Glavna naprezanja pri savijanju. Potpuno ispitivanje čvrstoće greda na savijanje

Kod ravnog poprečnog savijanja, kada u presjecima grede djeluje i moment savijanja M i sila smicanja Q, ne samo normalno
, ali i posmična naprezanja .

Normalna naprezanja tijekom poprečnog savijanja izračunavaju se pomoću istih formula kao i za čisto savijanje:

;
.(6.24)

P

sl.6.11. Ravni zavoj

Prilikom izvođenja formule, napravit ćemo neke pretpostavke:

Posmični naponi koji djeluju na istoj udaljenosti na od neutralne osi, konstantna po širini snopa;

Tangencijalni naponi su posvuda paralelni sa silom Q.

Promotrimo konzolnu gredu podložnu poprečnom savijanju pod djelovanjem sile R. Konstruirajmo dijagrame unutarnjih sila OKO g, I M z .

Na daljinu x sa slobodnog kraja grede izaberemo elementarni presjek grede s dužinom dx a širina jednaka širini grede b. Pokažimo unutarnje sile koje djeluju duž rubova elementa: na rubu CD javlja se posmična sila Q g i moment savijanja M z, i na rubu ab– također sila smicanja Q g i moment savijanja M z +dM z(jer Q g ostaje konstantan duž duljine grede, a moment M z promjene, fig. 6.12). Na daljinu na odrezati dio elementa od neutralne osi abcd, prikazujemo naprezanja koja djeluju duž rubova rezultirajućeg elementa mbcn, i razmotrite njegovu ravnotežu. Na plohama koja su dio vanjske površine grede nema naprezanja. Na bočnim stranama elementa od djelovanja momenta savijanja M z, javljaju se normalni naprezanja:

; (6.25)

. (6.26)

Osim toga, na tim licima od djelovanja sile smicanja Q g, nastaju posmična naprezanja , ista naprezanja nastaju prema zakonu sparivanja tangencijalnih naprezanja na gornjoj plohi elementa.

Napravimo jednadžbu ravnoteže za element mbcn, projicirajući rezultantna naprezanja razmatrana na os x:

. (6.29)

Izraz pod znakom integrala predstavlja statički moment bočne strane elementa mbcn u odnosu na os x, pa možemo pisati

. (6.30)

Uzimajući u obzir da, prema diferencijalnim ovisnostima Zhuravskog D.I., tijekom savijanja,

, (6.31)

izraz za tangente naprezanja tijekom poprečnog savijanja mogu se prepisati na sljedeći način ( Formula Žuravskog)

. (6.32)

Analizirajmo formulu Žuravskog.

Q g– posmična sila u presjeku koji se razmatra;

J z – aksijalni moment tromosti presjeka u odnosu na os z;

b– širina presjeka na mjestu gdje se određuju posmična naprezanja;

– statički moment u odnosu na z-os presjeka koji se nalazi iznad (ili ispod) vlakna gdje se određuje smično naprezanje:

, (6.33)

Gdje I F" je koordinata težišta, odnosno područje razmatranog dijela presjeka.

6.6 Provjera pune čvrstoće. Opasne dionice i opasne točke

Za provjeru čvrstoće na savijanje vanjskih opterećenja koja djeluju na gredu, konstruiraju se dijagrami promjena unutarnjih sila duž njezine duljine i određuju opasni presjeci grede, za svaki od kojih je potrebno provesti ispitivanje čvrstoće.

Pri potpunoj provjeri čvrstoće takvih odjeljaka bit će najmanje tri (ponekad se podudaraju):

Presjek u kojem moment savijanja M z dostigne najveću apsolutnu vrijednost;

Presjek u kojem sila smicanja Q g, dostiže najveću apsolutnu vrijednost;

Presjek u kojem moment savijanja M z i sila smicanja Q g dostižu prilično velike vrijednosti u apsolutnoj vrijednosti.

U svakom od opasnih presjeka potrebno je konstruiranjem dijagrama normalnih i posmičnih naprezanja pronaći opasne točke presjeka (za svaku od njih provodi se ispitivanje čvrstoće), kojih će također biti najmanje tri. :

Točka u kojoj normalni naprezanja , dosežu svoju najveću vrijednost, odnosno točku na vanjskoj površini grede koja je najudaljenija od neutralne osi presjeka;

Točka u kojoj se smično naprezanje dostižu svoju maksimalnu vrijednost - točka koja leži na neutralnoj osi presjeka;

Točka u kojoj normalna naprezanja i posmična naprezanja dosežu dovoljno velike vrijednosti (ovo ispitivanje ima smisla za presjeke kao što su T-grede ili I-grede, gdje širina presjeka po visini nije konstantna).

Pri poprečnom savijanju uz moment savijanja u presjeku djeluje i poprečna sila koja je rezultanta tangencijalnih naprezanja.

