A construção das curvas padrão é realizada da seguinte forma:

Primeiro, os pontos pertencentes à curva são determinados e depois conectados por meio de um padrão. As curvas padrão incluem as chamadas seções cônicas de uma parábola, hipérbole, elipse obtida pelo corte de um cone circular com um plano, evolvente, senóide e outras

1. Construção de uma elipse.

2. Foco elipse

3. Construção de uma parábola

6. Desenhar curvas padrão.

Uma elipse é uma seção cônica que pertence às chamadas curvas padrão. Elipse, hipérbole e parábola são obtidas cortando um cone circular com curva plana, sinusóide, evolvente e outras curvas.

Figura 41. Intersecção de um cone por um plano ao longo de uma elipse (a) e de uma elipse (b).

Para construir curvas padrão (parábola, elipse, hipérbole), os pontos que pertencem à curva são determinados e então todos os pontos são conectados por meio de um padrão. No caso em que a superfície de um cone circular é cortada com um plano inclinado -P, de modo que o plano inclinado cruze todas as geratrizes do cone circular, então uma elipse é formada no próprio plano de seção (Ver Figura 41, a. ).

Uma elipse é uma curva plana e fechada na qual a soma das distâncias de cada um de seus pontos - M a dois pontos dados F1 e F2 - é um valor constante. Este valor constante é igual ao eixo maior da elipse MF1 + MF2 = AB O eixo menor da elipse CD e o eixo maior AB são mutuamente perpendiculares e um eixo divide o outro ao meio.

Figura 42. Construção de uma elipse ao longo dos eixos


Assim, os eixos dividem a curva elipse em quatro partes iguais simétricas aos pares. Se desde as extremidades do eixo menor CD, como desde os centros, descrevemos um arco de círculo com raio igual à metade do eixo maior da elipse R=OA=OB, então ele o cruzará nos pontos F1 e F2 , que são chamados de focos.

A Figura 42 mostra um exemplo de construção de uma elipse ao longo de seus eixos Nos eixos AB e CD dados, como nos diâmetros, construímos dois círculos concêntricos com centro no ponto O. Dividimos o círculo grande em um número arbitrário de partes e conectamos. os pontos resultantes com linhas retas para o centro O.

Dos pontos de intersecção 1; 2; 3; 4; com círculos auxiliares desenhamos segmentos de linhas horizontais e verticais até que se cruzem nos pontos E, F, K, M, que pertencem à elipse. A seguir, usando um padrão, os pontos construídos de uma curva suave são conectados e o resultado é uma elipse.

Construção de curvas padrão, parábola

Figura 43. Intersecção de um cone por um plano ao longo de uma parábola. Construindo uma parábola usando o foco e a diretriz.

Se você cortar um cone circular paralelo a uma de suas geratrizes com um plano inclinado P, então uma parábola é formada no plano de seção (veja a Figura 43 a). Cada ponto da parábola está localizado a partir da linha dada -MN e do foco -F à mesma distância.

A reta MN é uma guia e está localizada perpendicularmente ao eixo da parábola. Entre a guia -MN e o foco -F, o vértice da parábola A está localizado bem no meio. foco e uma determinada guia, através do ponto de foco -F, desenhe o eixo da parábola -X, guia perpendicular -MN.

Divida o segmento-EF ao meio e obtenha o vértice da parábola-A. Do vértice da parábola a uma distância arbitrária, desenhe linhas retas perpendiculares ao eixo da parábola. Do ponto -F com raio igual à distância -L, da reta correspondente à guia, por exemplo CB, traçamos uma reta até esta. Neste caso, os pontos C e B.

Tendo assim construído vários pares de pontos simétricos, desenhamos uma curva suave através deles usando um padrão. A Figura (43 c) mostra um exemplo de construção de uma parábola tangente a duas retas OA e OB nos pontos A e B. Os segmentos OA e OB são divididos no mesmo número de partes iguais (por exemplo, divididos em oito). Depois disso, os pontos de divisão resultantes são numerados e conectados por linhas retas 1-1; 2-2; 3-3 (ver Figura 43, c) e assim por diante. Essas linhas são tangentes à curva parabólica. Uma curva de parábola tangente suave é então inscrita no contorno formado pelas linhas retas.

