I เมื่อมีการใช้แรงเฉือนเชิงบวกกับส่วนของลำแสง ถามความเค้นสัมผัสในเชิงเปรียบเทียบ ก่อให้เกิดการไหลต่อเนื่องในส่วน I-beam ซึ่งมุ่งไปที่แต่ละจุดขนานกับรูปร่างของส่วน

เรามาดูคำจำกัดความของความเครียดปกติกันดีกว่า และคุณในส่วนยาวของลำแสง ลองพิจารณาส่วนของลำแสงที่มีการกระจายโหลดสม่ำเสมอตามขอบด้านบน (รูปที่ 7.41) ลองเอาหน้าตัดของคานเป็นสี่เหลี่ยม

เราใช้มันเพื่อกำหนด ตัวที่สองของสมการเชิงอนุพันธ์ (7.26) การแทนที่สูตร (7.32) สำหรับความเค้นแทนเจนต์ในสมการนี้ เอ่อโดยคำนึงถึง (7.6) ที่เราได้รับ

หลังจากดำเนินการรวมเข้ากับตัวแปรแล้ว ใช่เราพบ

ที่นี่ ฉ(เอ็กซ์) -ฟังก์ชันตามอำเภอใจที่กำหนดโดยใช้เงื่อนไขขอบเขต ตามเงื่อนไขของปัญหา ลำแสงจะถูกโหลดโดยมีการกระจายโหลดสม่ำเสมอ ถามตามขอบด้านบนและขอบล่างไม่มีภาระ จากนั้นเงื่อนไขขอบเขตที่เกี่ยวข้องจะถูกเขียนในรูปแบบ

เราได้รับเงื่อนไขที่สองของเหล่านี้

โดยคำนึงถึงสิ่งนี้ซึ่งเป็นสูตรสำหรับความเครียด และคุณจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

จากนิพจน์นี้ เห็นได้ชัดว่าความเค้นแปรผันตามความสูงของส่วนตามกฎของลูกบาศก์พาราโบลา ในกรณีนี้ เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตทั้งสอง (7.35) ค่าแรงดันไฟฟ้าสูงสุด ใช้เวลาบนพื้นผิวด้านบนของลำแสงเมื่อ ย=-ช/2:

ลักษณะของแผนภาพ และคุณแสดงในรูปที่. 7.41.

เพื่อประมาณค่าของความเค้นสูงสุด o a และ m และความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านั้น ให้เราพิจารณาตัวอย่าง การโค้งงอของคานคานยื่นของหน้าตัดสี่เหลี่ยมที่มีมิติ แย่จัง,ภายใต้การกระทำของการกระจายโหลดสม่ำเสมอที่ใช้กับขอบด้านบนของลำแสง (รูปที่ 7.42) ค่าความเค้นสัมบูรณ์สูงสุดจะเกิดขึ้นในซีล ตามสูตร (7.22), (7.30) และ (7.37) ความเค้นเหล่านี้มีค่าเท่ากัน

ตามปกติสำหรับคาน ลิตร/ชม» 1 จากนั้นจากนิพจน์ที่ได้รับจะเป็นไปตามแรงดันไฟฟ้า ซีเอ็กซ์ในค่าสัมบูรณ์เกินแรงดันไฟฟ้า t และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง และคุณ.เช่น เมื่อใด 1/ฉัน == 10 เราได้ a x /t xy = 20', o x /c y = 300

ดังนั้นความสนใจในทางปฏิบัติที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเมื่อคำนวณคานสำหรับการดัดคือความเครียด เอ็กซ์ทำหน้าที่ตัดขวางของลำแสง แรงดันไฟฟ้า กับเธอการระบุลักษณะความดันร่วมกันของชั้นลำแสงตามยาวนั้นไม่สำคัญเลยเมื่อเทียบกับ ov

ผลลัพธ์ที่ได้รับในตัวอย่างนี้บ่งชี้ว่าสมมติฐานที่นำมาใช้ใน § 7.5 นั้นมีความสมเหตุสมผลอย่างสมบูรณ์

โค้งงอแบน (ตรง)- เมื่อโมเมนต์การดัดกระทำในระนาบที่ผ่านหนึ่งในแกนกลางหลักของความเฉื่อยของส่วนนั่นคือ แรงทั้งหมดอยู่ในระนาบสมมาตรของลำแสง สมมติฐานหลัก(สมมติฐาน): สมมติฐานเกี่ยวกับการไม่มีแรงกดของเส้นใยตามยาว: เส้นใยที่ขนานกับแกนของลำแสงจะเกิดการเสียรูปจากแรงดึงและแรงอัด และไม่ออกแรงกดทับกันในทิศทางตามขวาง สมมติฐานของส่วนระนาบ: ส่วนของลำแสงที่เรียบก่อนที่จะเปลี่ยนรูปยังคงแบนและเป็นปกติกับแกนโค้งของลำแสงหลังจากการเสียรูป ในกรณีของการดัดงอโดยทั่วไป ปัจจัยด้านกำลังภายใน: แรงตามยาว N, แรงตามขวาง Q และโมเมนต์ดัด M. N>0 ถ้าแรงดึงตามยาว ที่ M>0 เส้นใยที่อยู่ด้านบนของคานจะถูกบีบอัด และเส้นใยที่อยู่ด้านล่างจะถูกยืดออก .