Posljedica djelovanja tangencijalnih naprezanja je iskrivljenje oblika poprečnog presjeka, što je u suprotnosti s hipotezom ravnih presjeka. Prvo, odjeljak može doživjeti deplaiatssho, oni. ne ostaje ravna. Drugo, presjek nakon deformacije ne ostaje okomit na zakrivljenu os grede.

Ti se učinci uzimaju u obzir u složenijim teorijama savijanja štapa. U isto vrijeme, za veliki broj inženjerskih problema, formule dobivene za čisto savijanje mogu se generalizirati na slučaj poprečnog savijanja. Procjena granica primjenjivosti ovih formula i odgovornost za dobivene rezultate spadaju u nadležnost kalkulatora.

Za određivanje vrijednosti normalnih naprezanja tijekom poprečnog savijanja široko se koristi formula (5.10). Zatim ćemo pokazati da u slučaju konstantne poprečne sile ova formula daje točan rezultat, a u slučaju promjenjive poprečne sile rezultate dobivene za određivanje normale

formule pokazuju pogrešku reda - Gdje h- visina presjeka; / - duljina grede.

Da biste odredili veličinu tangencijalnih naprezanja, razmotrite element grede s duljinom dx(Slika 5.8).

Riža. 5.8.

U desnom i lijevom dijelu elementa, normalna naprezanja se međusobno razlikuju za s/o, što je posljedica razlike u vrijednostima momenta savijanja na dM mr. Pojam povezan s promjenom t duž duljine dx, može se zanemariti kao veličina višeg reda malenosti.

Pretpostavimo: tangencijalni naponi u presjeku usmjereni su paralelno sa silom smicanja koja djeluje u ovom presjeku Q.

Odredimo vrijednosti tangencijalnih naprezanja u točkama razdvojenim udaljenošću na od neutralne osi. Da biste to učinili, odsječite s ravninom CD od duljine elementa grede dx Dio krevet.

U presjeku na visini na djeluju tangencijalni naponi, tj. Istodobno, u presjeku okomitom na njega, t.j. u ravnini paralelnoj s ravninom xz, u skladu sa zakonom sparivanja tangencijalnih naprezanja djelovat će tangencijalna naprezanja iste veličine.

Napravimo jednadžbu ravnoteže za element projiciranjem svih sila koje djeluju na taj element na smjer osi X. Izračunajmo integrale uključene u jednadžbu ravnoteže u gornjem dijelu presjeka A*:

Kao rezultat transformacija dobivamo sljedeću formulu za izračunavanje tangencijalnih naprezanja:

Prema formuli (5.10) i uzimajući u obzir odnos (5.3), nalazimo derivaciju normalnog naprezanja:

i uzeti u obzir ovu vrijednost u izrazu za smično naprezanje:

Kao rezultat toga, dobivamo sljedeću formulu za izračunavanje tangencijalnih naprezanja:

Gdje Q - posmična sila u presjeku; S* - statički moment odsječenog dijela presjeka površine L* u odnosu na središnju os; / izg - moment tromosti presjeka u odnosu na središnju os; h-širina presjeka na mjestu gdje se određuju posmična naprezanja.

Formula (5.21) se zove formuleZhuravsky DO

Razmotrimo gredu s pravokutnim presjekom (Sl. 5.9, A). Odredimo normalna i posmična naprezanja u opasnom presjeku. Opasan je presjek L, u kojem djeluje najveći moment savijanja M zg = -I. Što se tiče poprečne sile, njezina je vrijednost u bilo kojem presjeku grede konstantna i jednaka. -F.

Riža. 5.9.

Prema formulama (5.15) i (5.20) određujemo vrijednost maksimalnog normalnog naprezanja:

Žuravski Dmitrij Ivanovič (1828.-1891.) - ruski strojarski znanstvenik i inženjer, stručnjak na području mostogradnje i konstrukcijske mehanike, prvi je riješio problem određivanja posmičnih naprezanja tijekom poprečnog savijanja grede.

Izračunajmo količine uključene u formulu (5.21):

U točki presjeka odvojene udaljenošću na od neutralne osi, vrijednost posmičnog naprezanja je

Maksimalni napon javlja se pri y = 0 u vlaknima koja pripadaju središnjoj osi 0t.

Ovaj napon formalno ima negativnu vrijednost, ali se njegov predznak može zanemariti, jer nije bitan za proračun.

Procijenimo omjer maksimalnih vrijednosti normalnih i tangencijalnih naprezanja koja nastaju u presjeku grede:

Prema projektnoj shemi grede pretpostavlja se da - 1. Iz ovoga slijedi da su tangencijalna naprezanja višeg reda veličine u odnosu na normalna naprezanja.

Poopćimo ocjenu (5.24) za gredu duljine / i karakteristične veličine presjeka A. Uz silu smicanja jednaku F, moment savijanja se procjenjuje kao M bend ~ FI. Za karakteristične vrijednosti aksijalnog momenta tromosti presjeka, statičkog momenta dijela presjeka i momenta otpora savijanju dobivamo sljedeće procjene:

Posljedično, za najveća normalna i tangencijalna naprezanja vrijede sljedeće procjene:

Na kraju dobivamo sljedeću procjenu omjera maksimalnog tangencijalnog i normalnog naprezanja:

Procjene dobivene za određeni pravokutni presjek mogu se proširiti na slučaj proizvoljnog presjeka, s tim da se presjek smatra masivnim. Za profile tankih stijenki gornji zaključak o mogućnosti zanemarivanja tangencijalnih naprezanja u usporedbi s normalnim naprezanjima nije uvijek točan.