Se você cortar cones retos e reversos com um plano paralelo às suas duas geratrizes ou, em um caso particular, paralelo ao eixo, então no plano de seção você obterá uma hipérbole composta por dois ramos simétricos (ver Figura 45, a) .

Figura 45. Intersecção de um cone por um plano ao longo de uma hipérbole (a) e construção de uma hipérbole (b).

Uma hipérbole (Figura 45,b) é uma curva plana na qual a diferença nas distâncias de cada um de seus pontos a dois pontos dados F1 e F2, chamados focos, é um valor constante e igual à distância entre seus vértices a e b, por exemplo SF1-SF2=ab. Uma hipérbole possui dois eixos de simetria - AB real e CD imaginário.

Duas linhas retas KL e K1 L1 que passam pelo centro O da hipérbole e tocam seus ramos no infinito são chamadas de assíntotas. Uma hipérbole pode ser construída a partir de determinados vértices aeb e focos F1 e F2. Determinamos os vértices da hipérbole inscrevendo um retângulo em um círculo construído na distância focal (segmento F1 e F2), como no diâmetro.

No eixo real AB à direita do foco F2 marcamos arbitrariamente 1, 2, 3, 4, ... Dos focos F1 e F2 desenhamos arcos de círculos, primeiro com raio a-1, depois b-1 até intersecção mútua em ambos os lados do eixo real da hipérbole. A seguir, realizaremos a intersecção mútua do próximo par de arcos com raios a-2 e b-2 (ponto S) e assim por diante.

Os pontos de intersecção resultantes dos arcos pertencem ao ramo direito da hipérbole. Os pontos do ramo esquerdo serão simétricos aos pontos construídos em relação ao eixo imaginário CD.

Uma senóide é a projeção da trajetória de um ponto movendo-se ao longo de uma hélice cilíndrica em um plano paralelo ao eixo do cilindro. O movimento de um ponto consiste em um movimento de rotação uniforme (em torno do eixo do cilindro) e um movimento de translação uniforme (paralelo ao cilindro).

Figura 46. Construção de uma sinusóide

Uma onda senoidal é uma curva plana que mostra a mudança na função trigonométrica seno dependendo da mudança na magnitude do ângulo. para construir uma senóide (Figura 46), passando pelo centro O de um círculo de diâmetro D, desenhe uma linha reta OX e sobre ela trace um segmento O1 A igual ao comprimento do círculo π D. Dividimos este segmento e circundamos no mesmo número de partes iguais. A partir dos pontos obtidos e numerados traçamos linhas retas perpendiculares entre si. Conectaremos os pontos de intersecção resultantes dessas linhas usando um padrão de curva suave.

Desenhando curvas padrão

As curvas padrão são construídas por pontos. Esses pontos são conectados por meio de padrões, primeiro desenhando uma curva à mão. O princípio de conexão de pontos individuais de uma curva é o seguinte:

Selecionamos aquela parte do arco do padrão que melhor coincide com o maior número de pontos da curva delineada. A seguir, não desenharemos todo o arco da curva que coincide com o padrão, mas apenas a parte central dele. Depois disso, selecionaremos outra parte do padrão, mas de forma que esta parte toque aproximadamente um terço da curva desenhada e pelo menos dois pontos subsequentes da curva, e assim por diante. Isto garante uma transição suave entre os arcos individuais da curva.