เรียกว่าเลเยอร์ที่ไม่มีส่วนขยาย ชั้นที่เป็นกลาง(แกน, เส้น) สำหรับ N=0 และ Q=0 เรามีกรณีนี้ โค้งงอบริสุทธิ์แรงดันไฟฟ้าปกติ:
, คือรัศมีความโค้งของชั้นที่เป็นกลาง y คือระยะห่างจากเส้นใยบางส่วนถึงชั้นที่เป็นกลาง

43) ความตึงและแรงอัดนอกรีต

ความตึงเครียดและการบีบอัด

 - แรงดันไฟฟ้าปกติ[Pa], 1 Pa (ปาสคาล) = 1 N/m2,

10 6 Pa = 1 MPa (เมกะปาสกาล) = 1 N/mm 2

N - แรงตามยาว (ปกติ) [N] (นิวตัน); F - พื้นที่หน้าตัด [m2]

 - การเสียรูปสัมพัทธ์ [ปริมาณไร้มิติ];

L - การเสียรูปตามยาว [m] (การยืดตัวแบบสัมบูรณ์), L - ความยาวก้าน [m]

-กฎของฮุค -  = E

E - โมดูลัสแรงดึงของความยืดหยุ่น (โมดูลัสความยืดหยุ่นของชนิดที่ 1 หรือโมดูลัสของ Young) [MPa] สำหรับเหล็ก E = 210 5 MPa = 210 6 กก./ซม. 2 (ในระบบหน่วย "เก่า")

(ยิ่ง E มาก วัสดุก็จะยิ่งมีแรงดึงน้อยลง)

;
- กฎของฮุค

EF คือความแข็งของแกนรับแรงดึง (แรงอัด)

เมื่อยืดก้านออก มันจะ "บางลง" ความกว้างของมัน - ลดลงตามการเปลี่ยนรูปตามขวาง - a

-การเสียรูปตามขวางสัมพัทธ์

-อัตราส่วนปัวซอง [ปริมาณไร้มิติ];

 มีตั้งแต่ 0 (ไม้ก๊อก) ถึง 0.5 (ยาง) สำหรับเหล็ก  0.250.3

หากแรงตามยาวและหน้าตัดไม่คงที่ แสดงว่าการยืดตัวของแกน:

งานแรงดึง:
, พลังงานศักย์:

47. โมห์อินทิกรัล

วิธีการสากลในการพิจารณาการกระจัด (มุมเชิงเส้นและมุมการหมุน) คือวิธีของ Mohr หน่วยแรงทั่วไปจะถูกนำไปใช้กับระบบ ณ จุดที่ต้องการการกระจัดทั่วไป ถ้าพิจารณาการโก่งตัว แรงต่อหน่วยจะเป็นแรงที่มีสมาธิไร้มิติ ถ้าหามุมการหมุนได้ แรงนั้นก็จะเป็นหน่วยโมเมนต์ไร้มิติ ในกรณีของระบบอวกาศ แรงภายในมีองค์ประกอบหกประการ มีการกำหนดการกระจัดทั่วไป

48. การหาค่าความเค้นภายใต้การกระทำร่วมของการดัดและการบิด

ดัดงอด้วยแรงบิด

การกระทำร่วมกันของการดัดงอและการบิดเป็นกรณีที่พบบ่อยที่สุดของเพลารับน้ำหนัก แรงภายในเกิดขึ้นห้าองค์ประกอบ: Q x, Q y, M x, M y, M z = M cr ในระหว่างการคำนวณ จะมีการสร้างไดอะแกรมของโมเมนต์การดัดงอ M x , M y และแรงบิด M cr และกำหนดส่วนที่เป็นอันตราย ส่งผลให้เกิดโมเมนต์การดัดงอ
. สูงสุด ความเค้นปกติและแรงเฉือนที่จุดอันตราย (A,B):
,

, (สำหรับวงกลม: W=
– โมเมนต์แนวต้าน , ว ร =
– โมเมนต์เชิงขั้วของการสัมผัสส่วน)

ความเครียดหลักในจุดที่อันตรายที่สุด (A และ B):

การทดสอบความแข็งแกร่งดำเนินการตามทฤษฎีความแข็งแกร่งข้อใดข้อหนึ่ง:

IV: ทฤษฎีของมอร์:

โดยที่ m=[ p ]/[ c ] – อนุญาต เช่น แรงดึง/แรงอัด (สำหรับวัสดุที่เปราะ - เหล็กหล่อ)

ต
.k.W p =2W เราได้:

ตัวเศษคือโมเมนต์รีดิวซ์ตามทฤษฎีกำลังที่ยอมรับกัน ;

II: ด้วยอัตราส่วนปัวซอง=0.3;

สาม:

หรือด้วยสูตรเดียว:
ดังนั้นช่วงเวลาแห่งการต่อต้าน:
, เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา:
. สูตรนี้ยังเหมาะสำหรับการคำนวณส่วนรูปวงแหวนอีกด้วย