Treba napomenuti da prilikom izvođenja formule (5.21) nismo bili potpuno dosljedni te smo prilikom izvođenja transformacija napravili sljedeću pogrešku. Naime, formula za normalna naprezanja koju smo koristili dobivena je pod pretpostavkom da vrijedi hipoteza ravninskih presjeka, tj. u nedostatku deplanacije presjeka. Primjenom tangencijalnih naprezanja na element dopustili smo mogućnost iskrivljenja pravih kutova, čime smo prekršili gore navedenu hipotezu. Stoga su dobivene formule za izračun približne. Dijagram posmičnih naprezanja prikazan na Sl. 5.9, b, objašnjava prirodu zakrivljenosti poprečnih presjeka grede tijekom poprečnog savijanja. U ekstremnim točkama, tangencijalni naponi su nula, stoga će odgovarajuća vlakna biti normalna na gornju i donju površinu grede. Na neutralnoj liniji, gdje djeluju maksimalni posmični naponi, doći će do maksimalnih posmičnih naprezanja.

Istodobno, napominjemo da ako je vrijednost poprečne sile konstantna unutar presjeka, zakrivljenost svih presjeka bit će ista, stoga se učinak zakrivljenosti neće odraziti na veličinu uzdužne vlačne i tlačne deformacije vlakana uzrokovane momentom savijanja.

Za nepravokutne poprečne presjeke, u formulu (5.21) uvode se dodatne pogreške zbog neispunjavanja prihvaćenih pretpostavki o prirodi raspodjele posmičnih naprezanja. Tako, na primjer, za kružni presjek, posmična naprezanja u točkama na konture presjeka trebaju biti usmjerene tangencijalno na konturu, a ne paralelno sa silom smicanja Q. To znači da smična naprezanja moraju imati komponente koje djeluju i duž z/-osi i duž z-osi.

No, usprkos postojećim proturječnostima, dobivene formule daju sasvim zadovoljavajuće rezultate pri provedbi praktičnih proračuna. Usporedba vrijednosti tangencijalnih naprezanja određenih formulom (5.21) s rezultatima dobivenim egzaktnim metodama pokazuje da pogreška u vrijednosti najvećeg tangencijalnog naprezanja ne prelazi 5%, tj. ova je formula prikladna za praktične proračune.

Napravimo nekoliko komentara u vezi proračuna čvrstoće za izravno poprečno savijanje. Za razliku od čistog savijanja, kod poprečnog savijanja u presjecima štapa nastaju dva faktora sile: moment savijanja M mzg i poprečna sila Q. Međutim, s obzirom da se najveća normalna naprezanja javljaju u krajnjim vanjskim vlaknima, gdje nema posmičnih naprezanja (vidi sl. 5.9, b), a najveća tangencijalna naprezanja javljaju se u neutralnom sloju, gdje su normalna naprezanja jednaka nuli, uvjeti čvrstoće u tim slučajevima formulirani su odvojeno za normalna i tangencijalna naprezanja:

Prilikom izvođenja formule za izračunavanje normalnih naprezanja, razmatramo slučaj savijanja, kada se unutarnje sile u presjecima grede svode samo na moment savijanja, A posmična sila ispada nula. Ovaj slučaj savijanja naziva se čisto savijanje. Razmotrite srednji dio grede, koji je podložan čistom savijanju.

Pri opterećenju greda se savija tako da se Donja vlakna se izdužuju, a gornja se skraćuju.

Budući da se dio vlakana grede rasteže, a dio stisne, dolazi do prijelaza iz napetosti u kompresiju glatko, bez skokova, V prosjek nalazi se dio grede sloj čija se vlakna samo savijaju, ali ne doživljavaju ni napetost ni kompresiju. Ovaj sloj se zove neutralan sloj. Pravac po kojem neutralni sloj siječe presjek grede naziva se neutralna linija ili neutralna os odjeljci. Na osi grede nanizane su neutralne linije. Neutralna linija je linija u kojoj normalni naponi su nula.

Linije povučene na bočnoj površini grede okomito na os ostaju ravan pri savijanju. Ovi eksperimentalni podaci omogućuju temeljenje zaključaka formula hipoteza ravnih presjeka (konjektura). Prema ovoj hipotezi, dijelovi grede su ravni i okomiti na svoju os prije savijanja, ostaju ravni i ispadaju okomiti na zakrivljenu os grede kada se savija.