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Construção de uma elipse

Uma elipse é uma curva plana convexa fechada, cuja soma das distâncias de cada ponto a dois pontos dados, chamados focos, situados no eixo maior é constante e igual ao comprimento do eixo maior. A construção de uma forma oval ao longo de dois eixos (Figura 23) é realizada da seguinte forma:

• - traçar linhas axiais nas quais os segmentos AB e CD, iguais aos eixos maior e menor da elipse, são colocados simetricamente a partir do ponto de intersecção O;
• - construir dois círculos com raios iguais à metade dos eixos da elipse com centro no ponto de intersecção dos eixos;
• - divida o círculo em doze partes iguais. A divisão do círculo é realizada conforme indicado no parágrafo 2.3;
• -raios de diâmetro são traçados através dos pontos obtidos;
• - linhas retas são traçadas a partir dos pontos de intersecção dos raios com os círculos correspondentes paralelos aos eixos da elipse até que se cruzem em pontos situados na elipse;
• - os pontos resultantes são conectados por uma linha curva suave usando padrões. Ao construir uma linha curva de padrão, é necessário selecionar e posicionar o padrão de forma que pelo menos quatro a cinco pontos estejam conectados.

Existem outras maneiras de construir uma elipse.

Construindo uma parábola

Uma parábola é uma linha curva plana, cada ponto equidistante da diretriz DD 1 - uma linha reta perpendicular ao eixo de simetria da parábola, e do foco F, um ponto localizado no eixo de simetria. A distância KF entre a diretriz e o foco é chamada de parâmetro da parábola p.

A Figura 24 mostra um exemplo de desenho de uma parábola ao longo do vértice O, eixo OK e corda CD. A construção é realizada da seguinte forma:

• - traçar uma reta horizontal na qual está marcado o vértice O e traçado o eixo OK;
• - através do ponto K, desenhe uma perpendicular na qual o comprimento da corda da parábola é traçado simetricamente para cima e para baixo;
• - construir um retângulo ABCD, em que um lado é igual ao eixo e o outro é igual à corda da parábola;
• - o lado BC é dividido em várias partes iguais e o segmento KC no mesmo número de partes iguais;
• - do vértice da parábola O, os raios são traçados através dos pontos 1, 2, etc., e através dos pontos 1 1, 2 1, etc.;
• - traçar retas paralelas aos eixos e determinar os pontos de intersecção dos raios com as retas paralelas correspondentes, por exemplo, o ponto de intersecção do raio O1 com a reta O1 1, que pertence à parábola;
• - os pontos resultantes são conectados por uma linha curva suave sob o padrão. O segundo ramo da parábola é construído de maneira semelhante.

Existem outras maneiras de construir uma parábola.

Como construir uma parábola? Existem várias maneiras de representar graficamente uma função quadrática. Cada um deles tem seus prós e contras. Vamos considerar duas maneiras.

Vamos começar traçando uma função quadrática da forma y=x²+bx+c e y= -x²+bx+c.

Exemplo.

Faça um gráfico da função y=x²+2x-3.

Solução:

y=x²+2x-3 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramificações para cima. Coordenadas do vértice da parábola

A partir do vértice (-1;-4) construímos um gráfico da parábola y=x² (a partir da origem das coordenadas. Em vez de (0;0) - vértice (-1;-4). De (-1; -4) vamos para a direita 1 unidade e para cima 1 unidade, depois para a esquerda 1 e para cima 1 então: 2 - direita, 4 - para cima, 2 - para a esquerda, 3 - para cima; esquerda, 9 para cima. Se esses 7 pontos não forem suficientes, então 4 para a direita, 16 para cima, etc.).

O gráfico da função quadrática y= -x²+bx+c é uma parábola cujos ramos são direcionados para baixo. Para construir um gráfico, procuramos as coordenadas do vértice e a partir dele construímos uma parábola y= -x².

Exemplo.

Faça um gráfico da função y= -x²+2x+8.

Solução:

y= -x²+2x+8 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramificações para baixo. Coordenadas do vértice da parábola

De cima construímos uma parábola y= -x² (1 - para a direita, 1- para baixo; 1 - para a esquerda, 1 - para baixo; 2 - para a direita, 4 - para baixo; 2 - para a esquerda, 4 - para baixo, etc.):

Este método permite construir uma parábola rapidamente e não causa dificuldades se você souber representar graficamente as funções y=x² e y= -x². Desvantagem: se as coordenadas do vértice forem números fracionários, não é muito conveniente construir um gráfico. Se você precisar saber os valores exatos dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo do Boi, terá que resolver adicionalmente a equação x²+bx+c=0 (ou -x²+bx+c=0), mesmo que esses pontos possam ser determinados diretamente no desenho.