Pretpostavke za izvođenje formula za normalno naprezanje: 1) Hipoteza ravninskih presjeka je ispunjena. 2) Uzdužna vlakna ne pritišću jedno drugo (hipoteza o netlaku) i stoga je svako od vlakana u stanju jednoosne napetosti ili kompresije. 3) Deformacije vlakana ne ovise o njihovom položaju po širini presjeka. Posljedično, normalni naponi, koji se mijenjaju po visini presjeka, ostaju isti po širini. 4) Greda ima najmanje jednu ravninu simetrije i sve vanjske sile leže u toj ravnini. 5) Materijal grede pokorava se Hookeovom zakonu, a modul elastičnosti na napetost i pritisak je isti. 6) Odnos između dimenzija grede je takav da radi u uvjetima ravnog savijanja bez savijanja ili uvijanja.

Razmotrimo gredu proizvoljnog presjeka, ali koja ima os simetrije. Moment savijanja predstavlja rezultantni moment unutarnjih normalnih sila, koja nastaje na beskonačno malim površinama i može se izraziti u sastavni oblik: (1), gdje je y krak elementarne sile u odnosu na os x

Formula (1) izražava statički strana problema savijanja ravne grede, ali duž nje u poznatom momentu savijanja Nemoguće je odrediti normalna naprezanja dok se ne utvrdi zakon njihove raspodjele.

Odaberimo grede u srednjem dijelu i razmotrimo dionica duljine dz, podložni savijanju. Prikažimo to u uvećanom mjerilu.

Dijelovi koji ograničavaju područje dz, međusobno paralelni dok se ne deformiraju, i nakon primjene opterećenja rotirati oko svojih neutralnih linija za kut . Duljina segmenta vlakana neutralnog sloja neće se promijeniti. i bit će jednako: , gdje je radijus zakrivljenosti zakrivljena os grede. Ali bilo koje drugo vlakno laže niži ili viši neutralni sloj, promijenit će svoju duljinu. Idemo izračunati relativno produljenje vlakana koja se nalaze na udaljenosti y od neutralnog sloja. Relativno istezanje je omjer apsolutne deformacije prema izvornoj duljini, zatim:

Smanjimo za i dovedimo slične članove, tada ćemo dobiti: (2) Ova formula izražava geometrijski strana čistog problema savijanja: Deformacije vlakana izravno su proporcionalne njihovoj udaljenosti od neutralnog sloja.

Sada prijeđimo na naglašava, tj. razmotrit ćemo fizički stranu zadatka. u skladu s pretpostavka bez pritiska koristimo vlakna pod aksijalnom napetosti-kompresijom: tada uzimajući u obzir formulu (2) imamo (3), oni. normalan stres kod savijanja po visini presjeka linearno raspoređena. Na krajnjim vlaknima normalna naprezanja postižu najveću vrijednost, au težištu presjeka jednaka su nuli. Zamijenimo (3) u jednadžbu (1) i uzmemo razlomak iz znaka integrala kao konstantnu vrijednost, tada imamo . Ali izraz je aksijalni moment tromosti presjeka u odnosu na os x - ja x. Njegova dimenzija cm 4, m 4

Zatim ,gdje (4) ,gdje je zakrivljenost zakrivljene osi grede, a je krutost presjeka grede tijekom savijanja.

Zamijenimo dobiveni izraz zakrivljenost (4) u izraz (3) i dobivamo formula za izračunavanje normalnih naprezanja u bilo kojoj točki poprečnog presjeka: (5)

Da. maksimum javljaju se napetosti u točkama koje su najudaljenije od neutralne crte. Stav (6) nazvao aksijalni moment otpora presjeka. Njegova dimenzija cm 3, m 3. Moment otpora karakterizira utjecaj oblika i dimenzija poprečnog presjeka na veličinu naprezanja.

Zatim maksimalni naponi: (7)

Uvjet čvrstoće na savijanje: (8)

Kada dođe do poprečnog savijanja ne samo normalna, već i posmična naprezanja, jer dostupno sila smicanja. Smično naprezanje komplicirati sliku deformacije, dovode do zakrivljenost poprečni presjeci grede, što rezultira narušena je hipoteza ravninskih presjeka. Međutim, istraživanja pokazuju da izobličenja uvedena posmičnim naprezanjima malo utječu na normalna naprezanja izračunata formulom (5) . Dakle, pri određivanju normalnih naprezanja u slučaju poprečnog savijanja Teorija čistog savijanja sasvim je primjenjiva.

Neutralna linija. Pitanje o položaju neutralne linije.

Pri savijanju nema uzdužne sile, pa možemo pisati Zamijenimo ovdje formulu za normalna naprezanja (3) i dobivamo Budući da modul uzdužne elastičnosti materijala grede nije jednak nuli, a zakrivljena os grede ima konačan polumjer zakrivljenosti, ostaje pretpostaviti da je ovaj integral statički moment područja presjek grede u odnosu na neutralnu os x , i od jednaka je nuli, tada neutralna linija prolazi kroz težište presjeka.