Outra forma de construir uma parábola é por pontos, ou seja, você pode encontrar vários pontos no gráfico e desenhar uma parábola através deles (levando em consideração que a reta x=xₒ é o seu eixo de simetria). Normalmente, para isso, eles pegam o vértice da parábola, os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados e 1-2 pontos adicionais.

Desenhe um gráfico da função y=x²+5x+4.

Solução:

y=x²+5x+4 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramificações para cima. Coordenadas do vértice da parábola

isto é, o vértice da parábola é o ponto (-2,5; -2,25).

Estão procurando. No ponto de intersecção com o eixo do Boi y=0: x²+5x+4=0. As raízes da equação quadrática x1=-1, x2=-4, ou seja, obtivemos dois pontos no gráfico (-1; 0) e (-4; 0).

No ponto de intersecção do gráfico com o eixo Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Acertamos o ponto (0; 4).

Para esclarecer o gráfico, você pode encontrar um ponto adicional. Tomemos x=1, então y=1²+5∙1+4=10, ou seja, outro ponto do gráfico é (1; 10). Marcamos esses pontos no plano de coordenadas. Levando em consideração a simetria da parábola em relação à reta que passa por seu vértice, marcamos mais dois pontos: (-5; 6) e (-6; 10) e traçamos uma parábola através deles:

Faça um gráfico da função y= -x²-3x.

Solução:

y= -x²-3x é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramificações para baixo. Coordenadas do vértice da parábola

O vértice (-1,5; 2,25) é o primeiro ponto da parábola.

Nos pontos de intersecção do gráfico com o eixo x y=0, ou seja, resolvemos a equação -x²-3x=0. Suas raízes são x=0 ex=-3, ou seja (0;0) e (-3;0) - mais dois pontos no gráfico. O ponto (o; 0) também é o ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas.

Em x=1 y=-1²-3∙1=-4, ou seja, (1; -4) é um ponto adicional para plotagem.

Construir uma parábola a partir de pontos é um método mais trabalhoso em comparação com o primeiro. Se a parábola não cruzar o eixo do Boi, serão necessários mais pontos adicionais.

Antes de continuar a construir gráficos de funções quadráticas da forma y=ax²+bx+c, consideremos a construção de gráficos de funções usando transformações geométricas. Também é mais conveniente construir gráficos de funções da forma y=x²+c usando uma dessas transformações – tradução paralela.

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Construir uma parábola é uma das operações matemáticas mais conhecidas. Muitas vezes é usado não apenas para fins científicos, mas também para fins puramente práticos. Vamos descobrir como realizar este procedimento utilizando as ferramentas do aplicativo Excel.

Uma parábola é o gráfico de uma função quadrática do seguinte tipo f(x)=ax^2+bx+c. Uma de suas propriedades notáveis ​​é o fato de uma parábola ter a forma de uma figura simétrica constituída por um conjunto de pontos equidistantes da diretriz. Em geral, construir uma parábola no Excel não é muito diferente de construir qualquer outro gráfico neste programa.

Criando uma tabela

Em primeiro lugar, antes de começar a construir uma parábola, você deve construir uma tabela com base na qual ela será criada. Por exemplo, tomemos a construção de um gráfico de uma função f(x)=2x^2+7.

Traçando um gráfico

Conforme mencionado acima, agora temos que construir o próprio gráfico.

Editando um gráfico

Agora você pode editar ligeiramente o gráfico resultante.

Além disso, você pode realizar qualquer outro tipo de edição da parábola resultante, inclusive alterando seu nome e os nomes dos eixos. Essas técnicas de edição não vão além do trabalho no Excel com outros tipos de diagramas.

Como você pode ver, construir uma parábola no Excel não é fundamentalmente diferente de construir outro tipo de gráfico ou diagrama no mesmo programa. Todas as ações são realizadas com base em uma tabela pré-gerada. Além disso, é necessário levar em conta que o diagrama de dispersão é mais adequado para construir uma parábola.

Elipse. Se você cortar a superfície de um cone circular com um plano inclinado R de forma que cruze todos os seus geradores, será obtida uma elipse no plano da seção (Figura 65).

Figura 65

Elipse(Figura 66) – uma curva plana fechada em que a soma das distâncias de qualquer um dos seus pontos (por exemplo, de um ponto M ) até dois pontos dados F1 E F2 – os focos da elipse – existe um valor constante igual ao comprimento do seu eixo maior AB (Por exemplo, F1M + F 2 M =AB ).Segmento de linha AB é chamado de eixo maior da elipse, e o segmento CD - seu eixo menor. Os eixos da elipse se cruzam no ponto O- o centro da elipse, e seu tamanho determina os comprimentos dos eixos maior e menor. Pontos F1 E F2 localizado no eixo maior AB simétrico em relação ao ponto Ó e são removidos das extremidades do eixo menor (pontos COM E D ) a uma distância igual à metade do eixo maior da elipse .

Figura 66

Existem várias maneiras de construir uma elipse. A maneira mais fácil é construir uma elipse ao longo de seus dois eixos usando círculos auxiliares (Figura 67). Neste caso, o centro da elipse é especificado - o ponto Ó e duas linhas retas mutuamente perpendiculares são traçadas através dele (Figura 67, a). A partir do ponto SOBRE descreva dois círculos com raios iguais à metade dos eixos maior e menor. O grande círculo é dividido em 12 partes iguais e os pontos de divisão são conectados ao ponto SOBRE . As linhas desenhadas também dividirão o círculo menor em 12 partes iguais. Em seguida, linhas horizontais (ou retas paralelas ao eixo maior da elipse) são traçadas através dos pontos de divisão do círculo menor, e linhas verticais (ou retas paralelas ao eixo menor da elipse) são traçadas através dos pontos de divisão. do círculo maior. Os pontos de sua intersecção (por exemplo, o ponto M ) pertencem à elipse. Ao conectar os pontos resultantes com uma curva suave, obtém-se uma elipse (Figura 67, b).

Figura 67

Parábola. Se um cone circular é cortado por um plano R , paralelo a uma de suas geratrizes, será obtida uma parábola no plano de seção (Figura 68).

Figura 68

Parábola(Figura 69) – uma curva plana, cada ponto da qual está à mesma distância de uma determinada linha reta DD1 , chamado diretora e pontos F- foco de uma parábola. Por exemplo, para um ponto M segmentos Minnesota (distância da diretora) e M. F. (distância ao foco) são iguais, ou seja, Minnesota = M. F. .

Uma parábola tem a forma de uma curva aberta com um eixo de simetria, que passa pelo foco da parábola - o ponto F e está localizado perpendicularmente ao diretor DD1 .Preciso A , situado no meio do segmento DE , chamado o vértice da parábola. Distância do foco à diretriz - segmento DE = 2´OA – denotado por uma letra R e ligue parâmetro de parábola. Quanto maior o parâmetro R , mais acentuadamente os ramos da parábola se afastam de seu eixo. Um segmento encerrado entre dois pontos de uma parábola localizados simetricamente em relação ao eixo da parábola é chamado acorde(por exemplo, acorde MK ).

Figura 69

Construindo uma parábola a partir de sua diretriz DD 1 e foco F(Figura 70, a) . Através do ponto F desenhe o eixo da parábola perpendicular à diretriz até que cruze a diretriz no ponto SOBRE. Segmento de linha DE = p divida ao meio e ganhe um ponto A - o topo da parábola. No eixo do ponto parábola A estabeleça várias seções aumentando gradualmente. Através de pontos de divisão 1, 2, 3 isto. D. desenhe linhas retas paralelas à diretriz. Tomando o foco da parábola como centro, eles descrevem arcos com raio R 1 =L 1 1 ,raio R2 = L2 até cruzar uma linha que passa por um ponto 2 , etc. Os pontos resultantes pertencem à parábola. Primeiro, eles são conectados à mão por uma linha fina e suave e, em seguida, traçados ao longo do padrão.