Razmotrimo gredu podvrgnutu ravnom savijanju pod djelovanjem proizvoljnih poprečnih opterećenja u glavnoj ravnini Ohoo(Sl. 7.31, A). Presjecimo gredu na udaljenosti x od njenog lijevog kraja i razmotrimo ravnotežu lijeve strane. Utjecaj desne strane u ovom slučaju mora se zamijeniti djelovanjem momenta savijanja A/ i poprečne sile Qy u nacrtanom dijelu (sl. 7.31, b). Moment savijanja L7 u općem slučaju nije konstantne veličine, kao što je bio slučaj kod čistog savijanja, već varira po duljini grede. Od momenta savijanja M

prema (7.14) pridružena normalnim naprezanjima o = a x, tada će se i normalna naprezanja u uzdužnim vlaknima mijenjati duž duljine grede. Stoga su u slučaju poprečnog savijanja normalna naprezanja funkcije varijabli x i y: a x = a x (x, y).

Tijekom poprečnog savijanja u presjeku grede djeluju ne samo normalni, već i tangencijalni naponi (sl. 7.31, V),čija je rezultanta transverzalna sila Q y:

Prisutnost tangencijalnih naprezanja x uh praćena pojavom kutnih deformacija. Posmična naprezanja, kao i normalna, neravnomjerno su raspoređena po presjeku. Posljedično, kutne deformacije povezane s njima Hookeovim zakonom tijekom smicanja također će biti neravnomjerno raspoređene. To znači da tijekom poprečnog savijanja, za razliku od čistog savijanja, dijelovi grede ne ostaju ravni (povrijeđena je hipoteza J. Bernoullija).

Zakrivljenost poprečnih presjeka može se jasno pokazati na primjeru savijanja konzolne grede pravokutnog gumenog presjeka uzrokovanog koncentriranom silom koja djeluje na kraju (slika 7.32). Ako prvo nacrtate ravne crte na bočnim stranama okomito na os grede, tada nakon savijanja te linije ne ostaju ravne. Istodobno su savijeni tako da se najveći pomak događa na razini neutralnog sloja.

Točnije studije su utvrdile da je učinak izobličenja poprečnih presjeka na veličinu normalnih naprezanja beznačajan. Ovisi o omjeru visine presjeka h na duljinu grede / i na h/ / o x za poprečno savijanje obično se koristi formula (7.14) izvedena za slučaj čistog savijanja.

Druga značajka poprečnog savijanja je prisutnost normalnih naprezanja O y, koji djeluje u uzdužnim presjecima grede i karakterizira međusobni pritisak između uzdužnih slojeva. Ta se naprezanja javljaju u područjima gdje postoji raspodijeljeno opterećenje q, te na mjestima gdje djeluju koncentrirane sile. Obično su ta naprezanja vrlo mala u usporedbi s normalnim naprezanjima a x. Poseban slučaj je djelovanje koncentrirane sile u čijem području djelovanja mogu nastati značajna lokalna naprezanja i u.

Dakle, infinitezimalni element u ravnini Ohoo kod poprečnog savijanja nalazi se u stanju dvoosnog naprezanja (sl. 7.33).

Naponi t i o, kao i napon o Y, u općem su slučaju funkcije koordinata* i y. Moraju zadovoljiti jednadžbe diferencijalne ravnoteže, koje za dvoosno stanje naprezanja ( a z = T yz = = 0) u odsutnosti

volumetrijske sile imaju sljedeći oblik:

Ove jednadžbe se mogu koristiti za određivanje posmičnih naprezanja = m i normalnih naprezanja OU. To je najlakše učiniti za gredu s pravokutnim presjekom. U tom slučaju, pri određivanju m, pretpostavlja se da su jednoliko raspoređeni po širini presjeka (sl. 7.34). Ovu pretpostavku iznio je poznati ruski graditelj mostova D.I. Zhuravsky. Istraživanja pokazuju da ova pretpostavka gotovo točno odgovara stvarnoj prirodi raspodjele posmičnih naprezanja tijekom savijanja za dovoljno uske i visoke grede (b « I).

Koristeći prvu od diferencijalnih jednadžbi (7.26) i formulu (7.14) za normalna naprezanja a x, dobivamo

Integriranje ove jednadžbe preko varijable y, pronašli smo

Gdje f(x)- proizvoljna funkcija, za određivanje koje koristimo uvjet nepostojanja tangencijalnih naprezanja na donjem rubu grede:

Uzimajući u obzir ovaj rubni uvjet, iz (7.28) nalazimo

Konačni izraz za tangencijalna naprezanja koja djeluju u poprečnim presjecima grede ima sljedeći oblik:

Zbog zakona sparivanja tangencijalnih naprezanja nastaju i tangencijalna naprezanja t, = t u uzdužnim presjecima

hu hu

grede paralelne s neutralnim slojem.

Iz formule (7.29) jasno je da se tangencijalna naprezanja mijenjaju po visini poprečnog presjeka grede prema zakonu kvadratne parabole. Tangencijalni naponi imaju najveću vrijednost u točkama na razini neutralne osi na y = 0, a u krajnjim vlaknima snopa na y = ±h/2 jednaki su nuli. Koristeći formulu (7.23) za moment tromosti pravokutnog presjeka dobivamo

Gdje F= bh - površina poprečnog presjeka grede.

Dijagram t prikazan je na sl. 7.34.

U slučaju greda nepravokutnog poprečnog presjeka (sl. 7.35), određivanje posmičnih naprezanja m iz jednadžbe ravnoteže (7.27) je teško, budući da rubni uvjet za m nije poznat u svim točkama poprečnog presjeka. kontura. To je zbog činjenice da u ovom slučaju tangencijalni naponi t djeluju u presjeku, a ne paralelno s poprečnom silom Qy. U stvari, može se pokazati da je u točkama blizu konture poprečnog presjeka ukupno posmično naprezanje m usmjereno tangencijalno na konturu. Promotrimo u blizini proizvoljne točke na konturi (vidi sl. 7.35) infinitezimalno područje dF u ravnini presjeka i na nju okomitu platformu dF" na bočnoj površini grede. Ako ukupni napon t u točki na konturi nije usmjeren tangencijalno, tada se može rastaviti na dvije komponente: x vx u smjeru normale v na konturu i x u tangentnom smjeru t do konture. Dakle, prema zakonu sparivanja tangencijalnih naprezanja na mjestu dF" trebao bi

ali djeluju na posmično naprezanje x jednako x vv . Ako je bočna površina slobodna od posmičnih opterećenja, tada je komponenta x vv = z vx = 0, odnosno ukupno posmično naprezanje x mora biti usmjereno tangencijalno na konturu poprečnog presjeka, kao što je prikazano, na primjer, u točkama A i U kontura.

Posljedično, posmično naprezanje x i na točkama konture i na bilo kojoj točki poprečnog presjeka može se rastaviti na njihove komponente x.

Za određivanje komponenti x tangencijalnog naprezanja u gredama nepravokutnog presjeka (sl. 7.36, b) Pretpostavimo da presjek ima okomitu os simetrije i da je x komponenta ukupnog posmičnog naprezanja x, kao i u slučaju pravokutnog presjeka, jednoliko raspoređena po njegovoj širini.

Pomoću uzdužnog presjeka paralelnog s ravninom Oxz i prolazeći u daljini na iz njega, i dva presjeka heh + dx Izrežimo mentalno iz dna grede beskrajno mali element duljine dx(Sl. 7.36, V).

Pretpostavimo da moment savijanja M varira unutar duljine dx elementa grede koji se razmatra i sila smicanja Q je konstantan. Zatim u presjecima x i x + dx grede će biti podvrgnute tangencijalnim naprezanjima x jednake veličine i normalnim naprezanjima koja proizlaze iz momenata savijanja M zmM z+ dM„, bit će redom jednaki A I A + da. Uz vodoravni rub odabranog elementa (na sl. 7.36, V prikazano je u aksonometriji) prema zakonu sparivanja tangencijalnih naprezanja djelovat će naprezanja x v „ = x.

hu hu

Rezultati R I R+dR normalna naprezanja o i o + d primijenjen na krajeve elementa, uzimajući u obzir formulu (7.14) jednaki su

Gdje

statički moment graničnog područja F(na slici 7.36, b zasjenjena) u odnosu na neutralnu os Oz y, je pomoćna varijabla koja varira unutar na

Rezultant primijenjenih tangencijalnih naprezanja t

xy

na vodoravni rub elementa, uzimajući u obzir uvedenu pretpostavku o jednolikoj raspodjeli tih naprezanja po širini po) može se pronaći pomoću formule

Uvjet ravnoteže za element?X=0 daje

Zamjenom vrijednosti rezultantnih sila dobivamo

Odavde, uzimajući u obzir (7.6), dobivamo formulu za određivanje tangencijalnih naprezanja:

Ova se formula u ruskoj književnosti zove formula D.I. Zhuravsky.

U skladu s formulom (7.32), raspodjela tangencijalnih naprezanja t po visini presjeka ovisi o promjeni širine presjeka b(y) i statički moment odsječnog dijela presjeka S OTC (y).

Pomoću formule (7.32) najjednostavnije se određuju posmična naprezanja za gore razmatranu pravokutnu gredu (sl. 7.37).

Statički moment površine graničnog presjeka F qtc jednak je

Zamjenom 5° tf u (7.32) dobivamo prethodno izvedenu formulu (7.29).

Formula (7.32) može se koristiti za određivanje posmičnih naprezanja u gredama s postupno konstantnom širinom presjeka. Unutar svakog presjeka s konstantnom širinom, tangencijalni naponi variraju po visini presjeka prema zakonu kvadratne parabole. Na mjestima gdje se širina presjeka naglo mijenja, tangencijalni naponi također imaju skokove ili diskontinuitete. Priroda dijagrama t za takav presjek prikazana je na sl. 7.38.