Construção de uma parábola ao longo de seu eixo, vértice A e ponto intermediário M(Figura 70, b).Através do topo A desenhe uma linha reta perpendicular ao eixo da parábola e através do ponto M- reta paralela ao eixo. Ambas as linhas se cruzam em um ponto B . Segmentos AB E B. M. são divididos no mesmo número de partes iguais, e os pontos de divisão são numerados nas direções indicadas pelas setas. Através do topo A e pontos 1 , 2 , 3 , 4 conduzem raios, e de pontos EU , II , III ,4 – linhas retas paralelas ao eixo da parábola. Na intersecção das retas marcadas com o mesmo número, existem pontos pertencentes à parábola. Ambos os ramos da parábola são iguais, então o outro ramo é construído simetricamente ao primeiro por meio de cordas.

Figura 70

Construção de uma parábola tangente a duas retas OA e OB nos pontos A e B dados nelas(Figura 71,b). Segmentos O.A. E obstetra dividido no mesmo número de partes iguais (por exemplo, em 8 partes). Os pontos de divisão resultantes são numerados e os pontos de mesmo nome são conectados por linhas retas. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 etc. . d . Essas linhas são tangentes à curva parabólica. A seguir, uma curva tangente suave – uma parábola – é inscrita no contorno formado pelas retas. .

Figura 71

Hipérbole. Se você cortar os cones reto e reverso com um plano paralelo às suas duas geratrizes ou, em um caso particular, paralelo ao eixo, então no plano de seção você obterá uma hipérbole composta por dois ramos simétricos (Figura 72, a).

Hipérbole(Figura 72, b) é chamada de curva plana aberta, que é um conjunto de pontos, a diferença nas distâncias de dois pontos dados é um valor constante.

Figura 72

Pontos constantes F1 E F2 são chamados truques , e a distância entre eles é comprimento focal . Segmentos de linha ( F1M E F2M ), conectando qualquer ponto ( M ) curva com focos são chamados vetores de raio hipérboles . Diferença entre distâncias de ponto e foco F1 E F2 é um valor constante e igual à distância entre os vértices A E b hipérbole; por exemplo, por um ponto M terá: F 1 M -F 2 M = ab. Uma hipérbole consiste em dois ramos abertos e tem dois eixos perpendiculares entre si - válido AB E imaginário CD. Direto pq E rs, passando pelo centro Ó ,são chamados assíntotas .

Construindo uma hipérbole usando essas assíntotas pq E rs, truques F1 E F2 mostrado na Figura 72, b.

Eixo real AB uma hipérbole é a bissetriz do ângulo formado pelas assíntotas. Eixo imaginário CD perpendicular AB e passa pelo ponto SOBRE. Tendo truques F1 E F2, definir os vértices A E b hipérboles, por que em um segmento F 1 F 2 construir um semicírculo que cruze as assíntotas em pontos eu E P. A partir desses pontos, as perpendiculares são abaixadas sobre o eixo AB e na interseção com ele obtemos vértices A E b hipérbole.

Para construir o ramo direito de uma hipérbole em uma reta AB à direita do foco F1 marcar pontos arbitrários 1 , 2 , 3 , ..., 5. Pontos V E V1 hipérboles são obtidas se tomarmos o segmento a5 além do raio e do ponto F2 desenhe um arco de círculo, que é marcado a partir do ponto F1, raio igual a b5. Os demais pontos da hipérbole são construídos por analogia com os descritos.

Às vezes você tem que construir uma hipérbole cujas assíntotas OH E OI mutuamente perpendiculares (Figura 73). Neste caso, os eixos real e imaginário serão bis Com elétricas de ângulos retos. Para construir, um dos pontos da hipérbole é especificado, por exemplo, o ponto A.

Figura 73

Através do ponto A realizar direto AK E SOU. , paralelo aos eixos Oh E ou .Do ponto Ó ré Com conceitos sobre Com eles dão a ela direto Com linhas retas SOU. E AK em pontos 1 , 2 , 3 , 4 E 1" , 2" , 3" , 4" . A seguir, segmentos verticais e horizontais são desenhados a partir dos pontos de intersecção com essas linhas até que se cruzem nos pontos I, II, III, IV etc. Os pontos resultantes da hipérbole são conectados usando um padrão . Pontos 1, 2, 3, 4 localizados em uma linha vertical são tomados arbitrariamente .

Involuta de um círculo ou desenvolvimento de um círculo. Involuta de um círculoé chamada de curva plana que é descrita por cada ponto de uma linha reta se essa linha reta for rolada sem deslizar ao longo de um círculo estacionário (a trajetória dos pontos de um círculo formado por seu desdobramento e endireitamento) (Figura 74).

Para construir uma envolvente, basta especificar o diâmetro do círculo D e a posição inicial do ponto A (apontar Um 0 ). Através do ponto Um 0 desenhe uma tangente ao círculo e trace o comprimento do círculo dado nela D . O segmento resultante e o círculo são divididos no mesmo número de partes e as tangentes a ele são traçadas em uma direção através dos pontos divisores do círculo. Em cada tangente são colocados segmentos retirados da linha horizontal e correspondentemente iguais 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = VA 0 2 , 3A 3 = A 0 3 etc.; Os pontos resultantes são conectados de acordo com o padrão.

Figura 74

Espiral de Arquimedes- uma curva plana descrita por um ponto A , girando uniformemente em torno de um ponto fixo – postes SOBRE e ao mesmo tempo afastando-se dele uniformemente (Figura 75). A distância percorrida por um ponto ao girar uma linha reta em 360° é chamada de passo espiral. Os pontos pertencentes à espiral de Arquimedes são construídos com base na definição da curva, especificando o passo e o sentido de rotação.

Construção de uma espiral de Arquimedes usando um determinado passo (segmento OA) e sentido de rotação no sentido horário(Figura 75). Através de um ponto SOBRE desenhe uma linha reta e marque o passo da espiral nela O.A. e, tomando-o como um raio, descreva um círculo. Círculo e segmento O.A. dividido em 12 partes iguais. Os raios são traçados através dos pontos divisores do círculo O1 , O2 , O3 etc. e neles a partir do ponto SOBRE são colocados usando arcos, respectivamente, 1/12, 2/12, 3/12, etc., do raio do círculo. Os pontos resultantes são conectados ao longo de um padrão com uma curva suave.

A espiral de Arquimedes é uma curva aberta e, se necessário, você pode construir qualquer número de voltas. Para construir a segunda volta, descreva um círculo com raio R = doisOA e repita todas as construções anteriores.

Figura 75

Onda senoidal.Onda senoidalé chamada de projeção da trajetória do ponto em movimento Com Eu sou cilíndrico Com qual hélice, em um plano paralelo ao eixo do cilindro . O movimento de um ponto consiste em movimento rotacional uniforme (em torno do eixo do cilindro) e movimento translacional uniforme (paralelo ao eixo do cilindro). . Uma onda senoidal é uma curva plana que mostra a mudança na função trigonométrica seno dependendo da mudança no ângulo .

Para construir uma sinusóide (Figura 76) através do centro SOBRE diâmetro do círculo D realizar direto OH e um segmento é colocado nele Ó 1 A , igual à circunferência D. Este segmento e o círculo são divididos no mesmo número de partes iguais. Linhas retas mutuamente perpendiculares são traçadas a partir dos pontos obtidos e numerados. Os pontos de intersecção resultantes dessas linhas são conectados usando um padrão de curva suave.

Figura 76

Cardióide. Cardióide(Figura 77) chamadas Com Eu sou uma trajetória fechada de um ponto em um círculo Com que rola sem escorregar ao longo de um círculo estacionário de mesmo raio .