Riža. 7.37

Riža. 7.38

Razmotrimo raspodjelu tangencijalnih naprezanja u I-presjeku (sl. 7.39, A) pri savijanju u ravnini ooh I-presjek se može prikazati kao spoj tri uska pravokutnika: dvije vodoravne police i okomiti zid.

Prilikom izračunavanja m u zidu u formuli (7.32), morate uzeti b(y) - d. Kao rezultat dobivamo

Gdje S° 1C izračunava se kao zbroj statičkih momenata oko osi Oz površina polica Fn i dijelovi zida F, osjenčan na sl. 7.39, A:

Tangencijalna naprezanja t imaju najveću vrijednost u visini neutralne osi pri y = 0:

gdje je statički moment površine polovice presjeka u odnosu na neutralnu os:

Za valjane I-grede i kanale vrijednost statičkog momenta polovice presjeka navedena je u asortimanu.

Riža. 7.39

Na razini gdje zid graniči s rubovima, posmična naprezanja 1 ? jednak

Gdje S" - statički moment površine poprečnog presjeka prirubnice u odnosu na neutralnu os:

Vertikalna tangencijalna naprezanja m u prirubnicama I-grede ne mogu se pronaći pomoću formule (7.32), jer zbog činjenice da b :» t, pretpostavka njihove ravnomjerne raspodjele po širini police postaje neprihvatljiva. Na gornjem i donjem rubu prirubnice ta naprezanja trebaju biti jednaka nuli. Stoga t in

vau

police su vrlo male i nisu od praktičnog interesa. Od mnogo većeg interesa su vodoravna tangencijalna naprezanja u prirubnicama m, za određivanje kojih smatramo ravnotežom infinitezimalnog elementa izoliranog od donje prirubnice (sl. 7.39). , b).

Prema zakonu sparivanja tangencijalnih naprezanja na uzdužnoj plohi ovog elementa, paralelnoj s ravninom ooo primjenjuje se napon x xz po veličini jednaka naprezanju t koje djeluje u presjeku. Zbog male debljine prirubnice I-grede, može se pretpostaviti da su ova naprezanja ravnomjerno raspoređena po debljini prirubnice. Uzimajući to u obzir, iz jednadžbe ravnoteže elementa 5^=0 imat ćemo

Odavde nalazimo

Zamjenjujući u ovu formulu izraz za a x iz (7.14) i uzimajući u obzir da dobivamo

S obzirom na to

Gdje S° TC - statički moment odsječenog područja police (na slici 7. 39, A osjenčan dva puta) u odnosu na os Oz, konačno ćemo ga dobiti

Prema sl. 7.39 , A

Gdje z- varijabla temeljena na osi OU.

Uzimajući to u obzir, formula (7.34) može se prikazati u obliku

To pokazuje da horizontalna posmična naprezanja variraju linearno duž osi Oz i uzeti najveću vrijednost na z = d/ 2:

Na sl. Na slici 7.40 prikazani su dijagrami tangencijalnih naprezanja m i m^, kao i smjerovi ovih naprezanja u prirubnicama i stijenci I-nosača kada na presjek grede djeluje pozitivna posmična sila. Q. Tangencijalni naponi, slikovito govoreći, tvore kontinuirani tok u presjeku I-grede, usmjeren na svaku točku paralelnu s konturom presjeka.

Prijeđimo na definiciju normalnih naprezanja i y u uzdužnim presjecima grede. Razmotrimo presjek grede s ravnomjerno raspoređenim opterećenjem duž gornjeg ruba (slika 7.41). Uzmimo da je presjek grede pravokutan.

Koristimo ga za određivanje druga od diferencijalnih jednadžbi ravnoteže (7.26). Zamjenom formule (7.32) za tangencijalna naprezanja u ovu jednadžbu uh, uzimajući u obzir (7.6) dobivamo

Nakon izvršene integracije nad varijablom y, pronašli smo

Ovdje f(x) - proizvoljna funkcija koja je definirana korištenjem rubnog uvjeta. Prema uvjetima zadatka greda je opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem q uz gornji rub, a donji rub bez opterećenja. Zatim se odgovarajući rubni uvjeti zapisuju u obrazac

Koristeći drugi od ovih uvjeta, dobivamo

Uzimajući to u obzir, formula za stres i yće imati sljedeći oblik:

Iz ovog izraza jasno je da naponi variraju duž visine presjeka prema zakonu kubične parabole. U ovom slučaju zadovoljena su oba rubna uvjeta (7.35). Najviša vrijednost napona preuzima gornju površinu grede kada y=-h/2:

Priroda dijagrama i y prikazano na sl. 7.41.

Za procjenu vrijednosti najvećih naprezanja o. a, i m i međusobne odnose, razmotrimo, na primjer, savijanje konzolne grede pravokutnog presjeka dimenzija bxh, pod djelovanjem jednoliko raspodijeljenog opterećenja primijenjenog na gornji rub grede (sl. 7.42). Najveća apsolutna vrijednost naprezanja javlja se u brtvi. U skladu s formulama (7.22), (7.30) i (7.37), ta su naprezanja jednaka

Kao i obično za grede l/h» 1, onda iz dobivenih izraza slijedi da su naponi c x u apsolutnoj vrijednosti premašuju napon t i, posebno, i u. Tako npr. kada 1/I == 10 dobivamo a x /t xy = 20', o x /c y = 300.