Figura 77

Do centro SOBRE desenhe um círculo de um determinado raio e coloque um ponto arbitrário nele M. Uma série de secantes é desenhada através deste ponto. Em cada secante, em ambos os lados do ponto de intersecção desta com o círculo, são colocados segmentos iguais ao diâmetro do círculo M1. Sim, secante III3МIII 1 intercepta o círculo em um ponto 3 ;segmentos são demitidos a partir deste ponto 3III E 3III1, igual ao diâmetro M1. Pontos III E III 1 , pertencem ao cardióide . De forma similar, Com atual IV4MIV 1 ré Com círculo em um ponto 4; segmentos são colocados a partir deste ponto IV4 E 4IV 1, igual ao diâmetro M1, Ganhe pontos 4 E IV 1 etc.

Os pontos encontrados são conectados por uma curva, conforme mostrado na Figura 77.

Curvas cicloidais. Cicloides – linhas curvas planas descritas por um ponto pertencente a um círculo que rola sem deslizar ao longo de uma linha reta ou círculo . Se o círculo gira em linha reta, então o ponto descreve uma curva chamada ciclóide.

Se um círculo rola ao longo de outro círculo, estando fora dele (ao longo da parte convexa), então o ponto descreve uma curva chamada epicicloide .

Se um círculo rola ao longo de outro círculo, estando dentro dele (ao longo da parte côncava), então o ponto descreve uma curva chamada hipociclóide . O círculo no qual o ponto está localizado é chamado produzindo . A linha ao longo da qual o círculo rola é chamada guia .

Para construir uma ciclóide(Figura 78) desenhe um círculo de um determinado raio R ; tome o ponto de partida nisso A e desenhe uma linha guia AB, ao longo do qual o círculo rola .

Figura 78

Divida o círculo dado em 12 partes iguais (pontos 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Se o ponto A mudar Com teta Com Estou em uma posição Um 12 , então o segmento AA 12 será igual ao comprimento circunferencial fornecido Com ty, ou seja. Desenhe uma linha de centros Ó – Ó 12 produzindo circunferencialmente Com ti, igual , e divida-o em 12 partes iguais. Ganhe pontos Ó 1 ,O2 ,Ó3 ,..., Ó 12 , que são os centros do círculo gerador Com você . A partir desses pontos desenhe um círculo Com ty (ou arcos ao redor Com tey) de um determinado raio R , que tocam a linha AB em pontos 1,2, 3, ..., 12. Se de cada ponto de contato traçarmos no círculo correspondente um comprimento de arco igual ao valor pelo qual o ponto se moveu A , então obtemos pontos pertencentes à ciclóide. Por exemplo, para obter um ponto Um 5 ciclóides segue do centro Ó 5 desenhe um círculo a partir do ponto de contato 5 traçar um arco ao redor da circunferência A5, igual a A5", ou do ponto 5" desenhe uma linha reta paralela AB, para a interseção no ponto Um 5 com um círculo desenhado . Todos os outros pontos da ciclóide são construídos de forma semelhante. .

O epicicloide é construído da seguinte forma. A Figura 79 mostra o raio do círculo gerador Com A R com centro Ó 0 , ponto de partida A nele e o arco do guia ao redor Com você rádio Com A R1 ao longo do qual ele rola Com Eu sou um círculo. A construção de uma epicicloide é semelhante à construção de uma ciclóide, a saber: dividir um determinado círculo em 12 partes iguais (pontos 1" , 2" , 3" , ...,12"), cada parte deste círculo é separada de um ponto A ao longo de um arco AB 12 vezes (pontos 1 , 2 , 3 , ..., 12) e obtenha o comprimento do arco AA 12 . Este comprimento pode ser determinado usando o ângulo .

Mais longe do centro SOBRE raio igual a OOO 0 , desenhe uma linha de centros do círculo gerador e, desenhando raios 01 , 02 , 03 , ...,012 , continuou até cruzar com a linha de centros, obter centros O 1, O 2, ..., O 12 círculo gerador . A partir desses centros com raio igual a R , desenhe círculos ou arcos de círculos sobre os quais eles constroem e Com quais pontos da curva; Então, para entender Um 4s deve ser verificado Com arco ao redor Com raio do tee O4" até cruzar com um círculo desenhado a partir do centro O4. Outros pontos são construídos de forma semelhante, que são então conectados por uma curva suave .

Figura 79

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