Dakle, najveći praktični interes pri proračunu greda za savijanje je naprezanje a x, koji djeluju u presjecima grede. Naponi sa y, karakteriziraju međusobni pritisak uzdužnih slojeva grede zanemarivi su u usporedbi s o v .

Rezultati dobiveni u ovom primjeru pokazuju da su hipoteze uvedene u § 7.5 potpuno opravdane.

Ravni (ravni) zavoj- kada moment savijanja djeluje u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi tromosti presjeka, tj. sve sile leže u ravnini simetrije grede. Glavne hipoteze(pretpostavke): hipoteza o netlaku uzdužnih vlakana: vlakna paralelna s osi grede doživljavaju vlačno-tlačnu deformaciju i ne vrše pritisak jedna na drugu u poprečnom smjeru; hipoteza ravnih presjeka: presjek grede koji je ravan prije deformacije ostaje ravan i normalan na zakrivljenu os grede nakon deformacije. U slučaju ravnog savijanja, općenito, unutarnji faktori snage: uzdužna sila N, poprečna sila Q i moment savijanja M. N>0, ako je uzdužna sila vlačna; pri M>0, vlakna na vrhu grede su komprimirana, a vlakna na dnu rastegnuta. .

Poziva se sloj u kojem nema ekstenzija neutralni sloj(os, linija). Za N=0 i Q=0 imamo slučaj čisti zavoj. Normalni naponi:
, je polumjer zakrivljenosti neutralnog sloja, y je udaljenost od nekog vlakna do neutralnog sloja.

43) Ekscentrična napetost i kompresija

Napetost i kompresija

 - normalni napon[Pa], 1 Pa (paskala) = 1 N/m 2,

10 6 Pa = 1 MPa (megapaskal) = 1 N/mm 2

N - uzdužna (normalna) sila [N] (njutn); F - površina poprečnog presjeka [m2]

 - relativna deformacija [bezdimenzijska veličina];

L - uzdužna deformacija [m] (apsolutno istezanje), L - duljina štapa [m].

-Hookeov zakon -  = E

E - vlačni modul elastičnosti (modul elastičnosti 1. vrste ili Youngov modul) [MPa]. Za čelik E = 210 5 MPa = 210 6 kg/cm 2 (u “starom” sustavu jedinica).

(što je veći E, to je materijal manje rastezljiv)

;
- Hookeov zakon

EF je krutost štapa na napetost (stlačenje).

Šipka se istezanjem “tanji”, širina - a smanjuje se za poprečnu deformaciju - a.

-relativna poprečna deformacija.

-Poissonov omjer [bezdimenzijska veličina];

 kreće se od 0 (pluto) do 0,5 (guma); za čelik  0,250,3.

Ako uzdužna sila i poprečni presjek nisu konstantni, tada je produljenje štapa:

Vlačni rad:
, potencijalna energija:

47. Mohrov integral

Univerzalna metoda za određivanje pomaka (linearnih i rotacijskih kutova) je Mohrova metoda. Jedinična generalizirana sila primjenjuje se na sustav u točki za koju se traži generalizirani pomak. Ako je određen otklon, tada je jedinična sila bezdimenzionalna koncentrirana sila, ako je određen kut zakreta, tada je to bezdimenzionalni jedinični moment. U slučaju prostornog sustava postoji šest komponenti unutarnjih sila. Generalizirani pomak je definiran

48. Određivanje naprezanja pri zajedničkom djelovanju savijanja i torzije

Savijanje s uvijanjem

Kombinirano djelovanje savijanja i torzije najčešći je slučaj teretnih vratila. Nastaje pet komponenti unutarnjih sila: Q x, Q y, M x, M y, M z = M cr. Tijekom proračuna konstruiraju se dijagrami momenata savijanja M x , M y , momenta M cr i određuje opasni presjek. Rezultirajući moment savijanja
. Maks. normalna i posmična naprezanja na opasnim točkama (A,B):
,

, (za krug: W=
– aksijalni moment otpora , W r =
– polarni moment kontakta presjeka).

Glavna naprezanja na najopasnijim točkama (A i B):

Ispitivanje čvrstoće provodi se prema jednoj od teorija čvrstoće:

IV: Mohrova teorija:

gdje je m=[ p ]/[ c ] – dopušteno. npr. napetost/sabijanje (za krte materijale - lijevano željezo).

T
.k.W p =2W, dobivamo:

Brojnik je reducirani moment prema prihvaćenoj teoriji čvrstoće. ;

II: , s Poissonovim omjerom=0,3;

III:

ili jednom formulom:
, odakle moment otpora:
, promjer osovine:
. Formule su također prikladne za izračunavanje prstenastog presjeka.